Theorem fourierdlem57 38139

Description: The derivative of O. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem57.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem57.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem57.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem57.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem57.fdv	|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
fourierdlem57.ab	|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem57.n0	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem57.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem57.o	|- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )

Assertion

Ref

Expression

fourierdlem57

|- ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   C, s   F, s   X, s   ph, s

Allowed substitution hint:   O( s)

Proof of Theorem fourierdlem57

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem57.fdv	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
2	1	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
3		fourierdlem57.xre	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. RR )
4		fourierdlem57.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR )
5	3, 4	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR )
6	5	rexrd 9708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR* )
7	6	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) e. RR* )
8		fourierdlem57.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR )
9	3, 8	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR )
10	9	rexrd 9708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR* )
11	10	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) e. RR* )
12	3	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
13		elioore 11691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
14	13	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
15	12, 14	readdcld 9688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
16	4	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
17	16	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
18	8	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR* )
19	18	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
20		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
21		ioogtlb 37688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
23	16, 14, 12, 22	ltadd2dd 9811	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
24	8	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
25		iooltub 37706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
26	17, 19, 20, 25	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
27	14, 24, 12, 26	ltadd2dd 9811	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
28	7, 11, 15, 23, 27	eliood 37691	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) )
29	2, 28	ffvelrnd 6038	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. RR )
30		2re 10701	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. RR )
32		rehalfcl 10862	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) e. RR )
33	14, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
34	33	resincld 14274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
35	31, 34	remulcld 9689	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
36	29, 35	remulcld 9689	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
37	33	recoscld 14275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. RR )
38		fourierdlem57.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : RR --> RR )
39	38	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
40	39, 15	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
41		fourierdlem57.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR )
42	41	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
43	40, 42	resubcld 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR )
44	37, 43	remulcld 9689	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) e. RR )
45	36, 44	resubcld 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) e. RR )
46	35	resqcld 12480	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
47		2cnd 10704	. . . . . . . . 9 |- ( s e. RR -> 2 e. CC )
48	32	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) e. CC )
49	48	sincld 14261	. . . . . . . . 9 |- ( s e. RR -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
50	47, 49	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( s e. RR -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
51	14, 50	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
52		2cnd 10704	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. CC )
53	14, 49	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
54		2ne0 10724	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 =/= 0 )
56		fourierdlem57.ab	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
57	56	sselda 3418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
58		eqcom 2478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = 0 <-> 0 = s )
59	58	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = 0 -> 0 = s )
60	59	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 = s )
61		simpl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> s e. ( A (,) B ) )
62	60, 61	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
63	62	adantll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
64		fourierdlem57.n0	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
65	64	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
66	63, 65	pm2.65da 586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
67	66	neqned 2650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
68		fourierdlem44 38127	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
69	57, 67, 68	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
70	52, 53, 55, 69	mulne0d 10286	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
71		2z 10993	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. ZZ )
73	51, 70, 72	expne0d 12460	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
74	45, 46, 73	redivcld 10457	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
75		eqid 2471	. . . . 5 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
76	74, 75	fmptd 6061	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR )
77		fourierdlem57.o	. . . . . . . 8 |- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
79	78	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
80		reelprrecn 9649	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
82	43	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
83	40	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
84		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
85	38, 3, 4, 8, 84, 1	fourierdlem28 38109	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
86	42	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. CC )
87		0red 9662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
88		iooretop 21864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
89		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
90	89	tgioo2 21899	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
91	88, 90	eleqtri 2547	. . . . . . . . . . 11 |- ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
93	41	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. CC )
94	81, 92, 93	dvmptconst 37882	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
95	81, 83, 29, 85, 86, 87, 94	dvmptsub 23000	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) )
96	29	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
97	96	subid1d 9994	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
98	97	mpteq2dva 4482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
99	95, 98	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
100		eldifsn 4088	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 ) )
