Theorem fourierdlem71 32199

Description: A periodic piecewise continuous function, possibly undefined on a finite set in each periodic interval, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem71.dmf	|- ( ph -> dom F C_ RR )
fourierdlem71.f	|- ( ph -> F : dom F --> RR )
fourierdlem71.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem71.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem71.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem71.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem71.7	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem71.q	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem71.q0	|- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
fourierdlem71.10	|- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
fourierdlem71.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem71.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
fourierdlem71.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem71.xpt	|- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. dom F )
fourierdlem71.fxpt	|- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem71.i	|- I = ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem71.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem71	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. dom F ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )

Distinct variable groups:   x, A, y   B, k, x   y, B   i, F, x, k   y, F   i, I, x   y, I   x, L   i, M, x, k   Q, i, x, k   y, Q   x, R   T, k, x   y, T   ph, i, x, k   ph, y

Allowed substitution hints:   A( i, k)   B( i)   R( y, i, k)   T( i)   E( x, y, i, k)   I( k)   L( y, i, k)   M( y)

Proof of Theorem fourierdlem71

Dummy variables w b t j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prfi 7787	. . . 4 |- { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } e. Fin
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } e. Fin )
3		fourierdlem71.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : dom F --> RR )
4	3	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> F : dom F --> RR )
5		simpl 455	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> ph )
6		simpr 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } )
7		fourierdlem71.q	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
8		ovex 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 ... M ) e. _V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. _V )
10		fex 6120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR /\ ( 0 ... M ) e. _V ) -> Q e. _V )
11	7, 9, 10	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. _V )
12		rnexg 6705	. . . . . . . . . . 11 |- ( Q e. _V -> ran Q e. _V )
13		inex1g 4580	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran Q e. _V -> ( ran Q i^i dom F ) e. _V )
14	11, 12, 13	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ran Q i^i dom F ) e. _V )
15	14	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> ( ran Q i^i dom F ) e. _V )
16		fourierdlem71.i	. . . . . . . . . . . . . 14 |- I = ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
17		ovex 6298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0..^ M ) e. _V
18	17	mptex 6118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. _V
19	16, 18	eqeltri 2538	. . . . . . . . . . . . 13 |- I e. _V
20	19	rnex 6707	. . . . . . . . . . . 12 |- ran I e. _V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran I e. _V )
22		uniexg 6570	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran I e. _V -> U. ran I e. _V )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. ran I e. _V )
24	23	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> U. ran I e. _V )
25		uniprg 4249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ran Q i^i dom F ) e. _V /\ U. ran I e. _V ) -> U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } = ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
26	15, 24, 25	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } = ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
27	6, 26	eleqtrd 2544	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
28		elinel2 31663	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ran Q i^i dom F ) -> x e. dom F )
29	28	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) ) /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> x e. dom F )
30		simpll 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) ) /\ -. x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> ph )
31		elunnel1 31654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) /\ -. x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> x e. U. ran I )
32	31	adantll 711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) ) /\ -. x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> x e. U. ran I )
33	16	funmpt2 5607	. . . . . . . . . . . . 13 |- Fun I
34		elunirn 6138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun I -> ( x e. U. ran I <-> E. i e. dom I x e. ( I ` i ) ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U. ran I <-> E. i e. dom I x e. ( I ` i ) )
36	35	biimpi 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U. ran I -> E. i e. dom I x e. ( I ` i ) )
37	36	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> E. i e. dom I x e. ( I ` i ) )
38		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. dom I -> i e. dom I )
39		ovex 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. _V
40	39, 16	dmmpti 5692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom I = ( 0..^ M )
41	38, 40	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. dom I -> i e. ( 0..^ M ) )
42	41	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> i e. ( 0..^ M ) )
43	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. _V )
44	16	fvmpt2 5939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. _V ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
45	42, 43, 44	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
46		fourierdlem71.fcn	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
47		cncff 21563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
48		fdm 5717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC -> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
49	46, 47, 48	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
50	41, 49	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
51		ssdmres 5283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom F <-> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
52	50, 51	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom F )
53	45, 52	eqsstrd 3523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( I ` i ) C_ dom F )
54	53	3adant3 1014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) -> ( I ` i ) C_ dom F )
55		simp3 996	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) -> x e. ( I ` i ) )
56	54, 55	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) -> x e. dom F )
57	56	3exp 1193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( i e. dom I -> ( x e. ( I ` i ) -> x e. dom F ) ) )
58	57	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> ( i e. dom I -> ( x e. ( I ` i ) -> x e. dom F ) ) )
59	58	rexlimdv 2944	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> ( E. i e. dom I x e. ( I ` i ) -> x e. dom F ) )
60	37, 59	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> x e. dom F )
61	30, 32, 60	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) ) /\ -. x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> x e. dom F )
