Theorem fourierdlem61 38025

Description: Given a differentiable function F, with finite limit of the derivative at A the derived function H has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem61.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem61.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem61.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem61.f	|- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
fourierdlem61.y	|- ( ph -> Y e. ( F lim CC A ) )
fourierdlem61.g	|- G = ( RR _D F )
fourierdlem61.domg	|- ( ph -> dom G = ( A (,) B ) )
fourierdlem61.e	|- ( ph -> E e. ( G lim CC A ) )
fourierdlem61.h	|- H = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) )
fourierdlem61.n	|- N = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
fourierdlem61.d	|- D = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem61	|- ( ph -> E e. ( H lim CC 0 ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   D, s   E, s   F, s   G, s   N, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hint:   H( s)

Proof of Theorem fourierdlem61

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 9641	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR )
2		fourierdlem61.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		fourierdlem61.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
4	2, 3	resubcld 10044	. . . 4 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
5	4	rexrd 9687	. . 3 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR* )
6		fourierdlem61.altb	. . . 4 |- ( ph -> A < B )
7	3, 2	posdifd 10197	. . . 4 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
8	6, 7	mpbid 214	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
9		fourierdlem61.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
10	9	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
11	3	rexrd 9687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
12	11	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A e. RR* )
13	2	rexrd 9687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
14	13	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> B e. RR* )
15	3	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A e. RR )
16		elioore 11663	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) -> s e. RR )
17	16	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s e. RR )
18	15, 17	readdcld 9667	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) e. RR )
19	3	recnd 9666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
20	19	addid1d 9830	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A + 0 ) = A )
21	20	eqcomd 2456	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A = ( A + 0 ) )
22	21	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A = ( A + 0 ) )
23		0red 9641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 e. RR )
24		0xr 9684	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 e. RR* )
26	5	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( B - A ) e. RR* )
27		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) )
28		ioogtlb 37586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( B - A ) e. RR* /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 < s )
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 < s )
30	23, 17, 15, 29	ltadd2dd 9791	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + 0 ) < ( A + s ) )
31	22, 30	eqbrtrd 4422	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A < ( A + s ) )
32	4	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( B - A ) e. RR )
33		iooltub 37604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( B - A ) e. RR* /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s < ( B - A ) )
34	25, 26, 27, 33	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s < ( B - A ) )
35	17, 32, 15, 34	ltadd2dd 9791	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) < ( A + ( B - A ) ) )
36	2	recnd 9666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
37	19, 36	pncan3d 9986	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A + ( B - A ) ) = B )
38	37	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
39	35, 38	breqtrd 4426	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) < B )
40	12, 14, 18, 31, 39	eliood 37589	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) e. ( A (,) B ) )
41	10, 40	ffvelrnd 6021	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( F ` ( A + s ) ) e. RR )
42		ioossre 11693	. . . . . . . . 9 |- ( A (,) B ) C_ RR
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
44		ax-resscn 9593	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
45	43, 44	syl6ss 3443	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
46		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
47	46, 13, 3, 6	lptioo1cn 37721	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A (,) B ) ) )
48		fourierdlem61.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( F lim CC A ) )
49	9, 45, 47, 48	limcrecl 37703	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. RR )
50	49	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> Y e. RR )
51	41, 50	resubcld 10044	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) e. RR )
52		fourierdlem61.n	. . . 4 |- N = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
53	51, 52	fmptd 6044	. . 3 |- ( ph -> N : ( 0 (,) ( B - A ) ) --> RR )
54		fourierdlem61.d	. . . 4 |- D = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s )
55	17, 54	fmptd 6044	. . 3 |- ( ph -> D : ( 0 (,) ( B - A ) ) --> RR )
56	52	oveq2i 6299	. . . . . 6 |- ( RR _D N ) = ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) )
57	56	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D N ) = ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) )
58	57	dmeqd 5036	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D N ) = dom ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) )
59		reelprrecn 9628	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
61	41	recnd 9666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( F ` ( A + s ) ) e. CC )
62		dvfre 22898	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( A (,) B ) --> RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
63	9, 43, 62	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
64		fourierdlem61.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( RR _D F )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G = ( RR _D F ) )
66	65	feq1d 5712	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G : dom ( RR _D F ) --> RR <-> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR ) )
67	63, 66	mpbird 236	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
68	67	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
69	65	eqcomd 2456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D F ) = G )
70	69	dmeqd 5036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = dom G )
71		fourierdlem61.domg	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G = ( A (,) B ) )
72	70, 71	eqtr2d 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) = dom ( RR _D F ) )
73	72	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A (,) B ) = dom ( RR _D F ) )
74	40, 73	eleqtrd 2530	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) e. dom ( RR _D F ) )
75	68, 74	ffvelrnd 6021	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) e. RR )
76		1red 9655	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 1 e. RR )
77	9	ffvelrnda 6020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
78	77	recnd 9666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
79	72	feq2d 5713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G : ( A (,) B ) --> RR <-> G : dom ( RR _D F ) --> RR ) )
