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Theorem fourierdlem72 37329
Description: The derivative of  O is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem72.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem72.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem72.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem72.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem72.v  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem72.dvcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) )
fourierdlem72.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem72.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem72.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem72.ab  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem72.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
fourierdlem72.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem72.q  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
fourierdlem72.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( 0..^ M ) )
fourierdlem72.abss  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( Q `  U ) (,) ( Q `  ( U  +  1 ) ) ) )
fourierdlem72.h  |-  H  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  s
) )
fourierdlem72.k  |-  K  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
fourierdlem72.o  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem72  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    i, F    F, s    H, s    K, s    i, M, m, p    U, i    i, V, p   
i, X, m, p    X, s    ph, i    ph, s
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    A( i, m, p)    B( i, m, p)    C( i, m, p)    P( i, m, s, p)    Q( i, m, s, p)    U( m, s, p)    F( m, p)    H( i, m, p)    K( i, m, p)    M( s)    O( i, m, s, p)    V( m, s)

Proof of Theorem fourierdlem72
StepHypRef Expression
1 ovex 6306 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e. 
_V
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  _V )
3 fourierdlem72.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
43adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
5 fourierdlem72.xre . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
65adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
7 elioore 11612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
87adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
96, 8readdcld 9653 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
104, 9ffvelrnd 6010 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
11 fourierdlem72.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1211adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
1310, 12resubcld 10028 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR )
14 ioossicc 11664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
1514sseli 3438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
1615ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  s  =/=  0 )  -> 
s  e.  ( A [,] B ) )
17 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =/=  0  ->  s  =/=  0 )
1817necon1bi 2636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  s  =/=  0  -> 
s  =  0 )
1918eleq1d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  s  =/=  0  -> 
( s  e.  ( A [,] B )  <->  0  e.  ( A [,] B ) ) )
2019adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  s  =/=  0 )  -> 
( s  e.  ( A [,] B )  <->  0  e.  ( A [,] B ) ) )
2116, 20mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  s  =/=  0 )  -> 
0  e.  ( A [,] B ) )
22 fourierdlem72.n0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
2322ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  s  =/=  0 )  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
2421, 23condan 795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
2513, 8, 24redivcld 10413 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  s )  e.  RR )
26 fourierdlem72.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  s
) )
2725, 26fmptd 6033 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : ( A (,) B ) --> RR )
2827ffvelrnda 6009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( H `  s )  e.  RR )
29 2re 10646 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  RR )
318rehalfcld 10826 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
3231resincld 14087 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
3330, 32remulcld 9654 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
34 2cnd 10649 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  CC )
358recnd 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
3635halfcld 10824 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  CC )
3736sincld 14074 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
38 2ne0 10669 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
3938a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
40 fourierdlem72.ab . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
4140sselda 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
42 fourierdlem44 37301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
4341, 24, 42syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
4434, 37, 39, 43mulne0d 10242 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
)
458, 33, 44redivcld 10413 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  RR )
46 fourierdlem72.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
4745, 46fmptd 6033 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : ( A (,) B ) --> RR )
4847ffvelrnda 6009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
4927feqmptd 5902 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( H `
 s ) ) )
5047feqmptd 5902 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( K `
 s ) ) )
512, 28, 48, 49, 50offval2 6538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  oF  x.  K )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
) ) )
52 fourierdlem72.o . . . 4  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
) )
5351, 52syl6reqr 2462 . . 3  |-  ( ph  ->  O  =  ( H  oF  x.  K
) )
5453oveq2d 6294 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( RR 
_D  ( H  oF  x.  K )
) )
55 reelprrecn 9614 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
5655a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
5710recnd 9652 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
5811recnd 9652 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5958adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  CC )
6057, 59subcld 9967 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
61 ioossre 11640 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  RR
6261a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
6362sselda 3442 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
6463recnd 9652 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
6560, 64, 24divcld 10361 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  s )  e.  CC )
6665, 26fmptd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( A (,) B ) --> CC )
6764halfcld 10824 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  CC )
6867sincld 14074 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
6934, 68mulcld 9646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
7064, 69, 44divcld 10361 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  CC )
7170, 46fmptd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  K : ( A (,) B ) --> CC )
72 ax-resscn 9579 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
7372a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
74 ssid 3461 . . . . . 6  |-  CC  C_  CC
7574a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
76 cncfss 21695 . . . . 5  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> RR )  C_  (
( A (,) B
) -cn-> CC ) )
7773, 75, 76syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) 
C_  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
78 fourierdlem72.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
79 fourierdlem72.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
8024nelrdva 3259 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
813, 73fssd 5723 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
82 ssid 3461 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR
8382a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  RR )
84 ioossre 11640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) )  C_  RR
8584a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
)  C_  RR )
86 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
8786tgioo2 21600 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
8886, 87dvres 22607 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  F : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) )
8973, 81, 83, 85, 88syl22anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) )
90 ioontr 36917 . . . . . . . 8  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  =  ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) )
9190reseq2i 5091 . . . . . . 7  |-  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )
