Theorem fourierdlem60 37299

Description: Given a differentiable function F, with finite limit of the derivative at A the derived function H has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem60.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem60.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem60.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem60.f	|- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
fourierdlem60.y	|- ( ph -> Y e. ( F lim CC B ) )
fourierdlem60.g	|- G = ( RR _D F )
fourierdlem60.domg	|- ( ph -> dom G = ( A (,) B ) )
fourierdlem60.e	|- ( ph -> E e. ( G lim CC B ) )
fourierdlem60.h	|- H = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) / s ) )
fourierdlem60.n	|- N = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) )
fourierdlem60.d	|- D = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem60	|- ( ph -> E e. ( H lim CC 0 ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   D, s   E, s   F, s   G, s   N, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hint:   H( s)

Proof of Theorem fourierdlem60

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem60.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		fourierdlem60.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3	1, 2	resubcld 9948	. . . 4 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR )
4	3	rexrd 9593	. . 3 |- ( ph -> ( A - B ) e. RR* )
5		0red 9547	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR )
6		fourierdlem60.altb	. . . 4 |- ( ph -> A < B )
7	1, 2	sublt0d 10136	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A - B ) < 0 <-> A < B ) )
8	6, 7	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> ( A - B ) < 0 )
9		fourierdlem60.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
10	9	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
11	1	rexrd 9593	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
12	11	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> A e. RR* )
13	2	rexrd 9593	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
14	13	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> B e. RR* )
15	2	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> B e. RR )
16		elioore 11530	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) -> s e. RR )
17	16	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> s e. RR )
18	15, 17	readdcld 9573	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) e. RR )
19	2	recnd 9572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
20	1	recnd 9572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
21	19, 20	pncan3d 9890	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B + ( A - B ) ) = A )
22	21	eqcomd 2410	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A = ( B + ( A - B ) ) )
23	22	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> A = ( B + ( A - B ) ) )
24	3	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( A - B ) e. RR )
25	4	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( A - B ) e. RR* )
26		0xr 9590	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> 0 e. RR* )
28		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) )
29		ioogtlb 36878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A - B ) e. RR* /\ 0 e. RR* /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( A - B ) < s )
30	25, 27, 28, 29	syl3anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( A - B ) < s )
31	24, 17, 15, 30	ltadd2dd 9695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + ( A - B ) ) < ( B + s ) )
32	23, 31	eqbrtrd 4414	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> A < ( B + s ) )
33		0red 9547	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> 0 e. RR )
34		iooltub 36898	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A - B ) e. RR* /\ 0 e. RR* /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> s < 0 )
35	25, 27, 28, 34	syl3anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> s < 0 )
36	17, 33, 15, 35	ltadd2dd 9695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) < ( B + 0 ) )
37	19	addid1d 9734	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B + 0 ) = B )
38	37	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + 0 ) = B )
39	36, 38	breqtrd 4418	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) < B )
40	12, 14, 18, 32, 39	eliood 36881	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) e. ( A (,) B ) )
41	10, 40	ffvelrnd 5966	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( F ` ( B + s ) ) e. RR )
42		ioossre 11557	. . . . . . . . 9 |- ( A (,) B ) C_ RR
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
44		ax-resscn 9499	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
45	43, 44	syl6ss 3453	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
46		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
47	46, 11, 2, 6	lptioo2cn 37001	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A (,) B ) ) )
48		fourierdlem60.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. ( F lim CC B ) )
49	9, 45, 47, 48	limcrecl 36985	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. RR )
50	49	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> Y e. RR )
51	41, 50	resubcld 9948	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) e. RR )
52		fourierdlem60.n	. . . 4 |- N = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) )
53	51, 52	fmptd 5989	. . 3 |- ( ph -> N : ( ( A - B ) (,) 0 ) --> RR )
54		fourierdlem60.d	. . . 4 |- D = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s )
55	17, 54	fmptd 5989	. . 3 |- ( ph -> D : ( ( A - B ) (,) 0 ) --> RR )
56	52	oveq2i 6245	. . . . . 6 |- ( RR _D N ) = ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) )
57	56	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D N ) = ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) ) )
58	57	dmeqd 5147	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D N ) = dom ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) ) )
59		reelprrecn 9534	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
61	41	recnd 9572	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( F ` ( B + s ) ) e. CC )
