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Theorem fourierdlem68 31798
 Description: The derivative of is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem68.f
fourierdlem68.xre
fourierdlem68.a
fourierdlem68.b
fourierdlem68.altb
fourierdlem68.ab
fourierdlem68.n0
fourierdlem68.fdv
fourierdlem68.d
fourierdlem68.fbd
fourierdlem68.e
fourierdlem68.fdvbd
fourierdlem68.c
fourierdlem68.o
Assertion
Ref Expression
fourierdlem68
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)

Proof of Theorem fourierdlem68
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem68.f . . . . . 6
2 fourierdlem68.xre . . . . . 6
3 fourierdlem68.a . . . . . 6
4 fourierdlem68.b . . . . . 6
5 fourierdlem68.fdv . . . . . 6
6 ioossicc 11622 . . . . . . 7
7 fourierdlem68.ab . . . . . . 7
86, 7syl5ss 3520 . . . . . 6
96sseli 3505 . . . . . . . 8
109adantl 466 . . . . . . 7
11 fourierdlem68.n0 . . . . . . . 8
1211adantr 465 . . . . . . 7
1310, 12pm2.65da 576 . . . . . 6
14 fourierdlem68.c . . . . . 6
15 fourierdlem68.o . . . . . 6
161, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 14, 15fourierdlem57 31787 . . . . 5
1716simpli 458 . . . 4
1817simpld 459 . . 3
19 fdm 5741 . . 3
2018, 19syl 16 . 2
21 eqid 2467 . . . . . 6
22 fourierdlem68.altb . . . . . . 7
233, 4, 22ltled 9744 . . . . . 6
24 2re 10617 . . . . . . . . . . . 12
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11
263, 4iccssred 31426 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
2927, 28sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . 13
30 2ne0 10640 . . . . . . . . . . . . . 14
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
3229, 25, 31redivcld 10384 . . . . . . . . . . . 12
3332resincld 13756 . . . . . . . . . . 11
3425, 33remulcld 9636 . . . . . . . . . 10
35 2cn 10618 . . . . . . . . . . . 12
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11
3733recnd 9634 . . . . . . . . . . 11
387adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
3938, 28sseldd 3510 . . . . . . . . . . . 12
40 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4140biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4442, 43eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . 15
4544adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14
4611ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
4745, 46pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . 13
4847neqned 2670 . . . . . . . . . . . 12
49 fourierdlem44 31774 . . . . . . . . . . . 12
5039, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
5136, 37, 31, 50mulne0d 10213 . . . . . . . . . 10
5234, 51jca 532 . . . . . . . . 9
53 eldifsn 4158 . . . . . . . . 9
5452, 53sylibr 212 . . . . . . . 8
5554, 21fmptd 6056 . . . . . . 7
56 difss 3636 . . . . . . . . . 10
57 ax-resscn 9561 . . . . . . . . . 10
5856, 57sstri 3518 . . . . . . . . 9
5958a1i 11 . . . . . . . 8
6026, 57syl6ss 3521 . . . . . . . . . 10
6135a1i 11 . . . . . . . . . 10
62 ssid 3528 . . . . . . . . . . 11
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10
6460, 61, 63constcncfg 31532 . . . . . . . . 9
65 sincn 22706 . . . . . . . . . . 11
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10
6760, 63idcncfg 31533 . . . . . . . . . . 11
6836, 31jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14
69 eldifsn 4158 . . . . . . . . . . . . . 14
7068, 69sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13
71 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13
7270, 71fmptd 6056 . . . . . . . . . . . 12
73 difssd 3637 . . . . . . . . . . . . 13
74 cncffvrn 21270 . . . . . . . . . . . . 13
7573, 64, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
7672, 75mpbird 232 . . . . . . . . . . 11
7767, 76divcncf 31545 . . . . . . . . . 10
7866, 77cncfmpt1f 21285 . . . . . . . . 9
7964, 78mulcncf 21727 . . . . . . . 8
80 cncffvrn 21270 . . . . . . . 8
8159, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . 7
8255, 81mpbird 232 . . . . . 6
8321, 3, 4, 23, 82cncficcgt0 31550 . . . . 5
84 reex 9595 . . . . . . . . . 10
8584prid1 4141 . . . . . . . . 9
8685a1i 11 . . . . . . . 8
871adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
882adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
89 elioore 11571 . . . . . . . . . . . . . 14
9089adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
9188, 90readdcld 9635 . . . . . . . . . . . 12
9287, 91ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . 11
