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Theorem fourierdlem61 38143
Description: Given a differentiable function  F, with finite limit of the derivative at  A the derived function  H has a limit at  0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem61.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem61.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem61.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem61.f  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
fourierdlem61.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  A ) )
fourierdlem61.g  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
fourierdlem61.domg  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
fourierdlem61.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  A ) )
fourierdlem61.h  |-  H  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
fourierdlem61.n  |-  N  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
) )
fourierdlem61.d  |-  D  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  s )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem61  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    D, s    E, s    F, s    G, s    N, s    Y, s    ph, s
Allowed substitution hint:    H( s)

Proof of Theorem fourierdlem61
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 9662 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2 fourierdlem61.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 fourierdlem61.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
42, 3resubcld 10068 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
54rexrd 9708 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR* )
6 fourierdlem61.altb . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
73, 2posdifd 10221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
86, 7mpbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
9 fourierdlem61.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
109adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
113rexrd 9708 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1211adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  e.  RR* )
132rexrd 9708 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
1413adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  B  e.  RR* )
153adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  e.  RR )
16 elioore 11691 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  ->  s  e.  RR )
1716adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  e.  RR )
1815, 17readdcld 9688 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  e.  RR )
193recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2019addid1d 9851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  +  0 )  =  A )
2120eqcomd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( A  +  0 ) )
2221adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  =  ( A  + 
0 ) )
23 0red 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  e.  RR )
24 0xr 9705 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  e.  RR* )
265adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR* )
27 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )
28 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR*  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  <  s )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  <  s )
3023, 17, 15, 29ltadd2dd 9811 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  0 )  <  ( A  +  s ) )
3122, 30eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  <  ( A  +  s ) )
324adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
33 iooltub 37706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR*  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  <  ( B  -  A
) )
3425, 26, 27, 33syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  <  ( B  -  A
) )
3517, 32, 15, 34ltadd2dd 9811 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  <  ( A  +  ( B  -  A ) ) )
362recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3719, 36pncan3d 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
3837adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
3935, 38breqtrd 4420 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  <  B )
4012, 14, 18, 31, 39eliood 37691 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  e.  ( A (,) B
) )
4110, 40ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( F `  ( A  +  s ) )  e.  RR )
42 ioossre 11721 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  RR
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
44 ax-resscn 9614 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
4543, 44syl6ss 3430 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
46 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4746, 13, 3, 6lptioo1cn 37824 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A (,) B ) ) )
48 fourierdlem61.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  A ) )
499, 45, 47, 48limcrecl 37806 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
5049adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  Y  e.  RR )
5141, 50resubcld 10068 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( F `  ( A  +  s )
)  -  Y )  e.  RR )
52 fourierdlem61.n . . . 4  |-  N  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
) )
5351, 52fmptd 6061 . . 3  |-  ( ph  ->  N : ( 0 (,) ( B  -  A ) ) --> RR )
54 fourierdlem61.d . . . 4  |-  D  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  s )
5517, 54fmptd 6061 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( 0 (,) ( B  -  A ) ) --> RR )
5652oveq2i 6319 . . . . . 6  |-  ( RR 
_D  N )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) )
5756a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) ) ) )
5857dmeqd 5042 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  dom  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) ) )
59 reelprrecn 9649 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
6141recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( F `  ( A  +  s ) )  e.  CC )
62 dvfre 22984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
639, 43, 62syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
64 fourierdlem61.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  =  ( RR 
_D  F ) )
6665feq1d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G : dom  ( RR  _D  F
) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR ) )
6763, 66mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
6867adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
6965eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  G )
7069dmeqd 5042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  dom  G )
71 fourierdlem61.domg . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
7270, 71eqtr2d 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =  dom  ( RR  _D  F ) )
7372adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A (,) B )  =  dom  ( RR  _D  F ) )
7440, 73eleqtrd 2551 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
7568, 74ffvelrnd 6038 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  e.  RR )
76 1red 9676 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  1  e.  RR )
779ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7877recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
7972feq2d 5725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G : ( A (,) B ) --> RR  <->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR ) )
8067, 79mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
