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Theorem fourierdlem60 37299
Description: Given a differentiable function  F, with finite limit of the derivative at  A the derived function  H has a limit at  0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem60.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem60.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem60.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem60.f  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
fourierdlem60.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  B ) )
fourierdlem60.g  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
fourierdlem60.domg  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
fourierdlem60.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  B ) )
fourierdlem60.h  |-  H  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
fourierdlem60.n  |-  N  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( F `  ( B  +  s
) )  -  Y
) )
fourierdlem60.d  |-  D  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  s )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem60  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    D, s    E, s    F, s    G, s    N, s    Y, s    ph, s
Allowed substitution hint:    H( s)

Proof of Theorem fourierdlem60
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem60.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 fourierdlem60.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
31, 2resubcld 9948 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
43rexrd 9593 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  RR* )
5 0red 9547 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
6 fourierdlem60.altb . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
71, 2sublt0d 10136 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  <  0  <->  A  <  B ) )
86, 7mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  <  0 )
9 fourierdlem60.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
109adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
111rexrd 9593 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1211adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  A  e.  RR* )
132rexrd 9593 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
1413adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  B  e.  RR* )
152adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  B  e.  RR )
16 elioore 11530 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  ->  s  e.  RR )
1716adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  s  e.  RR )
1815, 17readdcld 9573 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  e.  RR )
192recnd 9572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
201recnd 9572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2119, 20pncan3d 9890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  =  A )
2221eqcomd 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( B  +  ( A  -  B ) ) )
2322adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  A  =  ( B  +  ( A  -  B
) ) )
243adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( A  -  B )  e.  RR )
254adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( A  -  B )  e.  RR* )
26 0xr 9590 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  0  e.  RR* )
28 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )
29 ioogtlb 36878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( A  -  B )  <  s )
3025, 27, 28, 29syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( A  -  B )  <  s )
3124, 17, 15, 30ltadd2dd 9695 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  ( A  -  B ) )  < 
( B  +  s ) )
3223, 31eqbrtrd 4414 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  A  <  ( B  +  s ) )
33 0red 9547 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  0  e.  RR )
34 iooltub 36898 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  s  <  0 )
3525, 27, 28, 34syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  s  <  0 )
3617, 33, 15, 35ltadd2dd 9695 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  <  ( B  +  0 ) )
3719addid1d 9734 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  0 )  =  B )
3837adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
3936, 38breqtrd 4418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  <  B )
4012, 14, 18, 32, 39eliood 36881 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  e.  ( A (,) B
) )
4110, 40ffvelrnd 5966 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( F `  ( B  +  s ) )  e.  RR )
42 ioossre 11557 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  RR
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
44 ax-resscn 9499 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
4543, 44syl6ss 3453 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
46 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4746, 11, 2, 6lptioo2cn 37001 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A (,) B ) ) )
48 fourierdlem60.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( F lim
CC  B ) )
499, 45, 47, 48limcrecl 36985 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
5049adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  Y  e.  RR )
5141, 50resubcld 9948 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( F `  ( B  +  s )
)  -  Y )  e.  RR )
52 fourierdlem60.n . . . 4  |-  N  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( F `  ( B  +  s
) )  -  Y
) )
5351, 52fmptd 5989 . . 3  |-  ( ph  ->  N : ( ( A  -  B ) (,) 0 ) --> RR )
54 fourierdlem60.d . . . 4  |-  D  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  s )
5517, 54fmptd 5989 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( ( A  -  B ) (,) 0 ) --> RR )
5652oveq2i 6245 . . . . . 6  |-  ( RR 
_D  N )  =  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) )
5756a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y ) ) ) )
5857dmeqd 5147 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  dom  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) ) )
59 reelprrecn 9534 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
6141recnd 9572 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( F `  ( B  +  s ) )  e.  CC )
62 dvfre 22538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR )
639, 43, 62syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