9289, 91syl6eq 2459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )
93 fourierdlem72.v . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
94 fourierdlem72.m . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
95 fourierdlem72.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
9695fourierdlem2 37259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  ( V  e.  ( P `  M )  <->  ( V  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
9794, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ( P `  M )  <-> 
( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
9893, 97mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
9998simpld 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  V  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
100 elmapi 7478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  V : ( 0 ... M ) --> RR )
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  V : ( 0 ... M ) --> RR )
102 fourierdlem72.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  ( 0..^ M ) )
103 elfzofz 11874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  ( 0..^ M )  ->  U  e.  ( 0 ... M
) )
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  ( 0 ... M ) )
105101, 104ffvelrnd 6010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( V `  U
)  e.  RR )
106105rexrd 9673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( V `  U
)  e.  RR* )
107 fzofzp1 11946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  ( 0..^ M )  ->  ( U  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
108102, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
109101, 108ffvelrnd 6010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( V `  ( U  +  1 ) )  e.  RR )
110109rexrd 9673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( V `  ( U  +  1 ) )  e.  RR* )
111 pire 23143 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
113112renegcld 10027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
114 fourierdlem72.q . . . . . . . . . . . . 13  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
115113, 112, 5, 95, 94, 93, 104, 114fourierdlem13 37270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  U )  =  ( ( V `  U
)  -  X )  /\  ( V `  U )  =  ( X  +  ( Q `
 U ) ) ) )
116115simprd 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( V `  U
)  =  ( X  +  ( Q `  U ) ) )
117115simpld 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Q `  U
)  =  ( ( V `  U )  -  X ) )
118105, 5resubcld 10028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( V `  U )  -  X
)  e.  RR )
119117, 118eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  U
)  e.  RR )
120113, 112, 5, 95, 94, 93, 108, 114fourierdlem13 37270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  ( U  +  1
) )  =  ( ( V `  ( U  +  1 ) )  -  X )  /\  ( V `  ( U  +  1
) )  =  ( X  +  ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) ) ) )
121120simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( U  +  1 ) )  =  ( ( V `  ( U  +  1 ) )  -  X ) )
122109, 5resubcld 10028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( V `  ( U  +  1
) )  -  X
)  e.  RR )
123121, 122eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( U  +  1 ) )  e.  RR )
124 fourierdlem72.altb . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <  B )
125 fourierdlem72.abss . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( Q `  U ) (,) ( Q `  ( U  +  1 ) ) ) )
126119, 123, 78, 79, 124, 125fourierdlem10 37267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  U )  <_  A  /\  B  <_  ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) ) )
127126simpld 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  U
)  <_  A )
128119, 78, 5, 127leadd2dd 10207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( Q `  U ) )  <_  ( X  +  A ) )
129116, 128eqbrtrd 4415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( V `  U
)  <_  ( X  +  A ) )
130126simprd 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  <_  ( Q `  ( U  +  1 ) ) )
13179, 123, 5, 130leadd2dd 10207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  <_  ( X  +  ( Q `  ( U  +  1
) ) ) )
132120simprd 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( V `  ( U  +  1 ) )  =  ( X  +  ( Q `  ( U  +  1
) ) ) )
133131, 132breqtrrd 4421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  <_  ( V `  ( U  +  1 ) ) )
134 ioossioo 11670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V `  U )  e.  RR*  /\  ( V `  ( U  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  ( ( V `  U )  <_  ( X  +  A )  /\  ( X  +  B
)  <_  ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) )  C_  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) )
135106, 110, 129, 133, 134syl22anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
)  C_  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )
136135resabs1d 5123 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )
137136eqcomd 2410 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  =  ( ( ( RR  _D  F
)  |`  ( ( V `
 U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )
138102ancli 549 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  U  e.  ( 0..^ M ) ) )
139 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  U  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  <->  U  e.  ( 0..^ M ) ) )
140139anbi2d 702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  U  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  <->  ( ph  /\  U  e.  ( 0..^ M ) ) ) )
141 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  U  ->  ( V `  i )  =  ( V `  U ) )
142 oveq1 6285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  U  ->  (
i  +  1 )  =  ( U  + 
1 ) )
143142fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  U  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  =  ( V `  ( U  +  1
) ) )
144141, 143oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  U  ->  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( V `
 U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )
145144reseq2d 5094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  U  ->  (
( RR  _D  F
)  |`  ( ( V `
 i ) (,) ( V `  (
i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) ) )
146144oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> RR )  =  ( ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) )
147145, 146eleq12d 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) )
-cn-> RR )  <->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) ) )
148140, 147imbi12d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) )
-cn-> RR ) )  <->  ( ( ph  /\  U  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) ) ) )
149 fourierdlem72.dvcn . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) )
150148, 149vtoclg 3117 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  /\  U  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) ) )
151102, 138, 150sylc 59 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) )
-cn-> RR ) )
152 rescncf 21693 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) 
C_  ( ( V `
 U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) )  ->  (
( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) )
-cn-> RR )  ->  (
( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) -cn-> RR ) ) )
153135, 151, 152sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) )
-cn-> RR ) )
154137, 153eqeltrd 2490 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) )
-cn-> RR ) )
15592, 154eqeltrd 2490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) -cn-> RR ) )
1563, 5, 78, 79, 80, 155, 11, 26fourierdlem59 37316 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
15777, 156sseldd 3443 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
158 iooretop 21565 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
159158a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
16046, 40, 80, 159fourierdlem58 37315 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
16177, 160sseldd 3443 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
16256, 66, 71, 157, 161dvmulcncf 37090 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( H  oF  x.  K
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
16354, 162eqeltrd 2490 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   {crab 2758   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   {cpr 3974   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ran crn 4824    |` cres 4825   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    oFcof 6519    ^m cmap 7457   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659    - cmin 9841   -ucneg 9842    / cdiv 10247   NNcn 10576   2c2 10626   (,)cioo 11582   [,]cicc 11585   ...cfz 11726  ..^cfzo 11854   sincsin 14008   picpi 14011   TopOpenctopn 15036   topGenctg 15052  ℂfldccnfld 18740   intcnt 19810   -cn->ccncf 21672    _D cdv 22559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-t1 20108  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  37360  fourierdlem104  37361
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