Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem61 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem61 31791
 Description: Given a differentiable function , with finite limit of the derivative at the derived function has a limit at . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem61.a
fourierdlem61.b
fourierdlem61.altb
fourierdlem61.f
fourierdlem61.y lim
fourierdlem61.g
fourierdlem61.domg
fourierdlem61.e lim
fourierdlem61.h
fourierdlem61.n
fourierdlem61.d
Assertion
Ref Expression
fourierdlem61 lim
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fourierdlem61
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9608 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 fourierdlem61.b . . . . 5
4 fourierdlem61.a . . . . 5
53, 4resubcld 9999 . . . 4
65rexrd 9655 . . 3
7 fourierdlem61.altb . . . 4
84, 3posdifd 10151 . . . 4
97, 8mpbid 210 . . 3
10 fourierdlem61.f . . . . . . 7
1110adantr 465 . . . . . 6
124rexrd 9655 . . . . . . . 8
1312adantr 465 . . . . . . 7
143rexrd 9655 . . . . . . . 8
1514adantr 465 . . . . . . 7
164adantr 465 . . . . . . . 8
17 elioore 11571 . . . . . . . . 9
1817adantl 466 . . . . . . . 8
1916, 18readdcld 9635 . . . . . . 7
204recnd 9634 . . . . . . . . . . 11
2120addid1d 9791 . . . . . . . . . 10
2221eqcomd 2475 . . . . . . . . 9
2322adantr 465 . . . . . . . 8
24 0xr 9652 . . . . . . . . . . 11
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10
266adantr 465 . . . . . . . . . 10
27 simpr 461 . . . . . . . . . 10
28 ioogtlb 31415 . . . . . . . . . 10
2925, 26, 27, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
301a1i 11 . . . . . . . . . 10
3130, 18, 16ltadd2d 9749 . . . . . . . . 9
3229, 31mpbid 210 . . . . . . . 8
3323, 32eqbrtrd 4473 . . . . . . 7
34 iooltub 31435 . . . . . . . . . 10
3525, 26, 27, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
365adantr 465 . . . . . . . . . 10
3718, 36, 16ltadd2d 9749 . . . . . . . . 9
3835, 37mpbid 210 . . . . . . . 8
393recnd 9634 . . . . . . . . . 10
4020, 39pncan3d 9945 . . . . . . . . 9
4140adantr 465 . . . . . . . 8
4238, 41breqtrd 4477 . . . . . . 7
4313, 15, 19, 33, 42eliood 31418 . . . . . 6
4411, 43ffvelrnd 6033 . . . . 5
45 ioossre 11598 . . . . . . . . 9
4645a1i 11 . . . . . . . 8
47 ax-resscn 9561 . . . . . . . 8
4846, 47syl6ss 3521 . . . . . . 7
49 eqid 2467 . . . . . . . 8 fld fld
5049, 14, 4, 7lptioo1cn 31511 . . . . . . 7 fld
51 fourierdlem61.y . . . . . . 7 lim
5210, 48, 50, 51limcrecl 31494 . . . . . 6
5352adantr 465 . . . . 5
5444, 53resubcld 9999 . . . 4
55 fourierdlem61.n . . . 4
5654, 55fmptd 6056 . . 3
57 fourierdlem61.d . . . 4
5818, 57fmptd 6056 . . 3
5955oveq2i 6306 . . . . . 6
6059a1i 11 . . . . 5
6160dmeqd 5211 . . . 4
62 reex 9595 . . . . . . . . 9
6362prid1 4141 . . . . . . . 8
6463a1i 11 . . . . . . 7
6544recnd 9634 . . . . . . 7
66 dvfre 22222 . . . . . . . . . . 11
6710, 46, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
68 fourierdlem61.g . . . . . . . . . . . 12
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11
70 feq1 5719 . . . . . . . . . . 11
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . 10
7267, 71mpbird 232 . . . . . . . . 9
7372adantr 465 . . . . . . . 8
7469eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12
75 dmeq 5209 . . . . . . . . . . . 12
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . 11
77 fourierdlem61.domg . . . . . . . . . . 11
7876, 77eqtr2d 2509 . . . . . . . . . 10
7978adantr 465 . . . . . . . . 9
8043, 79eleqtrd 2557 . . . . . . . 8
8173, 80ffvelrnd 6033 . . . . . . 7
82 1re 9607 . . . . . . . . . 10
8382a1i 11 . . . . . . . . 9
8447a1i 11 . . . . . . . . . 10
