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Theorem fourierdlem61 32153
Description: Given a differentiable function  F, with finite limit of the derivative at  A the derived function  H has a limit at  0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem61.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem61.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem61.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem61.f  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
fourierdlem61.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  A ) )
fourierdlem61.g  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
fourierdlem61.domg  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
fourierdlem61.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  A ) )
fourierdlem61.h  |-  H  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
fourierdlem61.n  |-  N  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
) )
fourierdlem61.d  |-  D  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  s )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem61  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    D, s    E, s    F, s    G, s    N, s    Y, s    ph, s
Allowed substitution hint:    H( s)

Proof of Theorem fourierdlem61
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 9614 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2 fourierdlem61.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 fourierdlem61.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
42, 3resubcld 10008 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
54rexrd 9660 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR* )
6 fourierdlem61.altb . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
73, 2posdifd 10160 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
86, 7mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
9 fourierdlem61.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
113rexrd 9660 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  e.  RR* )
132rexrd 9660 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  B  e.  RR* )
153adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  e.  RR )
16 elioore 11584 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  ->  s  e.  RR )
1716adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  e.  RR )
1815, 17readdcld 9640 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  e.  RR )
193recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2019addid1d 9797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  +  0 )  =  A )
2120eqcomd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( A  +  0 ) )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  =  ( A  + 
0 ) )
23 0red 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  e.  RR )
24 0xr 9657 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  e.  RR* )
265adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR* )
27 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )
28 ioogtlb 31731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR*  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  <  s )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  <  s )
3023, 17, 15, 29ltadd2dd 9758 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  0 )  <  ( A  +  s ) )
3122, 30eqbrtrd 4476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  <  ( A  +  s ) )
324adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
33 iooltub 31751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR*  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  <  ( B  -  A
) )
3425, 26, 27, 33syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  <  ( B  -  A
) )
3517, 32, 15, 34ltadd2dd 9758 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  <  ( A  +  ( B  -  A ) ) )
362recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3719, 36pncan3d 9953 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
3837adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
3935, 38breqtrd 4480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  <  B )
4012, 14, 18, 31, 39eliood 31734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  e.  ( A (,) B
) )
4110, 40ffvelrnd 6033 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( F `  ( A  +  s ) )  e.  RR )
42 ioossre 11611 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  RR
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
44 ax-resscn 9566 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
4543, 44syl6ss 3511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
46 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4746, 13, 3, 6lptioo1cn 31855 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A (,) B ) ) )
48 fourierdlem61.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  A ) )
499, 45, 47, 48limcrecl 31838 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
5049adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  Y  e.  RR )
5141, 50resubcld 10008 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( F `  ( A  +  s )
)  -  Y )  e.  RR )
52 fourierdlem61.n . . . 4  |-  N  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
) )
5351, 52fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  N : ( 0 (,) ( B  -  A ) ) --> RR )
54 fourierdlem61.d . . . 4  |-  D  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  s )
5517, 54fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( 0 (,) ( B  -  A ) ) --> RR )
5652oveq2i 6307 . . . . . 6  |-  ( RR 
_D  N )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) )
5756a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) ) ) )
5857dmeqd 5215 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  dom  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) ) )
59 reelprrecn 9601 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
6141recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( F `  ( A  +  s ) )  e.  CC )
62 dvfre 22480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
639, 43, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
64 fourierdlem61.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  =  ( RR 
_D  F ) )
6665feq1d 5723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G : dom  ( RR  _D  F
) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR ) )
6763, 66mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
6867adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
6965eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  G )
7069dmeqd 5215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  dom  G )
71 fourierdlem61.domg . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
7270, 71eqtr2d 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =  dom  ( RR  _D  F ) )
7372adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A (,) B )  =  dom  ( RR  _D  F ) )
7440, 73eleqtrd 2547 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
7568, 74ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  e.  RR )
76 1red 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  1  e.  RR )
779ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7877recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
7972feq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G : ( A (,) B ) --> RR  <->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR ) )
8067, 79mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
8180ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
8219adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  e.  CC )
8319adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
