Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem68 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fourierdlem68 38150
 Description: The derivative of is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem68.f
fourierdlem68.xre
fourierdlem68.a
fourierdlem68.b
fourierdlem68.altb
fourierdlem68.ab
fourierdlem68.n0
fourierdlem68.fdv
fourierdlem68.d
fourierdlem68.fbd
fourierdlem68.e
fourierdlem68.fdvbd
fourierdlem68.c
fourierdlem68.o
Assertion
Ref Expression
fourierdlem68
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)

Proof of Theorem fourierdlem68
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem68.f . . . . . 6
2 fourierdlem68.xre . . . . . 6
3 fourierdlem68.a . . . . . 6
4 fourierdlem68.b . . . . . 6
5 fourierdlem68.fdv . . . . . 6
6 ioossicc 11745 . . . . . . 7
7 fourierdlem68.ab . . . . . . 7
86, 7syl5ss 3429 . . . . . 6
9 fourierdlem68.n0 . . . . . . 7
106sseli 3414 . . . . . . 7
119, 10nsyl 125 . . . . . 6
12 fourierdlem68.c . . . . . 6
13 fourierdlem68.o . . . . . 6
141, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13fourierdlem57 38139 . . . . 5
1514simpli 465 . . . 4
1615simpld 466 . . 3
17 fdm 5745 . . 3
1816, 17syl 17 . 2
19 eqid 2471 . . . . . 6
20 fourierdlem68.altb . . . . . . 7
213, 4, 20ltled 9800 . . . . . 6
22 2re 10701 . . . . . . . . . . 11
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10
243, 4iccssred 37698 . . . . . . . . . . . . 13
2524sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12
2625rehalfcld 10882 . . . . . . . . . . 11
2726resincld 14274 . . . . . . . . . 10
2823, 27remulcld 9689 . . . . . . . . 9
29 2cnd 10704 . . . . . . . . . 10
3027recnd 9687 . . . . . . . . . 10
31 2ne0 10724 . . . . . . . . . . 11
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10
337sselda 3418 . . . . . . . . . . 11
34 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3534biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15
3836, 37eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14
3938adantll 728 . . . . . . . . . . . . 13
409ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
4139, 40pm2.65da 586 . . . . . . . . . . . 12
4241neqned 2650 . . . . . . . . . . 11
43 fourierdlem44 38127 . . . . . . . . . . 11
4433, 42, 43syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
4529, 30, 32, 44mulne0d 10286 . . . . . . . . 9
46 eldifsn 4088 . . . . . . . . 9
4728, 45, 46sylanbrc 677 . . . . . . . 8
4847, 19fmptd 6061 . . . . . . 7
49 difss 3549 . . . . . . . . . 10
50 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . 10
5149, 50sstri 3427 . . . . . . . . 9
5251a1i 11 . . . . . . . 8
5324, 50syl6ss 3430 . . . . . . . . . 10
54 2cnd 10704 . . . . . . . . . 10
55 ssid 3437 . . . . . . . . . . 11
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10
5753, 54, 56constcncfg 37845 . . . . . . . . 9
58 sincn 23478 . . . . . . . . . . 11
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10
6053, 56idcncfg 37846 . . . . . . . . . . 11
61 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . . . 14
6229, 32, 61sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . 13
63 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
6462, 63fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12
65 difssd 3550 . . . . . . . . . . . . 13
66 cncffvrn 22008 . . . . . . . . . . . . 13
6765, 57, 66syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
6864, 67mpbird 240 . . . . . . . . . . 11
6960, 68divcncf 37858 . . . . . . . . . 10
7059, 69cncfmpt1f 22023 . . . . . . . . 9
7157, 70mulcncf 22476 . . . . . . . 8
72 cncffvrn 22008 . . . . . . . 8
7352, 71, 72syl2anc 673 . . . . . . 7
7448, 73mpbird 240 . . . . . 6
7519, 3, 4, 21, 74cncficcgt0 37863 . . . . 5
76 reelprrecn 9649 . . . . . . . 8
7776a1i 11 . . . . . . 7
781adantr 472 . . . . . . . . . . 11
792adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
80 elioore 11691 . . . . . . . . . . . . 13
