Theorem fourierdlem76 32207

Description: Continuity of O and its limits with respect to the S partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem76.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem76.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem76.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem76.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem76.v	|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
fourierdlem76.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem76.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
fourierdlem76.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem76.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem76.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem76.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem76.ab	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem76.n0	|- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
fourierdlem76.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem76.o	|- O = ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem76.q	|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
fourierdlem76.t	|- T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
fourierdlem76.n	|- N = ( ( # ` T ) - 1 )
fourierdlem76.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
fourierdlem76.d	|- D = ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
fourierdlem76.e	|- E = ( ( ( if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) ) - C ) / ( S ` j ) ) x. ( ( S ` j ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` j ) / 2 ) ) ) ) )
fourierdlem76.ch	|- ( ch <-> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref

Expression

fourierdlem76

|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( D e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ E e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) ) /\ ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   C, s   F, s   L, s   i, M, j   m, M, p, i   f, N   Q, s   R, s   S, f   S, s   T, f   i, V, j, s   V, p   i, X, j, s   m, X, p   ch, s   ph, f   ph, i, j, s

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   ch( f, i, j, m, p)   A( f, i, j, m, p)   B( f, i, j, m, p)   C( f, i, j, m, p)   D( f, i, j, m, s, p)   P( f, i, j, m, s, p)   Q( f, i, j, m, p)   R( f, i, j, m, p)   S( i, j, m, p)   T( i, j, m, s, p)   E( f, i, j, m, s, p)   F( f, i, j, m, p)   L( f, i, j, m, p)   M( f, s)   N( i, j, m, s, p)   O( f, i, j, m, s, p)   V( f, m)   X( f)

Proof of Theorem fourierdlem76

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem76.ch	. . 3 |- ( ch <-> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
2		eqid 2454	. . . . 5 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) )
3		eqid 2454	. . . . 5 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
4		eqid 2454	. . . . 5 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
5		simplll 757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ph )
6	1, 5	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ph )
7	6	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ph )
8		ioossicc 11613	. . . . . . . . . 10 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
9		fourierdlem76.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. RR )
10	9	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR* )
11	6, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> A e. RR* )
12	11	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> A e. RR* )
13		fourierdlem76.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. RR )
14	13	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR* )
15	6, 14	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> B e. RR* )
16	15	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> B e. RR* )
17		elioore 11562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> s e. RR )
18	17	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
19	6, 9	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> A e. RR )
20	19	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> A e. RR )
21		fourierdlem76.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
22		prfi 7787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { A , B } e. Fin
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
24		fzfid 12068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
25		fourierdlem76.q	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
26	25	rnmptfi 31690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 0 ... M ) e. Fin -> ran Q e. Fin )
27		infi 7736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ran Q e. Fin -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) e. Fin )
28	24, 26, 27	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) e. Fin )
29		unfi 7779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) e. Fin ) -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) e. Fin )
30	23, 28, 29	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) e. Fin )
31	21, 30	syl5eqel 2546	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T e. Fin )
32		prssg 4171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) <-> { A , B } C_ RR ) )
33	9, 13, 32	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) <-> { A , B } C_ RR ) )
34	9, 13, 33	mpbi2and 919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> { A , B } C_ RR )
35		inss2 3705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ ( A (,) B )
36		ioossre 11589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A (,) B ) C_ RR
37	35, 36	sstri 3498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ RR
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ RR )
39	34, 38	unssd 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) C_ RR )
40	21, 39	syl5eqss 3533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T C_ RR )
41		fourierdlem76.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
42		fourierdlem76.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- N = ( ( # ` T ) - 1 )
43	31, 40, 41, 42	fourierdlem36 32167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
44	6, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
45		isof1o 6196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T )
46		f1of 5798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T -> S : ( 0 ... N ) --> T )
47	44, 45, 46	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> S : ( 0 ... N ) --> T )
48	6, 40	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> T C_ RR )
49	47, 48	fssd 5722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
50	49	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
51		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> j e. ( 0..^ N ) )
52	1, 51	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> j e. ( 0..^ N ) )
53		elfzofz 11819	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ( 0 ... N ) )
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> j e. ( 0 ... N ) )
55	54	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
56	50, 55	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( S ` j ) e. RR )
