Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem68 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem68 32196
Description: The derivative of  O is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem68.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem68.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem68.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem68.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem68.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem68.ab  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem68.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
fourierdlem68.fdv  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
fourierdlem68.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
fourierdlem68.fbd  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  D )
fourierdlem68.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
fourierdlem68.fdvbd  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  t ) )  <_  E )
fourierdlem68.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem68.o  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem68  |-  ( ph  ->  ( dom  ( RR 
_D  O )  =  ( A (,) B
)  /\  E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `  s
) )  <_  b
) )
Distinct variable groups:    A, b,
s    t, A, s    B, b, s    t, B    C, b, s    D, b, s   
t, D    E, b,
s    t, E    F, b,
s    t, F    X, b,
s    t, X    ph, b, s    ph, t
Allowed substitution hints:    C( t)    O( t, s, b)

Proof of Theorem fourierdlem68
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem68.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
2 fourierdlem68.xre . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
3 fourierdlem68.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 fourierdlem68.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 fourierdlem68.fdv . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
6 ioossicc 11613 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
7 fourierdlem68.ab . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
86, 7syl5ss 3500 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
9 fourierdlem68.n0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
106sseli 3485 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( A (,) B )  ->  0  e.  ( A [,] B
) )
119, 10nsyl 121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
12 fourierdlem68.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
13 fourierdlem68.o . . . . . 6  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
141, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13fourierdlem57 32185 . . . . 5  |-  ( (
ph  ->  ( ( RR 
_D  O ) : ( A (,) B
) --> RR  /\  ( RR  _D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /\  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
1514simpli 456 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  /\  ( RR 
_D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1615simpld 457 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
) : ( A (,) B ) --> RR )
17 fdm 5717 . . 3  |-  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  ->  dom  ( RR  _D  O
)  =  ( A (,) B ) )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  O )  =  ( A (,) B ) )
19 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )
20 fourierdlem68.altb . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <  B )
213, 4, 20ltled 9722 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
22 2re 10601 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  e.  RR )
243, 4iccssred 31778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
2524sselda 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  RR )
2625rehalfcld 10781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  /  2 )  e.  RR )
2726resincld 13960 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( sin `  ( t  /  2
) )  e.  RR )
2823, 27remulcld 9613 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  e.  RR )
29 2cnd 10604 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  e.  CC )
3027recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( sin `  ( t  /  2
) )  e.  CC )
31 2ne0 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  =/=  0 )
337sselda 3489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( -u pi [,] pi ) )
34 eqcom 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  0  <->  0  =  t )
3534biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  0  ->  0  =  t )
3635adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  ( A [,] B )  /\  t  =  0 )  ->  0  =  t )
37 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  ( A [,] B )  /\  t  =  0 )  ->  t  e.  ( A [,] B ) )
3836, 37eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  ( A [,] B )  /\  t  =  0 )  ->  0  e.  ( A [,] B ) )
3938adantll 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  =  0 )  -> 
0  e.  ( A [,] B ) )
409ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
4139, 40pm2.65da 574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  -.  t  =  0 )
4241neqned 2657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  =/=  0 )
43 fourierdlem44 32172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  t  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
t  /  2 ) )  =/=  0 )
4433, 42, 43syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( sin `  ( t  /  2
) )  =/=  0
)
4529, 30, 32, 44mulne0d 10197 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  =/=  0
)
46 eldifsn 4141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) )  e.  ( RR  \  {
0 } )  <->  ( (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  =/=  0
) )
4728, 45, 46sylanbrc 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  e.  ( RR  \  { 0 } ) )
4847, 19fmptd 6031 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR  \  { 0 } ) )
49 difss 3617 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
\  { 0 } )  C_  RR
50 ax-resscn 9538 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
5149, 50sstri 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
\  { 0 } )  C_  CC
5251a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  \  {
0 } )  C_  CC )
5324, 50syl6ss 3501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
54 2cnd 10604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
55 ssid 3508 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  C_  CC
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
5753, 54, 56constcncfg 31912 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
58 sincn 23005 . . . . . . . . . . 11  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6053, 56idcncfg 31913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  t )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
61 eldifsn 4141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
6229, 32, 61sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
63 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  2 )  =  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 )
6462, 63fmptd 6031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC  \  {
0 } ) )
65 difssd 3618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
66 cncffvrn 21568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  C_  CC  /\  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( (
t  e.  ( A [,] B )  |->  2 )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> ( CC  \  {
0 } ) )  <-> 
( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC  \  {
0 } ) ) )
6765, 57, 66syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC 
\  { 0 } ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 ) : ( A [,] B
) --> ( CC  \  { 0 } ) ) )
6864, 67mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
6960, 68divcncf 31925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  /  2
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
7059, 69cncfmpt1f 21583 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
7157, 70mulcncf 22025 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
72 cncffvrn 21568 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  \  {
0 } )  C_  CC  /\  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR  \  { 0 } ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) : ( A [,] B