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
8279, 81readdcld 9688 . . . . . . . . . . 11
8378, 82ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
8412adantr 472 . . . . . . . . . 10
8583, 84resubcld 10068 . . . . . . . . 9
8685recnd 9687 . . . . . . . 8
87863ad2antl1 1192 . . . . . . 7
8876a1i 11 . . . . . . . . . 10
8983recnd 9687 . . . . . . . . . 10
905adantr 472 . . . . . . . . . . 11
912, 3readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14
9291rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13
9392adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
942, 4readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14
9594rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
973adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
9897rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14
994rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15
10099adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
101 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
102 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . . . . . 14
10398, 100, 101, 102syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
10497, 81, 79, 103ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . . . 12
1054adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
106 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . . . 14
10798, 100, 101, 106syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
10881, 105, 79, 107ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . . . 12
10993, 96, 82, 104, 108eliood 37691 . . . . . . . . . . 11
11090, 109ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
111 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
1121, 2, 3, 4, 111, 5fourierdlem28 38109 . . . . . . . . . 10
11384recnd 9687 . . . . . . . . . 10
114 0red 9662 . . . . . . . . . 10
115 iooretop 21864 . . . . . . . . . . . . 13
116 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14 fld fld
117116tgioo2 21899 . . . . . . . . . . . . 13 fldt
118115, 117eleqtri 2547 . . . . . . . . . . . 12 fldt
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11 fldt
12012recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
12188, 119, 120dvmptconst 37882 . . . . . . . . . 10
12288, 89, 110, 112, 113, 114, 121dvmptsub 23000 . . . . . . . . 9
123110recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
124123subid1d 9994 . . . . . . . . . 10
125124mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9
126122, 125eqtrd 2505 . . . . . . . 8
1271263ad2ant1 1051 . . . . . . 7
1281233ad2antl1 1192 . . . . . . 7
129 2cnd 10704 . . . . . . . . 9
13080recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
131130halfcld 10880 . . . . . . . . . 10
132131sincld 14261 . . . . . . . . 9
133129, 132mulcld 9681 . . . . . . . 8
134133adantl 473 . . . . . . 7
135 fourierdlem68.e . . . . . . . 8
1361353ad2ant1 1051 . . . . . . 7
137 1re 9660 . . . . . . . . 9
13822, 137remulcli 9675 . . . . . . . 8
139138a1i 11 . . . . . . 7
140 1red 9676 . . . . . . 7
141 fourierdlem68.d . . . . . . . . 9
142120abscld 13575 . . . . . . . . 9
143141, 142readdcld 9688 . . . . . . . 8
1441433ad2ant1 1051 . . . . . . 7
145 simpl 464 . . . . . . . . . 10
146145, 109jca 541 . . . . . . . . 9
147 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12
148147anbi2d 718 . . . . . . . . . . 11
149 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
150149fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
151150breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11
152148, 151imbi12d 327 . . . . . . . . . 10
153 fourierdlem68.fdvbd . . . . . . . . . 10
154152, 153vtoclg 3093 . . . . . . . . 9
15582, 146, 154sylc 61 . . . . . . . 8
1561553ad2antl1 1192 . . . . . . 7
157129, 132absmuld 13593 . . . . . . . . 9
158 0le2 10722 . . . . . . . . . . . 12
159 absid 13436 . . . . . . . . . . . 12
