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Theorem fourierdlem72 31846
Description: The derivative of  O is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem72.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem72.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem72.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem72.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem72.v  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem72.dvcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) )
fourierdlem72.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem72.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem72.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem72.ab  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem72.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
fourierdlem72.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem72.q  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
fourierdlem72.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( 0..^ M ) )
fourierdlem72.abss  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( Q `  U ) (,) ( Q `  ( U  +  1 ) ) ) )
fourierdlem72.h  |-  H  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  s
) )
fourierdlem72.k  |-  K  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
fourierdlem72.o  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem72  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    i, F    F, s    H, s    K, s    i, M, m, p    U, i    i, V, p   
i, X, m, p    X, s    ph, i    ph, s
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    A( i, m, p)    B( i, m, p)    C( i, m, p)    P( i, m, s, p)    Q( i, m, s, p)    U( m, s, p)    F( m, p)    H( i, m, p)    K( i, m, p)    M( s)    O( i, m, s, p)    V( m, s)

Proof of Theorem fourierdlem72
StepHypRef Expression
1 ovex 6305 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e. 
_V
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  _V )
3 fourierdlem72.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
43adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
5 fourierdlem72.xre . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
65adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
7 elioore 11563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
87adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
96, 8readdcld 9621 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
104, 9ffvelrnd 6013 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
11 fourierdlem72.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1211adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
1310, 12resubcld 9988 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR )
14 ioossicc 11614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
1514sseli 3482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  s  =/=  0 )  -> 
s  e.  ( A [,] B ) )
17 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =/=  0  ->  s  =/=  0 )
1817necon1bi 2674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  s  =/=  0  -> 
s  =  0 )
1918eleq1d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  s  =/=  0  -> 
( s  e.  ( A [,] B )  <->  0  e.  ( A [,] B ) ) )
2019adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  s  =/=  0 )  -> 
( s  e.  ( A [,] B )  <->  0  e.  ( A [,] B ) ) )
2116, 20mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  s  =/=  0 )  -> 
0  e.  ( A [,] B ) )
22 fourierdlem72.n0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  -.  s  =/=  0 )  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
2421, 23condan 792 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
2513, 8, 24redivcld 10373 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  s )  e.  RR )
26 fourierdlem72.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  s
) )
2725, 26fmptd 6036 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : ( A (,) B ) --> RR )
2827ffvelrnda 6012 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( H `  s )  e.  RR )
29 2re 10606 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  RR )
318rehalfcld 10786 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
3231resincld 13750 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
3330, 32remulcld 9622 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
34 2cnd 10609 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  CC )
358recnd 9620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
3635halfcld 10784 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  CC )
3736sincld 13737 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
38 2ne0 10629 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
3938a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
40 fourierdlem72.ab . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
4140sselda 3486 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
42 fourierdlem44 31818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
4341, 24, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
4434, 37, 39, 43mulne0d 10202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
)
458, 33, 44redivcld 10373 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  RR )
46 fourierdlem72.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
4745, 46fmptd 6036 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : ( A (,) B ) --> RR )
4847ffvelrnda 6012 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
4927feqmptd 5907 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( H `
 s ) ) )
5047feqmptd 5907 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( K `
 s ) ) )
512, 28, 48, 49, 50offval2 6537 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  oF  x.  K )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
) ) )
52 fourierdlem72.o . . . 4  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
) )
5351, 52syl6reqr 2501 . . 3  |-  ( ph  ->  O  =  ( H  oF  x.  K
) )
5453oveq2d 6293 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( RR 
_D  ( H  oF  x.  K )
) )
55 reelprrecn 9582 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
5655a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