9314adantr 465 . . . . . . . . . . 11
9492, 93resubcld 9999 . . . . . . . . . 10
9594recnd 9634 . . . . . . . . 9
96953ad2antl1 1158 . . . . . . . 8
9785a1i 11 . . . . . . . . . . 11
9892recnd 9634 . . . . . . . . . . 11
995adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
1002, 3readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . 15
101100rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . 14
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
1032, 4readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . 15
104103rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . 14
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
1063adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
107106rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15
1084rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
110 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
111 ioogtlb 31415 . . . . . . . . . . . . . . 15
112107, 109, 110, 111syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14
113106, 90, 88, 112ltadd2dd 9752 . . . . . . . . . . . . 13
1144adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
115 iooltub 31435 . . . . . . . . . . . . . . 15
116107, 109, 110, 115syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14
11790, 114, 88, 116ltadd2dd 9752 . . . . . . . . . . . . 13
118102, 105, 91, 113, 117eliood 31418 . . . . . . . . . . . 12
11999, 118ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . 11
120 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
1211, 2, 3, 4, 120, 5fourierdlem28 31758 . . . . . . . . . . 11
12293recnd 9634 . . . . . . . . . . 11
123 0re 9608 . . . . . . . . . . . 12
124123a1i 11 . . . . . . . . . . 11
125 iooretop 21141 . . . . . . . . . . . . . 14
126 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld fld
127126tgioo2 21176 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
128125, 127eleqtri 2553 . . . . . . . . . . . . 13 fldt
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 fldt
13014recnd 9634 . . . . . . . . . . . 12
13197, 129, 130dvmptconst 31566 . . . . . . . . . . 11
13297, 98, 119, 121, 122, 124, 131dvmptsub 22238 . . . . . . . . . 10
133119recnd 9634 . . . . . . . . . . . 12
134133subid1d 9931 . . . . . . . . . . 11
135134mpteq2dva 4539 . . . . . . . . . 10
136132, 135eqtrd 2508 . . . . . . . . 9
1371363ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
1381333ad2antl1 1158 . . . . . . . 8
13935a1i 11 . . . . . . . . . 10
14089recnd 9634 . . . . . . . . . . . 12
14130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
142140, 139, 141divcld 10332 . . . . . . . . . . 11
143142sincld 13743 . . . . . . . . . 10
144139, 143mulcld 9628 . . . . . . . . 9
145144adantl 466 . . . . . . . 8
146 fourierdlem68.e . . . . . . . . 9
1471463ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
148 1re 9607 . . . . . . . . . 10
14924, 148remulcli 9622 . . . . . . . . 9
150149a1i 11 . . . . . . . 8
151148a1i 11 . . . . . . . 8
152 fourierdlem68.d . . . . . . . . . 10
153130abscld 13247 . . . . . . . . . 10
154152, 153readdcld 9635 . . . . . . . . 9
1551543ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
156 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
157156, 118jca 532 . . . . . . . . . 10
158 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13
159158anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12
160 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14
161160fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13
162161breq1d 4463 . . . . . . . . . . . 12
163159, 162imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
164 fourierdlem68.fdvbd . . . . . . . . . . 11
165163, 164vtoclg 3176 . . . . . . . . . 10
16691, 157, 165sylc 60 . . . . . . . . 9
1671663ad2antl1 1158 . . . . . . . 8
168139, 143absmuld 13265 . . . . . . . . . 10
169 2pos 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15
170123, 24ltlei 9718 . . . . . . . . . . . . . . 15
171169, 170ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
172 absid 13109 . . . . . . . . . . . . . 14
17324, 171, 172mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13
174173oveq1i 6305 . . . . . . . . . . . 12
175174a1i 11 . . . . . . . . . . 11
176143abscld 13247 . . . . . . . . . . . 12
177148a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
17824a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
179171a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
