Theorem fourierdlem61 32153

Description: Given a differentiable function F, with finite limit of the derivative at A the derived function H has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem61.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem61.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem61.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem61.f	|- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
fourierdlem61.y	|- ( ph -> Y e. ( F lim CC A ) )
fourierdlem61.g	|- G = ( RR _D F )
fourierdlem61.domg	|- ( ph -> dom G = ( A (,) B ) )
fourierdlem61.e	|- ( ph -> E e. ( G lim CC A ) )
fourierdlem61.h	|- H = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) )
fourierdlem61.n	|- N = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
fourierdlem61.d	|- D = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem61	|- ( ph -> E e. ( H lim CC 0 ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   D, s   E, s   F, s   G, s   N, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hint:   H( s)

Proof of Theorem fourierdlem61

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 9614	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR )
2		fourierdlem61.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		fourierdlem61.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
4	2, 3	resubcld 10008	. . . 4 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
5	4	rexrd 9660	. . 3 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR* )
6		fourierdlem61.altb	. . . 4 |- ( ph -> A < B )
7	3, 2	posdifd 10160	. . . 4 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
8	6, 7	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
9		fourierdlem61.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
10	9	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
11	3	rexrd 9660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
12	11	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A e. RR* )
13	2	rexrd 9660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
14	13	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> B e. RR* )
15	3	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A e. RR )
16		elioore 11584	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) -> s e. RR )
17	16	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s e. RR )
18	15, 17	readdcld 9640	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) e. RR )
19	3	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
20	19	addid1d 9797	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A + 0 ) = A )
21	20	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A = ( A + 0 ) )
22	21	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A = ( A + 0 ) )
23		0red 9614	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 e. RR )
24		0xr 9657	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 e. RR* )
26	5	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( B - A ) e. RR* )
27		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) )
28		ioogtlb 31731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( B - A ) e. RR* /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 < s )
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 < s )
30	23, 17, 15, 29	ltadd2dd 9758	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + 0 ) < ( A + s ) )
31	22, 30	eqbrtrd 4476	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A < ( A + s ) )
32	4	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( B - A ) e. RR )
33		iooltub 31751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( B - A ) e. RR* /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s < ( B - A ) )
34	25, 26, 27, 33	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s < ( B - A ) )
35	17, 32, 15, 34	ltadd2dd 9758	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) < ( A + ( B - A ) ) )
36	2	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
37	19, 36	pncan3d 9953	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A + ( B - A ) ) = B )
38	37	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
39	35, 38	breqtrd 4480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) < B )
40	12, 14, 18, 31, 39	eliood 31734	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) e. ( A (,) B ) )
41	10, 40	ffvelrnd 6033	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( F ` ( A + s ) ) e. RR )
42		ioossre 11611	. . . . . . . . 9 |- ( A (,) B ) C_ RR
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
44		ax-resscn 9566	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
45	43, 44	syl6ss 3511	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
46		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
47	46, 13, 3, 6	lptioo1cn 31855	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A (,) B ) ) )
48		fourierdlem61.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( F lim CC A ) )
49	9, 45, 47, 48	limcrecl 31838	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. RR )
50	49	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> Y e. RR )
51	41, 50	resubcld 10008	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) e. RR )
52		fourierdlem61.n	. . . 4 |- N = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
53	51, 52	fmptd 6056	. . 3 |- ( ph -> N : ( 0 (,) ( B - A ) ) --> RR )
54		fourierdlem61.d	. . . 4 |- D = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s )
55	17, 54	fmptd 6056	. . 3 |- ( ph -> D : ( 0 (,) ( B - A ) ) --> RR )
56	52	oveq2i 6307	. . . . . 6 |- ( RR _D N ) = ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) )
57	56	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D N ) = ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) )
58	57	dmeqd 5215	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D N ) = dom ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) )
59		reelprrecn 9601	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
61	41	recnd 9639	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( F ` ( A + s ) ) e. CC )
62		dvfre 22480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( A (,) B ) --> RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
63	9, 43, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
64		fourierdlem61.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( RR _D F )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G = ( RR _D F ) )
66	65	feq1d 5723	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G : dom ( RR _D F ) --> RR <-> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR ) )
67	63, 66	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
68	67	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
69	65	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D F ) = G )
70	69	dmeqd 5215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = dom G )
71		fourierdlem61.domg	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G = ( A (,) B ) )
72	70, 71	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) = dom ( RR _D F ) )
73	72	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A (,) B ) = dom ( RR _D F ) )
74	40, 73	eleqtrd 2547	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) e. dom ( RR _D F ) )
75	68, 74	ffvelrnd 6033	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) e. RR )
76		1red 9628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 1 e. RR )
77	9	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
78	77	recnd 9639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
79	72	feq2d 5724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G : ( A (,) B ) --> RR <-> G : dom ( RR _D F ) --> RR ) )
