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Theorem fourierdlem70 32120
Description: A piecewise continuous function is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem70.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem70.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem70.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
fourierdlem70.f  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
fourierdlem70.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem70.q  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem70.q0  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
fourierdlem70.qm  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
fourierdlem70.qlt  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
fourierdlem70.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem70.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
fourierdlem70.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem70.i  |-  I  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem70  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. s  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  x )
Distinct variable groups:    A, i    B, i    i, F, s   
x, F, s    i, I, s    x, I    L, s    i, M, s    Q, i, s    x, Q    R, s    ph, i, s    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x, s)    B( x, s)    R( x, i)    L( x, i)    M( x)

Proof of Theorem fourierdlem70
Dummy variables  t 
v  y  w  b  z  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prfi 7813 . . 3  |-  { ran  Q ,  U. ran  I }  e.  Fin
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  { ran  Q ,  U. ran  I }  e.  Fin )
3 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )
4 fourierdlem70.q . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
5 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... M )  e. 
_V
6 fex 6146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR 
/\  ( 0 ... M )  e.  _V )  ->  Q  e.  _V )
74, 5, 6sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  _V )
8 rnexg 6731 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  _V  ->  ran  Q  e.  _V )
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  Q  e.  _V )
10 fzofi 12086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
11 fourierdlem70.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  I  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
1211rnmptfi 31608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0..^ M )  e. 
Fin  ->  ran  I  e.  Fin )
1310, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  I  e.  Fin
1413elexi 3119 . . . . . . . . . 10  |-  ran  I  e.  _V
1514uniex 6595 . . . . . . . . 9  |-  U. ran  I  e.  _V
16 uniprg 4265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  Q  e.  _V  /\ 
U. ran  I  e.  _V )  ->  U. { ran  Q ,  U. ran  I }  =  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
179, 15, 16sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. { ran  Q ,  U. ran  I }  =  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
1817adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  U. { ran  Q ,  U. ran  I }  =  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
193, 18eleqtrd 2547 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  s  e.  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
20 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  |->  { v  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... y
) )  |  ( ( ( v ` 
0 )  =  A  /\  ( v `  y )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ y ) ( v `  i
)  <  ( v `  ( i  +  1 ) ) ) } )  =  ( y  e.  NN  |->  { v  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... y
) )  |  ( ( ( v ` 
0 )  =  A  /\  ( v `  y )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ y ) ( v `  i
)  <  ( v `  ( i  +  1 ) ) ) } )
21 fourierdlem70.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
22 reex 9600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
2322, 5elmap 7466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  <->  Q :
( 0 ... M
) --> RR )
244, 23sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
25 fourierdlem70.q0 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
26 fourierdlem70.qm . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
2725, 26jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B ) )
28 fourierdlem70.qlt . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
2928ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
3024, 27, 29jca32 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
3120fourierdlem2 32052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( (
y  e.  NN  |->  { v  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... y ) )  |  ( ( ( v `
 0 )  =  A  /\  ( v `
 y )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ y ) ( v `
 i )  < 
( v `  (
i  +  1 ) ) ) } ) `
 M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
3221, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( ( y  e.  NN  |->  { v  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... y ) )  |  ( ( ( v `  0 )  =  A  /\  (
v `  y )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ y ) ( v `
 i )  < 
( v `  (
i  +  1 ) ) ) } ) `
 M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
3330, 32mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( ( y  e.  NN  |->  { v  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... y ) )  |  ( ( ( v `
 0 )  =  A  /\  ( v `
 y )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ y ) ( v `
 i )  < 
( v `  (
i  +  1 ) ) ) } ) `
 M ) )
3420, 21, 33fourierdlem15 32065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
35 frn 5743 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B )  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
3736sselda 3499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ran  Q )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
3837adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( ran  Q  u.  U.
ran  I ) )  /\  s  e.  ran  Q )  ->  s  e.  ( A [,] B ) )
39 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( ran  Q  u.  U.
ran  I ) )  /\  -.  s  e. 
ran  Q )  ->  ph )
40 elunnel1 31575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  ( ran 
Q  u.  U. ran  I )  /\  -.  s  e.  ran  Q )  ->  s  e.  U. ran  I )
4140adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( ran  Q  u.  U.
ran  I ) )  /\  -.  s  e. 
ran  Q )  -> 
s  e.  U. ran  I )
42 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  -> 
s  e.  U. ran  I )
4311funmpt2 5631 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  I
44 elunirn 6164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  I  ->  ( s  e.  U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  s  e.  ( I `  i
) ) )
4543, 44mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  -> 
( s  e.  U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  s  e.  (
I `  i )
) )
4642, 45mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  ->  E. i  e.  dom  I  s  e.  (
I `  i )
)
47 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  dom  I  -> 
i  e.  dom  I
)
48 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e. 