101	51, 70, 100	sylanbrc 677	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. ( CC \ { 0 } ) )
102		recn 9647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> s e. CC )
103	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> 2 =/= 0 )
104	102, 47, 103	divrec2d 10409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. s ) )
105	104	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) = ( s / 2 ) )
106	13, 105	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) = ( s / 2 ) )
107	106	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) = ( cos ` ( s / 2 ) ) )
108		halfcn 10852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. CC
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
110		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. CC -> s e. CC )
111	109, 110	mulcld 9681	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. CC -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) e. CC )
112	111	coscld 14262	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. CC -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
113	13, 102, 112	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
114	107, 113	eqeltrrd 2550	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
115	114	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
116		ioossre 11721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) C_ RR
117		resmpt 5160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) C_ RR -> ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
119	118	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) )
120	119	oveq2i 6319	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
121		ax-resscn 9614	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
122		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
123	122, 50	fmpti 6060	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : RR --> CC
124		ssid 3437	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ RR
125	89, 90	dvres 22945	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) ) = ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) ) )
126	121, 123, 124, 116, 125	mp4an 687	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) ) = ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) )
127		resmpt 5160	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR C_ CC -> ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
128	121, 127	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
129	105	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. RR -> ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
130	129	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. RR -> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
131	130	mpteq2ia 4478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
132	128, 131	eqtr2i 2494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR )
133	132	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) )
134		ioontr 37707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) = ( A (,) B )
135	133, 134	reseq12i 5109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) ) = ( ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) |` ( A (,) B ) )
136		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
137		2cnd 10704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. CC -> 2 e. CC )
138	111	sincld 14261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. CC -> ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
139	137, 138	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. CC -> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC )
140	136, 139	fmpti 6060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) : CC --> CC
141		ssid 3437	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
142		dmmptg 5339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. s e. CC ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC -> dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = CC )
143		2cn 10702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. CC
144	143, 108	mulcli 9666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) e. CC
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. CC -> ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) e. CC )
146	145, 112	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. CC -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC )
147	142, 146	mprg 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = CC
148	121, 147	sseqtr4i 3451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
149		dvasinbx 37889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC ) -> ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
150	143, 108, 149	mp2an 686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
151	150	dmeqi 5041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
152	148, 151	sseqtr4i 3451	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
153		dvres3 22947	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( RR e. { RR , CC } /\ ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) : CC --> CC ) /\ ( CC C_ CC /\ RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) )
154	80, 140, 141, 152, 153	mp4an 687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR )
155	154	reseq1i 5107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) )
156	150	reseq1i 5107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) = ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR )
157	156	reseq1i 5107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) )
158		resabs1 5139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) C_ RR -> ( ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
159	116, 158	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) )
160		ioosscn 37687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) C_ CC
161		resmpt 5160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) C_ CC -> ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
162	160, 161	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
163	157, 159, 162	3eqtri 2497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
164	135, 155, 163	3eqtri 2497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
165	120, 126, 164	3eqtri 2497	. . . . . . . . 9 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
166	143, 54	recidi 10360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
167	166	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) )
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
169	113	mulid2d 9679	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( 1 x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) )
170	168, 169, 107	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( cos ` ( s / 2 ) ) )
171	170	mpteq2ia 4478	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
172	165, 171	eqtri 2493	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
173	172	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
174	81, 82, 29, 99, 101, 115, 173	dvmptdiv 37886	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
175	79, 174	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
176	175	feq1d 5724	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
177	76, 176	mpbird 240	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR )
178	177, 175	jca 541	. 2 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
179	178, 172	pm3.2i 462	1 |- ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   \ cdif 3387   C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   RR*cxr 9692   < clt 9693   - cmin 9880   -ucneg 9881   / cdiv 10291   2c2 10681   ZZcz 10961   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ^cexp 12310   sincsin 14193   cosccos 14194   picpi 14196   ↾_t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂ_fldccnfld 19047   intcnt 20109   _D cdv 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  fourierdlem68  38150  fourierdlem80  38162