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Theorem fourierdlem63 38033
Description: The upper bound of intervals in the moved partition are mapped to points that are not greater than the corresponding upper bounds in the original partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem63.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem63.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem63.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem63.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem63.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem63.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
fourierdlem63.cltd  |-  ( ph  ->  C  <  D )
fourierdlem63.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem63.h  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
fourierdlem63.n  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
fourierdlem63.s  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
fourierdlem63.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
fourierdlem63.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( 0 ... M ) )
fourierdlem63.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
fourierdlem63.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( S `  J ) [,) ( S `  ( J  +  1
) ) ) )
fourierdlem63.eyltqk  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  <  ( Q `  K ) )
fourierdlem63.x  |-  X  =  ( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem63  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  <_  ( Q `  K ) )
Distinct variable groups:    A, i, m, p    x, A, i    B, i, m, p    x, B    C, i, m, p   
x, C    D, i, m, p    x, D    k, E, x    f, H    x, H    k, J, x    k, K, x    i, M, m, p    f, N    i, N, m, p    x, N    Q, i, k, x    Q, p    S, f    S, i, k, x    S, p    T, i, k, x    k, Y, x    ph, f    ph, i,
k, x
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    A( f, k)    B( f, k)    C( f, k)    D( f, k)    P( x, f, i, k, m, p)    Q( f, m)    S( m)    T( f, m, p)    E( f, i, m, p)    H( i, k, m, p)    J( f, i, m, p)    K( f, i, m, p)    M( x, f, k)    N( k)    O( x, f, i, k, m, p)    X( x, f, i, k, m, p)    Y( f, i, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem63
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem63.e . . . . 5  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) ) )
3 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  x  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
4 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
54oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )
65fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) ) )
76oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )
83, 7oveq12d 6308 . . . . 5  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
98adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
10 fourierdlem63.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( B  -  A
)
11 fourierdlem63.p . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
12 fourierdlem63.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
13 fourierdlem63.q . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
14 fourierdlem63.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
15 fourierdlem63.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
16 fourierdlem63.cltd . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  <  D )
17 fourierdlem63.o . . . . . . . . . . 11  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
18 fourierdlem63.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
19 fourierdlem63.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
20 fourierdlem63.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
2110, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20fourierdlem54 38024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `  N
) )  /\  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) ) )
2221simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `
 N ) ) )
2322simprd 465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  ( O `
 N ) )
2422simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2517fourierdlem2 37971 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <->  ( S  e.  ( RR  ^m  (
0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <-> 
( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
2723, 26mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
2827simpld 461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... N ) ) )
29 elmapi 7493 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N
) )  ->  S : ( 0 ... N ) --> RR )
3028, 29syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> RR )
31 fourierdlem63.j . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
32 fzofzp1 12008 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
3331, 32syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
3430, 33ffvelrnd 6023 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR )
3511, 12, 13fourierdlem11 37980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B ) )
3635simp2d 1021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3736, 34resubcld 10047 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
3835simp1d 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3936, 38resubcld 10047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
4010, 39syl5eqel 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
4135simp3d 1022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <  B )
4238, 36posdifd 10200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
4341, 42mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
4443, 10syl6breqr 4443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  T )
4544gt0ne0d 10178 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
4637, 40, 45redivcld 10435 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  e.  RR )
4746flcld 12034 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  ZZ )
4847zred 11040 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  RR )
4948, 40remulcld 9671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T )  e.  RR )
5034, 49readdcld 9670 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
512, 9, 34, 50fvmptd 5954 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
5251, 50eqeltrd 2529 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
5311fourierdlem2 37971 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
5412, 53syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <-> 
( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
5513, 54mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
5655simpld 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
57 elmapi 7493 . . . 4  |-  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
5856, 57syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
59 fourierdlem63.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( 0 ... M ) )
6058, 59ffvelrnd 6023 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  e.  RR )
6114adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  C  e.  RR )
6215adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  D  e.  RR )
6338rexrd 9690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
64 iocssre 11714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  C_  RR )
6563, 36, 64syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,] B
)  C_  RR )
6638, 36, 41, 10, 1fourierdlem4 37973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E : RR --> ( A (,] B ) )
67 fourierdlem63.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( S `  J ) [,) ( S `  ( J  +  1
) ) ) )
68 elfzofz 11935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ( 0 ... N
) )
