Theorem fourierdlem71 38153

Description: A periodic piecewise continuous function, possibly undefined on a finite set in each periodic interval, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem71.dmf	|- ( ph -> dom F C_ RR )
fourierdlem71.f	|- ( ph -> F : dom F --> RR )
fourierdlem71.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem71.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem71.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem71.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem71.7	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem71.q	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem71.q0	|- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
fourierdlem71.10	|- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
fourierdlem71.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem71.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
fourierdlem71.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem71.xpt	|- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. dom F )
fourierdlem71.fxpt	|- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem71.i	|- I = ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem71.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem71	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. dom F ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )

Distinct variable groups:   x, A, y   B, k, x   y, B   i, F, x, k   y, F   i, I, x   y, I   x, L   i, M, x, k   Q, i, x, k   y, Q   x, R   T, k, x   y, T   ph, i, x, k   ph, y

Allowed substitution hints:   A( i, k)   B( i)   R( y, i, k)   T( i)   E( x, y, i, k)   I( k)   L( y, i, k)   M( y)

Proof of Theorem fourierdlem71

Dummy variables w b t j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prfi 7864	. . . 4 |- { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } e. Fin
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } e. Fin )
3		fourierdlem71.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : dom F --> RR )
4	3	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> F : dom F --> RR )
5		simpl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> ph )
6		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } )
7		fourierdlem71.q	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
8		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 ... M ) e. _V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. _V )
10		fex 6155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR /\ ( 0 ... M ) e. _V ) -> Q e. _V )
11	7, 9, 10	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. _V )
12		rnexg 6744	. . . . . . . . . . 11 |- ( Q e. _V -> ran Q e. _V )
13		inex1g 4539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran Q e. _V -> ( ran Q i^i dom F ) e. _V )
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ran Q i^i dom F ) e. _V )
15	14	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> ( ran Q i^i dom F ) e. _V )
16		fourierdlem71.i	. . . . . . . . . . . . . 14 |- I = ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
17		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0..^ M ) e. _V
18	17	mptex 6152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. _V
19	16, 18	eqeltri 2545	. . . . . . . . . . . . 13 |- I e. _V
20	19	rnex 6746	. . . . . . . . . . . 12 |- ran I e. _V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran I e. _V )
22		uniexg 6607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran I e. _V -> U. ran I e. _V )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. ran I e. _V )
24	23	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> U. ran I e. _V )
25		uniprg 4204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ran Q i^i dom F ) e. _V /\ U. ran I e. _V ) -> U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } = ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
26	15, 24, 25	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } = ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
27	6, 26	eleqtrd 2551	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
28		elinel2 3611	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ran Q i^i dom F ) -> x e. dom F )
29	28	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) ) /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> x e. dom F )
30		simpll 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) ) /\ -. x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> ph )
31		elunnel1 3566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) /\ -. x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> x e. U. ran I )
32	31	adantll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) ) /\ -. x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> x e. U. ran I )
33	16	funmpt2 5626	. . . . . . . . . . . . 13 |- Fun I
34		elunirn 6174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun I -> ( x e. U. ran I <-> E. i e. dom I x e. ( I ` i ) ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U. ran I <-> E. i e. dom I x e. ( I ` i ) )
36	35	biimpi 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U. ran I -> E. i e. dom I x e. ( I ` i ) )
37	36	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> E. i e. dom I x e. ( I ` i ) )
38		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. dom I -> i e. dom I )
39		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. _V
40	39, 16	dmmpti 5717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom I = ( 0..^ M )
41	38, 40	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. dom I -> i e. ( 0..^ M ) )
42	41	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> i e. ( 0..^ M ) )
43	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. _V )
44	16	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. _V ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
45	42, 43, 44	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
46		fourierdlem71.fcn	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
47		cncff 22003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
48		fdm 5745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC -> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
49	46, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
50	41, 49	sylan2 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
51		ssdmres 5132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom F <-> dom ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
52	50, 51	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom F )
53	45, 52	eqsstrd 3452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( I ` i ) C_ dom F )
54	53	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) -> ( I ` i ) C_ dom F )
55		simp3 1032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) -> x e. ( I ` i ) )
56	54, 55	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) -> x e. dom F )
57	56	3exp 1230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( i e. dom I -> ( x e. ( I ` i ) -> x e. dom F ) ) )
58	57	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> ( i e. dom I -> ( x e. ( I ` i ) -> x e. dom F ) ) )
59	58	rexlimdv 2870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> ( E. i e. dom I x e. ( I ` i ) -> x e. dom F ) )
60	37, 59	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> x e. dom F )
61	30, 32, 60	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) ) /\ -. x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> x e. dom F )
62	29, 61	pm2.61dan 808	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) ) -> x e. dom F )
63	5, 27, 62	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> x e. dom F )
