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Theorem fourierdlem68 31798
Description: The derivative of  O is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem68.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem68.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem68.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem68.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem68.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem68.ab  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem68.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
fourierdlem68.fdv  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
fourierdlem68.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
fourierdlem68.fbd  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  D )
fourierdlem68.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
fourierdlem68.fdvbd  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  t ) )  <_  E )
fourierdlem68.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem68.o  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem68  |-  ( ph  ->  ( dom  ( RR 
_D  O )  =  ( A (,) B
)  /\  E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `  s
) )  <_  b
) )
Distinct variable groups:    A, b,
s    t, A, s    B, b, s    t, B    C, b, s    D, b, s   
t, D    E, b,
s    t, E    F, b,
s    t, F    X, b,
s    t, X    ph, b, s    ph, t
Allowed substitution hints:    C( t)    O( t, s, b)

Proof of Theorem fourierdlem68
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem68.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
2 fourierdlem68.xre . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
3 fourierdlem68.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 fourierdlem68.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 fourierdlem68.fdv . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
6 ioossicc 11622 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
7 fourierdlem68.ab . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
86, 7syl5ss 3520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
96sseli 3505 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( A (,) B )  ->  0  e.  ( A [,] B
) )
109adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  e.  ( A [,] B ) )
11 fourierdlem68.n0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  0  e.  ( A [,] B
) )
1310, 12pm2.65da 576 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
14 fourierdlem68.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
15 fourierdlem68.o . . . . . 6  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
161, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 14, 15fourierdlem57 31787 . . . . 5  |-  ( (
ph  ->  ( ( RR 
_D  O ) : ( A (,) B
) --> RR  /\  ( RR  _D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /\  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
1716simpli 458 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  /\  ( RR 
_D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1817simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
) : ( A (,) B ) --> RR )
19 fdm 5741 . . 3  |-  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  ->  dom  ( RR  _D  O
)  =  ( A (,) B ) )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  O )  =  ( A (,) B ) )
21 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )
22 fourierdlem68.altb . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <  B )
233, 4, 22ltled 9744 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
24 2re 10617 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  e.  RR )
263, 4iccssred 31426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( A [,] B ) )
2927, 28sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  RR )
30 2ne0 10640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  =/=  0 )
3229, 25, 31redivcld 10384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  /  2 )  e.  RR )
3332resincld 13756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( sin `  ( t  /  2
) )  e.  RR )
3425, 33remulcld 9636 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  e.  RR )
35 2cn 10618 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  e.  CC )
3733recnd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( sin `  ( t  /  2
) )  e.  CC )
387adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
3938, 28sseldd 3510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( -u pi [,] pi ) )
40 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  0  <->  0  =  t )
4140biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  0  ->  0  =  t )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  ( A [,] B )  /\  t  =  0 )  ->  0  =  t )
43 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  ( A [,] B )  /\  t  =  0 )  ->  t  e.  ( A [,] B ) )
4442, 43eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  ( A [,] B )  /\  t  =  0 )  ->  0  e.  ( A [,] B ) )
4544adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  =  0 )  -> 
0  e.  ( A [,] B ) )
4611ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A [,] B ) )
4745, 46pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  -.  t  =  0 )
4847neqned 2670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  =/=  0 )
49 fourierdlem44 31774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  t  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
t  /  2 ) )  =/=  0 )
5039, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( sin `  ( t  /  2
) )  =/=  0
)
5136, 37, 31, 50mulne0d 10213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  =/=  0
)
5234, 51jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  =/=  0
) )
53 eldifsn 4158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) )  e.  ( RR  \  {
0 } )  <->  ( (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  =/=  0
) )
5452, 53sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  e.  ( RR  \  { 0 } ) )
5554, 21fmptd 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR  \  { 0 } ) )
56 difss 3636 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
\  { 0 } )  C_  RR
57 ax-resscn 9561 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
5856, 57sstri 3518 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
\  { 0 } )  C_  CC
5958a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  \  {
0 } )  C_  CC )
6026, 57syl6ss 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
6135a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
62 ssid 3528 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  C_  CC
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
6460, 61, 63constcncfg 31532 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
65 sincn 22706 . . . . . . . . . . 11  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6760, 63idcncfg 31533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  t )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
6836, 31jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
69 eldifsn 4158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
7068, 69sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  2  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
71 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  2 )  =  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 )
7270, 71fmptd 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC  \  {
0 } ) )
73 difssd 3637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
74 cncffvrn 21270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  C_  CC  /\  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( (
t  e.  ( A [,] B )  |->  2 )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> ( CC  \  {
0 } ) )  <-> 
( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC  \  {
0 } ) ) )
7573, 64, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC 
\  { 0 } ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  2 ) : ( A [,] B
) --> ( CC  \  { 0 } ) ) )
7672, 75mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  2 )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
7767, 76divcncf 31545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  /  2
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
7866, 77cncfmpt1f 21285 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( sin `  (
t  /  2 ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
7964, 78mulcncf 21727 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
80 cncffvrn 21270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  \  {
0 } )  C_  CC  /\  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR  \  { 0 } ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) : ( A [,] B
) --> ( RR  \  { 0 } ) ) )
8159, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR 
\  { 0 } ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) : ( A [,] B
) --> ( RR  \  { 0 } ) ) )
8255, 81mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> ( RR  \  {
0 } ) ) )
8321, 3, 4, 23, 82cncficcgt0 31550 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. c  e.  RR+  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) ) ) )