57	43, 45, 46	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> T )
58		frn 5719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S : ( 0 ... N ) --> T -> ran S C_ T )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ran S C_ T )
60	9	leidd 10115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A <_ A )
61		fourierdlem76.altb	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> A < B )
62	9, 13, 61	ltled 9722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A <_ B )
63	9, 13, 9, 60, 62	eliccd 31780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
64	13	leidd 10115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> B <_ B )
65	9, 13, 13, 62, 64	eliccd 31780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> B e. ( A [,] B ) )
66		prssg 4171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A e. ( A [,] B ) /\ B e. ( A [,] B ) ) <-> { A , B } C_ ( A [,] B ) ) )
67	9, 13, 66	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( A e. ( A [,] B ) /\ B e. ( A [,] B ) ) <-> { A , B } C_ ( A [,] B ) ) )
68	63, 65, 67	mpbi2and 919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> { A , B } C_ ( A [,] B ) )
69	35, 8	sstri 3498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ ( A [,] B )
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ ( A [,] B ) )
71	68, 70	unssd 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
72	21, 71	syl5eqss 3533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> T C_ ( A [,] B ) )
73	59, 72	sstrd 3499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ran S C_ ( A [,] B ) )
74	6, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ran S C_ ( A [,] B ) )
75		ffun 5715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S : ( 0 ... N ) --> RR -> Fun S )
76	49, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> Fun S )
77		fdm 5717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S : ( 0 ... N ) --> RR -> dom S = ( 0 ... N ) )
78	49, 77	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> dom S = ( 0 ... N ) )
79	78	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( 0 ... N ) = dom S )
80	54, 79	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> j e. dom S )
81		fvelrn 6000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun S /\ j e. dom S ) -> ( S ` j ) e. ran S )
82	76, 80, 81	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( S ` j ) e. ran S )
83	74, 82	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( S ` j ) e. ( A [,] B ) )
84		iccgelb 11584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( S ` j ) e. ( A [,] B ) ) -> A <_ ( S ` j ) )
85	11, 15, 83, 84	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> A <_ ( S ` j ) )
86	85	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> A <_ ( S ` j ) )
87	56	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( S ` j ) e. RR* )
88		fzofzp1 11890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
89	52, 88	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
90	49, 89	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR )
91	90	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR* )
92	91	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR* )
93		simpr 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
94		ioogtlb 31770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S ` j ) e. RR* /\ ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( S ` j ) < s )
95	87, 92, 93, 94	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( S ` j ) < s )
96	20, 56, 18, 86, 95	lelttrd 9729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> A < s )
97	90	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR )
98	6, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> B e. RR )
99	98	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> B e. RR )
100		iooltub 31790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S ` j ) e. RR* /\ ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s < ( S ` ( j + 1 ) ) )
101	87, 92, 93, 100	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s < ( S ` ( j + 1 ) ) )
102	89, 79	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( j + 1 ) e. dom S )
103		fvelrn 6000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun S /\ ( j + 1 ) e. dom S ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ran S )
104	76, 102, 103	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ran S )
105	74, 104	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( A [,] B ) )
106		iccleub 11583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( A [,] B ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) <_ B )
107	11, 15, 105, 106	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) <_ B )
108	107	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) <_ B )
109	18, 97, 99, 101, 108	ltletrd 9731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s < B )
110	12, 16, 18, 96, 109	eliood 31773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
111	8, 110	sseldi 3487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
112		fourierdlem76.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : RR --> RR )
113	112	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> F : RR --> RR )
114		fourierdlem76.xre	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. RR )
115	114	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> X e. RR )
116	9, 13	iccssred 31781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
117	116	sselda 3489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> s e. RR )
118	115, 117	readdcld 9612	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
119	113, 118	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
120	7, 111, 119	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
121	120	recnd 9611	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
122		fourierdlem76.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR )
123	122	recnd 9611	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
124	6, 123	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ch -> C e. CC )
125	124	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> C e. CC )
126	121, 125	subcld 9922	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
127		ioossre 11589	. . . . . . . . 9 |- ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ RR
128	127	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ RR )
129	128	sselda 3489	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
130	129	recnd 9611	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. CC )
131		nne 2655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. s =/= 0 <-> s = 0 )
132	131	biimpi 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. s =/= 0 -> s = 0 )
133	132	eqcomd 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( -. s =/= 0 -> 0 = s )
134	133	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) /\ -. s =/= 0 ) -> 0 = s )
135		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
136	135	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) /\ -. s =/= 0 ) -> s e. ( A [,] B ) )