6931, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... N ) )
7030, 69ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  RR )
7134rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR* )
72 elico2 11698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S `  J
)  e.  RR  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( Y  e.  ( ( S `  J ) [,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  <->  ( Y  e.  RR  /\  ( S `
 J )  <_  Y  /\  Y  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
7370, 71, 72syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( ( S `  J
) [,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  ( S `  J
)  <_  Y  /\  Y  <  ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )
7467, 73mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  ( S `  J
)  <_  Y  /\  Y  <  ( S `  ( J  +  1
) ) ) )
7574simp1d 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
7666, 75ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  e.  ( A (,] B ) )
7765, 76sseldd 3433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  e.  RR )
7877, 75resubcld 10047 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E `  Y )  -  Y
)  e.  RR )
7960, 78resubcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )  e.  RR )
8079adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  e.  RR )
81 icossicc 11721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S `  J ) [,) ( S `  ( J  +  1
) ) )  C_  ( ( S `  J ) [,] ( S `  ( J  +  1 ) ) )
8214rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
8315rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
8417, 24, 23fourierdlem15 37984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
8582, 83, 84, 31fourierdlem8 37977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( S `  J ) [,] ( S `  ( J  +  1 ) ) )  C_  ( C [,] D ) )
8681, 85syl5ss 3443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S `  J ) [,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  C_  ( C [,] D ) )
8786, 67sseldd 3433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( C [,] D ) )
88 elicc2 11699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( C [,] D )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  C  <_  Y  /\  Y  <_  D ) ) )
8914, 15, 88syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( C [,] D )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  C  <_  Y  /\  Y  <_  D ) ) )
9087, 89mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  C  <_  Y  /\  Y  <_  D ) )
9190simp2d 1021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  <_  Y )
9260, 77resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  K )  -  ( E `  Y )
)  e.  RR )
93 fourierdlem63.eyltqk . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  <  ( Q `  K ) )
9477, 60posdifd 10200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( E `  Y )  <  ( Q `  K )  <->  0  <  ( ( Q `
 K )  -  ( E `  Y ) ) ) )
9593, 94mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( Q `  K )  -  ( E `  Y ) ) )
9692, 95elrpd 11338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  K )  -  ( E `  Y )
)  e.  RR+ )
9775, 96ltaddrpd 11371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  <  ( Y  +  ( ( Q `
 K )  -  ( E `  Y ) ) ) )
9860recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  e.  CC )
9977recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  e.  CC )
10075recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
10198, 99, 100subsub3d 10016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )  =  ( ( ( Q `  K
)  +  Y )  -  ( E `  Y ) ) )
10298, 100addcomd 9835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  K )  +  Y
)  =  ( Y  +  ( Q `  K ) ) )
103102oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 K )  +  Y )  -  ( E `  Y )
)  =  ( ( Y  +  ( Q `
 K ) )  -  ( E `  Y ) ) )
104100, 98, 99addsubassd 10006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( Q `  K ) )  -  ( E `
 Y ) )  =  ( Y  +  ( ( Q `  K )  -  ( E `  Y )
) ) )
105101, 103, 1043eqtrrd 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( ( Q `  K
)  -  ( E `
 Y ) ) )  =  ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) ) )
10697, 105breqtrd 4427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  <  ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) ) )
10714, 75, 79, 91, 106lelttrd 9793 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <  ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) ) )
10814, 79, 107ltled 9783 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  <_  ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) ) )
109108adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  C  <_  (
( Q `  K
)  -  ( ( E `  Y )  -  Y ) ) )
11034adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  ( J  +  1
) )  e.  RR )
11160adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  K )  e.  RR )
11252, 34resubcld 10047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  e.  RR )
113112adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
114111, 113resubcld 10047 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
11574simp3d 1022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )
11675, 34, 115ltled 9783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
11738, 36, 41, 10, 1, 75, 34, 116fourierdlem7 37976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  <_  ( ( E `
 Y )  -  Y ) )
118112, 78, 60, 117lesub2dd 10230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )  <_  ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
119118adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  <_  (
( Q `  K
)  -  ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )
12098adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  K )  e.  CC )
12152recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  CC )
122121adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  CC )
123110recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  ( J  +  1
) )  e.  CC )
124120, 122, 123subsubd 10014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( Q `  K
)  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) )  +  ( S `  ( J  +  1
) ) ) )
12598, 121subcld 9986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
12634recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  CC )
127125, 126addcomd 9835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 K )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  +  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  +  ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
128127adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  +  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( Q `
 K )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) ) )
129124, 128eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( Q `
 K )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) ) )
130 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
13152adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
132111, 131sublt0d 10238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  <  0  <->  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
133130, 132mpbird 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  <  0 )
134111, 131resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
135 ltaddneg 37508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( Q `
 K )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  <  0  <->  (
( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  < 
( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
136134, 110, 135syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  <  0  <->  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  < 
( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
137133, 136mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  +  ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )
138129, 137eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )
13980, 114, 110, 119, 138lelttrd 9793 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
14084, 33ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  ( C [,] D ) )
141 elicc2 11699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  e.  ( C [,] D )  <-> 
( ( S `  ( J  +  1
) )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  ( J  +  1 ) )  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  D ) ) )
14214, 15, 141syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  e.  ( C [,] D )  <-> 
( ( S `  ( J  +  1
) )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  ( J  +  1 ) )  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  D ) ) )
143140, 142mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  ( J  +  1 ) )  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  D ) )
144143simp3d 1022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  D )
145144adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  ( J  +  1
) )  <_  D
)
14680, 110, 62, 139, 145ltletrd 9795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  <  D
)
14780, 62, 146ltled 9783 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  <_  D
)
14861, 62, 80, 109, 147eliccd 37601 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  e.  ( C [,] D ) )
149 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  x  =  Y )
150 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  Y  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  Y ) )
151150oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  Y  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  Y )  /  T ) )
152151fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) ) )
153152oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T ) )
154149, 153oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( Y  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
) ) )
155154adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( Y  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
) ) )
15636, 75resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B  -  Y
)  e.  RR )
157156, 40, 45redivcld 10435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  Y )  /  T
)  e.  RR )
158157flcld 12034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  e.  ZZ )
159158zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  e.  RR )
160159, 40remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
)  e.  RR )
16175, 160readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
1622, 155, 75, 161fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  =  ( Y  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T ) ) )
163162oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E `  Y )  -  Y
)  =  ( ( Y  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T ) )  -  Y ) )
164163oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  =  ( ( ( Y  +  ( ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  x.  T ) )  -  Y )  /  T ) )
165160recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
)  e.  CC )
166100, 165pncan2d 9988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
) )  -  Y
)  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T ) )
167166oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T ) )  -  Y )  /  T
)  =  ( ( ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  x.  T )  /  T ) )
168159recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  e.  CC )
16940recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
170168, 169, 45divcan4d 10389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T )  /  T
)  =  ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) ) )
171164, 167, 1703eqtrd 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  =  ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) ) )
172171, 158eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  e.  ZZ )
17378recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E `  Y )  -  Y
)  e.  CC )
174173, 169, 45divcan1d 10384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E `  Y )  -  Y )  /  T )  x.  T
)  =  ( ( E `  Y )  -  Y ) )
175174oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  x.  T ) )  =  ( ( ( Q `  K
)  -  ( ( E `  Y )  -  Y ) )  +  ( ( E `
 Y )  -  Y ) ) )
17698, 173npcand 9990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( ( E `  Y
)  -  Y ) )  =  ( Q `
 K ) )
177175, 176eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  x.  T ) )  =  ( Q `
 K ) )
178 ffun 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  Fun 
Q )
17958, 178syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  Q )
180 fdm 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  dom 
Q  =  ( 0 ... M ) )
18158, 180syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  Q  =  ( 0 ... M ) )
18259, 181eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  dom  Q
)
183 fvelrn 6015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  Q  /\  K  e.  dom  Q )  -> 
( Q `  K
)  e.  ran  Q
)
184179, 182, 183syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  e.  ran  Q
)
185177, 184eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  x.  T ) )  e.  ran  Q
)
186 oveq1 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( ( ( E `  Y )  -  Y )  /  T )  ->  (
k  x.  T )  =  ( ( ( ( E `  Y
)  -  Y )  /  T )  x.  T ) )
187186oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( ( E `  Y )  -  Y )  /  T )  ->  (
( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )  +  ( k  x.  T ) )  =  ( ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) )  +  ( ( ( ( E `  Y )  -  Y )  /  T )  x.  T
) ) )
188187eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( ( E `  Y )  -  Y )  /  T )  ->  (
( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( ( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )  +  ( ( ( ( E `  Y )  -  Y
)  /  T )  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
189188rspcev 3150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  x.  T ) )  e.  ran  Q
)  ->  E. k  e.  ZZ  ( ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) )  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q )
190172, 185, 189syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ZZ  ( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q
)
191190adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q
)
192 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  ->  (
x  +  ( k  x.  T ) )  =  ( ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) )  +  ( k  x.  T
) ) )
193192eleq1d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  ->  (
( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( ( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
194193rexbidv 2901 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( x  +  (
k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  (
( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
195194elrab 3196 . . . . . 6  |-  ( ( ( Q `  K
)  -  ( ( E `  Y )  -  Y ) )  e.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  <->  ( ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) )  e.  ( C [,] D
)  /\  E. k  e.  ZZ  ( ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) )  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q ) )
196148, 191, 195sylanbrc 670 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  e.  {
x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  (
k  x.  T ) )  e.  ran  Q } )
197 elun2 3602 . . . . 5  |-  ( ( ( Q `  K