80	67, 79	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> RR )
81	80	ffvelrnda 6020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
82	19	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A e. CC )
83	19	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> A e. CC )
84		0red 9641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 0 e. RR )
85	60, 19	dvmptc 22905	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> A ) ) = ( s e. RR |-> 0 ) )
86		ioossre 11693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 (,) ( B - A ) ) C_ RR
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) C_ RR )
88	46	tgioo2 21814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
89		iooretop 21779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 (,) ( B - A ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
91	60, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22910	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 0 ) )
92	17	recnd 9666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s e. CC )
93		recn 9626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> s e. CC )
94	93	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> s e. CC )
95		1red 9655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 1 e. RR )
96	60	dvmptid 22904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> s ) ) = ( s e. RR |-> 1 ) )
97	60, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22910	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
98	60, 82, 23, 91, 92, 76, 97	dvmptadd 22907	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( 0 + 1 ) ) )
99		0p1e1 10718	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
100	99	mpteq2i 4485	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( 0 + 1 ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 )
101	98, 100	syl6eq 2500	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
102	9	feqmptd 5916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) )
103	102	eqcomd 2456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) = F )
104	103	oveq2d 6304	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( RR _D F ) )
105	80	feqmptd 5916	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
106	104, 69, 105	3eqtrd 2488	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
107		fveq2 5863	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( A + s ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( A + s ) ) )
108		fveq2 5863	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( A + s ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( A + s ) ) )
109	60, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108	dvmptco 22919	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) x. 1 ) ) )
110	75	recnd 9666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) e. CC )
111	110	mulid1d 9657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) x. 1 ) = ( G ` ( A + s ) ) )
112	111	mpteq2dva 4488	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) x. 1 ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
113	109, 112	eqtrd 2484	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
114		limccl 22823	. . . . . . . . 9 |- ( F lim CC A ) C_ CC
115	114, 48	sseldi 3429	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CC )
116	115	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> Y e. CC )
117	115	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> Y e. CC )
118	60, 115	dvmptc 22905	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> Y ) ) = ( s e. RR |-> 0 ) )
119	60, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22910	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 0 ) )
120	60, 61, 75, 113, 116, 25, 119	dvmptsub 22914	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) - 0 ) ) )
121	110	subid1d 9972	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) - 0 ) = ( G ` ( A + s ) ) )
122	121	mpteq2dva 4488	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
123	120, 122	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
124	123	dmeqd 5036	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) = dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
125	75	ralrimiva 2801	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ( G ` ( A + s ) ) e. RR )
126		dmmptg 5331	. . . . 5 |- ( A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ( G ` ( A + s ) ) e. RR -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
127	125, 126	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
128	58, 124, 127	3eqtrd 2488	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D N ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
129	54	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> D = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) )
130	129	oveq2d 6304	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D D ) = ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) ) )
131	130, 97	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D D ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
132	131	dmeqd 5036	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D D ) = dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
133	76	ralrimiva 2801	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) 1 e. RR )
134		dmmptg 5331	. . . . 5 |- ( A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) 1 e. RR -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
135	133, 134	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
136	132, 135	eqtrd 2484	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D D ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
137		eqid 2450	. . . . 5 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) )
138		eqid 2450	. . . . 5 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y )
139		eqid 2450	. . . . 5 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
140	40	adantrr 722	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) =/= A ) ) -> ( A + s ) e. ( A (,) B ) )
141		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A )
142		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s )
143		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) )
144	87, 44	syl6ss 3443	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) C_ CC )
145	1	recnd 9666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. CC )
146	141, 144, 19, 145	constlimc 37698	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A ) lim CC 0 ) )
147	144, 142, 145	idlimc 37700	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) lim CC 0 ) )
148	141, 142, 143, 82, 92, 146, 147	addlimc 37723	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A + 0 ) e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) lim CC 0 ) )
149	21, 148	eqeltrd 2528	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) lim CC 0 ) )
150	102	oveq1d 6303	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F lim CC A ) = ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) lim CC A ) )
151	48, 150	eleqtrd 2530	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) lim CC A ) )
152		simplrr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( F ` ( A + s ) ) = Y ) -> ( A + s ) = A )
153	15, 31	gtned 9767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) =/= A )
154	153	neneqd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> -. ( A + s ) = A )
155	154	adantrr 722	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) -> -. ( A + s ) = A )
156	155	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( F ` ( A + s ) ) = Y ) -> -. ( A + s ) = A )
157	152, 156	condan 802	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) -> ( F ` ( A + s ) ) = Y )
158	140, 78, 149, 151, 107, 157	limcco 22841	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) lim CC 0 ) )
