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Theorem fourierdlem61 37318
Description: Given a differentiable function  F, with finite limit of the derivative at  A the derived function  H has a limit at  0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem61.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem61.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem61.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem61.f  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
fourierdlem61.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  A ) )
fourierdlem61.g  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
fourierdlem61.domg  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
fourierdlem61.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  A ) )
fourierdlem61.h  |-  H  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
fourierdlem61.n  |-  N  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
) )
fourierdlem61.d  |-  D  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  s )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem61  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    D, s    E, s    F, s    G, s    N, s    Y, s    ph, s
Allowed substitution hint:    H( s)

Proof of Theorem fourierdlem61
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 9627 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2 fourierdlem61.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 fourierdlem61.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
42, 3resubcld 10028 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
54rexrd 9673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR* )
6 fourierdlem61.altb . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
73, 2posdifd 10179 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
86, 7mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
9 fourierdlem61.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
109adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
113rexrd 9673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1211adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  e.  RR* )
132rexrd 9673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
1413adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  B  e.  RR* )
153adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  e.  RR )
16 elioore 11612 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  ->  s  e.  RR )
1716adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  e.  RR )
1815, 17readdcld 9653 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  e.  RR )
193recnd 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2019addid1d 9814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  +  0 )  =  A )
2120eqcomd 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( A  +  0 ) )
2221adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  =  ( A  + 
0 ) )
23 0red 9627 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  e.  RR )
24 0xr 9670 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  e.  RR* )
265adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR* )
27 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )
28 ioogtlb 36897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR*  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  <  s )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  <  s )
3023, 17, 15, 29ltadd2dd 9775 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  0 )  <  ( A  +  s ) )
3122, 30eqbrtrd 4415 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  <  ( A  +  s ) )
324adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
33 iooltub 36916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR*  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  <  ( B  -  A
) )
3425, 26, 27, 33syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  <  ( B  -  A
) )
3517, 32, 15, 34ltadd2dd 9775 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  <  ( A  +  ( B  -  A ) ) )
362recnd 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3719, 36pncan3d 9970 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
3837adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
3935, 38breqtrd 4419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  <  B )
4012, 14, 18, 31, 39eliood 36900 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  e.  ( A (,) B
) )
4110, 40ffvelrnd 6010 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( F `  ( A  +  s ) )  e.  RR )
42 ioossre 11640 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  RR
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
44 ax-resscn 9579 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
4543, 44syl6ss 3454 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
46 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4746, 13, 3, 6lptioo1cn 37020 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A (,) B ) ) )
48 fourierdlem61.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  A ) )
499, 45, 47, 48limcrecl 37003 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
5049adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  Y  e.  RR )
5141, 50resubcld 10028 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( F `  ( A  +  s )
)  -  Y )  e.  RR )
52 fourierdlem61.n . . . 4  |-  N  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
) )
5351, 52fmptd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  N : ( 0 (,) ( B  -  A ) ) --> RR )
54 fourierdlem61.d . . . 4  |-  D  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  s )
5517, 54fmptd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( 0 (,) ( B  -  A ) ) --> RR )
5652oveq2i 6289 . . . . . 6  |-  ( RR 
_D  N )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) )
5756a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) ) ) )
5857dmeqd 5026 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  dom  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) ) )
59 reelprrecn 9614 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
6141recnd 9652 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( F `  ( A  +  s ) )  e.  CC )
62 dvfre 22646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
639, 43, 62syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
64 fourierdlem61.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  =  ( RR 
_D  F ) )
6665feq1d 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G : dom  ( RR  _D  F
) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR ) )
6763, 66mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
6867adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
6965eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  G )
7069dmeqd 5026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  dom  G )
71 fourierdlem61.domg . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
7270, 71eqtr2d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =  dom  ( RR  _D  F ) )
7372adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A (,) B )  =  dom  ( RR  _D  F ) )
7440, 73eleqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
7568, 74ffvelrnd 6010 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  e.  RR )
76 1red 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  1  e.  RR )
779ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7877recnd 9652 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
7972feq2d 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G : ( A (,) B ) --> RR  <->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR ) )
8067, 79mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
8180ffvelrnda 6009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
8219adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  e.  CC )
