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Theorem fourierdlem70 38152
Description: A piecewise continuous function is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem70.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem70.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem70.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
fourierdlem70.f  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
fourierdlem70.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem70.q  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem70.q0  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
fourierdlem70.qm  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
fourierdlem70.qlt  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
fourierdlem70.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem70.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
fourierdlem70.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem70.i  |-  I  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem70  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. s  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  x )
Distinct variable groups:    A, i    B, i    i, F, s   
x, F, s    i, I, s    x, I    L, s    i, M, s    Q, i, s    x, Q    R, s    ph, i, s    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x, s)    B( x, s)    R( x, i)    L( x, i)    M( x)

Proof of Theorem fourierdlem70
Dummy variables  t 
v  y  w  b  z  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prfi 7864 . . 3  |-  { ran  Q ,  U. ran  I }  e.  Fin
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  { ran  Q ,  U. ran  I }  e.  Fin )
3 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )
4 fourierdlem70.q . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
5 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... M )  e. 
_V
6 fex 6155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR 
/\  ( 0 ... M )  e.  _V )  ->  Q  e.  _V )
74, 5, 6sylancl 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  _V )
8 rnexg 6744 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  _V  ->  ran  Q  e.  _V )
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  Q  e.  _V )
10 fzofi 12225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
11 fourierdlem70.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  I  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
1211rnmptfi 37508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0..^ M )  e. 
Fin  ->  ran  I  e.  Fin )
1310, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  I  e.  Fin
1413elexi 3041 . . . . . . . . . 10  |-  ran  I  e.  _V
1514uniex 6606 . . . . . . . . 9  |-  U. ran  I  e.  _V
16 uniprg 4204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  Q  e.  _V  /\ 
U. ran  I  e.  _V )  ->  U. { ran  Q ,  U. ran  I }  =  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
179, 15, 16sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. { ran  Q ,  U. ran  I }  =  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
1817adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  U. { ran  Q ,  U. ran  I }  =  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
193, 18eleqtrd 2551 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  s  e.  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
20 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  |->  { v  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... y
) )  |  ( ( ( v ` 
0 )  =  A  /\  ( v `  y )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ y ) ( v `  i
)  <  ( v `  ( i  +  1 ) ) ) } )  =  ( y  e.  NN  |->  { v  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... y
) )  |  ( ( ( v ` 
0 )  =  A  /\  ( v `  y )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ y ) ( v `  i
)  <  ( v `  ( i  +  1 ) ) ) } )
21 fourierdlem70.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
22 reex 9648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
2322, 5elmap 7518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  <->  Q :
( 0 ... M
) --> RR )
244, 23sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
25 fourierdlem70.q0 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
26 fourierdlem70.qm . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
2725, 26jca 541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B ) )
28 fourierdlem70.qlt . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
2928ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
3024, 27, 29jca32 544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
3120fourierdlem2 38083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( (
y  e.  NN  |->  { v  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... y ) )  |  ( ( ( v `
 0 )  =  A  /\  ( v `
 y )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ y ) ( v `
 i )  < 
( v `  (
i  +  1 ) ) ) } ) `
 M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
3221, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( ( y  e.  NN  |->  { v  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... y ) )  |  ( ( ( v `  0 )  =  A  /\  (
v `  y )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ y ) ( v `
 i )  < 
( v `  (
i  +  1 ) ) ) } ) `
 M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
3330, 32mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( ( y  e.  NN  |->  { v  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... y ) )  |  ( ( ( v `
 0 )  =  A  /\  ( v `
 y )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ y ) ( v `
 i )  < 
( v `  (
i  +  1 ) ) ) } ) `
 M ) )
3420, 21, 33fourierdlem15 38096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
35 frn 5747 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B )  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
3736sselda 3418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ran  Q )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
3837adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( ran  Q  u.  U.
ran  I ) )  /\  s  e.  ran  Q )  ->  s  e.  ( A [,] B ) )
39 simpll 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( ran  Q  u.  U.
