Theorem fourierdlem70 38152

Description: A piecewise continuous function is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem70.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem70.2	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem70.aleb	|- ( ph -> A <_ B )
fourierdlem70.f	|- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> RR )
fourierdlem70.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem70.q	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem70.q0	|- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
fourierdlem70.qm	|- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
fourierdlem70.qlt	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
fourierdlem70.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem70.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
fourierdlem70.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem70.i	|- I = ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem70	|- ( ph -> E. x e. RR A. s e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ x )

Distinct variable groups:   A, i   B, i   i, F, s   x, F, s   i, I, s   x, I   L, s   i, M, s   Q, i, s   x, Q   R, s   ph, i, s   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x, s)   B( x, s)   R( x, i)   L( x, i)   M( x)

Proof of Theorem fourierdlem70

Dummy variables t v y w b z j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prfi 7864	. . 3 |- { ran Q , U. ran I } e. Fin
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> { ran Q , U. ran I } e. Fin )
3		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. U. { ran Q , U. ran I } ) -> s e. U. { ran Q , U. ran I } )
4		fourierdlem70.q	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
5		ovex 6336	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... M ) e. _V
6		fex 6155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR /\ ( 0 ... M ) e. _V ) -> Q e. _V )
7	4, 5, 6	sylancl 675	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. _V )
8		rnexg 6744	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. _V -> ran Q e. _V )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran Q e. _V )
10		fzofi 12225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0..^ M ) e. Fin
11		fourierdlem70.i	. . . . . . . . . . . . 13 |- I = ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
12	11	rnmptfi 37508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0..^ M ) e. Fin -> ran I e. Fin )
13	10, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ran I e. Fin
14	13	elexi 3041	. . . . . . . . . 10 |- ran I e. _V
15	14	uniex 6606	. . . . . . . . 9 |- U. ran I e. _V
16		uniprg 4204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ran Q e. _V /\ U. ran I e. _V ) -> U. { ran Q , U. ran I } = ( ran Q u. U. ran I ) )
17	9, 15, 16	sylancl 675	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U. { ran Q , U. ran I } = ( ran Q u. U. ran I ) )
18	17	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. U. { ran Q , U. ran I } ) -> U. { ran Q , U. ran I } = ( ran Q u. U. ran I ) )
19	3, 18	eleqtrd 2551	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. U. { ran Q , U. ran I } ) -> s e. ( ran Q u. U. ran I ) )
20		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN |-> { v e. ( RR ^m ( 0 ... y ) ) | ( ( ( v ` 0 ) = A /\ ( v ` y ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ y ) ( v ` i ) < ( v ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( y e. NN |-> { v e. ( RR ^m ( 0 ... y ) ) | ( ( ( v ` 0 ) = A /\ ( v ` y ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ y ) ( v ` i ) < ( v ` ( i + 1 ) ) ) } )
21		fourierdlem70.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. NN )
22		reex 9648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
23	22, 5	elmap 7518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) <-> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
24	4, 23	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
25		fourierdlem70.q0	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
26		fourierdlem70.qm	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
27	25, 26	jca 541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) )
28		fourierdlem70.qlt	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
29	28	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
30	24, 27, 29	jca32 544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
31	20	fourierdlem2 38083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( ( y e. NN |-> { v e. ( RR ^m ( 0 ... y ) ) | ( ( ( v ` 0 ) = A /\ ( v ` y ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ y ) ( v ` i ) < ( v ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
32	21, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q e. ( ( y e. NN |-> { v e. ( RR ^m ( 0 ... y ) ) | ( ( ( v ` 0 ) = A /\ ( v ` y ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ y ) ( v ` i ) < ( v ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
33	30, 32	mpbird 240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. ( ( y e. NN |-> { v e. ( RR ^m ( 0 ... y ) ) | ( ( ( v ` 0 ) = A /\ ( v ` y ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ y ) ( v ` i ) < ( v ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) )
34	20, 21, 33	fourierdlem15 38096	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
35		frn 5747	. . . . . . . . . 10 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) -> ran Q C_ ( A [,] B ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran Q C_ ( A [,] B ) )
37	36	sselda 3418	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ran Q ) -> s e. ( A [,] B ) )
