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Theorem fourierdlem61 38025
Description: Given a differentiable function  F, with finite limit of the derivative at  A the derived function  H has a limit at  0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem61.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem61.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem61.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem61.f  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
fourierdlem61.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  A ) )
fourierdlem61.g  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
fourierdlem61.domg  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
fourierdlem61.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  A ) )
fourierdlem61.h  |-  H  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
fourierdlem61.n  |-  N  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
) )
fourierdlem61.d  |-  D  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  s )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem61  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    D, s    E, s    F, s    G, s    N, s    Y, s    ph, s
Allowed substitution hint:    H( s)

Proof of Theorem fourierdlem61
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 9641 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2 fourierdlem61.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 fourierdlem61.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
42, 3resubcld 10044 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
54rexrd 9687 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR* )
6 fourierdlem61.altb . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
73, 2posdifd 10197 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
86, 7mpbid 214 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
9 fourierdlem61.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
109adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
113rexrd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1211adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  e.  RR* )
132rexrd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
1413adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  B  e.  RR* )
153adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  e.  RR )
16 elioore 11663 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  ->  s  e.  RR )
1716adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  e.  RR )
1815, 17readdcld 9667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  e.  RR )
193recnd 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2019addid1d 9830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  +  0 )  =  A )
2120eqcomd 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( A  +  0 ) )
2221adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  =  ( A  + 
0 ) )
23 0red 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  e.  RR )
24 0xr 9684 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  e.  RR* )
265adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR* )
27 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )
28 ioogtlb 37586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR*  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  <  s )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  0  <  s )
3023, 17, 15, 29ltadd2dd 9791 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  0 )  <  ( A  +  s ) )
3122, 30eqbrtrd 4422 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  <  ( A  +  s ) )
324adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
33 iooltub 37604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR*  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  <  ( B  -  A
) )
3425, 26, 27, 33syl3anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  <  ( B  -  A
) )
3517, 32, 15, 34ltadd2dd 9791 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  <  ( A  +  ( B  -  A ) ) )
362recnd 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3719, 36pncan3d 9986 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
3837adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
3935, 38breqtrd 4426 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  <  B )
4012, 14, 18, 31, 39eliood 37589 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  e.  ( A (,) B
) )
4110, 40ffvelrnd 6021 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( F `  ( A  +  s ) )  e.  RR )
42 ioossre 11693 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  RR
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
44 ax-resscn 9593 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
4543, 44syl6ss 3443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
46 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4746, 13, 3, 6lptioo1cn 37721 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A (,) B ) ) )
48 fourierdlem61.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  A ) )
499, 45, 47, 48limcrecl 37703 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
5049adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  Y  e.  RR )
5141, 50resubcld 10044 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( F `  ( A  +  s )
)  -  Y )  e.  RR )
52 fourierdlem61.n . . . 4  |-  N  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
) )
5351, 52fmptd 6044 . . 3  |-  ( ph  ->  N : ( 0 (,) ( B  -  A ) ) --> RR )
54 fourierdlem61.d . . . 4  |-  D  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  s )
5517, 54fmptd 6044 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( 0 (,) ( B  -  A ) ) --> RR )
5652oveq2i 6299 . . . . . 6  |-  ( RR 
_D  N )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) )
5756a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) ) ) )
5857dmeqd 5036 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  dom  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) ) )
59 reelprrecn 9628 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
6141recnd 9666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( F `  ( A  +  s ) )  e.  CC )
62 dvfre 22898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
639, 43, 62syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
64 fourierdlem61.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  =  ( RR 
_D  F ) )
6665feq1d 5712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G : dom  ( RR  _D  F
) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR ) )
6763, 66mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
6867adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
6965eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  G )
7069dmeqd 5036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  dom  G )
71 fourierdlem61.domg . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
7270, 71eqtr2d 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =  dom  ( RR  _D  F ) )
7372adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A (,) B )  =  dom  ( RR  _D  F ) )
7440, 73eleqtrd 2530 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
7568, 74ffvelrnd 6021 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  e.  RR )
76 1red 9655 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  1  e.  RR )
779ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7877recnd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
7972feq2d 5713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G : ( A (,) B ) --> RR  <->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR ) )
8067, 79mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
8180ffvelrnda 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
8219adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  A  e.  CC )
8319adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
84 0red 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
8560, 19dvmptc 22905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  A ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
