Theorem fourierdlem68 32196

Description: The derivative of O is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem68.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem68.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem68.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem68.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem68.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem68.ab	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem68.n0	|- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
fourierdlem68.fdv	|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
fourierdlem68.d	|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem68.fbd	|- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D )
fourierdlem68.e	|- ( ph -> E e. RR )
fourierdlem68.fdvbd	|- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E )
fourierdlem68.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem68.o	|- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem68	|- ( ph -> ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) /\ E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )

Distinct variable groups:   A, b, s   t, A, s   B, b, s   t, B   C, b, s   D, b, s   t, D   E, b, s   t, E   F, b, s   t, F   X, b, s   t, X   ph, b, s   ph, t

Allowed substitution hints:   C( t)   O( t, s, b)

Proof of Theorem fourierdlem68

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem68.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2		fourierdlem68.xre	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. RR )
3		fourierdlem68.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
4		fourierdlem68.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
5		fourierdlem68.fdv	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
6		ioossicc 11613	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
7		fourierdlem68.ab	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
8	6, 7	syl5ss 3500	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
9		fourierdlem68.n0	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
10	6	sseli 3485	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( A (,) B ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
11	9, 10	nsyl 121	. . . . . 6 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
12		fourierdlem68.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
13		fourierdlem68.o	. . . . . 6 |- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13	fourierdlem57 32185	. . . . 5 |- ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
15	14	simpli 456	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
16	15	simpld 457	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR )
17		fdm 5717	. . 3 |- ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR -> dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) )
18	16, 17	syl 16	. 2 |- ( ph -> dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) )
19		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) )
20		fourierdlem68.altb	. . . . . . 7 |- ( ph -> A < B )
21	3, 4, 20	ltled 9722	. . . . . 6 |- ( ph -> A <_ B )
22		2re 10601	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. RR )
24	3, 4	iccssred 31778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
25	24	sselda 3489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. RR )
26	25	rehalfcld 10781	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( t / 2 ) e. RR )
27	26	resincld 13960	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) e. RR )
28	23, 27	remulcld 9613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. RR )
29		2cnd 10604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. CC )
30	27	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) e. CC )
31		2ne0 10624	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 =/= 0 )
33	7	sselda 3489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. ( -u pi [,] pi ) )
34		eqcom 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = 0 <-> 0 = t )
35	34	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = 0 -> 0 = t )
36	35	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> 0 = t )
37		simpl 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> t e. ( A [,] B ) )
38	36, 37	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
39	38	adantll 711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ t = 0 ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
40	9	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ t = 0 ) -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
41	39, 40	pm2.65da 574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> -. t = 0 )
42	41	neqned 2657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t =/= 0 )
43		fourierdlem44 32172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. ( -u pi [,] pi ) /\ t =/= 0 ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) =/= 0 )
44	33, 42, 43	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) =/= 0 )
45	29, 30, 32, 44	mulne0d 10197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) =/= 0 )
46		eldifsn 4141	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( RR \ { 0 } ) <-> ( ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) =/= 0 ) )
47	28, 45, 46	sylanbrc 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( RR \ { 0 } ) )
48	47, 19	fmptd 6031	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) )
49		difss 3617	. . . . . . . . . 10 |- ( RR \ { 0 } ) C_ RR
50		ax-resscn 9538	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
51	49, 50	sstri 3498	. . . . . . . . 9 |- ( RR \ { 0 } ) C_ CC
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR \ { 0 } ) C_ CC )
53	24, 50	syl6ss 3501	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
54		2cnd 10604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. CC )
55		ssid 3508	. . . . . . . . . . 11 |- CC C_ CC
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> CC C_ CC )
57	53, 54, 56	constcncfg 31912	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
58		sincn 23005	. . . . . . . . . . 11 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
60	53, 56	idcncfg 31913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> t ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
61		eldifsn 4141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
62	29, 32, 61	sylanbrc 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. ( CC \ { 0 } ) )
63		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) = ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 )
64	62, 63	fmptd 6031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) )
65		difssd 3618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
66		cncffvrn 21568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( CC \ { 0 } ) C_ CC /\ ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) ) )
67	65, 57, 66	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) ) )
68	64, 67	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
69	60, 68	divcncf 31925	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t / 2 ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
70	59, 69	cncfmpt1f 21583	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
71	57, 70	mulcncf 22025	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
