Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem71 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem71 32199
Description: A periodic piecewise continuous function, possibly undefined on a finite set in each periodic interval, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem71.dmf  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  RR )
fourierdlem71.f  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> RR )
fourierdlem71.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem71.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem71.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem71.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem71.7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem71.q  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem71.q0  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
fourierdlem71.10  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
fourierdlem71.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem71.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
fourierdlem71.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem71.xpt  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  dom  F
)
fourierdlem71.fxpt  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `  (
x  +  ( k  x.  T ) ) )  =  ( F `
 x ) )
fourierdlem71.i  |-  I  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem71.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem71  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  dom  F
( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
Distinct variable groups:    x, A, y    B, k, x    y, B    i, F, x, k   
y, F    i, I, x    y, I    x, L   
i, M, x, k    Q, i, x, k    y, Q    x, R    T, k, x    y, T    ph, i, x, k    ph, y
Allowed substitution hints:    A( i, k)    B( i)    R( y, i, k)    T( i)    E( x, y, i, k)    I(
k)    L( y, i, k)    M( y)

Proof of Theorem fourierdlem71
Dummy variables  w  b  t  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prfi 7787 . . . 4  |-  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) ,  U. ran  I }  e.  Fin
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }  e.  Fin )
3 fourierdlem71.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> RR )
43adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  F : dom  F --> RR )
5 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  ph )
6 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)
7 fourierdlem71.q . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
8 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 ... M )  e. 
_V
98a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  _V )
10 fex 6120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR 
/\  ( 0 ... M )  e.  _V )  ->  Q  e.  _V )
117, 9, 10syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  _V )
12 rnexg 6705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q  e.  _V  ->  ran  Q  e.  _V )
13 inex1g 4580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran 
Q  e.  _V  ->  ( ran  Q  i^i  dom  F )  e.  _V )
1411, 12, 133syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ran  Q  i^i  dom 
F )  e.  _V )
1514adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  ( ran  Q  i^i  dom  F )  e.  _V )
16 fourierdlem71.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
17 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0..^ M )  e.  _V
1817mptex 6118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
1916, 18eqeltri 2538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  I  e. 
_V
2019rnex 6707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  I  e.  _V
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  I  e.  _V )
22 uniexg 6570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  I  e.  _V  ->  U.
ran  I  e.  _V )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  I  e. 
_V )
2423adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  U. ran  I  e.  _V )
25 uniprg 4249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ran  Q  i^i  dom 
F )  e.  _V  /\ 
U. ran  I  e.  _V )  ->  U. {
( ran  Q  i^i  dom 
F ) ,  U. ran  I }  =  ( ( ran  Q  i^i  dom 
F )  u.  U. ran  I ) )
2615, 24, 25syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) ,  U. ran  I }  =  (
( ran  Q  i^i  dom 
F )  u.  U. ran  I ) )
276, 26eleqtrd 2544 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u. 
U. ran  I )
)
28 elinel2 31663 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F )  ->  x  e.  dom  F )
2928adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u. 
U. ran  I )
)  /\  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  x  e.  dom  F )
30 simpll 751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u. 
U. ran  I )
)  /\  -.  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom 
F ) )  ->  ph )
31 elunnel1 31654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u.  U. ran  I )  /\  -.  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F )
)  ->  x  e.  U.
ran  I )
3231adantll 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u. 
U. ran  I )
)  /\  -.  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom 
F ) )  ->  x  e.  U. ran  I
)
3316funmpt2 5607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Fun  I
34 elunirn 6138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  I  ->  ( x  e.  U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  x  e.  ( I `  i
) ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  x  e.  ( I `  i ) )
3635biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U. ran  I  ->  E. i  e.  dom  I  x  e.  (
I `  i )
)
3736adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
ran  I )  ->  E. i  e.  dom  I  x  e.  (
I `  i )
)
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  dom  I  -> 
i  e.  dom  I
)
39 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e. 
