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Theorem fourierdlem66 31909
Description: Value of the  G function when the argument is not zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem66.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem66.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem66.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
fourierdlem66.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
fourierdlem66.d  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
fourierdlem66.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem66.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem66.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem66.s  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
fourierdlem66.g  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
fourierdlem66.a  |-  A  =  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem66  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( G `  s )  =  ( pi  x.  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, s    ph, s
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n, s)    D( n, s)    S( n, s)    U( n, s)    F( n, s)    G( n, s)    H( n, s)    K( n, s)    W( n, s)    X( n, s)    Y( n, s)

Proof of Theorem fourierdlem66
StepHypRef Expression
1 fourierdlem66.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } )
21eqimssi 3543 . . . . . . 7  |-  A  C_  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } )
3 difss 3616 . . . . . . 7  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  { 0 } )  C_  ( -u pi [,] pi )
42, 3sstri 3498 . . . . . 6  |-  A  C_  ( -u pi [,] pi )
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  ( -u pi [,] pi ) )
65sselda 3489 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
76adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
8 fourierdlem66.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F : RR
--> RR )
10 fourierdlem66.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  RR )
12 fourierdlem66.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
1312adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Y  e.  RR )
14 fourierdlem66.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  W  e.  RR )
16 fourierdlem66.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
17 fourierdlem66.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
18 fourierdlem66.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
199, 11, 13, 15, 16, 17, 18fourierdlem55 31898 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  U :
( -u pi [,] pi )
--> RR )
2019adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  U : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
2120, 7ffvelrnd 6017 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( U `  s )  e.  RR )
22 nnre 10550 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
23 fourierdlem66.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
2423fourierdlem5 31848 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  RR  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
2522, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
2625ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
2726, 7ffvelrnd 6017 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( S `  s )  e.  RR )
2821, 27remulcld 9627 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) )  e.  RR )
29 fourierdlem66.g . . . 4  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
3029fvmpt2 5948 . . 3  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
)  e.  RR )  ->  ( G `  s )  =  ( ( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) ) )
317, 28, 30syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( G `  s )  =  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
328, 10, 12, 14, 16fourierdlem9 31852 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
3332adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
3433, 6ffvelrnd 6017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( H `  s )  e.  RR )
3517fourierdlem43 31886 . . . . . . . . 9  |-  K :
( -u pi [,] pi )
--> RR
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  K : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
3736, 6ffvelrnd 6017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
3834, 37remulcld 9627 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) )  e.  RR )
3918fvmpt2 5948 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
)  e.  RR )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) )
406, 38, 39syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
41 0red 9600 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  0  e.  RR )
428adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  F : RR --> RR )
4310adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  X  e.  RR )
44 pire 22829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  RR
4544renegcli 9885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u pi  e.  RR
46 iccssre 11617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
4745, 44, 46mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u pi [,] pi )  C_  RR
484sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
4947, 48sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  RR )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
5143, 50readdcld 9626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
5242, 51ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
5312, 14ifcld 3969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  e.  RR )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  e.  RR )
5552, 54resubcld 9994 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  RR )
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  A )
572, 56sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  {
0 } ) )
5857eldifbd 3474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  s  e.  { 0 } )
59 elsn 4028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  { 0 }  <-> 
s  =  0 )
6058, 59sylnib 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  s  =  0 )
6160neqned 2646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  =/=  0 )
6255, 50, 61redivcld 10379 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s )  e.  RR )
6341, 62ifcld 3969 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  e.  RR )
6416fvmpt2 5948 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  e.  RR )  ->  ( H `  s )  =  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )
656, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( H `  s )  =  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )
6660iffalsed 3937 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )
6765, 66eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( H `  s )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) )
68 1red 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  1  e.  RR )
69 2re 10612 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  2  e.  RR )
7150rehalfcld 10792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
7271resincld 13860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  RR )
7370, 72remulcld 9627 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  RR )
74 2cnd 10615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  2  e.  CC )
7572recnd 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
76 2ne0 10635 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  2  =/=  0 )
78 fourierdlem44 31887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
796, 61, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  =/=  0 )
8074, 75, 77, 79mulne0d 10208 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  =/=  0 )
8150, 73, 80redivcld 10379 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  RR )
8268, 81ifcld 3969 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  RR )
8317fvmpt2 5948 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  RR )  -> 
( K `  s
)  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
846, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( K `  s )  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) )
8560iffalsed 3937 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
8684, 85eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( K `  s )  =  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
8767, 86oveq12d 6299 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) )  =  ( ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s )  x.  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
8855recnd 9625 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  CC )
8950recnd 9625 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  CC )
9074, 75mulcld 9619 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
9188, 89, 90, 61, 80dmdcan2d 10357 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s )  x.  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
9240, 87, 913eqtrd 2488 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( U `  s )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
9392adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( U `  s )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
9422ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  n  e.  RR )
95 1red 9614 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  1  e.  RR )