ran  I ) )  /\  -.  s  e. 
ran  Q )  ->  ph )
40 elunnel1 3566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  ( ran 
Q  u.  U. ran  I )  /\  -.  s  e.  ran  Q )  ->  s  e.  U. ran  I )
4140adantll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( ran  Q  u.  U.
ran  I ) )  /\  -.  s  e. 
ran  Q )  -> 
s  e.  U. ran  I )
42 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  -> 
s  e.  U. ran  I )
4311funmpt2 5626 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  I
44 elunirn 6174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  I  ->  ( s  e.  U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  s  e.  ( I `  i
) ) )
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  -> 
( s  e.  U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  s  e.  (
I `  i )
) )
4642, 45mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  ->  E. i  e.  dom  I  s  e.  (
I `  i )
)
47 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  dom  I  -> 
i  e.  dom  I
)
48 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e. 
_V
4948, 11dmmpti 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  I  =  ( 0..^ M )
5047, 49syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  dom  I  -> 
i  e.  ( 0..^ M ) )
5111fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )  e.  _V )  -> 
( I `  i
)  =  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
5250, 48, 51sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  dom  I  -> 
( I `  i
)  =  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
5352adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
I `  i )  =  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
54 ioossicc 11745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) [,] ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
55 fourierdlem70.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5655rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
5756adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  A  e.  RR* )
58 fourierdlem70.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5958rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
6059adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  B  e.  RR* )
6134adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
6250adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
6357, 60, 61, 62fourierdlem8 38089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
( Q `  i
) [,] ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  ( A [,] B ) )
6454, 63syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  ( A [,] B ) )
6553, 64eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I )  ->  (
I `  i )  C_  ( A [,] B
) )
66653adant3 1050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I  /\  s  e.  ( I `  i
) )  ->  (
I `  i )  C_  ( A [,] B
) )
67 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I  /\  s  e.  ( I `  i
) )  ->  s  e.  ( I `  i
) )
6866, 67sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  dom  I  /\  s  e.  ( I `  i
) )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
69683exp 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( i  e.  dom  I  ->  ( s  e.  ( I `  i
)  ->  s  e.  ( A [,] B ) ) ) )
7069adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  -> 
( i  e.  dom  I  ->  ( s  e.  ( I `  i
)  ->  s  e.  ( A [,] B ) ) ) )
7170rexlimdv 2870 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  -> 
( E. i  e. 
dom  I  s  e.  ( I `  i
)  ->  s  e.  ( A [,] B ) ) )
7246, 71mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U.
ran  I )  -> 
s  e.  ( A [,] B ) )
7339, 41, 72syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( ran  Q  u.  U.
ran  I ) )  /\  -.  s  e. 
ran  Q )  -> 
s  e.  ( A [,] B ) )
7438, 73pm2.61dan 808 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )  -> 
s  e.  ( A [,] B ) )
7519, 74syldan 478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  s  e.  ( A [,] B ) )
76 fourierdlem70.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
7776ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
7875, 77syldan 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  ( F `  s )  e.  RR )
7978recnd 9687 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  ( F `  s )  e.  CC )
8079abscld 13575 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  ( abs `  ( F `  s )
)  e.  RR )
81 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  w  =  ran  Q )
824adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
83 fzfid 12224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  (
0 ... M )  e. 
