Theorem fourierdlem63 38145

Description: The upper bound of intervals in the moved partition are mapped to points that are not greater than the corresponding upper bounds in the original partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem63.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem63.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem63.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem63.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem63.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem63.d	|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem63.cltd	|- ( ph -> C < D )
fourierdlem63.o	|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem63.h	|- H = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
fourierdlem63.n	|- N = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem63.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
fourierdlem63.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem63.k	|- ( ph -> K e. ( 0 ... M ) )
fourierdlem63.j	|- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
fourierdlem63.y	|- ( ph -> Y e. ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
fourierdlem63.eyltqk	|- ( ph -> ( E ` Y ) < ( Q ` K ) )
fourierdlem63.x	|- X = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem63	|- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` K ) )

Distinct variable groups:   A, i, m, p   x, A, i   B, i, m, p   x, B   C, i, m, p   x, C   D, i, m, p   x, D   k, E, x   f, H   x, H   k, J, x   k, K, x   i, M, m, p   f, N   i, N, m, p   x, N   Q, i, k, x   Q, p   S, f   S, i, k, x   S, p   T, i, k, x   k, Y, x   ph, f   ph, i, k, x

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   A( f, k)   B( f, k)   C( f, k)   D( f, k)   P( x, f, i, k, m, p)   Q( f, m)   S( m)   T( f, m, p)   E( f, i, m, p)   H( i, k, m, p)   J( f, i, m, p)   K( f, i, m, p)   M( x, f, k)   N( k)   O( x, f, i, k, m, p)   X( x, f, i, k, m, p)   Y( f, i, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem63

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem63.e	. . . . 5 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
3		id 22	. . . . . 6 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> x = ( S ` ( J + 1 ) ) )
4		oveq2 6316	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( B - x ) = ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
5	4	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
6	5	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
7	6	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
8	3, 7	oveq12d 6326	. . . . 5 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
9	8	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
10		fourierdlem63.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( B - A )
11		fourierdlem63.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
12		fourierdlem63.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. NN )
13		fourierdlem63.q	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
14		fourierdlem63.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR )
15		fourierdlem63.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. RR )
16		fourierdlem63.cltd	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C < D )
17		fourierdlem63.o	. . . . . . . . . . 11 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
18		fourierdlem63.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
19		fourierdlem63.n	. . . . . . . . . . 11 |- N = ( ( # ` H ) - 1 )
20		fourierdlem63.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
21	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	fourierdlem54 38136	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) )
22	21	simpld 466	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) )
23	22	simprd 470	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. ( O ` N ) )
24	22	simpld 466	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
25	17	fourierdlem2 38083	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
27	23, 26	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
28	27	simpld 466	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) )
29		elmapi 7511	. . . . . 6 |- ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
30	28, 29	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
31		fourierdlem63.j	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
32		fzofzp1 12037	. . . . . 6 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
34	30, 33	ffvelrnd 6038	. . . 4 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
35	11, 12, 13	fourierdlem11 38092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
36	35	simp2d 1043	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR )
37	36, 34	resubcld 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
38	35	simp1d 1042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
39	36, 38	resubcld 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
40	10, 39	syl5eqel 2553	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. RR )
41	35	simp3d 1044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A < B )
42	38, 36	posdifd 10221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
43	41, 42	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
44	43, 10	syl6breqr 4436	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < T )
45	44	gt0ne0d 10199	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T =/= 0 )
46	37, 40, 45	redivcld 10457	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. RR )
47	46	flcld 12067	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. ZZ )
48	47	zred 11063	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. RR )
49	48, 40	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) e. RR )
50	34, 49	readdcld 9688	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
51	2, 9, 34, 50	fvmptd 5969	. . 3 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
52	51, 50	eqeltrd 2549	. 2 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
53	11	fourierdlem2 38083	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
54	12, 53	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
55	13, 54	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
56	55	simpld 466	. . . 4 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
57		elmapi 7511	. . . 4 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
58	56, 57	syl 17	. . 3 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
59		fourierdlem63.k	. . 3 |- ( ph -> K e. ( 0 ... M ) )
60	58, 59	ffvelrnd 6038	. 2 |- ( ph -> ( Q ` K ) e. RR )
61	14	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> C e. RR )
62	15	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> D e. RR )
63	38	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
64		iocssre 11739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
65	63, 36, 64	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,] B ) C_ RR )
