Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 0red 9662 |
. . 3
   |
2 | | fourierdlem61.b |
. . . . 5
   |
3 | | fourierdlem61.a |
. . . . 5
   |
4 | 2, 3 | resubcld 10068 |
. . . 4
     |
5 | 4 | rexrd 9708 |
. . 3
     |
6 | | fourierdlem61.altb |
. . . 4
   |
7 | 3, 2 | posdifd 10221 |
. . . 4
       |
8 | 6, 7 | mpbid 215 |
. . 3
     |
9 | | fourierdlem61.f |
. . . . . . 7
           |
10 | 9 | adantr 472 |
. . . . . 6
 
   
             |
11 | 3 | rexrd 9708 |
. . . . . . . 8
   |
12 | 11 | adantr 472 |
. . . . . . 7
 
   
     |
13 | 2 | rexrd 9708 |
. . . . . . . 8
   |
14 | 13 | adantr 472 |
. . . . . . 7
 
   
     |
15 | 3 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
 
   
     |
16 | | elioore 11691 |
. . . . . . . . 9
         |
17 | 16 | adantl 473 |
. . . . . . . 8
 
   
     |
18 | 15, 17 | readdcld 9688 |
. . . . . . 7
 
   
   
   |
19 | 3 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . . 11
   |
20 | 19 | addid1d 9851 |
. . . . . . . . . 10
     |
21 | 20 | eqcomd 2477 |
. . . . . . . . 9
     |
22 | 21 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
 
   
       |
23 | | 0red 9662 |
. . . . . . . . 9
 
   
     |
24 | | 0xr 9705 |
. . . . . . . . . . 11
 |
25 | 24 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
 
   
     |
26 | 5 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
 
   
   
   |
27 | | simpr 468 |
. . . . . . . . . 10
 
   
      
    |
28 | | ioogtlb 37688 |
. . . . . . . . . 10
  
    
     |
29 | 25, 26, 27, 28 | syl3anc 1292 |
. . . . . . . . 9
 
   
     |
30 | 23, 17, 15, 29 | ltadd2dd 9811 |
. . . . . . . 8
 
   
   
     |
31 | 22, 30 | eqbrtrd 4416 |
. . . . . . 7
 
   
       |
32 | 4 | adantr 472 |
. . . . . . . . 9
 
   
   
   |
33 | | iooltub 37706 |
. . . . . . . . . 10
  
    
       |
34 | 25, 26, 27, 33 | syl3anc 1292 |
. . . . . . . . 9
 
   
       |
35 | 17, 32, 15, 34 | ltadd2dd 9811 |
. . . . . . . 8
 
   
   
       |
36 | 2 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . 10
   |
37 | 19, 36 | pncan3d 10008 |
. . . . . . . . 9
       |
38 | 37 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
 
   
   
     |
39 | 35, 38 | breqtrd 4420 |
. . . . . . 7
 
   
   
   |
40 | 12, 14, 18, 31, 39 | eliood 37691 |
. . . . . 6
 
   
   
       |
41 | 10, 40 | ffvelrnd 6038 |
. . . . 5
 
   
           |
42 | | ioossre 11721 |
. . . . . . . . 9
     |
43 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
    
  |
44 | | ax-resscn 9614 |
. . . . . . . 8
 |
45 | 43, 44 | syl6ss 3430 |
. . . . . . 7
    
  |
46 | | eqid 2471 |
. . . . . . . 8
  ℂfld   ℂfld |
47 | 46, 13, 3, 6 | lptioo1cn 37824 |
. . . . . . 7
       ℂfld          |
48 | | fourierdlem61.y |
. . . . . . 7
  lim    |
49 | 9, 45, 47, 48 | limcrecl 37806 |
. . . . . 6
   |
50 | 49 | adantr 472 |
. . . . 5
 
   
     |
51 | 41, 50 | resubcld 10068 |
. . . 4
 
   
       
     |
52 | | fourierdlem61.n |
. . . 4
           
     |
53 | 51, 52 | fmptd 6061 |
. . 3
             |
54 | | fourierdlem61.d |
. . . 4
         |
55 | 17, 54 | fmptd 6061 |
. . 3
             |
56 | 52 | oveq2i 6319 |
. . . . . 6
              
      |
57 | 56 | a1i 11 |
. . . . 5
        
              |
58 | 57 | dmeqd 5042 |
. . . 4
   
           
       |
59 | | reelprrecn 9649 |
. . . . . . . 8
    |
60 | 59 | a1i 11 |
. . . . . . 7
      |
61 | 41 | recnd 9687 |
. . . . . . 7
 
   
           |
62 | | dvfre 22984 |
. . . . . . . . . . 11
                   
     |
63 | 9, 43, 62 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . 10
           |
64 | | fourierdlem61.g |
. . . . . . . . . . . 12
   |
65 | 64 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
     |
66 | 65 | feq1d 5724 |
. . . . . . . . . 10
    
