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Theorem fourierdlem60 37907
Description: Given a differentiable function  F, with finite limit of the derivative at  A the derived function  H has a limit at  0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem60.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem60.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem60.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem60.f  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
fourierdlem60.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  B ) )
fourierdlem60.g  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
fourierdlem60.domg  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
fourierdlem60.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  B ) )
fourierdlem60.h  |-  H  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
fourierdlem60.n  |-  N  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( F `  ( B  +  s
) )  -  Y
) )
fourierdlem60.d  |-  D  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  s )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem60  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    D, s    E, s    F, s    G, s    N, s    Y, s    ph, s
Allowed substitution hint:    H( s)

Proof of Theorem fourierdlem60
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem60.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 fourierdlem60.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
31, 2resubcld 9991 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
43rexrd 9634 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR* )
5 0red 9588 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
6 fourierdlem60.altb . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
71, 2sublt0d 10182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  <  0  <->  A  <  B ) )
86, 7mpbird 235 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  <  0 )
9 fourierdlem60.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
109adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
111rexrd 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1211adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  A  e.  RR* )
132rexrd 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
1413adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  B  e.  RR* )
152adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  B  e.  RR )
16 elioore 11610 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  ->  s  e.  RR )
1716adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  s  e.  RR )
1815, 17readdcld 9614 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  e.  RR )
192recnd 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
201recnd 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2119, 20pncan3d 9933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
2221eqcomd 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( B  +  ( A  -  B ) ) )
2322adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  A  =  ( B  +  ( A  -  B
) ) )
243adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( A  -  B )  e.  RR )
254adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( A  -  B )  e.  RR* )
26 0xr 9631 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  0  e.  RR* )
28 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )
29 ioogtlb 37478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( A  -  B )  <  s )
3025, 27, 28, 29syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( A  -  B )  <  s )
3124, 17, 15, 30ltadd2dd 9738 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  < 
( B  +  s ) )
3223, 31eqbrtrd 4380 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  A  <  ( B  +  s ) )
33 0red 9588 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  0  e.  RR )
34 iooltub 37496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  s  <  0 )
3525, 27, 28, 34syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  s  <  0 )
3617, 33, 15, 35ltadd2dd 9738 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  <  ( B  +  0 ) )
3719addid1d 9777 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  0 )  =  B )
3837adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
3936, 38breqtrd 4384 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  <  B )
4012, 14, 18, 32, 39eliood 37481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  e.  ( A (,) B
) )
4110, 40ffvelrnd 5975 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( F `  ( B  +  s ) )  e.  RR )
42 ioossre 11640 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  RR
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
44 ax-resscn 9540 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
4543, 44syl6ss 3412 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
46 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4746, 11, 2, 6lptioo2cn 37603 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A (,) B ) ) )
48 fourierdlem60.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  B ) )
499, 45, 47, 48limcrecl 37586 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
5049adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  Y  e.  RR )
5141, 50resubcld 9991 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( F `  ( B  +  s )
)  -  Y )  e.  RR )
52 fourierdlem60.n . . . 4  |-  N  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( F `  ( B  +  s
) )  -  Y
) )
5351, 52fmptd 5998 . . 3  |-  ( ph  ->  N : ( ( A  -  B ) (,) 0 ) --> RR )
54 fourierdlem60.d . . . 4  |-  D  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  s )
5517, 54fmptd 5998 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( ( A  -  B ) (,) 0 ) --> RR )
5652oveq2i 6253 . . . . . 6  |-  ( RR 
_D  N )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) )
5756a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y ) ) ) )
5857dmeqd 4992 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  dom  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) ) )
59 reelprrecn 9575 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
6141recnd 9613 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( F `  ( B  +  s ) )  e.  CC )
62 dvfre 22840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
639, 43, 62syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
64 fourierdlem60.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  =  ( RR 
_D  F ) )
