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Theorem fourierdlem61 31791
Description: Given a differentiable function  F, with finite limit of the derivative at  A the derived function  H has a limit at  0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem61.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem61.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem61.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem61.f  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
fourierdlem61.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  A ) )
fourierdlem61.g  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
fourierdlem61.domg  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
fourierdlem61.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  A ) )
fourierdlem61.h  |-  H  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
fourierdlem61.n  |-  N  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
) )
fourierdlem61.d  |-  D  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  s )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem61  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    D, s    E, s    F, s    G, s    N, s    Y, s    ph, s
Allowed substitution hint:    H( s)

Proof of Theorem fourierdlem61
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9608 . . . 4  |-  0  e.  RR
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3 fourierdlem61.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 fourierdlem61.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
53, 4resubcld 9999 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
65rexrd 9655 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR* )
7 fourierdlem61.altb . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
84, 3posdifd 10151 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
97, 8mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
10 fourierdlem61.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
1110adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
124rexrd 9655 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1312adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  e.  RR* )
143rexrd 9655 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  B  e.  RR* )
164adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  e.  RR )
17 elioore 11571 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  ->  s  e.  RR )
1817adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  e.  RR )
1916, 18readdcld 9635 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  e.  RR )
204recnd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2120addid1d 9791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  +  0 )  =  A )
2221eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( A  +  0 ) )
2322adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  =  ( A  + 
0 ) )
24 0xr 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  e.  RR* )
266adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR* )
27 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )
28 ioogtlb 31415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR*  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  <  s )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  <  s )
301a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  e.  RR )
3130, 18, 16ltadd2d 9749 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
0  <  s  <->  ( A  +  0 )  < 
( A  +  s ) ) )
3229, 31mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  0 )  <  ( A  +  s ) )
3323, 32eqbrtrd 4473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  <  ( A  +  s ) )
34 iooltub 31435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR*  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  <  ( B  -  A
) )
3525, 26, 27, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  <  ( B  -  A
) )
365adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
3718, 36, 16ltadd2d 9749 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
s  <  ( B  -  A )  <->  ( A  +  s )  < 
( A  +  ( B  -  A ) ) ) )
3835, 37mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  <  ( A  +  ( B  -  A ) ) )
393recnd 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4020, 39pncan3d 9945 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
4140adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
4238, 41breqtrd 4477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  <  B )
4313, 15, 19, 33, 42eliood 31418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  e.  ( A (,) B
) )
4411, 43ffvelrnd 6033 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( F `  ( A  +  s ) )  e.  RR )
45 ioossre 11598 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  RR
4645a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
47 ax-resscn 9561 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
4846, 47syl6ss 3521 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
49 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5049, 14, 4, 7lptioo1cn 31511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A (,) B ) ) )
51 fourierdlem61.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  A ) )
5210, 48, 50, 51limcrecl 31494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
5352adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  Y  e.  RR )
5444, 53resubcld 9999 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( F `  ( A  +  s )
)  -  Y )  e.  RR )
55 fourierdlem61.n . . . 4  |-  N  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
) )
5654, 55fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  N : ( 0 (,) ( B  -  A ) ) --> RR )
57 fourierdlem61.d . . . 4  |-  D  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  s )
5818, 57fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( 0 (,) ( B  -  A ) ) --> RR )
5955oveq2i 6306 . . . . . 6  |-  ( RR 
_D  N )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) )
6059a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) ) ) )
6160dmeqd 5211 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  dom  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) ) )
62 reex 9595 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
6362prid1 4141 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6463a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
6544recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( F `  ( A  +  s ) )  e.  CC )
66 dvfre 22222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
6710, 46, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
68 fourierdlem61.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  =  ( RR 
_D  F ) )
70 feq1 5719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  =  ( RR  _D  F )  ->  ( G : dom  ( RR 
_D  F ) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR 
_D  F ) --> RR ) )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G : dom  ( RR  _D  F
) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR ) )
7267, 71mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
7372adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
7469eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  G )
75 dmeq 5209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  _D  F )  =  G  ->  dom  ( RR  _D  F
)  =  dom  G
)
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  dom  G )
77 fourierdlem61.domg . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
7876, 77eqtr2d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =  dom  ( RR  _D  F ) )
7978adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A (,) B )  =  dom  ( RR  _D  F ) )
8043, 79eleqtrd 2557 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
8173, 80ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  e.  RR )
82 1re 9607 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
8382a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  1  e.  RR )
8447a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  RR  C_  CC )
8510ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8684, 85sseldd 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
87 feq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A (,) B )  =  dom  ( RR 
_D  F )  -> 
( G : ( A (,) B ) --> RR  <->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR ) )
8878, 87syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G : ( A (,) B ) --> RR  <->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR ) )
8972, 88mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