62		dvfre 22538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( A (,) B ) --> RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
63	9, 43, 62	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
64		fourierdlem60.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( RR _D F )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G = ( RR _D F ) )
66	65	feq1d 5656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G : dom ( RR _D F ) --> RR <-> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR ) )
67	63, 66	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
68	67	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> G : dom ( RR _D F ) --> RR )
69	65	eqcomd 2410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D F ) = G )
70	69	dmeqd 5147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = dom G )
71		fourierdlem60.domg	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G = ( A (,) B ) )
72	70, 71	eqtr2d 2444	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) = dom ( RR _D F ) )
73	72	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( A (,) B ) = dom ( RR _D F ) )
74	40, 73	eleqtrd 2492	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) e. dom ( RR _D F ) )
75	68, 74	ffvelrnd 5966	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( G ` ( B + s ) ) e. RR )
76		1red 9561	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> 1 e. RR )
77	9	ffvelrnda 5965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
78	77	recnd 9572	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
79	72	feq2d 5657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G : ( A (,) B ) --> RR <-> G : dom ( RR _D F ) --> RR ) )
80	67, 79	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> RR )
81	80	ffvelrnda 5965	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
82	19	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> B e. CC )
83	19	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> B e. CC )
84		0red 9547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 0 e. RR )
85	60, 19	dvmptc 22545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> B ) ) = ( s e. RR |-> 0 ) )
86		ioossre 11557	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A - B ) (,) 0 ) C_ RR
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A - B ) (,) 0 ) C_ RR )
88	46	tgioo2 21492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
89		iooretop 21457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A - B ) (,) 0 ) e. ( topGen ` ran (,) )
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A - B ) (,) 0 ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
91	60, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> B ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 0 ) )
92	17	recnd 9572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> s e. CC )
93		recn 9532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> s e. CC )
94	93	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> s e. CC )
95		1red 9561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> 1 e. RR )
96	60	dvmptid 22544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> s ) ) = ( s e. RR |-> 1 ) )
97	60, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) )
98	60, 82, 33, 91, 92, 76, 97	dvmptadd 22547	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( 0 + 1 ) ) )
99		0p1e1 10608	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
100	99	mpteq2i 4477	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( 0 + 1 ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 )
101	98, 100	syl6eq 2459	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) )
102	9	feqmptd 5858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) )
103	102	eqcomd 2410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) = F )
104	103	oveq2d 6250	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( RR _D F ) )
105	80	feqmptd 5858	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
106	104, 69, 105	3eqtrd 2447	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) )
107		fveq2 5805	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( B + s ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( B + s ) ) )
108		fveq2 5805	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( B + s ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( B + s ) ) )
109	60, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108	dvmptco 22559	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( F ` ( B + s ) ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( G ` ( B + s ) ) x. 1 ) ) )
110	75	recnd 9572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( G ` ( B + s ) ) e. CC )
111	110	mulid1d 9563	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( G ` ( B + s ) ) x. 1 ) = ( G ` ( B + s ) ) )
112	111	mpteq2dva 4480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( G ` ( B + s ) ) x. 1 ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
113	109, 112	eqtrd 2443	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( F ` ( B + s ) ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
114		limccl 22463	. . . . . . . . 9 |- ( F lim CC B ) C_ CC
115	114, 48	sseldi 3439	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. CC )
116	115	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> Y e. CC )
117	115	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> Y e. CC )
118	60, 115	dvmptc 22545	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. RR |-> Y ) ) = ( s e. RR |-> 0 ) )
119	60, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90	dvmptres 22550	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> Y ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 0 ) )
120	60, 61, 75, 113, 116, 27, 119	dvmptsub 22554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( G ` ( B + s ) ) - 0 ) ) )
121	110	subid1d 9876	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( G ` ( B + s ) ) - 0 ) = ( G ` ( B + s ) ) )
122	121	mpteq2dva 4480	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( G ` ( B + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
123	120, 122	eqtrd 2443	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
