Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem63 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem63 31793
 Description: The upper bound of intervals in the moved partition are mapped to points that are not greater than the corresponding upper bounds in the original partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem63.t
fourierdlem63.p ..^
fourierdlem63.m
fourierdlem63.q
fourierdlem63.c
fourierdlem63.d
fourierdlem63.cltd
fourierdlem63.o ..^
fourierdlem63.h
fourierdlem63.n
fourierdlem63.s
fourierdlem63.e
fourierdlem63.k
fourierdlem63.j ..^
fourierdlem63.y
fourierdlem63.eyltqk
fourierdlem63.x
Assertion
Ref Expression
fourierdlem63
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,   ,,,   ,   ,,,   ,   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,,,   ,   ,,,   ,   ,   ,,,   ,   ,,,   ,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,,,,,)   (,)   ()   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,)   ()   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem fourierdlem63
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem63.c . . . . . . . . 9
21adantr 465 . . . . . . . 8
3 fourierdlem63.d . . . . . . . . 9
43adantr 465 . . . . . . . 8
5 fourierdlem63.q . . . . . . . . . . . . . 14
6 fourierdlem63.m . . . . . . . . . . . . . . 15
7 fourierdlem63.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
87fourierdlem2 31732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
96, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
105, 9mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
1110simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
12 elmapi 7452 . . . . . . . . . . . 12
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11
14 fourierdlem63.k . . . . . . . . . . 11
1513, 14ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10
167, 6, 5fourierdlem11 31741 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . 14
1817rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . 13
1916simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . 13
20 iocssre 11616 . . . . . . . . . . . . 13
2118, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
2216simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . 14
23 fourierdlem63.t . . . . . . . . . . . . . 14
24 fourierdlem63.e . . . . . . . . . . . . . 14
2517, 19, 22, 23, 24fourierdlem4 31734 . . . . . . . . . . . . 13
26 fourierdlem63.y . . . . . . . . . . . . . . 15
27 fourierdlem63.cltd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28 fourierdlem63.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
29 fourierdlem63.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
30 fourierdlem63.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
31 fourierdlem63.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3223, 7, 6, 5, 1, 3, 27, 28, 29, 30, 31fourierdlem54 31784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3332simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3433simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3533simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3628fourierdlem2 31732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
3834, 37mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
3938simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40 elmapi 7452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
42 fourierdlem63.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
43 elfzofz 11823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4541, 44ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 fzofzp1 11889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
4742, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4841, 47ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16
50 elico2 11600 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5145, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
5226, 51mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14
5352simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . 13
5425, 53ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . 12
5521, 54sseldd 3510 . . . . . . . . . . 11
5655, 53resubcld 9999 . . . . . . . . . 10
5715, 56resubcld 9999 . . . . . . . . 9
5857adantr 465 . . . . . . . 8
59 icossicc 11623 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
611rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16
623rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6328, 35, 34fourierdlem15 31745 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6461, 62, 63, 42fourierdlem8 31738 . . . . . . . . . . . . . . 15
6560, 64sstrd 3519 . . . . . . . . . . . . . 14
6665, 26sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . 13
67 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . . 14
681, 3, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
6966, 68mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
7069simp2d 1009 . . . . . . . . . . 11
7115, 55resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . 14
72 fourierdlem63.eyltqk . . . . . . . . . . . . . . 15
7355, 15posdifd 10151 . . . . . . . . . . . . . . 15
7472, 73mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14
7571, 74elrpd 11266 . . . . . . . . . . . . 13
76 ltaddrp 11264 . . . . . . . . . . . . 13
7753, 75, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
7815recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . 14
7955recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . 14
8053recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . 14
8178, 79, 80subsub3d 9972 . . . . . . . . . . . . 13
8278, 80addcomd 9793 . . . . . . . . . . . . . 14
8382oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13
8480, 78, 79addsubassd 9962 . . . . . . . . . . . . 13
8581, 83, 843eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12
8677, 85breqtrd 4477 . . . . . . . . . . 11
871, 53, 57, 70, 86lelttrd 9751 . . . . . . . . . 10
881, 57, 87ltled 9744 . . . . . . . . 9
8988adantr 465 . . . . . . . 8
9048adantr 465 . . . . . . . . . 10
9115adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
9224a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
93 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
94 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9594oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9695fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9796oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9893, 97oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9998adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10019, 48resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10219, 17resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