Fin )
84 rnffi 37513 . . . . . . 7  |-  ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR 
/\  ( 0 ... M )  e.  Fin )  ->  ran  Q  e.  Fin )
8582, 83, 84syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  ran  Q  e.  Fin )
8681, 85eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  w  e.  Fin )
8786adantlr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  w  =  ran  Q )  ->  w  e.  Fin )
8876ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
89 simpll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  ph )
90 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  =  ran  Q  /\  s  e.  w
)  ->  s  e.  w )
91 simpl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  =  ran  Q  /\  s  e.  w
)  ->  w  =  ran  Q )
9290, 91eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  ran  Q  /\  s  e.  w
)  ->  s  e.  ran  Q )
9392adantll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  s  e.  ran  Q
)
9489, 93, 37syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  s  e.  ( A [,] B ) )
9588, 94ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  ( F `  s
)  e.  RR )
9695recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  ( F `  s
)  e.  CC )
9796abscld 13575 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  ran  Q )  /\  s  e.  w )  ->  ( abs `  ( F `  s )
)  e.  RR )
9897ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  ran  Q )  ->  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `  s
) )  e.  RR )
9998adantlr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  w  =  ran  Q )  ->  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `  s
) )  e.  RR )
100 fimaxre3 10575 . . . 4  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `
 s ) )  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  z )
10187, 99, 100syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  w  =  ran  Q )  ->  E. z  e.  RR  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  z )
102 simpll 768 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  -.  w  =  ran  Q )  ->  ph )
103 neqne 2651 . . . . . 6  |-  ( -.  w  =  ran  Q  ->  w  =/=  ran  Q
)
104 elprn1 37810 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I }  /\  w  =/=  ran  Q )  ->  w  =  U. ran  I )
105103, 104sylan2 482 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I }  /\  -.  w  =  ran  Q )  ->  w  =  U. ran  I
)
106105adantll 728 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  -.  w  =  ran  Q )  ->  w  =  U. ran  I
)
10710, 12mp1i 13 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  U. ran  I )  ->  ran  I  e.  Fin )
108 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
109108a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
11076, 109fssd 5750 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
111110ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  s  e.  U. ran  I )  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
11272adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  s  e.  U. ran  I )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
113111, 112ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  s  e.  U. ran  I )  ->  ( F `  s )  e.  CC )
114113abscld 13575 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  s  e.  U. ran  I )  ->  ( abs `  ( F `  s ) )  e.  RR )
11548, 11fnmpti 5716 . . . . . . . . . 10  |-  I  Fn  ( 0..^ M )
116 fvelrnb 5926 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  Fn  ( 0..^ M )  ->  ( t  e.  ran  I  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( I `  i
)  =  t ) )
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ran  I  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( I `  i
)  =  t )
118117biimpi 199 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ran  I  ->  E. i  e.  (
0..^ M ) ( I `  i )  =  t )
119118adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( I `  i
)  =  t )
1204adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
121 elfzofz 11962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
122121adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0 ... M ) )
123120, 122ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
124 fzofzp1 12037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
125124adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
126120, 125ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
127 fourierdlem70.fcn . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
128 fourierdlem70.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
129 fourierdlem70.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
130123, 126, 127, 128, 129cncfioobd 37872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) `  s ) )  <_ 
b )
131 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  s )  =  ( F `  s ) )
132131fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) `  s
) )  =  ( abs `  ( F `
 s ) ) )
133132breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  s ) )  <_  b  <->  ( abs `  ( F `  s
) )  <_  b
) )
134133adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  s ) )  <_  b  <->  ( abs `  ( F `  s
) )  <_  b
) )
135134ralbidva 2828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  s ) )  <_  b  <->  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
)
136135rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  (
( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) `  s ) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
)
137130, 136mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  b )
1381373adant3 1050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  b )
13948, 51mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I `  i )  =  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
140139eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  =  ( I `  i ) )
141140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( I `
 i ) )
142 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( I `  i
)  =  t )
143141, 142eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  t )
144143raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b  <->  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s