5710recnd 9620 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
5811recnd 9620 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5958adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  CC )
6057, 59subcld 9931 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
61 ioossre 11590 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  RR
6261a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
6362sselda 3486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
6463recnd 9620 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
6560, 64, 24divcld 10321 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  s )  e.  CC )
6665, 26fmptd 6036 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( A (,) B ) --> CC )
6764halfcld 10784 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  CC )
6867sincld 13737 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
6934, 68mulcld 9614 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
7064, 69, 44divcld 10321 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  CC )
7170, 46fmptd 6036 . . 3  |-  ( ph  ->  K : ( A (,) B ) --> CC )
72 ax-resscn 9547 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
7372a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
74 ssid 3505 . . . . . 6  |-  CC  C_  CC
7574a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
76 cncfss 21269 . . . . 5  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> RR )  C_  (
( A (,) B
) -cn-> CC ) )
7773, 75, 76syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) 
C_  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
78 fourierdlem72.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
79 fourierdlem72.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
8024nelrdva 3293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
813, 73fssd 5726 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
82 ssid 3505 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR
8382a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  RR )
84 ioossre 11590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) )  C_  RR
8584a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
)  C_  RR )
86 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
8786tgioo2 21174 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
8886, 87dvres 22181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  F : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) )
8973, 81, 83, 85, 88syl22anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) )
90 ioontr 31481 . . . . . . . 8  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  =  ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) )
9190reseq2i 5256 . . . . . . 7  |-  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )
9289, 91syl6eq 2498 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  =  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )
93 fourierdlem72.v . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
94 fourierdlem72.m . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
95 fourierdlem72.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
9695fourierdlem2 31776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  ( V  e.  ( P `  M )  <->  ( V  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
9794, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ( P `  M )  <-> 
( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
9893, 97mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
9998simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  V  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
100 elmapi 7438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  V : ( 0 ... M ) --> RR )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  V : ( 0 ... M ) --> RR )
102 fourierdlem72.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  ( 0..^ M ) )
103 elfzofz 11817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  ( 0..^ M )  ->  U  e.  ( 0 ... M
) )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  ( 0 ... M ) )
105101, 104ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( V `  U
)  e.  RR )
106105rexrd 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( V `  U
)  e.  RR* )
107 fzofzp1 11883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  ( 0..^ M )  ->  ( U  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
108102, 107syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
109101, 108ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( V `  ( U  +  1 ) )  e.  RR )
110109rexrd 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( V `  ( U  +  1 ) )  e.  RR* )
111 pire 22716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
113112renegcld 9987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
114 fourierdlem72.q . . . . . . . . . . . . 13  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
115113, 112, 5, 95, 94, 93, 104, 114fourierdlem13 31787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  U )  =  ( ( V `  U
)  -  X )  /\  ( V `  U )  =  ( X  +  ( Q `
 U ) ) ) )
116115simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( V `  U
)  =  ( X  +  ( Q `  U ) ) )
117115simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Q `  U
)  =  ( ( V `  U )  -  X ) )
118105, 5resubcld 9988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( V `  U )  -  X
)  e.  RR )
119117, 118eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  U
)  e.  RR )
120113, 112, 5, 95, 94, 93, 108, 114fourierdlem13 31787 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  ( U  +  1
) )  =  ( ( V `  ( U  +  1 ) )  -  X )  /\  ( V `  ( U  +  1
) )  =  ( X  +  ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) ) ) )
121120simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( U  +  1 ) )  =  ( ( V `  ( U  +  1 ) )  -  X ) )
122109, 5resubcld 9988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( V `  ( U  +  1
) )  -  X
)  e.  RR )
123121, 122eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( U  +  1 ) )  e.  RR )
124 fourierdlem72.altb . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <  B )
125 fourierdlem72.abss . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( Q `  U ) (,) ( Q `  ( U  +  1 ) ) ) )
