Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem61 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fourierdlem61 38143
 Description: Given a differentiable function , with finite limit of the derivative at the derived function has a limit at . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem61.a
fourierdlem61.b
fourierdlem61.altb
fourierdlem61.f
fourierdlem61.y lim
fourierdlem61.g
fourierdlem61.domg
fourierdlem61.e lim
fourierdlem61.h
fourierdlem61.n
fourierdlem61.d
Assertion
Ref Expression
fourierdlem61 lim
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fourierdlem61
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 9662 . . 3
2 fourierdlem61.b . . . . 5
3 fourierdlem61.a . . . . 5
42, 3resubcld 10068 . . . 4
54rexrd 9708 . . 3
6 fourierdlem61.altb . . . 4
73, 2posdifd 10221 . . . 4
86, 7mpbid 215 . . 3
9 fourierdlem61.f . . . . . . 7
109adantr 472 . . . . . 6
113rexrd 9708 . . . . . . . 8
1211adantr 472 . . . . . . 7
132rexrd 9708 . . . . . . . 8
1413adantr 472 . . . . . . 7
153adantr 472 . . . . . . . 8
16 elioore 11691 . . . . . . . . 9
1716adantl 473 . . . . . . . 8
1815, 17readdcld 9688 . . . . . . 7
193recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
2019addid1d 9851 . . . . . . . . . 10
2120eqcomd 2477 . . . . . . . . 9
2221adantr 472 . . . . . . . 8
23 0red 9662 . . . . . . . . 9
24 0xr 9705 . . . . . . . . . . 11
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10
265adantr 472 . . . . . . . . . 10
27 simpr 468 . . . . . . . . . 10
28 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . 10
2925, 26, 27, 28syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
3023, 17, 15, 29ltadd2dd 9811 . . . . . . . 8
3122, 30eqbrtrd 4416 . . . . . . 7
324adantr 472 . . . . . . . . 9
33 iooltub 37706 . . . . . . . . . 10
3425, 26, 27, 33syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
3517, 32, 15, 34ltadd2dd 9811 . . . . . . . 8
362recnd 9687 . . . . . . . . . 10
3719, 36pncan3d 10008 . . . . . . . . 9
3837adantr 472 . . . . . . . 8
3935, 38breqtrd 4420 . . . . . . 7
4012, 14, 18, 31, 39eliood 37691 . . . . . 6
4110, 40ffvelrnd 6038 . . . . 5
42 ioossre 11721 . . . . . . . . 9
4342a1i 11 . . . . . . . 8
44 ax-resscn 9614 . . . . . . . 8
4543, 44syl6ss 3430 . . . . . . 7
46 eqid 2471 . . . . . . . 8 fld fld
4746, 13, 3, 6lptioo1cn 37824 . . . . . . 7 fld
48 fourierdlem61.y . . . . . . 7 lim
499, 45, 47, 48limcrecl 37806 . . . . . 6
5049adantr 472 . . . . 5
5141, 50resubcld 10068 . . . 4
52 fourierdlem61.n . . . 4
5351, 52fmptd 6061 . . 3
54 fourierdlem61.d . . . 4
5517, 54fmptd 6061 . . 3
5652oveq2i 6319 . . . . . 6
5756a1i 11 . . . . 5
5857dmeqd 5042 . . . 4
59 reelprrecn 9649 . . . . . . . 8
6059a1i 11 . . . . . . 7
6141recnd 9687 . . . . . . 7
62 dvfre 22984 . . . . . . . . . . 11
639, 43, 62syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
64 fourierdlem61.g . . . . . . . . . . . 12
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11
6665feq1d 5724 . . . . . . . . . 10
6763, 66mpbird 240 . . . . . . . . 9
6867adantr 472 . . . . . . . 8
6965eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12
7069dmeqd 5042 . . . . . . . . . . 11
71 fourierdlem61.domg . . . . . . . . . . 11
7270, 71eqtr2d 2506 . . . . . . . . . 10
7372adantr 472 . . . . . . . . 9