64	4, 63	ffvelrnd 6038	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> ( F ` x ) e. RR )
65	64	recnd 9687	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> ( F ` x ) e. CC )
66	65	abscld 13575	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
67		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> w = ( ran Q i^i dom F ) )
68		fzfid 12224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
69		rnffi 37513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR /\ ( 0 ... M ) e. Fin ) -> ran Q e. Fin )
70	7, 68, 69	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran Q e. Fin )
71		infi 7813	. . . . . . . . 9 |- ( ran Q e. Fin -> ( ran Q i^i dom F ) e. Fin )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ran Q i^i dom F ) e. Fin )
73	72	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> ( ran Q i^i dom F ) e. Fin )
74	67, 73	eqeltrd 2549	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> w e. Fin )
75		simpll 768	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) /\ x e. w ) -> ph )
76		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = ( ran Q i^i dom F ) /\ x e. w ) -> x e. w )
77		simpl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = ( ran Q i^i dom F ) /\ x e. w ) -> w = ( ran Q i^i dom F ) )
78	76, 77	eleqtrd 2551	. . . . . . . . 9 |- ( ( w = ( ran Q i^i dom F ) /\ x e. w ) -> x e. ( ran Q i^i dom F ) )
79	78	adantll 728	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) /\ x e. w ) -> x e. ( ran Q i^i dom F ) )
80	3	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> F : dom F --> RR )
81	28	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> x e. dom F )
82	80, 81	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
83	82	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
84	83	abscld 13575	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ran Q i^i dom F ) ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
85	75, 79, 84	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) /\ x e. w ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
86	85	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
87		fimaxre3 10575	. . . . . 6 |- ( ( w e. Fin /\ A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
88	74, 86, 87	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
89	88	adantlr 729	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) /\ w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
90		simpll 768	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) /\ -. w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> ph )
91		neqne 2651	. . . . . . 7 |- ( -. w = ( ran Q i^i dom F ) -> w =/= ( ran Q i^i dom F ) )
92		elprn1 37810	. . . . . . 7 |- ( ( w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } /\ w =/= ( ran Q i^i dom F ) ) -> w = U. ran I )
93	91, 92	sylan2 482	. . . . . 6 |- ( ( w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } /\ -. w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> w = U. ran I )
94	93	adantll 728	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) /\ -. w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> w = U. ran I )
95		fzofi 12225	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) e. Fin
96	16	rnmptfi 37508	. . . . . . . 8 |- ( ( 0..^ M ) e. Fin -> ran I e. Fin )
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ran I e. Fin
98	97	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = U. ran I ) -> ran I e. Fin )
99	3	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> F : dom F --> RR )
100	99, 60	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> ( F ` x ) e. RR )
101	100	recnd 9687	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U. ran I ) -> ( F ` x ) e. CC )
102	101	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ x e. U. ran I ) -> ( F ` x ) e. CC )
103	102	abscld 13575	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ x e. U. ran I ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
104	39, 16	fnmpti 5716	. . . . . . . . . . 11 |- I Fn ( 0..^ M )
105		fvelrnb 5926	. . . . . . . . . . 11 |- ( I Fn ( 0..^ M ) -> ( t e. ran I <-> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t ) )
106	104, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ran I <-> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t )
107	106	biimpi 199	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ran I -> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t )
108	107	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t )
109	7	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
110		elfzofz 11962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
111	110	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
112	109, 111	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
113		fzofzp1 12037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
114	113	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
115	109, 114	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
116		fourierdlem71.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
117		fourierdlem71.r	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
118	112, 115, 46, 116, 117	cncfioobd 37872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b )
119	118	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b )
120		fvres 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
121	120	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) = ( abs ` ( F ` x ) ) )
122	121	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
123	122	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
124	123	ralbidva 2828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
125	124	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
126	125	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
127	39, 44	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
128		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I ` i ) = t -> ( I ` i ) = t )
129	127, 128	sylan9req 2526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = t )
130	129	3adant1 1048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = t )
131	130	raleqdv 2979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b <-> A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
132	131	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
133	126, 132	bitrd 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( E. b e. RR A. x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` x ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
134	119, 133	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )
135	134	3exp 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( i e. ( 0..^ M ) -> ( ( I ` i ) = t -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) ) )
136	135	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> ( i e. ( 0..^ M ) -> ( ( I ` i ) = t -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) ) )
137	136	rexlimdv 2870	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> ( E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b ) )
138	108, 137	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )
139	138	adantlr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ t e. ran I ) -> E. b e. RR A. x e. t ( abs ` ( F ` x ) ) <_ b )
140		eqimss 3470	. . . . . . 7 |- ( w = U. ran I -> w C_ U. ran I )
141	140	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = U. ran I ) -> w C_ U. ran I )
142	98, 103, 139, 141	ssfiunibd 37615	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = U. ran I ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
