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Theorem fourierdlem63 38145
Description: The upper bound of intervals in the moved partition are mapped to points that are not greater than the corresponding upper bounds in the original partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem63.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem63.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem63.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem63.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem63.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem63.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
fourierdlem63.cltd  |-  ( ph  ->  C  <  D )
fourierdlem63.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem63.h  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
fourierdlem63.n  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
fourierdlem63.s  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
fourierdlem63.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
fourierdlem63.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( 0 ... M ) )
fourierdlem63.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
fourierdlem63.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( S `  J ) [,) ( S `  ( J  +  1
) ) ) )
fourierdlem63.eyltqk  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  <  ( Q `  K ) )
fourierdlem63.x  |-  X  =  ( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem63  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  <_  ( Q `  K ) )
Distinct variable groups:    A, i, m, p    x, A, i    B, i, m, p    x, B    C, i, m, p   
x, C    D, i, m, p    x, D    k, E, x    f, H    x, H    k, J, x    k, K, x    i, M, m, p    f, N    i, N, m, p    x, N    Q, i, k, x    Q, p    S, f    S, i, k, x    S, p    T, i, k, x    k, Y, x    ph, f    ph, i,
k, x
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    A( f, k)    B( f, k)    C( f, k)    D( f, k)    P( x, f, i, k, m, p)    Q( f, m)    S( m)    T( f, m, p)    E( f, i, m, p)    H( i, k, m, p)    J( f, i, m, p)    K( f, i, m, p)    M( x, f, k)    N( k)    O( x, f, i, k, m, p)    X( x, f, i, k, m, p)    Y( f, i, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem63
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem63.e . . . . 5  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) ) )
3 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  x  =  ( S `  ( J  +  1
) ) )
4 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
54oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )
65fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) ) )
76oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) )
83, 7oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( x  =  ( S `  ( J  +  1
) )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
98adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
10 fourierdlem63.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( B  -  A
)
11 fourierdlem63.p . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
12 fourierdlem63.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
13 fourierdlem63.q . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
14 fourierdlem63.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
15 fourierdlem63.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
16 fourierdlem63.cltd . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  <  D )
17 fourierdlem63.o . . . . . . . . . . 11  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
18 fourierdlem63.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
19 fourierdlem63.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
20 fourierdlem63.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
2110, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20fourierdlem54 38136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `  N
) )  /\  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) ) )
2221simpld 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `
 N ) ) )
2322simprd 470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  ( O `
 N ) )
2422simpld 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2517fourierdlem2 38083 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <->  ( S  e.  ( RR  ^m  (
0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <-> 
( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
2723, 26mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
2827simpld 466 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... N ) ) )
29 elmapi 7511 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N
) )  ->  S : ( 0 ... N ) --> RR )
3028, 29syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> RR )
31 fourierdlem63.j . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
32 fzofzp1 12037 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
3331, 32syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
3430, 33ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR )
3511, 12, 13fourierdlem11 38092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B ) )
3635simp2d 1043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3736, 34resubcld 10068 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
3835simp1d 1042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3936, 38resubcld 10068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
4010, 39syl5eqel 2553 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
4135simp3d 1044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <  B )
4238, 36posdifd 10221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
4341, 42mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
4443, 10syl6breqr 4436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  T )
4544gt0ne0d 10199 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
4637, 40, 45redivcld 10457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T )  e.  RR )
4746flcld 12067 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  ZZ )
4847zred 11063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  e.  RR )
4948, 40remulcld 9689 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T )  e.  RR )
5034, 49readdcld 9688 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  +  ( ( |_ `  (
( B  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
512, 9, 34, 50fvmptd 5969 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /  T ) )  x.  T ) ) )
5251, 50eqeltrd 2549 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
5311fourierdlem2 38083 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
5412, 53syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <-> 
( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
5513, 54mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
5655simpld 466 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
57 elmapi 7511 . . . 4  |-  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
5856, 57syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
59 fourierdlem63.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( 0 ... M ) )
6058, 59ffvelrnd 6038 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  e.  RR )
6114adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  C  e.  RR )
6215adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  D  e.  RR )
6338rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
64 iocssre 11739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  C_  RR )
6563, 36, 64syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,] B
)  C_  RR )
6638, 36, 41, 10, 1fourierdlem4 38085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E : RR --> ( A (,] B ) )
67 fourierdlem63.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( S `  J ) [,) ( S `  ( J  +  1
) ) ) )
68 elfzofz 11962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ( 0 ... N
) )
6931, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... N ) )
