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Theorem fourierdlem72 31802
Description: The derivative of  O is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem72.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem72.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem72.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem72.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem72.v  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem72.dvcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) )
fourierdlem72.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem72.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem72.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem72.ab  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem72.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
fourierdlem72.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem72.q  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
fourierdlem72.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( 0..^ M ) )
fourierdlem72.abss  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( Q `  U ) (,) ( Q `  ( U  +  1 ) ) ) )
fourierdlem72.h  |-  H  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  s
) )
fourierdlem72.k  |-  K  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
fourierdlem72.o  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem72  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    i, F    F, s    H, s    K, s    i, M, m, p    U, i    i, V, p   
i, X, m, p    X, s    ph, i    ph, s
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    A( i, m, p)    B( i, m, p)    C( i, m, p)    P( i, m, s, p)    Q( i, m, s, p)    U( m, s, p)    F( m, p)    H( i, m, p)    K( i, m, p)    M( s)    O( i, m, s, p)    V( m, s)

Proof of Theorem fourierdlem72
StepHypRef Expression
1 fourierdlem72.o . . . . 5  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
) )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s ) ) ) )
3 ovex 6320 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  e. 
_V
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  _V )
5 fourierdlem72.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
65adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
7 fourierdlem72.xre . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
87adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
9 elioore 11571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
118, 10readdcld 9635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
126, 11ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
13 fourierdlem72.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1413adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
1512, 14resubcld 9999 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR )
16 ioossicc 11622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
17 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  ( A (,) B
) )
1816, 17sseldi 3507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
1918ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  s  =/=  0 )  -> 
s  e.  ( A [,] B ) )
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =/=  0  ->  s  =/=  0 )
2120necon1bi 2700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  s  =/=  0  -> 
s  =  0 )
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  0  ->  s  =  0 )
2322eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  0  ->  (
s  e.  ( A [,] B )  <->  0  e.  ( A [,] B ) ) )
2421, 23syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  s  =/=  0  -> 
( s  e.  ( A [,] B )  <->  0  e.  ( A [,] B ) ) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  s  =/=  0 )  -> 
( s  e.  ( A [,] B )  <->  0  e.  ( A [,] B ) ) )
2619, 25mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  s  =/=  0 )  -> 
0  e.  ( A [,] B ) )
27 fourierdlem72.n0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  s  =/=  0 )  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
2926, 28condan 792 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
3015, 10, 29redivcld 10384 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  s )  e.  RR )
31 fourierdlem72.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  s
) )
3230, 31fmptd 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : ( A (,) B ) --> RR )
3332ffvelrnda 6032 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( H `  s )  e.  RR )
34 2re 10617 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  RR )
3610rehalfcld 10797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
3736resincld 13756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
3835, 37remulcld 9636 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
39 2cn 10618 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  CC )
4110recnd 9634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
4241halfcld 10795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  CC )
4342sincld 13743 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
44 2ne0 10640 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
46 fourierdlem72.ab . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
4746sselda 3509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
48 fourierdlem44 31774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
4947, 29, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
5040, 43, 45, 49mulne0d 10213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
)
5110, 38, 50redivcld 10384 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  RR )
52 fourierdlem72.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
5351, 52fmptd 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K : ( A (,) B ) --> RR )
5453ffvelrnda 6032 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
5532feqmptd 5927 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( H `
 s ) ) )
5653feqmptd 5927 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( K `
 s ) ) )
574, 33, 54, 55, 56offval2 6551 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  oF  x.  K )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
) ) )
5857eqcomd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
) )  =  ( H  oF  x.  K ) )
59 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  oF  x.  K )  =  ( H  oF  x.  K ) )
602, 58, 593eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  O  =  ( H  oF  x.  K
) )
6160oveq2d 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( RR 
_D  ( H  oF  x.  K )
) )
