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Theorem fourierdlem57 38139
Description: The derivative of  O. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem57.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem57.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem57.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem57.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem57.fdv  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
fourierdlem57.ab  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem57.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
fourierdlem57.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem57.o  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem57  |-  ( (
ph  ->  ( ( RR 
_D  O ) : ( A (,) B
) --> RR  /\  ( RR  _D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /\  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    F, s    X, s    ph, s
Allowed substitution hint:    O( s)

Proof of Theorem fourierdlem57
StepHypRef Expression
1 fourierdlem57.fdv . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
21adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) ) ) : ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) --> RR )
3 fourierdlem57.xre . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
4 fourierdlem57.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
53, 4readdcld 9688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR )
65rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR* )
76adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  e.  RR* )
8 fourierdlem57.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
93, 8readdcld 9688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR )
109rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR* )
1110adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  e.  RR* )
123adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
13 elioore 11691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
1413adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
1512, 14readdcld 9688 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
164adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
1716rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
188rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
1918adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
20 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
21 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
2217, 19, 20, 21syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
2316, 14, 12, 22ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
248adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
25 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
2617, 19, 20, 25syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
2714, 24, 12, 26ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
287, 11, 15, 23, 27eliood 37691 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )
292, 28ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  RR )
30 2re 10701 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  RR )
32 rehalfcl 10862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
3314, 32syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
3433resincld 14274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
3531, 34remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
3629, 35remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  e.  RR )
3733recoscld 14275 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
38 fourierdlem57.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
3938adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
4039, 15ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
41 fourierdlem57.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4241adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
4340, 42resubcld 10068 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR )
4437, 43remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( s  / 
2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  e.  RR )
4536, 44resubcld 10068 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  e.  RR )
4635resqcld 12480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 )  e.  RR )
47 2cnd 10704 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  2  e.  CC )
4832recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
4948sincld 14261 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
5047, 49mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
5114, 50syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
52 2cnd 10704 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  CC )
5314, 49syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
54 2ne0 10724 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
56 fourierdlem57.ab . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
5756sselda 3418 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
58 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  0  <->  0  =  s )
5958biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  0  ->  0  =  s )
6059adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  =  s )
61 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
6260, 61eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
6362adantll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  ( A (,) B ) )
64 fourierdlem57.n0 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
6564ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
6663, 65pm2.65da 586 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
6766neqned 2650 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
68 fourierdlem44 38127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
6957, 67, 68syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
7052, 53, 55, 69mulne0d 10286 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
)
71 2z 10993 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
7271a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  ZZ )
7351, 70, 72expne0d 12460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 )  =/=  0
)
7445, 46, 73redivcld 10457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
75 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
7674, 75fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B
) --> RR )
77 fourierdlem57.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
7877a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
7978oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
80 reelprrecn 9649 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
8180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
8243recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
8340recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
84 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  =  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )
8538, 3, 4, 8, 84, 1fourierdlem28 38109 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
8642recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  CC )
87 0red 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  e.  RR )
88 iooretop 21864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
89 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9089tgioo2 21899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
9188, 90eleqtri 2547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
9341recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
9481, 92, 93dvmptconst 37882 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
9581, 83, 29, 85, 86, 87, 94dvmptsub 23000 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  -  0 ) ) )
9629recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  CC )
9796subid1d 9994 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  - 
0 )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) )
9897mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
9995, 98eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
100 eldifsn 4088 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
) )
10151, 70, 100sylanbrc 677 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
102 recn 9647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
10354a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  2  =/=  0 )
104102, 47, 103divrec2d 10409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )
105104eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
10613, 105syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
107106fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
108 halfcn 10852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
110 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  CC  ->  s  e.  CC )
111109, 110mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  e.  CC )
112111coscld 14262 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
11313, 102, 1123syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
114107, 113eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
115114adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
116 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  RR
117 resmpt 5160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )
119118eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) )
120119oveq2i 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )
121 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
122 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
123122, 50fmpti 6060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) : RR --> CC
124 ssid 3437 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR
12589, 90dvres 22945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) ) )
126121, 123, 124, 116, 125mp4an 687 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) )
127 resmpt 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
128121, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
129105fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
130129oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
131130mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
132128, 131eqtr2i 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
133132oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
134 ioontr 37707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( A (,) B )
135133, 134reseq12i 5109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )  |`  ( A (,) B ) )
136 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
137 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  ->  2  e.  CC )
138111sincld 14261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
139137, 138mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC )
140136, 139fmpti 6060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC
141 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
142 dmmptg 5339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. s  e.  CC  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  CC )
143 2cn 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
144143, 108mulcli 9666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
146145, 112mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC )
147142, 146mprg 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (
s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  =  CC
148121, 147sseqtr4i 3451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
149 dvasinbx 37889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC )  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
150143, 108, 149mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
_D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
151150dmeqi 5041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
152148, 151sseqtr4i 3451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
153 dvres3 22947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) ) ) )  -> 
( RR  _D  (
( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
)  =  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR ) )
15480, 140, 141, 152, 153mp4an 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )
155154reseq1i 5107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )
156150reseq1i 5107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
157156reseq1i 5107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B ) )
158 resabs1 5139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )
159116, 158ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) )
160 ioosscn 37687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  CC
161 resmpt 5160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  CC  ->  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
163157, 159, 1623eqtri 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
164135, 155, 1633eqtri 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
165120, 126, 1643eqtri 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
166143, 54recidi 10360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
167166oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )
168167a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
169113mulid2d 9679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
1  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) )
170168, 169, 1073eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
171170mpteq2ia 4478 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
172165, 171eqtri 2493 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
173172a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) ) )
17481, 82, 29, 99, 101, 115, 173dvmptdiv 37886 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
17579, 174eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
176175feq1d 5724 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  <->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
17776, 176mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
) : ( A (,) B ) --> RR )
178177, 175jca 541 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  /\  ( RR 
_D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
179178, 172pm3.2i 462 1  |-  ( (
ph  ->  ( ( RR 
_D  O ) : ( A (,) B
) --> RR  /\  ( RR  _D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /\  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   2c2 10681   ZZcz 10961   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ^cexp 12310   sincsin 14193   cosccos 14194   picpi 14196   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   intcnt 20109    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
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