38	37	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( ran Q u. U. ran I ) ) /\ s e. ran Q ) -> s e. ( A [,] B ) )
39		simpll 768	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( ran Q u. U. ran I ) ) /\ -. s e. ran Q ) -> ph )
40		elunnel1 3566	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. ( ran Q u. U. ran I ) /\ -. s e. ran Q ) -> s e. U. ran I )
41	40	adantll 728	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( ran Q u. U. ran I ) ) /\ -. s e. ran Q ) -> s e. U. ran I )
42		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. U. ran I ) -> s e. U. ran I )
43	11	funmpt2 5626	. . . . . . . . . . 11 |- Fun I
44		elunirn 6174	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun I -> ( s e. U. ran I <-> E. i e. dom I s e. ( I ` i ) ) )
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. U. ran I ) -> ( s e. U. ran I <-> E. i e. dom I s e. ( I ` i ) ) )
46	42, 45	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. U. ran I ) -> E. i e. dom I s e. ( I ` i ) )
47		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. dom I -> i e. dom I )
48		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. _V
49	48, 11	dmmpti 5717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- dom I = ( 0..^ M )
50	47, 49	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. dom I -> i e. ( 0..^ M ) )
51	11	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) e. _V ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
52	50, 48, 51	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. dom I -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
53	52	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
54		ioossicc 11745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) )
55		fourierdlem70.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. RR )
56	55	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. RR* )
57	56	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> A e. RR* )
58		fourierdlem70.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. RR )
59	58	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. RR* )
60	59	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> B e. RR* )
61	34	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
62	50	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> i e. ( 0..^ M ) )
63	57, 60, 61, 62	fourierdlem8 38089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
64	54, 63	syl5ss 3429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( A [,] B ) )
65	53, 64	eqsstrd 3452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. dom I ) -> ( I ` i ) C_ ( A [,] B ) )
66	65	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. dom I /\ s e. ( I ` i ) ) -> ( I ` i ) C_ ( A [,] B ) )
67		simp3 1032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. dom I /\ s e. ( I ` i ) ) -> s e. ( I ` i ) )
68	66, 67	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. dom I /\ s e. ( I ` i ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
69	68	3exp 1230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( i e. dom I -> ( s e. ( I ` i ) -> s e. ( A [,] B ) ) ) )
70	69	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. U. ran I ) -> ( i e. dom I -> ( s e. ( I ` i ) -> s e. ( A [,] B ) ) ) )
71	70	rexlimdv 2870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. U. ran I ) -> ( E. i e. dom I s e. ( I ` i ) -> s e. ( A [,] B ) ) )
72	46, 71	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. U. ran I ) -> s e. ( A [,] B ) )
73	39, 41, 72	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( ran Q u. U. ran I ) ) /\ -. s e. ran Q ) -> s e. ( A [,] B ) )
74	38, 73	pm2.61dan 808	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ran Q u. U. ran I ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
75	19, 74	syldan 478	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. U. { ran Q , U. ran I } ) -> s e. ( A [,] B ) )
76		fourierdlem70.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> RR )
77	76	ffvelrnda 6037	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` s ) e. RR )
78	75, 77	syldan 478	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. U. { ran Q , U. ran I } ) -> ( F ` s ) e. RR )
79	78	recnd 9687	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. U. { ran Q , U. ran I } ) -> ( F ` s ) e. CC )
80	79	abscld 13575	. 2 |- ( ( ph /\ s e. U. { ran Q , U. ran I } ) -> ( abs ` ( F ` s ) ) e. RR )
81		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = ran Q ) -> w = ran Q )
82	4	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w = ran Q ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
83		fzfid 12224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w = ran Q ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
84		rnffi 37513	. . . . . . 7 |- ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR /\ ( 0 ... M ) e. Fin ) -> ran Q e. Fin )
85	82, 83, 84	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = ran Q ) -> ran Q e. Fin )
86	81, 85	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = ran Q ) -> w e. Fin )
87	86	adantlr 729	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. { ran Q , U. ran I } ) /\ w = ran Q ) -> w e. Fin )
88	76	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ w = ran Q ) /\ s e. w ) -> F : ( A [,] B ) --> RR )
89		simpll 768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w = ran Q ) /\ s e. w ) -> ph )
90		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = ran Q /\ s e. w ) -> s e. w )
91		simpl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w = ran Q /\ s e. w ) -> w = ran Q )