7030, 69ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  RR )
7134rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR* )
72 elico2 11723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S `  J
)  e.  RR  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( Y  e.  ( ( S `  J ) [,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  <->  ( Y  e.  RR  /\  ( S `
 J )  <_  Y  /\  Y  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
7370, 71, 72syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( ( S `  J
) [,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  ( S `  J
)  <_  Y  /\  Y  <  ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )
7467, 73mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  ( S `  J
)  <_  Y  /\  Y  <  ( S `  ( J  +  1
) ) ) )
7574simp1d 1042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
7666, 75ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  e.  ( A (,] B ) )
7765, 76sseldd 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  e.  RR )
7877, 75resubcld 10068 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E `  Y )  -  Y
)  e.  RR )
7960, 78resubcld 10068 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )  e.  RR )
8079adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  e.  RR )
81 icossicc 11746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S `  J ) [,) ( S `  ( J  +  1
) ) )  C_  ( ( S `  J ) [,] ( S `  ( J  +  1 ) ) )
8214rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
8315rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
8417, 24, 23fourierdlem15 38096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
8582, 83, 84, 31fourierdlem8 38089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( S `  J ) [,] ( S `  ( J  +  1 ) ) )  C_  ( C [,] D ) )
8681, 85syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S `  J ) [,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  C_  ( C [,] D ) )
8786, 67sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( C [,] D ) )
88 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( C [,] D )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  C  <_  Y  /\  Y  <_  D ) ) )
8914, 15, 88syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( C [,] D )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  C  <_  Y  /\  Y  <_  D ) ) )
9087, 89mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  C  <_  Y  /\  Y  <_  D ) )
9190simp2d 1043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  <_  Y )
9260, 77resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  K )  -  ( E `  Y )
)  e.  RR )
93 fourierdlem63.eyltqk . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  <  ( Q `  K ) )
9477, 60posdifd 10221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( E `  Y )  <  ( Q `  K )  <->  0  <  ( ( Q `
 K )  -  ( E `  Y ) ) ) )
9593, 94mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( Q `  K )  -  ( E `  Y ) ) )
9692, 95elrpd 11361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  K )  -  ( E `  Y )
)  e.  RR+ )
9775, 96ltaddrpd 11394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  <  ( Y  +  ( ( Q `
 K )  -  ( E `  Y ) ) ) )
9860recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  e.  CC )
9977recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  e.  CC )
10075recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
10198, 99, 100subsub3d 10035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )  =  ( ( ( Q `  K
)  +  Y )  -  ( E `  Y ) ) )
10298, 100addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  K )  +  Y
)  =  ( Y  +  ( Q `  K ) ) )
103102oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 K )  +  Y )  -  ( E `  Y )
)  =  ( ( Y  +  ( Q `
 K ) )  -  ( E `  Y ) ) )
104100, 98, 99addsubassd 10025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( Q `  K ) )  -  ( E `
 Y ) )  =  ( Y  +  ( ( Q `  K )  -  ( E `  Y )
) ) )
105101, 103, 1043eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( ( Q `  K
)  -  ( E `
 Y ) ) )  =  ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) ) )
10697, 105breqtrd 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  <  ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) ) )
10714, 75, 79, 91, 106lelttrd 9810 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <  ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) ) )
10814, 79, 107ltled 9800 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  <_  ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) ) )
109108adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  C  <_  (
( Q `  K
)  -  ( ( E `  Y )  -  Y ) ) )
11034adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  ( J  +  1
) )  e.  RR )
11160adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  K )  e.  RR )
11252, 34resubcld 10068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  e.  RR )
113112adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
114111, 113resubcld 10068 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
11574simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )
11675, 34, 115ltled 9800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
11738, 36, 41, 10, 1, 75, 34, 116fourierdlem7 38088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  <_  ( ( E `
 Y )  -  Y ) )
118112, 78, 60, 117lesub2dd 10251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )  <_  ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) )  -  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
119118adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  <_  (
( Q `  K
)  -  ( ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  -  ( S `  ( J  +  1
) ) ) ) )
12098adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  K )  e.  CC )
12152recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  CC )
122121adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  CC )
123110recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  ( J  +  1
) )  e.  CC )
124120, 122, 123subsubd 10033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( Q `  K
)  -  ( E `
 ( S `  ( J  +  1
) ) ) )  +  ( S `  ( J  +  1
) ) ) )
12598, 121subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
12634recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  CC )
127125, 126addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 K )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  +  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )  =  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  +  ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) ) )
128127adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  +  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( Q `
 K )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) ) )
129124, 128eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( Q `
 K )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) ) ) )
130 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
13152adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  e.  RR )
132111, 131sublt0d 10260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  <  0  <->  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )
133130, 132mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  <  0 )
134111, 131resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
135 ltaddneg 9865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( Q `
 K )  -  ( E `  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  <  0  <->  (
( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  < 
( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
136134, 110, 135syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  <  0  <->  ( ( S `  ( J  +  1 ) )  +  ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  < 
( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