6665feq1d 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G : dom  ( RR  _D  F
) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR ) )
6763, 66mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
6867adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
6965eqcomd 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  G )
7069dmeqd 4992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  dom  G )
71 fourierdlem60.domg . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
7270, 71eqtr2d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =  dom  ( RR  _D  F ) )
7372adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( A (,) B )  =  dom  ( RR  _D  F ) )
7440, 73eleqtrd 2502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
7568, 74ffvelrnd 5975 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( G `  ( B  +  s ) )  e.  RR )
76 1red 9602 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  1  e.  RR )
779ffvelrnda 5974 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7877recnd 9613 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
7972feq2d 5669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G : ( A (,) B ) --> RR  <->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR ) )
8067, 79mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
8180ffvelrnda 5974 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
8219adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  B  e.  CC )
8319adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
84 0red 9588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
8560, 19dvmptc 22847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  B ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
86 ioossre 11640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  C_  RR
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  C_  RR )
8846tgioo2 21756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
89 iooretop 21721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
9160, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90dvmptres 22852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  B ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  0 ) )
9217recnd 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  s  e.  CC )
93 recn 9573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
9493adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
95 1red 9602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
9660dvmptid 22846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
9760, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90dvmptres 22852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 ) )
9860, 82, 33, 91, 92, 76, 97dvmptadd 22849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( B  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( 0  +  1 ) ) )
99 0p1e1 10665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
10099mpteq2i 4443 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( 0  +  1 ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  1 )
10198, 100syl6eq 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( B  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 ) )
1029feqmptd 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
103102eqcomd 2428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  =  F )
104103oveq2d 6258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( RR  _D  F ) )
10580feqmptd 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `
 x ) ) )
106104, 69, 1053eqtrd 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) )
107 fveq2 5818 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( B  +  s )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( B  +  s
) ) )
108 fveq2 5818 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( B  +  s )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( B  +  s
) ) )
10960, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108dvmptco 22861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( F `  ( B  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( G `  ( B  +  s )
)  x.  1 ) ) )
11075recnd 9613 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( G `  ( B  +  s ) )  e.  CC )
111110mulid1d 9604 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( G `  ( B  +  s )
)  x.  1 )  =  ( G `  ( B  +  s
) ) )
112111mpteq2dva 4446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( G `  ( B  +  s
) )  x.  1 ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `  ( B  +  s ) ) ) )
113109, 112eqtrd 2456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( F `  ( B  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `  ( B  +  s ) ) ) )
114 limccl 22765 . . . . . . . . 9  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
115114, 48sseldi 3398 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
116115adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  Y  e.  CC )
117115adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  Y  e.  CC )
11860, 115dvmptc 22847 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  Y ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
11960, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90dvmptres 22852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  Y ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  0 ) )
12060, 61, 75, 113, 116, 27, 119dvmptsub 22856 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( G `  ( B  +  s )
)  -  0 ) ) )
121110subid1d 9919 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( G `  ( B  +  s )
)  -  0 )  =  ( G `  ( B  +  s
) ) )
122121mpteq2dva 4446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( G `  ( B  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `  ( B  +  s ) ) ) )
123120, 122eqtrd 2456 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `  ( B  +  s ) ) ) )
124123dmeqd 4992 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( F `  ( B  +  s
) )  -  Y
) ) )  =  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( G `  ( B  +  s
) ) ) )
12575ralrimiva 2773 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) ( G `  ( B  +  s )
)  e.  RR )
126 dmmptg 5287 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) ( G `
 ( B  +  s ) )  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `
 ( B  +  s ) ) )  =  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) )
127125, 126syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( G `  ( B  +  s
