Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem72 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem72 31802
 Description: The derivative of is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem72.f
fourierdlem72.xre
fourierdlem72.p ..^
fourierdlem72.m
fourierdlem72.v
fourierdlem72.dvcn ..^
fourierdlem72.a
fourierdlem72.b
fourierdlem72.altb
fourierdlem72.ab
fourierdlem72.n0
fourierdlem72.c
fourierdlem72.q
fourierdlem72.u ..^
fourierdlem72.abss
fourierdlem72.h
fourierdlem72.k
fourierdlem72.o
Assertion
Ref Expression
fourierdlem72
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,   ,,   ,,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,)   (,,)   (,,)   ()   (,,,)   (,)

Proof of Theorem fourierdlem72
StepHypRef Expression
1 fourierdlem72.o . . . . 5
21a1i 11 . . . 4
3 ovex 6320 . . . . . . 7
43a1i 11 . . . . . 6
5 fourierdlem72.f . . . . . . . . . . . 12
65adantr 465 . . . . . . . . . . 11
7 fourierdlem72.xre . . . . . . . . . . . . 13
87adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
9 elioore 11571 . . . . . . . . . . . . 13
109adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
118, 10readdcld 9635 . . . . . . . . . . 11
126, 11ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10
13 fourierdlem72.c . . . . . . . . . . 11
1413adantr 465 . . . . . . . . . 10
1512, 14resubcld 9999 . . . . . . . . 9
16 ioossicc 11622 . . . . . . . . . . . . 13
17 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
1816, 17sseldi 3507 . . . . . . . . . . . 12
1918ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
2120necon1bi 2700 . . . . . . . . . . . . 13
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
2322eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13
2421, 23syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2524adantl 466 . . . . . . . . . . 11
2619, 25mpbid 210 . . . . . . . . . 10
27 fourierdlem72.n0 . . . . . . . . . . 11
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
2926, 28condan 792 . . . . . . . . 9
3015, 10, 29redivcld 10384 . . . . . . . 8
31 fourierdlem72.h . . . . . . . 8
3230, 31fmptd 6056 . . . . . . 7
3332ffvelrnda 6032 . . . . . 6
34 2re 10617 . . . . . . . . . . 11
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10
3610rehalfcld 10797 . . . . . . . . . . 11
3736resincld 13756 . . . . . . . . . 10
3835, 37remulcld 9636 . . . . . . . . 9
39 2cn 10618 . . . . . . . . . . 11
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10
4110recnd 9634 . . . . . . . . . . . 12
4241halfcld 10795 . . . . . . . . . . 11
4342sincld 13743 . . . . . . . . . 10
44 2ne0 10640 . . . . . . . . . . 11
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10
46 fourierdlem72.ab . . . . . . . . . . . 12
4746sselda 3509 . . . . . . . . . . 11
48 fourierdlem44 31774 . . . . . . . . . . 11
4947, 29, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
5040, 43, 45, 49mulne0d 10213 . . . . . . . . 9
5110, 38, 50redivcld 10384 . . . . . . . 8
52 fourierdlem72.k . . . . . . . 8
5351, 52fmptd 6056 . . . . . . 7
5453ffvelrnda 6032 . . . . . 6
5532feqmptd 5927 . . . . . 6
5653feqmptd 5927 . . . . . 6
574, 33, 54, 55, 56offval2 6551 . . . . 5
5857eqcomd 2475 . . . 4
59 eqidd 2468 . . . 4
602, 58, 593eqtrd 2512 . . 3
6160oveq2d 6311 . 2
62 reex 9595 . . . . 5
6362prid1 4141 . . . 4
6463a1i 11 . . 3
6512recnd 9634 . . . . . 6
6613recnd 9634 . . . . . . 7
6766adantr 465 . . . . . 6
6865, 67subcld 9942 . . . . 5
69 ioossre 11598 . . . . . . . 8
7069a1i 11 . . . . . . 7
7170sselda 3509 . . . . . 6
72 recn 9594 . . . . . 6
7371, 72syl 16 . . . . 5
7468, 73, 29divcld 10332 . . . 4
7574, 31fmptd 6056 . . 3
7673halfcld 10795 . . . . . . 7
7776sincld 13743 . . . . . 6
7840, 77mulcld 9628 . . . . 5
7940, 77, 50mulne0bad 10216 . . . . . 6
8040, 77, 50mulne0bbd 10217 . . . . . 6
8140, 77, 79, 80mulne0d 10213 . . . . 5
8273, 78, 81divcld 10332 . . . 4
8382, 52fmptd 6056 . . 3
8472ssriv 3513 . . . . . 6
8584a1i 11 . . . . 5
86 ssid 3528 . . . . . 6
8786a1i 11 . . . . 5
88 cncfss 21271 . . . . 5
8985, 87, 88syl2anc 661 . . . 4
90 fourierdlem72.a . . . . 5
91 fourierdlem72.b . . . . 5
9229nelrdva 3318 . . . . 5
935, 85fssd 5746 . . . . . . . 8
94 ssid 3528 . . . . . . . . 9
9594a1i 11 . . . . . . . 8
96 ioossre 11598 . . . . . . . . 9
9796a1i 11 . . . . . . . 8
98 eqid 2467 . . . . . . . . 9 fld fld
9998tgioo2 21176 . . . . . . . . 9 fldt
10098, 99dvres 22183 . . . . . . . 8
10185, 93, 95, 97, 100syl22anc 1229 . . . . . . 7
102 ioontr 31436 . . . . . . . . 9
103102reseq2i 5276 . . . . . . . 8
104103a1i 11 . . . . . . 7
105101, 104eqtrd 2508 . . . . . 6
106 fourierdlem72.v . . . . . . . . . . . . . . 15
107 fourierdlem72.m . . . . . . . . . . . . . . . 16
108 fourierdlem72.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
109108fourierdlem2 31732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
