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Theorem fourierdlem68 38150
Description: The derivative of  O is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem68.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem68.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem68.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem68.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem68.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem68.ab  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem68.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
fourierdlem68.fdv  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
fourierdlem68.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
fourierdlem68.fbd  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  D )
fourierdlem68.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
fourierdlem68.fdvbd  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  t ) )  <_  E )
fourierdlem68.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem68.o  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem68  |-  ( ph  ->  ( dom  ( RR 
_D  O )  =  ( A (,) B
)  /\  E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `  s
) )  <_  b
) )
Distinct variable groups:    A, b,
s    t, A, s    B, b, s    t, B    C, b, s    D, b, s   
t, D    E, b,
s    t, E    F, b,
s    t, F    X, b,
s    t, X    ph, b, s    ph, t
Allowed substitution hints:    C( t)    O( t, s, b)

Proof of Theorem fourierdlem68
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem68.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
2 fourierdlem68.xre . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
3 fourierdlem68.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 fourierdlem68.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 fourierdlem68.fdv . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
6 ioossicc 11745 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
7 fourierdlem68.ab . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
86, 7syl5ss 3429 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
9 fourierdlem68.n0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
106sseli 3414 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( A (,) B )  ->  0  e.  ( A [,] B
) )
119, 10nsyl 125 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
12 fourierdlem68.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
13 fourierdlem68.o . . . . . 6  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
141, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13fourierdlem57 38139 . . . . 5  |-  ( (
ph  ->  ( ( RR 
_D  O ) : ( A (,) B
) --> RR  /\  ( RR  _D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /\  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
1514simpli 465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  /\  ( RR 
_D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1615simpld 466 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
) : ( A (,) B ) --> RR )
17 fdm 5745 . . 3  |-  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  ->  dom  ( RR  _D  O
)  =  ( A (,) B ) )
1816, 17syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  O )  =  ( A (,) B ) )
19 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )
20 fourierdlem68.altb . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <  B )
213, 4, 20ltled 9800 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
22 2re 10701 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  e.  RR )
243, 4iccssred 37698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
2524sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  RR )
2625rehalfcld 10882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  /  2 )  e.  RR )
2726resincld 14274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( sin `  ( t  /  2
) )  e.  RR )
2823, 27remulcld 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  e.  RR )
29 2cnd 10704 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  e.  CC )
3027recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( sin `  ( t  /  2
) )  e.  CC )
31 2ne0 10724 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  =/=  0 )
337sselda 3418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( -u pi [,] pi ) )
34 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  0  <->  0  =  t )
3534biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  0  ->  0  =  t )
3635adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  ( A [,] B )  /\  t  =  0 )  ->  0  =  t )
37 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  ( A [,] B )  /\  t  =  0 )  ->  t  e.  ( A [,] B ) )
3836, 37eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  ( A [,] B )  /\  t  =  0 )  ->  0  e.  ( A [,] B ) )
3938adantll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  =  0 )  -> 
0  e.  ( A [,] B ) )
409ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
4139, 40pm2.65da 586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  -.  t  =  0 )
4241neqned 2650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  =/=  0 )
43 fourierdlem44 38127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  t  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
t  /  2 ) )  =/=  0 )
4433, 42, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( sin `  ( t  /  2
) )  =/=  0
)
4529, 30, 32, 44mulne0d 10286 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  =/=  0
)
46 eldifsn 4088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) )  e.  ( RR  \  {
0 } )  <->  ( (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  =/=  0
) )
4728, 45, 46sylanbrc 677 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  e.  ( RR  \  { 0 } ) )
4847, 19fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR  \  { 0 } ) )
49 difss 3549 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
\  { 0 } )  C_  RR
50 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
5149, 50sstri 3427 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
\  { 0 } )  C_  CC
5251a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  \  {
0 } )  C_  CC )
5324, 50syl6ss 3430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
54 2cnd 10704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
55 ssid 3437 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  C_  CC
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
5753, 54, 56constcncfg 37845 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
58 sincn 23478 . . . . . . . . . . 11  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6053, 56idcncfg 37846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  t )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
61 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
6229, 32, 61sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
63 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  2 )  =  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 )
6462, 63fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC  \  {
0 } ) )
65 difssd 3550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
66 cncffvrn 22008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  C_  CC  /\  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( (
t  e.  ( A [,] B )  |->  2 )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> ( CC  \  {
0 } ) )  <-> 
( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC  \  {
0 } ) ) )
6765, 57, 66syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC 
\  { 0 } ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 ) : ( A [,] B
) --> ( CC  \  { 0 } ) ) )
6864, 67mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
6960, 68divcncf 37858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  /  2
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
7059, 69cncfmpt1f 22023 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
7157, 70mulcncf 22476 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
72 cncffvrn 22008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  \  {
