Theorem fourierdlem61 38143

Description: Given a differentiable function F, with finite limit of the derivative at A the derived function H has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem61.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem61.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem61.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem61.f	|- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
fourierdlem61.y	|- ( ph -> Y e. ( F lim CC A ) )
fourierdlem61.g	|- G = ( RR _D F )
fourierdlem61.domg	|- ( ph -> dom G = ( A (,) B ) )
fourierdlem61.e	|- ( ph -> E e. ( G lim CC A ) )
fourierdlem61.h	|- H = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) )
fourierdlem61.n	|- N = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
fourierdlem61.d	|- D = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem61	|- ( ph -> E e. ( H lim CC 0 ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   D, s   E, s   F, s   G, s   N, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hint:   H( s)

Proof of Theorem fourierdlem61

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 9662	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR )
2		fourierdlem61.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		fourierdlem61.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
4	2, 3	resubcld 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
5	4	rexrd 9708	. . 3 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR* )
6		fourierdlem61.altb	. . . 4 |- ( ph -> A < B )
7	3, 2	posdifd 10221	. . . 4 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
8	6, 7	mpbid 215	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
9		fourierdlem61.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
10	9	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
11	3	rexrd 9708	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
12	11	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A e. RR* )
13	2	rexrd 9708	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
14	13	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> B e. RR* )
15	3	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A e. RR )
16		elioore 11691	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) -> s e. RR )
17	16	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s e. RR )
18	15, 17	readdcld 9688	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) e. RR )
19	3	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
20	19	addid1d 9851	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A + 0 ) = A )
21	20	eqcomd 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A = ( A + 0 ) )
22	21	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A = ( A + 0 ) )
23		0red 9662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 e. RR )
24		0xr 9705	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 e. RR* )
26	5	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( B - A ) e. RR* )
27		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) )
28		ioogtlb 37688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( B - A ) e. RR* /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 < s )
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 0 < s )
30	23, 17, 15, 29	ltadd2dd 9811	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + 0 ) < ( A + s ) )
31	22, 30	eqbrtrd 4416	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A < ( A + s ) )
32	4	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( B - A ) e. RR )
33		iooltub 37706	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( B - A ) e. RR* /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s < ( B - A ) )
34	25, 26, 27, 33	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s < ( B - A ) )
35	17, 32, 15, 34	ltadd2dd 9811	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) < ( A + ( B - A ) ) )
36	2	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
37	19, 36	pncan3d 10008	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A + ( B - A ) ) = B )
38	37	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
39	35, 38	breqtrd 4420	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) < B )
40	12, 14, 18, 31, 39	eliood 37691	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) e. ( A (,) B ) )
41	10, 40	ffvelrnd 6038	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( F ` ( A + s ) ) e. RR )
42		ioossre 11721	. . . . . . . . 9 |- ( A (,) B ) C_ RR
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
44		ax-resscn 9614	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
45	43, 44	syl6ss 3430	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
46		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
47	46, 13, 3, 6	lptioo1cn 37824	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A (,) B ) ) )
48		fourierdlem61.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( F lim CC A ) )
49	9, 45, 47, 48	limcrecl 37806	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. RR )
50	49	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> Y e. RR )
51	41, 50	resubcld 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) e. RR )
52		fourierdlem61.n	. . . 4 |- N = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
53	51, 52	fmptd 6061	. . 3 |- ( ph -> N : ( 0 (,) ( B - A ) ) --> RR )
54		fourierdlem61.d	. . . 4 |- D = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s )
55	17, 54	fmptd 6061	. . 3 |- ( ph -> D : ( 0 (,) ( B - A ) ) --> RR )
56	52	oveq2i 6319	. . . . . 6 |- ( RR _D N ) = ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) )
57	56	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D N ) = ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) )
58	57	dmeqd 5042	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D N ) = dom ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) )
59		reelprrecn 9649	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
61	41	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( F ` ( A + s ) ) e. CC )
62		dvfre 22984	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( A (,) B ) --> RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
63	9, 43, 62	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
64		fourierdlem61.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( RR _D F )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G = ( RR _D F ) )
66	65	feq1d 5724	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G : dom ( RR _D F ) --> RR <-> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR ) )
67	63, 66	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
68	67	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
69	65	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D F ) = G )
70	69	dmeqd 5042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = dom G )
71		fourierdlem61.domg	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G = ( A (,) B ) )
72	70, 71	eqtr2d 2506	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) = dom ( RR _D F ) )
73	72	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A (,) B ) = dom ( RR _D F ) )
74	40, 73	eleqtrd 2551	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) e. dom ( RR _D F ) )
75	68, 74	ffvelrnd 6038	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) e. RR )
76		1red 9676	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 1 e. RR )
77	9	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
78	77	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
79	72	feq2d 5725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G : ( A (,) B ) --> RR <-> G : dom ( RR _D F ) --> RR ) )