8510ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10
8684, 85sseldd 3510 . . . . . . . . 9
87 feq2 5720 . . . . . . . . . . . 12
8878, 87syl 16 . . . . . . . . . . 11
8972, 88mpbird 232 . . . . . . . . . 10
9089ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9
9120adantr 465 . . . . . . . . . . 11
9220adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
931a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
9464, 20dvmptc 22229 . . . . . . . . . . . 12
95 ioossre 11598 . . . . . . . . . . . . 13
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
9749tgioo2 21176 . . . . . . . . . . . 12 fldt
98 iooretop 21141 . . . . . . . . . . . . 13
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
10064, 92, 93, 94, 96, 97, 49, 99dvmptres 22234 . . . . . . . . . . 11
10147, 18sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11
10247sseli 3505 . . . . . . . . . . . . 13
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
10482a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
10564dvmptid 22228 . . . . . . . . . . . 12
10664, 103, 104, 105, 96, 97, 49, 99dvmptres 22234 . . . . . . . . . . 11
10764, 91, 30, 100, 101, 83, 106dvmptadd 22231 . . . . . . . . . 10
108 0p1e1 10659 . . . . . . . . . . . . 13
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
110109mpteq2ia 4535 . . . . . . . . . . 11
111110a1i 11 . . . . . . . . . 10
112107, 111eqtrd 2508 . . . . . . . . 9
11310feqmptd 5927 . . . . . . . . . . . 12
114113eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11
115114oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10
11689feqmptd 5927 . . . . . . . . . 10
117115, 74, 1163eqtrd 2512 . . . . . . . . 9
118 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
119 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
12064, 64, 43, 83, 86, 90, 112, 117, 118, 119dvmptco 22243 . . . . . . . 8
12147, 81sseldi 3507 . . . . . . . . . 10
122121mulid1d 9625 . . . . . . . . 9
123122mpteq2dva 4539 . . . . . . . 8
124120, 123eqtrd 2508 . . . . . . 7
125 limccl 22147 . . . . . . . . 9 lim
126125, 51sseldi 3507 . . . . . . . 8
127126adantr 465 . . . . . . 7
128 eqidd 2468 . . . . . . . 8
129126adantr 465 . . . . . . . . 9
13064, 126dvmptc 22229 . . . . . . . . 9
13164, 129, 93, 130, 96, 97, 49, 99dvmptres 22234 . . . . . . . 8
132128, 131eqtrd 2508 . . . . . . 7
13364, 65, 81, 124, 127, 30, 132dvmptsub 22238 . . . . . 6
134121subid1d 9931 . . . . . . 7
135134mpteq2dva 4539 . . . . . 6
136133, 135eqtrd 2508 . . . . 5
137136dmeqd 5211 . . . 4
13881ralrimiva 2881 . . . . 5
139 dmmptg 5510 . . . . 5
140138, 139syl 16 . . . 4
14161, 137, 1403eqtrd 2512 . . 3
14257a1i 11 . . . . . . 7
143142oveq2d 6311 . . . . . 6
144143, 106eqtrd 2508 . . . . 5
145144dmeqd 5211 . . . 4
14683ralrimiva 2881 . . . . 5
147 dmmptg 5510 . . . . 5
148146, 147syl 16 . . . 4
149145, 148eqtrd 2508 . . 3
150126subidd 9930 . . . . . 6
151150eqcomd 2475 . . . . 5
152 eqid 2467 . . . . . 6
153 eqid 2467 . . . . . 6
154 eqid 2467 . . . . . 6
15543adantrr 716 . . . . . . 7
156 eqid 2467 . . . . . . . . 9
157 eqid 2467 . . . . . . . . 9
158 eqid 2467 . . . . . . . . 9
15996, 47syl6ss 3521 . . . . . . . . . 10
16047, 2sseldi 3507 . . . . . . . . . 10
161156, 159, 20, 160constlimc 31489 . . . . . . . . 9 lim
162159, 157, 160idlimc 31491 . . . . . . . . 9 lim
163156, 157, 158, 91, 101, 161, 162addlimc 31513 . . . . . . . 8 lim
16422, 163eqeltrd 2555 . . . . . . 7 lim
165113oveq1d 6310 . . . . . . . 8 lim lim
16651, 165eleqtrd 2557 . . . . . . 7 lim
167 simplrr 760 . . . . . . . 8
16816, 33gtned 9731 . . . . . . . . . . 11
169168neneqd 2669 . . . . . . . . . 10
170169adantrr 716 . . . . . . . . 9
171170adantr 465 . . . . . . . 8
