Theorem fourierdlem57 32149

Description: The derivative of O. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem57.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem57.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem57.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem57.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem57.fdv	|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
fourierdlem57.ab	|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem57.n0	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem57.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem57.o	|- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )

Assertion

Ref

Expression

fourierdlem57

|- ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   C, s   F, s   X, s   ph, s

Allowed substitution hint:   O( s)

Proof of Theorem fourierdlem57

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem57.fdv	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
2	1	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
3		fourierdlem57.xre	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. RR )
4		fourierdlem57.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR )
5	3, 4	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR )
6	5	rexrd 9660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR* )
7	6	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) e. RR* )
8		fourierdlem57.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR )
9	3, 8	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR )
10	9	rexrd 9660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR* )
11	10	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) e. RR* )
12	3	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
13		elioore 11584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
14	13	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
15	12, 14	readdcld 9640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
16	4	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
17	16	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
18	8	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR* )
19	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
20		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
21		ioogtlb 31731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
23	16, 14, 12, 22	ltadd2dd 9758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
24	8	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
25		iooltub 31751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
26	17, 19, 20, 25	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
27	14, 24, 12, 26	ltadd2dd 9758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
28	7, 11, 15, 23, 27	eliood 31734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) )
29	2, 28	ffvelrnd 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. RR )
30		2re 10626	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. RR )
32		rehalfcl 10786	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) e. RR )
33	14, 32	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
34	33	resincld 13890	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
35	31, 34	remulcld 9641	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
36	29, 35	remulcld 9641	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
37	33	recoscld 13891	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. RR )
38		fourierdlem57.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : RR --> RR )
39	38	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
40	39, 15	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
41		fourierdlem57.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR )
42	41	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
43	40, 42	resubcld 10008	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR )
44	37, 43	remulcld 9641	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) e. RR )
45	36, 44	resubcld 10008	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) e. RR )
46	35	resqcld 12339	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
47		2cnd 10629	. . . . . . . . 9 |- ( s e. RR -> 2 e. CC )
48	32	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) e. CC )
49	48	sincld 13877	. . . . . . . . 9 |- ( s e. RR -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
50	47, 49	mulcld 9633	. . . . . . . 8 |- ( s e. RR -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
51	14, 50	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
52		2cnd 10629	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. CC )
53	14, 49	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
54		2ne0 10649	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 =/= 0 )
56		fourierdlem57.ab	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
57	56	sselda 3499	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
58		eqcom 2466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = 0 <-> 0 = s )
59	58	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = 0 -> 0 = s )
60	59	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 = s )
61		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> s e. ( A (,) B ) )
62	60, 61	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
63	62	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
64		fourierdlem57.n0	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
65	64	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
66	63, 65	pm2.65da 576	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
67	66	neqned 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
68		fourierdlem44 32136	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
69	57, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
70	52, 53, 55, 69	mulne0d 10222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
71		2z 10917	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. ZZ )
73	51, 70, 72	expne0d 12319	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
74	45, 46, 73	redivcld 10393	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
75		eqid 2457	. . . . 5 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
76	74, 75	fmptd 6056	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR )
77		fourierdlem57.o	. . . . . . . 8 |- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
79	78	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
80		reelprrecn 9601	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
82	43	recnd 9639	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
83	40	recnd 9639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
84		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
85	38, 3, 4, 8, 84, 1	fourierdlem28 32120	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
86	42	recnd 9639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. CC )
87		0red 9614	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
88		iooretop 21399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
89		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
90	89	tgioo2 21434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
91	88, 90	eleqtri 2543	. . . . . . . . . . 11 |- ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
93	41	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. CC )
94	81, 92, 93	dvmptconst 31913	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
95	81, 83, 29, 85, 86, 87, 94	dvmptsub 22496	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) )
96	29	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
97	96	subid1d 9939	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
98	97	mpteq2dva 4543	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
99	95, 98	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
100		eldifsn 4157	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 ) )
101	51, 70, 100	sylanbrc 664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. ( CC \ { 0 } ) )
