Theorem fourierdlem68 38038

Description: The derivative of O is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem68.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem68.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem68.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem68.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem68.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem68.ab	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem68.n0	|- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
fourierdlem68.fdv	|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
fourierdlem68.d	|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem68.fbd	|- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D )
fourierdlem68.e	|- ( ph -> E e. RR )
fourierdlem68.fdvbd	|- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E )
fourierdlem68.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem68.o	|- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem68	|- ( ph -> ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) /\ E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )

Distinct variable groups:   A, b, s   t, A, s   B, b, s   t, B   C, b, s   D, b, s   t, D   E, b, s   t, E   F, b, s   t, F   X, b, s   t, X   ph, b, s   ph, t

Allowed substitution hints:   C( t)   O( t, s, b)

Proof of Theorem fourierdlem68

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem68.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2		fourierdlem68.xre	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. RR )
3		fourierdlem68.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
4		fourierdlem68.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
5		fourierdlem68.fdv	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
6		ioossicc 11720	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
7		fourierdlem68.ab	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
8	6, 7	syl5ss 3443	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
9		fourierdlem68.n0	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
10	6	sseli 3428	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( A (,) B ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
11	9, 10	nsyl 125	. . . . . 6 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
12		fourierdlem68.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
13		fourierdlem68.o	. . . . . 6 |- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13	fourierdlem57 38027	. . . . 5 |- ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
15	14	simpli 460	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
16	15	simpld 461	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR )
17		fdm 5733	. . 3 |- ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR -> dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) )
18	16, 17	syl 17	. 2 |- ( ph -> dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) )
19		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) )
20		fourierdlem68.altb	. . . . . . 7 |- ( ph -> A < B )
21	3, 4, 20	ltled 9783	. . . . . 6 |- ( ph -> A <_ B )
22		2re 10679	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. RR )
24	3, 4	iccssred 37602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
25	24	sselda 3432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. RR )
26	25	rehalfcld 10859	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( t / 2 ) e. RR )
27	26	resincld 14197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) e. RR )
28	23, 27	remulcld 9671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. RR )
29		2cnd 10682	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. CC )
30	27	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) e. CC )
31		2ne0 10702	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 =/= 0 )
33	7	sselda 3432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. ( -u pi [,] pi ) )
34		eqcom 2458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = 0 <-> 0 = t )
35	34	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = 0 -> 0 = t )
36	35	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> 0 = t )
37		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> t e. ( A [,] B ) )
38	36, 37	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
39	38	adantll 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ t = 0 ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
40	9	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ t = 0 ) -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
41	39, 40	pm2.65da 580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> -. t = 0 )
42	41	neqned 2631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t =/= 0 )
43		fourierdlem44 38015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. ( -u pi [,] pi ) /\ t =/= 0 ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) =/= 0 )
44	33, 42, 43	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) =/= 0 )
45	29, 30, 32, 44	mulne0d 10264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) =/= 0 )
46		eldifsn 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( RR \ { 0 } ) <-> ( ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) =/= 0 ) )
47	28, 45, 46	sylanbrc 670	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( RR \ { 0 } ) )
48	47, 19	fmptd 6046	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) )
49		difss 3560	. . . . . . . . . 10 |- ( RR \ { 0 } ) C_ RR
50		ax-resscn 9596	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
51	49, 50	sstri 3441	. . . . . . . . 9 |- ( RR \ { 0 } ) C_ CC
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR \ { 0 } ) C_ CC )
53	24, 50	syl6ss 3444	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
54		2cnd 10682	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. CC )
55		ssid 3451	. . . . . . . . . . 11 |- CC C_ CC
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> CC C_ CC )
57	53, 54, 56	constcncfg 37748	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
58		sincn 23399	. . . . . . . . . . 11 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
60	53, 56	idcncfg 37749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> t ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
61		eldifsn 4097	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
62	29, 32, 61	sylanbrc 670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. ( CC \ { 0 } ) )
63		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) = ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 )
64	62, 63	fmptd 6046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) )
65		difssd 3561	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
66		cncffvrn 21930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( CC \ { 0 } ) C_ CC /\ ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) ) )
67	65, 57, 66	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) ) )
68	64, 67	mpbird 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
69	60, 68	divcncf 37761	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t / 2 ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
70	59, 69	cncfmpt1f 21945	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
71	57, 70	mulcncf 22398	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
