Theorem fourierdlem57 38021

Description: The derivative of O. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem57.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem57.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem57.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem57.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem57.fdv	|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
fourierdlem57.ab	|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem57.n0	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem57.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem57.o	|- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )

Assertion

Ref

Expression

fourierdlem57

|- ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   C, s   F, s   X, s   ph, s

Allowed substitution hint:   O( s)

Proof of Theorem fourierdlem57

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem57.fdv	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
2	1	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
3		fourierdlem57.xre	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. RR )
4		fourierdlem57.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR )
5	3, 4	readdcld 9667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR )
6	5	rexrd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR* )
7	6	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) e. RR* )
8		fourierdlem57.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR )
9	3, 8	readdcld 9667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR )
10	9	rexrd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR* )
11	10	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) e. RR* )
12	3	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
13		elioore 11663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
14	13	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
15	12, 14	readdcld 9667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
16	4	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
17	16	rexrd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
18	8	rexrd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR* )
19	18	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
20		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
21		ioogtlb 37586	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
23	16, 14, 12, 22	ltadd2dd 9791	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
24	8	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
25		iooltub 37604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
26	17, 19, 20, 25	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
27	14, 24, 12, 26	ltadd2dd 9791	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
28	7, 11, 15, 23, 27	eliood 37589	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) )
29	2, 28	ffvelrnd 6021	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. RR )
30		2re 10676	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. RR )
32		rehalfcl 10836	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) e. RR )
33	14, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
34	33	resincld 14190	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
35	31, 34	remulcld 9668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
36	29, 35	remulcld 9668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
37	33	recoscld 14191	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. RR )
38		fourierdlem57.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : RR --> RR )
39	38	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
40	39, 15	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
41		fourierdlem57.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR )
42	41	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
43	40, 42	resubcld 10044	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR )
44	37, 43	remulcld 9668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) e. RR )
45	36, 44	resubcld 10044	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) e. RR )
46	35	resqcld 12439	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
47		2cnd 10679	. . . . . . . . 9 |- ( s e. RR -> 2 e. CC )
48	32	recnd 9666	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) e. CC )
49	48	sincld 14177	. . . . . . . . 9 |- ( s e. RR -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
50	47, 49	mulcld 9660	. . . . . . . 8 |- ( s e. RR -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
51	14, 50	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
52		2cnd 10679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. CC )
53	14, 49	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
54		2ne0 10699	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 =/= 0 )
56		fourierdlem57.ab	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
57	56	sselda 3431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
58		eqcom 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = 0 <-> 0 = s )
59	58	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = 0 -> 0 = s )
60	59	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 = s )
61		simpl 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> s e. ( A (,) B ) )
62	60, 61	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
63	62	adantll 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
64		fourierdlem57.n0	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
65	64	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
66	63, 65	pm2.65da 579	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
67	66	neqned 2630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
68		fourierdlem44 38009	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
69	57, 67, 68	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
70	52, 53, 55, 69	mulne0d 10261	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
71		2z 10966	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. ZZ )
73	51, 70, 72	expne0d 12419	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
74	45, 46, 73	redivcld 10432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
75		eqid 2450	. . . . 5 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
76	74, 75	fmptd 6044	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR )
77		fourierdlem57.o	. . . . . . . 8 |- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
79	78	oveq2d 6304	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
80		reelprrecn 9628	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
82	43	recnd 9666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
83	40	recnd 9666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
84		eqid 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
85	38, 3, 4, 8, 84, 1	fourierdlem28 37991	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
86	42	recnd 9666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. CC )
87		0red 9641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
88		iooretop 21779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
89		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
90	89	tgioo2 21814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
91	88, 90	eleqtri 2526	. . . . . . . . . . 11 |- ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
93	41	recnd 9666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. CC )
94	81, 92, 93	dvmptconst 37779	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
95	81, 83, 29, 85, 86, 87, 94	dvmptsub 22914	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) )
96	29	recnd 9666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
97	96	subid1d 9972	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
98	97	mpteq2dva 4488	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
99	95, 98	eqtrd 2484	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
100		eldifsn 4096	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 ) )
101	51, 70, 100	sylanbrc 669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. ( CC \ { 0 } ) )
102		recn 9626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> s e. CC )
