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Theorem fourierdlem60 38067
Description: Given a differentiable function  F, with finite limit of the derivative at  A the derived function  H has a limit at  0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem60.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem60.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem60.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem60.f  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
fourierdlem60.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  B ) )
fourierdlem60.g  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
fourierdlem60.domg  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
fourierdlem60.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  B ) )
fourierdlem60.h  |-  H  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
fourierdlem60.n  |-  N  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( F `  ( B  +  s
) )  -  Y
) )
fourierdlem60.d  |-  D  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  s )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem60  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    D, s    E, s    F, s    G, s    N, s    Y, s    ph, s
Allowed substitution hint:    H( s)

Proof of Theorem fourierdlem60
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem60.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 fourierdlem60.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
31, 2resubcld 10074 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
43rexrd 9715 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR* )
5 0red 9669 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
6 fourierdlem60.altb . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
71, 2sublt0d 10265 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  <  0  <->  A  <  B ) )
86, 7mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  <  0 )
9 fourierdlem60.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
109adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
111rexrd 9715 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1211adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  A  e.  RR* )
132rexrd 9715 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
1413adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  B  e.  RR* )
152adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  B  e.  RR )
16 elioore 11694 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  ->  s  e.  RR )
1716adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  s  e.  RR )
1815, 17readdcld 9695 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  e.  RR )
192recnd 9694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
201recnd 9694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2119, 20pncan3d 10014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
2221eqcomd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( B  +  ( A  -  B ) ) )
2322adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  A  =  ( B  +  ( A  -  B
) ) )
243adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( A  -  B )  e.  RR )
254adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( A  -  B )  e.  RR* )
26 0xr 9712 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  0  e.  RR* )
28 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )
29 ioogtlb 37629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( A  -  B )  <  s )
3025, 27, 28, 29syl3anc 1276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( A  -  B )  <  s )
3124, 17, 15, 30ltadd2dd 9819 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  < 
( B  +  s ) )
3223, 31eqbrtrd 4436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  A  <  ( B  +  s ) )
33 0red 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  0  e.  RR )
34 iooltub 37647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  s  <  0 )
3525, 27, 28, 34syl3anc 1276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  s  <  0 )
3617, 33, 15, 35ltadd2dd 9819 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  <  ( B  +  0 ) )
3719addid1d 9858 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  0 )  =  B )
3837adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
3936, 38breqtrd 4440 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  <  B )
4012, 14, 18, 32, 39eliood 37632 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  e.  ( A (,) B
) )
4110, 40ffvelrnd 6045 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( F `  ( B  +  s ) )  e.  RR )
42 ioossre 11724 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  RR
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
44 ax-resscn 9621 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
4543, 44syl6ss 3455 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
46 eqid 2461 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4746, 11, 2, 6lptioo2cn 37763 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A (,) B ) ) )
48 fourierdlem60.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  B ) )
499, 45, 47, 48limcrecl 37746 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
5049adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  Y  e.  RR )
5141, 50resubcld 10074 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( F `  ( B  +  s )
)  -  Y )  e.  RR )
52 fourierdlem60.n . . . 4  |-  N  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( F `  ( B  +  s
) )  -  Y
) )
5351, 52fmptd 6068 . . 3  |-  ( ph  ->  N : ( ( A  -  B ) (,) 0 ) --> RR )
54 fourierdlem60.d . . . 4  |-  D  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  s )
5517, 54fmptd 6068 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( ( A  -  B ) (,) 0 ) --> RR )
5652oveq2i 6325 . . . . . 6  |-  ( RR 
_D  N )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) )
5756a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y ) ) ) )
5857dmeqd 5055 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  dom  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) ) )
59 reelprrecn 9656 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
6141recnd 9694 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( F `  ( B  +  s ) )  e.  CC )
62 dvfre 22953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
