Theorem fourierdlem61 37318

Description: Given a differentiable function F, with finite limit of the derivative at A the derived function H has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem61.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem61.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem61.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem61.f	|- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
fourierdlem61.y	|- ( ph -> Y e. ( F lim CC A ) )
fourierdlem61.g	|- G = ( RR _D F )
fourierdlem61.domg	|- ( ph -> dom G = ( A (,) B ) )
fourierdlem61.e	|- ( ph -> E e. ( G lim CC A ) )
fourierdlem61.h	|- H = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) )
fourierdlem61.n	|- N = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
fourierdlem61.d	|- D = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem61	|- ( ph -> E e. ( H lim CC 0 ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   D, s   E, s   F, s   G, s   N, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hint:   H( s)

Proof of Theorem fourierdlem61

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 9627	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR )
2		fourierdlem61.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		fourierdlem61.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
4	2, 3	resubcld 10028	. . . 4 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
5	4	rexrd 9673	. . 3 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR* )
6		fourierdlem61.altb	. . . 4 |- ( ph -> A < B )
7	3, 2	posdifd 10179	. . . 4 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
8	6, 7	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
9		fourierdlem61.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
10	9	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
11	3	rexrd 9673	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
12	11	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A e. RR* )
13	2	rexrd 9673	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
14	13	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> B e. RR* )
15	3	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A e. RR )
16		elioore 11612	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) -> s e. RR )
17	16	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s e. RR )
18	15, 17	readdcld 9653	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) e. RR )
19	3	recnd 9652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
20	19	addid1d 9814	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A + 0 ) = A )
21	20	eqcomd 2410	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A = ( A + 0 ) )
22	21	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A = ( A + 0 ) )
23		0red 9627	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 e. RR )
24		0xr 9670	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 e. RR* )
26	5	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( B - A ) e. RR* )
27		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) )
28		ioogtlb 36897	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( B - A ) e. RR* /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 < s )
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 < s )
30	23, 17, 15, 29	ltadd2dd 9775	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + 0 ) < ( A + s ) )
31	22, 30	eqbrtrd 4415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A < ( A + s ) )
32	4	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( B - A ) e. RR )
33		iooltub 36916	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( B - A ) e. RR* /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s < ( B - A ) )
34	25, 26, 27, 33	syl3anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s < ( B - A ) )
35	17, 32, 15, 34	ltadd2dd 9775	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) < ( A + ( B - A ) ) )
36	2	recnd 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
37	19, 36	pncan3d 9970	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A + ( B - A ) ) = B )
38	37	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
39	35, 38	breqtrd 4419	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) < B )
40	12, 14, 18, 31, 39	eliood 36900	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) e. ( A (,) B ) )
41	10, 40	ffvelrnd 6010	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( F ` ( A + s ) ) e. RR )
42		ioossre 11640	. . . . . . . . 9 |- ( A (,) B ) C_ RR
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
44		ax-resscn 9579	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
45	43, 44	syl6ss 3454	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
46		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
47	46, 13, 3, 6	lptioo1cn 37020	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A (,) B ) ) )
48		fourierdlem61.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( F lim CC A ) )
49	9, 45, 47, 48	limcrecl 37003	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. RR )
50	49	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> Y e. RR )
51	41, 50	resubcld 10028	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) e. RR )
52		fourierdlem61.n	. . . 4 |- N = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
53	51, 52	fmptd 6033	. . 3 |- ( ph -> N : ( 0 (,) ( B - A ) ) --> RR )
54		fourierdlem61.d	. . . 4 |- D = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s )
55	17, 54	fmptd 6033	. . 3 |- ( ph -> D : ( 0 (,) ( B - A ) ) --> RR )
56	52	oveq2i 6289	. . . . . 6 |- ( RR _D N ) = ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) )
57	56	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D N ) = ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) )
58	57	dmeqd 5026	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D N ) = dom ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) )
59		reelprrecn 9614	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
61	41	recnd 9652	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( F ` ( A + s ) ) e. CC )
62		dvfre 22646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( A (,) B ) --> RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
63	9, 43, 62	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
64		fourierdlem61.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( RR _D F )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G = ( RR _D F ) )
66	65	feq1d 5700	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G : dom ( RR _D F ) --> RR <-> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR ) )
67	63, 66	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
68	67	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
69	65	eqcomd 2410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D F ) = G )
70	69	dmeqd 5026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = dom G )
71		fourierdlem61.domg	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G = ( A (,) B ) )
72	70, 71	eqtr2d 2444	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) = dom ( RR _D F ) )
73	72	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A (,) B ) = dom ( RR _D F ) )
74	40, 73	eleqtrd 2492	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) e. dom ( RR _D F ) )
75	68, 74	ffvelrnd 6010	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) e. RR )
76		1red 9641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 1 e. RR )
77	9	ffvelrnda 6009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
78	77	recnd 9652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
79	72	feq2d 5701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G : ( A (,) B ) --> RR <-> G : dom ( RR _D F ) --> RR ) )
