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Theorem fourierdlem57 37314
Description: The derivative of  O. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem57.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem57.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem57.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem57.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem57.fdv  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
fourierdlem57.ab  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem57.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
fourierdlem57.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem57.o  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem57  |-  ( (
ph  ->  ( ( RR 
_D  O ) : ( A (,) B
) --> RR  /\  ( RR  _D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /\  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    F, s    X, s    ph, s
Allowed substitution hint:    O( s)

Proof of Theorem fourierdlem57
StepHypRef Expression
1 fourierdlem57.fdv . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
21adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) ) ) : ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) --> RR )
3 fourierdlem57.xre . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
4 fourierdlem57.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
53, 4readdcld 9653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR )
65rexrd 9673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR* )
76adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  e.  RR* )
8 fourierdlem57.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
93, 8readdcld 9653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR )
109rexrd 9673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR* )
1110adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  e.  RR* )
123adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
13 elioore 11612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
1413adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
1512, 14readdcld 9653 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
164adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
1716rexrd 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
188rexrd 9673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
1918adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
20 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
21 ioogtlb 36897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
2217, 19, 20, 21syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
2316, 14, 12, 22ltadd2dd 9775 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
248adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
25 iooltub 36916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
2617, 19, 20, 25syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
2714, 24, 12, 26ltadd2dd 9775 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
287, 11, 15, 23, 27eliood 36900 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )
292, 28ffvelrnd 6010 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  RR )
30 2re 10646 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  RR )
32 rehalfcl 10806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
3314, 32syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
3433resincld 14087 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
3531, 34remulcld 9654 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
3629, 35remulcld 9654 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  e.  RR )
3733recoscld 14088 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
38 fourierdlem57.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
3938adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
4039, 15ffvelrnd 6010 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
41 fourierdlem57.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4241adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
4340, 42resubcld 10028 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR )
4437, 43remulcld 9654 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( s  / 
2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  e.  RR )
4536, 44resubcld 10028 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  e.  RR )
4635resqcld 12380 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 )  e.  RR )
47 2cnd 10649 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  2  e.  CC )
4832recnd 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
4948sincld 14074 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
5047, 49mulcld 9646 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
5114, 50syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
52 2cnd 10649 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  CC )
5314, 49syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
54 2ne0 10669 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
56 fourierdlem57.ab . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
5756sselda 3442 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
58 eqcom 2411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  0  <->  0  =  s )
5958biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  0  ->  0  =  s )
6059adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  =  s )
61 simpl 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
6260, 61eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
6362adantll 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  ( A (,) B ) )
64 fourierdlem57.n0 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
6564ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
6663, 65pm2.65da 574 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
6766neqned 2606 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
68 fourierdlem44 37301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
6957, 67, 68syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
7052, 53, 55, 69mulne0d 10242 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
)
71 2z 10937 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
7271a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  ZZ )
7351, 70, 72expne0d 12360 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 )  =/=  0
)
7445, 46, 73redivcld 10413 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
75 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
7674, 75fmptd 6033 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B
) --> RR )
77 fourierdlem57.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
7877a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
7978oveq2d 6294 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
80 reelprrecn 9614 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
8180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
8243recnd 9652 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
8340recnd 9652 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
84 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  =  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )
8538, 3, 4, 8, 84, 1fourierdlem28 37285 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
8642recnd 9652 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  CC )
87 0red 9627 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  e.  RR )
88 iooretop 21565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
89 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9089tgioo2 21600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
9188, 90eleqtri 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
9341recnd 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
9481, 92, 93dvmptconst 37078 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
9581, 83, 29, 85, 86, 87, 94dvmptsub 22662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  -  0 ) ) )
9629recnd 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  CC )
9796subid1d 9956 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  - 
0 )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) )
9897mpteq2dva 4481 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
9995, 98eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
100 eldifsn 4097 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
) )
10151, 70, 100sylanbrc 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
102 recn 9612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
10354a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  2  =/=  0 )
104102, 47, 103divrec2d 10365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )
105104eqcomd 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
10613, 105syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
107106fveq2d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
108 halfcn 10796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
110 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  CC  ->  s  e.  CC )
111109, 110mulcld 9646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  e.  CC )
112111coscld 14075 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
11313, 102, 1123syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
114107, 113eqeltrrd 2491 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
115114adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
116 ioossre 11640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  RR
117 resmpt 5143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )
119118eqcomi 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) )
120119oveq2i 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )
121 ax-resscn 9579 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
122 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
123122, 50fmpti 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) : RR --> CC
124 ssid 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR
12589, 90dvres 22607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) ) )
126121, 123, 124, 116, 125mp4an 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) )
127 resmpt 5143 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
128121, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
129105fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
130129oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
131130mpteq2ia 4477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
132128, 131eqtr2i 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
133132oveq2i 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
134 ioontr 36917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( A (,) B )
135133, 134reseq12i 5092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )  |`  ( A (,) B ) )
136 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
137 2cnd 10649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  ->  2  e.  CC )
138111sincld 14074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
139137, 138mulcld 9646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC )
140136, 139fmpti 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC
141 ssid 3461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
142 dmmptg 5320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. s  e.  CC  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  CC )
143 2cn 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
144143, 108mulcli 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
146145, 112mulcld 9646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC )
147142, 146mprg 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (
s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  =  CC
148121, 147sseqtr4i 3475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
149 dvasinbx 37085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC )  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
150143, 108, 149mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
_D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
151150dmeqi 5025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
152148, 151sseqtr4i 3475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
153 dvres3 22609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) ) ) )  -> 
( RR  _D  (
( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
)  =  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR ) )
15480, 140, 141, 152, 153mp4an 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )
155154reseq1i 5090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )
156150reseq1i 5090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
157156reseq1i 5090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B ) )
158 resabs1 5122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )
159116, 158ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) )
160 ioosscn 36896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  CC
161 resmpt 5143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  CC  ->  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
163157, 159, 1623eqtri 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
164135, 155, 1633eqtri 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
165120, 126, 1643eqtri 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
166143, 54recidi 10316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
167166oveq1i 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )
168167a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
169113mulid2d 9644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
1  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) )
170168, 169, 1073eqtrd 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
171170mpteq2ia 4477 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
172165, 171eqtri 2431 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
173172a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) ) )
17481, 82, 29, 99, 101, 115, 173dvmptdiv 37082 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
17579, 174eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
176175feq1d 5700 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  <->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
17776, 176mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
) : ( A (,) B ) --> RR )
178177, 175jca 530 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  /\  ( RR 
_D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
179178, 172pm3.2i 453 1  |-  ( (
ph  ->  ( ( RR 
_D  O ) : ( A (,) B
) --> RR  /\  ( RR  _D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /\  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    \ cdif 3411    C_ wss 3414   {csn 3972   {cpr 3974   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   dom cdm 4823   ran crn 4824    |` cres 4825   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527   RR*cxr 9657    < clt 9658    - cmin 9841   -ucneg 9842    / cdiv 10247   2c2 10626   ZZcz 10905   (,)cioo 11582   [,]cicc 11585   ^cexp 12210   sincsin 14008   cosccos 14009   picpi 14011   ↾t crest 15035   TopOpenctopn 15036   topGenctg 15052  ℂfldccnfld 18740   intcnt 19810    _D cdv 22559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-t1 20108  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563
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