80	67, 79	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> RR )
81	80	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
82	19	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A e. CC )
83	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> A e. CC )
84		0red 9614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 0 e. RR )
85	60, 19	dvmptc 22487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> A ) ) = ( s e. RR |-> 0 ) )
86		ioossre 11611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 (,) ( B - A ) ) C_ RR
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) C_ RR )
88	46	tgioo2 21434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
89		iooretop 21399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 (,) ( B - A ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
91	60, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 0 ) )
92	17	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s e. CC )
93		recn 9599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> s e. CC )
94	93	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> s e. CC )
95		1red 9628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 1 e. RR )
96	60	dvmptid 22486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> s ) ) = ( s e. RR |-> 1 ) )
97	60, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
98	60, 82, 23, 91, 92, 76, 97	dvmptadd 22489	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( 0 + 1 ) ) )
99		0p1e1 10668	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
100	99	mpteq2i 4540	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( 0 + 1 ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 )
101	98, 100	syl6eq 2514	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
102	9	feqmptd 5926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) )
103	102	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) = F )
104	103	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( RR _D F ) )
105	80	feqmptd 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
106	104, 69, 105	3eqtrd 2502	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
107		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( A + s ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( A + s ) ) )
108		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( A + s ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( A + s ) ) )
109	60, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108	dvmptco 22501	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) x. 1 ) ) )
110	75	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) e. CC )
111	110	mulid1d 9630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) x. 1 ) = ( G ` ( A + s ) ) )
112	111	mpteq2dva 4543	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) x. 1 ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
113	109, 112	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
114		limccl 22405	. . . . . . . . 9 |- ( F lim CC A ) C_ CC
115	114, 48	sseldi 3497	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CC )
116	115	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> Y e. CC )
117	115	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> Y e. CC )
118	60, 115	dvmptc 22487	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> Y ) ) = ( s e. RR |-> 0 ) )
119	60, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22492	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 0 ) )
120	60, 61, 75, 113, 116, 25, 119	dvmptsub 22496	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) - 0 ) ) )
121	110	subid1d 9939	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) - 0 ) = ( G ` ( A + s ) ) )
122	121	mpteq2dva 4543	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
123	120, 122	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
124	123	dmeqd 5215	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) = dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
125	75	ralrimiva 2871	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ( G ` ( A + s ) ) e. RR )
126		dmmptg 5510	. . . . 5 |- ( A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ( G ` ( A + s ) ) e. RR -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
127	125, 126	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
128	58, 124, 127	3eqtrd 2502	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D N ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
129	54	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> D = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) )
130	129	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D D ) = ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) ) )
131	130, 97	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D D ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
132	131	dmeqd 5215	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D D ) = dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
133	76	ralrimiva 2871	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) 1 e. RR )
134		dmmptg 5510	. . . . 5 |- ( A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) 1 e. RR -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
135	133, 134	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
136	132, 135	eqtrd 2498	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D D ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
137		eqid 2457	. . . . 5 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) )
138		eqid 2457	. . . . 5 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y )
139		eqid 2457	. . . . 5 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
140	40	adantrr 716	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) =/= A ) ) -> ( A + s ) e. ( A (,) B ) )
141		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A )
142		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s )
143		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) )
144	87, 44	syl6ss 3511	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) C_ CC )
145	1	recnd 9639	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. CC )
146	141, 144, 19, 145	constlimc 31833	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A ) lim CC 0 ) )
147	144, 142, 145	idlimc 31835	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) lim CC 0 ) )
148	141, 142, 143, 82, 92, 146, 147	addlimc 31857	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A + 0 ) e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) lim CC 0 ) )
149	21, 148	eqeltrd 2545	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) lim CC 0 ) )
150	102	oveq1d 6311	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F lim CC A ) = ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) lim CC A ) )
151	48, 150	eleqtrd 2547	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) lim CC A ) )
152		simplrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( F ` ( A + s ) ) = Y ) -> ( A + s ) = A )
153	15, 31	gtned 9737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) =/= A )
154	153	neneqd 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> -. ( A + s ) = A )
155	154	adantrr 716	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) -> -. ( A + s ) = A )
156	155	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( F ` ( A + s ) ) = Y ) -> -. ( A + s ) = A )
157	152, 156	condan 794	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) -> ( F ` ( A + s ) ) = Y )
158	140, 78, 149, 151, 107, 157	limcco 22423	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) lim CC 0 ) )
