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Theorem fourierdlem68 38038
Description: The derivative of  O is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem68.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem68.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem68.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem68.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem68.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem68.ab  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem68.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
fourierdlem68.fdv  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
fourierdlem68.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
fourierdlem68.fbd  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  D )
fourierdlem68.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
fourierdlem68.fdvbd  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  t ) )  <_  E )
fourierdlem68.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem68.o  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem68  |-  ( ph  ->  ( dom  ( RR 
_D  O )  =  ( A (,) B
)  /\  E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `  s
) )  <_  b
) )
Distinct variable groups:    A, b,
s    t, A, s    B, b, s    t, B    C, b, s    D, b, s   
t, D    E, b,
s    t, E    F, b,
s    t, F    X, b,
s    t, X    ph, b, s    ph, t
Allowed substitution hints:    C( t)    O( t, s, b)

Proof of Theorem fourierdlem68
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem68.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
2 fourierdlem68.xre . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
3 fourierdlem68.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 fourierdlem68.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 fourierdlem68.fdv . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
6 ioossicc 11720 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
7 fourierdlem68.ab . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
86, 7syl5ss 3443 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
9 fourierdlem68.n0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
106sseli 3428 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( A (,) B )  ->  0  e.  ( A [,] B
) )
119, 10nsyl 125 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
12 fourierdlem68.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
13 fourierdlem68.o . . . . . 6  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
141, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13fourierdlem57 38027 . . . . 5  |-  ( (
ph  ->  ( ( RR 
_D  O ) : ( A (,) B
) --> RR  /\  ( RR  _D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /\  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
1514simpli 460 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  /\  ( RR 
_D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1615simpld 461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
) : ( A (,) B ) --> RR )
17 fdm 5733 . . 3  |-  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  ->  dom  ( RR  _D  O
)  =  ( A (,) B ) )
1816, 17syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  O )  =  ( A (,) B ) )
19 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )
20 fourierdlem68.altb . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <  B )
213, 4, 20ltled 9783 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
22 2re 10679 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  e.  RR )
243, 4iccssred 37602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
2524sselda 3432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  RR )
2625rehalfcld 10859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  /  2 )  e.  RR )
2726resincld 14197 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( sin `  ( t  /  2
) )  e.  RR )
2823, 27remulcld 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  e.  RR )
29 2cnd 10682 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  e.  CC )
3027recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( sin `  ( t  /  2
) )  e.  CC )
31 2ne0 10702 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  =/=  0 )
337sselda 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( -u pi [,] pi ) )
34 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  0  <->  0  =  t )
3534biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  0  ->  0  =  t )
3635adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  ( A [,] B )  /\  t  =  0 )  ->  0  =  t )
37 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  ( A [,] B )  /\  t  =  0 )  ->  t  e.  ( A [,] B ) )
3836, 37eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  ( A [,] B )  /\  t  =  0 )  ->  0  e.  ( A [,] B ) )
3938adantll 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  =  0 )  -> 
0  e.  ( A [,] B ) )
409ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
4139, 40pm2.65da 580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  -.  t  =  0 )
4241neqned 2631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  =/=  0 )
43 fourierdlem44 38015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  t  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
t  /  2 ) )  =/=  0 )
4433, 42, 43syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( sin `  ( t  /  2
) )  =/=  0
)
4529, 30, 32, 44mulne0d 10264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  =/=  0
)
46 eldifsn 4097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) )  e.  ( RR  \  {
0 } )  <->  ( (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  =/=  0
) )
4728, 45, 46sylanbrc 670 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  e.  ( RR  \  { 0 } ) )
4847, 19fmptd 6046 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR  \  { 0 } ) )
49 difss 3560 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
\  { 0 } )  C_  RR
50 ax-resscn 9596 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
5149, 50sstri 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
\  { 0 } )  C_  CC
5251a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  \  {
0 } )  C_  CC )
5324, 50syl6ss 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
54 2cnd 10682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
55 ssid 3451 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  C_  CC
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
5753, 54, 56constcncfg 37748 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
58 sincn 23399 . . . . . . . . . . 11  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6053, 56idcncfg 37749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  t )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
61 eldifsn 4097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
6229, 32, 61sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
63 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  2 )  =  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 )
6462, 63fmptd 6046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC  \  {
0 } ) )
65 difssd 3561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
66 cncffvrn 21930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  C_  CC  /\  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( (
t  e.  ( A [,] B )  |->  2 )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> ( CC  \  {
0 } ) )  <-> 
( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC  \  {
0 } ) ) )
6765, 57, 66syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC 
\  { 0 } ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 ) : ( A [,] B
) --> ( CC  \  { 0 } ) ) )
6864, 67mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
6960, 68divcncf 37761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  /  2
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
7059, 69cncfmpt1f 21945 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
7157, 70mulcncf 22398 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
72 cncffvrn 21930 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  \  {
0 } )  C_  CC  /\  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR  \  { 0 } ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) : ( A [,] B
