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Theorem fourierdlem71 38153
Description: A periodic piecewise continuous function, possibly undefined on a finite set in each periodic interval, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem71.dmf  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  RR )
fourierdlem71.f  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> RR )
fourierdlem71.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem71.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem71.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem71.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem71.7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem71.q  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem71.q0  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
fourierdlem71.10  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
fourierdlem71.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem71.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
fourierdlem71.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem71.xpt  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  dom  F
)
fourierdlem71.fxpt  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `  (
x  +  ( k  x.  T ) ) )  =  ( F `
 x ) )
fourierdlem71.i  |-  I  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem71.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem71  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  dom  F
( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
Distinct variable groups:    x, A, y    B, k, x    y, B    i, F, x, k   
y, F    i, I, x    y, I    x, L   
i, M, x, k    Q, i, x, k    y, Q    x, R    T, k, x    y, T    ph, i, x, k    ph, y
Allowed substitution hints:    A( i, k)    B( i)    R( y, i, k)    T( i)    E( x, y, i, k)    I(
k)    L( y, i, k)    M( y)

Proof of Theorem fourierdlem71
Dummy variables  w  b  t  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prfi 7864 . . . 4  |-  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) ,  U. ran  I }  e.  Fin
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }  e.  Fin )
3 fourierdlem71.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> RR )
43adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  F : dom  F --> RR )
5 simpl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  ph )
6 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)
7 fourierdlem71.q . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
8 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 ... M )  e. 
_V
98a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  _V )
10 fex 6155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR 
/\  ( 0 ... M )  e.  _V )  ->  Q  e.  _V )
117, 9, 10syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  _V )
12 rnexg 6744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q  e.  _V  ->  ran  Q  e.  _V )
13 inex1g 4539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran 
Q  e.  _V  ->  ( ran  Q  i^i  dom  F )  e.  _V )
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ran  Q  i^i  dom 
F )  e.  _V )
1514adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  ( ran  Q  i^i  dom  F )  e.  _V )
16 fourierdlem71.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
17 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0..^ M )  e.  _V
1817mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
1916, 18eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  I  e. 
_V
2019rnex 6746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  I  e.  _V
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  I  e.  _V )
22 uniexg 6607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  I  e.  _V  ->  U.
ran  I  e.  _V )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  I  e. 
_V )
2423adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  U. ran  I  e.  _V )
25 uniprg 4204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ran  Q  i^i  dom 
F )  e.  _V  /\ 
U. ran  I  e.  _V )  ->  U. {
( ran  Q  i^i  dom 
F ) ,  U. ran  I }  =  ( ( ran  Q  i^i  dom 
F )  u.  U. ran  I ) )
2615, 24, 25syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) ,  U. ran  I }  =  (
( ran  Q  i^i  dom 
F )  u.  U. ran  I ) )
276, 26eleqtrd 2551 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u. 
U. ran  I )
)
28 elinel2 3611 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F )  ->  x  e.  dom  F )
2928adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u. 
U. ran  I )
)  /\  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  x  e.  dom  F )
30 simpll 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u. 
U. ran  I )
)  /\  -.  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom 
F ) )  ->  ph )
31 elunnel1 3566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u.  U. ran  I )  /\  -.  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F )
)  ->  x  e.  U.
ran  I )
3231adantll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u. 
U. ran  I )
)  /\  -.  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom 
F ) )  ->  x  e.  U. ran  I
)
3316funmpt2 5626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Fun  I
34 elunirn 6174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  I  ->  ( x  e.  U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  x  e.  ( I `  i
) ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  x  e.  ( I `  i ) )
3635biimpi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U. ran  I  ->  E. i  e.  dom  I  x  e.  (
I `  i )
)
3736adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
ran  I )  ->  E. i  e.  dom  I  x  e.  (
I `  i )
)
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  dom  I  -> 
i  e.  dom  I
)
39 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e. 