84 0red 9614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
8560, 19dvmptc 22487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  A ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
86 ioossre 11611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  C_  RR
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  C_  RR )
8846tgioo2 21434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
89 iooretop 21399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
9160, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90dvmptres 22492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  A ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  0 ) )
9217recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  e.  CC )
93 recn 9599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
9493adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
95 1red 9628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
9660dvmptid 22486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
9760, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90dvmptres 22492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) )
9860, 82, 23, 91, 92, 76, 97dvmptadd 22489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( 0  +  1 ) ) )
99 0p1e1 10668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
10099mpteq2i 4540 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( 0  +  1 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )
10198, 100syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) )
1029feqmptd 5926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
103102eqcomd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  =  F )
104103oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( RR  _D  F ) )
10580feqmptd 5926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `
 x ) ) )
106104, 69, 1053eqtrd 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) )
107 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  +  s )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( A  +  s
) ) )
108 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  +  s )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
10960, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108dvmptco 22501 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( F `  ( A  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( G `  ( A  +  s )
)  x.  1 ) ) )
11075recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  e.  CC )
111110mulid1d 9630 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  x.  1 )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
112111mpteq2dva 4543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( G `  ( A  +  s
) )  x.  1 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
113109, 112eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( F `  ( A  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
114 limccl 22405 . . . . . . . . 9  |-  ( F lim
CC  A )  C_  CC
115114, 48sseldi 3497 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
116115adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  Y  e.  CC )
117115adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  Y  e.  CC )
11860, 115dvmptc 22487 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  Y ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
11960, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90dvmptres 22492 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  Y ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  0 ) )
12060, 61, 75, 113, 116, 25, 119dvmptsub 22496 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( G `  ( A  +  s )
)  -  0 ) ) )
121110subid1d 9939 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  -  0 )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
122121mpteq2dva 4543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( G `  ( A  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
123120, 122eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
124123dmeqd 5215 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
) ) )  =  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) ) )
12575ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ( G `  ( A  +  s )
)  e.  RR )
126 dmmptg 5510 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ( G `  ( A  +  s ) )  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
127125, 126syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )
12858, 124, 1273eqtrd 2502 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
12954a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  s ) )
130129oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  s ) ) )
131130, 97eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  1 ) )
132131dmeqd 5215 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 ) )
13376ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 1  e.  RR )
134 dmmptg 5510 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 1  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
135133, 134syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )  =  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )
136132, 135eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
137 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( F `
 ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( F `  ( A  +  s
) ) )
138 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  Y )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  Y )
139 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s ) )  -  Y ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) )
14040adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =/= 
A ) )  -> 
( A  +  s )  e.  ( A (,) B ) )
141 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  A )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  A )
142 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  s )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  s )
143 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( A  +  s ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( A  +  s ) )
14487, 44syl6ss 3511 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  C_  CC )
1451recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
146141, 144, 19, 145constlimc 31833 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  A ) lim CC  0 ) )
147144, 142, 145idlimc 31835 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  s ) lim CC  0 ) )
148141, 142, 143, 82, 92, 146, 147addlimc 31857 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  0 )  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) lim CC  0 ) )
14921, 148eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) lim CC  0 ) )
150102oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  A
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  A ) )
15148, 150eleqtrd 2547 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  A ) )
152 simplrr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( F `  ( A  +  s ) )  =  Y )  -> 
( A  +  s )  =  A )
15315, 31gtned 9737 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  =/=  A )
154153neneqd 2659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  -.  ( A  +  s
)  =  A )
155154adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =  A ) )  ->  -.  ( A  +  s )  =  A )
156155adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( F `  ( A  +  s ) )  =  Y )  ->  -.  ( A  +  s )  =  A )
157152, 156condan 794 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =  A ) )  -> 
( F `  ( A  +  s )