137	134, 136	eqeltrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) /\ -. s =/= 0 ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
138		fourierdlem76.n0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
139	138	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) /\ -. s =/= 0 ) -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
140	137, 139	condan 792	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> s =/= 0 )
141	7, 111, 140	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s =/= 0 )
142	126, 130, 141	divcld 10316	. . . . 5 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) e. CC )
143		2cnd 10604	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> 2 e. CC )
144	130	halfcld 10779	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( s / 2 ) e. CC )
145	144	sincld 13950	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
146	143, 145	mulcld 9605	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
147	17	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> s e. CC )
148	147	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. CC )
149	148	halfcld 10779	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( s / 2 ) e. CC )
150	149	sincld 13950	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
151		2ne0 10624	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
152	151	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> 2 =/= 0 )
153		fourierdlem76.ab	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
154	6, 153	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
155	154	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
156	155, 111	sseldd 3490	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
157		fourierdlem44 32175	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
158	156, 141, 157	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
159	143, 150, 152, 158	mulne0d 10197	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
160	130, 146, 159	divcld 10316	. . . . 5 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. CC )
161		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) )
162		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> s ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> s )
163	141	neneqd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> -. s = 0 )
164		elsn 4030	. . . . . . . 8 |- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
165	163, 164	sylnibr 303	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> -. s e. { 0 } )
166	130, 165	eldifd 3472	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
167		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) )
168		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> C ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> C )
169		elfzofz 11819	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
170	169	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
171		pire 23020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- pi e. RR
172	171	renegcli 9871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -u pi e. RR
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> -u pi e. RR )
174	173, 114	readdcld 9612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( -u pi + X ) e. RR )
175	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> pi e. RR )
176	175, 114	readdcld 9612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( pi + X ) e. RR )
177	174, 176	iccssred 31781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) C_ RR )
178	177	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) C_ RR )
179		fourierdlem76.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
180		fourierdlem76.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> M e. NN )
181		fourierdlem76.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
182	179, 180, 181	fourierdlem15 32146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
183	182	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
184	183, 170	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
185	178, 184	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
186	114	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> X e. RR )
187	185, 186	resubcld 9983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
188	25	fvmpt2 5939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
189	170, 187, 188	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
190	189, 187	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
191	190	adantlr 712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
192	191	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
193	1, 192	sylbi 195	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( Q ` i ) e. RR )
194		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = j -> ( V ` i ) = ( V ` j ) )
195	194	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = j -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` j ) - X ) )
196	195	cbvmptv 4530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) )
197	25, 196	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) )
198	197	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) ) )
199		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( V ` j ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
200	199	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
201	200	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j = ( i + 1 ) ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
202		fzofzp1 11890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
203	202	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
204	183, 203	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
205	178, 204	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
206	205, 186	resubcld 9983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR )
207	198, 201, 203, 206	fvmptd 5936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
208	207, 206	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
209	208	adantlr 712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
210	209	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
211	1, 210	sylbi 195	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
212	179	fourierdlem2 32133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. NN -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
213	180, 212	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
214	181, 213	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
215	214	simprrd 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
216	215	r19.21bi 2823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
217	185, 205, 186, 216	ltsub1dd 10160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) < ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
218	217, 189, 207	3brtr4d 4469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
219	218	adantlr 712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
220	219	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
221	1, 220	sylbi 195	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
222	1	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
223	222	simplrd 31669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> i e. ( 0..^ M ) )