143	90, 94, 142	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) /\ -. w = ( ran Q i^i dom F ) ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
144	89, 143	pm2.61dan 808	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } ) -> E. y e. RR A. x e. w ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
145		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ x e. ran Q ) -> x e. ran Q )
146		elinel2 3611	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) -> x e. dom F )
147	146	ad2antlr 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ x e. ran Q ) -> x e. dom F )
148	145, 147	elind 3609	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ x e. ran Q ) -> x e. ( ran Q i^i dom F ) )
149		elun1 3592	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ran Q i^i dom F ) -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
150	148, 149	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ x e. ran Q ) -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
151		fourierdlem71.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
152	151	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> M e. NN )
153	7	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
154		elinel1 3610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) -> x e. ( A [,] B ) )
155	154	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
156		fourierdlem71.q0	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
157	156	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A = ( Q ` 0 ) )
158	157	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> A = ( Q ` 0 ) )
159		fourierdlem71.10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
160	159	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B = ( Q ` M ) )
161	160	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> B = ( Q ` M ) )
162	158, 161	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> ( A [,] B ) = ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
163	155, 162	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> x e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
164	163	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> x e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
165		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> -. x e. ran Q )
166		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( Q ` k ) = ( Q ` j ) )
167	166	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( Q ` k ) < x <-> ( Q ` j ) < x ) )
168	167	cbvrabv 3030	. . . . . . . . . . . 12 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < x } = { j e. ( 0..^ M ) | ( Q ` j ) < x }
169	168	supeq1i 7979	. . . . . . . . . . 11 |- sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < x } , RR , < ) = sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( Q ` j ) < x } , RR , < )
170	152, 153, 164, 165, 169	fourierdlem25 38106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> E. i e. ( 0..^ M ) x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
171	41	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
172		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) ) -> x e. ( I ` i ) )
173	171, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
174	172, 173	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) ) -> x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
175	171, 174	jca 541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) ) -> ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
176		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0..^ M ) )
177	176, 40	syl6eleqr 2560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. dom I )
178	177	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) -> i e. dom I )
179		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) -> x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
180	127	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( I ` i ) )
181	180	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( I ` i ) )
182	179, 181	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) -> x e. ( I ` i ) )
183	178, 182	jca 541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) -> ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) )
184	175, 183	impbida 850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( i e. dom I /\ x e. ( I ` i ) ) <-> ( i e. ( 0..^ M ) /\ x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
185	184	rexbidv2 2888	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. i e. dom I x e. ( I ` i ) <-> E. i e. ( 0..^ M ) x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
186	185	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> ( E. i e. dom I x e. ( I ` i ) <-> E. i e. ( 0..^ M ) x e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
187	170, 186	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> E. i e. dom I x e. ( I ` i ) )
188	187, 35	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> x e. U. ran I )
189		elun2 3593	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. ran I -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
190	188, 189	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) /\ -. x e. ran Q ) -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
191	150, 190	pm2.61dan 808	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
192	191	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
193		dfss3 3408	. . . . 5 |- ( ( ( A [,] B ) i^i dom F ) C_ ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) <-> A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) x e. ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
194	192, 193	sylibr 217	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) i^i dom F ) C_ ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
195	14, 23, 25	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } = ( ( ran Q i^i dom F ) u. U. ran I ) )
196	194, 195	sseqtr4d 3455	. . 3 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) i^i dom F ) C_ U. { ( ran Q i^i dom F ) , U. ran I } )
197	2, 66, 144, 196	ssfiunibd 37615	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
198		nfv 1769	. . . . . 6 |- F/ x ph
199		nfra1 2785	. . . . . 6 |- F/ x A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y
200	198, 199	nfan 2031	. . . . 5 |- F/ x ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
201		fourierdlem71.dmf	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom F C_ RR )
202	201	sselda 3418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> x e. RR )
203		fourierdlem71.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. RR )
204	203	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> B e. RR )
205	204, 202	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( B - x ) e. RR )
206		fourierdlem71.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- T = ( B - A )
207		fourierdlem71.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. RR )
208	203, 207	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
209	206, 208	syl5eqel 2553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T e. RR )
210	209	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> T e. RR )
211		fourierdlem71.altb	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A < B )
212	207, 203	posdifd 10221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
213	211, 212	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
214	213, 206	syl6breqr 4436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 < T )
215	214	gt0ne0d 10199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T =/= 0 )
216	215	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> T =/= 0 )
217	205, 210, 216	redivcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( ( B - x ) / T ) e. RR )