)  =  Y )
158140, 78, 149, 151, 107, 157limcco 22423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( F `  ( A  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
159138, 144, 115, 145constlimc 31833 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  Y ) lim CC  0 ) )
160137, 138, 139, 61, 116, 158, 159sublimc 31861 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 ) )
161115subidd 9938 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  =  0 )
16252eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s ) )  -  Y ) )  =  N
163162oveq1i 6306 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 )
164163a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 ) )
165160, 161, 1643eltr3d 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( N lim
CC  0 ) )
166144, 54, 145idlimc 31835 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( D lim
CC  0 ) )
167 lbioo 11585 . . . . 5  |-  -.  0  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)
168167a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
169 mptresid 5338 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  s )  =  (  _I  |`  (
0 (,) ( B  -  A ) ) )
170129, 169syl6eq 2514 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  =  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A )
) ) )
171170rneqd 5240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  D  =  ran  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ) )
172 rnresi 5360 . . . . 5  |-  ran  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A
) ) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A )
)
173171, 172syl6req 2515 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  =  ran  D
)
174168, 173neleqtrd 2569 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  D )
175 0ne1 10624 . . . . . 6  |-  0  =/=  1
176175neii 2656 . . . . 5  |-  -.  0  =  1
177 elsncg 4055 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  e.  { 1 }  <->  0  =  1 ) )
1781, 177syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  {
1 }  <->  0  = 
1 ) )
179176, 178mtbiri 303 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  {
1 } )
180131rneqd 5240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( RR  _D  D )  =  ran  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 ) )
181 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  1 )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )
18224a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
183 ioon0 11580 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR* )  ->  (
( 0 (,) ( B  -  A )
)  =/=  (/)  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
184182, 5, 183syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0 (,) ( B  -  A
) )  =/=  (/)  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
1858, 184mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  =/=  (/) )
186181, 76, 185rnmptc 31652 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )  =  { 1 } )
187180, 186eqtr2d 2499 . . . 4  |-  ( ph  ->  { 1 }  =  ran  ( RR  _D  D
) )
188179, 187neleqtrd 2569 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  D
) )
18981recnd 9639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
190 fourierdlem61.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  A ) )
191105oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  A
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  A ) )
192190, 191eleqtrd 2547 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  A ) )
193 simplrr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( G `  ( A  +  s ) )  =  E )  -> 
( A  +  s )  =  A )
194155adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( G `  ( A  +  s ) )  =  E )  ->  -.  ( A  +  s )  =  A )
195193, 194condan 794 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =  A ) )  -> 
( G `  ( A  +  s )
)  =  E )
196140, 189, 149, 192, 108, 195limcco 22423 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
197110div1d 10333 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  /  1 )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
19856, 123syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) ) )
199198adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( RR  _D  N )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) ) )
200199fveq1d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( RR  _D  N
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) ) `
 s ) )
201 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) )
202201fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( G `  ( A  +  s ) )  e.  RR )  -> 
( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) ) `  s )  =  ( G `  ( A  +  s ) ) )
20327, 75, 202syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) ) `  s
)  =  ( G `
 ( A  +  s ) ) )
204200, 203eqtr2d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  =  ( ( RR 
_D  N ) `  s ) )
205131fveq1d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  D ) `  s
)  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) `  s ) )
206205adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( RR  _D  D
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  1 ) `
 s ) )
207181fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 ) `  s )  =  1 )
20827, 76, 207syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 ) `  s
)  =  1 )
209206, 208eqtr2d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  1  =  ( ( RR 
_D  D ) `  s ) )
210204, 209oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  /  1 )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
211197, 210eqtr3d 2500 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
212211mpteq2dva 4543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) )
213212oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  N ) `  s )  /  (
( RR  _D  D
) `  s )
) ) lim CC  0 ) )
214196, 213eleqtrd 2547 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
2151, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214lhop1 22541 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( N `  s
)  /  ( D `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
21652fvmpt2 5964 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
)  e.  RR )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) )
21727, 51, 216syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) )
21854fvmpt2 5964 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )  ->  ( D `  s )  =  s )
21927, 27, 218syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( D `  s )  =  s )
220217, 219oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( N `  s
)  /  ( D `
 s ) )  =  ( ( ( F `  ( A  +  s ) )  -  Y )  / 
s ) )
221220mpteq2dva 4543 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
)  /  s ) ) )
222 fourierdlem61.h . . . 4  |-  H  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
223221, 222syl6eqr 2516 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  H )
224223oveq1d 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( N `
 s )  / 
( D `  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( H lim CC  0 ) )
225215, 224eleqtrd 2547 1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   {cpr 4034   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    _I cid 4799   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645    - cmin 9824    / cdiv 10227   (,)cioo 11554   TopOpenctopn 14839   topGenctg 14855  ℂfldccnfld 18547   lim CC climc 22392    _D cdv 22393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397
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