172167, 171condan 792 . . . . . . 7
173155, 86, 164, 166, 118, 172limcco 22165 . . . . . 6 lim
174153, 159, 126, 160constlimc 31489 . . . . . 6 lim
175152, 153, 154, 65, 127, 173, 174sublimc 31517 . . . . 5 lim
176151, 175eqeltrd 2555 . . . 4 lim
17755eqcomi 2480 . . . . . 6
178177oveq1i 6305 . . . . 5 lim lim
179178a1i 11 . . . 4 lim lim
180176, 179eleqtrd 2557 . . 3 lim
181159, 57, 160idlimc 31491 . . 3 lim
182 lbioo 11572 . . . . 5
183182a1i 11 . . . 4
184 mptresid 5334 . . . . . . . . 9
185184a1i 11 . . . . . . . 8
186142, 185eqtrd 2508 . . . . . . 7
187186rneqd 5236 . . . . . 6
188 rnresi 5356 . . . . . . 7
189188a1i 11 . . . . . 6
190187, 189eqtrd 2508 . . . . 5
191190eqcomd 2475 . . . 4
192183, 191neleqtrd 2579 . . 3
193 ax-1ne0 9573 . . . . . . . 8
194193necomi 2737 . . . . . . 7
195 neneq 31334 . . . . . . 7
196194, 195ax-mp 5 . . . . . 6
197196a1i 11 . . . . 5
198 elsncg 4056 . . . . . 6
1992, 198syl 16 . . . . 5
200197, 199mtbird 301 . . . 4
201144rneqd 5236 . . . . 5
202 eqid 2467 . . . . . 6
20324a1i 11 . . . . . . . 8
204 ioon0 11567 . . . . . . . 8
205203, 6, 204syl2anc 661 . . . . . . 7
2069, 205mpbird 232 . . . . . 6
207202, 83, 206rnmptc 31350 . . . . 5
208201, 207eqtr2d 2509 . . . 4
209200, 208neleqtrd 2579 . . 3
21047, 90sseldi 3507 . . . . 5
211 fourierdlem61.e . . . . . 6 lim
212116oveq1d 6310 . . . . . 6 lim lim
213211, 212eleqtrd 2557 . . . . 5 lim
214 simplrr 760 . . . . . 6
215170adantr 465 . . . . . 6
216214, 215condan 792 . . . . 5
217155, 210, 164, 213, 119, 216limcco 22165 . . . 4 lim
218121div1d 10324 . . . . . . . 8
219218eqcomd 2475 . . . . . . 7
220 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
221220fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . 11
22227, 81, 221syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
223222eqcomd 2475 . . . . . . . . 9
22460, 136eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . 13
225224eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12
226225adantr 465 . . . . . . . . . . 11
227226fveq1d 5874 . . . . . . . . . 10
228227, 222, 2233eqtrrd 2513 . . . . . . . . 9
229223, 228eqtrd 2508 . . . . . . . 8
230144fveq1d 5874 . . . . . . . . . 10
231230adantr 465 . . . . . . . . 9
232202fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10
23327, 83, 232syl2anc 661 . . . . . . . . 9
234231, 233eqtr2d 2509 . . . . . . . 8
235229, 234oveq12d 6313 . . . . . . 7
236 eqidd 2468 . . . . . . 7
237219, 235, 2363eqtrd 2512 . . . . . 6
238237mpteq2dva 4539 . . . . 5
239238oveq1d 6310 . . . 4 lim lim
240217, 239eleqtrd 2557 . . 3 lim
2412, 6, 9, 56, 58, 141, 149, 180, 181, 192, 209, 240lhop1 22283 . 2 lim
242 fourierdlem61.h . . . . 5
243242a1i 11 . . . 4
244 eqidd 2468 . . . 4
24555fvmpt2 5964 . . . . . . . 8
24627, 54, 245syl2anc 661 . . . . . . 7
24757fvmpt2 5964 . . . . . . . 8
24827, 27, 247syl2anc 661 . . . . . . 7
249246, 248oveq12d 6313 . . . . . 6
250249mpteq2dva 4539 . . . . 5
251250eqcomd 2475 . . . 4
252243, 244, 2513eqtrrd 2513 . . 3
253252oveq1d 6310 . 2 lim lim
254241, 253eleqtrd 2557 1 lim
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2817   wss 3481  c0 3790  csn 4033  cpr 4035   class class class wbr 4453   cmpt 4511   cid 4796   cdm 5005   crn 5006   cres 5007  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cr 9503  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509  cxr 9639   clt 9640   cmin 9817   cdiv 10218  cioo 11541  ctopn 14694  ctg 14710  ℂfldccnfld 18290   lim climc 22134   cdv 22135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139 This theorem is referenced by:  fourierdlem75  31805
 Copyright terms: Public domain W3C validator