_V
4039, 16dmmpti 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  I  =  ( 0..^ M )
4138, 40syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  dom  I  -> 
i  e.  ( 0..^ M ) )
4241adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
4339a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )  e.  _V )
4416fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )  e.  _V )  -> 
( I `  i
)  =  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
4542, 43, 44syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
I `  i )  =  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
46 fourierdlem71.fcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
47 cncff 22003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) --> CC )
48 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) : ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) --> CC  ->  dom  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
5041, 49sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  dom  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
51 ssdmres 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  dom  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
5250, 51sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  dom  F )
5345, 52eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
I `  i )  C_ 
dom  F )
54533adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) )  ->  (
I `  i )  C_ 
dom  F )
55 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) )  ->  x  e.  ( I `  i
) )
5654, 55sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) )  ->  x  e.  dom  F )
57563exp 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( i  e.  dom  I  ->  ( x  e.  ( I `  i
)  ->  x  e.  dom  F ) ) )
5857adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
ran  I )  -> 
( i  e.  dom  I  ->  ( x  e.  ( I `  i
)  ->  x  e.  dom  F ) ) )
5958rexlimdv 2870 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
ran  I )  -> 
( E. i  e. 
dom  I  x  e.  ( I `  i
)  ->  x  e.  dom  F ) )
6037, 59mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
ran  I )  ->  x  e.  dom  F )
6130, 32, 60syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u. 
U. ran  I )
)  /\  -.  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom 
F ) )  ->  x  e.  dom  F )
6229, 61pm2.61dan 808 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u. 
U. ran  I )
)  ->  x  e.  dom  F )
635, 27, 62syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  x  e.  dom  F )
644, 63ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  ( F `  x )  e.  RR )
6564recnd 9687 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  ( F `  x )  e.  CC )
6665abscld 13575 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  ->  ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR )
67 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )
68 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  Fin )
69 rnffi 37513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR 
/\  ( 0 ... M )  e.  Fin )  ->  ran  Q  e.  Fin )
707, 68, 69syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  Q  e.  Fin )
71 infi 7813 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
Q  e.  Fin  ->  ( ran  Q  i^i  dom  F )  e.  Fin )
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ran  Q  i^i  dom 
F )  e.  Fin )
7372adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  ( ran  Q  i^i  dom  F
)  e.  Fin )
7467, 73eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  w  e.  Fin )
75 simpll 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  /\  x  e.  w
)  ->  ph )
76 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  ( ran 
Q  i^i  dom  F )  /\  x  e.  w
)  ->  x  e.  w )
77 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  ( ran 
Q  i^i  dom  F )  /\  x  e.  w
)  ->  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )
7876, 77eleqtrd 2551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  ( ran 
Q  i^i  dom  F )  /\  x  e.  w
)  ->  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )
7978adantll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  /\  x  e.  w
)  ->  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )
803adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  F : dom  F --> RR )
8128adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  x  e.  dom  F )
8280, 81ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8382recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
8483abscld 13575 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )
8575, 79, 84syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  /\  x  e.  w
)  ->  ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR )
8685ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR )
87 fimaxre3 10575 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `
 x ) )  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )
8874, 86, 87syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
8988adantlr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  /\  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
90 simpll 768 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  /\  -.  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  ph )
91 neqne 2651 . . . . . . 7  |-  ( -.  w  =  ( ran 
Q  i^i  dom  F )  ->  w  =/=  ( ran  Q  i^i  dom  F
) )
92 elprn1 37810 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) ,  U. ran  I }  /\  w  =/=  ( ran  Q  i^i  dom 
F ) )  ->  w  =  U. ran  I
)
9391, 92sylan2 482 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) ,  U. ran  I }  /\  -.  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  w  =  U. ran  I )
9493adantll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  /\  -.  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  w  =  U. ran  I )
95 fzofi 12225 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
9616rnmptfi 37508 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0..^ M )  e. 
