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Theorem fourierdlem70 37981
Description: A piecewise continuous function is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem70.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem70.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem70.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
fourierdlem70.f  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
fourierdlem70.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem70.q  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem70.q0  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
fourierdlem70.qm  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
fourierdlem70.qlt  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
fourierdlem70.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem70.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
fourierdlem70.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem70.i  |-  I  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem70  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. s  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  x )
Distinct variable groups:    A, i    B, i    i, F, s   
x, F, s    i, I, s    x, I    L, s    i, M, s    Q, i, s    x, Q    R, s    ph, i, s    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x, s)    B( x, s)    R( x, i)    L( x, i)    M( x)

Proof of Theorem fourierdlem70
Dummy variables  t 
v  y  w  b  z  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prfi 7856 . . 3  |-  { ran  Q ,  U. ran  I }  e.  Fin
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  { ran  Q ,  U. ran  I }  e.  Fin )
3 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )
4 fourierdlem70.q . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
5 ovex 6334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... M )  e. 
_V
6 fex 6154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR 
/\  ( 0 ... M )  e.  _V )  ->  Q  e.  _V )
74, 5, 6sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  _V )
8 rnexg 6740 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  _V  ->  ran  Q  e.  _V )
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  Q  e.  _V )
10 fzofi 12194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
11 fourierdlem70.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  I  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
1211rnmptfi 37396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0..^ M )  e. 
Fin  ->  ran  I  e.  Fin )
1310, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  I  e.  Fin
1413elexi 3090 . . . . . . . . . 10  |-  ran  I  e.  _V
1514uniex 6602 . . . . . . . . 9  |-  U. ran  I  e.  _V
16 uniprg 4233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  Q  e.  _V  /\ 
U. ran  I  e.  _V )  ->  U. { ran  Q ,  U. ran  I }  =  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
179, 15, 16sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. { ran  Q ,  U. ran  I }  =  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
1817adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  U. { ran  Q ,  U. ran  I }  =  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
193, 18eleqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  s  e.  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
20 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  |->  { v  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... y
) )  |  ( ( ( v ` 
0 )  =  A  /\  ( v `  y )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ y ) ( v `  i
)  <  ( v `  ( i  +  1 ) ) ) } )  =  ( y  e.  NN  |->  { v  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... y
) )  |  ( ( ( v ` 
0 )  =  A  /\  ( v `  y )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ y ) ( v `  i
)  <  ( v `  ( i  +  1 ) ) ) } )
21 fourierdlem70.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
22 reex 9638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
2322, 5elmap 7512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  <->  Q :
( 0 ... M
) --> RR )
244, 23sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
25 fourierdlem70.q0 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
26 fourierdlem70.qm . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
2725, 26jca 534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B ) )
28 fourierdlem70.qlt . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
2928ralrimiva 2836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
3024, 27, 29jca32 537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
3120fourierdlem2 37912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( (
y  e.  NN  |->  { v  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... y ) )  |  ( ( ( v `
 0 )  =  A  /\  ( v `
 y )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ y ) ( v `
 i )  < 
( v `  (
i  +  1 ) ) ) } ) `
 M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
3221, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( ( y  e.  NN  |->  { v  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... y ) )  |  ( ( ( v `  0 )  =  A  /\  (
v `  y )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ y ) ( v `
 i )  < 
( v `  (
i  +  1 ) ) ) } ) `
 M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
3330, 32mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( ( y  e.  NN  |->  { v  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... y ) )  |  ( ( ( v `
 0 )  =  A  /\  ( v `
 y )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ y ) ( v `
 i )  < 
( v `  (
i  +  1 ) ) ) } ) `
 M ) )
3420, 21, 33fourierdlem15 37925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
35 frn 5752 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B )  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
3736sselda 3464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ran  Q )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
3837adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( ran  Q  u.  U.
ran  I ) )  /\  s  e.  ran  Q )  ->  s  e.  ( A [,] B ) )
39 simpll 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( ran  Q  u.  U.
ran  I ) )  /\  -.  s  e. 
ran  Q )  ->  ph )
40 elunnel1 3607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  ( ran 
Q  u.  U. ran  I )  /\  -.  s  e.  ran  Q )  ->  s  e.  U. ran  I )
4140adantll 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( ran  Q  u.  U.
