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Theorem fourierdlem71 38153
 Description: A periodic piecewise continuous function, possibly undefined on a finite set in each periodic interval, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem71.dmf
fourierdlem71.f
fourierdlem71.a
fourierdlem71.b
fourierdlem71.altb
fourierdlem71.t
fourierdlem71.7
fourierdlem71.q
fourierdlem71.q0
fourierdlem71.10
fourierdlem71.fcn ..^
fourierdlem71.r ..^ lim
fourierdlem71.l ..^ lim
fourierdlem71.xpt
fourierdlem71.fxpt
fourierdlem71.i ..^
fourierdlem71.e
Assertion
Ref Expression
fourierdlem71
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,,   ,   ,,   ,   ,   ,,,   ,,,   ,   ,   ,,   ,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,,)   ()   (,,,)   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem fourierdlem71
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prfi 7864 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 fourierdlem71.f . . . . . . 7
43adantr 472 . . . . . 6
5 simpl 464 . . . . . . 7
6 simpr 468 . . . . . . . 8
7 fourierdlem71.q . . . . . . . . . . . 12
8 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13
98a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
10 fex 6155 . . . . . . . . . . . 12
117, 9, 10syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
12 rnexg 6744 . . . . . . . . . . 11
13 inex1g 4539 . . . . . . . . . . 11
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . 10
1514adantr 472 . . . . . . . . 9
16 fourierdlem71.i . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
17 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
1817mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
1916, 18eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . 13
2019rnex 6746 . . . . . . . . . . . 12
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11
22 uniexg 6607 . . . . . . . . . . 11
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10
2423adantr 472 . . . . . . . . 9
25 uniprg 4204 . . . . . . . . 9
2615, 24, 25syl2anc 673 . . . . . . . 8
276, 26eleqtrd 2551 . . . . . . 7
28 elinel2 3611 . . . . . . . . 9
2928adantl 473 . . . . . . . 8
30 simpll 768 . . . . . . . . 9
31 elunnel1 3566 . . . . . . . . . 10
3231adantll 728 . . . . . . . . 9
3316funmpt2 5626 . . . . . . . . . . . . 13
34 elunirn 6174 . . . . . . . . . . . . 13
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
3635biimpi 199 . . . . . . . . . . 11
3736adantl 473 . . . . . . . . . 10
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4039, 16dmmpti 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
4138, 40syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
4241adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
4339a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4416fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
4542, 43, 44syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 fourierdlem71.fcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
47 cncff 22003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
5041, 49sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
51 ssdmres 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5250, 51sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5345, 52eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . . 15
54533adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . 14
55 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . 14
5654, 55sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . 13
57563exp 1230 . . . . . . . . . . . 12
5857adantr 472 . . . . . . . . . . 11
5958rexlimdv 2870 . . . . . . . . . 10
6037, 59mpd 15 . . . . . . . . 9
6130, 32, 60syl2anc 673 . . . . . . . 8
6229, 61pm2.61dan 808 . . . . . . 7
635, 27, 62syl2anc 673 . . . . . 6
644, 63ffvelrnd 6038 . . . . 5
6564recnd 9687 . . . 4
6665abscld 13575 . . 3
67 simpr 468 . . . . . . 7
68 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10
69 rnffi 37513 . . . . . . . . . 10
707, 68, 69syl2anc 673 . . . . . . . . 9
71 infi 7813 . . . . . . . . 9
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8
7372adantr 472 . . . . . . 7
7467, 73eqeltrd 2549 . . . . . 6
75 simpll 768 . . . . . . . 8
76 simpr 468 . . . . . . . . . 10
77 simpl 464 . . . . . . . . . 10
7876, 77eleqtrd 2551 . . . . . . . . 9
7978adantll 728 . . . . . . . 8
803adantr 472 . . . . . . . . . . 11
8128adantl 473 . . . . . . . . . . 11
8280, 81ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
8382recnd 9687 . . . . . . . . 9
8483abscld 13575 . . . . . . . 8
8575, 79, 84syl2anc 673 . . . . . . 7
8685ralrimiva 2809 . . . . . 6
87 fimaxre3 10575 . . . . . 6
8874, 86, 87syl2anc 673 . . . . 5
8988adantlr 729 . . . 4
90 simpll 768 . . . . 5
91 neqne 2651 . . . . . . 7
92 elprn1 37810 . . . . . . 7
9391, 92sylan2 482 . . . . . 6
9493adantll 728 . . . . 5
95 fzofi 12225 . . . . . . . 8 ..^
9616rnmptfi 37508 . . . . . . . 8 ..^
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . 7
9897a1i 11 . . . . . 6
993adantr 472 . . . . . . . . . 10
10099, 60ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
101100recnd 9687 . . . . . . . 8
102101adantlr 729 . . . . . . 7
103102abscld 13575 . . . . . 6
10439, 16fnmpti 5716 . . . . . . . . . . 11 ..^
105 fvelrnb 5926 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
106104, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ..^
107106biimpi 199 . . . . . . . . 9 ..^
108107adantl 473 . . . . . . . 8 ..^
1097adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
110 elfzofz 11962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
111110adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
112109, 111ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
113 fzofzp1 12037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
114113adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
115109, 114ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
116 fourierdlem71.l . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ lim
117 fourierdlem71.r . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ lim
118112, 115, 46, 116, 117cncfioobd 37872 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
1191183adant3 1050 . . . . . . . . . . . 12 ..^
120 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121120fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122121breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123122adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
124123ralbidva 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
125124rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
1261253adant3 1050 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
12739, 44mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
