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Theorem fourierdlem58 32113
Description: The derivative of  K is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem58.k  |-  K  =  ( s  e.  A  |->  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
fourierdlem58.ass  |-  ( ph  ->  A  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem58.0nA  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  A
)
fourierdlem58.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem58  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  e.  ( A
-cn-> RR ) )
Distinct variable groups:    A, s    ph, s
Allowed substitution hint:    K( s)

Proof of Theorem fourierdlem58
StepHypRef Expression
1 pire 22936 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
21a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  pi  e.  RR )
32renegcld 9904 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -u pi  e.  RR )
43, 2iccssred 31705 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( -u pi [,] pi ) 
C_  RR )
5 fourierdlem58.ass . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( -u pi [,] pi ) )
65sselda 3417 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
74, 6sseldd 3418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
8 2re 10522 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  2  e.  RR )
107rehalfcld 10702 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
1110resincld 13880 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  RR )
129, 11remulcld 9535 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  RR )
13 2cnd 10525 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  2  e.  CC )
147recnd 9533 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  CC )
1514halfcld 10700 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
1615sincld 13867 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
17 2ne0 10545 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  2  =/=  0 )
19 eqcom 2391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  0  <->  0  =  s )
2019biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  0  ->  0  =  s )
2120adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  A  /\  s  =  0 )  ->  0  =  s )
22 simpl 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  A  /\  s  =  0 )  ->  s  e.  A
)
2321, 22eqeltrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  A  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  A
)
2423adantll 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  A )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  A )
25 fourierdlem58.0nA . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  A
)
2625ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  A )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  A
)
2724, 26pm2.65da 574 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  s  =  0 )
2827neqned 2585 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  =/=  0 )
29 fourierdlem44 32099 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
306, 28, 29syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  =/=  0 )
3113, 16, 18, 30mulne0d 10118 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  =/=  0 )
327, 12, 31redivcld 10289 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  RR )
33 fourierdlem58.k . . . . 5  |-  K  =  ( s  e.  A  |->  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
3432, 33fmptd 5957 . . . 4  |-  ( ph  ->  K : A --> RR )
351a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
3635renegcld 9904 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
3736, 35iccssred 31705 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
385, 37sstrd 3427 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
39 dvfre 22439 . . . 4  |-  ( ( K : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( RR  _D  K
) : dom  ( RR  _D  K ) --> RR )
4034, 38, 39syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
) : dom  ( RR  _D  K ) --> RR )
41 fourierdlem58.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
42 eqidd 2383 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  s )  =  ( s  e.  A  |->  s ) )
43 eqidd 2383 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
4441, 7, 12, 42, 43offval2 6455 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  A  |->  s )  oF  /  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
4544, 33syl6reqr 2442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  =  ( ( s  e.  A  |->  s )  oF  / 
( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
4645oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  =  ( RR 
_D  ( ( s  e.  A  |->  s )  oF  /  (
s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) )
47 reelprrecn 9495 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
4847a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
49 eqid 2382 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  A  |->  s )  =  ( s  e.  A  |->  s )
5014, 49fmptd 5957 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  s ) : A --> CC )
5113, 16mulcld 9527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
5231neneqd 2584 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  =  0 )
53 elsncg 3967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  RR  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e. 
{ 0 }  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =  0 ) )
5412, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  e.  { 0 }  <-> 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  =  0 ) )
5552, 54mtbird 299 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  e.  { 0 } )
5651, 55eldifd 3400 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
57 eqid 2382 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
5856, 57fmptd 5957 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) : A --> ( CC 
\  { 0 } ) )
59 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6059tgioo2 21393 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
6141, 60syl6eleq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
6248, 61dvmptidg 31878 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  A  |->  s ) )  =  ( s  e.  A  |->  1 ) )
63 ax-resscn 9460 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
6538, 64sstrd 3427 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
66 1cnd 9523 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
67 ssid 3436 . . . . . . . . . 10  |-  CC  C_  CC
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
6965, 66, 68constcncfg 31839 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  1 )  e.  ( A -cn-> CC ) )
7062, 69eqeltrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  A  |->  s ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
7138resmptd 5237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  A )  =  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
7271eqcomd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  |`  A ) )
7372oveq2d 6212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( RR 
_D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  A ) ) )
74 eqid 2382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
75 2cnd 10525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  2  e.  CC )
76 recn 9493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
7776halfcld 10700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
7877sincld 13867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
7975, 78mulcld 9527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
8074, 79fmpti 5956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) : RR --> CC
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) : RR --> CC )
82 ssid 3436 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR
8382a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  RR )
8459, 60dvres 22400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  A  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  A ) )  =  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )
) )
8564, 81, 83, 38, 84syl22anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  |`  A )
)  =  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )
) )
86 retop 21353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
88 uniretop 21354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