0 } )  C_  CC  /\  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR  \  { 0 } ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) : ( A [,] B
) --> ( RR  \  { 0 } ) ) )
7352, 71, 72syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR 
\  { 0 } ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) : ( A [,] B
) --> ( RR  \  { 0 } ) ) )
7448, 73mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> ( RR  \  {
0 } ) ) )
7519, 3, 4, 21, 74cncficcgt0 37863 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. c  e.  RR+  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) ) ) )
76 reelprrecn 9649 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
7776a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
781adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
792adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
80 elioore 11691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
8279, 81readdcld 9688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
8378, 82ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
8412adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
8583, 84resubcld 10068 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR )
8685recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
87863ad2antl1 1192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
8876a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
8983recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
905adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) ) ) : ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) --> RR )
912, 3readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR )
9291rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR* )
9392adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  e.  RR* )
942, 4readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR )
9594rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR* )
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  e.  RR* )
973adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
9897rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
994rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
10099adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
101 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
102 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
10398, 100, 101, 102syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
10497, 81, 79, 103ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
1054adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
106 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
10798, 100, 101, 106syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
10881, 105, 79, 107ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
10993, 96, 82, 104, 108eliood 37691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )
11090, 109ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  RR )
111 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  =  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )
1121, 2, 3, 4, 111, 5fourierdlem28 38109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
11384recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  CC )
114 0red 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  e.  RR )
115 iooretop 21864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
116 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
117116tgioo2 21899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
118115, 117eleqtri 2547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
12012recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
12188, 119, 120dvmptconst 37882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
12288, 89, 110, 112, 113, 114, 121dvmptsub 23000 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  -  0 ) ) )
123110recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  CC )
124123subid1d 9994 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  - 
0 )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) )
125124mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
126122, 125eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
1271263ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) ) ) )
1281233ad2antl1 1192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  CC )
129 2cnd 10704 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  e.  CC )
13080recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  CC )
131130halfcld 10880 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
132131sincld 14261 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
133129, 132mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
134133adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
135 fourierdlem68.e . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
1361353ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  E  e.  RR )
137 1re 9660 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
13822, 137remulcli 9675 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  e.  RR
139138a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
140 1red 9676 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
141 fourierdlem68.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
142120abscld 13575 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
143141, 142readdcld 9688 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D  +  ( abs `  C ) )  e.  RR )
1441433ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( D  +  ( abs `  C ) )  e.  RR )
145 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ph )
146145, 109jca 541 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) )
147 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) )  <->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )
148147anbi2d 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  <->  ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) )
149 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 t )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )
150149fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  t ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
151150breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 t ) )  <_  E  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
)
152148, 151imbi12d 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) )  -> 
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 t ) )  <_  E )  <->  ( ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
) )
153 fourierdlem68.fdvbd . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  t ) )  <_  E )
154152, 153vtoclg 3093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  +  s )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) ) )  <_  E ) )
15582, 146, 154sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
1561553ad2antl1 1192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
157129, 132absmuld 13593 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( abs `  2
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
158 0le2 10722 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  2
159 absid 13436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
16022, 158, 159mp2an 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  2 )  =  2
161160oveq1i 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  2 )  x.  ( abs `  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( abs `  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
162132abscld 13575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
163 1red 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  1  e.  RR )
16422a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  e.  RR )
165158a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  0  <_  2 )
16680rehalfcld 10882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
167 abssinbd 37600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR  ->  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