  
    
      |
67 | 63, 66 | mpbird 240 |
. . . . . . . . 9
         |
68 | 67 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
 
   
           |
69 | 65 | eqcomd 2477 |
. . . . . . . . . . . 12
     |
70 | 69 | dmeqd 5042 |
. . . . . . . . . . 11
     |
71 | | fourierdlem61.domg |
. . . . . . . . . . 11
       |
72 | 70, 71 | eqtr2d 2506 |
. . . . . . . . . 10
         |
73 | 72 | adantr 472 |
. . . . . . . . 9
 
   
           |
74 | 40, 73 | eleqtrd 2551 |
. . . . . . . 8
 
   
   
     |
75 | 68, 74 | ffvelrnd 6038 |
. . . . . . 7
 
   
           |
76 | | 1red 9676 |
. . . . . . . . 9
 
   
     |
77 | 9 | ffvelrnda 6037 |
. . . . . . . . . 10
 
    
      |
78 | 77 | recnd 9687 |
. . . . . . . . 9
 
    
      |
79 | 72 | feq2d 5725 |
. . . . . . . . . . 11
                   |
80 | 67, 79 | mpbird 240 |
. . . . . . . . . 10
           |
81 | 80 | ffvelrnda 6037 |
. . . . . . . . 9
 
    
      |
82 | 19 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . 11
 
   
     |
83 | 19 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . 12
 

  |
84 | | 0red 9662 |
. . . . . . . . . . . 12
 

  |
85 | 60, 19 | dvmptc 22991 |
. . . . . . . . . . . 12
         |
86 | | ioossre 11721 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
87 | 86 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
    
 
  |
88 | 46 | tgioo2 21899 |
. . . . . . . . . . . 12
       ℂfld
↾t   |
89 | | iooretop 21864 |
. . . . . . . . . . . . 13
           |
90 | 89 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
    
        |
91 | 60, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90 | dvmptres 22996 |
. . . . . . . . . . 11
                     |
92 | 17 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . . 11
 
   
     |
93 | | recn 9647 |
. . . . . . . . . . . . 13
   |
94 | 93 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . 12
 

  |
95 | | 1red 9676 |
. . . . . . . . . . . 12
 

  |
96 | 60 | dvmptid 22990 |
. . . . . . . . . . . 12
         |
97 | 60, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90 | dvmptres 22996 |
. . . . . . . . . . 11
                     |
98 | 60, 82, 23, 91, 92, 76, 97 | dvmptadd 22993 |
. . . . . . . . . 10
                         |
99 | | 0p1e1 10743 |
. . . . . . . . . . 11
   |
100 | 99 | mpteq2i 4479 |
. . . . . . . . . 10
              
    |
101 | 98, 100 | syl6eq 2521 |
. . . . . . . . 9
                       |
102 | 9 | feqmptd 5932 |
. . . . . . . . . . . 12
             |
103 | 102 | eqcomd 2477 |
. . . . . . . . . . 11
             |
104 | 103 | oveq2d 6324 |
. . . . . . . . . 10
                 |
105 | 80 | feqmptd 5932 |
. . . . . . . . . 10
             |
106 | 104, 69, 105 | 3eqtrd 2509 |
. . . . . . . . 9
                         |
107 | | fveq2 5879 |
. . . . . . . . 9
          
    |
108 | | fveq2 5879 |
. . . . . . . . 9
          
    |
109 | 60, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108 | dvmptco 23005 |
. . . . . . . 8
                            
      |
110 | 75 | recnd 9687 |
. . . . . . . . . 10
 
   
           |
111 | 110 | mulid1d 9678 |
. . . . . . . . 9
 
   
       
      
    |
112 | 111 | mpteq2dva 4482 |
. . . . . . . 8
            
                    |
113 | 109, 112 | eqtrd 2505 |
. . . . . . 7
                                 |
114 | | limccl 22909 |
. . . . . . . . 9
 lim   |
115 | 114, 48 | sseldi 3416 |
. . . . . . . 8
   |
116 | 115 | adantr 472 |
. . . . . . 7
 