80	67, 79	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> RR )
81	80	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
82	19	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> A e. CC )
83	19	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> A e. CC )
84		0red 9662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 0 e. RR )
85	60, 19	dvmptc 22991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> A ) ) = ( s e. RR |-> 0 ) )
86		ioossre 11721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 (,) ( B - A ) ) C_ RR
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) C_ RR )
88	46	tgioo2 21899	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
89		iooretop 21864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 (,) ( B - A ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
91	60, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 0 ) )
92	17	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> s e. CC )
93		recn 9647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> s e. CC )
94	93	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> s e. CC )
95		1red 9676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 1 e. RR )
96	60	dvmptid 22990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> s ) ) = ( s e. RR |-> 1 ) )
97	60, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
98	60, 82, 23, 91, 92, 76, 97	dvmptadd 22993	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( 0 + 1 ) ) )
99		0p1e1 10743	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
100	99	mpteq2i 4479	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( 0 + 1 ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 )
101	98, 100	syl6eq 2521	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
102	9	feqmptd 5932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) )
103	102	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) = F )
104	103	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( RR _D F ) )
105	80	feqmptd 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
106	104, 69, 105	3eqtrd 2509	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
107		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( A + s ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( A + s ) ) )
108		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( A + s ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( A + s ) ) )
109	60, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108	dvmptco 23005	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) x. 1 ) ) )
110	75	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) e. CC )
111	110	mulid1d 9678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) x. 1 ) = ( G ` ( A + s ) ) )
112	111	mpteq2dva 4482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) x. 1 ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
113	109, 112	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
114		limccl 22909	. . . . . . . . 9 |- ( F lim CC A ) C_ CC
115	114, 48	sseldi 3416	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CC )
116	115	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> Y e. CC )
117	115	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> Y e. CC )
118	60, 115	dvmptc 22991	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> Y ) ) = ( s e. RR |-> 0 ) )
119	60, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22996	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 0 ) )
120	60, 61, 75, 113, 116, 25, 119	dvmptsub 23000	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) - 0 ) ) )
121	110	subid1d 9994	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) - 0 ) = ( G ` ( A + s ) ) )
122	121	mpteq2dva 4482	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( G ` ( A + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
123	120, 122	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
124	123	dmeqd 5042	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) ) = dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
125	75	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ( G ` ( A + s ) ) e. RR )
126		dmmptg 5339	. . . . 5 |- ( A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ( G ` ( A + s ) ) e. RR -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
127	125, 126	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
128	58, 124, 127	3eqtrd 2509	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D N ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
129	54	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> D = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) )
130	129	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D D ) = ( RR _D ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) ) )
131	130, 97	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D D ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
132	131	dmeqd 5042	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D D ) = dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
133	76	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) 1 e. RR )
134		dmmptg 5339	. . . . 5 |- ( A. s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) 1 e. RR -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
135	133, 134	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
136	132, 135	eqtrd 2505	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D D ) = ( 0 (,) ( B - A ) ) )
137		eqid 2471	. . . . 5 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) )
138		eqid 2471	. . . . 5 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y )
139		eqid 2471	. . . . 5 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
140	40	adantrr 731	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) =/= A ) ) -> ( A + s ) e. ( A (,) B ) )
141		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A )
142		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s )
143		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) )
144	87, 44	syl6ss 3430	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) C_ CC )
145	1	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. CC )
146	141, 144, 19, 145	constlimc 37801	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> A ) lim CC 0 ) )
147	144, 142, 145	idlimc 37803	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) lim CC 0 ) )
148	141, 142, 143, 82, 92, 146, 147	addlimc 37826	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A + 0 ) e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) lim CC 0 ) )
149	21, 148	eqeltrd 2549	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( A + s ) ) lim CC 0 ) )
150	102	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F lim CC A ) = ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) lim CC A ) )
151	48, 150	eleqtrd 2551	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) lim CC A ) )
152		simplrr 779	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( F ` ( A + s ) ) = Y ) -> ( A + s ) = A )
153	15, 31	gtned 9787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( A + s ) =/= A )
154	153	neneqd 2648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> -. ( A + s ) = A )
155	154	adantrr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) -> -. ( A + s ) = A )
156	155	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( F ` ( A + s ) ) = Y ) -> -. ( A + s ) = A )
157	152, 156	condan 811	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) -> ( F ` ( A + s ) ) = Y )
158	140, 78, 149, 151, 107, 157	limcco 22927	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( F ` ( A + s ) ) ) lim CC 0 ) )
159	138, 144, 115, 145	constlimc 37801	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> Y ) lim CC 0 ) )