8319adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
84 0red 9627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
8560, 19dvmptc 22653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  A ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
86 ioossre 11640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  C_  RR
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  C_  RR )
8846tgioo2 21600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
89 iooretop 21565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
9160, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90dvmptres 22658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  A ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  0 ) )
9217recnd 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  e.  CC )
93 recn 9612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
9493adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
95 1red 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
9660dvmptid 22652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
9760, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90dvmptres 22658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) )
9860, 82, 23, 91, 92, 76, 97dvmptadd 22655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( 0  +  1 ) ) )
99 0p1e1 10688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
10099mpteq2i 4478 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( 0  +  1 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )
10198, 100syl6eq 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) )
1029feqmptd 5902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
103102eqcomd 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  =  F )
104103oveq2d 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( RR  _D  F ) )
10580feqmptd 5902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `
 x ) ) )
106104, 69, 1053eqtrd 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) )
107 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  +  s )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( A  +  s
) ) )
108 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  +  s )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
10960, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108dvmptco 22667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( F `  ( A  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( G `  ( A  +  s )
)  x.  1 ) ) )
11075recnd 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  e.  CC )
111110mulid1d 9643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  x.  1 )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
112111mpteq2dva 4481 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( G `  ( A  +  s
) )  x.  1 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
113109, 112eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( F `  ( A  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
114 limccl 22571 . . . . . . . . 9  |-  ( F lim
CC  A )  C_  CC
115114, 48sseldi 3440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
116115adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  Y  e.  CC )
117115adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  Y  e.  CC )
11860, 115dvmptc 22653 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  Y ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
11960, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90dvmptres 22658 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  Y ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  0 ) )
12060, 61, 75, 113, 116, 25, 119dvmptsub 22662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( G `  ( A  +  s )
)  -  0 ) ) )
121110subid1d 9956 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  -  0 )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
122121mpteq2dva 4481 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( G `  ( A  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
123120, 122eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
124123dmeqd 5026 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
) ) )  =  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) ) )
12575ralrimiva 2818 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ( G `  ( A  +  s )
)  e.  RR )
126 dmmptg 5320 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ( G `  ( A  +  s ) )  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
127125, 126syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )
12858, 124, 1273eqtrd 2447 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
12954a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  s ) )
130129oveq2d 6294 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  s ) ) )
131130, 97eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  1 ) )
132131dmeqd 5026 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 ) )
13376ralrimiva 2818 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 1  e.  RR )
134 dmmptg 5320 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 1  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
135133, 134syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )  =  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )
136132, 135eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
137 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( F `
 ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( F `  ( A  +  s
) ) )
138 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  Y )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  Y )
139 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s ) )  -  Y ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) )
14040adantrr 715 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =/= 
A ) )  -> 
( A  +  s )  e.  ( A (,) B ) )
141 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  A )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  A )
142 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  s )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  s )
143 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( A  +  s ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( A  +  s ) )
14487, 44syl6ss 3454 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  C_  CC )
1451recnd 9652 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
146141, 144, 19, 145constlimc 36998 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  A ) lim CC  0 ) )
147144, 142, 145idlimc 37000 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  s ) lim CC  0 ) )
148141, 142, 143, 82, 92, 146, 147addlimc 37022 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  0 )  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) lim CC  0 ) )
14921, 148eqeltrd 2490 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) lim CC  0 ) )
150102oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  A
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  A ) )
15148, 150eleqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  A ) )
152 simplrr 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( F `  ( A  +  s ) )  =  Y )  -> 
( A  +  s )  =  A )
15315, 31gtned 9752 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  =/=  A )
154153neneqd 2605 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  -.  ( A  +  s
)  =  A )
155154adantrr 715 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =  A ) )  ->  -.  ( A  +  s )  =  A )
156155adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( F `  ( A  +  s ) )  =  Y )  ->  -.  ( A  +  s )  =  A )
157152, 156condan 795 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =  A ) )  -> 
( F `  ( A  +  s )
)  =  Y )
158140, 78, 149, 151, 107, 157limcco 22589 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( F `  ( A  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