   
     |
117 | 115 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
 

  |
118 | 60, 115 | dvmptc 22991 |
. . . . . . . 8
         |
119 | 60, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90 | dvmptres 22996 |
. . . . . . 7
                     |
120 | 60, 61, 75, 113, 116, 25, 119 | dvmptsub 23000 |
. . . . . 6
             
                
      |
121 | 110 | subid1d 9994 |
. . . . . . 7
 
   
       
      
    |
122 | 121 | mpteq2dva 4482 |
. . . . . 6
            
                    |
123 | 120, 122 | eqtrd 2505 |
. . . . 5
             
                     |
124 | 123 | dmeqd 5042 |
. . . 4
             
         
     
     |
125 | 75 | ralrimiva 2809 |
. . . . 5
            
    |
126 | | dmmptg 5339 |
. . . . 5
 
                       
           |
127 | 125, 126 | syl 17 |
. . . 4
     
     
      
    |
128 | 58, 124, 127 | 3eqtrd 2509 |
. . 3
           |
129 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . 7
           |
130 | 129 | oveq2d 6324 |
. . . . . 6
        
      |
131 | 130, 97 | eqtrd 2505 |
. . . . 5
             |
132 | 131 | dmeqd 5042 |
. . . 4
             |
133 | 76 | ralrimiva 2809 |
. . . . 5
           |
134 | | dmmptg 5339 |
. . . . 5
 
                       |
135 | 133, 134 | syl 17 |
. . . 4
     
      
    |
136 | 132, 135 | eqtrd 2505 |
. . 3
           |
137 | | eqid 2471 |
. . . . 5
                  
     
    |
138 | | eqid 2471 |
. . . . 5
            
    |
139 | | eqid 2471 |
. . . . 5
                    
            |
140 | 40 | adantrr 731 |
. . . . . 6
 
    
 
            |
141 | | eqid 2471 |
. . . . . . . 8
            
    |
142 | | eqid 2471 |
. . . . . . . 8
            
    |
143 | | eqid 2471 |
. . . . . . . 8
              
      |
144 | 87, 44 | syl6ss 3430 |
. . . . . . . . 9
    
 
  |
145 | 1 | recnd 9687 |
. . . . . . . . 9
   |
146 | 141, 144,
19, 145 | constlimc 37801 |
. . . . . . . 8
          lim    |
147 | 144, 142,
145 | idlimc 37803 |
. . . . . . . 8
          lim    |
148 | 141, 142,
143, 82, 92, 146, 147 | addlimc 37826 |
. . . . . . 7
              lim    |
149 | 21, 148 | eqeltrd 2549 |
. . . . . 6
            lim    |
150 | 102 | oveq1d 6323 |
. . . . . . 7
  lim             lim    |
151 | 48, 150 | eleqtrd 2551 |
. . . . . 6
            lim    |
152 | | simplrr 779 |
. . . . . . 7
          
              |
153 | 15, 31 | gtned 9787 |
. . . . . . . . . 10
 
   
   
   |
154 | 153 | neneqd 2648 |
. . . . . . . . 9
 
   
   
   |
155 | 154 | adantrr 731 |
. . . . . . . 8
 
    
 
        |
156 | 155 | adantr 472 |
. . . . . . 7
          
              |
157 | 152, 156 | condan 811 |
. . . . . 6
 
    
 
       
    |
158 | 140, 78, 149, 151, 107, 157 | limcco 22927 |
. . . . 5
                lim    |
159 | 138, 144,
115, 145 | constlimc 37801 |
. . . . 5
          lim    |
160 | 137, 138,
139, 61, 116, 158, 159 | sublimc 37830 |
. . . 4
               
    lim    |
161 | 115 | subidd 9993 |
. . . 4
     |
162 | 52 | eqcomi 2480 |
. . . . . 6
                 |
163 | 162 | oveq1i 6318 |
. . . . 5
            
    lim   lim   |
164 | 163 | a1i 11 |
. . . 4
      
           lim   lim    |
165 | 160, 161,
164 | 3eltr3d 2563 |
. . 3
  lim    |
166 | 144, 54, 145 | idlimc 37803 |
. . 3
  lim    |
167 | | lbioo 11692 |
. . . . 5
   
   |
168 | 167 | a1i 11 |
. . . 4
         |
169 | | mptresid 5165 |
. . . . . . 7
                |
170 | 129, 169 | syl6eq 2521 |
. . . . . 6
    