72		cncffvrn 21930	. . . . . . . 8 |- ( ( ( RR \ { 0 } ) C_ CC /\ ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) ) )
73	52, 71, 72	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) ) )
74	48, 73	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) )
75	19, 3, 4, 21, 74	cncficcgt0 37766	. . . . 5 |- ( ph -> E. c e. RR+ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) )
76		reelprrecn 9631	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> RR e. { RR , CC } )
78	1	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
79	2	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
80		elioore 11666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
81	80	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
82	79, 81	readdcld 9670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
83	78, 82	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
84	12	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
85	83, 84	resubcld 10047	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR )
86	85	recnd 9669	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
87	86	3ad2antl1 1170	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
88	76	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
89	83	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
90	5	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
91	2, 3	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR )
92	91	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR* )
93	92	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) e. RR* )
94	2, 4	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR )
95	94	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR* )
96	95	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) e. RR* )
97	3	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
98	97	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
99	4	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR* )
100	99	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
101		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
102		ioogtlb 37592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
104	97, 81, 79, 103	ltadd2dd 9794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
105	4	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
106		iooltub 37610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
107	98, 100, 101, 106	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
108	81, 105, 79, 107	ltadd2dd 9794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
109	93, 96, 82, 104, 108	eliood 37595	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) )
110	90, 109	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. RR )
111		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
112	1, 2, 3, 4, 111, 5	fourierdlem28 37997	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
113	84	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. CC )
114		0red 9644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
115		iooretop 21786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
116		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
117	116	tgioo2 21821	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
118	115, 117	eleqtri 2527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
120	12	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
121	88, 119, 120	dvmptconst 37785	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
122	88, 89, 110, 112, 113, 114, 121	dvmptsub 22921	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) )
123	110	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
124	123	subid1d 9975	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
125	124	mpteq2dva 4489	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
126	122, 125	eqtrd 2485	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
127	126	3ad2ant1 1029	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
128	123	3ad2antl1 1170	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
129		2cnd 10682	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 2 e. CC )
130	80	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. CC )
131	130	halfcld 10857	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( s / 2 ) e. CC )
132	131	sincld 14184	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
133	129, 132	mulcld 9663	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
134	133	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
135		fourierdlem68.e	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR )
136	135	3ad2ant1 1029	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> E e. RR )
137		1re 9642	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
138	22, 137	remulcli 9657	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 1 ) e. RR
139	138	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( 2 x. 1 ) e. RR )
140		1red 9658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> 1 e. RR )
141		fourierdlem68.d	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. RR )
142	120	abscld 13498	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
143	141, 142	readdcld 9670	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
144	143	3ad2ant1 1029	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
145		simpl 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ph )
146	145, 109	jca 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
147		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( X + s ) -> ( t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) <-> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
148	147	anbi2d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) <-> ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) )
149		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
150	149	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( X + s ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
151	150	breq1d 4412	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E <-> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) )
152	148, 151	imbi12d 322	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E ) <-> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) ) )
153		fourierdlem68.fdvbd	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E )
154	152, 153	vtoclg 3107	. . . . . . . . 9 |- ( ( X + s ) e. RR -> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) )
155	82, 146, 154	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E )
156	155	3ad2antl1 1170	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E )
157	129, 132	absmuld 13516	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
158		0le2 10700	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 2
159		absid 13359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
160	22, 158, 159	mp2an 678	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs ` 2 ) = 2
161	160	oveq1i 6300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
162	132	abscld 13498	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
163		1red 9658	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 1 e. RR )
164	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 2 e. RR )
165	158	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 0 <_ 2 )
166	80	rehalfcld 10859	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( s / 2 ) e. RR )