Fin  ->  ran  I  e.  Fin )
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ran  I  e.  Fin
9897a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  =  U. ran  I )  ->  ran  I  e.  Fin )
993adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
ran  I )  ->  F : dom  F --> RR )
10099, 60ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
ran  I )  -> 
( F `  x
)  e.  RR )
101100recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U.
ran  I )  -> 
( F `  x
)  e.  CC )
102101adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  x  e.  U. ran  I )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
103102abscld 13575 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  x  e.  U. ran  I )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )
10439, 16fnmpti 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  I  Fn  ( 0..^ M )
105 fvelrnb 5926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  Fn  ( 0..^ M )  ->  ( t  e.  ran  I  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( I `  i
)  =  t ) )
106104, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ran  I  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( I `  i
)  =  t )
107106biimpi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ran  I  ->  E. i  e.  (
0..^ M ) ( I `  i )  =  t )
108107adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( I `  i
)  =  t )
1097adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
110 elfzofz 11962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
111110adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0 ... M ) )
112109, 111ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
113 fzofzp1 12037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
114113adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
115109, 114ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
116 fourierdlem71.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
117 fourierdlem71.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
118112, 115, 46, 116, 117cncfioobd 37872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_ 
b )
1191183adant3 1050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_ 
b )
120 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
121120fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) `  x
) )  =  ( abs `  ( F `
 x ) ) )
122121breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_  b  <->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  b
) )
123122adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_  b  <->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  b
) )
124123ralbidva 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_  b  <->  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
)
125124rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
)
1261253adant3 1050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  ( E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
)
12739, 44mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I `  i )  =  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
128 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I `  i )  =  t  ->  (
I `  i )  =  t )
129127, 128sylan9req 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  t )
1301293adant1 1048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  =  t )
131130raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  ( A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b  <->  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  b
) )
132131rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  ( E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
)
133126, 132bitrd 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  ( E. b  e.  RR  A. x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  x ) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
)
134119, 133mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b )
1351343exp 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ M )  -> 
( ( I `  i )  =  t  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b ) ) )
136135adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  ->  (
( I `  i
)  =  t  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  b ) ) )
137136rexlimdv 2870 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  ( E. i  e.  (
0..^ M ) ( I `  i )  =  t  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
)
138108, 137mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
139138adantlr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  t  e.  ran  I )  ->  E. b  e.  RR  A. x  e.  t  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  b )
140 eqimss 3470 . . . . . . 7  |-  ( w  =  U. ran  I  ->  w  C_  U. ran  I
)
141140adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  =  U. ran  I )  ->  w  C_  U. ran  I
)
14298, 103, 139, 141ssfiunibd 37615 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  U. ran  I )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )
14390, 94, 142syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ( ran  Q  i^i  dom  F ) , 
U. ran  I }
)  /\  -.  w  =  ( ran  Q  i^i  dom  F ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )
14489, 143pm2.61dan 808 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { ( ran  Q  i^i  dom 
F ) ,  U. ran  I } )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  w  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )
145 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  ran  Q )
146 elinel2 3611 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F )  ->  x  e.  dom  F )
147146ad2antlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  dom  F )
148145, 147elind 3609 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F )
)
149 elun1 3592 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ran  Q  i^i  dom  F )  ->  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F
)  u.  U. ran  I ) )
150148, 149syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F
)  u.  U. ran  I ) )
151 fourierdlem71.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
152151ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  M  e.  NN )
1537ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
154 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
155154adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  ->  x  e.  ( A [,] B
) )
156 fourierdlem71.q0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
157156eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  =  ( Q `
 0 ) )
158157adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  ->  A  =  ( Q ` 
0 ) )
159 fourierdlem71.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
160159eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  =  ( Q `
 M ) )
161160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  ->  B  =  ( Q `  M ) )
162158, 161oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  ->  ( A [,] B )  =  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
) )
163155, 162eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
) )
164163adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  ( ( Q `  0
) [,] ( Q `
 M ) ) )
165 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  -.  x  e.  ran  Q )
166 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  j ) )
167166breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( Q `  k
)  <  x  <->  ( Q `  j )  <  x
) )
168167cbvrabv 3030 . . . . . . . . . . . 12  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
x }  =  {
j  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  j )  <  x }
169168supeq1i 7979 . . . . . . . . . . 11  |-  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  x } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { j  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 j )  < 
x } ,  RR ,  <  )
170152, 153, 164, 165, 169fourierdlem25 38106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) x  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
17141ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ M ) )
172 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) ) )  ->  x  e.  ( I `  i ) )
173171, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) ) )  -> 
( I `  i
)  =  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
174172, 173eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
175171, 174jca 541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ M )  /\  x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
176 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
177176, 40syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  dom  I )
178177ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  x  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  i  e.  dom  I )
179 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  x  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
180127eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( I `  i ) )
181180ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  x  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( I `  i ) )
182179, 181eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  x  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  x  e.  ( I `  i
) )
183178, 182jca 541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  x  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )  ->  (
i  e.  dom  I  /\  x  e.  (
I `  i )
) )
184175, 183impbida 850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( i  e. 