639, 43, 62syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
64 fourierdlem60.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  =  ( RR 
_D  F ) )
6665feq1d 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G : dom  ( RR  _D  F
) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR ) )
6763, 66mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
6867adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
6965eqcomd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  G )
7069dmeqd 5055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  dom  G )
71 fourierdlem60.domg . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
7270, 71eqtr2d 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =  dom  ( RR  _D  F ) )
7372adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( A (,) B )  =  dom  ( RR  _D  F ) )
7440, 73eleqtrd 2541 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
7568, 74ffvelrnd 6045 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( G `  ( B  +  s ) )  e.  RR )
76 1red 9683 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  1  e.  RR )
779ffvelrnda 6044 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7877recnd 9694 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
7972feq2d 5736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G : ( A (,) B ) --> RR  <->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR ) )
8067, 79mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
8180ffvelrnda 6044 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
8219adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  B  e.  CC )
8319adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
84 0red 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
8560, 19dvmptc 22960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  B ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
86 ioossre 11724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  C_  RR
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  C_  RR )
8846tgioo2 21869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
89 iooretop 21834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
9160, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90dvmptres 22965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  B ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  0 ) )
9217recnd 9694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  s  e.  CC )
93 recn 9654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
9493adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
95 1red 9683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
9660dvmptid 22959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
9760, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90dvmptres 22965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 ) )
9860, 82, 33, 91, 92, 76, 97dvmptadd 22962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( B  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( 0  +  1 ) ) )
99 0p1e1 10748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
10099mpteq2i 4499 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( 0  +  1 ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  1 )
10198, 100syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( B  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 ) )
1029feqmptd 5940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
103102eqcomd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  =  F )
104103oveq2d 6330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( RR  _D  F ) )
10580feqmptd 5940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `
 x ) ) )
106104, 69, 1053eqtrd 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) )
107 fveq2 5887 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( B  +  s )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( B  +  s
) ) )
108 fveq2 5887 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( B  +  s )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( B  +  s
) ) )
10960, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108dvmptco 22974 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( F `  ( B  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( G `  ( B  +  s )
)  x.  1 ) ) )
11075recnd 9694 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( G `  ( B  +  s ) )  e.  CC )
111110mulid1d 9685 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( G `  ( B  +  s )
)  x.  1 )  =  ( G `  ( B  +  s
) ) )
112111mpteq2dva 4502 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( G `  ( B  +  s
) )  x.  1 ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `  ( B  +  s ) ) ) )
113109, 112eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( F `  ( B  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `  ( B  +  s ) ) ) )
114 limccl 22878 . . . . . . . . 9  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
115114, 48sseldi 3441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
116115adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  Y  e.  CC )
117115adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  Y  e.  CC )
11860, 115dvmptc 22960 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  Y ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
11960, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90dvmptres 22965 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  Y ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  0 ) )
12060, 61, 75, 113, 116, 27, 119dvmptsub 22969 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( G `  ( B  +  s )
)  -  0 ) ) )
121110subid1d 10000 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( G `  ( B  +  s )
)  -  0 )  =  ( G `  ( B  +  s
) ) )
122121mpteq2dva 4502 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( G `  ( B  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `  ( B  +  s ) ) ) )
123120, 122eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `  ( B  +  s ) ) ) )
124123dmeqd 5055 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( F `  ( B  +  s
) )  -  Y
) ) )  =  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( G `  ( B  +  s
) ) ) )
12575ralrimiva 2813 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) ( G `  ( B  +  s )
)  e.  RR )
126 dmmptg 5350 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) ( G `
