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Theorem fourierdlem58 31901
Description: The derivative of  K is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem58.k  |-  K  =  ( s  e.  A  |->  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
fourierdlem58.ass  |-  ( ph  ->  A  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem58.0nA  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  A
)
fourierdlem58.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem58  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  e.  ( A
-cn-> RR ) )
Distinct variable groups:    A, s    ph, s
Allowed substitution hint:    K( s)

Proof of Theorem fourierdlem58
StepHypRef Expression
1 pire 22829 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
21a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  pi  e.  RR )
32renegcld 9993 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -u pi  e.  RR )
43, 2iccssred 31493 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( -u pi [,] pi ) 
C_  RR )
5 fourierdlem58.ass . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( -u pi [,] pi ) )
65sselda 3489 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
74, 6sseldd 3490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
8 2re 10612 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  2  e.  RR )
107rehalfcld 10792 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
1110resincld 13860 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  RR )
129, 11remulcld 9627 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  RR )
13 2cnd 10615 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  2  e.  CC )
147recnd 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  CC )
1514halfcld 10790 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
1615sincld 13847 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
17 2ne0 10635 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  2  =/=  0 )
19 eqcom 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  0  <->  0  =  s )
2019biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  0  ->  0  =  s )
2120adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  A  /\  s  =  0 )  ->  0  =  s )
22 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  A  /\  s  =  0 )  ->  s  e.  A
)
2321, 22eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  A  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  A
)
2423adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  A )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  A )
25 fourierdlem58.0nA . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  A
)
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  A )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  A
)
2724, 26pm2.65da 576 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  s  =  0 )
2827neqned 2646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  =/=  0 )
29 fourierdlem44 31887 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
306, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  =/=  0 )
3113, 16, 18, 30mulne0d 10208 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  =/=  0 )
327, 12, 31redivcld 10379 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  RR )
33 fourierdlem58.k . . . . 5  |-  K  =  ( s  e.  A  |->  ( s  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
3432, 33fmptd 6040 . . . 4  |-  ( ph  ->  K : A --> RR )
351a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
3635renegcld 9993 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
3736, 35iccssred 31493 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
385, 37sstrd 3499 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
39 dvfre 22332 . . . 4  |-  ( ( K : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( RR  _D  K
) : dom  ( RR  _D  K ) --> RR )
4034, 38, 39syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
) : dom  ( RR  _D  K ) --> RR )
41 fourierdlem58.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
42 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  s )  =  ( s  e.  A  |->  s ) )
43 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
4441, 7, 12, 42, 43offval2 6541 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  A  |->  s )  oF  /  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
4544, 33syl6reqr 2503 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  =  ( ( s  e.  A  |->  s )  oF  / 
( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
4645oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  =  ( RR 
_D  ( ( s  e.  A  |->  s )  oF  /  (
s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) ) ) )
47 reelprrecn 9587 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
4847a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
49 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  A  |->  s )  =  ( s  e.  A  |->  s )
5014, 49fmptd 6040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  s ) : A --> CC )
5113, 16mulcld 9619 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
5231neneqd 2645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  =  0 )
53 elsncg 4037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  RR  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e. 
{ 0 }  <->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =  0 ) )
5412, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  e.  { 0 }  <-> 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  =  0 ) )
5552, 54mtbird 301 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  e.  { 0 } )
5651, 55eldifd 3472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
57 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
5856, 57fmptd 6040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) : A --> ( CC 
\  { 0 } ) )
59 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
6059tgioo2 21286 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
6141, 60syl6eleq 2541 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
6248, 61dvmptidg 31666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  A  |->  s ) )  =  ( s  e.  A  |->  1 ) )
63 ax-resscn 9552 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
6538, 64sstrd 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
66 1cnd 9615 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
67 ssid 3508 . . . . . . . . . 10  |-  CC  C_  CC
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
6965, 66, 68constcncfg 31627 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  1 )  e.  ( A -cn-> CC ) )
7062, 69eqeltrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  A  |->  s ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
7138resmptd 5315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  A )  =  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
7271eqcomd 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  |`  A ) )
7372oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( RR 
_D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  A ) ) )
74 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
75 2cnd 10615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  2  e.  CC )
76 recn 9585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
7776halfcld 10790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
7877sincld 13847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
7975, 78mulcld 9619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
8074, 79fmpti 6039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) : RR --> CC
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) : RR --> CC )
82 ssid 3508 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR
8382a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  RR )
8459, 60dvres 22293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  A  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  A ) )  =  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )
) )
8564, 81, 83, 38, 84syl22anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  |`  A )
)  =  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )
) )
86 retop 21246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