72		cncffvrn 21568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( RR \ { 0 } ) C_ CC /\ ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) ) )
73	52, 71, 72	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) ) )
74	48, 73	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) )
75	19, 3, 4, 21, 74	cncficcgt0 31930	. . . . 5 |- ( ph -> E. c e. RR+ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) )
76		reelprrecn 9573	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> RR e. { RR , CC } )
78	1	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
79	2	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
80		elioore 11562	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
81	80	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
82	79, 81	readdcld 9612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
83	78, 82	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
84	12	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
85	83, 84	resubcld 9983	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR )
86	85	recnd 9611	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
87	86	3ad2antl1 1156	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
88	76	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
89	83	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
90	5	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
91	2, 3	readdcld 9612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR )
92	91	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR* )
93	92	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) e. RR* )
94	2, 4	readdcld 9612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR )
95	94	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR* )
96	95	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) e. RR* )
97	3	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
98	97	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
99	4	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR* )
100	99	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
101		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
102		ioogtlb 31767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
104	97, 81, 79, 103	ltadd2dd 9730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
105	4	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
106		iooltub 31787	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
107	98, 100, 101, 106	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
108	81, 105, 79, 107	ltadd2dd 9730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
109	93, 96, 82, 104, 108	eliood 31770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) )
110	90, 109	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. RR )
111		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
112	1, 2, 3, 4, 111, 5	fourierdlem28 32156	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
113	84	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. CC )
114		0red 9586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
115		iooretop 21439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
116		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
117	116	tgioo2 21474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
118	115, 117	eleqtri 2540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
120	12	recnd 9611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
121	88, 119, 120	dvmptconst 31949	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
122	88, 89, 110, 112, 113, 114, 121	dvmptsub 22536	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) )
123	110	recnd 9611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
124	123	subid1d 9911	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
125	124	mpteq2dva 4525	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
126	122, 125	eqtrd 2495	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
127	126	3ad2ant1 1015	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
128	123	3ad2antl1 1156	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
129		2cnd 10604	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 2 e. CC )
130	80	recnd 9611	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. CC )
131	130	halfcld 10779	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( s / 2 ) e. CC )
132	131	sincld 13947	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
133	129, 132	mulcld 9605	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
134	133	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
135		fourierdlem68.e	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR )
136	135	3ad2ant1 1015	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> E e. RR )
137		1re 9584	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
138	22, 137	remulcli 9599	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 1 ) e. RR
139	138	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( 2 x. 1 ) e. RR )
140		1red 9600	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> 1 e. RR )
141		fourierdlem68.d	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. RR )
142	120	abscld 13349	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
143	141, 142	readdcld 9612	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
144	143	3ad2ant1 1015	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
145		simpl 455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ph )
146	145, 109	jca 530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
147		eleq1 2526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( X + s ) -> ( t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) <-> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
148	147	anbi2d 701	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) <-> ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) )
149		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
150	149	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( X + s ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
151	150	breq1d 4449	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E <-> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) )
152	148, 151	imbi12d 318	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E ) <-> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) ) )
153		fourierdlem68.fdvbd	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E )
154	152, 153	vtoclg 3164	. . . . . . . . 9 |- ( ( X + s ) e. RR -> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) )
155	82, 146, 154	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E )
156	155	3ad2antl1 1156	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E )
157	129, 132	absmuld 13367	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
158		0le2 10622	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 2
159		absid 13211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
160	22, 158, 159	mp2an 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs ` 2 ) = 2
161	160	oveq1i 6280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
162	132	abscld 13349	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
163		1red 9600	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 1 e. RR )
164	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 2 e. RR )
165	158	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 0 <_ 2 )
166	80	rehalfcld 10781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( s / 2 ) e. RR )