66	38, 36, 41, 10, 1	fourierdlem4 38085	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
67		fourierdlem63.y	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y e. ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
68		elfzofz 11962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ( 0 ... N ) )
69	31, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> J e. ( 0 ... N ) )
70	30, 69	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( S ` J ) e. RR )
71	34	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* )
72		elico2 11723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S ` J ) e. RR /\ ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* ) -> ( Y e. ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) <-> ( Y e. RR /\ ( S ` J ) <_ Y /\ Y < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
73	70, 71, 72	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y e. ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) <-> ( Y e. RR /\ ( S ` J ) <_ Y /\ Y < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
74	67, 73	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Y e. RR /\ ( S ` J ) <_ Y /\ Y < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
75	74	simp1d 1042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. RR )
76	66, 75	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ` Y ) e. ( A (,] B ) )
77	65, 76	sseldd 3419	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ` Y ) e. RR )
78	77, 75	resubcld 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ` Y ) - Y ) e. RR )
79	60, 78	resubcld 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. RR )
80	79	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. RR )
81		icossicc 11746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( S ` J ) [,] ( S ` ( J + 1 ) ) )
82	14	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. RR* )
83	15	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D e. RR* )
84	17, 24, 23	fourierdlem15 38096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
85	82, 83, 84, 31	fourierdlem8 38089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( S ` J ) [,] ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( C [,] D ) )
86	81, 85	syl5ss 3429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S ` J ) [,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( C [,] D ) )
87	86, 67	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. ( C [,] D ) )
88		elicc2 11724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( Y e. ( C [,] D ) <-> ( Y e. RR /\ C <_ Y /\ Y <_ D ) ) )
89	14, 15, 88	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y e. ( C [,] D ) <-> ( Y e. RR /\ C <_ Y /\ Y <_ D ) ) )
90	87, 89	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y e. RR /\ C <_ Y /\ Y <_ D ) )
91	90	simp2d 1043	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C <_ Y )
92	60, 77	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) e. RR )
93		fourierdlem63.eyltqk	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E ` Y ) < ( Q ` K ) )
94	77, 60	posdifd 10221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( E ` Y ) < ( Q ` K ) <-> 0 < ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) ) )
95	93, 94	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) )
96	92, 95	elrpd 11361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) e. RR+ )
97	75, 96	ltaddrpd 11394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y < ( Y + ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) ) )
98	60	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` K ) e. CC )
99	77	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E ` Y ) e. CC )
100	75	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. CC )
101	98, 99, 100	subsub3d 10035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) = ( ( ( Q ` K ) + Y ) - ( E ` Y ) ) )
102	98, 100	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) + Y ) = ( Y + ( Q ` K ) ) )
103	102	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) + Y ) - ( E ` Y ) ) = ( ( Y + ( Q ` K ) ) - ( E ` Y ) ) )
104	100, 98, 99	addsubassd 10025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Y + ( Q ` K ) ) - ( E ` Y ) ) = ( Y + ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) ) )
105	101, 103, 104	3eqtrrd 2510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y + ( ( Q ` K ) - ( E ` Y ) ) ) = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
106	97, 105	breqtrd 4420	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y < ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
107	14, 75, 79, 91, 106	lelttrd 9810	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
108	14, 79, 107	ltled 9800	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C <_ ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
109	108	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> C <_ ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
110	34	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
111	60	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` K ) e. RR )
112	52, 34	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
113	112	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
114	111, 113	resubcld 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. RR )
115	74	simp3d 1044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y < ( S ` ( J + 1 ) ) )
116	75, 34, 115	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y <_ ( S ` ( J + 1 ) ) )
117	38, 36, 41, 10, 1, 75, 34, 116	fourierdlem7 38088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( ( E ` Y ) - Y ) )
118	112, 78, 60, 117	lesub2dd 10251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) <_ ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
119	118	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) <_ ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
120	98	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` K ) e. CC )
121	52	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
122	121	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
123	110	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. CC )
124	120, 122, 123	subsubd 10033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) + ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
125	98, 121	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. CC )
126	34	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. CC )
127	125, 126	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) + ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
128	127	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) + ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
129	124, 128	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
130		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
131	52	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