) --> ( RR  \  { 0 } ) ) )
7352, 71, 72syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR 
\  { 0 } ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) : ( A [,] B
) --> ( RR  \  { 0 } ) ) )
7448, 73mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> ( RR  \  {
0 } ) ) )
7519, 3, 4, 21, 74cncficcgt0 37766 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. c  e.  RR+  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) ) ) )
76 reelprrecn 9631 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
7776a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
781adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
792adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
80 elioore 11666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
8180adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
8279, 81readdcld 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
8378, 82ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
8412adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
8583, 84resubcld 10047 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR )
8685recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
87863ad2antl1 1170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
8876a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
8983recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
905adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) ) ) : ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) --> RR )
912, 3readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR )
9291rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR* )
9392adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  e.  RR* )
942, 4readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR )
9594rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR* )
9695adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  e.  RR* )
973adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
9897rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
994rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
10099adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
101 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
102 ioogtlb 37592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
10398, 100, 101, 102syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
10497, 81, 79, 103ltadd2dd 9794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
1054adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
106 iooltub 37610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
10798, 100, 101, 106syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
10881, 105, 79, 107ltadd2dd 9794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
10993, 96, 82, 104, 108eliood 37595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )
11090, 109ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  RR )
111 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  =  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )
1121, 2, 3, 4, 111, 5fourierdlem28 37997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
11384recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  CC )
114 0red 9644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  e.  RR )
115 iooretop 21786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
116 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
117116tgioo2 21821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
118115, 117eleqtri 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
12012recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
12188, 119, 120dvmptconst 37785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
12288, 89, 110, 112, 113, 114, 121dvmptsub 22921 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  -  0 ) ) )
123110recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  CC )
124123subid1d 9975 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  - 
0 )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) )
125124mpteq2dva 4489 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
126122, 125eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
1271263ad2ant1 1029 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) ) ) )
1281233ad2antl1 1170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  CC )
129 2cnd 10682 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  e.  CC )
13080recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  CC )
131130halfcld 10857 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
132131sincld 14184 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
133129, 132mulcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
134133adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
135 fourierdlem68.e . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
1361353ad2ant1 1029 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  E  e.  RR )
137 1re 9642 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
13822, 137remulcli 9657 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  e.  RR
139138a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
140 1red 9658 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
141 fourierdlem68.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
142120abscld 13498 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
143141, 142readdcld 9670 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D  +  ( abs `  C ) )  e.  RR )
1441433ad2ant1 1029 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( D  +  ( abs `  C ) )  e.  RR )
145 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ph )
146145, 109jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) )
147 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) )  <->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )
148147anbi2d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  <->  ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) )
149 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 t )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )
150149fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  t ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
151150breq1d 4412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 t ) )  <_  E  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
)
152148, 151imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) )  -> 
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 t ) )  <_  E )  <->  ( ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
) )
153 fourierdlem68.fdvbd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  t ) )  <_  E )
154152, 153vtoclg 3107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  +  s )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) ) )  <_  E ) )
15582, 146, 154sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
1561553ad2antl1 1170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
157129, 132absmuld 13516 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( abs `  2
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
158 0le2 10700 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  2
159 absid 13359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
16022, 158, 159mp2an 678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  2 )  =  2
161160oveq1i 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  2 )  x.  ( abs `  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( abs `  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
162132abscld 13498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
163 1red 9658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  1  e.  RR )
16422a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  e.  RR )
165158a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  0  <_  2 )
16680rehalfcld 10859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
167 abssinbd 37512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR  ->  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
168166, 167syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