dom  I  /\  x  e.  ( I `  i
) )  <->  ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  x  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
185184rexbidv2 2888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. i  e. 
dom  I  x  e.  ( I `  i
)  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) x  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
186185ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  ( E. i  e.  dom  I  x  e.  ( I `  i
)  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) x  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
187170, 186mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  E. i  e.  dom  I  x  e.  (
I `  i )
)
188187, 35sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  U. ran  I )
189 elun2 3593 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. ran  I  ->  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u.  U. ran  I ) )
190188, 189syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  /\  -.  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom 
F )  u.  U. ran  I ) )
191150, 190pm2.61dan 808 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u. 
U. ran  I )
)
192191ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( A [,] B
)  i^i  dom  F ) x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u.  U. ran  I ) )
193 dfss3 3408 . . . . 5  |-  ( ( ( A [,] B
)  i^i  dom  F ) 
C_  ( ( ran 
Q  i^i  dom  F )  u.  U. ran  I
)  <->  A. x  e.  ( ( A [,] B
)  i^i  dom  F ) x  e.  ( ( ran  Q  i^i  dom  F )  u.  U. ran  I ) )
194192, 193sylibr 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F )  C_  ( ( ran  Q  i^i  dom  F
)  u.  U. ran  I ) )
19514, 23, 25syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. { ( ran 
Q  i^i  dom  F ) ,  U. ran  I }  =  ( ( ran  Q  i^i  dom  F
)  u.  U. ran  I ) )
196194, 195sseqtr4d 3455 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F )  C_  U. { ( ran  Q  i^i  dom  F ) ,  U. ran  I } )
1972, 66, 144, 196ssfiunibd 37615 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F )
( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
198 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ x ph
199 nfra1 2785 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  (
( A [,] B
)  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y
200198, 199nfan 2031 . . . . 5  |-  F/ x
( ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
201 fourierdlem71.dmf . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  RR )
202201sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  RR )
203 fourierdlem71.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
204203adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  B  e.  RR )
205204, 202resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( B  -  x )  e.  RR )
206 fourierdlem71.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  T  =  ( B  -  A
)
207 fourierdlem71.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
208203, 207resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
209206, 208syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
210209adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  T  e.  RR )
211 fourierdlem71.altb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  <  B )
212207, 203posdifd 10221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
213211, 212mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
214213, 206syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <  T )
215214gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
216215adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  T  =/=  0 )
217205, 210, 216redivcld 10457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  e.  RR )
218217flcld 12067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e.  ZZ )
219218zred 11063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e.  RR )
220219, 210remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  e.  RR )
221202, 220readdcld 9688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
222 fourierdlem71.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
223222fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )  ->  ( E `  x )  =  ( x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) )
224202, 221, 223syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( E `  x )  =  ( x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  x.  T
) ) )
225224fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( E `  x ) )  =  ( F `  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) ) )
226 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e. 