102		recn 9599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> s e. CC )
103	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> 2 =/= 0 )
104	102, 47, 103	divrec2d 10345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. s ) )
105	104	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) = ( s / 2 ) )
106	13, 105	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) = ( s / 2 ) )
107	106	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) = ( cos ` ( s / 2 ) ) )
108		halfcn 10776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. CC
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
110		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. CC -> s e. CC )
111	109, 110	mulcld 9633	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. CC -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) e. CC )
112	111	coscld 13878	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. CC -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
113	13, 102, 112	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
114	107, 113	eqeltrrd 2546	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
115	114	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
116		ioossre 11611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) C_ RR
117		resmpt 5333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) C_ RR -> ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
119	118	eqcomi 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) )
120	119	oveq2i 6307	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
121		ax-resscn 9566	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
122		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
123	122, 50	fmpti 6055	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : RR --> CC
124		ssid 3518	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ RR
125	89, 90	dvres 22441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) ) = ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) ) )
126	121, 123, 124, 116, 125	mp4an 673	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) ) = ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) )
127		resmpt 5333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR C_ CC -> ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
128	121, 127	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
129	105	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. RR -> ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
130	129	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. RR -> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
131	130	mpteq2ia 4539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
132	128, 131	eqtr2i 2487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR )
133	132	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) )
134		ioontr 31752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) = ( A (,) B )
135	133, 134	reseq12i 5281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) ) = ( ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) |` ( A (,) B ) )
136		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
137		2cnd 10629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. CC -> 2 e. CC )
138	111	sincld 13877	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. CC -> ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
139	137, 138	mulcld 9633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. CC -> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC )
140	136, 139	fmpti 6055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) : CC --> CC
141		ssid 3518	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
142		dmmptg 5510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. s e. CC ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC -> dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = CC )
143		2cn 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. CC
144	143, 108	mulcli 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) e. CC
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. CC -> ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) e. CC )
146	145, 112	mulcld 9633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. CC -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC )
147	142, 146	mprg 2820	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = CC
148	121, 147	sseqtr4i 3532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
149		dvasinbx 31920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC ) -> ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
150	143, 108, 149	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
151	150	dmeqi 5214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
152	148, 151	sseqtr4i 3532	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
153		dvres3 22443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( RR e. { RR , CC } /\ ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) : CC --> CC ) /\ ( CC C_ CC /\ RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) )
154	80, 140, 141, 152, 153	mp4an 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR )
155	154	reseq1i 5279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) )
156	150	reseq1i 5279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) = ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR )
157	156	reseq1i 5279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) )
158		resabs1 5312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) C_ RR -> ( ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
159	116, 158	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) )
160		ioosscn 31730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) C_ CC
161		resmpt 5333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) C_ CC -> ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
162	160, 161	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
163	157, 159, 162	3eqtri 2490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
164	135, 155, 163	3eqtri 2490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
165	120, 126, 164	3eqtri 2490	. . . . . . . . 9 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
166	143, 54	recidi 10296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
167	166	oveq1i 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) )
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
169	113	mulid2d 9631	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( 1 x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) )
170	168, 169, 107	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( cos ` ( s / 2 ) ) )
171	170	mpteq2ia 4539	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
172	165, 171	eqtri 2486	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
173	172	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
174	81, 82, 29, 99, 101, 115, 173	dvmptdiv 31917	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
175	79, 174	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
176	175	feq1d 5723	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
177	76, 176	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR )
178	177, 175	jca 532	. 2 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
179	178, 172	pm3.2i 455	1 |- ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   \ cdif 3468   C_ wss 3471   {csn 4032   {cpr 4034   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   RR*cxr 9644   < clt 9645   - cmin 9824   -ucneg 9825   / cdiv 10227   2c2 10606   ZZcz 10885   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   ^cexp 12169   sincsin 13811   cosccos 13812   picpi 13814   ↾_t crest 14838   TopOpenctopn 14839   topGenctg 14855  ℂ_fldccnfld 18547   intcnt 19645   _D cdv 22393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-t1 19942  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397

This theorem is referenced by:  fourierdlem68  32160  fourierdlem80  32172