)  -  ( ( E `  Y )  -  Y ) )  e.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  ->  ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) )  e.  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )
198196, 197syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  e.  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )
199 fourierdlem63.x . . . 4  |-  X  =  ( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )
200198, 199, 183eltr4g 2546 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  X  e.  H
)
201 elfzelz 11800 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... N )  ->  j  e.  ZZ )
202201ad2antlr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
( S `  J
)  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  -> 
j  e.  ZZ )
203 elfzoelz 11920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ZZ )
20431, 203syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
205204ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
( S `  J
)  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
206 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )  ->  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )
20721simprd 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  H ) )
208207ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )  ->  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
20969ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )  ->  J  e.  ( 0 ... N
) )
210 simplr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )  ->  j  e.  ( 0 ... N
) )
211 isorel 6217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  H )  /\  ( J  e.  ( 0 ... N
)  /\  j  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( J  <  j  <->  ( S `  J )  <  ( S `  j ) ) )
212208, 209, 210, 211syl12anc 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )  ->  ( J  <  j  <->  ( S `  J )  <  ( S `  j )
) )
213206, 212mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )  ->  J  <  j )
214213adantrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
( S `  J
)  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  J  <  j )
215 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
216207ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
217 simplr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0 ... N
) )
21833ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
219 isorel 6217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  H )  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( j  <  ( J  +  1 )  <-> 
( S `  j
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
220216, 217, 218, 219syl12anc 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  (
j  <  ( J  +  1 )  <->  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
221215, 220mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  j  <  ( J  +  1 ) )
222221adantrl 722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
( S `  J
)  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  -> 
j  <  ( J  +  1 ) )
223 btwnnz 11012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
224205, 214, 222, 223syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
( S `  J
)  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
225202, 224pm2.65da 580 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  ( ( S `  J )  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
226225adantlr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  ( ( S `  J )  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
22770ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  J )  e.  RR )
22875ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  Y  e.  RR )
22930ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( S `  j )  e.  RR )
230229adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  j )  e.  RR )
23174simp2d 1021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  <_  Y )
232231ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  J )  <_  Y )
233106, 199syl6breqr 4443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  <  X )
234233adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  Y  <  X )
235 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  =  ( S `  j )  <->  ( S `  j )  =  X )
236235biimpri 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S `  j )  =  X  ->  X  =  ( S `  j ) )
237236adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  X  =  ( S `  j ) )
238234, 237breqtrd 4427 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  Y  <  ( S `  j ) )
239238adantlr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  Y  <  ( S `  j
) )
240227, 228, 230, 232, 239lelttrd 9793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )
241240adantllr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )
242 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  j )  =  X )
243199, 139syl5eqbr 4436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  X  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
244243adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  X  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
245242, 244eqbrtrd 4423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
246245adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
247241, 246jca 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  (
( S `  J
)  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
248226, 247mtand 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  ( S `  j )  =  X )
249248nrexdv 2843 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  -.  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( S `  j )  =  X )
250 isof1o 6216 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H )  ->  S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
251207, 250syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
252 f1ofo 5821 . . . . . . . 8  |-  ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H  ->  S :
( 0 ... N
) -onto-> H )
253251, 252syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) -onto-> H )
254 foelrn 6041 . . . . . . 7  |-  ( ( S : ( 0 ... N ) -onto-> H  /\  X  e.  H
)  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) X  =  ( S `  j ) )
255253, 254sylan 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  H )  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) X  =  ( S `  j ) )
256235rexbii 2889 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( S `  j )  <->  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( S `  j )  =  X )
257255, 256sylib 200 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  H )  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( S `  j )  =  X )
258257adantlr 721 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  X  e.  H )  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( S `  j )  =  X )
259249, 258mtand 665 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  -.  X  e.  H )
260200, 259pm2.65da 580 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
26152, 60, 260nltled 9785 1  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  <_  ( Q `  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    u. cun 3402    C_ wss 3404   {cpr 3970   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835   iotacio 5544   Fun wfun 5576   -->wf 5578   -onto->wfo 5580   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582    Isom wiso 5583  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   ZZcz 10937   (,]cioc 11636   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   |_cfl 12026   #chash 12515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-cmp 20402
This theorem is referenced by:  fourierdlem79  38049
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