Theorem fourierdlem60 38067

Description: Given a differentiable function F, with finite limit of the derivative at A the derived function H has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem60.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem60.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem60.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem60.f	|- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
fourierdlem60.y	|- ( ph -> Y e. ( F lim CC B ) )
fourierdlem60.g	|- G = ( RR _D F )
fourierdlem60.domg	|- ( ph -> dom G = ( A (,) B ) )
fourierdlem60.e	|- ( ph -> E e. ( G lim CC B ) )
fourierdlem60.h	|- H = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) / s ) )
fourierdlem60.n	|- N = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) )
fourierdlem60.d	|- D = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem60	|- ( ph -> E e. ( H lim CC 0 ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   D, s   E, s   F, s   G, s   N, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hint:   H( s)

Proof of Theorem fourierdlem60

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem60.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		fourierdlem60.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3	1, 2	resubcld 10074	. . . 4 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )
4	3	rexrd 9715	. . 3 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR* )
5		0red 9669	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR )
6		fourierdlem60.altb	. . . 4 |- ( ph -> A < B )
7	1, 2	sublt0d 10265	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A - B ) < 0 <-> A < B ) )
8	6, 7	mpbird 240	. . 3 |- ( ph -> ( A - B ) < 0 )
9		fourierdlem60.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
10	9	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
11	1	rexrd 9715	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
12	11	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> A e. RR* )
13	2	rexrd 9715	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
14	13	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> B e. RR* )
15	2	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> B e. RR )
16		elioore 11694	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) -> s e. RR )
17	16	adantl 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> s e. RR )
18	15, 17	readdcld 9695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) e. RR )
19	2	recnd 9694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
20	1	recnd 9694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
21	19, 20	pncan3d 10014	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B + ( A - B ) ) = A )
22	21	eqcomd 2467	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A = ( B + ( A - B ) ) )
23	22	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> A = ( B + ( A - B ) ) )
24	3	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( A - B ) e. RR )
25	4	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( A - B ) e. RR* )
26		0xr 9712	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> 0 e. RR* )
28		simpr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) )
29		ioogtlb 37629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A - B ) e. RR* /\ 0 e. RR* /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( A - B ) < s )
30	25, 27, 28, 29	syl3anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( A - B ) < s )
31	24, 17, 15, 30	ltadd2dd 9819	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + ( A - B ) ) < ( B + s ) )
32	23, 31	eqbrtrd 4436	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> A < ( B + s ) )
33		0red 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> 0 e. RR )
34		iooltub 37647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A - B ) e. RR* /\ 0 e. RR* /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> s < 0 )
35	25, 27, 28, 34	syl3anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> s < 0 )
36	17, 33, 15, 35	ltadd2dd 9819	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) < ( B + 0 ) )
37	19	addid1d 9858	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B + 0 ) = B )
38	37	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + 0 ) = B )
39	36, 38	breqtrd 4440	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) < B )
40	12, 14, 18, 32, 39	eliood 37632	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) e. ( A (,) B ) )
41	10, 40	ffvelrnd 6045	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( F ` ( B + s ) ) e. RR )
42		ioossre 11724	. . . . . . . . 9 |- ( A (,) B ) C_ RR
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
44		ax-resscn 9621	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
45	43, 44	syl6ss 3455	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
46		eqid 2461	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
47	46, 11, 2, 6	lptioo2cn 37763	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A (,) B ) ) )
48		fourierdlem60.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( F lim CC B ) )
49	9, 45, 47, 48	limcrecl 37746	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. RR )
50	49	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> Y e. RR )
51	41, 50	resubcld 10074	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) e. RR )
52		fourierdlem60.n	. . . 4 |- N = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) )
53	51, 52	fmptd 6068	. . 3 |- ( ph -> N : ( ( A - B ) (,) 0 ) --> RR )
54		fourierdlem60.d	. . . 4 |- D = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s )
55	17, 54	fmptd 6068	. . 3 |- ( ph -> D : ( ( A - B ) (,) 0 ) --> RR )
56	52	oveq2i 6325	. . . . . 6 |- ( RR _D N ) = ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) )
57	56	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D N ) = ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) ) )
58	57	dmeqd 5055	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D N ) = dom ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) ) )
59		reelprrecn 9656	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
61	41	recnd 9694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( F ` ( B + s ) ) e. CC )