167		abssinbd 37512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s / 2 ) e. RR -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
169	162, 163, 164, 165, 168	lemul2ad 10547	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( 2 x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
170	161, 169	syl5eqbr 4436	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
171	157, 170	eqbrtrd 4423	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
172	171	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
173		abscosbd 37488	. . . . . . . . 9 |- ( ( s / 2 ) e. RR -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
174	101, 166, 173	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
175	174	3ad2antl1 1170	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
176	86	abscld 13498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) e. RR )
177	89	abscld 13498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) e. RR )
178	113	abscld 13498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` C ) e. RR )
179	177, 178	readdcld 9670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) e. RR )
180	141	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> D e. RR )
181	180, 178	readdcld 9670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
182	89, 113	abs2dif2d 13520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) )
183		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = ( X + s ) -> ( F ` t ) = ( F ` ( X + s ) ) )
184	183	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = ( X + s ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) = ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) )
185	184	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D <-> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) )
186	148, 185	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D ) <-> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) ) )
187		fourierdlem68.fbd	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D )
188	186, 187	vtoclg 3107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) )
189	109, 146, 188	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D )
190	177, 180, 178, 189	leadd1dd 10227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
191	176, 179, 181, 182, 190	letrd 9792	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
192	191	3ad2antl1 1170	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
193	14	simpri 464	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
194	193	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
195	131	coscld 14185	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
196	195	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
197		simp2 1009	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> c e. RR+ )
198		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = s -> ( t / 2 ) = ( s / 2 ) )
199	198	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = s -> ( sin ` ( t / 2 ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
200	199	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = s -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
201	200	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = s -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
202	201	breq2d 4414	. . . . . . . . . 10 |- ( t = s -> ( c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) <-> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
203	202	cbvralv 3019	. . . . . . . . 9 |- ( A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) <-> A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
204		nfv 1761	. . . . . . . . . . 11 |- F/ s ph
205		nfra1 2769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ s A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
206	204, 205	nfan 2011	. . . . . . . . . 10 |- F/ s ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
207		simplr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
208	6, 101	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
209	208	adantlr 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
210		rspa 2755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) /\ s e. ( A [,] B ) ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
211	207, 209, 210	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
212	211	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) -> ( s e. ( A (,) B ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
213	206, 212	ralrimi 2788	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
214	203, 213	sylan2b 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
215	214	3adant2 1027	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
216		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
217	77, 87, 127, 128, 134, 136, 139, 140, 144, 156, 172, 175, 192, 194, 196, 197, 215, 216	dvdivbd 37795	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
218	217	rexlimdv3a 2881	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. c e. RR+ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
219	75, 218	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
220		nfcv 2592	. . . . . . . . 9 |- F/_ s RR
221		nfcv 2592	. . . . . . . . 9 |- F/_ s _D
222		nfmpt1 4492	. . . . . . . . . 10 |- F/_ s ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
223	13, 222	nfcxfr 2590	. . . . . . . . 9 |- F/_ s O
224	220, 221, 223	nfov 6316	. . . . . . . 8 |- F/_ s ( RR _D O )
225	224	nfdm 5076	. . . . . . 7 |- F/_ s dom ( RR _D O )
226		nfcv 2592	. . . . . . 7 |- F/_ s ( A (,) B )
227	225, 226	raleqf 2983	. . . . . 6 |- ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
228	18, 227	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
229	228	rexbidv 2901	. . . 4 |- ( ph -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
230	219, 229	mpbird 236	. . 3 |- ( ph -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
231	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
232	231	oveq2d 6306	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
233	232	fveq1d 5867	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) ` s ) = ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) )
234	233	fveq2d 5869	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) )
235	234	breq1d 4412	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
236	235	rexralbidv 2909	. . 3 |- ( ph -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
237	230, 236	mpbird 236	. 2 |- ( ph -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b )
238	18, 237	jca 535	1 |- ( ph -> ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) /\ E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   \ cdif 3401   C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835   |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   -ucneg 9861   / cdiv 10269   2c2 10659   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   ^cexp 12272   abscabs 13297   sincsin 14116   cosccos 14117   picpi 14119   ↾_t crest 15319   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336  ℂ_fldccnfld 18970   -cn->ccncf 21908   _D cdv 22818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-t1 20330  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822

This theorem is referenced by:  fourierdlem80  38050