9695rehalfcld 10792 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
9794, 96readdcld 9626 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
9849adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
9997, 98remulcld 9627 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  e.  RR )
10099resincld 13860 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )
10123fvmpt2 5948 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )  -> 
( S `  s
)  =  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) ) )
1027, 100, 101syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( S `  s )  =  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
10393, 102oveq12d 6299 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) )  =  ( ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) ) )
10488adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  CC )
10590adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
106100recnd 9625 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  e.  CC )
10780adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  =/=  0 )
108104, 105, 106, 107div32d 10350 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
10922adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  n  e.  RR )
110 halfre 10761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
112109, 111readdcld 9626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
11349adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
114112, 113remulcld 9627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
)  e.  RR )
115114resincld 13860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )
116115recnd 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  CC )
11769a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  2  e.  RR )
118113rehalfcld 10792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( s  /  2
)  e.  RR )
119118resincld 13860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  (
s  /  2 ) )  e.  RR )
120117, 119remulcld 9627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  e.  RR )
121120recnd 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  e.  CC )
122 picn 22830 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
123122a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  pi  e.  CC )
124 2cnd 10615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  A  ->  2  e.  CC )
125 rehalfcl 10772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
126 resincl 13857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  RR )
12749, 125, 1263syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  A  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  RR )
128127recnd 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  A  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
12976a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  A  ->  2  =/=  0 )
130 eldifsni 4141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  { 0 } )  ->  s  =/=  0
)
131130, 1eleq2s 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  A  ->  s  =/=  0 )
13248, 131, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  A  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  =/=  0 )
133124, 128, 129, 132mulne0d 10208 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  A  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  =/=  0 )
134133adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  =/=  0 )
135 0re 9599 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
136 pipos 22831 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
137135, 136gtneii 9699 . . . . . . . . . 10  |-  pi  =/=  0
138137a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  pi  =/=  0 )
139116, 121, 123, 134, 138divdiv1d 10358 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  x.  pi ) ) )
140 2cnd 10615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  2  e.  CC )
141128adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  (
s  /  2 ) )  e.  CC )
142140, 141, 123mulassd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  x.  pi )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  ( s  /  2
) )  x.  pi ) ) )
143142oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  x.  pi ) )  =  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( ( sin `  ( s  /  2
) )  x.  pi ) ) ) )
144141, 123mulcomd 9620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  x.  pi )  =  ( pi  x.  ( sin `  ( s  /  2 ) ) ) )
145144oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( 2  x.  (
( sin `  (
s  /  2 ) )  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  ( pi  x.  ( sin `  ( s  /  2 ) ) ) ) )
146140, 123, 141mulassd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( pi  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
147145, 146eqtr4d 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( 2  x.  (
( sin `  (
s  /  2 ) )  x.  pi ) )  =  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )
148147oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( ( sin `  ( s  /  2
) )  x.  pi ) ) )  =  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
149139, 143, 1483eqtrd 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  /  pi )  =  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
150149oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( pi  x.  (
( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  /  pi ) )  =  ( pi  x.  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
151115, 120, 134redivcld 10379 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  RR )
152151recnd 9625 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  CC )
153152, 123, 138divcan2d 10329 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( pi  x.  (
( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  /  pi ) )  =  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
154 fourierdlem66.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( s  e.  RR  |->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) ) )
155154dirkerval2 31830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( D `  n ) `  s
)  =  if ( ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
15649, 155sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( D `  n ) `  s
)  =  if ( ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
157 fourierdlem24 31867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  { 0 } )  ->  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0
)
158157, 1eleq2s 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  A  ->  (
s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =/=  0 )
159158neneqd 2645 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  A  ->  -.  ( s  mod  (
2  x.  pi ) )  =  0 )
160159adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  -.  ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
161160iffalsed 3937 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  if ( ( s  mod  ( 2  x.  pi ) )  =  0 ,  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( 2  x.  pi ) ) ,  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2
) )  x.  s
) )  /  (
( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
162156, 161eqtr2d 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( D `  n ) `  s
) )
163162oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( pi  x.  (
( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( 2  x.  pi )  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( pi  x.  ( ( D `  n ) `  s
) ) )
164150, 153, 1633eqtr3d 2492 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( pi  x.  (
( D `  n
) `  s )
) )
165164oveq2d 6297 . . . 4  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( pi  x.  (
( D `  n
) `  s )
) ) )
166165adantll 713 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( sin `  ( ( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( pi  x.  (
( D `  n
) `  s )
) ) )
167122a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  pi  e.  CC )
168154dirkerre 31831 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  RR )  ->  ( ( D `  n ) `  s
)  e.  RR )
16949, 168sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( D `  n ) `  s
)  e.  RR )
170169recnd 9625 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  s  e.  A )  ->  ( ( D `  n ) `  s
)  e.  CC )
171170adantll 713 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( D `  n
) `  s )  e.  CC )
172104, 167, 171mul12d 9792 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( pi  x.  ( ( D `
 n ) `  s ) ) )  =  ( pi  x.  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
173108, 166, 1723eqtrd 2488 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  x.  ( sin `  (
( n  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )  =  ( pi  x.  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
17431, 103, 1733eqtrd 2488 1  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  s  e.  A )  ->  ( G `  s )  =  ( pi  x.  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( ( D `  n ) `
 s ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ifcif 3926   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   [,]cicc 11543    mod cmo 11978   sincsin 13781   picpi 13784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249
This theorem is referenced by:  fourierdlem95  31938
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