167		abssinbd 31729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s / 2 ) e. RR -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
168	166, 167	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
169	162, 163, 164, 165, 168	lemul2ad 10481	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( 2 x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
170	161, 169	syl5eqbr 4472	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
171	157, 170	eqbrtrd 4459	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
172	171	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
173		abscosbd 31700	. . . . . . . . 9 |- ( ( s / 2 ) e. RR -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
174	101, 166, 173	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
175	174	3ad2antl1 1156	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
176	86	abscld 13349	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) e. RR )
177	89	abscld 13349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) e. RR )
178	113	abscld 13349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` C ) e. RR )
179	177, 178	readdcld 9612	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) e. RR )
180	141	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> D e. RR )
181	180, 178	readdcld 9612	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
182	89, 113	abs2dif2d 13371	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) )
183		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = ( X + s ) -> ( F ` t ) = ( F ` ( X + s ) ) )
184	183	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = ( X + s ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) = ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) )
185	184	breq1d 4449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D <-> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) )
186	148, 185	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D ) <-> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) ) )
187		fourierdlem68.fbd	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D )
188	186, 187	vtoclg 3164	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) )
189	109, 146, 188	sylc 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D )
190	177, 180, 178, 189	leadd1dd 10162	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
191	176, 179, 181, 182, 190	letrd 9728	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
192	191	3ad2antl1 1156	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
193	14	simpri 460	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
194	193	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
195	131	coscld 13948	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
196	195	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
197		simp2 995	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> c e. RR+ )
198		oveq1 6277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = s -> ( t / 2 ) = ( s / 2 ) )
199	198	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = s -> ( sin ` ( t / 2 ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
200	199	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = s -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
201	200	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = s -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
202	201	breq2d 4451	. . . . . . . . . 10 |- ( t = s -> ( c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) <-> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
203	202	cbvralv 3081	. . . . . . . . 9 |- ( A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) <-> A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
204		nfv 1712	. . . . . . . . . . 11 |- F/ s ph
205		nfra1 2835	. . . . . . . . . . 11 |- F/ s A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
206	204, 205	nfan 1933	. . . . . . . . . 10 |- F/ s ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
207		simplr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
208	6, 101	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
209	208	adantlr 712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
210		rspa 2821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) /\ s e. ( A [,] B ) ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
211	207, 209, 210	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
212	211	ex 432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) -> ( s e. ( A (,) B ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
213	206, 212	ralrimi 2854	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
214	203, 213	sylan2b 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
215	214	3adant2 1013	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
216		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
217	77, 87, 127, 128, 134, 136, 139, 140, 144, 156, 172, 175, 192, 194, 196, 197, 215, 216	dvdivbd 31959	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
218	217	rexlimdv3a 2948	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. c e. RR+ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
219	75, 218	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
220		nfcv 2616	. . . . . . . . 9 |- F/_ s RR
221		nfcv 2616	. . . . . . . . 9 |- F/_ s _D
222		nfmpt1 4528	. . . . . . . . . 10 |- F/_ s ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
223	13, 222	nfcxfr 2614	. . . . . . . . 9 |- F/_ s O
224	220, 221, 223	nfov 6296	. . . . . . . 8 |- F/_ s ( RR _D O )
225	224	nfdm 5233	. . . . . . 7 |- F/_ s dom ( RR _D O )
226		nfcv 2616	. . . . . . 7 |- F/_ s ( A (,) B )
227	225, 226	raleqf 3047	. . . . . 6 |- ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
228	18, 227	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
229	228	rexbidv 2965	. . . 4 |- ( ph -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
230	219, 229	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
231	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
232	231	oveq2d 6286	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
233	232	fveq1d 5850	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) ` s ) = ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) )
234	233	fveq2d 5852	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) )
235	234	breq1d 4449	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
236	235	rexralbidv 2973	. . 3 |- ( ph -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
237	230, 236	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b )
238	18, 237	jca 530	1 |- ( ph -> ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) /\ E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   \ cdif 3458   C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ran crn 4989   |` cres 4990   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   -ucneg 9797   / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11221   (,)cioo 11532   [,]cicc 11535   ^cexp 12148   abscabs 13149   sincsin 13881   cosccos 13882   picpi 13884   ↾_t crest 14910   TopOpenctopn 14911   topGenctg 14927  ℂ_fldccnfld 18615   -cn->ccncf 21546   _D cdv 22433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-t1 19982  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437

This theorem is referenced by:  fourierdlem80  32208