8180ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
8219adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  e.  CC )
8319adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
84 0red 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
8560, 19dvmptc 22991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  A ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
86 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  C_  RR
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  C_  RR )
8846tgioo2 21899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
89 iooretop 21864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
9160, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90dvmptres 22996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  A ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  0 ) )
9217recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  e.  CC )
93 recn 9647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
9493adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
95 1red 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
9660dvmptid 22990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
9760, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90dvmptres 22996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) )
9860, 82, 23, 91, 92, 76, 97dvmptadd 22993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( 0  +  1 ) ) )
99 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
10099mpteq2i 4479 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( 0  +  1 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )
10198, 100syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) )
1029feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
103102eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  =  F )
104103oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( RR  _D  F ) )
10580feqmptd 5932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `
 x ) ) )
106104, 69, 1053eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) )
107 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  +  s )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( A  +  s
) ) )
108 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  +  s )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
10960, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108dvmptco 23005 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( F `  ( A  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( G `  ( A  +  s )
)  x.  1 ) ) )
11075recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  e.  CC )
111110mulid1d 9678 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  x.  1 )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
112111mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( G `  ( A  +  s
) )  x.  1 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
113109, 112eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( F `  ( A  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
114 limccl 22909 . . . . . . . . 9  |-  ( F lim
CC  A )  C_  CC
115114, 48sseldi 3416 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
116115adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  Y  e.  CC )
117115adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  Y  e.  CC )
11860, 115dvmptc 22991 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  Y ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
11960, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90dvmptres 22996 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  Y ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  0 ) )
12060, 61, 75, 113, 116, 25, 119dvmptsub 23000 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( G `  ( A  +  s )
)  -  0 ) ) )
121110subid1d 9994 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  -  0 )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
122121mpteq2dva 4482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( G `  ( A  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
123120, 122eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
124123dmeqd 5042 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
) ) )  =  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) ) )
12575ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ( G `  ( A  +  s )
)  e.  RR )
126 dmmptg 5339 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ( G `  ( A  +  s ) )  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
127125, 126syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )
12858, 124, 1273eqtrd 2509 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
12954a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  s ) )
130129oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  s ) ) )
131130, 97eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  1 ) )
132131dmeqd 5042 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 ) )
13376ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 1  e.  RR )
134 dmmptg 5339 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 1  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
135133, 134syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )  =  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )
136132, 135eqtrd 2505 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
137 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( F `
 ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( F `  ( A  +  s
) ) )
138 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  Y )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  Y )
139 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s ) )  -  Y ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) )
14040adantrr 731 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =/= 
A ) )  -> 
( A  +  s )  e.  ( A (,) B ) )
141 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  A )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  A )
142 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  s )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  s )
143 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( A  +  s ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( A  +  s ) )
14487, 44syl6ss 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  C_  CC )
1451recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
146141, 144, 19, 145constlimc 37801 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  A ) lim CC  0 ) )
147144, 142, 145idlimc 37803 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  s ) lim CC  0 ) )
148141, 142, 143, 82, 92, 146, 147addlimc 37826 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  0 )  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) lim CC  0 ) )
14921, 148eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) lim CC  0 ) )
150102oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  A
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  A ) )
15148, 150eleqtrd 2551 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  A ) )
152 simplrr 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( F `  ( A  +  s ) )  =  Y )  -> 
( A  +  s )  =  A )
15315, 31gtned 9787 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  =/=  A )
154153neneqd 2648 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  -.  ( A  +  s
)  =  A )
155154adantrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =  A ) )  ->  -.  ( A  +  s )  =  A )
156155adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( F `  ( A  +  s ) )  =  Y )  ->  -.  ( A  +  s )  =  A )