224	6, 223, 185	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( V ` i ) e. RR )
225	224	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( V ` i ) e. RR* )
226	225	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) e. RR* )
227	6, 223, 205	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
228	227	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
229	228	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
230	6, 114	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> X e. RR )
231	230	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> X e. RR )
232		elioore 11562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> s e. RR )
233	232	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
234	231, 233	readdcld 9612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. RR )
235	6, 223, 189	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
236	235	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( X + ( Q ` i ) ) = ( X + ( ( V ` i ) - X ) ) )
237	230	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> X e. CC )
238	224	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( V ` i ) e. CC )
239	237, 238	pncan3d 9925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` i ) - X ) ) = ( V ` i ) )
240	236, 239	eqtr2d 2496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( V ` i ) = ( X + ( Q ` i ) ) )
241	240	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) = ( X + ( Q ` i ) ) )
242	193	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
243	193	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` i ) e. RR* )
244	243	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
245	211	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
246	245	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
247		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
248		ioogtlb 31770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < s )
249	244, 246, 247, 248	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` i ) < s )
250	242, 233, 231, 249	ltadd2dd 9730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` i ) ) < ( X + s ) )
251	241, 250	eqbrtrd 4459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( V ` i ) < ( X + s ) )
252	211	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
253		iooltub 31790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
254	244, 246, 247, 253	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
255	233, 252, 231, 254	ltadd2dd 9730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) < ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
256	6, 223, 207	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
257	256	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( X + ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) )
258	227	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. CC )
259	237, 258	pncan3d 9925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
260	257, 259	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
261	260	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
262	255, 261	breqtrd 4463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
263	226, 229, 234, 251, 262	eliood 31773	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( X + s ) e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
264		fvres 5862	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X + s ) e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
265	263, 264	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
266	265	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
267	266	mpteq2dva 4525	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
268		ioosscn 31769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC
269	268	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC )
270		fourierdlem76.fcn	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
271	6, 223, 270	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
272		ioosscn 31769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC
273	272	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC )
274	269, 271, 273, 237, 263	fourierdlem23 32154	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
275	267, 274	eqeltrd 2542	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
276	6, 112	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> F : RR --> RR )
277		ioossre 11589	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
278	277	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
279		eqid 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) )
280		ioossre 11589	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
281	280	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
282	233, 254	ltned 9710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s =/= ( Q ` ( i + 1 ) ) )
283		fourierdlem76.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
284	6, 223, 283	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
285	260	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
286	285	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
287	284, 286	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
288	211	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. CC )
289	276, 230, 278, 279, 263, 281, 282, 287, 288	fourierdlem53 32184	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> L e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
290	49, 54	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( S ` j ) e. RR )
291		elfzoelz 11804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. ZZ )
292		zre 10864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ZZ -> j e. RR )
293	52, 291, 292	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> j e. RR )
294	293	ltp1d 10471	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> j < ( j + 1 ) )
295		isorel 6197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( j < ( j + 1 ) <-> ( S ` j ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
296	44, 54, 89, 295	syl12anc 1224	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( j < ( j + 1 ) <-> ( S ` j ) < ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
297	294, 296	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( S ` j ) < ( S ` ( j + 1 ) ) )
298	1	simprbi 462	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
299		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
300		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) u. { ( Q ` ( i + 1 ) ) } ) )
301	193, 211, 221, 275, 289, 290, 90, 297, 298, 299, 300	fourierdlem33 32164	. . . . . . . 8 |- ( ch -> if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
302		eqidd 2455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) )
303		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) /\ s = ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> s = ( S ` ( j + 1 ) ) )
304	303	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) /\ s = ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> ( X + s ) = ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