110107, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
111106, 110mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
112111simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13
113 elmapi 7452 . . . . . . . . . . . . 13
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . . . 12
115 fourierdlem72.u . . . . . . . . . . . . 13 ..^
116 elfzofz 11823 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . . . 12
118114, 117ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . 11
119118rexrd 9655 . . . . . . . . . 10
120 fzofzp1 11889 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
121115, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12
122114, 121ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . 11
123122rexrd 9655 . . . . . . . . . 10
124 pire 22718 . . . . . . . . . . . . . . 15
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
126125renegcld 9998 . . . . . . . . . . . . 13
127 fourierdlem72.q . . . . . . . . . . . . 13
128126, 125, 7, 108, 107, 106, 117, 127fourierdlem13 31743 . . . . . . . . . . . 12
129128simprd 463 . . . . . . . . . . 11
130128simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13
131118, 7resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . 13
132130, 131eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12
133 fourierdlem72.abss . . . . . . . . . . . . . 14
134132rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15
135126, 125, 7, 108, 107, 106, 121, 127fourierdlem13 31743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136135simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137122, 7resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
138136, 137eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . 16
139138rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15
14090rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15
14191rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15
142 fourierdlem72.altb . . . . . . . . . . . . . . 15
143134, 139, 140, 141, 142ioossioobi 31444 . . . . . . . . . . . . . 14
144133, 143mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
145144simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
146132, 90, 7, 145leadd2dd 10179 . . . . . . . . . . 11
147129, 146eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . 10
148144simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
14991, 138, 7, 148leadd2dd 10179 . . . . . . . . . . 11
150135simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
151150eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11
152149, 151breqtrd 4477 . . . . . . . . . 10
153 ioossioo 11628 . . . . . . . . . 10
154119, 123, 147, 152, 153syl22anc 1229 . . . . . . . . 9
155 resabs1 5308 . . . . . . . . 9
156154, 155syl 16 . . . . . . . 8
157156eqcomd 2475 . . . . . . 7
158115ancli 551 . . . . . . . . 9 ..^
159 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
160159anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
161 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14
162 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15
163162fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14
164161, 163oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . 13
165164reseq2d 5279 . . . . . . . . . . . 12
166164oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12
167165, 166eleq12d 2549 . . . . . . . . . . 11
168160, 167imbi12d 320 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
169 fourierdlem72.dvcn . . . . . . . . . . 11 ..^
170169a1i 11 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
171168, 170vtoclga 3182 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
172115, 158, 171sylc 60 . . . . . . . 8
173 rescncf 21269 . . . . . . . 8
174154, 172, 173sylc 60 . . . . . . 7
175157, 174eqeltrd 2555 . . . . . 6
176105, 175eqeltrd 2555 . . . . 5
1775, 7, 90, 91, 92, 176, 13, 31fourierdlem59 31789 . . . 4
17889, 177sseldd 3510 . . 3
179 iooretop 21141 . . . . . 6
180179a1i 11 . . . . 5
18152, 46, 92, 180fourierdlem58 31788 . . . 4
18289, 181sseldd 3510 . . 3
18364, 75, 83, 178, 182dvmulcncf 31578 . 2
18461, 183eqeltrd 2555 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2817  crab 2821  cvv 3118   wss 3481  cpr 4035   class class class wbr 4453   cmpt 4511   crn 5006   cres 5007  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cof 6533   cmap 7432  cc 9502  cr 9503  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509  cxr 9639   clt 9640   cle 9641   cmin 9817  cneg 9818   cdiv 10218  cn 10548  c2 10597  cioo 11541  cicc 11544  cfz 11684  ..^cfzo 11804  csin 13678  cpi 13681  ctopn 14694  ctg 14710  ℂfldccnfld 18290  cnt 19386  ccncf 21248   cdv 22135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-t1 19683  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139 This theorem is referenced by:  fourierdlem103  31833  fourierdlem104  31834
 Copyright terms: Public domain W3C validator