159138, 144, 115, 145constlimc 36998 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  Y ) lim CC  0 ) )
160137, 138, 139, 61, 116, 158, 159sublimc 37026 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 ) )
161115subidd 9955 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  =  0 )
16252eqcomi 2415 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s ) )  -  Y ) )  =  N
163162oveq1i 6288 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 )
164163a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 ) )
165160, 161, 1643eltr3d 2504 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( N lim
CC  0 ) )
166144, 54, 145idlimc 37000 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( D lim
CC  0 ) )
167 lbioo 11613 . . . . 5  |-  -.  0  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)
168167a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
169 mptresid 5148 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  s )  =  (  _I  |`  (
0 (,) ( B  -  A ) ) )
170129, 169syl6eq 2459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  =  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A )
) ) )
171170rneqd 5051 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  D  =  ran  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ) )
172 rnresi 5170 . . . . 5  |-  ran  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A
) ) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A )
)
173171, 172syl6req 2460 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  =  ran  D
)
174168, 173neleqtrd 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  D )
175 0ne1 10644 . . . . . 6  |-  0  =/=  1
176175neii 2602 . . . . 5  |-  -.  0  =  1
177 elsncg 3995 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  e.  { 1 }  <->  0  =  1 ) )
1781, 177syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  {
1 }  <->  0  = 
1 ) )
179176, 178mtbiri 301 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  {
1 } )
180131rneqd 5051 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( RR  _D  D )  =  ran  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 ) )
181 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  1 )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )
18224a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
183 ioon0 11608 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR* )  ->  (
( 0 (,) ( B  -  A )
)  =/=  (/)  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
184182, 5, 183syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0 (,) ( B  -  A
) )  =/=  (/)  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
1858, 184mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  =/=  (/) )
186181, 76, 185rnmptc 36824 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )  =  { 1 } )
187180, 186eqtr2d 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  { 1 }  =  ran  ( RR  _D  D
) )
188179, 187neleqtrd 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  D
) )
18981recnd 9652 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
190 fourierdlem61.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  A ) )
191105oveq1d 6293 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  A
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  A ) )
192190, 191eleqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  A ) )
193 simplrr 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( G `  ( A  +  s ) )  =  E )  -> 
( A  +  s )  =  A )
194155adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( G `  ( A  +  s ) )  =  E )  ->  -.  ( A  +  s )  =  A )
195193, 194condan 795 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =  A ) )  -> 
( G `  ( A  +  s )
)  =  E )
196140, 189, 149, 192, 108, 195limcco 22589 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
197110div1d 10353 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  /  1 )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
19856, 123syl5eq 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) ) )
199198adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( RR  _D  N )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) ) )
200199fveq1d 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( RR  _D  N
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) ) `
 s ) )
201 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) )
202201fvmpt2 5941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( G `  ( A  +  s ) )  e.  RR )  -> 
( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) ) `  s )  =  ( G `  ( A  +  s ) ) )
20327, 75, 202syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) ) `  s
)  =  ( G `
 ( A  +  s ) ) )
204200, 203eqtr2d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  =  ( ( RR 
_D  N ) `  s ) )
205131fveq1d 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  D ) `  s
)  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) `  s ) )
206205adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( RR  _D  D
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  1 ) `
 s ) )
207181fvmpt2 5941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 ) `  s )  =  1 )
20827, 76, 207syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 ) `  s
)  =  1 )
209206, 208eqtr2d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  1  =  ( ( RR 
_D  D ) `  s ) )
210204, 209oveq12d 6296 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  /  1 )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
211197, 210eqtr3d 2445 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
212211mpteq2dva 4481 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) )
213212oveq1d 6293 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  N ) `  s )  /  (
( RR  _D  D
) `  s )
) ) lim CC  0 ) )
214196, 213eleqtrd 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
2151, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214lhop1 22707 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( N `  s
)  /  ( D `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
21652fvmpt2 5941 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
)  e.  RR )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) )
21727, 51, 216syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) )
21854fvmpt2 5941 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )  ->  ( D `  s )  =  s )
21927, 27, 218syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( D `  s )  =  s )
220217, 219oveq12d 6296 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( N `  s
)  /  ( D `
 s ) )  =  ( ( ( F `  ( A  +  s ) )  -  Y )  / 
s ) )
221220mpteq2dva 4481 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
)  /  s ) ) )
222 fourierdlem61.h . . . 4  |-  H  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
223221, 222syl6eqr 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  H )
224223oveq1d 6293 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( N `
 s )  / 
( D `  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( H lim CC  0 ) )
225215, 224eleqtrd 2492 1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754    C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972   {cpr 3974   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    _I cid 4733   dom cdm 4823   ran crn 4824    |` cres 4825   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527   RR*cxr 9657    < clt 9658    - cmin 9841    / cdiv 10247   (,)cioo 11582   TopOpenctopn 15036   topGenctg 15052  ℂfldccnfld 18740   lim CC climc 22558    _D cdv 22559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-cmp 20180  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563
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