62	29, 61	pm2.61dan 789	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) ) -> x e. dom F )
63	5, 27, 62	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> x e. dom F )
64	4, 63	ffvelrnd 6008	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> ( F ` x ) e. RR )
65	64	recnd 9611	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> ( F ` x ) e. CC )
66	65	abscld 13349	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
67		simpr 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> w = ( ran Q i^i dom F ) )
68		fzfid 12065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
69		rnffi 31692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR /\ ( 0 ... M ) e. Fin ) -> ran Q e. Fin )
70	7, 68, 69	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran Q e. Fin )
71		infi 7736	. . . . . . . . 9 |- ( ran Q e. Fin -> ( ran Q i^i dom F ) e. Fin )
72	70, 71	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ran Q i^i dom F ) e. Fin )
73	72	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> ( ran Q i^i dom F ) e. Fin )
74	67, 73	eqeltrd 2542	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> w e. Fin )
75		simpll 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) /\ x e. w ) -> ph )
76		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = ( ran Q i^i dom F ) /\ x e. w ) -> x e. w )
77		simpl 455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = ( ran Q i^i dom F ) /\ x e. w ) -> w = ( ran Q i^i dom F ) )
78	76, 77	eleqtrd 2544	. . . . . . . . 9 |- ( ( w = ( ran Q i^i dom F ) /\ x e. w ) -> x e. ( ran Q i^i dom F ) )
79	78	adantll 711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) /\ x e. w ) -> x e. ( ran Q i^i dom F ) )
80	3	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> F : dom F --> RR )
81	28	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> x e. dom F )
82	80, 81	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
83	82	recnd 9611	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
84	83	abscld 13349	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
85	75, 79, 84	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) /\ x e. w ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
86	85	ralrimiva 2868	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
87		fimaxre3 10487	. . . . . 6 |- ( ( w e. Fin /\ A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
88	74, 86, 87	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
89	88	adantlr 712	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
90		simpll 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) /\ -. w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> ph )
91		neqne 31674	. . . . . . 7 |- ( -. w = ( ran Q i^i dom F ) -> w =/= ( ran Q i^i dom F ) )
92		elprn1 31878	. . . . . . 7 |- ( ( w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } /\ w =/= ( ran Q i^i dom F ) ) -> w = U. ran I )
93	91, 92	sylan2 472	. . . . . 6 |- ( ( w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } /\ -. w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> w = U. ran I )
94	93	adantll 711	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) /\ -. w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> w = U. ran I )
95		fzofi 12066	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) e. Fin
96	16	rnmptfi 31687	. . . . . . . 8 |- ( ( 0..^ M ) e. Fin -> ran I e. Fin )
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ran I e. Fin
98	97	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = U. ran I ) -> ran I e. Fin )
99	3	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> F : dom F --> RR )
100	99, 60	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> ( F ` x ) e. RR )
101	100	recnd 9611	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> ( F ` x ) e. CC )
102	101	adantlr 712	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ x e. U. ran I ) -> ( F ` x ) e. CC )
103	102	abscld 13349	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ x e. U. ran I ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
104	39, 16	fnmpti 5691	. . . . . . . . . . 11 |- I Fn ( 0..^ M )
105		fvelrnb 5895	. . . . . . . . . . 11 |- ( I Fn ( 0..^ M ) -> ( t e. ran I <-> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t ) )
106	104, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ran I <-> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t )
107	106	biimpi 194	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ran I -> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t )
108	107	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t )
109	7	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
110		elfzofz 11819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
111	110	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
112	109, 111	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
113		fzofzp1 11890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
114	113	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
115	109, 114	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
116		fourierdlem71.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
117		fourierdlem71.r	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
118	112, 115, 46, 116, 117	cncfioobd 31939	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b )
119	118	3adant3 1014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b )
120		fvres 5862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
121	120	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) = ( abs ` ( F ` x ) ) )
122	121	breq1d 4449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
123	122	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
124	123	ralbidva 2890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
125	124	rexbidv 2965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
126	125	3adant3 1014	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
127	39, 44	mpan2 669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
128		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I ` i ) = t -> ( I ` i ) = t )
129	127, 128	sylan9req 2516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = t )
130	129	3adant1 1012	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = t )
131	130	raleqdv 3057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b <-> A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
132	131	rexbidv 2965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
133	126, 132	bitrd 253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
134	119, 133	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )
135	134	3exp 1193	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( i e. ( 0..^ M ) -> ( ( I ` i ) = t -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) ) )
136	135	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> ( i e. ( 0..^ M ) -> ( ( I ` i ) = t -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) ) )
137	136	rexlimdv 2944	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> ( E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
138	108, 137	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )
139	138	adantlr 712	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ t e. ran I ) -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )
140		eqimss 3541	. . . . . . 7 |- ( w = U. ran I -> w C_ U. ran I )
141	140	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = U. ran I ) -> w C_ U. ran I )
