Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem60 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem60 32110
 Description: Given a differentiable function , with finite limit of the derivative at the derived function has a limit at . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem60.a
fourierdlem60.b
fourierdlem60.altb
fourierdlem60.f
fourierdlem60.y lim
fourierdlem60.g
fourierdlem60.domg
fourierdlem60.e lim
fourierdlem60.h
fourierdlem60.n
fourierdlem60.d
Assertion
Ref Expression
fourierdlem60 lim
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fourierdlem60
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem60.a . . . . 5
2 fourierdlem60.b . . . . 5
31, 2resubcld 10008 . . . 4
43rexrd 9660 . . 3
5 0red 9614 . . 3
6 fourierdlem60.altb . . . 4
71, 2sublt0d 31656 . . . 4
86, 7mpbird 232 . . 3
9 fourierdlem60.f . . . . . . 7
109adantr 465 . . . . . 6
111rexrd 9660 . . . . . . . 8
1211adantr 465 . . . . . . 7
132rexrd 9660 . . . . . . . 8
1413adantr 465 . . . . . . 7
152adantr 465 . . . . . . . 8
16 elioore 11584 . . . . . . . . 9
1716adantl 466 . . . . . . . 8
1815, 17readdcld 9640 . . . . . . 7
192recnd 9639 . . . . . . . . . . 11
201recnd 9639 . . . . . . . . . . 11
2119, 20pncan3d 9953 . . . . . . . . . 10
2221eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
2322adantr 465 . . . . . . . 8
243adantr 465 . . . . . . . . 9
254adantr 465 . . . . . . . . . 10
26 0xr 9657 . . . . . . . . . . 11
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10
28 simpr 461 . . . . . . . . . 10
29 ioogtlb 31689 . . . . . . . . . 10
3025, 27, 28, 29syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
3124, 17, 15, 30ltadd2dd 9758 . . . . . . . 8
3223, 31eqbrtrd 4476 . . . . . . 7
33 0red 9614 . . . . . . . . 9
34 iooltub 31709 . . . . . . . . . 10
3525, 27, 28, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
3617, 33, 15, 35ltadd2dd 9758 . . . . . . . 8
3719addid1d 9797 . . . . . . . . 9
3837adantr 465 . . . . . . . 8
3936, 38breqtrd 4480 . . . . . . 7
4012, 14, 18, 32, 39eliood 31692 . . . . . 6
4110, 40ffvelrnd 6033 . . . . 5
42 ioossre 11611 . . . . . . . . 9
4342a1i 11 . . . . . . . 8
44 ax-resscn 9566 . . . . . . . 8
4543, 44syl6ss 3511 . . . . . . 7
46 eqid 2457 . . . . . . . 8 fld fld
4746, 11, 2, 6lptioo2cn 31812 . . . . . . 7 fld
48 fourierdlem60.y . . . . . . 7 lim
499, 45, 47, 48limcrecl 31796 . . . . . 6
5049adantr 465 . . . . 5
5141, 50resubcld 10008 . . . 4
52 fourierdlem60.n . . . 4
5351, 52fmptd 6056 . . 3
54 fourierdlem60.d . . . 4
5517, 54fmptd 6056 . . 3
5652oveq2i 6307 . . . . . 6
5756a1i 11 . . . . 5
5857dmeqd 5215 . . . 4
59 reelprrecn 9601 . . . . . . . 8
6059a1i 11 . . . . . . 7
6141recnd 9639 . . . . . . 7
62 dvfre 22479 . . . . . . . . . . 11
639, 43, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
64 fourierdlem60.g . . . . . . . . . . . 12
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11
6665feq1d 5723 . . . . . . . . . 10
6763, 66mpbird 232 . . . . . . . . 9
6867adantr 465 . . . . . . . 8
6965eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . 12
7069dmeqd 5215 . . . . . . . . . . 11
71 fourierdlem60.domg . . . . . . . . . . 11
7270, 71eqtr2d 2499 . . . . . . . . . 10
7372adantr 465 . . . . . . . . 9
7440, 73eleqtrd 2547 . . . . . . . 8
