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Theorem fourierdlem58 38022
Description: The derivative of  K is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem58.k  |-  K  =  ( s  e.  A  |->  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
fourierdlem58.ass  |-  ( ph  ->  A  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem58.0nA  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  A
)
fourierdlem58.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem58  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  e.  ( A
-cn-> RR ) )
Distinct variable groups:    A, s    ph, s
Allowed substitution hint:    K( s)

Proof of Theorem fourierdlem58
StepHypRef Expression
1 pire 23406 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
21a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  pi  e.  RR )
32renegcld 10043 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -u pi  e.  RR )
43, 2iccssred 37596 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( -u pi [,] pi ) 
C_  RR )
5 fourierdlem58.ass . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( -u pi [,] pi ) )
65sselda 3431 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
74, 6sseldd 3432 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
8 2re 10676 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  2  e.  RR )
107rehalfcld 10856 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
1110resincld 14190 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  RR )
129, 11remulcld 9668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  RR )
13 2cnd 10679 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  2  e.  CC )
147recnd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  CC )
1514halfcld 10854 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
1615sincld 14177 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
17 2ne0 10699 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  2  =/=  0 )
19 eqcom 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  0  <->  0  =  s )
2019biimpi 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  0  ->  0  =  s )
2120adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  A  /\  s  =  0 )  ->  0  =  s )
22 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  A  /\  s  =  0 )  ->  s  e.  A
)
2321, 22eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  A  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  A
)
2423adantll 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  A )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  A )
25 fourierdlem58.0nA . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  A
)
2625ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  A )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  A
)
2724, 26pm2.65da 579 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  s  =  0 )
2827neqned 2630 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  =/=  0 )
29 fourierdlem44 38009 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
306, 28, 29syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  =/=  0 )
3113, 16, 18, 30mulne0d 10261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  =/=  0 )
327, 12, 31redivcld 10432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  RR )
33 fourierdlem58.k . . . . 5  |-  K  =  ( s  e.  A  |->  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
3432, 33fmptd 6044 . . . 4  |-  ( ph  ->  K : A --> RR )
351a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
3635renegcld 10043 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
3736, 35iccssred 37596 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
385, 37sstrd 3441 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
39 dvfre 22898 . . . 4  |-  ( ( K : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( RR  _D  K
) : dom  ( RR  _D  K ) --> RR )
4034, 38, 39syl2anc 666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
) : dom  ( RR  _D  K ) --> RR )
41 fourierdlem58.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
42 eqidd 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  s )  =  ( s  e.  A  |->  s ) )
43 eqidd 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
4441, 7, 12, 42, 43offval2 6545 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  A  |->  s )  oF  /  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
4544, 33syl6reqr 2503 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  =  ( ( s  e.  A  |->  s )  oF  / 
( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
4645oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  =  ( RR 
_D  ( ( s  e.  A  |->  s )  oF  /  (
s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) )
47 reelprrecn 9628 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
4847a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
49 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  A  |->  s )  =  ( s  e.  A  |->  s )
5014, 49fmptd 6044 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  s ) : A --> CC )
5113, 16mulcld 9660 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
5231neneqd 2628 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  =  0 )
53 elsncg 3990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  RR  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e. 
{ 0 }  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =  0 ) )
5412, 53syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  e.  { 0 }  <-> 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  =  0 ) )
5552, 54mtbird 303 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  e.  { 0 } )
5651, 55eldifd 3414 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
57 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
5856, 57fmptd 6044 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) : A --> ( CC 
\  { 0 } ) )
59 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6059tgioo2 21814 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
6141, 60syl6eleq 2538 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
6248, 61dvmptidg 37781 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  A  |->  s ) )  =  ( s  e.  A  |->  1 ) )
63 ax-resscn 9593 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
6538, 64sstrd 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
66 1cnd 9656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
67 ssid 3450 . . . . . . . . . 10  |-  CC  C_  CC
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
6965, 66, 68constcncfg 37742 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  1 )  e.  ( A -cn-> CC ) )
7062, 69eqeltrd 2528 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  A  |->  s ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
7138resmptd 5155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  A )  =  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
7271eqcomd 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  |`  A ) )
7372oveq2d 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( RR 
_D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  A ) ) )
74 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
75 2cnd 10679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  2  e.  CC )
76 recn 9626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
7776halfcld 10854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
7877sincld 14177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
7975, 78mulcld 9660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
8074, 79fmpti 6043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) : RR --> CC
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) : RR --> CC )
82 ssid 3450 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR
8382a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  RR )
8459, 60dvres 22859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  A  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  A ) )  =  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )
) )
8564, 81, 83, 38, 84syl22anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  |`  A )
)  =  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )
) )
86 retop 21775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