7440, 73eleqtrd 2551 . . . . . . . 8
7568, 74ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
76 1red 9676 . . . . . . . . 9
779ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10
7877recnd 9687 . . . . . . . . 9
7972feq2d 5725 . . . . . . . . . . 11
8067, 79mpbird 240 . . . . . . . . . 10
8180ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9
8219adantr 472 . . . . . . . . . . 11
8319adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
84 0red 9662 . . . . . . . . . . . 12
8560, 19dvmptc 22991 . . . . . . . . . . . 12
86 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . 13
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
8846tgioo2 21899 . . . . . . . . . . . 12 fldt
89 iooretop 21864 . . . . . . . . . . . . 13
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
9160, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90dvmptres 22996 . . . . . . . . . . 11
9217recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
93 recn 9647 . . . . . . . . . . . . 13
9493adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
95 1red 9676 . . . . . . . . . . . 12
9660dvmptid 22990 . . . . . . . . . . . 12
9760, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90dvmptres 22996 . . . . . . . . . . 11
9860, 82, 23, 91, 92, 76, 97dvmptadd 22993 . . . . . . . . . 10
99 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . 11
10099mpteq2i 4479 . . . . . . . . . 10
10198, 100syl6eq 2521 . . . . . . . . 9
1029feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . 12
103102eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11
104103oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
10580feqmptd 5932 . . . . . . . . . 10
106104, 69, 1053eqtrd 2509 . . . . . . . . 9
107 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
108 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
10960, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108dvmptco 23005 . . . . . . . 8
11075recnd 9687 . . . . . . . . . 10
111110mulid1d 9678 . . . . . . . . 9
112111mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8
113109, 112eqtrd 2505 . . . . . . 7
114 limccl 22909 . . . . . . . . 9 lim
115114, 48sseldi 3416 . . . . . . . 8
116115adantr 472 . . . . . . 7
117115adantr 472 . . . . . . . 8
11860, 115dvmptc 22991 . . . . . . . 8
11960, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90dvmptres 22996 . . . . . . 7
12060, 61, 75, 113, 116, 25, 119dvmptsub 23000 . . . . . 6
121110subid1d 9994 . . . . . . 7
122121mpteq2dva 4482 . . . . . 6
123120, 122eqtrd 2505 . . . . 5
124123dmeqd 5042 . . . 4
12575ralrimiva 2809 . . . . 5
126 dmmptg 5339 . . . . 5
127125, 126syl 17 . . . 4
12858, 124, 1273eqtrd 2509 . . 3
12954a1i 11 . . . . . . 7
130129oveq2d 6324 . . . . . 6
131130, 97eqtrd 2505 . . . . 5
132131dmeqd 5042 . . . 4
13376ralrimiva 2809 . . . . 5
134 dmmptg 5339 . . . . 5
135133, 134syl 17 . . . 4
136132, 135eqtrd 2505 . . 3
137 eqid 2471 . . . . 5
138 eqid 2471 . . . . 5
139 eqid 2471 . . . . 5
14040adantrr 731 . . . . . 6
141 eqid 2471 . . . . . . . 8
142 eqid 2471 . . . . . . . 8
143 eqid 2471 . . . . . . . 8
14487, 44syl6ss 3430 . . . . . . . . 9
1451recnd 9687 . . . . . . . . 9
146141, 144, 19, 145constlimc 37801 . . . . . . . 8 lim
147144, 142, 145idlimc 37803 . . . . . . . 8 lim
148141, 142, 143, 82, 92, 146, 147addlimc 37826 . . . . . . 7 lim