126119, 123, 78, 79, 124, 125fourierdlem10 31784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  U )  <_  A  /\  B  <_  ( Q `
 ( U  + 
1 ) ) ) )
127126simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  U
)  <_  A )
128119, 78, 5, 127leadd2dd 10168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( Q `  U ) )  <_  ( X  +  A ) )
129116, 128eqbrtrd 4453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( V `  U
)  <_  ( X  +  A ) )
130126simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  <_  ( Q `  ( U  +  1 ) ) )
13179, 123, 5, 130leadd2dd 10168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  <_  ( X  +  ( Q `  ( U  +  1
) ) ) )
132120simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( V `  ( U  +  1 ) )  =  ( X  +  ( Q `  ( U  +  1
) ) ) )
133131, 132breqtrrd 4459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  <_  ( V `  ( U  +  1 ) ) )
134 ioossioo 11620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V `  U )  e.  RR*  /\  ( V `  ( U  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  ( ( V `  U )  <_  ( X  +  A )  /\  ( X  +  B
)  <_  ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) )  C_  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) )
135106, 110, 129, 133, 134syl22anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
)  C_  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )
136135resabs1d 5289 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )
137136eqcomd 2449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  =  ( ( ( RR  _D  F
)  |`  ( ( V `
 U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )
138102ancli 551 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  U  e.  ( 0..^ M ) ) )
139 eleq1 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  U  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  <->  U  e.  ( 0..^ M ) ) )
140139anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  U  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  <->  ( ph  /\  U  e.  ( 0..^ M ) ) ) )
141 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  U  ->  ( V `  i )  =  ( V `  U ) )
142 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  U  ->  (
i  +  1 )  =  ( U  + 
1 ) )
143142fveq2d 5856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  U  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  =  ( V `  ( U  +  1
) ) )
144141, 143oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  U  ->  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( V `
 U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )
145144reseq2d 5259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  U  ->  (
( RR  _D  F
)  |`  ( ( V `
 i ) (,) ( V `  (
i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) ) )
146144oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> RR )  =  ( ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) )
147145, 146eleq12d 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) )
-cn-> RR )  <->  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) ) )
148140, 147imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  U  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) )
-cn-> RR ) )  <->  ( ( ph  /\  U  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) ) ) )
149 fourierdlem72.dvcn . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) )
150148, 149vtoclg 3151 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  /\  U  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) ) )
151102, 138, 150sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) )
-cn-> RR ) )
152 rescncf 21267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) 
C_  ( ( V `
 U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) )  ->  (
( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) )
-cn-> RR )  ->  (
( ( RR  _D  F )  |`  (
( V `  U
) (,) ( V `
 ( U  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) -cn-> RR ) ) )
153135, 151, 152sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( V `  U ) (,) ( V `  ( U  +  1 ) ) ) )  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) )
-cn-> RR ) )
154137, 153eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F )  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) )
-cn-> RR ) )
15592, 154eqeltrd 2529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) -cn-> RR ) )
1563, 5, 78, 79, 80, 155, 11, 26fourierdlem59 31833 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
15777, 156sseldd 3487 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
158 iooretop 21139 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
159158a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
16046, 40, 80, 159fourierdlem58 31832 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
16177, 160sseldd 3487 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
16256, 66, 71, 157, 161dvmulcncf 31622 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( H  oF  x.  K
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
16354, 162eqeltrd 2529 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   {crab 2795   _Vcvv 3093    C_ wss 3458   {cpr 4012   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   ran crn 4986    |` cres 4987   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277    oFcof 6519    ^m cmap 7418   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9805   -ucneg 9806    / cdiv 10207   NNcn 10537   2c2 10586   (,)cioo 11533   [,]cicc 11536   ...cfz 11676  ..^cfzo 11798   sincsin 13672   picpi 13675   TopOpenctopn 14691   topGenctg 14707  ℂfldccnfld 18288   intcnt 19384   -cn->ccncf 21246    _D cdv 22133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ioc 11538  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-shft 12874  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-limsup 13268  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-ef 13676  df-sin 13678  df-cos 13679  df-pi 13681  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-t1 19681  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  31877  fourierdlem104  31878
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