7568, 74ffvelrnd 6033 . . . . . . 7
76 1red 9628 . . . . . . . . 9
779ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10
7877recnd 9639 . . . . . . . . 9
7972feq2d 5724 . . . . . . . . . . 11
8067, 79mpbird 232 . . . . . . . . . 10
8180ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9
8219adantr 465 . . . . . . . . . . 11
8319adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
84 0red 9614 . . . . . . . . . . . 12
8560, 19dvmptc 22486 . . . . . . . . . . . 12
86 ioossre 11611 . . . . . . . . . . . . 13
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
8846tgioo2 21433 . . . . . . . . . . . 12 fldt
89 iooretop 21398 . . . . . . . . . . . . 13
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
9160, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90dvmptres 22491 . . . . . . . . . . 11
9217recnd 9639 . . . . . . . . . . 11
93 recn 9599 . . . . . . . . . . . . 13
9493adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
95 1red 9628 . . . . . . . . . . . 12
9660dvmptid 22485 . . . . . . . . . . . 12
9760, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90dvmptres 22491 . . . . . . . . . . 11
9860, 82, 33, 91, 92, 76, 97dvmptadd 22488 . . . . . . . . . 10
99 0p1e1 10668 . . . . . . . . . . 11
10099mpteq2i 4540 . . . . . . . . . 10
10198, 100syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
1029feqmptd 5926 . . . . . . . . . . . 12
103102eqcomd 2465 . . . . . . . . . . 11
104103oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
10580feqmptd 5926 . . . . . . . . . 10
106104, 69, 1053eqtrd 2502 . . . . . . . . 9
107 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
108 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
10960, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108dvmptco 22500 . . . . . . . 8
11075recnd 9639 . . . . . . . . . 10
111110mulid1d 9630 . . . . . . . . 9
112111mpteq2dva 4543 . . . . . . . 8
113109, 112eqtrd 2498 . . . . . . 7
114 limccl 22404 . . . . . . . . 9 lim
115114, 48sseldi 3497 . . . . . . . 8
116115adantr 465 . . . . . . 7
117115adantr 465 . . . . . . . 8
11860, 115dvmptc 22486 . . . . . . . 8
11960, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90dvmptres 22491 . . . . . . 7
12060, 61, 75, 113, 116, 27, 119dvmptsub 22495 . . . . . 6
121110subid1d 9939 . . . . . . 7
122121mpteq2dva 4543 . . . . . 6
123120, 122eqtrd 2498 . . . . 5
124123dmeqd 5215 . . . 4
12575ralrimiva 2871 . . . . 5
126 dmmptg 5510 . . . . 5
127125, 126syl 16 . . . 4
12858, 124, 1273eqtrd 2502 . . 3
12954a1i 11 . . . . . . 7
130129oveq2d 6312 . . . . . 6
131130, 97eqtrd 2498 . . . . 5
132131dmeqd 5215 . . . 4
13376ralrimiva 2871 . . . . 5
134 dmmptg 5510 . . . . 5
135133, 134syl 16 . . . 4
136132, 135eqtrd 2498 . . 3
137 eqid 2457 . . . . 5
138 eqid 2457 . . . . 5
139 eqid 2457 . . . . 5
14040adantrr 716 . . . . . 6
141 eqid 2457 . . . . . . . 8
142 eqid 2457 . . . . . . . 8
143 eqid 2457 . . . . . . . 8
14487, 44syl6ss 3511 . . . . . . . . 9
1455recnd 9639 . . . . . . . . 9
146141, 144, 19, 145constlimc 31791 . . . . . . . 8 lim
147144, 142, 145idlimc 31793 . . . . . . . 8 lim
148141, 142, 143, 82, 92, 146, 147addlimc 31815 . . . . . . 7 lim
14937, 148eqeltrrd 2546 . . . . . 6 lim
150102oveq1d 6311 . . . . . . 7 lim lim
15148, 150eleqtrd 2547 . . . . . 6 lim
