Theorem fourierdlem68 31798

Description: The derivative of O is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem68.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem68.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem68.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem68.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem68.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem68.ab	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem68.n0	|- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
fourierdlem68.fdv	|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
fourierdlem68.d	|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem68.fbd	|- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D )
fourierdlem68.e	|- ( ph -> E e. RR )
fourierdlem68.fdvbd	|- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E )
fourierdlem68.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem68.o	|- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem68	|- ( ph -> ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) /\ E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )

Distinct variable groups:   A, b, s   t, A, s   B, b, s   t, B   C, b, s   D, b, s   t, D   E, b, s   t, E   F, b, s   t, F   X, b, s   t, X   ph, b, s   ph, t

Allowed substitution hints:   C( t)   O( t, s, b)

Proof of Theorem fourierdlem68

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem68.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2		fourierdlem68.xre	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. RR )
3		fourierdlem68.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
4		fourierdlem68.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
5		fourierdlem68.fdv	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
6		ioossicc 11622	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
7		fourierdlem68.ab	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
8	6, 7	syl5ss 3520	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
9	6	sseli 3505	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. ( A (,) B ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
10	9	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
11		fourierdlem68.n0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
12	11	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 e. ( A (,) B ) ) -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
13	10, 12	pm2.65da 576	. . . . . 6 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
14		fourierdlem68.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
15		fourierdlem68.o	. . . . . 6 |- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
16	1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 14, 15	fourierdlem57 31787	. . . . 5 |- ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
17	16	simpli 458	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
18	17	simpld 459	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR )
19		fdm 5741	. . 3 |- ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR -> dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) )
20	18, 19	syl 16	. 2 |- ( ph -> dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) )
21		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) )
22		fourierdlem68.altb	. . . . . . 7 |- ( ph -> A < B )
23	3, 4, 22	ltled 9744	. . . . . 6 |- ( ph -> A <_ B )
24		2re 10617	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. RR )
26	3, 4	iccssred 31426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
28		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. ( A [,] B ) )
29	27, 28	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. RR )
30		2ne0 10640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 =/= 0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 =/= 0 )
32	29, 25, 31	redivcld 10384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( t / 2 ) e. RR )
33	32	resincld 13756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) e. RR )
34	25, 33	remulcld 9636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. RR )
35		2cn 10618	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. CC )
37	33	recnd 9634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) e. CC )
38	7	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
39	38, 28	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t e. ( -u pi [,] pi ) )
40		eqcom 2476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = 0 <-> 0 = t )
41	40	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = 0 -> 0 = t )
42	41	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> 0 = t )
43		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> t e. ( A [,] B ) )
44	42, 43	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. ( A [,] B ) /\ t = 0 ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
45	44	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ t = 0 ) -> 0 e. ( A [,] B ) )
46	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) /\ t = 0 ) -> -. 0 e. ( A [,] B ) )
47	45, 46	pm2.65da 576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> -. t = 0 )
48	47	neqned 2670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> t =/= 0 )
49		fourierdlem44 31774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ( -u pi [,] pi ) /\ t =/= 0 ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) =/= 0 )
50	39, 48, 49	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( sin ` ( t / 2 ) ) =/= 0 )
51	36, 37, 31, 50	mulne0d 10213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) =/= 0 )
52	34, 51	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) =/= 0 ) )
53		eldifsn 4158	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( RR \ { 0 } ) <-> ( ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) =/= 0 ) )
54	52, 53	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( RR \ { 0 } ) )
55	54, 21	fmptd 6056	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) )
56		difss 3636	. . . . . . . . . 10 |- ( RR \ { 0 } ) C_ RR
57		ax-resscn 9561	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
58	56, 57	sstri 3518	. . . . . . . . 9 |- ( RR \ { 0 } ) C_ CC
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR \ { 0 } ) C_ CC )
60	26, 57	syl6ss 3521	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
61	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. CC )
62		ssid 3528	. . . . . . . . . . 11 |- CC C_ CC
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> CC C_ CC )
64	60, 61, 63	constcncfg 31532	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
65		sincn 22706	. . . . . . . . . . 11 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
67	60, 63	idcncfg 31533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> t ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
68	36, 31	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
69		eldifsn 4158	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
70	68, 69	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( A [,] B ) ) -> 2 e. ( CC \ { 0 } ) )
71		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) = ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 )
72	70, 71	fmptd 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) )
73		difssd 3637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
74		cncffvrn 21270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( CC \ { 0 } ) C_ CC /\ ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) ) )
75	73, 64, 74	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) : ( A [,] B ) --> ( CC \ { 0 } ) ) )
76	72, 75	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> 2 ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
77	67, 76	divcncf 31545	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( t / 2 ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
78	66, 77	cncfmpt1f 21285	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( sin ` ( t / 2 ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
79	64, 78	mulcncf 21727	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
80		cncffvrn 21270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( RR \ { 0 } ) C_ CC /\ ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) ) )
81	59, 79, 80	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) <-> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) : ( A [,] B ) --> ( RR \ { 0 } ) ) )