ran  I ) )  /\  -.  s  e. 
ran  Q )  -> 
s  e.  U. ran  I )
42 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  -> 
s  e.  U. ran  I )
4311funmpt2 5638 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  I
44 elunirn 6172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  I  ->  ( s  e.  U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  s  e.  ( I `  i
) ) )
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  -> 
( s  e.  U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  s  e.  (
I `  i )
) )
4642, 45mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  ->  E. i  e.  dom  I  s  e.  (
I `  i )
)
47 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  dom  I  -> 
i  e.  dom  I
)
48 ovex 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e. 
_V
4948, 11dmmpti 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  I  =  ( 0..^ M )
5047, 49syl6eleq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  dom  I  -> 
i  e.  ( 0..^ M ) )
5111fvmpt2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )  e.  _V )  -> 
( I `  i
)  =  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
5250, 48, 51sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  dom  I  -> 
( I `  i
)  =  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
5352adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
I `  i )  =  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
54 ioossicc 11728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) [,] ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
55 fourierdlem70.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5655rexrd 9698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
5756adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  A  e.  RR* )
58 fourierdlem70.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5958rexrd 9698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
6059adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  B  e.  RR* )
6134adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
6250adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
6357, 60, 61, 62fourierdlem8 37918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
( Q `  i
) [,] ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  ( A [,] B ) )
6454, 63syl5ss 3475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  ( A [,] B ) )
6553, 64eqsstrd 3498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
I `  i )  C_  ( A [,] B
) )
66653adant3 1025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I  /\  s  e.  ( I `  i
) )  ->  (
I `  i )  C_  ( A [,] B
) )
67 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I  /\  s  e.  ( I `  i
) )  ->  s  e.  ( I `  i
) )
6866, 67sseldd 3465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I  /\  s  e.  ( I `  i
) )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
69683exp 1204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( i  e.  dom  I  ->  ( s  e.  ( I `  i
)  ->  s  e.  ( A [,] B ) ) ) )
7069adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  -> 
( i  e.  dom  I  ->  ( s  e.  ( I `  i
)  ->  s  e.  ( A [,] B ) ) ) )
7170rexlimdv 2912 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  -> 
( E. i  e. 
dom  I  s  e.  ( I `  i
)  ->  s  e.  ( A [,] B ) ) )
7246, 71mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  -> 
s  e.  ( A [,] B ) )
7339, 41, 72syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( ran  Q  u.  U.
ran  I ) )  /\  -.  s  e. 
ran  Q )  -> 
s  e.  ( A [,] B ) )
7438, 73pm2.61dan 798 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )  -> 
s  e.  ( A [,] B ) )
7519, 74syldan 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  s  e.  ( A [,] B ) )
76 fourierdlem70.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
7776ffvelrnda 6038 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
7875, 77syldan 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
7978recnd 9677 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  ( F `  s )  e.  CC )
8079abscld 13498 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  ( abs `  ( F `  s )
)  e.  RR )
81 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  w  =  ran  Q )
824adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
83 fzfid 12193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  (
0 ... M )  e. 
