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Theorem fourierdlem66 38036
Description: Value of the  G function when the argument is not zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem66.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem66.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem66.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
fourierdlem66.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
fourierdlem66.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
fourierdlem66.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem66.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem66.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem66.s  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
fourierdlem66.g  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
fourierdlem66.a  |-  A  =  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem66  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( G `  s )  =  ( pi  x.  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, s    ph, s
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n, s)    D( n, s)    S( n, s)    U( n, s)    F( n, s)    G( n, s)    H( n, s)    K( n, s)    W( n, s)    X( n, s)    Y( n, s)

Proof of Theorem fourierdlem66
StepHypRef Expression
1 fourierdlem66.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } )
21eqimssi 3486 . . . . . . 7  |-  A  C_  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } )
3 difss 3560 . . . . . . 7  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  { 0 } )  C_  ( -u pi [,] pi )
42, 3sstri 3441 . . . . . 6  |-  A  C_  ( -u pi [,] pi )
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  ( -u pi [,] pi ) )
65sselda 3432 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
76adantlr 721 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
8 fourierdlem66.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
98adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F : RR
--> RR )
10 fourierdlem66.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1110adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  RR )
12 fourierdlem66.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
1312adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Y  e.  RR )
14 fourierdlem66.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
1514adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  W  e.  RR )
16 fourierdlem66.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
17 fourierdlem66.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
18 fourierdlem66.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
199, 11, 13, 15, 16, 17, 18fourierdlem55 38025 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U :
( -u pi [,] pi )
--> RR )
2019adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  U : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
2120, 7ffvelrnd 6023 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( U `  s )  e.  RR )
22 nnre 10616 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
23 fourierdlem66.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
2423fourierdlem5 37974 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  RR  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
2522, 24syl 17 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
2625ad2antlr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
2726, 7ffvelrnd 6023 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( S `  s )  e.  RR )
2821, 27remulcld 9671 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) )  e.  RR )
29 fourierdlem66.g . . . 4  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
3029fvmpt2 5957 . . 3  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
)  e.  RR )  ->  ( G `  s )  =  ( ( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) ) )
317, 28, 30syl2anc 667 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( G `  s )  =  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
328, 10, 12, 14, 16fourierdlem9 37978 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
3332adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
3433, 6ffvelrnd 6023 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( H `  s )  e.  RR )
3517fourierdlem43 38014 . . . . . . . . 9  |-  K :
( -u pi [,] pi )
--> RR
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  K : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
3736, 6ffvelrnd 6023 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
3834, 37remulcld 9671 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) )  e.  RR )
3918fvmpt2 5957 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
)  e.  RR )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) )
406, 38, 39syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
41 0red 9644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  0  e.  RR )
428adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  F : RR --> RR )
4310adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  X  e.  RR )
44 pire 23413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  RR
4544renegcli 9935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u pi  e.  RR
46 iccssre 11716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
4745, 44, 46mp2an 678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u pi [,] pi )  C_  RR
484sseli 3428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
4947, 48sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  RR )
5049adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
5143, 50readdcld 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
5242, 51ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
5312, 14ifcld 3924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  e.  RR )
5453adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  e.  RR )
5552, 54resubcld 10047 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  RR )
56 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  A )
572, 56sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } ) )
5857eldifbd 3417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  s  e.  { 0 } )
59 elsn 3982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  { 0 }  <-> 
s  =  0 )
6058, 59sylnib 306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  s  =  0 )
6160neqned 2631 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  =/=  0 )
6255, 50, 61redivcld 10435 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s )  e.  RR )
6341, 62ifcld 3924 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  e.  RR )
6416fvmpt2 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  e.  RR )  ->  ( H `  s )  =  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )
656, 63, 64syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( H `  s )  =  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )
6660iffalsed 3892 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )
6765, 66eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( H `  s )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) )
68 1red 9658 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  1  e.  RR )
69 2re 10679 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  2  e.  RR )
7150rehalfcld 10859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
7271resincld 14197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  RR )
7370, 72remulcld 9671 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  RR )
74 2cnd 10682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  2  e.  CC )
7572recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
76 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  2  =/=  0 )
78 fourierdlem44 38015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
796, 61, 78syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  =/=  0 )
8074, 75, 77, 79mulne0d 10264 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  =/=  0 )
8150, 73, 80redivcld 10435 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  RR )
8268, 81ifcld 3924 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  RR )
8317fvmpt2 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  RR )  -> 
( K `  s
)  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
846, 82, 83syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( K `  s )  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) )
8560iffalsed 3892 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
8684, 85eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( K `  s )  =  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
8767, 86oveq12d 6308 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) )  =  ( ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s )  x.  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
8855recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  CC )
8950recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  CC )
9074, 75mulcld 9663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
9188, 89, 90, 61, 80dmdcan2d 10413 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s )  x.  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