     |
171 | 170 | rneqd 5068 |
. . . . 5

         |
172 | | rnresi 5187 |
. . . . 5
          
   |
173 | 171, 172 | syl6req 2522 |
. . . 4
    
    |
174 | 168, 173 | neleqtrd 2570 |
. . 3
   |
175 | | 0ne1 10699 |
. . . . . 6
 |
176 | 175 | neii 2645 |
. . . . 5
 |
177 | | elsncg 3983 |
. . . . . 6
       |
178 | 1, 177 | syl 17 |
. . . . 5
   
   |
179 | 176, 178 | mtbiri 310 |
. . . 4
     |
180 | 131 | rneqd 5068 |
. . . . 5
             |
181 | | eqid 2471 |
. . . . . 6
            
    |
182 | 24 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
   |
183 | | ioon0 11687 |
. . . . . . . 8
  
      
 
     |
184 | 182, 5, 183 | syl2anc 673 |
. . . . . . 7
       
     |
185 | 8, 184 | mpbird 240 |
. . . . . 6
    
    |
186 | 181, 76, 185 | rnmptc 37510 |
. . . . 5
     
       |
187 | 180, 186 | eqtr2d 2506 |
. . . 4
       |
188 | 179, 187 | neleqtrd 2570 |
. . 3
 
   |
189 | 81 | recnd 9687 |
. . . . 5
 
    
      |
190 | | fourierdlem61.e |
. . . . . 6
  lim    |
191 | 105 | oveq1d 6323 |
. . . . . 6
  lim             lim    |
192 | 190, 191 | eleqtrd 2551 |
. . . . 5
            lim    |
193 | | simplrr 779 |
. . . . . 6
          
              |
194 | 155 | adantr 472 |
. . . . . 6
          
              |
195 | 193, 194 | condan 811 |
. . . . 5
 
    
 
       
    |
196 | 140, 189,
149, 192, 108, 195 | limcco 22927 |
. . . 4
                lim    |
197 | 110 | div1d 10397 |
. . . . . . 7
 
   
       
      
    |
198 | 56, 123 | syl5eq 2517 |
. . . . . . . . . . 11
                   |
199 | 198 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
 
   
               
     |
200 | 199 | fveq1d 5881 |
. . . . . . . . 9
 
   
                             |
201 | | eqid 2471 |
. . . . . . . . . . 11
                  
     
    |
202 | 201 | fvmpt2 5972 |
. . . . . . . . . 10
                    
     
              |
203 | 27, 75, 202 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . 9
 
   
              
              |
204 | 200, 203 | eqtr2d 2506 |
. . . . . . . 8
 
   
                 |
205 | 131 | fveq1d 5881 |
. . . . . . . . . 10
                     |
206 | 205 | adantr 472 |
. . . . . . . . 9
 
   
                       |
207 | 181 | fvmpt2 5972 |
. . . . . . . . . 10
       
      
        |
208 | 27, 76, 207 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . 9
 
   
                 |
209 | 206, 208 | eqtr2d 2506 |
. . . . . . . 8
 
   
           |
210 | 204, 209 | oveq12d 6326 |
. . . . . . 7
 
   
       
                   |
211 | 197, 210 | eqtr3d 2507 |
. . . . . 6
 
   
                         |
212 | 211 | mpteq2dva 4482 |
. . . . 5
           
                           |
213 | 212 | oveq1d 6323 |
. . . 4
      
     
   lim                         lim    |
214 | 196, 213 | eleqtrd 2551 |
. . 3
                        lim    |
215 | 1, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214 | lhop1 23045 |
. 2
                    lim    |
216 | 52 | fvmpt2 5972 |
. . . . . . 7
            
            
     |
217 | 27, 51, 216 | syl2anc 673 |
. . . . . 6
 
   
                 |
218 | 54 | fvmpt2 5972 |
. . . . . . 7
       
             |
219 | 27, 27, 218 | syl2anc 673 |
. . . . . 6
 
   
         |
220 | 217, 219 | oveq12d 6326 |
. . . . 5
 
   
                         |
221 | 220 | mpteq2dva 4482 |
. . . 4
                               
       |
222 | | fourierdlem61.h |
. . . 4
                   |
223 | 221, 222 | syl6eqr 2523 |
. . 3
                     |
224 | 223 | oveq1d 6323 |
. 2
      
             lim   lim    |
225 | 215, 224 | eleqtrd 2551 |
1
  lim    |