) ) )  =  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )
12858, 124, 1273eqtrd 2460 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) )
12954a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  s ) )
130129oveq2d 6258 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  s ) ) )
131130, 97eqtrd 2456 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 ) )
132131dmeqd 4992 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  1 ) )
13376ralrimiva 2773 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 1  e.  RR )
134 dmmptg 5287 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) 1  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 )  =  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) )
135133, 134syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  1 )  =  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )
136132, 135eqtrd 2456 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) )
137 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( F `
 ( B  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( F `  ( B  +  s
) ) )
138 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  Y )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  Y )
139 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s ) )  -  Y ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y ) )
14040adantrr 721 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  /\  ( B  +  s )  =/= 
B ) )  -> 
( B  +  s )  e.  ( A (,) B ) )
141 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  B )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  B )
142 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  s )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  s )
143 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( B  +  s ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( B  +  s ) )
14487, 44syl6ss 3412 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  C_  CC )
1455recnd 9613 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
146141, 144, 19, 145constlimc 37581 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  B ) lim CC  0 ) )
147144, 142, 145idlimc 37583 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  s ) lim CC  0 ) )
148141, 142, 143, 82, 92, 146, 147addlimc 37606 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  +  0 )  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( B  +  s ) ) lim CC  0 ) )
14937, 148eqeltrrd 2501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( B  +  s ) ) lim CC  0 ) )
150102oveq1d 6257 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  B ) )
15148, 150eleqtrd 2502 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  B ) )
152 simplrr 769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( B  +  s
)  =  B ) )  /\  -.  ( F `  ( B  +  s ) )  =  Y )  -> 
( B  +  s )  =  B )
15318, 39ltned 9715 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  =/=  B )
154153neneqd 2600 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  -.  ( B  +  s
)  =  B )
155154adantrr 721 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  /\  ( B  +  s )  =  B ) )  ->  -.  ( B  +  s )  =  B )
156155adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( B  +  s
)  =  B ) )  /\  -.  ( F `  ( B  +  s ) )  =  Y )  ->  -.  ( B  +  s )  =  B )
157152, 156condan 801 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  /\  ( B  +  s )  =  B ) )  -> 
( F `  ( B  +  s )
)  =  Y )
158140, 78, 149, 151, 107, 157limcco 22783 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( F `  ( B  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
159138, 144, 115, 145constlimc 37581 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  Y ) lim CC  0 ) )
160137, 138, 139, 61, 116, 158, 159sublimc 37610 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 ) )
161115subidd 9918 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  =  0 )
16252eqcomi 2431 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s ) )  -  Y ) )  =  N
163162oveq1i 6252 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 )
164163a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 ) )
165160, 161, 1643eltr3d 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( N lim
CC  0 ) )
166144, 54, 145idlimc 37583 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( D lim
CC  0 ) )
167 ubioo 11612 . . . . 5  |-  -.  0  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)
168167a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) )
169 mptresid 5114 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  s )  =  (  _I  |`  (
( A  -  B
) (,) 0 ) )
170129, 169syl6eq 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  =  (  _I  |`  ( ( A  -  B ) (,) 0
) ) )
171170rneqd 5017 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  D  =  ran  (  _I  |`  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) ) )
172 rnresi 5136 . . . . 5  |-  ran  (  _I  |`  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) )  =  ( ( A  -  B ) (,) 0
)
173171, 172syl6req 2473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  =  ran  D
)
174168, 173neleqtrd 2521 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  D )
175 0ne1 10621 . . . . . 6  |-  0  =/=  1
176175neii 2597 . . . . 5  |-  -.  0  =  1
177 elsncg 3957 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  e.  { 1 }  <->  0  =  1 ) )
1785, 177syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  {
1 }  <->  0  = 
1 ) )
179176, 178mtbiri 304 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  {
1 } )
180131rneqd 5017 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( RR  _D  D )  =  ran  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  1 ) )
181 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  1 )
18226a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
183 ioon0 11606 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( ( A  -  B ) (,) 0
)  =/=  (/)  <->  ( A  -  B )  <  0
) )
1844, 182, 183syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  B ) (,) 0 )  =/=  (/)  <->  ( A  -  B )  <  0
) )
1858, 184mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  =/=  (/) )
186181, 76, 185rnmptc 37334 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  1 )  =  { 1 } )
187180, 186eqtr2d 2457 . . . 4  |-  ( ph  ->  { 1 }  =  ran  ( RR  _D  D
) )
188179, 187neleqtrd 2521 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  D
) )