168166, 167syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
169162, 163, 164, 165, 168lemul2ad 10569 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
2  x.  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  1 ) )
170161, 169syl5eqbr 4429 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  2
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  1 ) )
171157, 170eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  1 ) )
172171adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  1 ) )
173 abscosbd 37578 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR  ->  ( abs `  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
174101, 166, 1733syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
1751743ad2antl1 1192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
17686abscld 13575 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  e.  RR )
17789abscld 13575 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s )
) )  e.  RR )
178113abscld 13575 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
179177, 178readdcld 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  +  ( abs `  C
) )  e.  RR )
180141adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  D  e.  RR )
181180, 178readdcld 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( D  +  ( abs `  C
) )  e.  RR )
18289, 113abs2dif2d 13597 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  <_  (
( abs `  ( F `  ( X  +  s ) ) )  +  ( abs `  C ) ) )
183 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  ( F `  t )  =  ( F `  ( X  +  s
) ) )
184183fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  =  ( abs `  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )
185184breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( abs `  ( F `  t )
)  <_  D  <->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s )
) )  <_  D
) )
186148, 185imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  t )
)  <_  D )  <->  ( ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  <_  D ) ) )
187 fourierdlem68.fbd . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  D )
188186, 187vtoclg 3093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) )  ->  (
( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  <_  D ) )
189109, 146, 188sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s )
) )  <_  D
)
190177, 180, 178, 189leadd1dd 10248 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  +  ( abs `  C
) )  <_  ( D  +  ( abs `  C ) ) )
191176, 179, 181, 182, 190letrd 9809 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  <_  ( D  +  ( abs `  C ) ) )
1921913ad2antl1 1192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  <_  ( D  +  ( abs `  C ) ) )
19314simpri 469 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
194193a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
195131coscld 14262 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
196195adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
197 simp2 1031 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
198 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  (
t  /  2 )  =  ( s  / 
2 ) )
199198fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  ( sin `  ( t  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
200199oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
201200fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  s  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  =  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
202201breq2d 4407 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  s  ->  (
c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  <->  c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
203202cbvralv 3005 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) ) )  <->  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
204 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ s
ph
205 nfra1 2785 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ s A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
206204, 205nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
207 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A. s  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
2086, 101sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A [,] B ) )
209208adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
210 rspa 2774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
211207, 209, 210syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
212211ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  ->  c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
213206, 212ralrimi 2800 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. s  e.  ( A (,) B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
214203, 213sylan2b 483 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. s  e.  ( A (,) B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
2152143adant2 1049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  A. s  e.  ( A (,) B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
216 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
21777, 87, 127, 128, 134, 136, 139, 140, 144, 156, 172, 175, 192, 194, 196, 197, 215, 216dvdivbd 37892 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B
) ( abs `  (
( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
218217rexlimdv3a 2873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  RR+  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B
) ( abs `  (
( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
21975, 218mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
220 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s RR
221 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s  _D
222 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ s
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
22313, 222nfcxfr 2610 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s O
224220, 221, 223nfov 6334 . . . . . . . 8  |-  F/_ s
( RR  _D  O
)
225224nfdm 5082 . . . . . . 7  |-  F/_ s dom  ( RR  _D  O
)
226 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ s
( A (,) B
)
227225, 226raleqf 2969 . . . . . 6  |-  ( dom  ( RR  _D  O
)  =  ( A (,) B )  -> 
( A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b  <->  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
22818, 227syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b  <->  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
229228rexbidv 2892 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b
) )
230219, 229mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
23113a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
232231oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
233232fveq1d 5881 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) `  s
)  =  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )
234233fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( RR  _D  O
) `  s )
)  =  ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) ) )
235234breq1d 4405 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( RR  _D  O
) `  s )
)  <_  b  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b
) )
236235rexralbidv 2898 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `  s
) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  dom  ( RR 
_D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
237230, 236mpbird 240 . 2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `
 s ) )  <_  b )
23818, 237jca 541 1  |-  ( ph  ->  ( dom  ( RR 
_D  O )  =  ( A (,) B
)  /\  E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `  s
) )  <_  b
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ^cexp 12310   abscabs 13374   sincsin 14193   cosccos 14194   picpi 14196   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   -cn->ccncf 21986    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  fourierdlem80  38162
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