8988isopn3 19653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A  C_  RR )  ->  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  A )  =  A ) )
9087, 38, 89syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  (
topGen `  ran  (,) )  <->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  =  A ) )
9141, 90mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  =  A )
9291reseq2d 5186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )
)  =  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  A ) )
93 resmpt 5235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
9463, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
95 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  s  e.  CC )
96 2cnd 10525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  2  e.  CC )
9717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  2  =/=  0 )
9895, 96, 97divrec2d 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  CC  ->  (
s  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )
9998eqcomd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
10076, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
101100fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
102101oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
103102mpteq2ia 4449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
10494, 103eqtr2i 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
105104oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
106 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
107 halfcn 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
109108, 95mulcld 9527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  e.  CC )
110109sincld 13867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
11196, 110mulcld 9527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC )
112106, 111fmpti 5956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC
113 2cn 10523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
114 dvasinbx 31883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC )  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
115113, 107, 114mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( CC 
_D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
116113, 17recidi 10192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
11899fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
119117, 118oveq12d 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( s  / 
2 ) ) ) )
120 halfcl 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  CC  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
121120coscld 13868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
122121mulid2d 9525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  CC  ->  (
1  x.  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
123119, 122eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
124123mpteq2ia 4449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2 ) ) )
125115, 124eqtri 2411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
_D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
126125dmeqi 5117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  dom  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )
127 dmmptg 5412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. s  e.  CC  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  =  CC )
128127, 121mprg 2745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  (
s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2 ) ) )  =  CC
129126, 128eqtri 2411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  CC
13063, 129sseqtr4i 3450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
131 dvres3 22402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) ) ) )  -> 
( RR  _D  (
( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
)  =  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR ) )
13247, 112, 67, 130, 131mp4an 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )
133125reseq1i 5182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2 ) ) )  |`  RR )
134105, 132, 1333eqtri 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  |`  RR )
135134reseq1i 5182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  A )  =  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  |`  RR )  |`  A )
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )  |`  A )  =  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2 ) ) )  |`  RR )  |`  A ) )
13738resabs1d 5215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  |`  RR )  |`  A )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  |`  A ) )
13865resmptd 5237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  |`  A )  =  ( s  e.  A  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
139137, 138eqtrd 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  |`  RR )  |`  A )  =  ( s  e.  A  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
14092, 136, 1393eqtrd 2427 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )
)  =  ( s  e.  A  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) ) )
14173, 85, 1403eqtrd 2427 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) ) )
142 coscn 22925 . . . . . . . . . 10  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
143142a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
14465, 68idcncfg 31840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  s )  e.  ( A -cn-> CC ) )
145 2cnd 10525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
14617a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
147 eldifsn 4069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
148145, 146, 147sylanbrc 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
149 difssd 3546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
15065, 148, 149constcncfg 31839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  2 )  e.  ( A -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
151144, 150divcncf 31852 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( s  /  2
) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
152143, 151cncfmpt1f 21502 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
153141, 152eqeltrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
15448, 50, 58, 70, 153dvdivcncf 31890 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( s  e.  A  |->  s )  oF  /  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
15546, 154eqeltrd 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  e.  ( A
-cn-> CC ) )
156 cncff 21482 . . . . 5  |-  ( ( RR  _D  K )  e.  ( A -cn-> CC )  ->  ( RR  _D  K ) : A --> CC )
157 fdm 5643 . . . . 5  |-  ( ( RR  _D  K ) : A --> CC  ->  dom  ( RR  _D  K
)  =  A )
158155, 156, 1573syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  K )  =  A )
159158feq2d 5626 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  K ) : dom  ( RR  _D  K
) --> RR  <->  ( RR  _D  K ) : A --> RR ) )
16040, 159mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
) : A --> RR )
161 cncffvrn 21487 . . 3  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  ( RR  _D  K )  e.  ( A -cn-> CC ) )  ->  ( ( RR  _D  K )  e.  ( A -cn-> RR )  <-> 
( RR  _D  K
) : A --> RR ) )
16264, 155, 161syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  K )  e.  ( A -cn-> RR )  <->  ( RR  _D  K ) : A --> RR ) )
163160, 162mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  e.  ( A
-cn-> RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577    \ cdif 3386    C_ wss 3389   {csn 3944   {cpr 3946    |-> cmpt 4425   dom cdm 4913   ran crn 4914    |` cres 4915   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    oFcof 6437   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    x. cmul 9408   -ucneg 9719    / cdiv 10123   2c2 10502   (,)cioo 11450   [,]cicc 11453   sincsin 13801   cosccos 13802   picpi 13804   ↾t crest 14828   TopOpenctopn 14829   topGenctg 14845  ℂfldccnfld 18533   Topctop 19479   intcnt 19603   -cn->ccncf 21465    _D cdv 22352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805  df-sin 13807  df-cos 13808  df-pi 13810  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-t1 19901  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-limc 22355  df-dv 22356
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  32127
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