18089, 178, 141redivcld 10384 . . . . . . . . . . . . 13
181 abssinbd 31390 . . . . . . . . . . . . 13
182180, 181syl 16 . . . . . . . . . . . 12
183176, 177, 178, 179, 182lemul2ad 10498 . . . . . . . . . . 11
184175, 183eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . 10
185168, 184eqbrtrd 4473 . . . . . . . . 9
186185adantl 466 . . . . . . . 8
187 abscosbd 31360 . . . . . . . . . 10
188110, 180, 1873syl 20 . . . . . . . . 9
1891883ad2antl1 1158 . . . . . . . 8
19095abscld 13247 . . . . . . . . . 10
19198abscld 13247 . . . . . . . . . . 11
192122abscld 13247 . . . . . . . . . . 11
193191, 192readdcld 9635 . . . . . . . . . 10
194152adantr 465 . . . . . . . . . . 11
195194, 192readdcld 9635 . . . . . . . . . 10
19698, 122abs2dif2d 13269 . . . . . . . . . 10
197 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16
198197fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15
199198breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . 14
200159, 199imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13
201 fourierdlem68.fbd . . . . . . . . . . . . 13
202200, 201vtoclg 3176 . . . . . . . . . . . 12
203118, 157, 202sylc 60 . . . . . . . . . . 11
204191, 194, 192, 203leadd1dd 10178 . . . . . . . . . 10
205190, 193, 195, 196, 204letrd 9750 . . . . . . . . 9
2062053ad2antl1 1158 . . . . . . . 8
20716simpri 462 . . . . . . . . 9
208207a1i 11 . . . . . . . 8
209142coscld 13744 . . . . . . . . 9
210209adantl 466 . . . . . . . 8
211 simp2 997 . . . . . . . 8
212 simpl 457 . . . . . . . . . 10
213 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . 13
214 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . 13
215 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
216215fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16
217216oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15
218217fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14
219218breq2d 4465 . . . . . . . . . . . . 13
220213, 214, 219cbvral 3089 . . . . . . . . . . . 12
221220biimpi 194 . . . . . . . . . . 11
222221adantl 466 . . . . . . . . . 10
223 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12
224 nfra1 2848 . . . . . . . . . . . 12
225223, 224nfan 1875 . . . . . . . . . . 11
226 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13
2276, 110sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . 14
228227adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
229 rspa 2834 . . . . . . . . . . . . 13
230226, 228, 229syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
231230ex 434 . . . . . . . . . . 11
232225, 231ralrimi 2867 . . . . . . . . . 10
233212, 222, 232syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2342333adant2 1015 . . . . . . . 8
235 eqid 2467 . . . . . . . 8
23686, 96, 137, 138, 145, 147, 150, 151, 155, 167, 186, 189, 206, 208, 210, 211, 234, 235dvdivbd 31576 . . . . . . 7
2372363exp 1195 . . . . . 6
238237rexlimdv 2957 . . . . 5
23983, 238mpd 15 . . . 4
240 nfcv 2629 . . . . . . . . 9
241 nfcv 2629 . . . . . . . . 9
242 nfmpt1 4542 . . . . . . . . . 10
24315, 242nfcxfr 2627 . . . . . . . . 9
244240, 241, 243nfov 6318 . . . . . . . 8
245244nfdm 5250 . . . . . . 7
246 nfcv 2629 . . . . . . 7
247245, 246raleqf 3059 . . . . . 6
24820, 247syl 16 . . . . 5
249248rexbidv 2978 . . . 4
250239, 249mpbird 232 . . 3
251 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10
25215, 251syl5req 2521 . . . . . . . . 9
253252eqcomd 2475 . . . . . . . 8
254253oveq2d 6311 . . . . . . 7
255254fveq1d 5874 . . . . . 6
256255fveq2d 5876 . . . . 5
257256breq1d 4463 . . . 4
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 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2817  wrex 2818   cdif 3478   wss 3481  csn 4033  cpr 4035   class class class wbr 4453   cmpt 4511   cdm 5005   crn 5006   cres 5007  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cr 9503  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509  cxr 9639   clt 9640   cle 9641   cmin 9817  cneg 9818   cdiv 10218  c2 10597  crp 11232  cioo 11541  cicc 11544  cexp 12146  cabs 13047  csin 13678  ccos 13679  cpi 13681   ↾t crest 14693  ctopn 14694  ctg 14710  ℂfldccnfld 18290  ccncf 21248   cdv 22135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-t1 19683  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139 This theorem is referenced by:  fourierdlem80  31810
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