14921, 148eqeltrd 2549 . . . . . 6 lim
150102oveq1d 6323 . . . . . . 7 lim lim
15148, 150eleqtrd 2551 . . . . . 6 lim
152 simplrr 779 . . . . . . 7
15315, 31gtned 9787 . . . . . . . . . 10
154153neneqd 2648 . . . . . . . . 9
155154adantrr 731 . . . . . . . 8
156155adantr 472 . . . . . . 7
157152, 156condan 811 . . . . . 6
158140, 78, 149, 151, 107, 157limcco 22927 . . . . 5 lim
159138, 144, 115, 145constlimc 37801 . . . . 5 lim
160137, 138, 139, 61, 116, 158, 159sublimc 37830 . . . 4 lim
161115subidd 9993 . . . 4
16252eqcomi 2480 . . . . . 6
163162oveq1i 6318 . . . . 5 lim lim
164163a1i 11 . . . 4 lim lim
165160, 161, 1643eltr3d 2563 . . 3 lim
166144, 54, 145idlimc 37803 . . 3 lim
167 lbioo 11692 . . . . 5
168167a1i 11 . . . 4
169 mptresid 5165 . . . . . . 7
170129, 169syl6eq 2521 . . . . . 6
171170rneqd 5068 . . . . 5
172 rnresi 5187 . . . . 5
173171, 172syl6req 2522 . . . 4
174168, 173neleqtrd 2570 . . 3
175 0ne1 10699 . . . . . 6
176175neii 2645 . . . . 5
177 elsncg 3983 . . . . . 6
1781, 177syl 17 . . . . 5
179176, 178mtbiri 310 . . . 4
180131rneqd 5068 . . . . 5
181 eqid 2471 . . . . . 6
18224a1i 11 . . . . . . . 8
183 ioon0 11687 . . . . . . . 8
184182, 5, 183syl2anc 673 . . . . . . 7
1858, 184mpbird 240 . . . . . 6
186181, 76, 185rnmptc 37510 . . . . 5
187180, 186eqtr2d 2506 . . . 4
188179, 187neleqtrd 2570 . . 3
18981recnd 9687 . . . . 5
190 fourierdlem61.e . . . . . 6 lim
191105oveq1d 6323 . . . . . 6 lim lim
192190, 191eleqtrd 2551 . . . . 5 lim
193 simplrr 779 . . . . . 6
194155adantr 472 . . . . . 6
195193, 194condan 811 . . . . 5
196140, 189, 149, 192, 108, 195limcco 22927 . . . 4 lim
197110div1d 10397 . . . . . . 7
19856, 123syl5eq 2517 . . . . . . . . . . 11
199198adantr 472 . . . . . . . . . 10
200199fveq1d 5881 . . . . . . . . 9
201 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
202201fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10
20327, 75, 202syl2anc 673 . . . . . . . . 9
204200, 203eqtr2d 2506 . . . . . . . 8
205131fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10
206205adantr 472 . . . . . . . . 9
207181fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10
20827, 76, 207syl2anc 673 . . . . . . . . 9
209206, 208eqtr2d 2506 . . . . . . . 8
210204, 209oveq12d 6326 . . . . . . 7
211197, 210eqtr3d 2507 . . . . . 6
212211mpteq2dva 4482 . . . . 5
213212oveq1d 6323 . . . 4 lim lim
214196, 213eleqtrd 2551 . . 3 lim
2151, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214lhop1 23045 . 2 lim
21652fvmpt2 5972 . . . . . . 7
21727, 51, 216syl2anc 673 . . . . . 6
21854fvmpt2 5972 . . . . . . 7
21927, 27, 218syl2anc 673 . . . . . 6
220217, 219oveq12d 6326 . . . . 5
221220mpteq2dva 4482 . . . 4
222 fourierdlem61.h . . . 4
223221, 222syl6eqr 2523 . . 3
224223oveq1d 6323 . 2 lim lim
225215, 224eleqtrd 2551 1 lim
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756   wss 3390  c0 3722  csn 3959  cpr 3961   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cid 4749   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562  cxr 9692   clt 9693   cmin 9880   cdiv 10291  cioo 11660  ctopn 15398  ctg 15414  ℂfldccnfld 19047   lim climc 22896   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by:  fourierdlem75  38157
 Copyright terms: Public domain W3C validator