) --> ( RR  \  { 0 } ) ) )
7352, 71, 72syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR 
\  { 0 } ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) : ( A [,] B
) --> ( RR  \  { 0 } ) ) )
7448, 73mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> ( RR  \  {
0 } ) ) )
7519, 3, 4, 21, 74cncficcgt0 31930 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. c  e.  RR+  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) ) ) )
76 reelprrecn 9573 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
7776a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
781adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
792adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
80 elioore 11562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
8180adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
8279, 81readdcld 9612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
8378, 82ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
8412adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
8583, 84resubcld 9983 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR )
8685recnd 9611 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
87863ad2antl1 1156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
8876a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
8983recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
905adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) ) ) : ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) --> RR )
912, 3readdcld 9612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR )
9291rexrd 9632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR* )
9392adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  e.  RR* )
942, 4readdcld 9612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR )
9594rexrd 9632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR* )
9695adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  e.  RR* )
973adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
9897rexrd 9632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
994rexrd 9632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
10099adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
101 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
102 ioogtlb 31767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
10398, 100, 101, 102syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
10497, 81, 79, 103ltadd2dd 9730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
1054adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
106 iooltub 31787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
10798, 100, 101, 106syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
10881, 105, 79, 107ltadd2dd 9730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
10993, 96, 82, 104, 108eliood 31770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )
11090, 109ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  RR )
111 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  =  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )
1121, 2, 3, 4, 111, 5fourierdlem28 32156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
11384recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  CC )
114 0red 9586 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  e.  RR )
115 iooretop 21439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
116 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
117116tgioo2 21474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
118115, 117eleqtri 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
12012recnd 9611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
12188, 119, 120dvmptconst 31949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
12288, 89, 110, 112, 113, 114, 121dvmptsub 22536 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  -  0 ) ) )
123110recnd 9611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  CC )
124123subid1d 9911 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  - 
0 )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) )
125124mpteq2dva 4525 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
126122, 125eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
1271263ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) ) ) )
1281233ad2antl1 1156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  CC )
129 2cnd 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  e.  CC )
13080recnd 9611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  CC )
131130halfcld 10779 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
132131sincld 13947 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
133129, 132mulcld 9605 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
134133adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
135 fourierdlem68.e . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
1361353ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  E  e.  RR )
137 1re 9584 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
13822, 137remulcli 9599 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  e.  RR
139138a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
140 1red 9600 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
141 fourierdlem68.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
142120abscld 13349 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
143141, 142readdcld 9612 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D  +  ( abs `  C ) )  e.  RR )
1441433ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( D  +  ( abs `  C ) )  e.  RR )
145 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ph )
146145, 109jca 530 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) )
147 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) )  <->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )
148147anbi2d 701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  <->  ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) )
149 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 t )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )
150149fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  t ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
151150breq1d 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 t ) )  <_  E  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
)
152148, 151imbi12d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) )  -> 
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 t ) )  <_  E )  <->  ( ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
) )
153 fourierdlem68.fdvbd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  t ) )  <_  E )
154152, 153vtoclg 3164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  +  s )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) ) )  <_  E ) )
15582, 146, 154sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
1561553ad2antl1 1156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
157129, 132absmuld 13367 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( abs `  2
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
158 0le2 10622 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  2
159 absid 13211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
16022, 158, 159mp2an 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  2 )  =  2
161160oveq1i 6280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  2 )  x.  ( abs `  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( abs `  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
162132abscld 13349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
163 1red 9600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  1  e.  RR )
16422a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  e.  RR )
165158a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  0  <_  2 )
16680rehalfcld 10781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
167 abssinbd 31729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR  ->  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
168166, 167syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