124	123	dmeqd 5147	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) ) = dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
125	75	ralrimiva 2817	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ( G ` ( B + s ) ) e. RR )
126		dmmptg 5441	. . . . 5 |- ( A. s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ( G ` ( B + s ) ) e. RR -> dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
127	125, 126	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
128	58, 124, 127	3eqtrd 2447	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D N ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
129	54	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> D = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) )
130	129	oveq2d 6250	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D D ) = ( RR _D ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) ) )
131	130, 97	eqtrd 2443	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D D ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) )
132	131	dmeqd 5147	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D D ) = dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) )
133	76	ralrimiva 2817	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) 1 e. RR )
134		dmmptg 5441	. . . . 5 |- ( A. s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) 1 e. RR -> dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
135	133, 134	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
136	132, 135	eqtrd 2443	. . 3 |- ( ph -> dom ( RR _D D ) = ( ( A - B ) (,) 0 ) )
137		eqid 2402	. . . . 5 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( F ` ( B + s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( F ` ( B + s ) ) )
138		eqid 2402	. . . . 5 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> Y ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> Y )
139		eqid 2402	. . . . 5 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) )
140	40	adantrr 715	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) =/= B ) ) -> ( B + s ) e. ( A (,) B ) )
141		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> B ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> B )
142		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s )
143		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) )
144	87, 44	syl6ss 3453	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A - B ) (,) 0 ) C_ CC )
145	5	recnd 9572	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. CC )
146	141, 144, 19, 145	constlimc 36980	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> B ) lim CC 0 ) )
147	144, 142, 145	idlimc 36982	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) lim CC 0 ) )
148	141, 142, 143, 82, 92, 146, 147	addlimc 37004	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B + 0 ) e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) ) lim CC 0 ) )
149	37, 148	eqeltrrd 2491	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( B + s ) ) lim CC 0 ) )
150	102	oveq1d 6249	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F lim CC B ) = ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) lim CC B ) )
151	48, 150	eleqtrd 2492	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( F ` x ) ) lim CC B ) )
152		simplrr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) /\ -. ( F ` ( B + s ) ) = Y ) -> ( B + s ) = B )
153	18, 39	ltned 9673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( B + s ) =/= B )
154	153	neneqd 2605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> -. ( B + s ) = B )
155	154	adantrr 715	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) -> -. ( B + s ) = B )
156	155	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) /\ -. ( F ` ( B + s ) ) = Y ) -> -. ( B + s ) = B )
157	152, 156	condan 795	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) -> ( F ` ( B + s ) ) = Y )
158	140, 78, 149, 151, 107, 157	limcco 22481	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( F ` ( B + s ) ) ) lim CC 0 ) )
159	138, 144, 115, 145	constlimc 36980	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> Y ) lim CC 0 ) )
160	137, 138, 139, 61, 116, 158, 159	sublimc 37008	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - Y ) e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) )
161	115	subidd 9875	. . . 4 |- ( ph -> ( Y - Y ) = 0 )
162	52	eqcomi 2415	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) = N
163	162	oveq1i 6244	. . . . 5 |- ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) = ( N lim CC 0 )
164	163	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) ) lim CC 0 ) = ( N lim CC 0 ) )
165	160, 161, 164	3eltr3d 2504	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( N lim CC 0 ) )
166	144, 54, 145	idlimc 36982	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( D lim CC 0 ) )
167		ubioo 11532	. . . . 5 |- -. 0 e. ( ( A - B ) (,) 0 )
168	167	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> -. 0 e. ( ( A - B ) (,) 0 ) )
169		mptresid 5269	. . . . . . 7 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> s ) = ( _I |` ( ( A - B ) (,) 0 ) )
170	129, 169	syl6eq 2459	. . . . . 6 |- ( ph -> D = ( _I |` ( ( A - B ) (,) 0 ) ) )
171	170	rneqd 5172	. . . . 5 |- ( ph -> ran D = ran ( _I |` ( ( A - B ) (,) 0 ) ) )
172		rnresi 5291	. . . . 5 |- ran ( _I |` ( ( A - B ) (,) 0 ) ) = ( ( A - B ) (,) 0 )
173	171, 172	syl6req 2460	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A - B ) (,) 0 ) = ran D )
174	168, 173	neleqtrd 2514	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ran D )
175		0ne1 10564	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
176	175	neii 2602	. . . . 5 |- -. 0 = 1
177		elsncg 3994	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR -> ( 0 e. { 1 } <-> 0 = 1 ) )
178	5, 177	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 e. { 1 } <-> 0 = 1 ) )
179	176, 178	mtbiri 301	. . . 4 |- ( ph -> -. 0 e. { 1 } )
180	131	rneqd 5172	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( RR _D D ) = ran ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) )
181		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 )
182	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR* )