62 reex 9595 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
6362prid1 4141 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6463a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
6512recnd 9634 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
6613recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6766adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  CC )
6865, 67subcld 9942 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
69 ioossre 11598 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  RR
7069a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
7170sselda 3509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
72 recn 9594 . . . . . 6  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
7371, 72syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
7468, 73, 29divcld 10332 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  s )  e.  CC )
7574, 31fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( A (,) B ) --> CC )
7673halfcld 10795 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  CC )
7776sincld 13743 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
7840, 77mulcld 9628 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
7940, 77, 50mulne0bad 10216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
8040, 77, 50mulne0bbd 10217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
8140, 77, 79, 80mulne0d 10213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
)
8273, 78, 81divcld 10332 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  CC )
8382, 52fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  K : ( A (,) B ) --> CC )
8472ssriv 3513 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
8584a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
86 ssid 3528 . . . . . 6  |-  CC  C_  CC
8786a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
88 cncfss 21271 . . . . 5  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> RR )  C_  (
( A (,) B
) -cn-> CC ) )
8985, 87, 88syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) 
C_  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
90 fourierdlem72.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
91 fourierdlem72.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
9229nelrdva 3318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
935, 85fssd 5746 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
94 ssid 3528 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR
9594a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  RR )
96 ioossre 11598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) )  C_  RR
9796a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
)  C_  RR )
98 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9998tgioo2 21176 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
10098, 99dvres 22183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  F : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) )
10185, 93, 95, 97, 100syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) )
102 ioontr 31436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  =  ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) )
103102reseq2i 5276 . . . . . . . 8  |-  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )
104103a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )
105101, 104eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )
106 fourierdlem72.v . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
107 fourierdlem72.m . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
108 fourierdlem72.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
109108fourierdlem2 31732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  ( V  e.  ( P `  M )  <->  ( V  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
110107, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ( P `  M )  <-> 
( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
111106, 110mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
112111simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  V  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
113 elmapi 7452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  V : ( 0 ... M ) --> RR )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  V : ( 0 ... M ) --> RR )
115 fourierdlem72.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  ( 0..^ M ) )
116 elfzofz 11823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  ( 0..^ M )  ->  U  e.  ( 0 ... M
) )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  ( 0 ... M ) )
118114, 117ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( V `  U
)  e.  RR )
119118rexrd 9655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( V `  U
)  e.  RR* )
120 fzofzp1 11889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  ( 0..^ M )  ->  ( U  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
121115, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
122114, 121ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( V `  ( U  +  1 ) )  e.  RR )
123122rexrd 9655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( V `  ( U  +  1 ) )  e.  RR* )
124 pire 22718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
126125renegcld 9998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
127 fourierdlem72.q . . . . . . . . . . . . 13  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
128126, 125, 7, 108, 107, 106, 117, 127fourierdlem13 31743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  U )  =  ( ( V `  U
)  -  X )  /\  ( V `  U )  =  ( X  +  ( Q `
 U ) ) ) )
129128simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( V `  U
)  =  ( X  +  ( Q `  U ) ) )
130128simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Q `  U
)  =  ( ( V `  U )  -  X ) )
131118, 7resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( V `  U )  -  X
)  e.  RR )
132130, 131eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  U
)  e.  RR )
133 fourierdlem72.abss . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( Q `  U ) (,) ( Q `  ( U  +  1 ) ) ) )
134132rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Q `  U
)  e.  RR* )
135126, 125, 7, 108, 107, 106, 121, 127fourierdlem13 31743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  ( U  +  1
) )  =  ( ( V `  ( U  +  1 ) )  -  X )  /\  ( V `  ( U  +  1
) )  =  ( X  +  ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) ) ) )
136135simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( U  +  1 ) )  =  ( ( V `  ( U  +  1 ) )  -  X ) )