103	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> 2 =/= 0 )
104	102, 47, 103	divrec2d 10384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. s ) )
105	104	eqcomd 2456	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) = ( s / 2 ) )
106	13, 105	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) = ( s / 2 ) )
107	106	fveq2d 5867	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) = ( cos ` ( s / 2 ) ) )
108		halfcn 10826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. CC
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
110		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. CC -> s e. CC )
111	109, 110	mulcld 9660	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. CC -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) e. CC )
112	111	coscld 14178	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. CC -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
113	13, 102, 112	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
114	107, 113	eqeltrrd 2529	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
115	114	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
116		ioossre 11693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) C_ RR
117		resmpt 5153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) C_ RR -> ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
119	118	eqcomi 2459	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) )
120	119	oveq2i 6299	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
121		ax-resscn 9593	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
122		eqid 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
123	122, 50	fmpti 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : RR --> CC
124		ssid 3450	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ RR
125	89, 90	dvres 22859	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) ) = ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) ) )
126	121, 123, 124, 116, 125	mp4an 678	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) ) = ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) )
127		resmpt 5153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR C_ CC -> ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
128	121, 127	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
129	105	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. RR -> ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
130	129	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. RR -> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
131	130	mpteq2ia 4484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
132	128, 131	eqtr2i 2473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR )
133	132	oveq2i 6299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) )
134		ioontr 37605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) = ( A (,) B )
135	133, 134	reseq12i 5102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) ) = ( ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) |` ( A (,) B ) )
136		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
137		2cnd 10679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. CC -> 2 e. CC )
138	111	sincld 14177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. CC -> ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
139	137, 138	mulcld 9660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. CC -> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC )
140	136, 139	fmpti 6043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) : CC --> CC
141		ssid 3450	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
142		dmmptg 5331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. s e. CC ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC -> dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = CC )
143		2cn 10677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. CC
144	143, 108	mulcli 9645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) e. CC
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. CC -> ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) e. CC )
146	145, 112	mulcld 9660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. CC -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC )
147	142, 146	mprg 2750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = CC
148	121, 147	sseqtr4i 3464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
149		dvasinbx 37786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC ) -> ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
150	143, 108, 149	mp2an 677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
151	150	dmeqi 5035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
152	148, 151	sseqtr4i 3464	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
153		dvres3 22861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( RR e. { RR , CC } /\ ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) : CC --> CC ) /\ ( CC C_ CC /\ RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) )
154	80, 140, 141, 152, 153	mp4an 678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR )
155	154	reseq1i 5100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) )
156	150	reseq1i 5100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) = ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR )
157	156	reseq1i 5100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) )
158		resabs1 5132	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) C_ RR -> ( ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
159	116, 158	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) )
160		ioosscn 37585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) C_ CC
161		resmpt 5153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) C_ CC -> ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
162	160, 161	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
163	157, 159, 162	3eqtri 2476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
164	135, 155, 163	3eqtri 2476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
165	120, 126, 164	3eqtri 2476	. . . . . . . . 9 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
166	143, 54	recidi 10335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
167	166	oveq1i 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) )
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
169	113	mulid2d 9658	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( 1 x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) )
170	168, 169, 107	3eqtrd 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( cos ` ( s / 2 ) ) )
171	170	mpteq2ia 4484	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
172	165, 171	eqtri 2472	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
173	172	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
174	81, 82, 29, 99, 101, 115, 173	dvmptdiv 37783	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
175	79, 174	eqtrd 2484	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
176	175	feq1d 5712	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
177	76, 176	mpbird 236	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR )
178	177, 175	jca 535	. 2 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
179	178, 172	pm3.2i 457	1 |- ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   \ cdif 3400   C_ wss 3403   {csn 3967   {cpr 3969   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   ran crn 4834   |` cres 4835   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   RR*cxr 9671   < clt 9672   - cmin 9857   -ucneg 9858   / cdiv 10266   2c2 10656   ZZcz 10934   (,)cioo 11632   [,]cicc 11635   ^cexp 12269   sincsin 14109   cosccos 14110   picpi 14112   ↾_t crest 15312   TopOpenctopn 15313   topGenctg 15329  ℂ_fldccnfld 18963   intcnt 20025   _D cdv 22811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-t1 20323  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815

This theorem is referenced by:  fourierdlem68  38032  fourierdlem80  38044