92	90, 91	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = ran Q /\ s e. w ) -> s e. ran Q )
93	92	adantll 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w = ran Q ) /\ s e. w ) -> s e. ran Q )
94	89, 93, 37	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ w = ran Q ) /\ s e. w ) -> s e. ( A [,] B ) )
95	88, 94	ffvelrnd 6038	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w = ran Q ) /\ s e. w ) -> ( F ` s ) e. RR )
96	95	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w = ran Q ) /\ s e. w ) -> ( F ` s ) e. CC )
97	96	abscld 13575	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w = ran Q ) /\ s e. w ) -> ( abs ` ( F ` s ) ) e. RR )
98	97	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = ran Q ) -> A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) e. RR )
99	98	adantlr 729	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. { ran Q , U. ran I } ) /\ w = ran Q ) -> A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) e. RR )
100		fimaxre3 10575	. . . 4 |- ( ( w e. Fin /\ A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) e. RR ) -> E. z e. RR A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) <_ z )
101	87, 99, 100	syl2anc 673	. . 3 |- ( ( ( ph /\ w e. { ran Q , U. ran I } ) /\ w = ran Q ) -> E. z e. RR A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) <_ z )
102		simpll 768	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. { ran Q , U. ran I } ) /\ -. w = ran Q ) -> ph )
103		neqne 2651	. . . . . 6 |- ( -. w = ran Q -> w =/= ran Q )
104		elprn1 37810	. . . . . 6 |- ( ( w e. { ran Q , U. ran I } /\ w =/= ran Q ) -> w = U. ran I )
105	103, 104	sylan2 482	. . . . 5 |- ( ( w e. { ran Q , U. ran I } /\ -. w = ran Q ) -> w = U. ran I )
106	105	adantll 728	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ w e. { ran Q , U. ran I } ) /\ -. w = ran Q ) -> w = U. ran I )
107	10, 12	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = U. ran I ) -> ran I e. Fin )
108		ax-resscn 9614	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
109	108	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR C_ CC )
110	76, 109	fssd 5750	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
111	110	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ s e. U. ran I ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
112	72	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ s e. U. ran I ) -> s e. ( A [,] B ) )
113	111, 112	ffvelrnd 6038	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ s e. U. ran I ) -> ( F ` s ) e. CC )
114	113	abscld 13575	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ s e. U. ran I ) -> ( abs ` ( F ` s ) ) e. RR )
115	48, 11	fnmpti 5716	. . . . . . . . . 10 |- I Fn ( 0..^ M )
116		fvelrnb 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( I Fn ( 0..^ M ) -> ( t e. ran I <-> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t ) )
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ran I <-> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t )
118	117	biimpi 199	. . . . . . . 8 |- ( t e. ran I -> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t )
119	118	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t )
120	4	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
121		elfzofz 11962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
122	121	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
123	120, 122	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
124		fzofzp1 12037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
125	124	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
126	120, 125	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
127		fourierdlem70.fcn	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
128		fourierdlem70.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
129		fourierdlem70.r	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
130	123, 126, 127, 128, 129	cncfioobd 37872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
131		fvres 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) = ( F ` s ) )
132	131	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) = ( abs ` ( F ` s ) ) )
133	132	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
134	133	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
135	134	ralbidva 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
136	135	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( E. b e. RR A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
137	130, 136	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b )
138	137	3adant3 1050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> E. b e. RR A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b )
139	48, 51	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( I ` i ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
140	139	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( I ` i ) )
141	140	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( I ` i ) )
142		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( I ` i ) = t )
143	141, 142	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = t )
144	143	raleqdv 2979	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b <-> A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
145	144	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( E. b e. RR A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
146	145	3adant1 1048	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> ( E. b e. RR A. s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
147	138, 146	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) /\ ( I ` i ) = t ) -> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b )