9240, 87, 913eqtrd 2489 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( U `  s )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
9392adantlr 721 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( U `  s )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
9422ad2antlr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  n  e.  RR )
95 1red 9658 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  1  e.  RR )
9695rehalfcld 10859 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
9794, 96readdcld 9670 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
9849adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
9997, 98remulcld 9671 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  e.  RR )
10099resincld 14197 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )
10123fvmpt2 5957 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )  -> 
( S `  s
)  =  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )
1027, 100, 101syl2anc 667 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( S `  s )  =  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
10393, 102oveq12d 6308 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) )  =  ( ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )
10488adantlr 721 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  CC )
10590adantlr 721 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
106100recnd 9669 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  e.  CC )
10780adantlr 721 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  =/=  0 )
108104, 105, 106, 107div32d 10406 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
10922adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  n  e.  RR )
110 halfre 10828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
112109, 111readdcld 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
11349adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
114112, 113remulcld 9671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
)  e.  RR )
115114resincld 14197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )
116115recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  CC )
11769a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  2  e.  RR )
118113rehalfcld 10859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( s  /  2
)  e.  RR )
119118resincld 14197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  (
s  /  2 ) )  e.  RR )
120117, 119remulcld 9671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  e.  RR )
121120recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  e.  CC )
122 picn 23414 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
123122a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  pi  e.  CC )
124 2cnd 10682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  A  ->  2  e.  CC )
125 rehalfcl 10839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
126 resincl 14194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  RR )
12749, 125, 1263syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  A  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  RR )
128127recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  A  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
12976a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  A  ->  2  =/=  0 )
130 eldifsni 4098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  { 0 } )  ->  s  =/=  0
)
131130, 1eleq2s 2547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  A  ->  s  =/=  0 )
13248, 131, 78syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  A  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  =/=  0 )
133124, 128, 129, 132mulne0d 10264 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  A  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  =/=  0 )
134133adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  =/=  0 )
135 0re 9643 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
136 pipos 23415 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
137135, 136gtneii 9746 . . . . . . . . . 10  |-  pi  =/=  0
138137a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  pi  =/=  0 )
139116, 121, 123, 134, 138divdiv1d 10414 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  x.  pi ) ) )
140 2cnd 10682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  2  e.  CC )
141128adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  (
s  /  2 ) )  e.  CC )
142140, 141, 123mulassd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  x.  pi )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( s  /  2
) )  x.  pi ) ) )
143142oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  x.  pi ) )  =  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( ( sin `  ( s  /  2
) )  x.  pi ) ) ) )
144141, 123mulcomd 9664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  x.  pi )  =  ( pi  x.  ( sin `  ( s  /  2 ) ) ) )
145144oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( 2  x.  (
( sin `  (
s  /  2 ) )  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  ( pi  x.  ( sin `  ( s  /  2 ) ) ) ) )
146140, 123, 141mulassd 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( pi  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
147145, 146eqtr4d 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( 2  x.  (
( sin `  (
s  /  2 ) )  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )
148147oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( ( sin `  ( s  /  2
) )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
149139, 143, 1483eqtrd 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
150149oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( pi  x.  (
( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  /  pi ) )  =  ( pi  x.  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
151115, 120, 134redivcld 10435 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  RR )
152151recnd 9669 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  CC )
153152, 123, 138divcan2d 10385 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( pi  x.  (
( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  /  pi ) )  =  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
154 fourierdlem66.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
155154dirkerval2 37956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( D `  n ) `  s
)  =  if ( ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
15649, 155sylan2 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( D `  n ) `  s
)  =  if ( ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
157 fourierdlem24 37993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  { 0 } )  ->  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0
)
158157, 1eleq2s 2547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  A  ->  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0 )
159158neneqd 2629 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  A  ->  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )
160159adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
161160iffalsed 3892 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
162156, 161eqtr2d 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( D `  n ) `  s
) )
163162oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( pi  x.  (
( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( pi  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )
164150, 153, 1633eqtr3d 2493 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( pi  x.  (
( D `  n
) `  s )
) )
165164oveq2d 6306 . . . 4  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( pi  x.  (
( D `  n
) `  s )
) ) )
166165adantll 720 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( pi  x.  (
( D `  n
) `  s )
) ) )
167122a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  pi  e.  CC )
168154dirkerre 37957 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( D `  n ) `  s
)  e.  RR )
16949, 168sylan2 477 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( D `  n ) `  s
)  e.  RR )
170169recnd 9669 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( D `  n ) `  s
)  e.  CC )
171170adantll 720 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( D `  n
) `  s )  e.  CC )
172104, 167, 171mul12d 9842 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( pi  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  =  ( pi  x.  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
173108, 166, 1723eqtrd 2489 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  =  ( pi  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
17431, 103, 1733eqtrd 2489 1  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( G `  s )  =  ( pi  x.  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622    \ cdif 3401    C_ wss 3404   ifcif 3881   {csn 3968   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   [,]cicc 11638    mod cmo 12096   sincsin 14116   picpi 14119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
This theorem is referenced by:  fourierdlem95  38065
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