62		dvfre 22953	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( A (,) B ) --> RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
63	9, 43, 62	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
64		fourierdlem60.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( RR _D F )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G = ( RR _D F ) )
66	65	feq1d 5735	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G : dom ( RR _D F ) --> RR <-> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR ) )
67	63, 66	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
68	67	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
69	65	eqcomd 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D F ) = G )
70	69	dmeqd 5055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = dom G )
71		fourierdlem60.domg	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G = ( A (,) B ) )
72	70, 71	eqtr2d 2496	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) = dom ( RR _D F ) )
73	72	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( A (,) B ) = dom ( RR _D F ) )
74	40, 73	eleqtrd 2541	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) e. dom ( RR _D F ) )
75	68, 74	ffvelrnd 6045	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( G ` ( B + s ) ) e. RR )
76		1red 9683	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> 1 e. RR )
77	9	ffvelrnda 6044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
78	77	recnd 9694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
79	72	feq2d 5736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G : ( A (,) B ) --> RR <-> G : dom ( RR _D F ) --> RR ) )
80	67, 79	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> RR )
81	80	ffvelrnda 6044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
82	19	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> B e. CC )
83	19	adantr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> B e. CC )
84		0red 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 0 e. RR )
85	60, 19	dvmptc 22960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> B ) ) = ( s e. RR |-> 0 ) )
86		ioossre 11724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A - B ) (,) 0 ) C_ RR
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A - B ) (,) 0 ) C_ RR )
88	46	tgioo2 21869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
89		iooretop 21834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A - B ) (,) 0 ) e. ( topGen ` ran (,) )
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A - B ) (,) 0 ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
91	60, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> B ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 0 ) )
92	17	recnd 9694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> s e. CC )
93		recn 9654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> s e. CC )
94	93	adantl 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> s e. CC )
95		1red 9683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 1 e. RR )
96	60	dvmptid 22959	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> s ) ) = ( s e. RR |-> 1 ) )
97	60, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) )
98	60, 82, 33, 91, 92, 76, 97	dvmptadd 22962	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( 0 + 1 ) ) )
99		0p1e1 10748	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
100	99	mpteq2i 4499	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( 0 + 1 ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 )
101	98, 100	syl6eq 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) )
102	9	feqmptd 5940	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) )
103	102	eqcomd 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) = F )
104	103	oveq2d 6330	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( RR _D F ) )
105	80	feqmptd 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
106	104, 69, 105	3eqtrd 2499	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
107		fveq2 5887	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( B + s ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( B + s ) ) )
108		fveq2 5887	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( B + s ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( B + s ) ) )
109	60, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108	dvmptco 22974	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( F ` ( B + s ) ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( G ` ( B + s ) ) x. 1 ) ) )
110	75	recnd 9694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( G ` ( B + s ) ) e. CC )
111	110	mulid1d 9685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( G ` ( B + s ) ) x. 1 ) = ( G ` ( B + s ) ) )
112	111	mpteq2dva 4502	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( G ` ( B + s ) ) x. 1 ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
113	109, 112	eqtrd 2495	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( F ` ( B + s ) ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
114		limccl 22878	. . . . . . . . 9 |- ( F lim CC B ) C_ CC
115	114, 48	sseldi 3441	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CC )
116	115	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> Y e. CC )
117	115	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> Y e. CC )
118	60, 115	dvmptc 22960	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> Y ) ) = ( s e. RR |-> 0 ) )
119	60, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22965	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> Y ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 0 ) )
120	60, 61, 75, 113, 116, 27, 119	dvmptsub 22969	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( G ` ( B + s ) ) - 0 ) ) )
121	110	subid1d 10000	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( G ` ( B + s ) ) - 0 ) = ( G ` ( B + s ) ) )
122	121	mpteq2dva 4502	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( G ` ( B + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
123	120, 122	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
124	123	dmeqd 5055	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) ) = dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
125	75	ralrimiva 2813	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ( G ` ( B + s ) ) e. RR )