218	217	flcld 12067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ )
219	218	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. RR )
220	219, 210	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) e. RR )
221	202, 220	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
222		fourierdlem71.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
223	222	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. RR ) -> ( E ` x ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
224	202, 221, 223	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
225	224	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( F ` ( E ` x ) ) = ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
226		fvex 5889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. _V
227		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( k e. ZZ <-> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) )
228	227	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) <-> ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) ) )
229		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( k x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) )
230	229	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( x + ( k x. T ) ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
231	230	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
232	231	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) <-> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) )
233	228, 232	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) <-> ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) ) ) )
234		fourierdlem71.fxpt	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
235	226, 233, 234	vtocl 3086	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
236	218, 235	mpdan 681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( F ` ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
237	225, 236	eqtr2d 2506	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( E ` x ) ) )
238	237	fveq2d 5883	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) )
239	238	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) /\ x e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) )
240		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
241	240	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( F ` w ) ) )
242	241	breq1d 4405	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y <-> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y ) )
243	242	cbvralv 3005	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y <-> A. w e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y )
244	243	biimpi 199	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y -> A. w e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y )
245	244	ad2antlr 741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) /\ x e. dom F ) -> A. w e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y )
246		iocssicc 11747	. . . . . . . . . . 11 |- ( A (,] B ) C_ ( A [,] B )
247	207	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> A e. RR )
248	211	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> A < B )
249		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> x = y )
250		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( B - x ) = ( B - y ) )
251	250	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - y ) / T ) )
252	251	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - y ) / T ) ) )
253	252	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - y ) / T ) ) x. T ) )
254	249, 253	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( y + ( ( |_ ` ( ( B - y ) / T ) ) x. T ) ) )
255	254	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( y e. RR |-> ( y + ( ( |_ ` ( ( B - y ) / T ) ) x. T ) ) )
256	222, 255	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( y e. RR |-> ( y + ( ( |_ ` ( ( B - y ) / T ) ) x. T ) ) )
257	247, 204, 248, 206, 256	fourierdlem4 38085	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> E : RR --> ( A (,] B ) )
258	257, 202	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) e. ( A (,] B ) )
259	246, 258	sseldi 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) e. ( A [,] B ) )
260	230	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. dom F <-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. dom F ) )
261	228, 260	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) -> ( ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. dom F ) <-> ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. dom F ) ) )
262		fourierdlem71.xpt	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. dom F )
263	226, 261, 262	vtocl 3086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. dom F ) /\ ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) e. ZZ ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. dom F )
264	218, 263	mpdan 681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) e. dom F )
265	224, 264	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) e. dom F )
266	259, 265	elind 3609	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) )
267	266	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) /\ x e. dom F ) -> ( E ` x ) e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) )
268		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( E ` x ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( E ` x ) ) )
269	268	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( E ` x ) -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) )
270	269	breq1d 4405	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( E ` x ) -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y <-> ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) <_ y ) )
271	270	rspccva 3135	. . . . . . . 8 |- ( ( A. w e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` w ) ) <_ y /\ ( E ` x ) e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ) -> ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) <_ y )
272	245, 267, 271	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) /\ x e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` ( E ` x ) ) ) <_ y )
273	239, 272	eqbrtrd 4416	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) /\ x e. dom F ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
274	273	ex 441	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) -> ( x e. dom F -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
275	200, 274	ralrimi 2800	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) -> A. x e. dom F ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )
276	275	ex 441	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y -> A. x e. dom F ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
277	276	reximdv 2857	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. ( ( A [,] B ) i^i dom F ) ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y -> E. y e. RR A. x e. dom F ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y ) )
278	197, 277	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. dom F ( abs ` ( F ` x ) ) <_ y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   {cpr 3961   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   Fun wfun 5583   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   ZZcz 10961   (,)cioo 11660   (,]cioc 11661   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   |_cfl 12059   abscabs 13374   -cn->ccncf 21986   lim CC climc 22896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900

This theorem is referenced by:  fourierdlem94  38176  fourierdlem113  38195