Theorem fourierdlem63 38033

Description: The upper bound of intervals in the moved partition are mapped to points that are not greater than the corresponding upper bounds in the original partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem63.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem63.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem63.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem63.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem63.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem63.d	|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem63.cltd	|- ( ph -> C < D )
fourierdlem63.o	|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem63.h	|- H = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
fourierdlem63.n	|- N = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem63.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
fourierdlem63.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem63.k	|- ( ph -> K e. ( 0 ... M ) )
fourierdlem63.j	|- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
fourierdlem63.y	|- ( ph -> Y e. ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
fourierdlem63.eyltqk	|- ( ph -> ( E ` Y ) < ( Q ` K ) )
fourierdlem63.x	|- X = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem63	|- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` K ) )

Distinct variable groups:   A, i, m, p   x, A, i   B, i, m, p   x, B   C, i, m, p   x, C   D, i, m, p   x, D   k, E, x   f, H   x, H   k, J, x   k, K, x   i, M, m, p   f, N   i, N, m, p   x, N   Q, i, k, x   Q, p   S, f   S, i, k, x   S, p   T, i, k, x   k, Y, x   ph, f   ph, i, k, x

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   A( f, k)   B( f, k)   C( f, k)   D( f, k)   P( x, f, i, k, m, p)   Q( f, m)   S( m)   T( f, m, p)   E( f, i, m, p)   H( i, k, m, p)   J( f, i, m, p)   K( f, i, m, p)   M( x, f, k)   N( k)   O( x, f, i, k, m, p)   X( x, f, i, k, m, p)   Y( f, i, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem63

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem63.e	. . . . 5 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
3		id 22	. . . . . 6 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> x = ( S ` ( J + 1 ) ) )
4		oveq2 6298	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( B - x ) = ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
5	4	oveq1d 6305	. . . . . . . 8 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
6	5	fveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
7	6	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
8	3, 7	oveq12d 6308	. . . . 5 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
9	8	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
10		fourierdlem63.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( B - A )
11		fourierdlem63.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
12		fourierdlem63.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. NN )
13		fourierdlem63.q	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
14		fourierdlem63.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR )
15		fourierdlem63.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. RR )
16		fourierdlem63.cltd	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C < D )
17		fourierdlem63.o	. . . . . . . . . . 11 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
18		fourierdlem63.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
19		fourierdlem63.n	. . . . . . . . . . 11 |- N = ( ( # ` H ) - 1 )
20		fourierdlem63.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
21	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	fourierdlem54 38024	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) )
22	21	simpld 461	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) )
23	22	simprd 465	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. ( O ` N ) )
24	22	simpld 461	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
25	17	fourierdlem2 37971	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
27	23, 26	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
28	27	simpld 461	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) )
29		elmapi 7493	. . . . . 6 |- ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
30	28, 29	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
31		fourierdlem63.j	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
32		fzofzp1 12008	. . . . . 6 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
34	30, 33	ffvelrnd 6023	. . . 4 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
35	11, 12, 13	fourierdlem11 37980	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
36	35	simp2d 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR )
37	36, 34	resubcld 10047	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
38	35	simp1d 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
39	36, 38	resubcld 10047	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
40	10, 39	syl5eqel 2533	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. RR )
41	35	simp3d 1022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A < B )
42	38, 36	posdifd 10200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
43	41, 42	mpbid 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
44	43, 10	syl6breqr 4443	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < T )
45	44	gt0ne0d 10178	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T =/= 0 )
46	37, 40, 45	redivcld 10435	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. RR )
47	46	flcld 12034	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. ZZ )
48	47	zred 11040	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. RR )
49	48, 40	remulcld 9671	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) e. RR )
50	34, 49	readdcld 9670	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
51	2, 9, 34, 50	fvmptd 5954	. . 3 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
52	51, 50	eqeltrd 2529	. 2 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
53	11	fourierdlem2 37971	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
54	12, 53	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
55	13, 54	mpbid 214	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
56	55	simpld 461	. . . 4 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
57		elmapi 7493	. . . 4 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
58	56, 57	syl 17	. . 3 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
59		fourierdlem63.k	. . 3 |- ( ph -> K e. ( 0 ... M ) )
60	58, 59	ffvelrnd 6023	. 2 |- ( ph -> ( Q ` K ) e. RR )
61	14	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> C e. RR )
62	15	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> D e. RR )
63	38	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
64		iocssre 11714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