157152, 156condan 811 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =  A ) )  -> 
( F `  ( A  +  s )
)  =  Y )
158140, 78, 149, 151, 107, 157limcco 22927 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( F `  ( A  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
159138, 144, 115, 145constlimc 37801 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  Y ) lim CC  0 ) )
160137, 138, 139, 61, 116, 158, 159sublimc 37830 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 ) )
161115subidd 9993 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  =  0 )
16252eqcomi 2480 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s ) )  -  Y ) )  =  N
163162oveq1i 6318 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 )
164163a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 ) )
165160, 161, 1643eltr3d 2563 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( N lim
CC  0 ) )
166144, 54, 145idlimc 37803 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( D lim
CC  0 ) )
167 lbioo 11692 . . . . 5  |-  -.  0  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)
168167a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
169 mptresid 5165 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  s )  =  (  _I  |`  (
0 (,) ( B  -  A ) ) )
170129, 169syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  =  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A )
) ) )
171170rneqd 5068 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  D  =  ran  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ) )
172 rnresi 5187 . . . . 5  |-  ran  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A
) ) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A )
)
173171, 172syl6req 2522 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  =  ran  D
)
174168, 173neleqtrd 2570 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  D )
175 0ne1 10699 . . . . . 6  |-  0  =/=  1
176175neii 2645 . . . . 5  |-  -.  0  =  1
177 elsncg 3983 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  e.  { 1 }  <->  0  =  1 ) )
1781, 177syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  {
1 }  <->  0  = 
1 ) )
179176, 178mtbiri 310 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  {
1 } )
180131rneqd 5068 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( RR  _D  D )  =  ran  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 ) )
181 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  1 )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )
18224a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
183 ioon0 11687 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR* )  ->  (
( 0 (,) ( B  -  A )
)  =/=  (/)  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
184182, 5, 183syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0 (,) ( B  -  A
) )  =/=  (/)  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
1858, 184mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  =/=  (/) )
186181, 76, 185rnmptc 37510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )  =  { 1 } )
187180, 186eqtr2d 2506 . . . 4  |-  ( ph  ->  { 1 }  =  ran  ( RR  _D  D
) )
188179, 187neleqtrd 2570 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  D
) )
18981recnd 9687 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
190 fourierdlem61.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  A ) )
191105oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  A
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  A ) )
192190, 191eleqtrd 2551 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  A ) )
193 simplrr 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( G `  ( A  +  s ) )  =  E )  -> 
( A  +  s )  =  A )
194155adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( G `  ( A  +  s ) )  =  E )  ->  -.  ( A  +  s )  =  A )
195193, 194condan 811 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =  A ) )  -> 
( G `  ( A  +  s )
)  =  E )
196140, 189, 149, 192, 108, 195limcco 22927 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
197110div1d 10397 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  /  1 )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
19856, 123syl5eq 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) ) )
199198adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( RR  _D  N )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) ) )
200199fveq1d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( RR  _D  N
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) ) `
 s ) )
201 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) )
202201fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( G `  ( A  +  s ) )  e.  RR )  -> 
( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) ) `  s )  =  ( G `  ( A  +  s ) ) )
20327, 75, 202syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) ) `  s
)  =  ( G `
 ( A  +  s ) ) )
204200, 203eqtr2d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  =  ( ( RR 
_D  N ) `  s ) )
205131fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  D ) `  s
)  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) `  s ) )
206205adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( RR  _D  D
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  1 ) `
 s ) )
207181fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 ) `  s )  =  1 )
20827, 76, 207syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 ) `  s
)  =  1 )
209206, 208eqtr2d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  1  =  ( ( RR 
_D  D ) `  s ) )
210204, 209oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  /  1 )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
211197, 210eqtr3d 2507 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
212211mpteq2dva 4482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) )
213212oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  N ) `  s )  /  (
( RR  _D  D
) `  s )
) ) lim CC  0 ) )
214196, 213eleqtrd 2551 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
2151, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214lhop1 23045 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( N `  s
)  /  ( D `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
21652fvmpt2 5972 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
)  e.  RR )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) )
21727, 51, 216syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) )
21854fvmpt2 5972 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )  ->  ( D `  s )  =  s )
21927, 27, 218syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( D `  s )  =  s )
220217, 219oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( N `  s
)  /  ( D `
 s ) )  =  ( ( ( F `  ( A  +  s ) )  -  Y )  / 
s ) )
221220mpteq2dva 4482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
)  /  s ) ) )
222 fourierdlem61.h . . . 4  |-  H  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
223221, 222syl6eqr 2523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  H )
224223oveq1d 6323 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( N `
 s )  / 
( D `  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( H lim CC  0 ) )
225215, 224eleqtrd 2551 1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    _I cid 4749   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    - cmin 9880    / cdiv 10291   (,)cioo 11660   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   lim CC climc 22896    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
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