Fin )
84 rnffi 37401 . . . . . . 7  |-  ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR 
/\  ( 0 ... M )  e.  Fin )  ->  ran  Q  e.  Fin )
8582, 83, 84syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  ran  Q  e.  Fin )
8681, 85eqeltrd 2507 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  w  e.  Fin )
8786adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  w  =  ran  Q )  ->  w  e.  Fin )
8876ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
89 simpll 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  ph )
90 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  =  ran  Q  /\  s  e.  w
)  ->  s  e.  w )
91 simpl 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  =  ran  Q  /\  s  e.  w
)  ->  w  =  ran  Q )
9290, 91eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  ran  Q  /\  s  e.  w
)  ->  s  e.  ran  Q )
9392adantll 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  s  e.  ran  Q
)
9489, 93, 37syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  s  e.  ( A [,] B ) )
9588, 94ffvelrnd 6039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  ( F `  s
)  e.  RR )
9695recnd 9677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  ( F `  s
)  e.  CC )
9796abscld 13498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  ( abs `  ( F `  s )
)  e.  RR )
9897ralrimiva 2836 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `  s
) )  e.  RR )
9998adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  w  =  ran  Q )  ->  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `  s
) )  e.  RR )
100 fimaxre3 10561 . . . 4  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `
 s ) )  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  z )
10187, 99, 100syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  w  =  ran  Q )  ->  E. z  e.  RR  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  z )
102 simpll 758 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  -.  w  =  ran  Q )  ->  ph )
103 neqne 37348 . . . . . 6  |-  ( -.  w  =  ran  Q  ->  w  =/=  ran  Q
)
104 elprn1 37654 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I }  /\  w  =/=  ran  Q )  ->  w  =  U. ran  I )
105103, 104sylan2 476 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I }  /\  -.  w  =  ran  Q )  ->  w  =  U. ran  I
)
106105adantll 718 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  -.  w  =  ran  Q )  ->  w  =  U. ran  I
)
10710, 12mp1i 13 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  U. ran  I )  ->  ran  I  e.  Fin )
108 ax-resscn 9604 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
109108a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
11076, 109fssd 5755 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
111110ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  s  e.  U. ran  I )  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
11272adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  s  e.  U. ran  I )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
113111, 112ffvelrnd 6039 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  s  e.  U. ran  I )  ->  ( F `  s )  e.  CC )
114113abscld 13498 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  s  e.  U. ran  I )  ->  ( abs `  ( F `  s ) )  e.  RR )
11548, 11fnmpti 5724 . . . . . . . . . 10  |-  I  Fn  ( 0..^ M )
116 fvelrnb 5929 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  Fn  ( 0..^ M )  ->  ( t  e.  ran  I  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( I `  i
)  =  t ) )
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ran  I  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( I `  i
)  =  t )
118117biimpi 197 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ran  I  ->  E. i  e.  (
0..^ M ) ( I `  i )  =  t )
119118adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( I `  i
)  =  t )
1204adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
121 elfzofz 11943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
122121adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0 ... M ) )
123120, 122ffvelrnd 6039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
124 fzofzp1 12015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
125124adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
126120, 125ffvelrnd 6039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
127 fourierdlem70.fcn . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
128 fourierdlem70.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
129 fourierdlem70.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
130123, 126, 127, 128, 129cncfioobd 37716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) `  s ) )  <_ 
b )
131 fvres 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  s )  =  ( F `  s ) )
132131fveq2d 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) `  s
) )  =  ( abs `  ( F `
 s ) ) )
133132breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  s ) )  <_  b  <->  ( abs `  ( F `  s
) )  <_  b
) )
134133adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  s ) )  <_  b  <->  ( abs `  ( F `  s
) )  <_  b
) )
135134ralbidva 2858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  s ) )  <_  b  <->  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
)
136135rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  s ) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
)
137130, 136mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  b )
1381373adant3 1025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  b )
13948, 51mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I `  i )  =  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
140139eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( I `  i ) )
141140adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( I `
 i ) )
142 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( I `  i
)  =  t )
143141, 142eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  t )
144143raleqdv 3028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b  <->  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s
) )  <_  b
) )
145144rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
)
1461453adant1 1023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  ( E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
)
147138, 146mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  b )
1481473exp 1204 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ M )  -> 
( ( I `  i )  =  t  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  b ) ) )
149148adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  ->  (