_V
4039, 16dmmpti 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  I  =  ( 0..^ M )
4138, 40syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  dom  I  -> 
i  e.  ( 0..^ M ) )
4241adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
4339a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )  e.  _V )
4416fvmpt2 5939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )  e.  _V )  -> 
( I `  i
)  =  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
4542, 43, 44syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
I `  i )  =  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
46 fourierdlem71.fcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
47 cncff 21563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) --> CC )
48 fdm 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) : ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) --> CC  ->  dom  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
4946, 47, 483syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
5041, 49sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  dom  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
51 ssdmres 5283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  dom  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
5250, 51sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  dom  F )
5345, 52eqsstrd 3523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
I `  i )  C_ 
dom  F )
54533adant3 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) )  ->  (
I `  i )  C_ 
dom  F )
55 simp3 996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) )  ->  x  e.  ( I `  i
) )
5654, 55sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) )  ->  x  e.  dom  F )
57563exp 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( i  e.  dom  I  ->  ( x  e.  ( I `  i
)  ->  x  e.  dom  F ) ) )
5857adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
ran  I )  -> 
( i  e.  dom  I  ->  ( x  e.  ( I `  i
)  ->  x  e.  dom  F ) ) )
5958rexlimdv 2944 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
ran  I )  -> 
( E. i  e. 
dom  I  x  e.  ( I `  i
)  ->  x  e.  dom  F ) )
6037, 59mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
ran  I )  ->  x  e.  dom  F )
6130, 32, 60syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u. 
U. ran  I )
)  /\  -.  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom 
F ) )  ->  x  e.  dom  F )
6229, 61pm2.61dan 789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u. 
U. ran  I )
)  ->  x  e.  dom  F )
635, 27, 62syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  x  e.  dom  F )
644, 63ffvelrnd 6008 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  ( F `  x )  e.  RR )
6564recnd 9611 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  ( F `  x )  e.  CC )
6665abscld 13349 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR )
67 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )
68 fzfid 12065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  Fin )
69 rnffi 31692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR 
/\  ( 0 ... M )  e.  Fin )  ->  ran  Q  e.  Fin )
707, 68, 69syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  Q  e.  Fin )
71 infi 7736 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
Q  e.  Fin  ->  ( ran  Q  i^i  dom  F )  e.  Fin )
7270, 71syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ran  Q  i^i  dom 
F )  e.  Fin )
7372adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  ( ran  Q  i^i  dom  F
)  e.  Fin )
7467, 73eqeltrd 2542 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  w  e.  Fin )
75 simpll 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  /\  x  e.  w
)  ->  ph )
76 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  ( ran 
Q  i^i  dom  F )  /\  x  e.  w
)  ->  x  e.  w )
77 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  ( ran 
Q  i^i  dom  F )  /\  x  e.  w
)  ->  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )
7876, 77eleqtrd 2544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  ( ran 
Q  i^i  dom  F )  /\  x  e.  w
)  ->  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )
7978adantll 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  /\  x  e.  w
)  ->  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )
803adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  F : dom  F --> RR )
8128adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  x  e.  dom  F )
8280, 81ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8382recnd 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
8483abscld 13349 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )
8575, 79, 84syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  /\  x  e.  w
)  ->  ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR )
8685ralrimiva 2868 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR )
87 fimaxre3 10487 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `
 x ) )  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )
8874, 86, 87syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
8988adantlr 712 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
90 simpll 751 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  /\  -.  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  ph )
91 neqne 31674 . . . . . . 7  |-  ( -.  w  =  ( ran 
Q  i^i  dom  F )  ->  w  =/=  ( ran  Q  i^i  dom  F
) )
92 elprn1 31878 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) ,  U. ran  I }  /\  w  =/=  ( ran  Q  i^i  dom 
F ) )  ->  w  =  U. ran  I
)
9391, 92sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) ,  U. ran  I }  /\  -.  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  w  =  U. ran  I )
9493adantll 711 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  /\  -.  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  w  =  U. ran  I )
95 fzofi 12066 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
9616rnmptfi 31687 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0..^ M )  e. 