) )  <_  b
) )
145144rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  /\  (
I `  i )  =  t )  -> 
( E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
)
1461453adant1 1048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  ( E. b  e.  RR  A. s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
)
147138, 146mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M )  /\  ( I `  i
)  =  t )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  b )
1481473exp 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0..^ M )  -> 
( ( I `  i )  =  t  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  b ) ) )
149148adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  ->  (
( I `  i
)  =  t  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  b ) ) )
150149rexlimdv 2870 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  ( E. i  e.  (
0..^ M ) ( I `  i )  =  t  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
)
151119, 150mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ran  I )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
152151adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  =  U. ran  I )  /\  t  e.  ran  I )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  t  ( abs `  ( F `  s )
)  <_  b )
153 eqimss 3470 . . . . . 6  |-  ( w  =  U. ran  I  ->  w  C_  U. ran  I
)
154153adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  =  U. ran  I )  ->  w  C_  U. ran  I
)
155107, 114, 152, 154ssfiunibd 37615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  =  U. ran  I )  ->  E. z  e.  RR  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  z )
156102, 106, 155syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  /\  -.  w  =  ran  Q )  ->  E. z  e.  RR  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  z )
157101, 156pm2.61dan 808 . 2  |-  ( (
ph  /\  w  e.  { ran  Q ,  U. ran  I } )  ->  E. z  e.  RR  A. s  e.  w  ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  z )
15821ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  M  e.  NN )
1594ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
160 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( A [,] B ) )
16125eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  =  ( Q `
 0 ) )
16226eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  =  ( Q `
 M ) )
163161, 162oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =  ( ( Q `  0 ) [,] ( Q `  M ) ) )
164163adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A [,] B )  =  ( ( Q `  0
) [,] ( Q `
 M ) ) )
165160, 164eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
) )
166165adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  t  e.  ( ( Q `  0
) [,] ( Q `
 M ) ) )
167 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  -.  t  e.  ran  Q )
168 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  j ) )
169168breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  (
( Q `  k
)  <  t  <->  ( Q `  j )  <  t
) )
170169cbvrabv 3030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
t }  =  {
j  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  j )  <  t }
171170supeq1i 7979 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  t } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { j  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 j )  < 
t } ,  RR ,  <  )
172158, 159, 166, 167, 171fourierdlem25 38106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) t  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
173139eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( t  e.  ( I `  i
)  <->  t  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
174173rexbiia 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. i  e.  ( 0..^ M ) t  e.  ( I `  i
)  <->  E. i  e.  ( 0..^ M ) t  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
175172, 174sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) t  e.  ( I `  i ) )
17649eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ M )  =  dom  I
177176rexeqi 2978 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. i  e.  ( 0..^ M ) t  e.  ( I `  i
)  <->  E. i  e.  dom  I  t  e.  (
I `  i )
)
178175, 177sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  E. i  e.  dom  I  t  e.  (
I `  i )
)
179 elunirn 6174 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun  I  ->  ( t  e.  U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  t  e.  ( I `  i
) ) )
18043, 179mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  ( t  e. 
U. ran  I  <->  E. i  e.  dom  I  t  e.  ( I `  i
) ) )
181178, 180mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  -.  t  e.  ran  Q )  ->  t  e.  U. ran  I )
182181ex 441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( -.  t  e.  ran  Q  -> 
t  e.  U. ran  I ) )
183182orrd 385 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  e.  ran  Q  \/  t  e.  U. ran  I ) )
184 elun 3565 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( ran  Q  u.  U. ran  I )  <-> 
( t  e.  ran  Q  \/  t  e.  U. ran  I ) )
185183, 184sylibr 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
186185ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( A [,] B ) t  e.  ( ran 
Q  u.  U. ran  I ) )
187 dfss3 3408 . . . 4  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  ( ran  Q  u.  U. ran  I )  <->  A. t  e.  ( A [,] B ) t  e.  ( ran  Q  u.  U. ran  I ) )
188186, 187sylibr 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( ran  Q  u.  U. ran  I
) )
189188, 17sseqtr4d 3455 . 2  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  U. { ran  Q ,  U. ran  I } )
1902, 80, 157, 189ssfiunibd 37615 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. s  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 s ) )  <_  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   {cpr 3961   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   abscabs 13374   -cn->ccncf 21986   lim CC climc 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  38185  fourierdlem104  38186
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