132	111, 131	sublt0d 10260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) < 0 <-> ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
133	130, 132	mpbird 240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) < 0 )
134	111, 131	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. RR )
135		ltaddneg 9865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. RR /\ ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) < 0 <-> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
136	134, 110, 135	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) < 0 <-> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
137	133, 136	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( Q ` K ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
138	129, 137	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
139	80, 114, 110, 119, 138	lelttrd 9810	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
140	84, 33	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. ( C [,] D ) )
141		elicc2 11724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR /\ C <_ ( S ` ( J + 1 ) ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ D ) ) )
142	14, 15, 141	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR /\ C <_ ( S ` ( J + 1 ) ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ D ) ) )
143	140, 142	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR /\ C <_ ( S ` ( J + 1 ) ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ D ) )
144	143	simp3d 1044	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ D )
145	144	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ D )
146	80, 110, 62, 139, 145	ltletrd 9812	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) < D )
147	80, 62, 146	ltled 9800	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) <_ D )
148	61, 62, 80, 109, 147	eliccd 37697	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. ( C [,] D ) )
149		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> x = Y )
150		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = Y -> ( B - x ) = ( B - Y ) )
151	150	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = Y -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - Y ) / T ) )
152	151	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = Y -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) )
153	152	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) )
154	149, 153	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = Y -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) )
155	154	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) )
156	36, 75	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( B - Y ) e. RR )
157	156, 40, 45	redivcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( B - Y ) / T ) e. RR )
158	157	flcld 12067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) e. ZZ )
159	158	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) e. RR )
160	159, 40	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) e. RR )
161	75, 160	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
162	2, 155, 75, 161	fvmptd 5969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ` Y ) = ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) )
163	162	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E ` Y ) - Y ) = ( ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) - Y ) )
164	163	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) = ( ( ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) - Y ) / T ) )
165	160	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) e. CC )
166	100, 165	pncan2d 10007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) - Y ) = ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) )
167	166	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) - Y ) / T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) / T ) )
168	159	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) e. CC )
169	40	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. CC )
170	168, 169, 45	divcan4d 10411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) )
171	164, 167, 170	3eqtrd 2509	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) )
172	171, 158	eqeltrd 2549	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) e. ZZ )
173	78	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` Y ) - Y ) e. CC )
174	173, 169, 45	divcan1d 10406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) = ( ( E ` Y ) - Y ) )
175	174	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) = ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( E ` Y ) - Y ) ) )
176	98, 173	npcand 10009	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( E ` Y ) - Y ) ) = ( Q ` K ) )
177	175, 176	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) = ( Q ` K ) )
178		ffun 5742	. . . . . . . . . . 11 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Fun Q )
179	58, 178	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Fun Q )
180		fdm 5745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> dom Q = ( 0 ... M ) )
181	58, 180	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom Q = ( 0 ... M ) )
182	59, 181	eleqtrrd 2552	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. dom Q )
183		fvelrn 6030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Q /\ K e. dom Q ) -> ( Q ` K ) e. ran Q )
184	179, 182, 183	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` K ) e. ran Q )
185	177, 184	eqeltrd 2549	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) e. ran Q )
186		oveq1 6315	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) -> ( k x. T ) = ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) )
187	186	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) -> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) = ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) )
188	187	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) -> ( ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) e. ran Q ) )
189	188	rspcev 3136	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) e. ZZ /\ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( ( ( ( E ` Y ) - Y ) / T ) x. T ) ) e. ran Q ) -> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q )
190	172, 185, 189	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q )
191	190	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q )
192		oveq1 6315	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) -> ( x + ( k x. T ) ) = ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) )
193	192	eleq1d 2533	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
194	193	rexbidv 2892	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) -> ( E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