 ( B  +  s ) )  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `
 ( B  +  s ) ) )  =  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) )
127125, 126syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( G `  ( B  +  s
) ) )  =  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )
12858, 124, 1273eqtrd 2499 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) )
12954a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  s ) )
130129oveq2d 6330 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  s ) ) )
131130, 97eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 ) )
132131dmeqd 5055 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  1 ) )
13376ralrimiva 2813 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 1  e.  RR )
134 dmmptg 5350 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) 1  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 )  =  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) )
135133, 134syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  1 )  =  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )
136132, 135eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) )
137 eqid 2461 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( F `
 ( B  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( F `  ( B  +  s
) ) )
138 eqid 2461 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  Y )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  Y )
139 eqid 2461 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s ) )  -  Y ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y ) )
14040adantrr 728 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  /\  ( B  +  s )  =/= 
B ) )  -> 
( B  +  s )  e.  ( A (,) B ) )
141 eqid 2461 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  B )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  B )
142 eqid 2461 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  s )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  s )
143 eqid 2461 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( B  +  s ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( B  +  s ) )
14487, 44syl6ss 3455 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  C_  CC )
1455recnd 9694 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
146141, 144, 19, 145constlimc 37741 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  B ) lim CC  0 ) )
147144, 142, 145idlimc 37743 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  s ) lim CC  0 ) )
148141, 142, 143, 82, 92, 146, 147addlimc 37766 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  +  0 )  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( B  +  s ) ) lim CC  0 ) )
14937, 148eqeltrrd 2540 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( B  +  s ) ) lim CC  0 ) )
150102oveq1d 6329 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  B ) )
15148, 150eleqtrd 2541 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  B ) )
152 simplrr 776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( B  +  s
)  =  B ) )  /\  -.  ( F `  ( B  +  s ) )  =  Y )  -> 
( B  +  s )  =  B )
15318, 39ltned 9796 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  =/=  B )
154153neneqd 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  -.  ( B  +  s
)  =  B )
155154adantrr 728 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  /\  ( B  +  s )  =  B ) )  ->  -.  ( B  +  s )  =  B )
156155adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( B  +  s
)  =  B ) )  /\  -.  ( F `  ( B  +  s ) )  =  Y )  ->  -.  ( B  +  s )  =  B )
157152, 156condan 808 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  /\  ( B  +  s )  =  B ) )  -> 
( F `  ( B  +  s )
)  =  Y )
158140, 78, 149, 151, 107, 157limcco 22896 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( F `  ( B  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
159138, 144, 115, 145constlimc 37741 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  Y ) lim CC  0 ) )
160137, 138, 139, 61, 116, 158, 159sublimc 37770 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 ) )
161115subidd 9999 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  =  0 )
16252eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s ) )  -  Y ) )  =  N
163162oveq1i 6324 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 )
164163a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 ) )
165160, 161, 1643eltr3d 2553 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( N lim
CC  0 ) )
166144, 54, 145idlimc 37743 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( D lim
CC  0 ) )
167 ubioo 11696 . . . . 5  |-  -.  0  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)
168167a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) )
169 mptresid 5177 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  s )  =  (  _I  |`  (
( A  -  B
) (,) 0 ) )
170129, 169syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  =  (  _I  |`  ( ( A  -  B ) (,) 0
) ) )
171170rneqd 5080 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  D  =  ran  (  _I  |`  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) ) )
172 rnresi 5199 . . . . 5  |-  ran  (  _I  |`  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) )  =  ( ( A  -  B ) (,) 0
)
173171, 172syl6req 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  =  ran  D
)
174168, 173neleqtrd 2560 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  D )
175 0ne1 10704 . . . . . 6  |-  0  =/=  1
176175neii 2636 . . . . 5  |-  -.  0  =  1
177 elsncg 4002 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  e.  { 1 }  <->  0  =  1 ) )
1785, 177syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  {
1 }  <->  0  = 
1 ) )
179176, 178mtbiri 309 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  {
1 } )
180131rneqd 5080 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( RR  _D  D )  =  ran  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  1 ) )
181 eqid 2461 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  1 )
18226a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
183 ioon0 11690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( ( A  -  B ) (,) 0
)  =/=  (/)  <->  ( A  -  B )  <  0
) )
1844, 182, 183syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  B ) (,) 0 )  =/=  (/)  <->  ( A  -  B )  <  0
) )