Fin  ->  ran  I  e.  Fin )
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ran  I  e.  Fin
9897a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  =  U. ran  I )  ->  ran  I  e.  Fin )
993adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
ran  I )  ->  F : dom  F --> RR )
10099, 60ffvelrnd 6008 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
ran  I )  -> 
( F `  x
)  e.  RR )
101100recnd 9611 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
ran  I )  -> 
( F `  x
)  e.  CC )
102101adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  x  e.  U. ran  I )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
103102abscld 13349 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  x  e.  U. ran  I )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )
10439, 16fnmpti 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  I  Fn  ( 0..^ M )
105 fvelrnb 5895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  Fn  ( 0..^ M )  ->  ( t  e.  ran  I  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( I `  i
)  =  t ) )
106104, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ran  I  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( I `  i
)  =  t )
107106biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ran  I  ->  E. i  e.  (
0..^ M ) ( I `  i )  =  t )
108107adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( I `  i
)  =  t )
1097adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
110 elfzofz 11819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
111110adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0 ... M ) )
112109, 111ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
113 fzofzp1 11890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
114113adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
115109, 114ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
116 fourierdlem71.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
117 fourierdlem71.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
118112, 115, 46, 116, 117cncfioobd 31939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_ 
b )
1191183adant3 1014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_ 
b )
120 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
121120fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) `  x
) )  =  ( abs `  ( F `
 x ) ) )
122121breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_  b  <->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  b
) )
123122adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_  b  <->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  b
) )
124123ralbidva 2890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_  b  <->  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
)
125124rexbidv 2965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
)
1261253adant3 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  ( E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
)
12739, 44mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I `  i )  =  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
128 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I `  i )  =  t  ->  (
I `  i )  =  t )
129127, 128sylan9req 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  t )
1301293adant1 1012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  =  t )
131130raleqdv 3057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  ( A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b  <->  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  b
) )
132131rexbidv 2965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  ( E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
)
133126, 132bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  ( E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
)
134119, 133mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b )
1351343exp 1193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ M )  -> 
( ( I `  i )  =  t  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b ) ) )
136135adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  ->  (
( I `  i
)  =  t  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b ) ) )
137136rexlimdv 2944 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  ( E. i  e.  (
0..^ M ) ( I `  i )  =  t  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
)
138108, 137mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
139138adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  t  e.  ran  I )  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
140 eqimss 3541 . . . . . . 7  |-  ( w  =  U. ran  I  ->  w  C_  U. ran  I
)
141140adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  =  U. ran  I )  ->  w  C_  U. ran  I
)
14298, 103, 139, 141ssfiunibd 31748 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  U. ran  I )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )
14390, 94, 142syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  /\  -.  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )
14489, 143pm2.61dan 789 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { ( ran  Q  i^i  dom 
F ) ,  U. ran  I } )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )
145 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  ran  Q )
146 elinel2 31663 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F )  ->  x  e.  dom  F )
147146ad2antlr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  dom  F )
148145, 147elind 3674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F )
)
149 elun1 3657 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F )  ->  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F
)  u.  U. ran  I ) )
150148, 149syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F
)  u.  U. ran  I ) )
151 fourierdlem71.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
152151ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  M  e.  NN )
1537ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
154 elinel1 31664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
155154adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
156 fourierdlem71.q0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
157156eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  =  ( Q `
 0 ) )
158157adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  ->  A  =  ( Q ` 
0 ) )
159 fourierdlem71.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
160159eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =  ( Q `
 M ) )
161160adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  ->  B  =  ( Q `  M ) )
162158, 161oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  ->  ( A [,] B )  =  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
) )
163155, 162eleqtrd 2544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
) )
164163adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  ( ( Q `  0
) [,] ( Q `
 M ) ) )
165 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  -.  x  e.  ran  Q )
166 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  j ) )
167166breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( Q `  k
)  <  x  <->  ( Q `  j )  <  x
) )
168167cbvrabv 3105 . . . . . . . . . . . 12  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
x }  =  {
j  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  j )  <  x }
169168supeq1i 7898 . . . . . . . . . . 11  |-  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  x } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { j  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 j )  < 
x } ,  RR ,  <  )
170152, 153, 164, 165, 169fourierdlem25 32153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) x  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
17141ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ M ) )
172 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) ) )  ->  x  e.  ( I `  i ) )
173171, 127syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) ) )  -> 
( I `  i
)  =  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
174172, 173eleqtrd 2544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
175171, 174jca 530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ M )  /\  x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
176 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
177176, 40syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  dom  I )
178177ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  x  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  i  e.  dom  I )
179 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  x  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
180127eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( I `  i ) )
181180ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  x  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( I `  i ) )
182179, 181eleqtrd 2544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  x  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  x  e.  ( I `  i
) )
183178, 182jca 530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  x  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  (
i  e.  dom  I  /\  x  e.  (
I `  i )
) )
184175, 183impbida 830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( i  e. 
dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) )  <->  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  x  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
185184rexbidv2 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. i  e. 
dom  I  x  e.  ( I `  i
)  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) x  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
186185ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  ( E. i  e.  dom  I  x  e.  ( I `  i
)  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) x  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
187170, 186mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  E. i  e.  dom  I  x  e.  (
I `  i )
)
188187, 35sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  U. ran  I )
189 elun2 3658 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. ran  I  ->  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u.  U. ran  I ) )
190188, 189syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom 
F )  u.  U. ran  I ) )
191150, 190pm2.61dan 789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u. 
U. ran  I )
)
192191ralrimiva 2868 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( A [,] B
)  i^i  dom  F ) x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u.  U. ran  I ) )
193 dfss3 3479 . . . . 5  |-  ( ( ( A [,] B
)  i^i  dom  F ) 
C_  ( ( ran 
Q  i^i  dom  F )  u.  U. ran  I
)  <->  A. x  e.  ( ( A [,] B
)  i^i  dom  F ) x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u.  U. ran  I ) )
194192, 193sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F )  C_  ( ( ran  Q  i^i  dom  F
)  u.  U. ran  I ) )
19514, 23, 25syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. { ( ran 
Q  i^i  dom  F ) ,  U. ran  I }  =  ( ( ran  Q  i^i  dom  F
)  u.  U. ran  I ) )
196194, 195sseqtr4d 3526 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F )  C_  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) ,  U. ran  I } )
1972, 66, 144, 196ssfiunibd 31748 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F )
( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
198 nfv 1712 . . . . . 6  |-  F/ x ph
199 nfra1 2835 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  (
( A [,] B
)  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y
200198, 199nfan 1933 . . . . 5  |-  F/ x
( ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
201 fourierdlem71.dmf . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  RR )
202201sselda 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  RR )
203 fourierdlem71.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
204203adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  B  e.  RR )
205204, 202resubcld 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( B  -  x )  e.  RR )
206 fourierdlem71.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  T  =  ( B  -  A
)
207 fourierdlem71.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
208203, 207resubcld 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
209206, 208syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
210209adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  T  e.  RR )
211 fourierdlem71.altb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  <  B )
212207, 203posdifd 10135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
213211, 212mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
214213, 206syl6breqr 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <  T )
215214gt0ne0d 10113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
216215adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  T  =/=  0 )
217205, 210, 216redivcld 10368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  e.  RR )
218217flcld 11916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e.  ZZ )
219218zred 10965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e.  RR )
220219, 210remulcld 9613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  e.  RR )
221202, 220readdcld 9612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
222 fourierdlem71.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
223222fvmpt2 5939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )  ->  ( E `  x )  =  ( x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) )
224202, 221, 223syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( E `  x )  =  ( x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  x.  T
) ) )
225224fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( E `  x ) )  =  ( F `  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) ) )
226 fvex 5858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e. 