84 reex 9595 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
8584prid1 4141 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
8685a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
871adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
882adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
89 elioore 11571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
9089adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
9188, 90readdcld 9635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
9287, 91ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
9314adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
9492, 93resubcld 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR )
9594recnd 9634 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
96953ad2antl1 1158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
9785a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
9892recnd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
995adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) ) ) : ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) --> RR )
1002, 3readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR )
101100rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR* )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  e.  RR* )
1032, 4readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR )
104103rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR* )
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  e.  RR* )
1063adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
107106rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
1084rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
110 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
111 ioogtlb 31415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
112107, 109, 110, 111syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
113106, 90, 88, 112ltadd2dd 9752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
1144adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
115 iooltub 31435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
116107, 109, 110, 115syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
11790, 114, 88, 116ltadd2dd 9752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
118102, 105, 91, 113, 117eliood 31418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )
11999, 118ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  RR )
120 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  =  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )
1211, 2, 3, 4, 120, 5fourierdlem28 31758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
12293recnd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  CC )
123 0re 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
124123a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  e.  RR )
125 iooretop 21141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
126 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
127126tgioo2 21176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
128125, 127eleqtri 2553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
13014recnd 9634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
13197, 129, 130dvmptconst 31566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
13297, 98, 119, 121, 122, 124, 131dvmptsub 22238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  -  0 ) ) )
133119recnd 9634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  CC )
134133subid1d 9931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  - 
0 )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) )
135134mpteq2dva 4539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
136132, 135eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
1371363ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) ) ) )
1381333ad2antl1 1158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  CC )
13935a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  e.  CC )
14089recnd 9634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  CC )
14130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  =/=  0 )
142140, 139, 141divcld 10332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
143142sincld 13743 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
144139, 143mulcld 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
145144adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
146 fourierdlem68.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
1471463ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  E  e.  RR )
148 1re 9607 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
14924, 148remulcli 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  1 )  e.  RR
150149a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
151148a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
152 fourierdlem68.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
153130abscld 13247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
154152, 153readdcld 9635 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  +  ( abs `  C ) )  e.  RR )
1551543ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( D  +  ( abs `  C ) )  e.  RR )
156 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ph )
157156, 118jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) )
158 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) )  <->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )
159158anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  <->  ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) )
160 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 t )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )
161160fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  t ) )  =  ( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
162161breq1d 4463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 t ) )  <_  E  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
)
163159, 162imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) )  -> 
( abs `  (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 t ) )  <_  E )  <->  ( ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
) )
164 fourierdlem68.fdvbd . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  t ) )  <_  E )
165163, 164vtoclg 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  +  s )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) ) )  <_  E ) )
16691, 157, 165sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
1671663ad2antl1 1158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  <_  E )
168139, 143absmuld 13265 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( abs `  2
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
169 2pos 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
170123, 24ltlei 9718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  <  2  ->  0  <_  2 )
171169, 170ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
172 absid 13109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
17324, 171, 172mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  2 )  =  2
174173oveq1i 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  2 )  x.  ( abs `  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( abs `  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
175174a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  2
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
176143abscld 13247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
177148a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  1  e.  RR )
17824a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  e.  RR )
179171a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  0  <_  2 )
18089, 178, 141redivcld 10384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
181 abssinbd 31390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR  ->  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
182180, 181syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
183176, 177, 178, 179, 182lemul2ad 10498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
2  x.  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  1 ) )
184175, 183eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  2
)  x.  ( abs `  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  1 ) )
185168, 184eqbrtrd 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  1 ) )
186185adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  <_  ( 2  x.  1 ) )
187 abscosbd 31360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR  ->  ( abs `  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
188110, 180, 1873syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
1891883ad2antl1 1158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  <_  1
)
19095abscld 13247 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  e.  RR )
19198abscld 13247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s )
) )  e.  RR )
192122abscld 13247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