65	63, 36, 64	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,] B ) C_ RR )
66	38, 36, 41, 10, 1	fourierdlem4 37973	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
67		fourierdlem63.y	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y e. ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
68		elfzofz 11935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ( 0 ... N ) )
69	31, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> J e. ( 0 ... N ) )
70	30, 69	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( S ` J ) e. RR )
71	34	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* )
72		elico2 11698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S ` J ) e. RR /\ ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* ) -> ( Y e. ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) <-> ( Y e. RR /\ ( S ` J ) <_ Y /\ Y < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
73	70, 71, 72	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y e. ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) <-> ( Y e. RR /\ ( S ` J ) <_ Y /\ Y < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
74	67, 73	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Y e. RR /\ ( S ` J ) <_ Y /\ Y < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
75	74	simp1d 1020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. RR )
76	66, 75	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ` Y ) e. ( A (,] B ) )
77	65, 76	sseldd 3433	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ` Y ) e. RR )
78	77, 75	resubcld 10047	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ` Y ) - Y ) e. RR )
79	60, 78	resubcld 10047	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. RR )
80	79	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. RR )
81		icossicc 11721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( S ` J ) [,] ( S ` ( J + 1 ) ) )
82	14	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. RR* )
83	15	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D e. RR* )
84	17, 24, 23	fourierdlem15 37984	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
85	82, 83, 84, 31	fourierdlem8 37977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( S ` J ) [,] ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( C [,] D ) )
86	81, 85	syl5ss 3443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( C [,] D ) )
87	86, 67	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. ( C [,] D ) )
88		elicc2 11699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( Y e. ( C [,] D ) <-> ( Y e. RR /\ C <_ Y /\ Y <_ D ) ) )
89	14, 15, 88	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y e. ( C [,] D ) <-> ( Y e. RR /\ C <_ Y /\ Y <_ D ) ) )
90	87, 89	mpbid 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y e. RR /\ C <_ Y /\ Y <_ D ) )
91	90	simp2d 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C <_ Y )
92	60, 77	resubcld 10047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) e. RR )
93		fourierdlem63.eyltqk	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E ` Y ) < ( Q ` K ) )
94	77, 60	posdifd 10200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( E ` Y ) < ( Q ` K ) <-> 0 < ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) ) )
95	93, 94	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) )
96	92, 95	elrpd 11338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) e. RR+ )
97	75, 96	ltaddrpd 11371	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y < ( Y + ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) ) )
98	60	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` K ) e. CC )
99	77	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E ` Y ) e. CC )
100	75	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. CC )
101	98, 99, 100	subsub3d 10016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) = ( ( ( Q ` K ) + Y ) - ( E ` Y ) ) )
102	98, 100	addcomd 9835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) + Y ) = ( Y + ( Q ` K ) ) )
103	102	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) + Y ) - ( E ` Y ) ) = ( ( Y + ( Q ` K ) ) - ( E ` Y ) ) )
104	100, 98, 99	addsubassd 10006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Y + ( Q ` K ) ) - ( E ` Y ) ) = ( Y + ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) ) )
105	101, 103, 104	3eqtrrd 2490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y + ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) ) = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
106	97, 105	breqtrd 4427	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y < ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
107	14, 75, 79, 91, 106	lelttrd 9793	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
108	14, 79, 107	ltled 9783	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C <_ ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
109	108	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> C <_ ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
110	34	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
111	60	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` K ) e. RR )
112	52, 34	resubcld 10047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
113	112	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
114	111, 113	resubcld 10047	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. RR )
115	74	simp3d 1022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y < ( S ` ( J + 1 ) ) )
116	75, 34, 115	ltled 9783	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y <_ ( S ` ( J + 1 ) ) )
117	38, 36, 41, 10, 1, 75, 34, 116	fourierdlem7 37976	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( ( E ` Y ) - Y ) )
118	112, 78, 60, 117	lesub2dd 10230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) <_ ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
119	118	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) <_ ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
120	98	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` K ) e. CC )
121	52	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
122	121	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
123	110	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. CC )
124	120, 122, 123	subsubd 10014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) + ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
125	98, 121	subcld 9986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. CC )
126	34	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. CC )
127	125, 126	addcomd 9835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) + ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
128	127	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) + ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
