Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem72 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem72 37329
 Description: The derivative of is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem72.f
fourierdlem72.xre
fourierdlem72.p ..^
fourierdlem72.m
fourierdlem72.v
fourierdlem72.dvcn ..^
fourierdlem72.a
fourierdlem72.b
fourierdlem72.altb
fourierdlem72.ab
fourierdlem72.n0
fourierdlem72.c
fourierdlem72.q
fourierdlem72.u ..^
fourierdlem72.abss
fourierdlem72.h
fourierdlem72.k
fourierdlem72.o
Assertion
Ref Expression
fourierdlem72
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,   ,,   ,,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,)   (,,)   (,,)   ()   (,,,)   (,)

Proof of Theorem fourierdlem72
StepHypRef Expression
1 ovex 6306 . . . . . 6
21a1i 11 . . . . 5
3 fourierdlem72.f . . . . . . . . . . 11
43adantr 463 . . . . . . . . . 10
5 fourierdlem72.xre . . . . . . . . . . . 12
65adantr 463 . . . . . . . . . . 11
7 elioore 11612 . . . . . . . . . . . 12
87adantl 464 . . . . . . . . . . 11
96, 8readdcld 9653 . . . . . . . . . 10
104, 9ffvelrnd 6010 . . . . . . . . 9
11 fourierdlem72.c . . . . . . . . . 10
1211adantr 463 . . . . . . . . 9
1310, 12resubcld 10028 . . . . . . . 8
14 ioossicc 11664 . . . . . . . . . . . 12
1514sseli 3438 . . . . . . . . . . 11
1615ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10
17 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
1817necon1bi 2636 . . . . . . . . . . . 12
1918eleq1d 2471 . . . . . . . . . . 11
2019adantl 464 . . . . . . . . . 10
2116, 20mpbid 210 . . . . . . . . 9
22 fourierdlem72.n0 . . . . . . . . . 10
2322ad2antrr 724 . . . . . . . . 9
2421, 23condan 795 . . . . . . . 8
2513, 8, 24redivcld 10413 . . . . . . 7
26 fourierdlem72.h . . . . . . 7
2725, 26fmptd 6033 . . . . . 6
2827ffvelrnda 6009 . . . . 5
29 2re 10646 . . . . . . . . . 10
3029a1i 11 . . . . . . . . 9
318rehalfcld 10826 . . . . . . . . . 10
3231resincld 14087 . . . . . . . . 9
3330, 32remulcld 9654 . . . . . . . 8
34 2cnd 10649 . . . . . . . . 9
358recnd 9652 . . . . . . . . . . 11
3635halfcld 10824 . . . . . . . . . 10
3736sincld 14074 . . . . . . . . 9
38 2ne0 10669 . . . . . . . . . 10
3938a1i 11 . . . . . . . . 9
40 fourierdlem72.ab . . . . . . . . . . 11
4140sselda 3442 . . . . . . . . . 10
42 fourierdlem44 37301 . . . . . . . . . 10
4341, 24, 42syl2anc 659 . . . . . . . . 9
4434, 37, 39, 43mulne0d 10242 . . . . . . . 8
458, 33, 44redivcld 10413 . . . . . . 7
46 fourierdlem72.k . . . . . . 7
4745, 46fmptd 6033 . . . . . 6
4847ffvelrnda 6009 . . . . 5
4927feqmptd 5902 . . . . 5
5047feqmptd 5902 . . . . 5
512, 28, 48, 49, 50offval2 6538 . . . 4
52 fourierdlem72.o . . . 4
5351, 52syl6reqr 2462 . . 3
5453oveq2d 6294 . 2
55 reelprrecn 9614 . . . 4
5655a1i 11 . . 3
5710recnd 9652 . . . . . 6
5811recnd 9652 . . . . . . 7
5958adantr 463 . . . . . 6
6057, 59subcld 9967 . . . . 5
61 ioossre 11640 . . . . . . . 8
6261a1i 11 . . . . . . 7
6362sselda 3442 . . . . . 6
6463recnd 9652 . . . . 5
6560, 64, 24divcld 10361 . . . 4
6665, 26fmptd 6033 . . 3
6764halfcld 10824 . . . . . . 7
6867sincld 14074 . . . . . 6
6934, 68mulcld 9646 . . . . 5
7064, 69, 44divcld 10361 . . . 4
7170, 46fmptd 6033 . . 3
72 ax-resscn 9579 . . . . . 6
7372a1i 11 . . . . 5
74 ssid 3461 . . . . . 6
7574a1i 11 . . . . 5
76 cncfss 21695 . . . . 5
7773, 75, 76syl2anc 659 . . . 4
78 fourierdlem72.a . . . . 5
79 fourierdlem72.b . . . . 5
8024nelrdva 3259 . . . . 5
813, 73fssd 5723 . . . . . . . 8
82 ssid 3461 . . . . . . . . 9
8382a1i 11 . . . . . . . 8
84 ioossre 11640 . . . . . . . . 9
8584a1i 11 . . . . . . . 8
86 eqid 2402 . . . . . . . . 9 fld fld
8786tgioo2 21600 . . . . . . . . 9 fldt
8886, 87dvres 22607 . . . . . . . 8
8973, 81, 83, 85, 88syl22anc 1231 . . . . . . 7
90 ioontr 36917 . . . . . . . 8
9190reseq2i 5091 . . . . . . 7
9289, 91syl6eq 2459 . . . . . 6
93 fourierdlem72.v . . . . . . . . . . . . . . 15
94 fourierdlem72.m . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 fourierdlem72.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
9695fourierdlem2 37259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
9794, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