9089ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
9120adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  e.  CC )
9220adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
931a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
9464, 20dvmptc 22229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  A ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
95 ioossre 11598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  C_  RR
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  C_  RR )
9749tgioo2 21176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
98 iooretop 21141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
10064, 92, 93, 94, 96, 97, 49, 99dvmptres 22234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  A ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  0 ) )
10147, 18sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  e.  CC )
10247sseli 3505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
10482a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
10564dvmptid 22228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
10664, 103, 104, 105, 96, 97, 49, 99dvmptres 22234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) )
10764, 91, 30, 100, 101, 83, 106dvmptadd 22231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( 0  +  1 ) ) )
108 0p1e1 10659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
110109mpteq2ia 4535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( 0  +  1 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )
111110a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( 0  +  1 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) )
112107, 111eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) )
11310feqmptd 5927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
114113eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  =  F )
115114oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( RR  _D  F ) )
11689feqmptd 5927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `
 x ) ) )
117115, 74, 1163eqtrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) )
118 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  +  s )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( A  +  s
) ) )
119 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  +  s )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
12064, 64, 43, 83, 86, 90, 112, 117, 118, 119dvmptco 22243 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( F `  ( A  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( G `  ( A  +  s )
)  x.  1 ) ) )
12147, 81sseldi 3507 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  e.  CC )
122121mulid1d 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  x.  1 )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
123122mpteq2dva 4539 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( G `  ( A  +  s
) )  x.  1 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
124120, 123eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( F `  ( A  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
125 limccl 22147 . . . . . . . . 9  |-  ( F lim
CC  A )  C_  CC
126125, 51sseldi 3507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
127126adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  Y  e.  CC )
128 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  Y ) )  =  ( RR  _D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  Y ) ) )
129126adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  Y  e.  CC )
13064, 126dvmptc 22229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  Y ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
13164, 129, 93, 130, 96, 97, 49, 99dvmptres 22234 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  Y ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  0 ) )
132128, 131eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  Y ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  0 ) )
13364, 65, 81, 124, 127, 30, 132dvmptsub 22238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( G `  ( A  +  s )
)  -  0 ) ) )
134121subid1d 9931 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  -  0 )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
135134mpteq2dva 4539 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( G `  ( A  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
136133, 135eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
137136dmeqd 5211 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
) ) )  =  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) ) )
13881ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ( G `  ( A  +  s )
)  e.  RR )
139 dmmptg 5510 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ( G `  ( A  +  s ) )  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
140138, 139syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )
14161, 137, 1403eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
14257a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  s ) )
143142oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  s ) ) )
144143, 106eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  1 ) )
145144dmeqd 5211 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 ) )
14683ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 1  e.  RR )
147 dmmptg 5510 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 1  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
148146, 147syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )  =  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )
149145, 148eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
150126subidd 9930 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  =  0 )
151150eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  =  ( Y  -  Y ) )
152 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( F `
 ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( F `  ( A  +  s
) ) )
153 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  Y )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  Y )
154 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s ) )  -  Y ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) )
15543adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =/= 
A ) )  -> 
( A  +  s )  e.  ( A (,) B ) )
156 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  A )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  A )
157 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  s )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  s )
158 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( A  +  s ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( A  +  s ) )
15996, 47syl6ss 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  C_  CC )
16047, 2sseldi 3507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
161156, 159, 20, 160constlimc 31489 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  A ) lim CC  0 ) )
162159, 157, 160idlimc 31491 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  s ) lim CC  0 ) )
163156, 157, 158, 91, 101, 161, 162addlimc 31513 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  +  0 )  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) lim CC  0 ) )
16422, 163eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) lim CC  0 ) )
165113oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  A
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  A ) )
16651, 165eleqtrd 2557 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  A ) )
167 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( F `  ( A  +  s ) )  =  Y )  -> 
( A  +  s )  =  A )
16816, 33gtned 9731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  =/=  A )
169168neneqd 2669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  -.  ( A  +  s
)  =  A )
170169adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =  A ) )  ->  -.  ( A  +  s )  =  A )
171170adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( F `  ( A  +  s ) )  =  Y )  ->  -.  ( A  +  s )  =  A )
172167, 171condan 792 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =  A ) )  -> 
( F `  ( A  +  s )
)  =  Y )
173155, 86, 164, 166, 118, 172limcco 22165 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( F `  ( A  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
174153, 159, 126, 160constlimc 31489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  Y ) lim CC  0 ) )
175152, 153, 154, 65, 127, 173, 174sublimc 31517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 ) )