137133, 136mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( S `
 ( J  + 
1 ) )  +  ( ( Q `  K )  -  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )
138129, 137eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  -  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )
13980, 114, 110, 119, 138lelttrd 9810 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
14084, 33ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  ( C [,] D ) )
141 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  e.  ( C [,] D )  <-> 
( ( S `  ( J  +  1
) )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  ( J  +  1 ) )  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  D ) ) )
14214, 15, 141syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  e.  ( C [,] D )  <-> 
( ( S `  ( J  +  1
) )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  ( J  +  1 ) )  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  D ) ) )
143140, 142mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S `  ( J  +  1
) )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  ( J  +  1 ) )  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  D ) )
144143simp3d 1044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  D )
145144adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  ( J  +  1
) )  <_  D
)
14680, 110, 62, 139, 145ltletrd 9812 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  <  D
)
14780, 62, 146ltled 9800 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  <_  D
)
14861, 62, 80, 109, 147eliccd 37697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  e.  ( C [,] D ) )
149 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  x  =  Y )
150 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  Y  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  Y ) )
151150oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  Y  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  Y )  /  T ) )
152151fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  Y  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) ) )
153152oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T ) )
154149, 153oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( Y  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
) ) )
155154adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( Y  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
) ) )
15636, 75resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B  -  Y
)  e.  RR )
157156, 40, 45redivcld 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  Y )  /  T
)  e.  RR )
158157flcld 12067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  e.  ZZ )
159158zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  e.  RR )
160159, 40remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
)  e.  RR )
16175, 160readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
1622, 155, 75, 161fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  =  ( Y  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T ) ) )
163162oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E `  Y )  -  Y
)  =  ( ( Y  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T ) )  -  Y ) )
164163oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  =  ( ( ( Y  +  ( ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  x.  T ) )  -  Y )  /  T ) )
165160recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
)  e.  CC )
166100, 165pncan2d 10007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
) )  -  Y
)  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T ) )
167166oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T ) )  -  Y )  /  T
)  =  ( ( ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  x.  T )  /  T ) )
168159recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  e.  CC )
16940recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
170168, 169, 45divcan4d 10411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T )  /  T
)  =  ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) ) )
171164, 167, 1703eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  =  ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) ) )
172171, 158eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  e.  ZZ )
17378recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E `  Y )  -  Y
)  e.  CC )
174173, 169, 45divcan1d 10406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E `  Y )  -  Y )  /  T )  x.  T
)  =  ( ( E `  Y )  -  Y ) )
175174oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  x.  T ) )  =  ( ( ( Q `  K
)  -  ( ( E `  Y )  -  Y ) )  +  ( ( E `
 Y )  -  Y ) ) )
17698, 173npcand 10009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( ( E `  Y
)  -  Y ) )  =  ( Q `
 K ) )
177175, 176eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  x.  T ) )  =  ( Q `
 K ) )
178 ffun 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  Fun 
Q )
17958, 178syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  Q )
180 fdm 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  dom 
Q  =  ( 0 ... M ) )
18158, 180syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  Q  =  ( 0 ... M ) )
18259, 181eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  dom  Q
)
183 fvelrn 6030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  Q  /\  K  e.  dom  Q )  -> 
( Q `  K
)  e.  ran  Q
)
184179, 182, 183syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  K
)  e.  ran  Q
)
185177, 184eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  x.  T ) )  e.  ran  Q
)
186 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( ( ( E `  Y )  -  Y )  /  T )  ->  (
k  x.  T )  =  ( ( ( ( E `  Y
)  -  Y )  /  T )  x.  T ) )
187186oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( ( E `  Y )  -  Y )  /  T )  ->  (
( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )  +  ( k  x.  T ) )  =  ( ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) )  +  ( ( ( ( E `  Y )  -  Y )  /  T )  x.  T
) ) )
188187eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( ( E `  Y )  -  Y )  /  T )  ->  (
( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( ( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )  +  ( ( ( ( E `  Y )  -  Y
)  /  T )  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
189188rspcev 3136 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( ( ( ( E `
 Y )  -  Y )  /  T
)  x.  T ) )  e.  ran  Q
)  ->  E. k  e.  ZZ  ( ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) )  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q )
190172, 185, 189syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ZZ  ( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q
)
191190adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  E. k  e.  ZZ  ( ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q
)
192 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  ->  (
x  +  ( k  x.  T ) )  =  ( ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) )  +  ( k  x.  T
) ) )
193192eleq1d 2533 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  ->  (
( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( ( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
194193rexbidv 2892 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( x  +  (
k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  (
( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
195194elrab 3184 . . . . . 6  |-  ( ( ( Q `  K
)  -  ( ( E `  Y )  -  Y ) )  e.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  <->  ( ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) )  e.  ( C [,] D
)  /\  E. k  e.  ZZ  ( ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) )  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q ) )
196148, 191, 195sylanbrc 677 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  e.  {
x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  (