193191, 192readdcld 9635 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  +  ( abs `  C
) )  e.  RR )
194152adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  D  e.  RR )
195194, 192readdcld 9635 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( D  +  ( abs `  C
) )  e.  RR )
19698, 122abs2dif2d 13269 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  <_  (
( abs `  ( F `  ( X  +  s ) ) )  +  ( abs `  C ) ) )
197 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  ( F `  t )  =  ( F `  ( X  +  s
) ) )
198197fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  =  ( abs `  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )
199198breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( abs `  ( F `  t )
)  <_  D  <->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s )
) )  <_  D
) )
200159, 199imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( X  +  s )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  t )
)  <_  D )  <->  ( ( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  <_  D ) ) )
201 fourierdlem68.fbd . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  <_  D )
202200, 201vtoclg 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) )  ->  (
( ph  /\  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  <_  D ) )
203118, 157, 202sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( X  +  s )
) )  <_  D
)
204191, 194, 192, 203leadd1dd 10178 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  ( X  +  s
) ) )  +  ( abs `  C
) )  <_  ( D  +  ( abs `  C ) ) )
205190, 193, 195, 196, 204letrd 9750 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  <_  ( D  +  ( abs `  C ) ) )
2062053ad2antl1 1158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  <_  ( D  +  ( abs `  C ) ) )
20716simpri 462 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
208207a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
209142coscld 13744 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
210209adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  RR+  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
211 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
212 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  ->  ph )
213 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ s  c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )
214 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ t  c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
215 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  s  ->  (
t  /  2 )  =  ( s  / 
2 ) )
216215fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  s  ->  ( sin `  ( t  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
217216oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  s  ->  (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
218217fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  =  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
219218breq2d 4465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  (
c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  <->  c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
220213, 214, 219cbvral 3089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) ) )  <->  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
221220biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( t  /  2
) ) ) )  ->  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
222221adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
223 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ s
ph
224 nfra1 2848 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ s A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
225223, 224nfan 1875 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ s ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
226 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A. s  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
2276, 110sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A [,] B ) )
228227adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
229 rspa 2834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  /\  s  e.  ( A [,] B
) )  ->  c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
230226, 228, 229syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B ) c  <_ 
( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  c  <_  ( abs `  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
231230ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  ->  c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
232225, 231ralrimi 2867 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. s  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. s  e.  ( A (,) B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
233212, 222, 232syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) ) )  ->  A. s  e.  ( A (,) B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
2342333adant2 1015 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  A. s  e.  ( A (,) B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
235 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
23686, 96, 137, 138, 145, 147, 150, 151, 155, 167, 186, 189, 206, 208, 210, 211, 234, 235dvdivbd 31576 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  RR+ 
/\  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) ) )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B
) ( abs `  (
( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
2372363exp 1195 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( c  e.  RR+  ->  ( A. t  e.  ( A [,] B
) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  (
t  /  2 ) ) ) )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
) )
238237rexlimdv 2957 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  RR+  A. t  e.  ( A [,] B ) c  <_  ( abs `  ( 2  x.  ( sin `  ( t  / 
2 ) ) ) )  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B
) ( abs `  (
( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
23983, 238mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
240 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s RR
241 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s  _D
242 nfmpt1 4542 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ s
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
24315, 242nfcxfr 2627 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s O
244240, 241, 243nfov 6318 . . . . . . . 8  |-  F/_ s
( RR  _D  O
)
245244nfdm 5250 . . . . . . 7  |-  F/_ s dom  ( RR  _D  O
)
246 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ s
( A (,) B
)
247245, 246raleqf 3059 . . . . . 6  |-  ( dom  ( RR  _D  O
)  =  ( A (,) B )  -> 
( A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b  <->  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
24820, 247syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b  <->  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
249248rexbidv 2978 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b
) )
250239, 249mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
251 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
25215, 251syl5req 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  O )
253252eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
254253oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
255254fveq1d 5874 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) `  s
)  =  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )
256255fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( RR  _D  O
) `  s )
)  =  ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) ) )
257256breq1d 4463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( RR  _D  O
) `  s )
)  <_  b  <->  ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) `  s
) )  <_  b
) )
258257rexralbidv 2986 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `  s
) )  <_  b  <->  E. b  e.  RR  A. s  e.  dom  ( RR 
_D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) `  s ) )  <_  b )
)
259250, 258mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  A. s  e.  dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `
 s ) )  <_  b )
26020, 259jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( dom  ( RR 
_D  O )  =  ( A (,) B
)  /\  E. b  e.  RR  A. s  e. 
dom  ( RR  _D  O ) ( abs `  ( ( RR  _D  O ) `  s
) )  <_  b
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4033   {cpr 4035   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ran crn 5006    |` cres 5007   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   -ucneg 9818    / cdiv 10218   2c2 10597   RR+crp 11232   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   ^cexp 12146   abscabs 13047   sincsin 13678   cosccos 13679   picpi 13681   ↾t crest 14693   TopOpenctopn 14694   topGenctg 14710  ℂfldccnfld 18290   -cn->ccncf 21248    _D cdv 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-t1 19683  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139
This theorem is referenced by:  fourierdlem80  31810
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