80	67, 79	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> RR )
81	80	ffvelrnda 6009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
82	19	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A e. CC )
83	19	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> A e. CC )
84		0red 9627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 0 e. RR )
85	60, 19	dvmptc 22653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> A ) ) = ( s e. RR |-> 0 ) )
86		ioossre 11640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 (,) ( B - A ) ) C_ RR
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) C_ RR )
88	46	tgioo2 21600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
89		iooretop 21565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 (,) ( B - A ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
91	60, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 0 ) )
92	17	recnd 9652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s e. CC )
93		recn 9612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> s e. CC )
94	93	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> s e. CC )
95		1red 9641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 1 e. RR )
96	60	dvmptid 22652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> s ) ) = ( s e. RR |-> 1 ) )
97	60, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
98	60, 82, 23, 91, 92, 76, 97	dvmptadd 22655	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( 0 + 1 ) ) )
99		0p1e1 10688	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
100	99	mpteq2i 4478	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( 0 + 1 ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 )
101	98, 100	syl6eq 2459	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
102	9	feqmptd 5902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) )
103	102	eqcomd 2410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) = F )
104	103	oveq2d 6294	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( RR _D F ) )
105	80	feqmptd 5902	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
106	104, 69, 105	3eqtrd 2447	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
107		fveq2 5849	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( A + s ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( A + s ) ) )
108		fveq2 5849	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( A + s ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( A + s ) ) )
109	60, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108	dvmptco 22667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) x. 1 ) ) )
110	75	recnd 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) e. CC )
111	110	mulid1d 9643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) x. 1 ) = ( G ` ( A + s ) ) )
112	111	mpteq2dva 4481	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) x. 1 ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
113	109, 112	eqtrd 2443	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
114		limccl 22571	. . . . . . . . 9 |- ( F lim CC A ) C_ CC
115	114, 48	sseldi 3440	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CC )
116	115	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> Y e. CC )
117	115	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> Y e. CC )
118	60, 115	dvmptc 22653	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> Y ) ) = ( s e. RR |-> 0 ) )
119	60, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22658	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 0 ) )
120	60, 61, 75, 113, 116, 25, 119	dvmptsub 22662	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) - 0 ) ) )
121	110	subid1d 9956	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) - 0 ) = ( G ` ( A + s ) ) )
122	121	mpteq2dva 4481	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
123	120, 122	eqtrd 2443	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
124	123	dmeqd 5026	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) = dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
125	75	ralrimiva 2818	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ( G ` ( A + s ) ) e. RR )
126		dmmptg 5320	. . . . 5 |- ( A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ( G ` ( A + s ) ) e. RR -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
127	125, 126	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
128	58, 124, 127	3eqtrd 2447	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D N ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
129	54	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> D = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) )
130	129	oveq2d 6294	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D D ) = ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) ) )
131	130, 97	eqtrd 2443	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D D ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
132	131	dmeqd 5026	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D D ) = dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
133	76	ralrimiva 2818	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) 1 e. RR )
134		dmmptg 5320	. . . . 5 |- ( A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) 1 e. RR -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
135	133, 134	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
136	132, 135	eqtrd 2443	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D D ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
137		eqid 2402	. . . . 5 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) )
138		eqid 2402	. . . . 5 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y )
139		eqid 2402	. . . . 5 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
140	40	adantrr 715	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) =/= A ) ) -> ( A + s ) e. ( A (,) B ) )
141		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A )
142		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s )
143		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) )
144	87, 44	syl6ss 3454	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) C_ CC )
145	1	recnd 9652	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. CC )
146	141, 144, 19, 145	constlimc 36998	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A ) lim CC 0 ) )
147	144, 142, 145	idlimc 37000	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) lim CC 0 ) )
148	141, 142, 143, 82, 92, 146, 147	addlimc 37022	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A + 0 ) e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) lim CC 0 ) )
149	21, 148	eqeltrd 2490	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) lim CC 0 ) )
150	102	oveq1d 6293	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F lim CC A ) = ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) lim CC A ) )
151	48, 150	eleqtrd 2492	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) lim CC A ) )
152		simplrr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( F ` ( A + s ) ) = Y ) -> ( A + s ) = A )
153	15, 31	gtned 9752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) =/= A )
154	153	neneqd 2605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> -. ( A + s ) = A )
155	154	adantrr 715	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) -> -. ( A + s ) = A )
156	155	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( F ` ( A + s ) ) = Y ) -> -. ( A + s ) = A )
157	152, 156	condan 795	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) -> ( F ` ( A + s ) ) = Y )
158	140, 78, 149, 151, 107, 157	limcco 22589	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) lim CC 0 ) )
159	138, 144, 115, 145	constlimc 36998	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y ) lim CC 0 ) )