137122, 7resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( V `  ( U  +  1
) )  -  X
)  e.  RR )
138136, 137eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( U  +  1 ) )  e.  RR )
139138rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( U  +  1 ) )  e.  RR* )
14090rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
14191rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
142 fourierdlem72.altb . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  <  B )
143134, 139, 140, 141, 142ioossioobi 31444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  C_  (
( Q `  U
) (,) ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) )  <-> 
( ( Q `  U )  <_  A  /\  B  <_  ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) ) ) )
144133, 143mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  U )  <_  A  /\  B  <_  ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) ) )
145144simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  U
)  <_  A )
146132, 90, 7, 145leadd2dd 10179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( Q `  U ) )  <_  ( X  +  A ) )
147129, 146eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( V `  U
)  <_  ( X  +  A ) )
148144simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  <_  ( Q `  ( U  +  1 ) ) )
14991, 138, 7, 148leadd2dd 10179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  <_  ( X  +  ( Q `  ( U  +  1
) ) ) )
150135simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( V `  ( U  +  1 ) )  =  ( X  +  ( Q `  ( U  +  1
) ) ) )
151150eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( Q `  ( U  +  1 ) ) )  =  ( V `
 ( U  + 
1 ) ) )
152149, 151breqtrd 4477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  <_  ( V `  ( U  +  1 ) ) )
153 ioossioo 11628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V `  U )  e.  RR*  /\  ( V `  ( U  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  ( ( V `  U )  <_  ( X  +  A )  /\  ( X  +  B
)  <_  ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) )  C_  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) )
154119, 123, 147, 152, 153syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
)  C_  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )
155 resabs1 5308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) 
C_  ( ( V `
 U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) )  ->  (
( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) ) )
156154, 155syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )
157156eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  =  ( ( ( RR  _D  F
)  |`  ( ( V `
 U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )
158115ancli 551 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  U  e.  ( 0..^ M ) ) )
159 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  U  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  <->  U  e.  ( 0..^ M ) ) )
160159anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  U  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  <->  ( ph  /\  U  e.  ( 0..^ M ) ) ) )
161 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  U  ->  ( V `  i )  =  ( V `  U ) )
162 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  U  ->  (
i  +  1 )  =  ( U  + 
1 ) )
163162fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  U  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  =  ( V `  ( U  +  1
) ) )
164161, 163oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  U  ->  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( V `
 U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )
165164reseq2d 5279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  U  ->  (
( RR  _D  F
)  |`  ( ( V `
 i ) (,) ( V `  (
i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) ) )
166164oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> RR )  =  ( ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) )
167165, 166eleq12d 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) )
-cn-> RR )  <->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) ) )
168160, 167imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) )
-cn-> RR ) )  <->  ( ( ph  /\  U  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) ) ) )
169 fourierdlem72.dvcn . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) )
170169a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) ) )
171168, 170vtoclga 3182 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  /\  U  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) ) )
172115, 158, 171sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) )
-cn-> RR ) )
173 rescncf 21269 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) 
C_  ( ( V `
 U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) )  ->  (
( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) )
-cn-> RR )  ->  (
( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) -cn-> RR ) ) )
174154, 172, 173sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) )
-cn-> RR ) )
175157, 174eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) )
-cn-> RR ) )
176105, 175eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) -cn-> RR ) )
1775, 7, 90, 91, 92, 176, 13, 31fourierdlem59 31789 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
17889, 177sseldd 3510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
179 iooretop 21141 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
180179a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
18152, 46, 92, 180fourierdlem58 31788 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
18289, 181sseldd 3510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
18364, 75, 83, 178, 182dvmulcncf 31578 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( H  oF  x.  K
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
18461, 183eqeltrd 2555 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   {cpr 4035   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   ran crn 5006    |` cres 5007   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533    ^m cmap 7432   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   -ucneg 9818    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804   sincsin 13678   picpi 13681   TopOpenctopn 14694   topGenctg 14710  ℂfldccnfld 18290   intcnt 19386   -cn->ccncf 21248    _D cdv 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-t1 19683  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  31833  fourierdlem104  31834
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