1858, 184mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  =/=  (/) )
186181, 76, 185rnmptc 37474 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  1 )  =  { 1 } )
187180, 186eqtr2d 2496 . . . 4  |-  ( ph  ->  { 1 }  =  ran  ( RR  _D  D
) )
188179, 187neleqtrd 2560 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  D
) )
18981recnd 9694 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
190 fourierdlem60.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  B ) )
191105oveq1d 6329 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  B ) )
192190, 191eleqtrd 2541 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  B ) )
193 simplrr 776 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( B  +  s
)  =  B ) )  /\  -.  ( G `  ( B  +  s ) )  =  E )  -> 
( B  +  s )  =  B )
194155adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( B  +  s
)  =  B ) )  /\  -.  ( G `  ( B  +  s ) )  =  E )  ->  -.  ( B  +  s )  =  B )
195193, 194condan 808 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  /\  ( B  +  s )  =  B ) )  -> 
( G `  ( B  +  s )
)  =  E )
196140, 189, 149, 192, 108, 195limcco 22896 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `  ( B  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
197110div1d 10402 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( G `  ( B  +  s )
)  /  1 )  =  ( G `  ( B  +  s
) ) )
19856, 123syl5eq 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `
 ( B  +  s ) ) ) )
199198adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( RR  _D  N )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( G `  ( B  +  s )
) ) )
200199fveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( RR  _D  N
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `
 ( B  +  s ) ) ) `
 s ) )
201 eqid 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `
 ( B  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( G `  ( B  +  s
) ) )
202201fvmpt2 5979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( G `  ( B  +  s ) )  e.  RR )  -> 
( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( G `  ( B  +  s
) ) ) `  s )  =  ( G `  ( B  +  s ) ) )
20328, 75, 202syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( G `  ( B  +  s )
) ) `  s
)  =  ( G `
 ( B  +  s ) ) )
204200, 203eqtr2d 2496 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( G `  ( B  +  s ) )  =  ( ( RR 
_D  N ) `  s ) )
205131fveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  D ) `  s
)  =  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 ) `  s ) )
206205adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( RR  _D  D
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 ) `
 s ) )
207181fvmpt2 5979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  1 ) `  s )  =  1 )
20828, 76, 207syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  1 ) `  s
)  =  1 )
209206, 208eqtr2d 2496 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  1  =  ( ( RR 
_D  D ) `  s ) )
210204, 209oveq12d 6332 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( G `  ( B  +  s )
)  /  1 )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
211197, 210eqtr3d 2497 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( G `  ( B  +  s ) )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
212211mpteq2dva 4502 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( G `  ( B  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) )
213212oveq1d 6329 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( G `  ( B  +  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  N ) `  s )  /  (
( RR  _D  D
) `  s )
) ) lim CC  0 ) )
214196, 213eleqtrd 2541 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
2154, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214lhop2 23015 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( N `  s
)  /  ( D `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
21652fvmpt2 5979 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( ( F `  ( B  +  s
) )  -  Y
)  e.  RR )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) )
21728, 51, 216syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y ) )
21854fvmpt2 5979 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) )  -> 
( D `  s
)  =  s )
21928, 28, 218syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( D `  s )  =  s )
220217, 219oveq12d 6332 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( N `  s
)  /  ( D `
 s ) )  =  ( ( ( F `  ( B  +  s ) )  -  Y )  / 
s ) )
221220mpteq2dva 4502 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( ( F `  ( B  +  s
) )  -  Y
)  /  s ) ) )
222 fourierdlem60.h . . . 4  |-  H  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
223221, 222syl6eqr 2513 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  H )
224223oveq1d 6329 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( ( N `
 s )  / 
( D `  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( H lim CC  0 ) )
225215, 224eleqtrd 2541 1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   A.wral 2748    C_ wss 3415   (/)c0 3742   {csn 3979   {cpr 3981   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474    _I cid 4762   dom cdm 4852   ran crn 4853    |` cres 4854   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565    + caddc 9567    x. cmul 9569   RR*cxr 9699    < clt 9700    - cmin 9885    / cdiv 10296   (,)cioo 11663   TopOpenctopn 15368   topGenctg 15384  ℂfldccnfld 19018   lim CC climc 22865    _D cdv 22866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ioc 11668  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-rest 15369  df-topn 15370  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-prds 15394  df-xrs 15448  df-qtop 15454  df-imas 15455  df-xps 15458  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-submnd 16631  df-mulg 16724  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-cnfld 19019  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-cld 20082  df-ntr 20083  df-cls 20084  df-nei 20162  df-lp 20200  df-perf 20201  df-cn 20291  df-cnp 20292  df-haus 20379  df-cmp 20450  df-tx 20625  df-hmeo 20818  df-fil 20909  df-fm 21001  df-flim 21002  df-flf 21003  df-xms 21383  df-ms 21384  df-tms 21385  df-cncf 21958  df-limc 22869  df-dv 22870
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