86 ioossre 11693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  C_  RR
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  C_  RR )
8846tgioo2 21814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
89 iooretop 21779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
9160, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90dvmptres 22910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  A ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  0 ) )
9217recnd 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  s  e.  CC )
93 recn 9626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
9493adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
95 1red 9655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
9660dvmptid 22904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
9760, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90dvmptres 22910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) )
9860, 82, 23, 91, 92, 76, 97dvmptadd 22907 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( 0  +  1 ) ) )
99 0p1e1 10718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
10099mpteq2i 4485 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( 0  +  1 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )
10198, 100syl6eq 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) )
1029feqmptd 5916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
103102eqcomd 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  =  F )
104103oveq2d 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( RR  _D  F ) )
10580feqmptd 5916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `
 x ) ) )
106104, 69, 1053eqtrd 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) )
107 fveq2 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  +  s )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( A  +  s
) ) )
108 fveq2 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  +  s )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
10960, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108dvmptco 22919 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( F `  ( A  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( G `  ( A  +  s )
)  x.  1 ) ) )
11075recnd 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  e.  CC )
111110mulid1d 9657 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  x.  1 )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
112111mpteq2dva 4488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( G `  ( A  +  s
) )  x.  1 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
113109, 112eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( F `  ( A  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
114 limccl 22823 . . . . . . . . 9  |-  ( F lim
CC  A )  C_  CC
115114, 48sseldi 3429 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
116115adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  Y  e.  CC )
117115adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  Y  e.  CC )
11860, 115dvmptc 22905 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  Y ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
11960, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90dvmptres 22910 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  Y ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  0 ) )
12060, 61, 75, 113, 116, 25, 119dvmptsub 22914 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( G `  ( A  +  s )
)  -  0 ) ) )
121110subid1d 9972 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  -  0 )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
122121mpteq2dva 4488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( G `  ( A  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
123120, 122eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) )
124123dmeqd 5036 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
) ) )  =  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) ) )
12575ralrimiva 2801 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ( G `  ( A  +  s )
)  e.  RR )
126 dmmptg 5331 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ( G `  ( A  +  s ) )  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
127125, 126syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )
12858, 124, 1273eqtrd 2488 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
12954a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  s ) )
130129oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  s ) ) )
131130, 97eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  1 ) )
132131dmeqd 5036 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 ) )
13376ralrimiva 2801 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 1  e.  RR )
134 dmmptg 5331 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 1  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
135133, 134syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )  =  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )
136132, 135eqtrd 2484 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
137 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( F `
 ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( F `  ( A  +  s
) ) )
138 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  Y )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  Y )
139 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s ) )  -  Y ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) )
14040adantrr 722 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =/= 
A ) )  -> 
( A  +  s )  e.  ( A (,) B ) )
141 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  A )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  A )
142 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  s )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  s )
143 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( A  +  s ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( A  +  s ) )
14487, 44syl6ss 3443 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  C_  CC )
1451recnd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
146141, 144, 19, 145constlimc 37698 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  A ) lim CC  0 ) )
147144, 142, 145idlimc 37700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  s ) lim CC  0 ) )
148141, 142, 143, 82, 92, 146, 147addlimc 37723 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  0 )  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) lim CC  0 ) )
14921, 148eqeltrd 2528 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( A  +  s ) ) lim CC  0 ) )
150102oveq1d 6303 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  A
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  A ) )
15148, 150eleqtrd 2530 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  A ) )
152 simplrr 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( F `  ( A  +  s ) )  =  Y )  -> 
( A  +  s )  =  A )
15315, 31gtned 9767 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( A  +  s )  =/=  A )
154153neneqd 2628 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  -.  ( A  +  s
)  =  A )
155154adantrr 722 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =  A ) )  ->  -.  ( A  +  s )  =  A )
156155adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( F `  ( A  +  s ) )  =  Y )  ->  -.  ( A  +  s )  =  A )
157152, 156condan 802 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =  A ) )  -> 
( F `  ( A  +  s )
)  =  Y )
158140, 78, 149, 151, 107, 157limcco 22841 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( F `  ( A  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
159138, 144, 115, 145constlimc 37698 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  Y ) lim CC  0 ) )
160137, 138, 139, 61, 116, 158, 159sublimc 37727 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 ) )