_V
4948, 11dmmpti 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  I  =  ( 0..^ M )
5047, 49syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  dom  I  -> 
i  e.  ( 0..^ M ) )
5111fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )  e.  _V )  -> 
( I `  i
)  =  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
5250, 48, 51sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  dom  I  -> 
( I `  i
)  =  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
I `  i )  =  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
54 ioossicc 11635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) [,] ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
55 fourierdlem70.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5655rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  A  e.  RR* )
58 fourierdlem70.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5958rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  B  e.  RR* )
6134adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
6250adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
6357, 60, 61, 62fourierdlem8 32058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
( Q `  i
) [,] ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  ( A [,] B ) )
6454, 63syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  ( A [,] B ) )
6553, 64eqsstrd 3533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
I `  i )  C_  ( A [,] B
) )
66653adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I  /\  s  e.  ( I `  i
) )  ->  (
I `  i )  C_  ( A [,] B
) )
67 simp3 998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I  /\  s  e.  ( I `  i
) )  ->  s  e.  ( I `  i
) )
6866, 67sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I  /\  s  e.  ( I `  i
) )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
69683exp 1195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( i  e.  dom  I  ->  ( s  e.  ( I `  i
)  ->  s  e.  ( A [,] B ) ) ) )
7069adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  -> 
( i  e.  dom  I  ->  ( s  e.  ( I `  i
)  ->  s  e.  ( A [,] B ) ) ) )
7170rexlimdv 2947 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  -> 
( E. i  e. 
dom  I  s  e.  ( I `  i
)  ->  s  e.  ( A [,] B ) ) )
7246, 71mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  -> 
s  e.  ( A [,] B ) )
7339, 41, 72syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( ran  Q  u.  U.
ran  I ) )  /\  -.  s  e. 
ran  Q )  -> 
s  e.  ( A [,] B ) )
7438, 73pm2.61dan 791 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )  -> 
s  e.  ( A [,] B ) )
7519, 74syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  s  e.  ( A [,] B ) )
76 fourierdlem70.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
7776ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
7875, 77syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
7978recnd 9639 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  ( F `  s )  e.  CC )
8079abscld 13278 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  ( abs `  ( F `  s )
)  e.  RR )
81 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  w  =  ran  Q )
824adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
83 fzfid 12085 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  (
0 ... M )  e. 
Fin )
84 rnffi 31613 . . . . . . 7  |-  ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR 
/\  ( 0 ... M )  e.  Fin )  ->  ran  Q  e.  Fin )
8582, 83, 84syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  ran  Q  e.  Fin )
8681, 85eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  w  e.  Fin )
8786adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  w  =  ran  Q )  ->  w  e.  Fin )
8876ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
89 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  ph )
90 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  =  ran  Q  /\  s  e.  w
)  ->  s  e.  w )
91 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  =  ran  Q  /\  s  e.  w
)  ->  w  =  ran  Q )
9290, 91eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  ran  Q  /\  s  e.  w
)  ->  s  e.  ran  Q )
9392adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  s  e.  ran  Q
)
9489, 93, 37syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  s  e.  ( A [,] B ) )
9588, 94ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  ( F `  s
)  e.  RR )
9695recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  ( F `  s
)  e.  CC )
9796abscld 13278 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  ( abs `  ( F `  s )
)  e.  RR )
9897ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `  s
) )  e.  RR )
9998adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  w  =  ran  Q )  ->  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `  s
) )  e.  RR )
100 fimaxre3 10512 . . . 4  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `
 s ) )  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  z )
10187, 99, 100syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  w  =  ran  Q )  ->  E. z  e.  RR  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  z )
102 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  -.  w  =  ran  Q )  ->  ph )
103 neqne 31595 . . . . . 6  |-  ( -.  w  =  ran  Q  ->  w  =/=  ran  Q
)
104 elprn1 31800 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I }  /\  w  =/=  ran  Q )  ->  w  =  U. ran  I )
105103, 104sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I }  /\  -.  w  =  ran  Q )  ->  w  =  U. ran  I
)
106105adantll 713 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  -.  w  =  ran  Q )  ->  w  =  U. ran  I
)
10710, 12mp1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  U. ran  I )  ->  ran  I  e.  Fin )
108 ax-resscn 9566 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
109108a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
11076, 109fssd 5746 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
111110ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  s  e.  U. ran  I )  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
11272adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  s  e.  U. ran  I )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
113111, 112ffvelrnd 6033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  s  e.  U. ran  I )  ->  ( F `  s )  e.  CC )
114113abscld 13278 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  s  e.  U. ran  I )  ->  ( abs `  ( F `  s ) )  e.  RR )
11548, 11fnmpti 5715 . . . . . . . . . 10  |-  I  Fn  ( 0..^ M )
116 fvelrnb 5920 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  Fn  ( 0..^ M )  ->  ( t  e.  ran  I  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( I `  i
)  =  t ) )
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ran  I  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( I `  i
)  =  t )
118117biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ran  I  ->  E. i  e.  (
0..^ M ) ( I `  i )  =  t )
119118adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( I `  i
)  =  t )
1204adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
121 elfzofz 11840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
122121adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0 ... M ) )
123120, 122ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
124 fzofzp1 11911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
125124adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
126120, 125ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