148	147	3exp 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( i e. ( 0..^ M ) -> ( ( I ` i ) = t -> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) ) )
149	148	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> ( i e. ( 0..^ M ) -> ( ( I ` i ) = t -> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) ) )
150	149	rexlimdv 2870	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> ( E. i e. ( 0..^ M ) ( I ` i ) = t -> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b ) )
151	119, 150	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ran I ) -> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b )
152	151	adantlr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w = U. ran I ) /\ t e. ran I ) -> E. b e. RR A. s e. t ( abs ` ( F ` s ) ) <_ b )
153		eqimss 3470	. . . . . 6 |- ( w = U. ran I -> w C_ U. ran I )
154	153	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w = U. ran I ) -> w C_ U. ran I )
155	107, 114, 152, 154	ssfiunibd 37615	. . . 4 |- ( ( ph /\ w = U. ran I ) -> E. z e. RR A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) <_ z )
156	102, 106, 155	syl2anc 673	. . 3 |- ( ( ( ph /\ w e. { ran Q , U. ran I } ) /\ -. w = ran Q ) -> E. z e. RR A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) <_ z )
157	101, 156	pm2.61dan 808	. 2 |- ( ( ph /\ w e. { ran Q , U. ran I } ) -> E. z e. RR A. s e. w ( abs ` ( F ` s ) ) <_ z )
158	21	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> M e. NN )
159	4	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
160		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. ( A [,] B ) )
161	25	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A = ( Q ` 0 ) )
162	26	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B = ( Q ` M ) )
163	161, 162	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A [,] B ) = ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
164	163	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( A [,] B ) = ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
165	160, 164	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
166	165	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> t e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
167		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> -. t e. ran Q )
168		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( Q ` k ) = ( Q ` j ) )
169	168	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( ( Q ` k ) < t <-> ( Q ` j ) < t ) )
170	169	cbvrabv 3030	. . . . . . . . . . . . 13 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < t } = { j e. ( 0..^ M ) | ( Q ` j ) < t }
171	170	supeq1i 7979	. . . . . . . . . . . 12 |- sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < t } , RR , < ) = sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( Q ` j ) < t } , RR , < )
172	158, 159, 166, 167, 171	fourierdlem25 38106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> E. i e. ( 0..^ M ) t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
173	139	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( t e. ( I ` i ) <-> t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
174	173	rexbiia 2880	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. i e. ( 0..^ M ) t e. ( I ` i ) <-> E. i e. ( 0..^ M ) t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
175	172, 174	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> E. i e. ( 0..^ M ) t e. ( I ` i ) )
176	49	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0..^ M ) = dom I
177	176	rexeqi 2978	. . . . . . . . . 10 |- ( E. i e. ( 0..^ M ) t e. ( I ` i ) <-> E. i e. dom I t e. ( I ` i ) )
178	175, 177	sylib 201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> E. i e. dom I t e. ( I ` i ) )
179		elunirn 6174	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun I -> ( t e. U. ran I <-> E. i e. dom I t e. ( I ` i ) ) )
180	43, 179	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> ( t e. U. ran I <-> E. i e. dom I t e. ( I ` i ) ) )
181	178, 180	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ -. t e. ran Q ) -> t e. U. ran I )
182	181	ex 441	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( -. t e. ran Q -> t e. U. ran I ) )
183	182	orrd 385	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( t e. ran Q \/ t e. U. ran I ) )
184		elun 3565	. . . . . 6 |- ( t e. ( ran Q u. U. ran I ) <-> ( t e. ran Q \/ t e. U. ran I ) )
185	183, 184	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. ( ran Q u. U. ran I ) )
186	185	ralrimiva 2809	. . . 4 |- ( ph -> A. t e. ( A [,] B ) t e. ( ran Q u. U. ran I ) )
187		dfss3 3408	. . . 4 |- ( ( A [,] B ) C_ ( ran Q u. U. ran I ) <-> A. t e. ( A [,] B ) t e. ( ran Q u. U. ran I ) )
188	186, 187	sylibr 217	. . 3 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( ran Q u. U. ran I ) )
189	188, 17	sseqtr4d 3455	. 2 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ U. { ran Q , U. ran I } )
190	2, 80, 157, 189	ssfiunibd 37615	1 |- ( ph -> E. x e. RR A. s e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` s ) ) <_ x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   u. cun 3388   C_ wss 3390   {cpr 3961   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   Fun wfun 5583   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   NNcn 10631   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   abscabs 13374   -cn->ccncf 21986   lim CC climc 22896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900

This theorem is referenced by:  fourierdlem103  38185  fourierdlem104  38186