159	138, 144, 115, 145	constlimc 37698	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y ) lim CC 0 ) )
160	137, 138, 139, 61, 116, 158, 159	sublimc 37727	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - Y ) e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) )
161	115	subidd 9971	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - Y ) = 0 )
162	52	eqcomi 2459	. . . . . 6 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) = N
163	162	oveq1i 6298	. . . . 5 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) = ( N lim CC 0 )
164	163	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) = ( N lim CC 0 ) )
165	160, 161, 164	3eltr3d 2542	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( N lim CC 0 ) )
166	144, 54, 145	idlimc 37700	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( D lim CC 0 ) )
167		lbioo 11664	. . . . 5 |- -. 0 e. ( 0 (,) ( B - A ) )
168	167	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> -. 0 e. ( 0 (,) ( B - A ) ) )
169		mptresid 5158	. . . . . . 7 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) = ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) )
170	129, 169	syl6eq 2500	. . . . . 6 |- ( ph -> D = ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) ) )
171	170	rneqd 5061	. . . . 5 |- ( ph -> ran D = ran ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) ) )
172		rnresi 5180	. . . . 5 |- ran ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) ) = ( 0 (,) ( B - A ) )
173	171, 172	syl6req 2501	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) = ran D )
174	168, 173	neleqtrd 2549	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ran D )
175		0ne1 10674	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
176	175	neii 2625	. . . . 5 |- -. 0 = 1
177		elsncg 3990	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> ( 0 e. { 1 } <-> 0 = 1 ) )
178	1, 177	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 e. { 1 } <-> 0 = 1 ) )
179	176, 178	mtbiri 305	. . . 4 |- ( ph -> -. 0 e. { 1 } )
180	131	rneqd 5061	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( RR _D D ) = ran ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
181		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 )
182	24	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR* )
183		ioon0 11659	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( B - A ) e. RR* ) -> ( ( 0 (,) ( B - A ) ) =/= (/) <-> 0 < ( B - A ) ) )
184	182, 5, 183	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 (,) ( B - A ) ) =/= (/) <-> 0 < ( B - A ) ) )
185	8, 184	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) =/= (/) )
186	181, 76, 185	rnmptc 37431	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = { 1 } )
187	180, 186	eqtr2d 2485	. . . 4 |- ( ph -> { 1 } = ran ( RR _D D ) )
188	179, 187	neleqtrd 2549	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ran ( RR _D D ) )
189	81	recnd 9666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
190		fourierdlem61.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. ( G lim CC A ) )
191	105	oveq1d 6303	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC A ) = ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) lim CC A ) )
192	190, 191	eleqtrd 2530	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) lim CC A ) )
193		simplrr 770	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( G ` ( A + s ) ) = E ) -> ( A + s ) = A )
194	155	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( G ` ( A + s ) ) = E ) -> -. ( A + s ) = A )
195	193, 194	condan 802	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) = E )
196	140, 189, 149, 192, 108, 195	limcco 22841	. . . 4 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) lim CC 0 ) )
197	110	div1d 10372	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) / 1 ) = ( G ` ( A + s ) ) )
198	56, 123	syl5eq 2496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D N ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
199	198	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( RR _D N ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
200	199	fveq1d 5865	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( RR _D N ) ` s ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) ` s ) )
201		eqid 2450	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) )
202	201	fvmpt2 5955	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( G ` ( A + s ) ) e. RR ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) ` s ) = ( G ` ( A + s ) ) )
203	27, 75, 202	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) ` s ) = ( G ` ( A + s ) ) )
204	200, 203	eqtr2d 2485	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) = ( ( RR _D N ) ` s ) )
205	131	fveq1d 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( RR _D D ) ` s ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) )
206	205	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( RR _D D ) ` s ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) )
207	181	fvmpt2 5955	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ 1 e. RR ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) = 1 )
208	27, 76, 207	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) = 1 )
209	206, 208	eqtr2d 2485	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 1 = ( ( RR _D D ) ` s ) )
210	204, 209	oveq12d 6306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) / 1 ) = ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) )
211	197, 210	eqtr3d 2486	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) = ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) )
212	211	mpteq2dva 4488	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) )
213	212	oveq1d 6303	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) lim CC 0 ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
214	196, 213	eleqtrd 2530	. . 3 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
215	1, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214	lhop1 22959	. 2 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
216	52	fvmpt2 5955	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) e. RR ) -> ( N ` s ) = ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
217	27, 51, 216	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( N ` s ) = ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
218	54	fvmpt2 5955	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( D ` s ) = s )
219	27, 27, 218	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( D ` s ) = s )
220	217, 219	oveq12d 6306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) = ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) )
221	220	mpteq2dva 4488	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) ) )
222		fourierdlem61.h	. . . 4 |- H = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) )
223	221, 222	syl6eqr 2502	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) = H )
224	223	oveq1d 6303	. 2 |- ( ph -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) lim CC 0 ) = ( H lim CC 0 ) )
225	215, 224	eleqtrd 2530	1 |- ( ph -> E e. ( H lim CC 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   C_ wss 3403   (/)c0 3730   {csn 3967   {cpr 3969   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   _I cid 4743   dom cdm 4833   ran crn 4834   |` cres 4835   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   RR*cxr 9671   < clt 9672   - cmin 9857   / cdiv 10266   (,)cioo 11632   TopOpenctopn 15313   topGenctg 15329  ℂ_fldccnfld 18963   lim CC climc 22810   _D cdv 22811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815

This theorem is referenced by:  fourierdlem75  38039