64 fourierdlem60.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  =  ( RR 
_D  F ) )
6665feq1d 5656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G : dom  ( RR  _D  F
) --> RR  <->  ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> RR ) )
6763, 66mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
6867adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR )
6965eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  G )
7069dmeqd 5147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  dom  G )
71 fourierdlem60.domg . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  ( A (,) B ) )
7270, 71eqtr2d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =  dom  ( RR  _D  F ) )
7372adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( A (,) B )  =  dom  ( RR  _D  F ) )
7440, 73eleqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
7568, 74ffvelrnd 5966 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( G `  ( B  +  s ) )  e.  RR )
76 1red 9561 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  1  e.  RR )
779ffvelrnda 5965 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7877recnd 9572 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
7972feq2d 5657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G : ( A (,) B ) --> RR  <->  G : dom  ( RR  _D  F ) --> RR ) )
8067, 79mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
8180ffvelrnda 5965 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
8219adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  B  e.  CC )
8319adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
84 0red 9547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
8560, 19dvmptc 22545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  B ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
86 ioossre 11557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  C_  RR
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  C_  RR )
8846tgioo2 21492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
89 iooretop 21457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
9160, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90dvmptres 22550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  B ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  0 ) )
9217recnd 9572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  s  e.  CC )
93 recn 9532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
9493adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
95 1red 9561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
9660dvmptid 22544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
9760, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90dvmptres 22550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 ) )
9860, 82, 33, 91, 92, 76, 97dvmptadd 22547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( B  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( 0  +  1 ) ) )
99 0p1e1 10608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
10099mpteq2i 4477 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( 0  +  1 ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  1 )
10198, 100syl6eq 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( B  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 ) )
1029feqmptd 5858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 x ) ) )
103102eqcomd 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  =  F )
104103oveq2d 6250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( RR  _D  F ) )
10580feqmptd 5858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `
 x ) ) )
106104, 69, 1053eqtrd 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) )
107 fveq2 5805 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( B  +  s )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( B  +  s
) ) )
108 fveq2 5805 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( B  +  s )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( B  +  s
) ) )
10960, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108dvmptco 22559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( F `  ( B  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( G `  ( B  +  s )
)  x.  1 ) ) )
11075recnd 9572 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( G `  ( B  +  s ) )  e.  CC )
111110mulid1d 9563 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( G `  ( B  +  s )
)  x.  1 )  =  ( G `  ( B  +  s
) ) )
112111mpteq2dva 4480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( G `  ( B  +  s
) )  x.  1 ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `  ( B  +  s ) ) ) )
113109, 112eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( F `  ( B  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `  ( B  +  s ) ) ) )
114 limccl 22463 . . . . . . . . 9  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
115114, 48sseldi 3439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
116115adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  Y  e.  CC )
117115adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  Y  e.  CC )
11860, 115dvmptc 22545 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  Y ) )  =  ( s  e.  RR  |->  0 ) )
11960, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90dvmptres 22550 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  Y ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  0 ) )
12060, 61, 75, 113, 116, 27, 119dvmptsub 22554 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( G `  ( B  +  s )
)  -  0 ) ) )
121110subid1d 9876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( G `  ( B  +  s )
)  -  0 )  =  ( G `  ( B  +  s
) ) )
122121mpteq2dva 4480 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( G `  ( B  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `  ( B  +  s ) ) ) )
123120, 122eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `  ( B  +  s ) ) ) )
124123dmeqd 5147 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( F `  ( B  +  s
) )  -  Y
) ) )  =  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( G `  ( B  +  s
) ) ) )
12575ralrimiva 2817 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) ( G `  ( B  +  s )
)  e.  RR )
126 dmmptg 5441 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) ( G `
 ( B  +  s ) )  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `
 ( B  +  s ) ) )  =  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) )