_V
227 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
k  e.  ZZ  <->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  e.  ZZ ) )
228227anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  k  e.  ZZ ) 
<->  ( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  e.  ZZ ) ) )
229 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
k  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )
230229oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
x  +  ( k  x.  T ) )  =  ( x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  x.  T
) ) )
231230fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  ( F `  ( x  +  ( k  x.  T ) ) )  =  ( F `  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) ) )
232231eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
( F `  (
x  +  ( k  x.  T ) ) )  =  ( F `
 x )  <->  ( F `  ( x  +  ( ( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )  =  ( F `  x ) ) )
233228, 232imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `
 ( x  +  ( k  x.  T
) ) )  =  ( F `  x
) )  <->  ( (
( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e.  ZZ )  -> 
( F `  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) )  =  ( F `
 x ) ) ) )
234 fourierdlem71.fxpt . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `  (
x  +  ( k  x.  T ) ) )  =  ( F `
 x ) )
235226, 233, 234vtocl 3086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e.  ZZ )  -> 
( F `  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) )  =  ( F `
 x ) )
236218, 235mpdan 681 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) )  =  ( F `  x ) )
237225, 236eqtr2d 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( E `  x ) ) )
238237fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  ( F `  ( E `  x ) ) ) )
239238adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  =  ( abs `  ( F `  ( E `  x )
) ) )
240 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
241240fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  ( F `  w )
) )
242241breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  y  <->  ( abs `  ( F `  w
) )  <_  y
) )
243242cbvralv 3005 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y  <->  A. w  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  w )
)  <_  y )
244243biimpi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y  ->  A. w  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  w )
)  <_  y )
245244ad2antlr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )  /\  x  e.  dom  F )  ->  A. w  e.  ( ( A [,] B
)  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  w )
)  <_  y )
246 iocssicc 11747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,] B )  C_  ( A [,] B )
247207adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  A  e.  RR )
248211adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  A  <  B )
249 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
250 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  y ) )
251250oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  y )  /  T ) )
252251fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  y
)  /  T ) ) )
253252oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  y )  /  T ) )  x.  T ) )
254249, 253oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( y  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  y )  /  T
) )  x.  T
) ) )
255254cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  y )  /  T
) )  x.  T
) ) )
256222, 255eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E  =  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  ( ( |_ `  (
( B  -  y
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
257247, 204, 248, 206, 256fourierdlem4 38085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  E : RR --> ( A (,] B ) )
258257, 202ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( E `  x )  e.  ( A (,] B
) )
259246, 258sseldi 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( E `  x )  e.  ( A [,] B
) )
260230eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  dom  F  <->  ( x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  dom  F ) )
261228, 260imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T
) )  ->  (
( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F
)  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( x  +  ( k  x.  T ) )  e. 
dom  F )  <->  ( (
( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e.  ZZ )  -> 
( x  +  ( ( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) )  e.  dom  F
) ) )
262 fourierdlem71.xpt . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  dom  F
)
263226, 261, 262vtocl 3086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  dom  F )  /\  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e.  ZZ )  -> 
( x  +  ( ( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) )  e.  dom  F
)
264218, 263mpdan 681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  dom  F )
265224, 264eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( E `  x )  e.  dom  F )
266259, 265elind 3609 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( E `  x )  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) )
267266adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( E `  x )  e.  ( ( A [,] B
)  i^i  dom  F ) )
268 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( E `  x )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( E `  x ) ) )
269268fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( E `  x )  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  ( E `  x ) ) ) )
270269breq1d 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( E `  x )  ->  (
( abs `  ( F `  w )
)  <_  y  <->  ( abs `  ( F `  ( E `  x )
) )  <_  y
) )
271270rspccva 3135 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. w  e.  ( ( A [,] B
)  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  w )
)  <_  y  /\  ( E `  x )  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( E `  x ) ) )  <_  y )
272245, 267, 271syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  ( E `  x ) ) )  <_  y )
273239, 272eqbrtrd 4416 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i 
dom  F ) ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y )  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
274273ex 441 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )  ->  ( x  e.  dom  F  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
)
275200, 274ralrimi 2800 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )  ->  A. x  e.  dom  F ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
276275ex 441 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y  ->  A. x  e.  dom  F
( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
)
277276reximdv 2857 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. x  e.  ( ( A [,] B )  i^i  dom  F ) ( abs `  ( F `  x )
)  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  y ) )
278197, 277mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  dom  F
( abs `  ( F `  x )
)  <_  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   {cpr 3961   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   ZZcz 10961   (,)cioo 11660   (,]cioc 11661   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   |_cfl 12059   abscabs 13374   -cn->ccncf 21986   lim CC climc 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  38176  fourierdlem113  38195
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