152 simplrr 762 . . . . . . 7
15318, 39ltned 9738 . . . . . . . . . 10
154153neneqd 2659 . . . . . . . . 9
155154adantrr 716 . . . . . . . 8
156155adantr 465 . . . . . . 7
157152, 156condan 794 . . . . . 6
158140, 78, 149, 151, 107, 157limcco 22422 . . . . 5 lim
159138, 144, 115, 145constlimc 31791 . . . . 5 lim
160137, 138, 139, 61, 116, 158, 159sublimc 31819 . . . 4 lim
161115subidd 9938 . . . 4
16252eqcomi 2470 . . . . . 6
163162oveq1i 6306 . . . . 5 lim lim
164163a1i 11 . . . 4 lim lim
165160, 161, 1643eltr3d 2559 . . 3 lim
166144, 54, 145idlimc 31793 . . 3 lim
167 ubioo 11586 . . . . 5
168167a1i 11 . . . 4
169 mptresid 5338 . . . . . . 7
170129, 169syl6eq 2514 . . . . . 6
171170rneqd 5240 . . . . 5
172 rnresi 5360 . . . . 5
173171, 172syl6req 2515 . . . 4
174168, 173neleqtrd 2569 . . 3
175 0ne1 10624 . . . . . 6
176175neii 2656 . . . . 5
177 elsncg 4055 . . . . . 6
1785, 177syl 16 . . . . 5
179176, 178mtbiri 303 . . . 4
180131rneqd 5240 . . . . 5
181 eqid 2457 . . . . . 6
18226a1i 11 . . . . . . . 8
183 ioon0 11580 . . . . . . . 8
1844, 182, 183syl2anc 661 . . . . . . 7
1858, 184mpbird 232 . . . . . 6
186181, 76, 185rnmptc 31610 . . . . 5
187180, 186eqtr2d 2499 . . . 4
188179, 187neleqtrd 2569 . . 3
18981recnd 9639 . . . . 5
190 fourierdlem60.e . . . . . 6 lim
191105oveq1d 6311 . . . . . 6 lim lim
192190, 191eleqtrd 2547 . . . . 5 lim
193 simplrr 762 . . . . . 6
194155adantr 465 . . . . . 6
195193, 194condan 794 . . . . 5
196140, 189, 149, 192, 108, 195limcco 22422 . . . 4 lim
197110div1d 10333 . . . . . . 7
19856, 123syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11
199198adantr 465 . . . . . . . . . 10
200199fveq1d 5874 . . . . . . . . 9
201 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
202201fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10
20328, 75, 202syl2anc 661 . . . . . . . . 9
204200, 203eqtr2d 2499 . . . . . . . 8
205131fveq1d 5874 . . . . . . . . . 10
206205adantr 465 . . . . . . . . 9
207181fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10
20828, 76, 207syl2anc 661 . . . . . . . . 9
209206, 208eqtr2d 2499 . . . . . . . 8
210204, 209oveq12d 6314 . . . . . . 7
211197, 210eqtr3d 2500 . . . . . 6
212211mpteq2dva 4543 . . . . 5
213212oveq1d 6311 . . . 4 lim lim
214196, 213eleqtrd 2547 . . 3 lim
2154, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214lhop2 22541 . 2 lim
21652fvmpt2 5964 . . . . . . 7
21728, 51, 216syl2anc 661 . . . . . 6
21854fvmpt2 5964 . . . . . . 7
21928, 28, 218syl2anc 661 . . . . . 6
220217, 219oveq12d 6314 . . . . 5
221220mpteq2dva 4543 . . . 4
222 fourierdlem60.h . . . 4
223221, 222syl6eqr 2516 . . 3
224223oveq1d 6311 . 2 lim lim
225215, 224eleqtrd 2547 1 lim
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807   wss 3471  c0 3793  csn 4032  cpr 4034   class class class wbr 4456   cmpt 4515   cid 4799   cdm 5008   crn 5009   cres 5010  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc 9507  cr 9508  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512   cmul 9514  cxr 9644   clt 9645   cmin 9824   cdiv 10227  cioo 11554  ctopn 14838  ctg 14854  ℂfldccnfld 18546   lim climc 22391   cdv 22392 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396 This theorem is referenced by:  fourierdlem74  32124
 Copyright terms: Public domain W3C validator