88 uniretop 21776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
8988isopn3 20075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A  C_  RR )  ->  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  A )  =  A ) )
9087, 38, 89syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  (
topGen `  ran  (,) )  <->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  =  A ) )
9141, 90mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  =  A )
9291reseq2d 5104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )
)  =  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  A ) )
93 resmpt 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
9463, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
95 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  s  e.  CC )
96 2cnd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  2  e.  CC )
9717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  2  =/=  0 )
9895, 96, 97divrec2d 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  CC  ->  (
s  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )
9998eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
10076, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
101100fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
102101oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
103102mpteq2ia 4484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
10494, 103eqtr2i 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
105104oveq2i 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
106 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
107 halfcn 10826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
109108, 95mulcld 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  e.  CC )
110109sincld 14177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
11196, 110mulcld 9660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC )
112106, 111fmpti 6043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC
113 2cn 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
114 dvasinbx 37786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC )  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
115113, 107, 114mp2an 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( CC 
_D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
116113, 17recidi 10335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
11899fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
119117, 118oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( s  / 
2 ) ) ) )
120 halfcl 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  CC  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
121120coscld 14178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
122121mulid2d 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  CC  ->  (
1  x.  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
123119, 122eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
124123mpteq2ia 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2 ) ) )
125115, 124eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
_D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
126125dmeqi 5035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  dom  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )
127 dmmptg 5331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. s  e.  CC  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  =  CC )
128127, 121mprg 2750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  (
s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2 ) ) )  =  CC
129126, 128eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  CC
13063, 129sseqtr4i 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
131 dvres3 22861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) ) ) )  -> 
( RR  _D  (
( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
)  =  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR ) )
13247, 112, 67, 130, 131mp4an 678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )
133125reseq1i 5100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2 ) ) )  |`  RR )
134105, 132, 1333eqtri 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  |`  RR )
135134reseq1i 5100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  A )  =  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  |`  RR )  |`  A )
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )  |`  A )  =  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2 ) ) )  |`  RR )  |`  A ) )
13738resabs1d 5133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  |`  RR )  |`  A )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  |`  A ) )
13865resmptd 5155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  |`  A )  =  ( s  e.  A  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
139137, 138eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  |`  RR )  |`  A )  =  ( s  e.  A  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
14092, 136, 1393eqtrd 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )
)  =  ( s  e.  A  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) ) )
14173, 85, 1403eqtrd 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) ) )
142 coscn 23393 . . . . . . . . . 10  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
143142a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
14465, 68idcncfg 37743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  s )  e.  ( A -cn-> CC ) )
145 2cnd 10679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
14617a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
147 eldifsn 4096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
148145, 146, 147sylanbrc 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
149 difssd 3560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
15065, 148, 149constcncfg 37742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  2 )  e.  ( A -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
151144, 150divcncf 37755 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( s  /  2
) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
152143, 151cncfmpt1f 21938 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
153141, 152eqeltrd 2528 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
15448, 50, 58, 70, 153dvdivcncf 37793 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( s  e.  A  |->  s )  oF  /  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
15546, 154eqeltrd 2528 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  e.  ( A
-cn-> CC ) )
156 cncff 21918 . . . . 5  |-  ( ( RR  _D  K )  e.  ( A -cn-> CC )  ->  ( RR  _D  K ) : A --> CC )
157 fdm 5731 . . . . 5  |-  ( ( RR  _D  K ) : A --> CC  ->  dom  ( RR  _D  K
)  =  A )
158155, 156, 1573syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  K )  =  A )
159158feq2d 5713 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  K ) : dom  ( RR  _D  K
) --> RR  <->  ( RR  _D  K ) : A --> RR ) )
16040, 159mpbid 214 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
) : A --> RR )
161 cncffvrn 21923 . . 3  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  ( RR  _D  K )  e.  ( A -cn-> CC ) )  ->  ( ( RR  _D  K )  e.  ( A -cn-> RR )  <-> 
( RR  _D  K
) : A --> RR ) )
16264, 155, 161syl2anc 666 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  K )  e.  ( A -cn-> RR )  <->  ( RR  _D  K ) : A --> RR ) )
163160, 162mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  e.  ( A
-cn-> RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621    \ cdif 3400    C_ wss 3403   {csn 3967   {cpr 3969    |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   ran crn 4834    |` cres 4835   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    oFcof 6526   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    x. cmul 9541   -ucneg 9858    / cdiv 10266   2c2 10656   (,)cioo 11632   [,]cicc 11635   sincsin 14109   cosccos 14110   picpi 14112   ↾t crest 15312   TopOpenctopn 15313   topGenctg 15329  ℂfldccnfld 18963   Topctop 19910   intcnt 20025   -cn->ccncf 21901    _D cdv 22811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-t1 20323  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  38036
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