127 fourierdlem70.fcn . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
128 fourierdlem70.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
129 fourierdlem70.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
130123, 126, 127, 128, 129cncfioobd 31861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) `  s ) )  <_ 
b )
131 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  s )  =  ( F `  s ) )
132131fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) `  s
) )  =  ( abs `  ( F `
 s ) ) )
133132breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  s ) )  <_  b  <->  ( abs `  ( F `  s
) )  <_  b
) )
134133adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  s ) )  <_  b  <->  ( abs `  ( F `  s
) )  <_  b
) )
135134ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  s ) )  <_  b  <->  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
)
136135rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  s ) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
)
137130, 136mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  b )
1381373adant3 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  b )
13948, 51mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I `  i )  =  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
140139eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( I `  i ) )
141140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( I `
 i ) )
142 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( I `  i
)  =  t )
143141, 142eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  t )
144143raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b  <->  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s
) )  <_  b
) )
145144rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
)
1461453adant1 1014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  ( E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
)
147138, 146mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  b )
1481473exp 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ M )  -> 
( ( I `  i )  =  t  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  b ) ) )
149148adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  ->  (
( I `  i
)  =  t  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  b ) ) )
150149rexlimdv 2947 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  ( E. i  e.  (
0..^ M ) ( I `  i )  =  t  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
)
151119, 150mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
152151adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  t  e.  ran  I )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
153 eqimss 3551 . . . . . 6  |-  ( w  =  U. ran  I  ->  w  C_  U. ran  I
)
154153adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  U. ran  I )  ->  w  C_  U. ran  I
)
155107, 114, 152, 154ssfiunibd 31670 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  =  U. ran  I )  ->  E. z  e.  RR  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  z )
156102, 106, 155syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  -.  w  =  ran  Q )  ->  E. z  e.  RR  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  z )
157101, 156pm2.61dan 791 . 2  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  E. z  e.  RR  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  z )
15821ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  M  e.  NN )
1594ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
160 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( A [,] B ) )
16125eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  =  ( Q `
 0 ) )
16226eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  =  ( Q `
 M ) )
163161, 162oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =  ( ( Q `  0 ) [,] ( Q `  M ) ) )
164163adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A [,] B )  =  ( ( Q `  0
) [,] ( Q `
 M ) ) )
165160, 164eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
) )
166165adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  t  e.  ( ( Q `  0
) [,] ( Q `
 M ) ) )
167 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  -.  t  e.  ran  Q )
168 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  j ) )
169168breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  (
( Q `  k
)  <  t  <->  ( Q `  j )  <  t
) )
170169cbvrabv 3108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
t }  =  {
j  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  j )  <  t }
171170supeq1i 7924 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  t } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { j  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 j )  < 
t } ,  RR ,  <  )
172158, 159, 166, 167, 171fourierdlem25 32075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) t  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
173139eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( t  e.  ( I `  i
)  <->  t  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
174173rexbiia 2958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i  e.  ( 0..^ M ) t  e.  ( I `  i
)  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) t  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
175172, 174sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) t  e.  ( I `  i ) )
17649eqcomi 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ M )  =  dom  I
177176rexeqi 3059 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. i  e.  ( 0..^ M ) t  e.  ( I `  i
)  <->  E. i  e.  dom  I  t  e.  (
I `  i )
)
178175, 177sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  E. i  e.  dom  I  t  e.  (
I `  i )
)
179 elunirn 6164 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun  I  ->  ( t  e.  U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  t  e.  ( I `  i
) ) )
18043, 179mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  ( t  e. 
U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  t  e.  ( I `  i
) ) )
181178, 180mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  t  e.  U. ran  I )
182181ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( -.  t  e.  ran  Q  -> 
t  e.  U. ran  I ) )
183182orrd 378 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  e.  ran  Q  \/  t  e.  U. ran  I ) )
184 elun 3641 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( ran  Q  u.  U. ran  I )  <-> 
( t  e.  ran  Q  \/  t  e.  U. ran  I ) )
185183, 184sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
186185ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( A [,] B ) t  e.  ( ran 
Q  u.  U. ran  I ) )
187 dfss3 3489 . . . 4  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  ( ran  Q  u.  U. ran  I )  <->  A. t  e.  ( A [,] B ) t  e.  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
188186, 187sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( ran  Q  u.  U. ran  I
) )
189188, 17sseqtr4d 3536 . 2  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )
1902, 80, 157, 189ssfiunibd 31670 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. s  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    u. cun 3469    C_ wss 3471   {cpr 4034   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   ...cfz 11697  ..^cfzo 11820   abscabs 13078   -cn->ccncf 21505   lim CC climc 22391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  32153  fourierdlem104  32154
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