126		dmmptg 5350	. . . . 5 |- ( A. s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ( G ` ( B + s ) ) e. RR -> dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
127	125, 126	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
128	58, 124, 127	3eqtrd 2499	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D N ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
129	54	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> D = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) )
130	129	oveq2d 6330	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D D ) = ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) ) )
131	130, 97	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D D ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) )
132	131	dmeqd 5055	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D D ) = dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) )
133	76	ralrimiva 2813	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) 1 e. RR )
134		dmmptg 5350	. . . . 5 |- ( A. s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) 1 e. RR -> dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
135	133, 134	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
136	132, 135	eqtrd 2495	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D D ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
137		eqid 2461	. . . . 5 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( F ` ( B + s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( F ` ( B + s ) ) )
138		eqid 2461	. . . . 5 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> Y ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> Y )
139		eqid 2461	. . . . 5 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) )
140	40	adantrr 728	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) =/= B ) ) -> ( B + s ) e. ( A (,) B ) )
141		eqid 2461	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> B ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> B )
142		eqid 2461	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s )
143		eqid 2461	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) )
144	87, 44	syl6ss 3455	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A - B ) (,) 0 ) C_ CC )
145	5	recnd 9694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. CC )
146	141, 144, 19, 145	constlimc 37741	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> B ) lim CC 0 ) )
147	144, 142, 145	idlimc 37743	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) lim CC 0 ) )
148	141, 142, 143, 82, 92, 146, 147	addlimc 37766	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B + 0 ) e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) ) lim CC 0 ) )
149	37, 148	eqeltrrd 2540	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) ) lim CC 0 ) )
150	102	oveq1d 6329	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F lim CC B ) = ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) lim CC B ) )
151	48, 150	eleqtrd 2541	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) lim CC B ) )
152		simplrr 776	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) /\ -. ( F ` ( B + s ) ) = Y ) -> ( B + s ) = B )
153	18, 39	ltned 9796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) =/= B )
154	153	neneqd 2639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> -. ( B + s ) = B )
155	154	adantrr 728	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) -> -. ( B + s ) = B )
156	155	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) /\ -. ( F ` ( B + s ) ) = Y ) -> -. ( B + s ) = B )
157	152, 156	condan 808	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) -> ( F ` ( B + s ) ) = Y )
158	140, 78, 149, 151, 107, 157	limcco 22896	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( F ` ( B + s ) ) ) lim CC 0 ) )
159	138, 144, 115, 145	constlimc 37741	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> Y ) lim CC 0 ) )
160	137, 138, 139, 61, 116, 158, 159	sublimc 37770	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - Y ) e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) )
161	115	subidd 9999	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - Y ) = 0 )
162	52	eqcomi 2470	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) = N
163	162	oveq1i 6324	. . . . 5 |- ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) = ( N lim CC 0 )
164	163	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) = ( N lim CC 0 ) )
165	160, 161, 164	3eltr3d 2553	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( N lim CC 0 ) )
166	144, 54, 145	idlimc 37743	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( D lim CC 0 ) )
167		ubioo 11696	. . . . 5 |- -. 0 e. ( ( A - B ) (,) 0 )
168	167	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> -. 0 e. ( ( A - B ) (,) 0 ) )
169		mptresid 5177	. . . . . . 7 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) = ( _I |` ( ( A - B ) (,) 0 ) )
170	129, 169	syl6eq 2511	. . . . . 6 |- ( ph -> D = ( _I |` ( ( A - B ) (,) 0 ) ) )
171	170	rneqd 5080	. . . . 5 |- ( ph -> ran D = ran ( _I |` ( ( A - B ) (,) 0 ) ) )
172		rnresi 5199	. . . . 5 |- ran ( _I |` ( ( A - B ) (,) 0 ) ) = ( ( A - B ) (,) 0 )
173	171, 172	syl6req 2512	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A - B ) (,) 0 ) = ran D )
174	168, 173	neleqtrd 2560	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ran D )
175		0ne1 10704	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
176	175	neii 2636	. . . . 5 |- -. 0 = 1
177		elsncg 4002	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> ( 0 e. { 1 } <-> 0 = 1 ) )
178	5, 177	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 e. { 1 } <-> 0 = 1 ) )
179	176, 178	mtbiri 309	. . . 4 |- ( ph -> -. 0 e. { 1 } )
180	131	rneqd 5080	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( RR _D D ) = ran ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) )
181		eqid 2461	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 )
182	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR* )
183		ioon0 11690	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - B ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( ( A - B ) (,) 0 ) =/= (/) <-> ( A - B ) < 0 ) )