_V
227 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
k  e.  ZZ  <->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  e.  ZZ ) )
228227anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  k  e.  ZZ ) 
<->  ( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  e.  ZZ ) ) )
229 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
k  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )
230229oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
x  +  ( k  x.  T ) )  =  ( x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  x.  T
) ) )
231230fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  ( F `  ( x  +  ( k  x.  T ) ) )  =  ( F `  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) ) )
232231eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
( F `  (
x  +  ( k  x.  T ) ) )  =  ( F `
 x )  <->  ( F `  ( x  +  ( ( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )  =  ( F `  x ) ) )
233228, 232imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `
 ( x  +  ( k  x.  T
) ) )  =  ( F `  x
) )  <->  ( (
( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e.  ZZ )  -> 
( F `  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) )  =  ( F `
 x ) ) ) )
234 fourierdlem71.fxpt . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `  (
x  +  ( k  x.  T ) ) )  =  ( F `
 x ) )
235226, 233, 234vtocl 3158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e.  ZZ )  -> 
( F `  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) )  =  ( F `
 x ) )
236218, 235mpdan 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) )  =  ( F `  x ) )
237225, 236eqtr2d 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( E `  x ) ) )
238237fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  ( F `  ( E `  x ) ) ) )
239238adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  =  ( abs `  ( F `  ( E `  x )
) ) )
240 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
241240fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  ( F `  w )
) )
242241breq1d 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  y  <->  ( abs `  ( F `  w
) )  <_  y
) )
243242cbvralv 3081 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y  <->  A. w  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  w )
)  <_  y )
244243biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y  ->  A. w  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  w )
)  <_  y )
245244ad2antlr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )  /\  x  e.  dom  F )  ->  A. w  e.  ( ( A [,] B
)  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  w )
)  <_  y )
246 iocssicc 11615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,] B )  C_  ( A [,] B )
247207adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  A  e.  RR )
248211adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  A  <  B )
249 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
250 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  y ) )
251250oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  y )  /  T ) )
252251fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  y
)  /  T ) ) )
253252oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  y )  /  T ) )  x.  T ) )
254249, 253oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( y  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  y )  /  T
) )  x.  T
) ) )
255254cbvmptv 4530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  y )  /  T
) )  x.  T
) ) )
256222, 255eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E  =  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  ( ( |_ `  (
( B  -  y
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
257247, 204, 248, 206, 256fourierdlem4 32132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  E : RR --> ( A (,] B ) )
258257, 202ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( E `  x )  e.  ( A (,] B
) )
259246, 258sseldi 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( E `  x )  e.  ( A [,] B
) )
260230eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  dom  F  <->  ( x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  dom  F ) )
261228, 260imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( x  +  ( k  x.  T ) )  e. 
dom  F )  <->  ( (
( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e.  ZZ )  -> 
( x  +  ( ( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) )  e.  dom  F
) ) )
262 fourierdlem71.xpt . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  dom  F
)
263226, 261, 262vtocl 3158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e.  ZZ )  -> 
( x  +  ( ( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) )  e.  dom  F
)
264218, 263mpdan 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  dom  F )
265224, 264eqeltrd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( E `  x )  e.  dom  F )
266259, 265elind 3674 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( E `  x )  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )
267266adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( E `  x )  e.  ( ( A [,] B
)  i^i  dom  F ) )
268 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( E `  x )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( E `  x ) ) )
269268fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( E `  x )  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  ( E `  x ) ) ) )
270269breq1d 4449 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( E `  x )  ->  (
( abs `  ( F `  w )
)  <_  y  <->  ( abs `  ( F `  ( E `  x )
) )  <_  y
) )
271270rspccva 3206 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. w  e.  ( ( A [,] B
)  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  w )
)  <_  y  /\  ( E `  x )  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( E `  x ) ) )  <_  y )
272245, 267, 271syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  ( E `  x ) ) )  <_  y )
273239, 272eqbrtrd 4459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
274273ex 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )  ->  ( x  e.  dom  F  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
)
275200, 274ralrimi 2854 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )  ->  A. x  e.  dom  F ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
276275ex 432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y  ->  A. x  e.  dom  F
( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
)
277276reximdv 2928 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y ) )
278197, 277mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  dom  F
( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   {cpr 4018   U.cuni 4235   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ran crn 4989    |` cres 4990   Fun wfun 5564    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   supcsup 7892   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   ZZcz 10860   (,)cioo 11532   (,]cioc 11533   [,]cicc 11535   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   |_cfl 11908   abscabs 13149   -cn->ccncf 21546   lim CC climc 22432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  32222  fourierdlem113  32241
  Copyright terms: Public domain W3C validator