195	194	elrab 3184	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } <-> ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. ( C [,] D ) /\ E. k e. ZZ ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
196	148, 191, 195	sylanbrc 677	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
197		elun2 3593	. . . . 5 |- ( ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
198	196, 197	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) ) e. ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
199		fourierdlem63.x	. . . 4 |- X = ( ( Q ` K ) - ( ( E ` Y ) - Y ) )
200	198, 199, 18	3eltr4g 2566	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> X e. H )
201		elfzelz 11826	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
202	201	ad2antlr 741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> j e. ZZ )
203		elfzoelz 11947	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ZZ )
204	31, 203	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. ZZ )
205	204	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> J e. ZZ )
206		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> ( S ` J ) < ( S ` j ) )
207	21	simprd 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
208	207	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
209	69	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> J e. ( 0 ... N ) )
210		simplr 770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
211		isorel 6235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) /\ ( J e. ( 0 ... N ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( J < j <-> ( S ` J ) < ( S ` j ) ) )
212	208, 209, 210, 211	syl12anc 1290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> ( J < j <-> ( S ` J ) < ( S ` j ) ) )
213	206, 212	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` J ) < ( S ` j ) ) -> J < j )
214	213	adantrr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> J < j )
215		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
216	207	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
217		simplr 770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> j e. ( 0 ... N ) )
218	33	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
219		isorel 6235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) /\ ( j e. ( 0 ... N ) /\ ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( j < ( J + 1 ) <-> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
220	216, 217, 218, 219	syl12anc 1290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( j < ( J + 1 ) <-> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
221	215, 220	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> j < ( J + 1 ) )
222	221	adantrl 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> j < ( J + 1 ) )
223		btwnnz 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. ZZ /\ J < j /\ j < ( J + 1 ) ) -> -. j e. ZZ )
224	205, 214, 222, 223	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> -. j e. ZZ )
225	202, 224	pm2.65da 586	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
226	225	adantlr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
227	70	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` J ) e. RR )
228	75	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> Y e. RR )
229	30	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( S ` j ) e. RR )
230	229	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` j ) e. RR )
231	74	simp2d 1043	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S ` J ) <_ Y )
232	231	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` J ) <_ Y )
233	106, 199	syl6breqr 4436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y < X )
234	233	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S ` j ) = X ) -> Y < X )
235		eqcom 2478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X = ( S ` j ) <-> ( S ` j ) = X )
236	235	biimpri 211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ` j ) = X -> X = ( S ` j ) )
237	236	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S ` j ) = X ) -> X = ( S ` j ) )
238	234, 237	breqtrd 4420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( S ` j ) = X ) -> Y < ( S ` j ) )
239	238	adantlr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> Y < ( S ` j ) )
240	227, 228, 230, 232, 239	lelttrd 9810	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` J ) < ( S ` j ) )
241	240	adantllr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` J ) < ( S ` j ) )
242		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` j ) = X )
243	199, 139	syl5eqbr 4429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> X < ( S ` ( J + 1 ) ) )
244	243	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> X < ( S ` ( J + 1 ) ) )
245	242, 244	eqbrtrd 4416	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
246	245	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
247	241, 246	jca 541	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) /\ ( S ` j ) = X ) -> ( ( S ` J ) < ( S ` j ) /\ ( S ` j ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
248	226, 247	mtand 671	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( S ` j ) = X )
249	248	nrexdv 2842	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> -. E. j e. ( 0 ... N ) ( S ` j ) = X )
250		isof1o 6234	. . . . . . . . 9 |- ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
251	207, 250	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
252		f1ofo 5835	. . . . . . . 8 |- ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H -> S : ( 0 ... N ) -onto-> H )
253	251, 252	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) -onto-> H )
254		foelrn 6056	. . . . . . 7 |- ( ( S : ( 0 ... N ) -onto-> H /\ X e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) X = ( S ` j ) )
255	253, 254	sylan 479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) X = ( S ` j ) )
256	235	rexbii 2881	. . . . . 6 |- ( E. j e. ( 0 ... N ) X = ( S ` j ) <-> E. j e. ( 0 ... N ) ( S ` j ) = X )
257	255, 256	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( S ` j ) = X )
258	257	adantlr 729	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ X e. H ) -> E. j e. ( 0 ... N ) ( S ` j ) = X )
259	249, 258	mtand 671	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> -. X e. H )
260	200, 259	pm2.65da 586	. 2 |- ( ph -> -. ( Q ` K ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
261	52, 60, 260	nltled 9802	1 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   u. cun 3388   C_ wss 3390   {cpr 3961   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   iotacio 5551   Fun wfun 5583   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589   Isom wiso 5590  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   ZZcz 10961   (,]cioc 11661   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   |_cfl 12059   #chash 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-cmp 20479

This theorem is referenced by:  fourierdlem79  38161