103101, 102eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104 0re 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10617, 19posdifd 10151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10722, 106mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
108101eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
109107, 108breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
110105, 109gtned 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
111100, 103, 110redivcld 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112111flcld 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113112zred 10978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114113, 103remulcld 9636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11548, 114readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11692, 99, 48, 115fvmptd 5962 . . . . . . . . . . . . . . 15
117116, 115eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . 14
118117, 48resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . 13
119118adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
12091, 119resubcld 9999 . . . . . . . . . . 11
12152simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15
12253, 48, 121ltled 9744 . . . . . . . . . . . . . 14
12317, 19, 22, 23, 24, 53, 48, 122fourierdlem7 31737 . . . . . . . . . . . . 13
124118, 56, 15lesub2d 10172 . . . . . . . . . . . . 13
125123, 124mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
126125adantr 465 . . . . . . . . . . 11
12778adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
128117recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . 15
129128adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
13090recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . 14
131127, 129, 130subsubd 9970 . . . . . . . . . . . . 13
13278, 128subcld 9942 . . . . . . . . . . . . . . 15
13348recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . 15
134132, 133addcomd 9793 . . . . . . . . . . . . . 14
135134adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
136131, 135eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12
137 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
138117adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
13991, 138sublt0d 31395 . . . . . . . . . . . . . 14
140137, 139mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13
14191, 138resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . 14
142 ltaddneg 31384 . . . . . . . . . . . . . 14
143141, 90, 142syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
144140, 143mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
145136, 144eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . 11
14658, 120, 90, 126, 145lelttrd 9751 . . . . . . . . . 10
14763, 47ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . 13
148 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . . 14
1491, 3, 148syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
150147, 149mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
151150simp3d 1010 . . . . . . . . . . 11
152151adantr 465 . . . . . . . . . 10
15358, 90, 4, 146, 152ltletrd 9753 . . . . . . . . 9
15458, 4, 153ltled 9744 . . . . . . . 8
1552, 4, 58, 89, 154eliccd 31425 . . . . . . 7
156 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
157 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
158157oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
159158fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
160159oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16
161156, 160oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15
162161adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
16319, 53resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
164163, 103, 110redivcld 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
165164flcld 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
166165zred 10978 . . . . . . . . . . . . . . . 16
167166, 103remulcld 9636 . . . . . . . . . . . . . . 15
16853, 167readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . 14
16992, 162, 53, 168fvmptd 5962 . . . . . . . . . . . . 13
170169oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12
171170oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11
172167recnd 9634 . . . . . . . . . . . . 13
17380, 172pncan2d 9944 . . . . . . . . . . . 12
174173oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11
175166recnd 9634 . . . . . . . . . . . 12
176103recnd 9634 . . . . . . . . . . . 12
177175, 176, 110divcan4d 10338 . . . . . . . . . . 11
178171, 174, 1773eqtrd 2512 . . . . . . . . . 10
179178, 165eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9
18056recnd 9634 . . . . . . . . . . . . 13
181180, 176, 110divcan1d 10333 . . . . . . . . . . . 12
182181oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11
18378, 180npcand 9946 . . . . . . . . . . 11
184182, 183eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10
185 ffun 5739 . . . . . . . . . . . 12
18613, 185syl 16 . . . . . . . . . . 11
187 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . 14
18813, 187syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
189188eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12
19014, 189eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . 11
191 fvelrn 6025 . . . . . . . . . . 11
192186, 190, 191syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
193184, 192eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9
194 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . 12
195194oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11
196195eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10
197196rspcev 3219 . . . . . . . . 9
198179, 193, 197syl2anc 661 . . . . . . . 8
199198adantr 465 . . . . . . 7
200155, 199jca 532 . . . . . 6
201 oveq1 6302 . . . . . . . . 9
202201eleq1d 2536 . . . . . . . 8
203202rexbidv 2978 . . . . . . 7
204203elrab 3266 . . . . . 6
205200, 204sylibr 212 . . . . 5
206 elun2 3677 . . . . 5
207205, 206syl 16 . . . 4
208 fourierdlem63.x . . . . . 6
209208a1i 11 . . . . 5
21029a1i 11 . . . . 5
211209, 210eleq12d 2549 . . . 4
212207, 211mpbird 232 . . 3
21332simprd 463 . . . . . . . . . 10
214 isof1o 6220 . . . . . . . . . 10
215213, 214syl 16 . . . . . . . . 9
216 f1ofo 5829 . . . . . . . . 9
217215, 216syl 16 . . . . . . . 8
218217adantr 465 . . . . . . 7
219 simpr 461 . . . . . . 7
220 foelrn 6051 . . . . . . 7
221218, 219, 220syl2anc 661 . . . . . 6
222 eqcom 2476 . . . . . . . 8
223222rexbii 2969 . . . . . . 7
224223imbi2i 312 . . . . . 6
225221, 224mpbi 208 . . . . 5
226225adantlr 714 . . . 4
22745ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
22853ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
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