127125, 126syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( G `  ( B  +  s
) ) )  =  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )
12858, 124, 1273eqtrd 2447 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  N )  =  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) )
12954a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  s ) )
130129oveq2d 6250 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  s ) ) )
131130, 97eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  D
)  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 ) )
132131dmeqd 5147 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  1 ) )
13376ralrimiva 2817 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 1  e.  RR )
134 dmmptg 5441 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) 1  e.  RR  ->  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 )  =  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) )
135133, 134syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  1 )  =  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )
136132, 135eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  D )  =  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) )
137 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( F `
 ( B  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( F `  ( B  +  s
) ) )
138 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  Y )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  Y )
139 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s ) )  -  Y ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y ) )
14040adantrr 715 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  /\  ( B  +  s )  =/= 
B ) )  -> 
( B  +  s )  e.  ( A (,) B ) )
141 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  B )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  B )
142 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  s )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  s )
143 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( B  +  s ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( B  +  s ) )
14487, 44syl6ss 3453 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  C_  CC )
1455recnd 9572 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
146141, 144, 19, 145constlimc 36980 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  B ) lim CC  0 ) )
147144, 142, 145idlimc 36982 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  s ) lim CC  0 ) )
148141, 142, 143, 82, 92, 146, 147addlimc 37004 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  +  0 )  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( B  +  s ) ) lim CC  0 ) )
14937, 148eqeltrrd 2491 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( B  +  s ) ) lim CC  0 ) )
150102oveq1d 6249 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  B ) )
15148, 150eleqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  x ) ) lim CC  B ) )
152 simplrr 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( B  +  s
)  =  B ) )  /\  -.  ( F `  ( B  +  s ) )  =  Y )  -> 
( B  +  s )  =  B )
15318, 39ltned 9673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( B  +  s )  =/=  B )
154153neneqd 2605 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  -.  ( B  +  s
)  =  B )
155154adantrr 715 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  /\  ( B  +  s )  =  B ) )  ->  -.  ( B  +  s )  =  B )
156155adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( B  +  s
)  =  B ) )  /\  -.  ( F `  ( B  +  s ) )  =  Y )  ->  -.  ( B  +  s )  =  B )
157152, 156condan 795 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  /\  ( B  +  s )  =  B ) )  -> 
( F `  ( B  +  s )
)  =  Y )
158140, 78, 149, 151, 107, 157limcco 22481 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( F `  ( B  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
159138, 144, 115, 145constlimc 36980 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  Y ) lim CC  0 ) )
160137, 138, 139, 61, 116, 158, 159sublimc 37008 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 ) )
161115subidd 9875 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  -  Y
)  =  0 )
16252eqcomi 2415 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s ) )  -  Y ) )  =  N
163162oveq1i 6244 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 )
164163a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y ) ) lim CC  0 )  =  ( N lim CC  0 ) )
165160, 161, 1643eltr3d 2504 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( N lim
CC  0 ) )
166144, 54, 145idlimc 36982 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ( D lim
CC  0 ) )
167 ubioo 11532 . . . . 5  |-  -.  0  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)
168167a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) )
169 mptresid 5269 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  s )  =  (  _I  |`  (
( A  -  B
) (,) 0 ) )
170129, 169syl6eq 2459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  =  (  _I  |`  ( ( A  -  B ) (,) 0
) ) )
171170rneqd 5172 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  D  =  ran  (  _I  |`  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) ) )
172 rnresi 5291 . . . . 5  |-  ran  (  _I  |`  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) )  =  ( ( A  -  B ) (,) 0
)
173171, 172syl6req 2460 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  =  ran  D
)
174168, 173neleqtrd 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  D )
175 0ne1 10564 . . . . . 6  |-  0  =/=  1
176175neii 2602 . . . . 5  |-  -.  0  =  1
177 elsncg 3994 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
0  e.  { 1 }  <->  0  =  1 ) )
1785, 177syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  {
1 }  <->  0  = 
1 ) )
179176, 178mtbiri 301 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  {
1 } )
180131rneqd 5172 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( RR  _D  D )  =  ran  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  1 ) )
181 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  1 )
18226a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
183 ioon0 11526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( ( A  -  B ) (,) 0
)  =/=  (/)  <->  ( A  -  B )  <  0
) )
1844, 182, 183syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  B ) (,) 0 )  =/=  (/)  <->  ( A  -  B )  <  0