9893, 97mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
9998simpld 457 . . . . . . . . . . . . 13
100 elmapi 7478 . . . . . . . . . . . . 13
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12
102 fourierdlem72.u . . . . . . . . . . . . 13 ..^
103 elfzofz 11874 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12
105101, 104ffvelrnd 6010 . . . . . . . . . . 11
106105rexrd 9673 . . . . . . . . . 10
107 fzofzp1 11946 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
108102, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12
109101, 108ffvelrnd 6010 . . . . . . . . . . 11
110109rexrd 9673 . . . . . . . . . 10
111 pire 23143 . . . . . . . . . . . . . . 15
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
113112renegcld 10027 . . . . . . . . . . . . 13
114 fourierdlem72.q . . . . . . . . . . . . 13
115113, 112, 5, 95, 94, 93, 104, 114fourierdlem13 37270 . . . . . . . . . . . 12
116115simprd 461 . . . . . . . . . . 11
117115simpld 457 . . . . . . . . . . . . 13
118105, 5resubcld 10028 . . . . . . . . . . . . 13
119117, 118eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . 12
120113, 112, 5, 95, 94, 93, 108, 114fourierdlem13 37270 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121120simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
122109, 5resubcld 10028 . . . . . . . . . . . . . . 15
123121, 122eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . . . 14
124 fourierdlem72.altb . . . . . . . . . . . . . 14
125 fourierdlem72.abss . . . . . . . . . . . . . 14
126119, 123, 78, 79, 124, 125fourierdlem10 37267 . . . . . . . . . . . . 13
127126simpld 457 . . . . . . . . . . . 12
128119, 78, 5, 127leadd2dd 10207 . . . . . . . . . . 11
129116, 128eqbrtrd 4415 . . . . . . . . . 10
130126simprd 461 . . . . . . . . . . . 12
13179, 123, 5, 130leadd2dd 10207 . . . . . . . . . . 11
132120simprd 461 . . . . . . . . . . 11
133131, 132breqtrrd 4421 . . . . . . . . . 10
134 ioossioo 11670 . . . . . . . . . 10
135106, 110, 129, 133, 134syl22anc 1231 . . . . . . . . 9
136135resabs1d 5123 . . . . . . . 8
137136eqcomd 2410 . . . . . . 7
138102ancli 549 . . . . . . . . 9 ..^
139 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
140139anbi2d 702 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
141 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . 14
142 oveq1 6285 . . . . . . . . . . . . . . 15
143142fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . 14
144141, 143oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . . 13
145144reseq2d 5094 . . . . . . . . . . . 12
146144oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . 12
147145, 146eleq12d 2484 . . . . . . . . . . 11
148140, 147imbi12d 318 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
149 fourierdlem72.dvcn . . . . . . . . . 10 ..^
150148, 149vtoclg 3117 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
151102, 138, 150sylc 59 . . . . . . . 8
152 rescncf 21693 . . . . . . . 8
153135, 151, 152sylc 59 . . . . . . 7
154137, 153eqeltrd 2490 . . . . . 6
15592, 154eqeltrd 2490 . . . . 5
1563, 5, 78, 79, 80, 155, 11, 26fourierdlem59 37316 . . . 4
15777, 156sseldd 3443 . . 3
158 iooretop 21565 . . . . . 6
159158a1i 11 . . . . 5
16046, 40, 80, 159fourierdlem58 37315 . . . 4
16177, 160sseldd 3443 . . 3
16256, 66, 71, 157, 161dvmulcncf 37090 . 2
16354, 162eqeltrd 2490 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wral 2754  crab 2758  cvv 3059   wss 3414  cpr 3974   class class class wbr 4395   cmpt 4453   crn 4824   cres 4825  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278   cof 6519   cmap 7457  cc 9520  cr 9521  cc0 9522  c1 9523   caddc 9525   cmul 9527  cxr 9657   clt 9658   cle 9659   cmin 9841  cneg 9842   cdiv 10247  cn 10576  c2 10626  cioo 11582  cicc 11585  cfz 11726  ..^cfzo 11854  csin 14008  cpi 14011  ctopn 15036  ctg 15052  ℂfldccnfld 18740  cnt 19810  ccncf 21672   cdv 22559 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-t1 20108  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563 This theorem is referenced by:  fourierdlem103  37360  fourierdlem104  37361
 Copyright terms: Public domain W3C validator