160	137, 138, 139, 61, 116, 158, 159	sublimc 37026	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - Y ) e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) )
161	115	subidd 9955	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - Y ) = 0 )
162	52	eqcomi 2415	. . . . . 6 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) = N
163	162	oveq1i 6288	. . . . 5 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) = ( N lim CC 0 )
164	163	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) = ( N lim CC 0 ) )
165	160, 161, 164	3eltr3d 2504	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( N lim CC 0 ) )
166	144, 54, 145	idlimc 37000	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( D lim CC 0 ) )
167		lbioo 11613	. . . . 5 |- -. 0 e. ( 0 (,) ( B - A ) )
168	167	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> -. 0 e. ( 0 (,) ( B - A ) ) )
169		mptresid 5148	. . . . . . 7 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) = ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) )
170	129, 169	syl6eq 2459	. . . . . 6 |- ( ph -> D = ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) ) )
171	170	rneqd 5051	. . . . 5 |- ( ph -> ran D = ran ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) ) )
172		rnresi 5170	. . . . 5 |- ran ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) ) = ( 0 (,) ( B - A ) )
173	171, 172	syl6req 2460	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) = ran D )
174	168, 173	neleqtrd 2514	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ran D )
175		0ne1 10644	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
176	175	neii 2602	. . . . 5 |- -. 0 = 1
177		elsncg 3995	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> ( 0 e. { 1 } <-> 0 = 1 ) )
178	1, 177	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 e. { 1 } <-> 0 = 1 ) )
179	176, 178	mtbiri 301	. . . 4 |- ( ph -> -. 0 e. { 1 } )
180	131	rneqd 5051	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( RR _D D ) = ran ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
181		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 )
182	24	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR* )
183		ioon0 11608	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( B - A ) e. RR* ) -> ( ( 0 (,) ( B - A ) ) =/= (/) <-> 0 < ( B - A ) ) )
184	182, 5, 183	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 (,) ( B - A ) ) =/= (/) <-> 0 < ( B - A ) ) )
185	8, 184	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) =/= (/) )
186	181, 76, 185	rnmptc 36824	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = { 1 } )
187	180, 186	eqtr2d 2444	. . . 4 |- ( ph -> { 1 } = ran ( RR _D D ) )
188	179, 187	neleqtrd 2514	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ran ( RR _D D ) )
189	81	recnd 9652	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
190		fourierdlem61.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. ( G lim CC A ) )
191	105	oveq1d 6293	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC A ) = ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) lim CC A ) )
192	190, 191	eleqtrd 2492	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) lim CC A ) )
193		simplrr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( G ` ( A + s ) ) = E ) -> ( A + s ) = A )
194	155	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( G ` ( A + s ) ) = E ) -> -. ( A + s ) = A )
195	193, 194	condan 795	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) = E )
196	140, 189, 149, 192, 108, 195	limcco 22589	. . . 4 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) lim CC 0 ) )
197	110	div1d 10353	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) / 1 ) = ( G ` ( A + s ) ) )
198	56, 123	syl5eq 2455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D N ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
199	198	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( RR _D N ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
200	199	fveq1d 5851	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( RR _D N ) ` s ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) ` s ) )
201		eqid 2402	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) )
202	201	fvmpt2 5941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( G ` ( A + s ) ) e. RR ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) ` s ) = ( G ` ( A + s ) ) )
203	27, 75, 202	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) ` s ) = ( G ` ( A + s ) ) )
204	200, 203	eqtr2d 2444	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) = ( ( RR _D N ) ` s ) )
205	131	fveq1d 5851	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( RR _D D ) ` s ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) )
206	205	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( RR _D D ) ` s ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) )
207	181	fvmpt2 5941	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ 1 e. RR ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) = 1 )
208	27, 76, 207	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) = 1 )
209	206, 208	eqtr2d 2444	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 1 = ( ( RR _D D ) ` s ) )
210	204, 209	oveq12d 6296	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) / 1 ) = ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) )
211	197, 210	eqtr3d 2445	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) = ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) )
212	211	mpteq2dva 4481	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) )
213	212	oveq1d 6293	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) lim CC 0 ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
214	196, 213	eleqtrd 2492	. . 3 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
215	1, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214	lhop1 22707	. 2 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
216	52	fvmpt2 5941	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) e. RR ) -> ( N ` s ) = ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
217	27, 51, 216	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( N ` s ) = ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
218	54	fvmpt2 5941	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( D ` s ) = s )
219	27, 27, 218	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( D ` s ) = s )
220	217, 219	oveq12d 6296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) = ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) )
221	220	mpteq2dva 4481	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) ) )
222		fourierdlem61.h	. . . 4 |- H = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) )
223	221, 222	syl6eqr 2461	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) = H )
224	223	oveq1d 6293	. 2 |- ( ph -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) lim CC 0 ) = ( H lim CC 0 ) )
225	215, 224	eleqtrd 2492	1 |- ( ph -> E e. ( H lim CC 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2754   C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972   {cpr 3974   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   _I cid 4733   dom cdm 4823   ran crn 4824   |` cres 4825   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   + caddc 9525   x. cmul 9527   RR*cxr 9657   < clt 9658   - cmin 9841   / cdiv 10247   (,)cioo 11582   TopOpenctopn 15036   topGenctg 15052  ℂ_fldccnfld 18740   lim CC climc 22558   _D cdv 22559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-cmp 20180  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563

This theorem is referenced by:  fourierdlem75  37332