183		ioon0 11526	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - B ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( ( A - B ) (,) 0 ) =/= (/) <-> ( A - B ) < 0 ) )
184	4, 182, 183	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A - B ) (,) 0 ) =/= (/) <-> ( A - B ) < 0 ) )
185	8, 184	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - B ) (,) 0 ) =/= (/) )
186	181, 76, 185	rnmptc 36805	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) = { 1 } )
187	180, 186	eqtr2d 2444	. . . 4 |- ( ph -> { 1 } = ran ( RR _D D ) )
188	179, 187	neleqtrd 2514	. . 3 |- ( ph -> -. 0 e. ran ( RR _D D ) )
189	81	recnd 9572	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
190		fourierdlem60.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. ( G lim CC B ) )
191	105	oveq1d 6249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC B ) = ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) lim CC B ) )
192	190, 191	eleqtrd 2492	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ( ( x e. ( A (,) B ) |-> ( G ` x ) ) lim CC B ) )
193		simplrr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) /\ -. ( G ` ( B + s ) ) = E ) -> ( B + s ) = B )
194	155	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) /\ -. ( G ` ( B + s ) ) = E ) -> -. ( B + s ) = B )
195	193, 194	condan 795	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( B + s ) = B ) ) -> ( G ` ( B + s ) ) = E )
196	140, 189, 149, 192, 108, 195	limcco 22481	. . . 4 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) lim CC 0 ) )
197	110	div1d 10273	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( G ` ( B + s ) ) / 1 ) = ( G ` ( B + s ) ) )
198	56, 123	syl5eq 2455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D N ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
199	198	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( RR _D N ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) )
200	199	fveq1d 5807	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( RR _D N ) ` s ) = ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) ` s ) )
201		eqid 2402	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) )
202	201	fvmpt2 5897	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( G ` ( B + s ) ) e. RR ) -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) ` s ) = ( G ` ( B + s ) ) )
203	28, 75, 202	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) ` s ) = ( G ` ( B + s ) ) )
204	200, 203	eqtr2d 2444	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( G ` ( B + s ) ) = ( ( RR _D N ) ` s ) )
205	131	fveq1d 5807	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( RR _D D ) ` s ) = ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) ` s ) )
206	205	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( RR _D D ) ` s ) = ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) ` s ) )
207	181	fvmpt2 5897	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ 1 e. RR ) -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) ` s ) = 1 )
208	28, 76, 207	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> 1 ) ` s ) = 1 )
209	206, 208	eqtr2d 2444	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> 1 = ( ( RR _D D ) ` s ) )
210	204, 209	oveq12d 6252	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( G ` ( B + s ) ) / 1 ) = ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) )
211	197, 210	eqtr3d 2445	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( G ` ( B + s ) ) = ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) )
212	211	mpteq2dva 4480	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) )
213	212	oveq1d 6249	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( G ` ( B + s ) ) ) lim CC 0 ) = ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
214	196, 213	eleqtrd 2492	. . 3 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( RR _D N ) ` s ) / ( ( RR _D D ) ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
215	4, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214	lhop2 22600	. 2 |- ( ph -> E e. ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) lim CC 0 ) )
216	52	fvmpt2 5897	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) e. RR ) -> ( N ` s ) = ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) )
217	28, 51, 216	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( N ` s ) = ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) )
218	54	fvmpt2 5897	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( D ` s ) = s )
219	28, 28, 218	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( D ` s ) = s )
220	217, 219	oveq12d 6252	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) ) -> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) = ( ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) / s ) )
221	220	mpteq2dva 4480	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) / s ) ) )
222		fourierdlem60.h	. . . 4 |- H = ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( ( F ` ( B + s ) ) - Y ) / s ) )
223	221, 222	syl6eqr 2461	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) = H )
224	223	oveq1d 6249	. 2 |- ( ph -> ( ( s e. ( ( A - B ) (,) 0 ) |-> ( ( N ` s ) / ( D ` s ) ) ) lim CC 0 ) = ( H lim CC 0 ) )
225	215, 224	eleqtrd 2492	1 |- ( ph -> E e. ( H lim CC 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2753   C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   {cpr 3973   class class class wbr 4394   |-> cmpt 4452   _I cid 4732   dom cdm 4942   ran crn 4943   |` cres 4944   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443   + caddc 9445   x. cmul 9447   RR*cxr 9577   < clt 9578   - cmin 9761   / cdiv 10167   (,)cioo 11500   TopOpenctopn 14928   topGenctg 14944  ℂ_fldccnfld 18632   lim CC climc 22450   _D cdv 22451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ioc 11505  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-lp 19822  df-perf 19823  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-haus 20001  df-cmp 20072  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cncf 21566  df-limc 22454  df-dv 22455

This theorem is referenced by:  fourierdlem74  37313