129	124, 128	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
130		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
131	52	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
132	111, 131	sublt0d 10238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) < 0 <-> ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
133	130, 132	mpbird 236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) < 0 )
134	111, 131	resubcld 10047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. RR )
135		ltaddneg 37508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. RR /\ ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) < 0 <-> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
136	134, 110, 135	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) < 0 <-> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
137	133, 136	mpbid 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
138	129, 137	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
139	80, 114, 110, 119, 138	lelttrd 9793	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
140	84, 33	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. ( C [,] D ) )
141		elicc2 11699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR /\ C <_ ( S ` ( J + 1 ) ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ D ) ) )
142	14, 15, 141	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR /\ C <_ ( S ` ( J + 1 ) ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ D ) ) )
143	140, 142	mpbid 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR /\ C <_ ( S ` ( J + 1 ) ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ D ) )
144	143	simp3d 1022	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ D )
145	144	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ D )
146	80, 110, 62, 139, 145	ltletrd 9795	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) < D )
147	80, 62, 146	ltled 9783	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) <_ D )
148	61, 62, 80, 109, 147	eliccd 37601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. ( C [,] D ) )
149		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> x = Y )
150		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = Y -> ( B - x ) = ( B - Y ) )
151	150	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = Y -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - Y ) / T ) )
152	151	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = Y -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) )
153	152	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) )
154	149, 153	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Y -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) )
155	154	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) )
156	36, 75	resubcld 10047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( B - Y ) e. RR )
157	156, 40, 45	redivcld 10435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( B - Y ) / T ) e. RR )
158	157	flcld 12034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) e. ZZ )
159	158	zred 11040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) e. RR )
160	159, 40	remulcld 9671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) e. RR )
161	75, 160	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
162	2, 155, 75, 161	fvmptd 5954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ` Y ) = ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) )
163	162	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E ` Y ) - Y ) = ( ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) - Y ) )
164	163	oveq1d 6305	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) = ( ( ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) - Y ) / T ) )
165	160	recnd 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) e. CC )
166	100, 165	pncan2d 9988	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) - Y ) = ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) )
167	166	oveq1d 6305	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) - Y ) / T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) / T ) )
168	159	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) e. CC )
169	40	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. CC )
170	168, 169, 45	divcan4d 10389	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) )
171	164, 167, 170	3eqtrd 2489	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) )
172	171, 158	eqeltrd 2529	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) e. ZZ )
173	78	recnd 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` Y ) - Y ) e. CC )
174	173, 169, 45	divcan1d 10384	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) = ( ( E ` Y ) - Y ) )
175	174	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) = ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
176	98, 173	npcand 9990	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( E ` Y ) - Y ) ) = ( Q ` K ) )
177	175, 176	eqtrd 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) = ( Q ` K ) )
178		ffun 5731	. . . . . . . . . . 11 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Fun Q )
179	58, 178	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Fun Q )
180		fdm 5733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> dom Q = ( 0 ... M ) )
181	58, 180	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom Q = ( 0 ... M ) )
182	59, 181	eleqtrrd 2532	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. dom Q )
183		fvelrn 6015	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Q /\ K e. dom Q ) -> ( Q ` K ) e. ran Q )
184	179, 182, 183	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` K ) e. ran Q )
185	177, 184	eqeltrd 2529	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) e. ran Q )
186		oveq1 6297	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) -> ( k x. T ) = ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) )
187	186	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) -> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) = ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) )
188	187	eleq1d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) -> ( ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) e. ran Q ) )
189	188	rspcev 3150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) e. ZZ /\ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) e. ran Q ) -> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q )
190	172, 185, 189	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q )
191	190	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q )
192		oveq1 6297	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) -> ( x + ( k x. T ) ) = ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) )
193	192	eleq1d 2513	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
194	193	rexbidv 2901	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) -> ( E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