142	98, 103, 139, 141	ssfiunibd 31748	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = U. ran I ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
143	90, 94, 142	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) /\ -. w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
144	89, 143	pm2.61dan 789	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
145		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ x e. ran Q ) -> x e. ran Q )
146		elinel2 31663	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) -> x e. dom F )
147	146	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ x e. ran Q ) -> x e. dom F )
148	145, 147	elind 3674	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ x e. ran Q ) -> x e. ( ran Q i^i dom F ) )
149		elun1 3657	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ran Q i^i dom F ) -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
150	148, 149	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ x e. ran Q ) -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
151		fourierdlem71.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
152	151	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> M e. NN )
153	7	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
154		elinel1 31664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) -> x e. ( A [,] B ) )
155	154	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
156		fourierdlem71.q0	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
157	156	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A = ( Q ` 0 ) )
158	157	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> A = ( Q ` 0 ) )
159		fourierdlem71.10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
160	159	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B = ( Q ` M ) )
161	160	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> B = ( Q ` M ) )
162	158, 161	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> ( A [,] B ) = ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
163	155, 162	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> x e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
164	163	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> x e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
165		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> -. x e. ran Q )
166		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( Q ` k ) = ( Q ` j ) )
167	166	breq1d 4449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( Q ` k ) < x <-> ( Q ` j ) < x ) )
168	167	cbvrabv 3105	. . . . . . . . . . . 12 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < x } = { j e. ( 0..^ M ) | ( Q ` j ) < x }
169	168	supeq1i 7898	. . . . . . . . . . 11 |- sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < x } , RR , < ) = sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( Q ` j ) < x } , RR , < )
170	152, 153, 164, 165, 169	fourierdlem25 32153	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> E. i e. ( 0..^ M ) x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
171	41	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
172		simprr 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) ) -> x e. ( I ` i ) )
173	171, 127	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
174	172, 173	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) ) -> x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
175	171, 174	jca 530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) ) -> ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
176		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0..^ M ) )
177	176, 40	syl6eleqr 2553	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. dom I )
178	177	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) -> i e. dom I )
179		simprr 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) -> x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
180	127	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( I ` i ) )
181	180	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( I ` i ) )
182	179, 181	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) -> x e. ( I ` i ) )
183	178, 182	jca 530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) -> ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) )
184	175, 183	impbida 830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) <-> ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
185	184	rexbidv2 2961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. i e. dom I x e. ( I ` i ) <-> E. i e. ( 0..^ M ) x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
186	185	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> ( E. i e. dom I x e. ( I ` i ) <-> E. i e. ( 0..^ M ) x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
187	170, 186	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> E. i e. dom I x e. ( I ` i ) )
188	187, 35	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> x e. U. ran I )
189		elun2 3658	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. ran I -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
190	188, 189	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
191	150, 190	pm2.61dan 789	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
192	191	ralrimiva 2868	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
193		dfss3 3479	. . . . 5 |- ( ( ( A [,] B ) i^i dom F ) C_ ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) <-> A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
194	192, 193	sylibr 212	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) i^i dom F ) C_ ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
195	14, 23, 25	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ph -> U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } = ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
196	194, 195	sseqtr4d 3526	. . 3 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) i^i dom F ) C_ U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } )
197	2, 66, 144, 196	ssfiunibd 31748	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
198		nfv 1712	. . . . . 6 |- F/ x ph
199		nfra1 2835	. . . . . 6 |- F/ x A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y
200	198, 199	nfan 1933	. . . . 5 |- F/ x ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
201		fourierdlem71.dmf	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom F C_ RR )
202	201	sselda 3489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> x e. RR )
203		fourierdlem71.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. RR )
204	203	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> B e. RR )
205	204, 202	resubcld 9983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( B - x ) e. RR )
206		fourierdlem71.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- T = ( B - A )
207		fourierdlem71.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. RR )
208	203, 207	resubcld 9983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
209	206, 208	syl5eqel 2546	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T e. RR )
210	209	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> T e. RR )
211		fourierdlem71.altb	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A < B )
212	207, 203	posdifd 10135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
213	211, 212	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
214	213, 206	syl6breqr 4479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 < T )
215	214	gt0ne0d 10113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T =/= 0 )