k  x.  T ) )  e.  ran  Q } )
197 elun2 3593 . . . . 5  |-  ( ( ( Q `  K
)  -  ( ( E `  Y )  -  Y ) )  e.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  ->  ( ( Q `  K )  -  ( ( E `
 Y )  -  Y ) )  e.  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )
198196, 197syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( Q `
 K )  -  ( ( E `  Y )  -  Y
) )  e.  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )
199 fourierdlem63.x . . . 4  |-  X  =  ( ( Q `  K )  -  (
( E `  Y
)  -  Y ) )
200198, 199, 183eltr4g 2566 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  X  e.  H
)
201 elfzelz 11826 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... N )  ->  j  e.  ZZ )
202201ad2antlr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
( S `  J
)  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  -> 
j  e.  ZZ )
203 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ZZ )
20431, 203syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
205204ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
( S `  J
)  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
206 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )  ->  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )
20721simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  H ) )
208207ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )  ->  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
20969ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )  ->  J  e.  ( 0 ... N
) )
210 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )  ->  j  e.  ( 0 ... N
) )
211 isorel 6235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  H )  /\  ( J  e.  ( 0 ... N
)  /\  j  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( J  <  j  <->  ( S `  J )  <  ( S `  j ) ) )
212208, 209, 210, 211syl12anc 1290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )  ->  ( J  <  j  <->  ( S `  J )  <  ( S `  j )
) )
213206, 212mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )  ->  J  <  j )
214213adantrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
( S `  J
)  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  J  <  j )
215 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
216207ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
217 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0 ... N
) )
21833ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
219 isorel 6235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  H )  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( j  <  ( J  +  1 )  <-> 
( S `  j
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
220216, 217, 218, 219syl12anc 1290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  (
j  <  ( J  +  1 )  <->  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
221215, 220mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  j  <  ( J  +  1 ) )
222221adantrl 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
( S `  J
)  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  -> 
j  <  ( J  +  1 ) )
223 btwnnz 11035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
224205, 214, 222, 223syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
( S `  J
)  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
225202, 224pm2.65da 586 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  ( ( S `  J )  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
226225adantlr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  ( ( S `  J )  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
22770ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  J )  e.  RR )
22875ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  Y  e.  RR )
22930ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( S `  j )  e.  RR )
230229adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  j )  e.  RR )
23174simp2d 1043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  <_  Y )
232231ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  J )  <_  Y )
233106, 199syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  <  X )
234233adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  Y  <  X )
235 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  =  ( S `  j )  <->  ( S `  j )  =  X )
236235biimpri 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S `  j )  =  X  ->  X  =  ( S `  j ) )
237236adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  X  =  ( S `  j ) )
238234, 237breqtrd 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  Y  <  ( S `  j ) )
239238adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  Y  <  ( S `  j
) )
240227, 228, 230, 232, 239lelttrd 9810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )
241240adantllr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  J )  <  ( S `  j
) )
242 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  j )  =  X )
243199, 139syl5eqbr 4429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  X  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
244243adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  X  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
245242, 244eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
246245adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
247241, 246jca 541 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( S `  j )  =  X )  ->  (
( S `  J
)  <  ( S `  j )  /\  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
248226, 247mtand 671 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  ( S `  j )  =  X )
249248nrexdv 2842 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  -.  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( S `  j )  =  X )
250 isof1o 6234 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H )  ->  S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
251207, 250syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
252 f1ofo 5835 . . . . . . . 8  |-  ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H  ->  S :
( 0 ... N
) -onto-> H )
253251, 252syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) -onto-> H )
254 foelrn 6056 . . . . . . 7  |-  ( ( S : ( 0 ... N ) -onto-> H  /\  X  e.  H
)  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) X  =  ( S `  j ) )
255253, 254sylan 479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  H )  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) X  =  ( S `  j ) )
256235rexbii 2881 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ( 0 ... N ) X  =  ( S `  j )  <->  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( S `  j )  =  X )
257255, 256sylib 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  H )  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( S `  j )  =  X )
258257adantlr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  /\  X  e.  H )  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( S `  j )  =  X )
259249, 258mtand 671 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )  ->  -.  X  e.  H )
260200, 259pm2.65da 586 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( Q `  K )  <  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
26152, 60, 260nltled 9802 1  |-  ( ph  ->  ( E `  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  <_  ( Q `  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    u. cun 3388    C_ wss 3390   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   iotacio 5551   Fun wfun 5583   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589    Isom wiso 5590  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   ZZcz 10961   (,]cioc 11661   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   |_cfl 12059   #chash 12553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-cmp 20479
This theorem is referenced by:  fourierdlem79  38161
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