18981recnd 9613 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
190 fourierdlem60.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  B ) )
191105oveq1d 6257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  B ) )
192190, 191eleqtrd 2502 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  B ) )
193 simplrr 769 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( B  +  s
)  =  B ) )  /\  -.  ( G `  ( B  +  s ) )  =  E )  -> 
( B  +  s )  =  B )
194155adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( B  +  s
)  =  B ) )  /\  -.  ( G `  ( B  +  s ) )  =  E )  ->  -.  ( B  +  s )  =  B )
195193, 194condan 801 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  /\  ( B  +  s )  =  B ) )  -> 
( G `  ( B  +  s )
)  =  E )
196140, 189, 149, 192, 108, 195limcco 22783 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `  ( B  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
197110div1d 10319 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( G `  ( B  +  s )
)  /  1 )  =  ( G `  ( B  +  s
) ) )
19856, 123syl5eq 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `
 ( B  +  s ) ) ) )
199198adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( RR  _D  N )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( G `  ( B  +  s )
) ) )
200199fveq1d 5820 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( RR  _D  N
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `
 ( B  +  s ) ) ) `
 s ) )
201 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `
 ( B  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( G `  ( B  +  s
) ) )
202201fvmpt2 5910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( G `  ( B  +  s ) )  e.  RR )  -> 
( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( G `  ( B  +  s
) ) ) `  s )  =  ( G `  ( B  +  s ) ) )
20328, 75, 202syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( G `  ( B  +  s )
) ) `  s
)  =  ( G `
 ( B  +  s ) ) )
204200, 203eqtr2d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( G `  ( B  +  s ) )  =  ( ( RR 
_D  N ) `  s ) )
205131fveq1d 5820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  D ) `  s
)  =  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 ) `  s ) )
206205adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( RR  _D  D
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 ) `
 s ) )
207181fvmpt2 5910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  1 ) `  s )  =  1 )
20828, 76, 207syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  1 ) `  s
)  =  1 )
209206, 208eqtr2d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  1  =  ( ( RR 
_D  D ) `  s ) )
210204, 209oveq12d 6260 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( G `  ( B  +  s )
)  /  1 )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
211197, 210eqtr3d 2458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( G `  ( B  +  s ) )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
212211mpteq2dva 4446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( G `  ( B  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) )
213212oveq1d 6257 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( G `  ( B  +  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  N ) `  s )  /  (
( RR  _D  D
) `  s )
) ) lim CC  0 ) )
214196, 213eleqtrd 2502 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
2154, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214lhop2 22902 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( N `  s
)  /  ( D `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
21652fvmpt2 5910 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( ( F `  ( B  +  s
) )  -  Y
)  e.  RR )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) )
21728, 51, 216syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y ) )
21854fvmpt2 5910 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) )  -> 
( D `  s
)  =  s )
21928, 28, 218syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( D `  s )  =  s )
220217, 219oveq12d 6260 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( N `  s
)  /  ( D `
 s ) )  =  ( ( ( F `  ( B  +  s ) )  -  Y )  / 
s ) )
221220mpteq2dva 4446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( ( F `  ( B  +  s
) )  -  Y
)  /  s ) ) )
222 fourierdlem60.h . . . 4  |-  H  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
223221, 222syl6eqr 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  H )
224223oveq1d 6257 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( ( N `
 s )  / 
( D `  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( H lim CC  0 ) )
225215, 224eleqtrd 2502 1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2593   A.wral 2708    C_ wss 3372   (/)c0 3697   {csn 3934   {cpr 3936   class class class wbr 4359    |-> cmpt 4418    _I cid 4699   dom cdm 4789   ran crn 4790    |` cres 4791   -->wf 5533   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    x. cmul 9488   RR*cxr 9618    < clt 9619    - cmin 9804    / cdiv 10213   (,)cioo 11579   TopOpenctopn 15256   topGenctg 15272  ℂfldccnfld 18906   lim CC climc 22752    _D cdv 22753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7902  df-inf 7903  df-oi 7971  df-card 8318  df-cda 8542  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-q 11209  df-rp 11247  df-xneg 11353  df-xadd 11354  df-xmul 11355  df-ioo 11583  df-ioc 11584  df-ico 11585  df-icc 11586  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-seq 12157  df-exp 12216  df-hash 12459  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-starv 15141  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-unif 15149  df-hom 15150  df-cco 15151  df-rest 15257  df-topn 15258  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-topgen 15278  df-pt 15279  df-prds 15282  df-xrs 15336  df-qtop 15342  df-imas 15343  df-xps 15346  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-submnd 16519  df-mulg 16612  df-cntz 16907  df-cmn 17368  df-psmet 18898  df-xmet 18899  df-met 18900  df-bl 18901  df-mopn 18902  df-fbas 18903  df-fg 18904  df-cnfld 18907  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-lp 20087  df-perf 20088  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-haus 20266  df-cmp 20337  df-tx 20512  df-hmeo 20705  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-xms 21270  df-ms 21271  df-tms 21272  df-cncf 21845  df-limc 22756  df-dv 22757
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