( I `  i
)  =  t  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  b ) ) )
150149rexlimdv 2912 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  ( E. i  e.  (
0..^ M ) ( I `  i )  =  t  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
)
151119, 150mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
152151adantlr 719 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  t  e.  ran  I )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
153 eqimss 3516 . . . . . 6  |-  ( w  =  U. ran  I  ->  w  C_  U. ran  I
)
154153adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  U. ran  I )  ->  w  C_  U. ran  I
)
155107, 114, 152, 154ssfiunibd 37482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  =  U. ran  I )  ->  E. z  e.  RR  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  z )
156102, 106, 155syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  -.  w  =  ran  Q )  ->  E. z  e.  RR  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  z )
157101, 156pm2.61dan 798 . 2  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  E. z  e.  RR  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  z )
15821ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  M  e.  NN )
1594ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
160 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( A [,] B ) )
16125eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  =  ( Q `
 0 ) )
16226eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  =  ( Q `
 M ) )
163161, 162oveq12d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =  ( ( Q `  0 ) [,] ( Q `  M ) ) )
164163adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A [,] B )  =  ( ( Q `  0
) [,] ( Q `
 M ) ) )
165160, 164eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
) )
166165adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  t  e.  ( ( Q `  0
) [,] ( Q `
 M ) ) )
167 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  -.  t  e.  ran  Q )
168 fveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  j ) )
169168breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  (
( Q `  k
)  <  t  <->  ( Q `  j )  <  t
) )
170169cbvrabv 3079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
t }  =  {
j  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  j )  <  t }
171170supeq1i 7971 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  t } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { j  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 j )  < 
t } ,  RR ,  <  )
172158, 159, 166, 167, 171fourierdlem25 37935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) t  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
173139eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( t  e.  ( I `  i
)  <->  t  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
174173rexbiia 2923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i  e.  ( 0..^ M ) t  e.  ( I `  i
)  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) t  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
175172, 174sylibr 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) t  e.  ( I `  i ) )
17649eqcomi 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ M )  =  dom  I
177176rexeqi 3027 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. i  e.  ( 0..^ M ) t  e.  ( I `  i
)  <->  E. i  e.  dom  I  t  e.  (
I `  i )
)
178175, 177sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  E. i  e.  dom  I  t  e.  (
I `  i )
)
179 elunirn 6172 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun  I  ->  ( t  e.  U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  t  e.  ( I `  i
) ) )
18043, 179mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  ( t  e. 
U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  t  e.  ( I `  i
) ) )
181178, 180mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  t  e.  U. ran  I )
182181ex 435 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( -.  t  e.  ran  Q  -> 
t  e.  U. ran  I ) )
183182orrd 379 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  e.  ran  Q  \/  t  e.  U. ran  I ) )
184 elun 3606 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( ran  Q  u.  U. ran  I )  <-> 
( t  e.  ran  Q  \/  t  e.  U. ran  I ) )
185183, 184sylibr 215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
186185ralrimiva 2836 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( A [,] B ) t  e.  ( ran 
Q  u.  U. ran  I ) )
187 dfss3 3454 . . . 4  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  ( ran  Q  u.  U. ran  I )  <->  A. t  e.  ( A [,] B ) t  e.  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
188186, 187sylibr 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( ran  Q  u.  U. ran  I
) )
189188, 17sseqtr4d 3501 . 2  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )
1902, 80, 157, 189ssfiunibd 37482 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. s  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080    u. cun 3434    C_ wss 3436   {cpr 4000   U.cuni 4219   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   dom cdm 4853   ran crn 4854    |` cres 4855   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6306    ^m cmap 7484   Fincfn 7581   supcsup 7964   CCcc 9545   RRcr 9546   0cc0 9547   1c1 9548    + caddc 9550   RR*cxr 9682    < clt 9683    <_ cle 9684   NNcn 10617   (,)cioo 11643   [,]cicc 11646   ...cfz 11792  ..^cfzo 11923   abscabs 13298   -cn->ccncf 21907   lim CC climc 22816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625  ax-mulf 9627
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-supp 6927  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-pm 7487  df-ixp 7535  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fsupp 7894  df-fi 7935  df-sup 7966  df-inf 7967  df-oi 8035  df-card 8382  df-cda 8606  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-q 11273  df-rp 11311  df-xneg 11417  df-xadd 11418  df-xmul 11419  df-ioo 11647  df-ioc 11648  df-ico 11649  df-icc 11650  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13163  df-re 13164  df-im 13165  df-sqrt 13299  df-abs 13300  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19920  df-bases 19921  df-topon 19922  df-topsp 19923  df-cld 20033  df-ntr 20034  df-cls 20035  df-cn 20242  df-cnp 20243  df-cmp 20401  df-tx 20576  df-hmeo 20769  df-xms 21334  df-ms 21335  df-tms 21336  df-cncf 21909  df-limc 22820
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  38014  fourierdlem104  38015
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