169162, 163, 164, 165, 168lemul2ad 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
2  x.  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  1 ) )
170161, 169syl5eqbr 4436 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  2
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  1 ) )
171157, 170eqbrtrd 4423 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  1 ) )
172171adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  1 ) )
173 abscosbd 37488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR  ->  ( abs `  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
174101, 166, 1733syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
1751743ad2antl1 1170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
17686abscld 13498 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  e.  RR )
17789abscld 13498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s )
) )  e.  RR )
178113abscld 13498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
179177, 178readdcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  +  ( abs `  C
) )  e.  RR )
180141adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  D  e.  RR )
181180, 178readdcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( D  +  ( abs `  C
) )  e.  RR )
18289, 113abs2dif2d 13520 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  <_  (
( abs `  ( F `  ( X  +  s ) ) )  +  ( abs `  C ) ) )
183 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  ( F `  t )  =  ( F `  ( X  +  s
) ) )
184183fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  =  ( abs `  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )
185184breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( abs `  ( F `  t )
)  <_  D  <->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s )
) )  <_  D
) )
186148, 185imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  t )
)  <_  D )  <->  ( ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  <_  D ) ) )
187 fourierdlem68.fbd . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  D )
188186, 187vtoclg 3107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) )  ->  (
( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  <_  D ) )
189109, 146, 188sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s )
) )  <_  D
)
190177, 180, 178, 189leadd1dd 10227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  +  ( abs `  C
) )  <_  ( D  +  ( abs `  C ) ) )
191176, 179, 181, 182, 190letrd 9792 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  <_  ( D  +  ( abs `  C ) ) )
1921913ad2antl1 1170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  <_  ( D  +  ( abs `  C ) ) )
19314simpri 464 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
194193a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
195131coscld 14185 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
196195adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
197 simp2 1009 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
198 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  (
t  /  2 )  =  ( s  / 
2 ) )
199198fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  ( sin `  ( t  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
200199oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
201200fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  s  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  =  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
202201breq2d 4414 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  s  ->  (
c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  <->  c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
203202cbvralv 3019 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) ) )  <->  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
204 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ s
ph
205 nfra1 2769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ s A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
206204, 205nfan 2011 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
207 simplr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A. s  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
2086, 101sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A [,] B ) )
209208adantlr 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
210 rspa 2755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
211207, 209, 210syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
212211ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  ->  c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
213206, 212ralrimi 2788 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. s  e.  ( A (,) B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
214203, 213sylan2b 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. s  e.  ( A (,) B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
2152143adant2 1027 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  A. s  e.  ( A (,) B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
216 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
21777, 87, 127, 128, 134, 136, 139, 140, 144, 156, 172, 175, 192, 194, 196, 197, 215, 216dvdivbd 37795 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B
) ( abs `  (
( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
218217rexlimdv3a 2881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  RR+  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B
) ( abs `  (
( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
21975, 218mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
220 nfcv 2592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s RR
221 nfcv 2592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s  _D
222 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ s
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
22313, 222nfcxfr 2590 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s O
224220, 221, 223nfov 6316 . . . . . . . 8  |-  F/_ s
( RR  _D  O
)
225224nfdm 5076 . . . . . . 7  |-  F/_ s dom  ( RR  _D  O
)
226 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ s
( A (,) B
)
227225, 226raleqf 2983 . . . . . 6  |-  ( dom  ( RR  _D  O
)  =  ( A (,) B )  -> 
( A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b  <->  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
22818, 227syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b  <->  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
229228rexbidv 2901 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b
) )
230219, 229mpbird 236 . . 3  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
23113a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
232231oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
233232fveq1d 5867 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) `  s
)  =  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )
234233fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( RR  _D  O
) `  s )
)  =  ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) ) )
235234breq1d 4412 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( RR  _D  O
) `  s )
)  <_  b  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b
) )
236235rexralbidv 2909 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `  s
) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  dom  ( RR 
_D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
237230, 236mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `
 s ) )  <_  b )
23818, 237jca 535 1  |-  ( ph  ->  ( dom  ( RR 
_D  O )  =  ( A (,) B
)  /\  E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `  s
) )  <_  b
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    \ cdif 3401    C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   2c2 10659   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   ^cexp 12272   abscabs 13297   sincsin 14116   cosccos 14117   picpi 14119   ↾t crest 15319   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336  ℂfldccnfld 18970   -cn->ccncf 21908    _D cdv 22818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-t1 20330  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
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