195	194	elrab 3196	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } <-> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. ( C [,] D ) /\ E. k e. ZZ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
196	148, 191, 195	sylanbrc 670	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
197		elun2 3602	. . . . 5 |- ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
198	196, 197	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
199		fourierdlem63.x	. . . 4 |- X = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) )
200	198, 199, 18	3eltr4g 2546	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> X e. H )
201		elfzelz 11800	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
202	201	ad2antlr 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> j e. ZZ )
203		elfzoelz 11920	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ZZ )
204	31, 203	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. ZZ )
205	204	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> J e. ZZ )
206		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> ( S ` J ) < ( S ` j ) )
207	21	simprd 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
208	207	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
209	69	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> J e. ( 0 ... N ) )
210		simplr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
211		isorel 6217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) /\ ( J e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( J < j <-> ( S ` J ) < ( S ` j ) ) )
212	208, 209, 210, 211	syl12anc 1266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> ( J < j <-> ( S ` J ) < ( S ` j ) ) )
213	206, 212	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> J < j )
214	213	adantrr 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> J < j )
215		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
216	207	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
217		simplr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
218	33	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
219		isorel 6217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( j < ( J + 1 ) <-> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
220	216, 217, 218, 219	syl12anc 1266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( j < ( J + 1 ) <-> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
221	215, 220	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> j < ( J + 1 ) )
222	221	adantrl 722	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> j < ( J + 1 ) )
223		btwnnz 11012	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ZZ /\ J < j /\ j < ( J + 1 ) ) -> -. j e. ZZ )
224	205, 214, 222, 223	syl3anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> -. j e. ZZ )
225	202, 224	pm2.65da 580	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
226	225	adantlr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
227	70	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` J ) e. RR )
228	75	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> Y e. RR )
229	30	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( S ` j ) e. RR )
230	229	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` j ) e. RR )
231	74	simp2d 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S ` J ) <_ Y )
232	231	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` J ) <_ Y )
233	106, 199	syl6breqr 4443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y < X )
234	233	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S ` j ) = X ) -> Y < X )
235		eqcom 2458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X = ( S ` j ) <-> ( S ` j ) = X )
236	235	biimpri 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ` j ) = X -> X = ( S ` j ) )
237	236	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S ` j ) = X ) -> X = ( S ` j ) )
238	234, 237	breqtrd 4427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( S ` j ) = X ) -> Y < ( S ` j ) )
239	238	adantlr 721	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> Y < ( S ` j ) )
240	227, 228, 230, 232, 239	lelttrd 9793	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` J ) < ( S ` j ) )
241	240	adantllr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` J ) < ( S ` j ) )
242		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` j ) = X )
243	199, 139	syl5eqbr 4436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> X < ( S ` ( J + 1 ) ) )
244	243	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> X < ( S ` ( J + 1 ) ) )
245	242, 244	eqbrtrd 4423	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
246	245	adantlr 721	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
247	241, 246	jca 535	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
248	226, 247	mtand 665	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( S ` j ) = X )
249	248	nrexdv 2843	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> -. E. j e. ( 0 ... N ) ( S ` j ) = X )
250		isof1o 6216	. . . . . . . . 9 |- ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
251	207, 250	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
252		f1ofo 5821	. . . . . . . 8 |- ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H -> S : ( 0 ... N ) -onto-> H )
253	251, 252	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) -onto-> H )
254		foelrn 6041	. . . . . . 7 |- ( ( S : ( 0 ... N ) -onto-> H /\ X e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) X = ( S ` j ) )
255	253, 254	sylan 474	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) X = ( S ` j ) )
256	235	rexbii 2889	. . . . . 6 |- ( E. j e. ( 0 ... N ) X = ( S ` j ) <-> E. j e. ( 0 ... N ) ( S ` j ) = X )
257	255, 256	sylib 200	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( S ` j ) = X )
258	257	adantlr 721	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ X e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( S ` j ) = X )
259	249, 258	mtand 665	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> -. X e. H )
260	200, 259	pm2.65da 580	. 2 |- ( ph -> -. ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
261	52, 60, 260	nltled 9785	1 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   u. cun 3402   C_ wss 3404   {cpr 3970   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835   iotacio 5544   Fun wfun 5576   -->wf 5578   -onto->wfo 5580   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582   Isom wiso 5583  (class class class)co 6290   ^m cmap 7472   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   ZZcz 10937   (,]cioc 11636   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   |_cfl 12026   #chash 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-cmp 20402

This theorem is referenced by:  fourierdlem79  38049