82	55, 81	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. ( A [,] B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( RR \ { 0 } ) ) )
83	21, 3, 4, 23, 82	cncficcgt0 31550	. . . . 5 |- ( ph -> E. c e. RR+ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) )
84		reex 9595	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
85	84	prid1 4141	. . . . . . . . 9 |- RR e. { RR , CC }
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> RR e. { RR , CC } )
87	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
88	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
89		elioore 11571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
90	89	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
91	88, 90	readdcld 9635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
92	87, 91	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
93	14	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
94	92, 93	resubcld 9999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR )
95	94	recnd 9634	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
96	95	3ad2antl1 1158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
97	85	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
98	92	recnd 9634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
99	5	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
100	2, 3	readdcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR )
101	100	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR* )
102	101	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) e. RR* )
103	2, 4	readdcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR )
104	103	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR* )
105	104	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) e. RR* )
106	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
107	106	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
108	4	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. RR* )
109	108	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
110		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
111		ioogtlb 31415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
112	107, 109, 110, 111	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
113	106, 90, 88, 112	ltadd2dd 9752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
114	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
115		iooltub 31435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
116	107, 109, 110, 115	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
117	90, 114, 88, 116	ltadd2dd 9752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
118	102, 105, 91, 113, 117	eliood 31418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) )
119	99, 118	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. RR )
120		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
121	1, 2, 3, 4, 120, 5	fourierdlem28 31758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
122	93	recnd 9634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. CC )
123		0re 9608	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
125		iooretop 21141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
126		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
127	126	tgioo2 21176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
128	125, 127	eleqtri 2553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
130	14	recnd 9634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. CC )
131	97, 129, 130	dvmptconst 31566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
132	97, 98, 119, 121, 122, 124, 131	dvmptsub 22238	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) )
133	119	recnd 9634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
134	133	subid1d 9931	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
135	134	mpteq2dva 4539	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
136	132, 135	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
137	136	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
138	133	3ad2antl1 1158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
139	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 2 e. CC )
140	89	recnd 9634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. CC )
141	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 2 =/= 0 )
142	140, 139, 141	divcld 10332	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( s / 2 ) e. CC )
143	142	sincld 13743	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
144	139, 143	mulcld 9628	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
145	144	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
146		fourierdlem68.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. RR )
147	146	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> E e. RR )
148		1re 9607	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
149	24, 148	remulcli 9622	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 1 ) e. RR
150	149	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( 2 x. 1 ) e. RR )
151	148	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> 1 e. RR )
152		fourierdlem68.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. RR )
153	130	abscld 13247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
154	152, 153	readdcld 9635	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
155	154	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
156		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ph )
157	156, 118	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
158		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( X + s ) -> ( t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) <-> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
159	158	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) <-> ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) )
160		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
161	160	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( X + s ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
162	161	breq1d 4463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E <-> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) )
163	159, 162	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E ) <-> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) ) )
164		fourierdlem68.fdvbd	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` t ) ) <_ E )
165	163, 164	vtoclg 3176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X + s ) e. RR -> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E ) )
166	91, 157, 165	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E )
167	166	3ad2antl1 1158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) <_ E )
168	139, 143	absmuld 13265	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
169		2pos 10639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
170	123, 24	ltlei 9718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 < 2 -> 0 <_ 2 )
171	169, 170	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
172		absid 13109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
173	24, 171, 172	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs ` 2 ) = 2
174	173	oveq1i 6305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
176	143	abscld 13247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
177	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 1 e. RR )
178	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 2 e. RR )
179	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( A (,) B ) -> 0 <_ 2 )
180	89, 178, 141	redivcld 10384	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( s / 2 ) e. RR )
181		abssinbd 31390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s / 2 ) e. RR -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
182	180, 181	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
183	176, 177, 178, 179, 182	lemul2ad 10498	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( 2 x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
184	175, 183	eqbrtrd 4473	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
185	168, 184	eqbrtrd 4473	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
186	185	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. 1 ) )
187		abscosbd 31360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s / 2 ) e. RR -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