128 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129127, 128sylan9req 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
1301293adant1 1048 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
131130raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
132131rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
133126, 132bitrd 261 . . . . . . . . . . . 12 ..^
134119, 133mpbid 215 . . . . . . . . . . 11 ..^
1351343exp 1230 . . . . . . . . . 10 ..^
136135adantr 472 . . . . . . . . 9 ..^
137136rexlimdv 2870 . . . . . . . 8 ..^
138108, 137mpd 15 . . . . . . 7
139138adantlr 729 . . . . . 6
140 eqimss 3470 . . . . . . 7
141140adantl 473 . . . . . 6
14298, 103, 139, 141ssfiunibd 37615 . . . . 5
14390, 94, 142syl2anc 673 . . . 4
14489, 143pm2.61dan 808 . . 3
145 simpr 468 . . . . . . . . 9
146 elinel2 3611 . . . . . . . . . 10
147146ad2antlr 741 . . . . . . . . 9
148145, 147elind 3609 . . . . . . . 8
149 elun1 3592 . . . . . . . 8
150148, 149syl 17 . . . . . . 7
151 fourierdlem71.7 . . . . . . . . . . . 12
152151ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
1537ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
154 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . 14
155154adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
156 fourierdlem71.q0 . . . . . . . . . . . . . . . 16
157156eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15
158157adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
159 fourierdlem71.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
160159eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15
161160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
162158, 161oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13
163155, 162eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12
164163adantr 472 . . . . . . . . . . 11
165 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
166 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
167166breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13
168167cbvrabv 3030 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
169168supeq1i 7979 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
170152, 153, 164, 165, 169fourierdlem25 38106 . . . . . . . . . 10 ..^
17141ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
172 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15
173171, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
174172, 173eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . 14
175171, 174jca 541 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
176 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
177176, 40syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
178177ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
179 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
180127eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
181180ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
182179, 181eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
183178, 182jca 541 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
184175, 183impbida 850 . . . . . . . . . . . 12 ..^
185184rexbidv2 2888 . . . . . . . . . . 11 ..^
186185ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10 ..^
187170, 186mpbird 240 . . . . . . . . 9
188187, 35sylibr 217 . . . . . . . 8
189 elun2 3593 . . . . . . . 8
190188, 189syl 17 . . . . . . 7
191150, 190pm2.61dan 808 . . . . . 6
192191ralrimiva 2809 . . . . 5
193 dfss3 3408 . . . . 5
194192, 193sylibr 217 . . . 4
19514, 23, 25syl2anc 673 . . . 4
196194, 195sseqtr4d 3455 . . 3
1972, 66, 144, 196ssfiunibd 37615 . 2
198 nfv 1769 . . . . . 6
199 nfra1 2785 . . . . . 6
200198, 199nfan 2031 . . . . 5
201 fourierdlem71.dmf . . . . . . . . . . . . 13
202201sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12
203 fourierdlem71.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
204203adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
205204, 202resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
206 fourierdlem71.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
207 fourierdlem71.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
208203, 207resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
209206, 208syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
210209adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
211 fourierdlem71.altb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
212207, 203posdifd 10221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
213211, 212mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
214213, 206syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
215214gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
216215adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
217205, 210, 216redivcld 10457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
218217flcld 12067 . . . . . . . . . . . . . . 15
219218zred 11063 . . . . . . . . . . . . . 14
220219, 210remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . 13
221202, 220readdcld 9688 . . . . . . . . . . . 12
222 fourierdlem71.e . . . . . . . . . . . . 13
223222fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . 12
224202, 221, 223syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
225224fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
226 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12
227 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . 14
228227anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . 13
229 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16
230229oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
231230fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
232231eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . 13
233228, 232imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12
234 fourierdlem71.fxpt . . . . . . . . . . . 12
235226, 233, 234vtocl 3086 . . . . . . . . . . 11
236218, 235mpdan 681 . . . . . . . . . 10
237225, 236eqtr2d 2506 . . . . . . . . 9
238237fveq2d 5883 . . . . . . . 8
239238adantlr 729 . . . . . . 7
240 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
241240fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
242241breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11
243242cbvralv 3005 . . . . . . . . . 10
244243biimpi 199 . . . . . . . . 9
245244ad2antlr 741 . . . . . . . 8
246 iocssicc 11747 . . . . . . . . . . 11
247207adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
248211adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
249 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
250 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
251250oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
252251fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
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