159	138, 144, 115, 145	constlimc 31833	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y ) lim CC 0 ) )
160	137, 138, 139, 61, 116, 158, 159	sublimc 31861	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - Y ) e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) )
161	115	subidd 9938	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - Y ) = 0 )
162	52	eqcomi 2470	. . . . . 6 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) = N
163	162	oveq1i 6306	. . . . 5 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) = ( N lim CC 0 )
164	163	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) = ( N lim CC 0 ) )
165	160, 161, 164	3eltr3d 2559	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( N lim CC 0 ) )
166	144, 54, 145	idlimc 31835	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( D lim CC 0 ) )
167		lbioo 11585	. . . . 5 |- -. 0 e. ( 0 (,) ( B - A ) )
168	167	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> -. 0 e. ( 0 (,) ( B - A ) ) )
169		mptresid 5338	. . . . . . 7 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) = ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) )
170	129, 169	syl6eq 2514	. . . . . 6 |- ( ph -> D = ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) ) )
171	170	rneqd 5240	. . . . 5 |- ( ph -> ran D = ran ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) ) )
172		rnresi 5360	. . . . 5 |- ran ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) ) = ( 0 (,) ( B - A ) )
173	171, 172	syl6req 2515	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) = ran D )
174	168, 173	neleqtrd 2569	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ran D )
175		0ne1 10624	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
176	175	neii 2656	. . . . 5 |- -. 0 = 1
177		elsncg 4055	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> ( 0 e. { 1 } <-> 0 = 1 ) )
178	1, 177	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 e. { 1 } <-> 0 = 1 ) )
179	176, 178	mtbiri 303	. . . 4 |- ( ph -> -. 0 e. { 1 } )
180	131	rneqd 5240	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( RR _D D ) = ran ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
181		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 )
182	24	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR* )
183		ioon0 11580	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( B - A ) e. RR* ) -> ( ( 0 (,) ( B - A ) ) =/= (/) <-> 0 < ( B - A ) ) )
184	182, 5, 183	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 (,) ( B - A ) ) =/= (/) <-> 0 < ( B - A ) ) )
185	8, 184	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) =/= (/) )
186	181, 76, 185	rnmptc 31652	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = { 1 } )
187	180, 186	eqtr2d 2499	. . . 4 |- ( ph -> { 1 } = ran ( RR _D D ) )
188	179, 187	neleqtrd 2569	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ran ( RR _D D ) )
189	81	recnd 9639	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
190		fourierdlem61.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. ( G lim CC A ) )
191	105	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC A ) = ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) lim CC A ) )
192	190, 191	eleqtrd 2547	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) lim CC A ) )
193		simplrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( G ` ( A + s ) ) = E ) -> ( A + s ) = A )
194	155	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( G ` ( A + s ) ) = E ) -> -. ( A + s ) = A )
195	193, 194	condan 794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) = E )
196	140, 189, 149, 192, 108, 195	limcco 22423	. . . 4 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) lim CC 0 ) )
197	110	div1d 10333	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) / 1 ) = ( G ` ( A + s ) ) )
198	56, 123	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D N ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
199	198	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( RR _D N ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
200	199	fveq1d 5874	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( RR _D N ) ` s ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) ` s ) )
201		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) )
202	201	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( G ` ( A + s ) ) e. RR ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) ` s ) = ( G ` ( A + s ) ) )
203	27, 75, 202	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) ` s ) = ( G ` ( A + s ) ) )
204	200, 203	eqtr2d 2499	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) = ( ( RR _D N ) ` s ) )
205	131	fveq1d 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( RR _D D ) ` s ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) )
206	205	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( RR _D D ) ` s ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) )
207	181	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ 1 e. RR ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) = 1 )
208	27, 76, 207	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) = 1 )
209	206, 208	eqtr2d 2499	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 1 = ( ( RR _D D ) ` s ) )
210	204, 209	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) / 1 ) = ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) )
211	197, 210	eqtr3d 2500	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) = ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) )
212	211	mpteq2dva 4543	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) )
213	212	oveq1d 6311	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) lim CC 0 ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
214	196, 213	eleqtrd 2547	. . 3 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
215	1, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214	lhop1 22541	. 2 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
216	52	fvmpt2 5964	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) e. RR ) -> ( N ` s ) = ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
217	27, 51, 216	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( N ` s ) = ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
218	54	fvmpt2 5964	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( D ` s ) = s )
219	27, 27, 218	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( D ` s ) = s )
220	217, 219	oveq12d 6314	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) = ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) )
221	220	mpteq2dva 4543	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) ) )
222		fourierdlem61.h	. . . 4 |- H = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) )
223	221, 222	syl6eqr 2516	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) = H )
224	223	oveq1d 6311	. 2 |- ( ph -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) lim CC 0 ) = ( H lim CC 0 ) )
225	215, 224	eleqtrd 2547	1 |- ( ph -> E e. ( H lim CC 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   {cpr 4034   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   _I cid 4799   dom cdm 5008   ran crn 5009   |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   RR*cxr 9644   < clt 9645   - cmin 9824   / cdiv 10227   (,)cioo 11554   TopOpenctopn 14839   topGenctg 14855  ℂ_fldccnfld 18547   lim CC climc 22392   _D cdv 22393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397

This theorem is referenced by:  fourierdlem75  32167