) )
1858, 184mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  =/=  (/) )
186181, 76, 185rnmptc 36805 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  1 )  =  { 1 } )
187180, 186eqtr2d 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  { 1 }  =  ran  ( RR  _D  D
) )
188179, 187neleqtrd 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  D
) )
18981recnd 9572 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
190 fourierdlem60.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( G lim
CC  B ) )
191105oveq1d 6249 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G lim CC  B
)  =  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  B ) )
192190, 191eleqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) lim CC  B ) )
193 simplrr 763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( B  +  s
)  =  B ) )  /\  -.  ( G `  ( B  +  s ) )  =  E )  -> 
( B  +  s )  =  B )
194155adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( B  +  s
)  =  B ) )  /\  -.  ( G `  ( B  +  s ) )  =  E )  ->  -.  ( B  +  s )  =  B )
195193, 194condan 795 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  /\  ( B  +  s )  =  B ) )  -> 
( G `  ( B  +  s )
)  =  E )
196140, 189, 149, 192, 108, 195limcco 22481 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `  ( B  +  s ) ) ) lim CC  0 ) )
197110div1d 10273 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( G `  ( B  +  s )
)  /  1 )  =  ( G `  ( B  +  s
) ) )
19856, 123syl5eq 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  N
)  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `
 ( B  +  s ) ) ) )
199198adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( RR  _D  N )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( G `  ( B  +  s )
) ) )
200199fveq1d 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( RR  _D  N
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `
 ( B  +  s ) ) ) `
 s ) )
201 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( G `
 ( B  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( G `  ( B  +  s
) ) )
202201fvmpt2 5897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( G `  ( B  +  s ) )  e.  RR )  -> 
( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( G `  ( B  +  s
) ) ) `  s )  =  ( G `  ( B  +  s ) ) )
20328, 75, 202syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( G `  ( B  +  s )
) ) `  s
)  =  ( G `
 ( B  +  s ) ) )
204200, 203eqtr2d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( G `  ( B  +  s ) )  =  ( ( RR 
_D  N ) `  s ) )
205131fveq1d 5807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  D ) `  s
)  =  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 ) `  s ) )
206205adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( RR  _D  D
) `  s )  =  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  1 ) `
 s ) )
207181fvmpt2 5897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  1 ) `  s )  =  1 )
20828, 76, 207syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  1 ) `  s
)  =  1 )
209206, 208eqtr2d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  1  =  ( ( RR 
_D  D ) `  s ) )
210204, 209oveq12d 6252 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( G `  ( B  +  s )
)  /  1 )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
211197, 210eqtr3d 2445 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( G `  ( B  +  s ) )  =  ( ( ( RR  _D  N ) `
 s )  / 
( ( RR  _D  D ) `  s
) ) )
212211mpteq2dva 4480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( G `  ( B  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) )
213212oveq1d 6249 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( G `  ( B  +  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  N ) `  s )  /  (
( RR  _D  D
) `  s )
) ) lim CC  0 ) )
214196, 213eleqtrd 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( ( RR  _D  N ) `  s
)  /  ( ( RR  _D  D ) `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
2154, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214lhop2 22600 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( N `  s
)  /  ( D `
 s ) ) ) lim CC  0 ) )
21652fvmpt2 5897 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  ( ( F `  ( B  +  s
) )  -  Y
)  e.  RR )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `  ( B  +  s )
)  -  Y ) )
21728, 51, 216syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( N `  s )  =  ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y ) )
21854fvmpt2 5897 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 ) )  -> 
( D `  s
)  =  s )
21928, 28, 218syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  ( D `  s )  =  s )
220217, 219oveq12d 6252 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
) )  ->  (
( N `  s
)  /  ( D `
 s ) )  =  ( ( ( F `  ( B  +  s ) )  -  Y )  / 
s ) )
221220mpteq2dva 4480 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0 )  |->  ( ( ( F `  ( B  +  s
) )  -  Y
)  /  s ) ) )
222 fourierdlem60.h . . . 4  |-  H  =  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( ( F `
 ( B  +  s ) )  -  Y )  /  s
) )
223221, 222syl6eqr 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  B
) (,) 0 ) 
|->  ( ( N `  s )  /  ( D `  s )
) )  =  H )
224223oveq1d 6249 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( ( A  -  B ) (,) 0
)  |->  ( ( N `
 s )  / 
( D `  s
) ) ) lim CC  0 )  =  ( H lim CC  0 ) )
225215, 224eleqtrd 2492 1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( H lim
CC  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753    C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   {cpr 3973   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452    _I cid 4732   dom cdm 4942   ran crn 4943    |` cres 4944   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443    + caddc 9445    x. cmul 9447   RR*cxr 9577    < clt 9578    - cmin 9761    / cdiv 10167   (,)cioo 11500   TopOpenctopn 14928   topGenctg 14944  ℂfldccnfld 18632   lim CC climc 22450    _D cdv 22451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ioc 11505  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-lp 19822  df-perf 19823  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-haus 20001  df-cmp 20072  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cncf 21566  df-limc 22454  df-dv 22455
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