169162, 163, 164, 165, 168lemul2ad 10481 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
2  x.  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  1 ) )
170161, 169syl5eqbr 4472 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  2
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  1 ) )
171157, 170eqbrtrd 4459 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  1 ) )
172171adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  1 ) )
173 abscosbd 31700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR  ->  ( abs `  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
174101, 166, 1733syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
1751743ad2antl1 1156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
17686abscld 13349 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  e.  RR )
17789abscld 13349 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s )
) )  e.  RR )
178113abscld 13349 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
179177, 178readdcld 9612 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  +  ( abs `  C
) )  e.  RR )
180141adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  D  e.  RR )
181180, 178readdcld 9612 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( D  +  ( abs `  C
) )  e.  RR )
18289, 113abs2dif2d 13371 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  <_  (
( abs `  ( F `  ( X  +  s ) ) )  +  ( abs `  C ) ) )
183 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  ( F `  t )  =  ( F `  ( X  +  s
) ) )
184183fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  =  ( abs `  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )
185184breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( abs `  ( F `  t )
)  <_  D  <->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s )
) )  <_  D
) )
186148, 185imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  t )
)  <_  D )  <->  ( ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  <_  D ) ) )
187 fourierdlem68.fbd . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  D )
188186, 187vtoclg 3164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) )  ->  (
( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  <_  D ) )
189109, 146, 188sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s )
) )  <_  D
)
190177, 180, 178, 189leadd1dd 10162 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  +  ( abs `  C
) )  <_  ( D  +  ( abs `  C ) ) )
191176, 179, 181, 182, 190letrd 9728 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  <_  ( D  +  ( abs `  C ) ) )
1921913ad2antl1 1156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  <_  ( D  +  ( abs `  C ) ) )
19314simpri 460 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
194193a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
195131coscld 13948 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
196195adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
197 simp2 995 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
198 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  (
t  /  2 )  =  ( s  / 
2 ) )
199198fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  ( sin `  ( t  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
200199oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
201200fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  s  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  =  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
202201breq2d 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  s  ->  (
c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  <->  c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
203202cbvralv 3081 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) ) )  <->  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
204 nfv 1712 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ s
ph
205 nfra1 2835 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ s A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
206204, 205nfan 1933 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
207 simplr 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A. s  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
2086, 101sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A [,] B ) )
209208adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
210 rspa 2821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
211207, 209, 210syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
212211ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  ->  c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
213206, 212ralrimi 2854 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. s  e.  ( A (,) B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
214203, 213sylan2b 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. s  e.  ( A (,) B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
2152143adant2 1013 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  A. s  e.  ( A (,) B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
216 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
21777, 87, 127, 128, 134, 136, 139, 140, 144, 156, 172, 175, 192, 194, 196, 197, 215, 216dvdivbd 31959 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B
) ( abs `  (
( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
218217rexlimdv3a 2948 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  RR+  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B
) ( abs `  (
( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
21975, 218mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
220 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s RR
221 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s  _D
222 nfmpt1 4528 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ s
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
22313, 222nfcxfr 2614 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s O
224220, 221, 223nfov 6296 . . . . . . . 8  |-  F/_ s
( RR  _D  O
)
225224nfdm 5233 . . . . . . 7  |-  F/_ s dom  ( RR  _D  O
)
226 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ s
( A (,) B
)
227225, 226raleqf 3047 . . . . . 6  |-  ( dom  ( RR  _D  O
)  =  ( A (,) B )  -> 
( A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b  <->  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
22818, 227syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b  <->  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
229228rexbidv 2965 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b
) )
230219, 229mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
23113a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
232231oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
233232fveq1d 5850 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) `  s
)  =  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )
234233fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( RR  _D  O
) `  s )
)  =  ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) ) )
235234breq1d 4449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( RR  _D  O
) `  s )
)  <_  b  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b
) )
236235rexralbidv 2973 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `  s
) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  dom  ( RR 
_D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
237230, 236mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `
 s ) )  <_  b )
23818, 237jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( dom  ( RR 
_D  O )  =  ( A (,) B
)  /\  E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `  s
) )  <_  b
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ran crn 4989    |` cres 4990   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11221   (,)cioo 11532   [,]cicc 11535   ^cexp 12148   abscabs 13149   sincsin 13881   cosccos 13882   picpi 13884   ↾t crest 14910   TopOpenctopn 14911   topGenctg 14927  ℂfldccnfld 18615   -cn->ccncf 21546    _D cdv 22433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-t1 19982  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437
This theorem is referenced by:  fourierdlem80  32208
  Copyright terms: Public domain W3C validator