161115subidd 9971 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  =  0 )
16252eqcomi 2459 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s ) )  -  Y ) )  =  N
163162oveq1i 6298 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 )
164163a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 ) )
165160, 161, 1643eltr3d 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( N lim
CC  0 ) )
166144, 54, 145idlimc 37700 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( D lim
CC  0 ) )
167 lbioo 11664 . . . . 5  |-  -.  0  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)
168167a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )
169 mptresid 5158 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  s )  =  (  _I  |`  (
0 (,) ( B  -  A ) ) )
170129, 169syl6eq 2500 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  =  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A )
) ) )
171170rneqd 5061 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  D  =  ran  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) ) )
172 rnresi 5180 . . . . 5  |-  ran  (  _I  |`  ( 0 (,) ( B  -  A
) ) )  =  ( 0 (,) ( B  -  A )
)
173171, 172syl6req 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  =  ran  D
)
174168, 173neleqtrd 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  D )
175 0ne1 10674 . . . . . 6  |-  0  =/=  1
176175neii 2625 . . . . 5  |-  -.  0  =  1
177 elsncg 3990 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  e.  { 1 }  <->  0  =  1 ) )
1781, 177syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  {
1 }  <->  0  = 
1 ) )
179176, 178mtbiri 305 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  {
1 } )
180131rneqd 5061 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( RR  _D  D )  =  ran  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 ) )
181 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  1 )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )
18224a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
183 ioon0 11659 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( B  -  A )  e.  RR* )  ->  (
( 0 (,) ( B  -  A )
)  =/=  (/)  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
184182, 5, 183syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0 (,) ( B  -  A
) )  =/=  (/)  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
1858, 184mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  =/=  (/) )
186181, 76, 185rnmptc 37431 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 )  =  { 1 } )
187180, 186eqtr2d 2485 . . . 4  |-  ( ph  ->  { 1 }  =  ran  ( RR  _D  D
) )
188179, 187neleqtrd 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  D
) )
18981recnd 9666 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
190 fourierdlem61.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  A ) )
191105oveq1d 6303 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  A
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  A ) )
192190, 191eleqtrd 2530 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  A ) )
193 simplrr 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( G `  ( A  +  s ) )  =  E )  -> 
( A  +  s )  =  A )
194155adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( A  +  s
)  =  A ) )  /\  -.  ( G `  ( A  +  s ) )  =  E )  ->  -.  ( A  +  s )  =  A )
195193, 194condan 802 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  /\  ( A  +  s )  =  A ) )  -> 
( G `  ( A  +  s )
)  =  E )
196140, 189, 149, 192, 108, 195limcco 22841 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( G `  ( A  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
197110div1d 10372 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  /  1 )  =  ( G `  ( A  +  s
) ) )
19856, 123syl5eq 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) ) )
199198adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( RR  _D  N )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) ) )
200199fveq1d 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( RR  _D  N
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) ) `
 s ) )
201 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  ( G `
 ( A  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) )
202201fvmpt2 5955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( G `  ( A  +  s ) )  e.  RR )  -> 
( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) ) `  s )  =  ( G `  ( A  +  s ) ) )
20327, 75, 202syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) ) `  s
)  =  ( G `
 ( A  +  s ) ) )
204200, 203eqtr2d 2485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  =  ( ( RR 
_D  N ) `  s ) )
205131fveq1d 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  D ) `  s
)  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  1 ) `  s ) )
206205adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( RR  _D  D
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A
) )  |->  1 ) `
 s ) )
207181fvmpt2 5955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  1 ) `  s )  =  1 )
20827, 76, 207syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  1 ) `  s
)  =  1 )
209206, 208eqtr2d 2485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  1  =  ( ( RR 
_D  D ) `  s ) )
210204, 209oveq12d 6306 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( G `  ( A  +  s )
)  /  1 )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
211197, 210eqtr3d 2486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( G `  ( A  +  s ) )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
212211mpteq2dva 4488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( G `  ( A  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) )
213212oveq1d 6303 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( G `  ( A  +  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  N ) `  s )  /  (
( RR  _D  D
) `  s )
) ) lim CC  0 ) )
214196, 213eleqtrd 2530 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
2151, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214lhop1 22959 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( N `  s
)  /  ( D `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
21652fvmpt2 5955 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
)  e.  RR )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `  ( A  +  s )
)  -  Y ) )
21727, 51, 216syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y ) )
21854fvmpt2 5955 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) )  ->  ( D `  s )  =  s )
21927, 27, 218syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  ( D `  s )  =  s )
220217, 219oveq12d 6306 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
) )  ->  (
( N `  s
)  /  ( D `
 s ) )  =  ( ( ( F `  ( A  +  s ) )  -  Y )  / 
s ) )
221220mpteq2dva 4488 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) )  |->  ( ( ( F `  ( A  +  s
) )  -  Y
)  /  s ) ) )
222 fourierdlem61.h . . . 4  |-  H  =  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( ( F `
 ( A  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
223221, 222syl6eqr 2502 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A ) ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  H )
224223oveq1d 6303 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( 0 (,) ( B  -  A )
)  |->  ( ( N `
 s )  / 
( D `  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( H lim CC  0 ) )
225215, 224eleqtrd 2530 1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736    C_ wss 3403   (/)c0 3730   {csn 3967   {cpr 3969   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460    _I cid 4743   dom cdm 4833   ran crn 4834    |` cres 4835   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541   RR*cxr 9671    < clt 9672    - cmin 9857    / cdiv 10266   (,)cioo 11632   TopOpenctopn 15313   topGenctg 15329  ℂfldccnfld 18963   lim CC climc 22810    _D cdv 22811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815
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