16022, 158, 159mp2an 686 . . . . . . . . . . 11
161160oveq1i 6318 . . . . . . . . . 10
162132abscld 13575 . . . . . . . . . . 11
163 1red 9676 . . . . . . . . . . 11
16422a1i 11 . . . . . . . . . . 11
165158a1i 11 . . . . . . . . . . 11
16680rehalfcld 10882 . . . . . . . . . . . 12
167 abssinbd 37600 . . . . . . . . . . . 12
168166, 167syl 17 . . . . . . . . . . 11
169162, 163, 164, 165, 168lemul2ad 10569 . . . . . . . . . 10
170161, 169syl5eqbr 4429 . . . . . . . . 9
171157, 170eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8
172171adantl 473 . . . . . . 7
173 abscosbd 37578 . . . . . . . . 9
174101, 166, 1733syl 18 . . . . . . . 8
1751743ad2antl1 1192 . . . . . . 7
17686abscld 13575 . . . . . . . . 9
17789abscld 13575 . . . . . . . . . 10
178113abscld 13575 . . . . . . . . . 10
179177, 178readdcld 9688 . . . . . . . . 9
180141adantr 472 . . . . . . . . . 10
181180, 178readdcld 9688 . . . . . . . . 9
18289, 113abs2dif2d 13597 . . . . . . . . 9
183 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
184183fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
185184breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13
186148, 185imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12
187 fourierdlem68.fbd . . . . . . . . . . . 12
188186, 187vtoclg 3093 . . . . . . . . . . 11
189109, 146, 188sylc 61 . . . . . . . . . 10
190177, 180, 178, 189leadd1dd 10248 . . . . . . . . 9
191176, 179, 181, 182, 190letrd 9809 . . . . . . . 8
1921913ad2antl1 1192 . . . . . . 7
19314simpri 469 . . . . . . . 8
194193a1i 11 . . . . . . 7
195131coscld 14262 . . . . . . . 8
196195adantl 473 . . . . . . 7
197 simp2 1031 . . . . . . 7
198 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14
199198fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
200199oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
201200fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
202201breq2d 4407 . . . . . . . . . 10
203202cbvralv 3005 . . . . . . . . 9
204 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11
205 nfra1 2785 . . . . . . . . . . 11
206204, 205nfan 2031 . . . . . . . . . 10
207 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12
2086, 101sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13
209208adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12
210 rspa 2774 . . . . . . . . . . . 12
211207, 209, 210syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
212211ex 441 . . . . . . . . . 10
213206, 212ralrimi 2800 . . . . . . . . 9
214203, 213sylan2b 483 . . . . . . . 8
2152143adant2 1049 . . . . . . 7
216 eqid 2471 . . . . . . 7
21777, 87, 127, 128, 134, 136, 139, 140, 144, 156, 172, 175, 192, 194, 196, 197, 215, 216dvdivbd 37892 . . . . . 6
218217rexlimdv3a 2873 . . . . 5
21975, 218mpd 15 . . . 4
220 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
221 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
222 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . 10
22313, 222nfcxfr 2610 . . . . . . . . 9
224220, 221, 223nfov 6334 . . . . . . . 8
225224nfdm 5082 . . . . . . 7
226 nfcv 2612 . . . . . . 7
227225, 226raleqf 2969 . . . . . 6
22818, 227syl 17 . . . . 5
229228rexbidv 2892 . . . 4
230219, 229mpbird 240 . . 3
23113a1i 11 . . . . . . . 8
232231oveq2d 6324 . . . . . . 7
233232fveq1d 5881 . . . . . 6
234233fveq2d 5883 . . . . 5
235234breq1d 4405 . . . 4
236235rexralbidv 2898 . . 3
237230, 236mpbird 240 . 2
23818, 237jca 541 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   cdif 3387   wss 3390  csn 3959  cpr 3961   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  c2 10681  crp 11325  cioo 11660  cicc 11663  cexp 12310  cabs 13374  csin 14193  ccos 14194  cpi 14196   ↾t crest 15397  ctopn 15398  ctg 15414  ℂfldccnfld 19047  ccncf 21986   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by:  fourierdlem80  38162
 Copyright terms: Public domain W3C validator