188	110, 180, 187	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
189	188	3ad2antl1 1158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( cos ` ( s / 2 ) ) ) <_ 1 )
190	95	abscld 13247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) e. RR )
191	98	abscld 13247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) e. RR )
192	122	abscld 13247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` C ) e. RR )
193	191, 192	readdcld 9635	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) e. RR )
194	152	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> D e. RR )
195	194, 192	readdcld 9635	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( D + ( abs ` C ) ) e. RR )
196	98, 122	abs2dif2d 13269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) )
197		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ( X + s ) -> ( F ` t ) = ( F ` ( X + s ) ) )
198	197	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = ( X + s ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) = ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) )
199	198	breq1d 4463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D <-> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) )
200	159, 199	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( X + s ) -> ( ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D ) <-> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) ) )
201		fourierdlem68.fbd	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ D )
202	200, 201	vtoclg 3176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -> ( ( ph /\ ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D ) )
203	118, 157, 202	sylc 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) <_ D )
204	191, 194, 192, 203	leadd1dd 10178	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( F ` ( X + s ) ) ) + ( abs ` C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
205	190, 193, 195, 196, 204	letrd 9750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
206	205	3ad2antl1 1158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) <_ ( D + ( abs ` C ) ) )
207	16	simpri 462	. . . . . . . . 9 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
208	207	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
209	142	coscld 13744	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
210	209	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
211		simp2 997	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> c e. RR+ )
212		simpl 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> ph )
213		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ s c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) )
214		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ t c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
215		oveq1 6302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = s -> ( t / 2 ) = ( s / 2 ) )
216	215	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = s -> ( sin ` ( t / 2 ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
217	216	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = s -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
218	217	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = s -> ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
219	218	breq2d 4465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = s -> ( c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) <-> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
220	213, 214, 219	cbvral 3089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) <-> A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
221	220	biimpi 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) -> A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
222	221	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
223		nfv 1683	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ s ph
224		nfra1 2848	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ s A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
225	223, 224	nfan 1875	. . . . . . . . . . 11 |- F/ s ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
226		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
227	6, 110	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
228	227	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A [,] B ) )
229		rspa 2834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) /\ s e. ( A [,] B ) ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
230	226, 228, 229	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
231	230	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) -> ( s e. ( A (,) B ) -> c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
232	225, 231	ralrimi 2867	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A. s e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
233	212, 222, 232	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
234	233	3adant2 1015	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> A. s e. ( A (,) B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
235		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
236	86, 96, 137, 138, 145, 147, 150, 151, 155, 167, 186, 189, 206, 208, 210, 211, 234, 235	dvdivbd 31576	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. RR+ /\ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
237	236	3exp 1195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( c e. RR+ -> ( A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) ) )
238	237	rexlimdv 2957	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. c e. RR+ A. t e. ( A [,] B ) c <_ ( abs ` ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
239	83, 238	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
240		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ s RR
241		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ s _D
242		nfmpt1 4542	. . . . . . . . . 10 |- F/_ s ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
243	15, 242	nfcxfr 2627	. . . . . . . . 9 |- F/_ s O
244	240, 241, 243	nfov 6318	. . . . . . . 8 |- F/_ s ( RR _D O )
245	244	nfdm 5250	. . . . . . 7 |- F/_ s dom ( RR _D O )
246		nfcv 2629	. . . . . . 7 |- F/_ s ( A (,) B )
247	245, 246	raleqf 3059	. . . . . 6 |- ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
248	20, 247	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
249	248	rexbidv 2978	. . . 4 |- ( ph -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. ( A (,) B ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
250	239, 249	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
251		eqidd 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
252	15, 251	syl5req 2521	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = O )
253	252	eqcomd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ph -> O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
254	253	oveq2d 6311	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
255	254	fveq1d 5874	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) ` s ) = ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) )
256	255	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) )
257	256	breq1d 4463	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
258	257	rexralbidv 2986	. . 3 |- ( ph -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
259	250, 258	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b )
260	20, 259	jca 532	1 |- ( ph -> ( dom ( RR _D O ) = ( A (,) B ) /\ E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   \ cdif 3478   C_ wss 3481   {csn 4033   {cpr 4035   class class class wbr 4453   |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ran crn 5006   |` cres 5007   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   + caddc 9507   x. cmul 9509   RR*cxr 9639   < clt 9640   <_ cle 9641   - cmin 9817   -ucneg 9818   / cdiv 10218   2c2 10597   RR+crp 11232   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   ^cexp 12146   abscabs 13047   sincsin 13678   cosccos 13679   picpi 13681   ↾_t crest 14693   TopOpenctopn 14694   topGenctg 14710  ℂ_fldccnfld 18290   -cn->ccncf 21248   _D cdv 22135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-t1 19683  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139

This theorem is referenced by:  fourierdlem80  31810