305	304	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) /\ s = ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) )
306	243	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
307	245	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
308	90	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR )
309	193, 211, 290, 90, 297, 298	fourierdlem10 32141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( ( Q ` i ) <_ ( S ` j ) /\ ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
310	309	simpld 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( Q ` i ) <_ ( S ` j ) )
311	193, 290, 90, 310, 297	lelttrd 9729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> ( Q ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) )
312	311	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( Q ` i ) < ( S ` ( j + 1 ) ) )
313	211	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
314	309	simprd 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) )
315	314	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) )
316		neqne 31677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) =/= ( Q ` ( i + 1 ) ) )
317	316	necomd 2725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) =/= ( S ` ( j + 1 ) ) )
318	317	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) =/= ( S ` ( j + 1 ) ) )
319	308, 313, 315, 318	leneltd 31736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
320	306, 307, 308, 312, 319	eliood 31773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
321	230, 90	readdcld 9612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ch -> ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
322	276, 321	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. RR )
323	322	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. RR )
324	302, 305, 320, 323	fvmptd 5936	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ -. ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) )
325	324	ifeq2da 3960	. . . . . . . 8 |- ( ch -> if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) )
326	298	resmptd 5313	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) )
327	326	oveq1d 6285	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
328	301, 325, 327	3eltr3d 2556	. . . . . . 7 |- ( ch -> if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
329		ax-resscn 9538	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
330	128, 329	syl6ss 3501	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ CC )
331	90	recnd 9611	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. CC )
332	168, 330, 124, 331	constlimc 31872	. . . . . . 7 |- ( ch -> C e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> C ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
333	167, 168, 161, 121, 125, 328, 332	sublimc 31900	. . . . . 6 |- ( ch -> ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
334	330, 162, 331	idlimc 31874	. . . . . 6 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> s ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
335	6, 105	jca 530	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( ph /\ ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( A [,] B ) ) )
336		eleq1 2526	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( S ` ( j + 1 ) ) -> ( s e. ( A [,] B ) <-> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( A [,] B ) ) )
337	336	anbi2d 701	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( S ` ( j + 1 ) ) -> ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) <-> ( ph /\ ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( A [,] B ) ) ) )
338		neeq1 2735	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( S ` ( j + 1 ) ) -> ( s =/= 0 <-> ( S ` ( j + 1 ) ) =/= 0 ) )
339	337, 338	imbi12d 318	. . . . . . . 8 |- ( s = ( S ` ( j + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> s =/= 0 ) <-> ( ( ph /\ ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( A [,] B ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) =/= 0 ) ) )
340	339, 140	vtoclg 3164	. . . . . . 7 |- ( ( S ` ( j + 1 ) ) e. RR -> ( ( ph /\ ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( A [,] B ) ) -> ( S ` ( j + 1 ) ) =/= 0 ) )
341	90, 335, 340	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) =/= 0 )
342	161, 162, 2, 126, 166, 333, 334, 341, 141	divlimc 31904	. . . . 5 |- ( ch -> ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
343		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
344	143, 150	mulcld 9605	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
345	159	neneqd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> -. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) = 0 )
346		2re 10601	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
347	346	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> 2 e. RR )
348	17	rehalfcld 10781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
349	348	resincld 13963	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
350	349	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
351	347, 350	remulcld 9613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
352		elsncg 4039	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. { 0 } <-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) = 0 ) )
353	351, 352	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. { 0 } <-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) = 0 ) )
354	345, 353	mtbird 299	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> -. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. { 0 } )
355	344, 354	eldifd 3472	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. ( CC \ { 0 } ) )
356		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> 2 ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> 2 )
357		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( sin ` ( s / 2 ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( sin ` ( s / 2 ) ) )
358		2cnd 10604	. . . . . . . 8 |- ( ch -> 2 e. CC )
359	356, 330, 358, 331	constlimc 31872	. . . . . . 7 |- ( ch -> 2 e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> 2 ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
360	348	ad2antrl 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( s / 2 ) =/= ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
361		recn 9571	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x e. CC )
362	361	sincld 13950	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> ( sin ` x ) e. CC )
363	362	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ x e. RR ) -> ( sin ` x ) e. CC )
364		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / 2 ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / 2 ) )
365		2cn 10602	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
366		eldifsn 4141	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
367	365, 151, 366	mpbir2an 918	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ( CC \ { 0 } )
368	367	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ch /\ s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) -> 2 e. ( CC \ { 0 } ) )
369	151	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> 2 =/= 0 )