160	137, 138, 139, 61, 116, 158, 159	sublimc 37830	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - Y ) e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) )
161	115	subidd 9993	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - Y ) = 0 )
162	52	eqcomi 2480	. . . . . 6 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) = N
163	162	oveq1i 6318	. . . . 5 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) = ( N lim CC 0 )
164	163	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) = ( N lim CC 0 ) )
165	160, 161, 164	3eltr3d 2563	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( N lim CC 0 ) )
166	144, 54, 145	idlimc 37803	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( D lim CC 0 ) )
167		lbioo 11692	. . . . 5 |- -. 0 e. ( 0 (,) ( B - A ) )
168	167	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> -. 0 e. ( 0 (,) ( B - A ) ) )
169		mptresid 5165	. . . . . . 7 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> s ) = ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) )
170	129, 169	syl6eq 2521	. . . . . 6 |- ( ph -> D = ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) ) )
171	170	rneqd 5068	. . . . 5 |- ( ph -> ran D = ran ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) ) )
172		rnresi 5187	. . . . 5 |- ran ( _I |` ( 0 (,) ( B - A ) ) ) = ( 0 (,) ( B - A ) )
173	171, 172	syl6req 2522	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) = ran D )
174	168, 173	neleqtrd 2570	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ran D )
175		0ne1 10699	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
176	175	neii 2645	. . . . 5 |- -. 0 = 1
177		elsncg 3983	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> ( 0 e. { 1 } <-> 0 = 1 ) )
178	1, 177	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 e. { 1 } <-> 0 = 1 ) )
179	176, 178	mtbiri 310	. . . 4 |- ( ph -> -. 0 e. { 1 } )
180	131	rneqd 5068	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( RR _D D ) = ran ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) )
181		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 )
182	24	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR* )
183		ioon0 11687	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( B - A ) e. RR* ) -> ( ( 0 (,) ( B - A ) ) =/= (/) <-> 0 < ( B - A ) ) )
184	182, 5, 183	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 (,) ( B - A ) ) =/= (/) <-> 0 < ( B - A ) ) )
185	8, 184	mpbird 240	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) ( B - A ) ) =/= (/) )
186	181, 76, 185	rnmptc 37510	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) = { 1 } )
187	180, 186	eqtr2d 2506	. . . 4 |- ( ph -> { 1 } = ran ( RR _D D ) )
188	179, 187	neleqtrd 2570	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ran ( RR _D D ) )
189	81	recnd 9687	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
190		fourierdlem61.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. ( G lim CC A ) )
191	105	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC A ) = ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) lim CC A ) )
192	190, 191	eleqtrd 2551	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) lim CC A ) )
193		simplrr 779	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( G ` ( A + s ) ) = E ) -> ( A + s ) = A )
194	155	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) /\ -. ( G ` ( A + s ) ) = E ) -> -. ( A + s ) = A )
195	193, 194	condan 811	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( A + s ) = A ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) = E )
196	140, 189, 149, 192, 108, 195	limcco 22927	. . . 4 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) lim CC 0 ) )
197	110	div1d 10397	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) / 1 ) = ( G ` ( A + s ) ) )
198	56, 123	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D N ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
199	198	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( RR _D N ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) )
200	199	fveq1d 5881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( RR _D N ) ` s ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) ` s ) )
201		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) )
202	201	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( G ` ( A + s ) ) e. RR ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) ` s ) = ( G ` ( A + s ) ) )
203	27, 75, 202	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) ` s ) = ( G ` ( A + s ) ) )
204	200, 203	eqtr2d 2506	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) = ( ( RR _D N ) ` s ) )
205	131	fveq1d 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( RR _D D ) ` s ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) )
206	205	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( RR _D D ) ` s ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) )
207	181	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ 1 e. RR ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) = 1 )
208	27, 76, 207	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> 1 ) ` s ) = 1 )
209	206, 208	eqtr2d 2506	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> 1 = ( ( RR _D D ) ` s ) )
210	204, 209	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( G ` ( A + s ) ) / 1 ) = ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) )
211	197, 210	eqtr3d 2507	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( G ` ( A + s ) ) = ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) )
212	211	mpteq2dva 4482	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) )
213	212	oveq1d 6323	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( G ` ( A + s ) ) ) lim CC 0 ) = ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
214	196, 213	eleqtrd 2551	. . 3 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
215	1, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214	lhop1 23045	. 2 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
216	52	fvmpt2 5972	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) e. RR ) -> ( N ` s ) = ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
217	27, 51, 216	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( N ` s ) = ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) )
218	54	fvmpt2 5972	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( D ` s ) = s )
219	27, 27, 218	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( D ` s ) = s )
220	217, 219	oveq12d 6326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) ) -> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) = ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) )
221	220	mpteq2dva 4482	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) ) )
222		fourierdlem61.h	. . . 4 |- H = ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( ( F ` ( A + s ) ) - Y ) / s ) )
223	221, 222	syl6eqr 2523	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) = H )
224	223	oveq1d 6323	. 2 |- ( ph -> ( ( s e. ( 0 (,) ( B - A ) ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) lim CC 0 ) = ( H lim CC 0 ) )
225	215, 224	eleqtrd 2551	1 |- ( ph -> E e. ( H lim CC 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   _I cid 4749   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   RR*cxr 9692   < clt 9693   - cmin 9880   / cdiv 10291   (,)cioo 11660   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂ_fldccnfld 19047   lim CC climc 22896   _D cdv 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  fourierdlem75  38157