Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem66 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fourierdlem66 38036
 Description: Value of the function when the argument is not zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem66.f
fourierdlem66.x
fourierdlem66.y
fourierdlem66.w
fourierdlem66.d
fourierdlem66.h
fourierdlem66.k
fourierdlem66.u
fourierdlem66.s
fourierdlem66.g
fourierdlem66.a
Assertion
Ref Expression
fourierdlem66
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem fourierdlem66
StepHypRef Expression
1 fourierdlem66.a . . . . . . . 8
21eqimssi 3486 . . . . . . 7
3 difss 3560 . . . . . . 7
42, 3sstri 3441 . . . . . 6
54a1i 11 . . . . 5
65sselda 3432 . . . 4
76adantlr 721 . . 3
8 fourierdlem66.f . . . . . . . 8
98adantr 467 . . . . . . 7
10 fourierdlem66.x . . . . . . . 8
1110adantr 467 . . . . . . 7
12 fourierdlem66.y . . . . . . . 8
1312adantr 467 . . . . . . 7
14 fourierdlem66.w . . . . . . . 8
1514adantr 467 . . . . . . 7
16 fourierdlem66.h . . . . . . 7
17 fourierdlem66.k . . . . . . 7
18 fourierdlem66.u . . . . . . 7
199, 11, 13, 15, 16, 17, 18fourierdlem55 38025 . . . . . 6
2019adantr 467 . . . . 5
2120, 7ffvelrnd 6023 . . . 4
22 nnre 10616 . . . . . . 7
23 fourierdlem66.s . . . . . . . 8
2423fourierdlem5 37974 . . . . . . 7
2522, 24syl 17 . . . . . 6
2625ad2antlr 733 . . . . 5
2726, 7ffvelrnd 6023 . . . 4
2821, 27remulcld 9671 . . 3
29 fourierdlem66.g . . . 4
3029fvmpt2 5957 . . 3
317, 28, 30syl2anc 667 . 2
328, 10, 12, 14, 16fourierdlem9 37978 . . . . . . . . 9
3332adantr 467 . . . . . . . 8
3433, 6ffvelrnd 6023 . . . . . . 7
3517fourierdlem43 38014 . . . . . . . . 9
3635a1i 11 . . . . . . . 8
3736, 6ffvelrnd 6023 . . . . . . 7
3834, 37remulcld 9671 . . . . . 6
3918fvmpt2 5957 . . . . . 6
406, 38, 39syl2anc 667 . . . . 5
41 0red 9644 . . . . . . . . 9
428adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
4310adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
44 pire 23413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4544renegcli 9935 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 iccssre 11716 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4745, 44, 46mp2an 678 . . . . . . . . . . . . . . 15
484sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . 15
4947, 48sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . 14
5049adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13
5143, 50readdcld 9670 . . . . . . . . . . . 12
5242, 51ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . 11
5312, 14ifcld 3924 . . . . . . . . . . . 12
5453adantr 467 . . . . . . . . . . 11
5552, 54resubcld 10047 . . . . . . . . . 10
56 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14
572, 56sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . 13
5857eldifbd 3417 . . . . . . . . . . . 12
59 elsn 3982 . . . . . . . . . . . 12
6058, 59sylnib 306 . . . . . . . . . . 11
6160neqned 2631 . . . . . . . . . 10
6255, 50, 61redivcld 10435 . . . . . . . . 9
6341, 62ifcld 3924 . . . . . . . 8
6416fvmpt2 5957 . . . . . . . 8
656, 63, 64syl2anc 667 . . . . . . 7
6660iffalsed 3892 . . . . . . 7
6765, 66eqtrd 2485 . . . . . 6
68 1red 9658 . . . . . . . . 9
69 2re 10679 . . . . . . . . . . . 12
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11
7150rehalfcld 10859 . . . . . . . . . . . 12
7271resincld 14197 . . . . . . . . . . 11
7370, 72remulcld 9671 . . . . . . . . . 10
74 2cnd 10682 . . . . . . . . . . 11
7572recnd 9669 . . . . . . . . . . 11
76 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . 12
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11
78 fourierdlem44 38015 . . . . . . . . . . . 12
796, 61, 78syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11
8074, 75, 77, 79mulne0d 10264 . . . . . . . . . 10
8150, 73, 80redivcld 10435 . . . . . . . . 9
8268, 81ifcld 3924 . . . . . . . 8
8317fvmpt2 5957 . . . . . . . 8