216	215	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> T =/= 0 )
217	205, 210, 216	redivcld 10368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( ( B - x ) / T ) e. RR )
218	217	flcld 11916	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ )
219	218	zred 10965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. RR )
220	219, 210	remulcld 9613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) e. RR )
221	202, 220	readdcld 9612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
222		fourierdlem71.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
223	222	fvmpt2 5939	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. RR ) -> ( E ` x ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
224	202, 221, 223	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
225	224	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( F ` ( E ` x ) ) = ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
226		fvex 5858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. _V
227		eleq1 2526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( k e. ZZ <-> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) )
228	227	anbi2d 701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) <-> ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) ) )
229		oveq1 6277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( k x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) )
230	229	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( x + ( k x. T ) ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
231	230	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
232	231	eqeq1d 2456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) <-> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) )
233	228, 232	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) <-> ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) ) )
234		fourierdlem71.fxpt	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
235	226, 233, 234	vtocl 3158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
236	218, 235	mpdan 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
237	225, 236	eqtr2d 2496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( E ` x ) ) )
238	237	fveq2d 5852	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) )
239	238	adantlr 712	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) /\ x e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) )
240		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
241	240	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( F ` w ) ) )
242	241	breq1d 4449	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y <-> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y ) )
243	242	cbvralv 3081	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y <-> A. w e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y )
244	243	biimpi 194	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y -> A. w e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y )
245	244	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) /\ x e. dom F ) -> A. w e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y )
246		iocssicc 11615	. . . . . . . . . . 11 |- ( A (,] B ) C_ ( A [,] B )
247	207	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> A e. RR )
248	211	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> A < B )
249		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> x = y )
250		oveq2 6278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( B - x ) = ( B - y ) )
251	250	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - y ) / T ) )
252	251	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - y ) / T ) ) )
253	252	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - y ) / T ) ) x. T ) )
254	249, 253	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( y + ( ( |_ ` ( ( B - y ) / T ) ) x. T ) ) )
255	254	cbvmptv 4530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( y e. RR |-> ( y + ( ( |_ ` ( ( B - y ) / T ) ) x. T ) ) )
256	222, 255	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( y e. RR |-> ( y + ( ( |_ ` ( ( B - y ) / T ) ) x. T ) ) )
257	247, 204, 248, 206, 256	fourierdlem4 32132	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> E : RR --> ( A (,] B ) )
258	257, 202	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) e. ( A (,] B ) )
259	246, 258	sseldi 3487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) e. ( A [,] B ) )
260	230	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. dom F <-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. dom F ) )
261	228, 260	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. dom F ) <-> ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. dom F ) ) )
262		fourierdlem71.xpt	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. dom F )
263	226, 261, 262	vtocl 3158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. dom F )
264	218, 263	mpdan 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. dom F )
265	224, 264	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) e. dom F )
266	259, 265	elind 3674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) )
267	266	adantlr 712	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) )
268		fveq2 5848	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( E ` x ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( E ` x ) ) )
269	268	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( E ` x ) -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) )
270	269	breq1d 4449	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( E ` x ) -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y <-> ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) <_ y ) )
271	270	rspccva 3206	. . . . . . . 8 |- ( ( A. w e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y /\ ( E ` x ) e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) <_ y )
272	245, 267, 271	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) /\ x e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) <_ y )
273	239, 272	eqbrtrd 4459	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) /\ x e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
274	273	ex 432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) -> ( x e. dom F -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
275	200, 274	ralrimi 2854	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) -> A. x e. dom F ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
276	275	ex 432	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y -> A. x e. dom F ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
277	276	reximdv 2928	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y -> E. y e. RR A. x e. dom F ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
278	197, 277	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. dom F ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   {cpr 4018   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ran crn 4989   |` cres 4990   Fun wfun 5564   Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   supcsup 7892   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   / cdiv 10202   NNcn 10531   ZZcz 10860   (,)cioo 11532   (,]cioc 11533   [,]cicc 11535   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   |_cfl 11908   abscabs 13149   -cn->ccncf 21546   lim CC climc 22432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436

This theorem is referenced by:  fourierdlem94  32222  fourierdlem113  32241