176151, 175eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 ) )
17755eqcomi 2480 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s ) )  -  Y ) )  =  N
178177oveq1i 6305 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 )
179178a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 ) )
180176, 179eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( N lim
CC  0 ) )
181159, 57, 160idlimc 31491 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( D lim
CC  0 ) )
182 lbioo 11572 . . . . 5  |-  -.  0  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)
183182a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
184 mptresid 5334 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  s )  =  (  _I  |`  (
0 (,) ( B  -  A ) ) )
185184a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  s )  =  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ) )
186142, 185eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A )
) ) )
187186rneqd 5236 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  D  =  ran  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ) )
188 rnresi 5356 . . . . . . 7  |-  ran  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A
) ) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A )
)
189188a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  (  _I  |`  (
0 (,) ( B  -  A ) ) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
190187, 189eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  D  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
191190eqcomd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  =  ran  D
)
192183, 191neleqtrd 2579 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  D )
193 ax-1ne0 9573 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  0
194193necomi 2737 . . . . . . 7  |-  0  =/=  1
195 neneq 31334 . . . . . . 7  |-  ( 0  =/=  1  ->  -.  0  =  1 )
196194, 195ax-mp 5 . . . . . 6  |-  -.  0  =  1
197196a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  0  =  1 )
198 elsncg 4056 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  e.  { 1 }  <->  0  =  1 ) )
1992, 198syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  {
1 }  <->  0  = 
1 ) )
200197, 199mtbird 301 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  {
1 } )
201144rneqd 5236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( RR  _D  D )  =  ran  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 ) )
202 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  1 )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )
20324a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
204 ioon0 11567 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR* )  ->  (
( 0 (,) ( B  -  A )
)  =/=  (/)  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
205203, 6, 204syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0 (,) ( B  -  A
) )  =/=  (/)  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
2069, 205mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  =/=  (/) )
207202, 83, 206rnmptc 31350 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )  =  { 1 } )
208201, 207eqtr2d 2509 . . . 4  |-  ( ph  ->  { 1 }  =  ran  ( RR  _D  D
) )
209200, 208neleqtrd 2579 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  D
) )
21047, 90sseldi 3507 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
211 fourierdlem61.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  A ) )
212116oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  A
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  A ) )
213211, 212eleqtrd 2557 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  A ) )
214 simplrr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( G `  ( A  +  s ) )  =  E )  -> 
( A  +  s )  =  A )
215170adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( G `  ( A  +  s ) )  =  E )  ->  -.  ( A  +  s )  =  A )
216214, 215condan 792 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =  A ) )  -> 
( G `  ( A  +  s )
)  =  E )
217155, 210, 164, 213, 119, 216limcco 22165 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
218121div1d 10324 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  /  1 )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
219218eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  =  ( ( G `
 ( A  +  s ) )  / 
1 ) )
220 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) )
221220fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( G `  ( A  +  s ) )  e.  RR )  -> 
( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) ) `  s )  =  ( G `  ( A  +  s ) ) )
22227, 81, 221syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) ) `  s
)  =  ( G `
 ( A  +  s ) ) )
223222eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) ) `
 s ) )
22460, 136eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) )  =  ( RR  _D  N ) )
225224eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) ) )
226225adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( RR  _D  N )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) ) )
227226fveq1d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( RR  _D  N
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) ) `
 s ) )
228227, 222, 2233eqtrrd 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) ) `  s
)  =  ( ( RR  _D  N ) `
 s ) )
229223, 228eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  =  ( ( RR 
_D  N ) `  s ) )
230144fveq1d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  D ) `  s
)  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) `  s ) )
231230adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( RR  _D  D
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  1 ) `
 s ) )
232202fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 ) `  s )  =  1 )
23327, 83, 232syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 ) `  s
)  =  1 )
234231, 233eqtr2d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  1  =  ( ( RR 
_D  D ) `  s ) )
235229, 234oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  /  1 )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
236 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
237219, 235, 2363eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
238237mpteq2dva 4539 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) )
239238oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  N ) `  s )  /  (
( RR  _D  D
) `  s )
) ) lim CC  0 ) )
240217, 239eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
2412, 6, 9, 56, 58, 141, 149, 180, 181, 192, 209, 240lhop1 22283 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( N `  s
)  /  ( D `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
242 fourierdlem61.h . . . . 5  |-  H  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
243242a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y )  /  s ) ) )
244 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
)  /  s ) ) )
24555fvmpt2 5964 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
)  e.  RR )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) )
24627, 54, 245syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) )
24757fvmpt2 5964 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )  ->  ( D `  s )  =  s )
24827, 27, 247syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( D `  s )  =  s )
249246, 248oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( N `  s
)  /  ( D `
 s ) )  =  ( ( ( F `  ( A  +  s ) )  -  Y )  / 
s ) )
250249mpteq2dva 4539 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
)  /  s ) ) )
251250eqcomd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( N `  s
)  /  ( D `
 s ) ) ) )
252243, 244, 2513eqtrrd 2513 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  H )
253252oveq1d 6310 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( N `
 s )  / 
( D `  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( H lim CC  0 ) )
254241, 253eleqtrd 2557 1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033   {cpr 4035   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511    _I cid 4796   dom cdm 5005   ran crn 5006    |` cres 5007   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509   RR*cxr 9639    < clt 9640    - cmin 9817    / cdiv 10218   (,)cioo 11541   TopOpenctopn 14694   topGenctg 14710  ℂfldccnfld 18290   lim CC climc 22134    _D cdv 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139
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