370	162, 356, 364, 148, 368, 334, 359, 369, 152	divlimc 31904	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / 2 ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
371		sinf 13944	. . . . . . . . . . . . . 14 |- sin : CC --> CC
372	371	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> sin : CC --> CC )
373	329	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> RR C_ CC )
374	372, 373	feqresmpt 5902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( sin |` RR ) = ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) )
375	374	trud 1407	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin |` RR ) = ( x e. RR |-> ( sin ` x ) )
376		resincncf 31919	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin |` RR ) e. ( RR -cn-> RR )
377	375, 376	eqeltrri 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) e. ( RR -cn-> RR )
378	377	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) e. ( RR -cn-> RR ) )
379	90	rehalfcld 10781	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) e. RR )
380		fveq2 5848	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) -> ( sin ` x ) = ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) )
381	378, 379, 380	cnmptlimc 22463	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) e. ( ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) lim CC ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) )
382		fveq2 5848	. . . . . . . 8 |- ( x = ( s / 2 ) -> ( sin ` x ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
383		fveq2 5848	. . . . . . . . 9 |- ( ( s / 2 ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) = ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) )
384	383	ad2antll 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) /\ ( s / 2 ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) = ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) )
385	360, 363, 370, 381, 382, 384	limcco 22466	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( sin ` ( s / 2 ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
386	356, 357, 343, 143, 150, 359, 385	mullimc 31864	. . . . . 6 |- ( ch -> ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
387	331	halfcld 10779	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) e. CC )
388	387	sincld 13950	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) e. CC )
389	154, 105	sseldd 3490	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( -u pi [,] pi ) )
390		fourierdlem44 32175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( S ` ( j + 1 ) ) =/= 0 ) -> ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) =/= 0 )
391	389, 341, 390	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) =/= 0 )
392	358, 388, 369, 391	mulne0d 10197	. . . . . 6 |- ( ch -> ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) =/= 0 )
393	162, 343, 3, 148, 355, 334, 386, 392, 159	divlimc 31904	. . . . 5 |- ( ch -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
394	2, 3, 4, 142, 160, 342, 393	mullimc 31864	. . . 4 |- ( ch -> ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
395		fourierdlem76.d	. . . . 5 |- D = ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
396	395	a1i 11	. . . 4 |- ( ch -> D = ( ( ( if ( ( S ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) , L , ( F ` ( X + ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) - C ) / ( S ` ( j + 1 ) ) ) x. ( ( S ` ( j + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( S ` ( j + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) )
397		fourierdlem76.o	. . . . . . 7 |- O = ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
398	397	reseq1i 5258	. . . . . 6 |- ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
399		ioossicc 11613	. . . . . . . 8 |- ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( S ` j ) [,] ( S ` ( j + 1 ) ) )
400		iccss 11595	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ ( S ` j ) /\ ( S ` ( j + 1 ) ) <_ B ) ) -> ( ( S ` j ) [,] ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
401	19, 98, 85, 107, 400	syl22anc 1227	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( ( S ` j ) [,] ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
402	399, 401	syl5ss 3500	. . . . . . 7 |- ( ch -> ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
403	402	resmptd 5313	. . . . . 6 |- ( ch -> ( ( s e. ( A [,] B ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
404	398, 403	syl5eq 2507	. . . . 5 |- ( ch -> ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
405	404	oveq1d 6285	. . . 4 |- ( ch -> ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( s e. ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
406	394, 396, 405	3eltr4d 2557	. . 3 |- ( ch -> D e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
407	1, 406	sylbir 213	. 2 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> D e. ( ( O |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
408	242, 249	gtned 9709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s =/= ( Q ` i ) )
409		fourierdlem76.r	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
410	6, 223, 409	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
411	240	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ch -> ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) = ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( X + ( Q ` i ) ) ) )
412	410, 411	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( X + ( Q ` i ) ) ) )
413	193	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> ( Q ` i ) e. CC )
414	276, 230, 278, 279, 263, 281, 408, 412, 413	fourierdlem53 32184	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> R e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
415		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` j ) ) ) = if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` j ) ) )
416		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( Q ` i ) [,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( Q ` i ) [,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
417	193, 211, 221, 275, 414, 290, 90, 297, 298, 415, 416	fourierdlem32 32163	. . . . . . . 8 |- ( ch -> if ( ( S ` j ) = ( Q ` i ) , R , ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ` ( S ` j ) ) ) e. ( ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
418		eqidd 2455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) )
419		oveq2 6278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( S ` j ) -> ( X + s ) = ( X + ( S ` j ) ) )
420	419	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( S ` j ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) )
421	420	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) /\ s = ( S ` j ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + ( S ` j ) ) ) )
422	243	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
423	245	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
424	290	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ch /\ -. ( S ` j ) = ( Q ` i ) ) -> ( S ` j ) e. RR )
425	193	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ch /\ -.