846, 82, 83syl2anc 667 . . . . . . 7
8560iffalsed 3892 . . . . . . 7
8684, 85eqtrd 2485 . . . . . 6
8767, 86oveq12d 6308 . . . . 5
8855recnd 9669 . . . . . 6
8950recnd 9669 . . . . . 6
9074, 75mulcld 9663 . . . . . 6
9188, 89, 90, 61, 80dmdcan2d 10413 . . . . 5
9240, 87, 913eqtrd 2489 . . . 4
9392adantlr 721 . . 3
9422ad2antlr 733 . . . . . . 7
95 1red 9658 . . . . . . . 8
9695rehalfcld 10859 . . . . . . 7
9794, 96readdcld 9670 . . . . . 6
9849adantl 468 . . . . . 6
9997, 98remulcld 9671 . . . . 5
10099resincld 14197 . . . 4
10123fvmpt2 5957 . . . 4
1027, 100, 101syl2anc 667 . . 3
10393, 102oveq12d 6308 . 2
10488adantlr 721 . . . 4
10590adantlr 721 . . . 4
106100recnd 9669 . . . 4
10780adantlr 721 . . . 4
108104, 105, 106, 107div32d 10406 . . 3
10922adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
110 halfre 10828 . . . . . . . . . . . . . 14
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
112109, 111readdcld 9670 . . . . . . . . . . . 12
11349adantl 468 . . . . . . . . . . . 12
114112, 113remulcld 9671 . . . . . . . . . . 11
115114resincld 14197 . . . . . . . . . 10
116115recnd 9669 . . . . . . . . 9
11769a1i 11 . . . . . . . . . . 11
118113rehalfcld 10859 . . . . . . . . . . . 12
119118resincld 14197 . . . . . . . . . . 11
120117, 119remulcld 9671 . . . . . . . . . 10
121120recnd 9669 . . . . . . . . 9
122 picn 23414 . . . . . . . . . 10
123122a1i 11 . . . . . . . . 9
124 2cnd 10682 . . . . . . . . . . 11
125 rehalfcl 10839 . . . . . . . . . . . . 13
126 resincl 14194 . . . . . . . . . . . . 13
12749, 125, 1263syl 18 . . . . . . . . . . . 12
128127recnd 9669 . . . . . . . . . . 11
12976a1i 11 . . . . . . . . . . 11
130 eldifsni 4098 . . . . . . . . . . . . 13
131130, 1eleq2s 2547 . . . . . . . . . . . 12
13248, 131, 78syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11
133124, 128, 129, 132mulne0d 10264 . . . . . . . . . 10
134133adantl 468 . . . . . . . . 9
135 0re 9643 . . . . . . . . . . 11
136 pipos 23415 . . . . . . . . . . 11
137135, 136gtneii 9746 . . . . . . . . . 10
138137a1i 11 . . . . . . . . 9
139116, 121, 123, 134, 138divdiv1d 10414 . . . . . . . 8
140 2cnd 10682 . . . . . . . . . 10
141128adantl 468 . . . . . . . . . 10
142140, 141, 123mulassd 9666 . . . . . . . . 9
143142oveq2d 6306 . . . . . . . 8
144141, 123mulcomd 9664 . . . . . . . . . . 11
145144oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10
146140, 123, 141mulassd 9666 . . . . . . . . . 10
147145, 146eqtr4d 2488 . . . . . . . . 9
148147oveq2d 6306 . . . . . . . 8
149139, 143, 1483eqtrd 2489 . . . . . . 7
150149oveq2d 6306 . . . . . 6
151115, 120, 134redivcld 10435 . . . . . . . 8
152151recnd 9669 . . . . . . 7
153152, 123, 138divcan2d 10385 . . . . . 6
154 fourierdlem66.d . . . . . . . . . 10
155154dirkerval2 37956 . . . . . . . . 9
15649, 155sylan2 477 . . . . . . . 8
157 fourierdlem24 37993 . . . . . . . . . . . 12
158157, 1eleq2s 2547 . . . . . . . . . . 11
159158neneqd 2629 . . . . . . . . . 10
160159adantl 468 . . . . . . . . 9
161160iffalsed 3892 . . . . . . . 8
162156, 161eqtr2d 2486 . . . . . . 7
163162oveq2d 6306 . . . . . 6
164150, 153, 1633eqtr3d 2493 . . . . 5
165164oveq2d 6306 . . . 4
166165adantll 720 . . 3
167122a1i 11 . . . 4
168154dirkerre 37957 . . . . . . 7
16949, 168sylan2 477 . . . . . 6
170169recnd 9669 . . . . 5
171170adantll 720 . . . 4
172104, 167, 171mul12d 9842 . . 3
173108, 166, 1723eqtrd 2489 . 2
17431, 103, 1733eqtrd 2489 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622   cdif 3401   wss 3404  cif 3881  csn 3968   class class class wbr 4402   cmpt 4461  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544   clt 9675   cmin 9860  cneg 9861   cdiv 10269  cn 10609  c2 10659  cicc 11638   cmo 12096  csin 14116  cpi 14119 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822 This theorem is referenced by:  fourierdlem95  38065
 Copyright terms: Public domain W3C validator