88 uniretop 21247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
8988isopn3 19545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A  C_  RR )  ->  ( A  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  A )  =  A ) )
9087, 38, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  (
topGen `  ran  (,) )  <->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  =  A ) )
9141, 90mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )  =  A )
9291reseq2d 5263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )
)  =  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  A ) )
93 resmpt 5313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
9463, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
95 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  s  e.  CC )
96 2cnd 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  2  e.  CC )
9717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  2  =/=  0 )
9895, 96, 97divrec2d 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  CC  ->  (
s  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )
9998eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
10076, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
101100fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
102101oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
103102mpteq2ia 4519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
10494, 103eqtr2i 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
105104oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
106 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
107 halfcn 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
109108, 95mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  e.  CC )
110109sincld 13847 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
11196, 110mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC )
112106, 111fmpti 6039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC
113 2cn 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
114 dvasinbx 31671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC )  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
115113, 107, 114mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( CC 
_D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
116113, 17recidi 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
11899fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
119117, 118oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( s  / 
2 ) ) ) )
120 halfcl 10771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  CC  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
121120coscld 13848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  e.  CC  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
122121mulid2d 9617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  CC  ->  (
1  x.  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
123119, 122eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
124123mpteq2ia 4519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2 ) ) )
125115, 124eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
_D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
126125dmeqi 5194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  dom  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )
127 dmmptg 5494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. s  e.  CC  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  =  CC )
128127, 121mprg 2806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  (
s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2 ) ) )  =  CC
129126, 128eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  CC
13063, 129sseqtr4i 3522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
131 dvres3 22295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) ) ) )  -> 
( RR  _D  (
( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
)  =  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR ) )
13247, 112, 67, 130, 131mp4an 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )
133125reseq1i 5259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2 ) ) )  |`  RR )
134105, 132, 1333eqtri 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  |`  RR )
135134reseq1i 5259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  A )  =  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  |`  RR )  |`  A )
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )  |`  A )  =  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2 ) ) )  |`  RR )  |`  A ) )
13738resabs1d 5293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  |`  RR )  |`  A )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  |`  A ) )
13865resmptd 5315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  |`  A )  =  ( s  e.  A  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
139137, 138eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) )  |`  RR )  |`  A )  =  ( s  e.  A  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
14092, 136, 1393eqtrd 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  A )
)  =  ( s  e.  A  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) ) )
14173, 85, 1403eqtrd 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) ) )
142 coscn 22818 . . . . . . . . . 10  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
143142a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
14465, 68idcncfg 31628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  s )  e.  ( A -cn-> CC ) )
145 2cnd 10615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
14617a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
147 eldifsn 4140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
148145, 146, 147sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
149 difssd 3617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
15065, 148, 149constcncfg 31627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  2 )  e.  ( A -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
151144, 150divcncf 31640 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( s  /  2
) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
152143, 151cncfmpt1f 21395 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
153141, 152eqeltrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
15448, 50, 58, 70, 153dvdivcncf 31678 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( s  e.  A  |->  s )  oF  /  ( s  e.  A  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  e.  ( A
-cn-> CC ) )
15546, 154eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  e.  ( A
-cn-> CC ) )
156 cncff 21375 . . . . 5  |-  ( ( RR  _D  K )  e.  ( A -cn-> CC )  ->  ( RR  _D  K ) : A --> CC )
157 fdm 5725 . . . . 5  |-  ( ( RR  _D  K ) : A --> CC  ->  dom  ( RR  _D  K
)  =  A )
158155, 156, 1573syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  K )  =  A )
159158feq2d 5708 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  K ) : dom  ( RR  _D  K
) --> RR  <->  ( RR  _D  K ) : A --> RR ) )
16040, 159mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
) : A --> RR )
161 cncffvrn 21380 . . 3  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  ( RR  _D  K )  e.  ( A -cn-> CC ) )  ->  ( ( RR  _D  K )  e.  ( A -cn-> RR )  <-> 
( RR  _D  K
) : A --> RR ) )
16264, 155, 161syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  K )  e.  ( A -cn-> RR )  <->  ( RR  _D  K ) : A --> RR ) )
163160, 162mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  K
)  e.  ( A
-cn-> RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4014   {cpr 4016    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ran crn 4990    |` cres 4991   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    x. cmul 9500   -ucneg 9811    / cdiv 10213   2c2 10592   (,)cioo 11540   [,]cicc 11543   sincsin 13781   cosccos 13782   picpi 13784   ↾t crest 14800   TopOpenctopn 14801   topGenctg 14817  ℂfldccnfld 18399   Topctop 19372   intcnt 19496   -cn->ccncf 21358    _D cdv 22245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-t1 19793  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  31915
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