184	4, 182, 183	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A - B ) (,) 0 ) =/= (/) <-> ( A - B ) < 0 ) )
185	8, 184	mpbird 240	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - B ) (,) 0 ) =/= (/) )
186	181, 76, 185	rnmptc 37474	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) = { 1 } )
187	180, 186	eqtr2d 2496	. . . 4 |- ( ph -> { 1 } = ran ( RR _D D ) )
188	179, 187	neleqtrd 2560	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ran ( RR _D D ) )
189	81	recnd 9694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
190		fourierdlem60.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. ( G lim CC B ) )
191	105	oveq1d 6329	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC B ) = ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) lim CC B ) )
192	190, 191	eleqtrd 2541	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) lim CC B ) )
193		simplrr 776	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) /\ -. ( G ` ( B + s ) ) = E ) -> ( B + s ) = B )
194	155	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) /\ -. ( G ` ( B + s ) ) = E ) -> -. ( B + s ) = B )
195	193, 194	condan 808	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) -> ( G ` ( B + s ) ) = E )
196	140, 189, 149, 192, 108, 195	limcco 22896	. . . 4 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) lim CC 0 ) )
197	110	div1d 10402	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( G ` ( B + s ) ) / 1 ) = ( G ` ( B + s ) ) )
198	56, 123	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D N ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
199	198	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( RR _D N ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
200	199	fveq1d 5889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( RR _D N ) ` s ) = ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) ` s ) )
201		eqid 2461	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) )
202	201	fvmpt2 5979	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( G ` ( B + s ) ) e. RR ) -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) ` s ) = ( G ` ( B + s ) ) )
203	28, 75, 202	syl2anc 671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) ` s ) = ( G ` ( B + s ) ) )
204	200, 203	eqtr2d 2496	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( G ` ( B + s ) ) = ( ( RR _D N ) ` s ) )
205	131	fveq1d 5889	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( RR _D D ) ` s ) = ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) ` s ) )
206	205	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( RR _D D ) ` s ) = ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) ` s ) )
207	181	fvmpt2 5979	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ 1 e. RR ) -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) ` s ) = 1 )
208	28, 76, 207	syl2anc 671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) ` s ) = 1 )
209	206, 208	eqtr2d 2496	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> 1 = ( ( RR _D D ) ` s ) )
210	204, 209	oveq12d 6332	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( G ` ( B + s ) ) / 1 ) = ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) )
211	197, 210	eqtr3d 2497	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( G ` ( B + s ) ) = ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) )
212	211	mpteq2dva 4502	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) )
213	212	oveq1d 6329	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) lim CC 0 ) = ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
214	196, 213	eleqtrd 2541	. . 3 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
215	4, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214	lhop2 23015	. 2 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
216	52	fvmpt2 5979	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) e. RR ) -> ( N ` s ) = ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) )
217	28, 51, 216	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( N ` s ) = ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) )
218	54	fvmpt2 5979	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( D ` s ) = s )
219	28, 28, 218	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( D ` s ) = s )
220	217, 219	oveq12d 6332	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) = ( ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) / s ) )
221	220	mpteq2dva 4502	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) / s ) ) )
222		fourierdlem60.h	. . . 4 |- H = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) / s ) )
223	221, 222	syl6eqr 2513	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) = H )
224	223	oveq1d 6329	. 2 |- ( ph -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) lim CC 0 ) = ( H lim CC 0 ) )
225	215, 224	eleqtrd 2541	1 |- ( ph -> E e. ( H lim CC 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   =/= wne 2632   A.wral 2748   C_ wss 3415   (/)c0 3742   {csn 3979   {cpr 3981   class class class wbr 4415   |-> cmpt 4474   _I cid 4762   dom cdm 4852   ran crn 4853   |` cres 4854   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565   + caddc 9567   x. cmul 9569   RR*cxr 9699   < clt 9700   - cmin 9885   / cdiv 10296   (,)cioo 11663   TopOpenctopn 15368   topGenctg 15384  ℂ_fldccnfld 19018   lim CC climc 22865   _D cdv 22866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ioc 11668  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-rest 15369  df-topn 15370  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-prds 15394  df-xrs 15448  df-qtop 15454  df-imas 15455  df-xps 15458  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-submnd 16631  df-mulg 16724  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-cnfld 19019  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-cld 20082  df-ntr 20083  df-cls 20084  df-nei 20162  df-lp 20200  df-perf 20201  df-cn 20291  df-cnp 20292  df-haus 20379  df-cmp 20450  df-tx 20625  df-hmeo 20818  df-fil 20909  df-fm 21001  df-flim 21002  df-flf 21003  df-xms 21383  df-ms 21384  df-tms 21385  df-cncf 21958  df-limc 22869  df-dv 22870

This theorem is referenced by:  fourierdlem74  38081