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Theorem fourierdlem57 38021
Description: The derivative of  O. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem57.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem57.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem57.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem57.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem57.fdv  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
fourierdlem57.ab  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem57.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
fourierdlem57.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem57.o  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem57  |-  ( (
ph  ->  ( ( RR 
_D  O ) : ( A (,) B
) --> RR  /\  ( RR  _D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /\  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    F, s    X, s    ph, s
Allowed substitution hint:    O( s)

Proof of Theorem fourierdlem57
StepHypRef Expression
1 fourierdlem57.fdv . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
21adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) ) ) : ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) --> RR )
3 fourierdlem57.xre . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
4 fourierdlem57.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
53, 4readdcld 9667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR )
65rexrd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR* )
76adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  e.  RR* )
8 fourierdlem57.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
93, 8readdcld 9667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR )
109rexrd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR* )
1110adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  e.  RR* )
123adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
13 elioore 11663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
1413adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
1512, 14readdcld 9667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
164adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
1716rexrd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
188rexrd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
1918adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
20 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
21 ioogtlb 37586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
2217, 19, 20, 21syl3anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
2316, 14, 12, 22ltadd2dd 9791 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
248adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
25 iooltub 37604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
2617, 19, 20, 25syl3anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
2714, 24, 12, 26ltadd2dd 9791 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
287, 11, 15, 23, 27eliood 37589 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )
292, 28ffvelrnd 6021 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  RR )
30 2re 10676 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  RR )
32 rehalfcl 10836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
3314, 32syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
3433resincld 14190 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
3531, 34remulcld 9668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
3629, 35remulcld 9668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  e.  RR )
3733recoscld 14191 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
38 fourierdlem57.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
3938adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
4039, 15ffvelrnd 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
41 fourierdlem57.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4241adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
4340, 42resubcld 10044 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR )
4437, 43remulcld 9668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( s  / 
2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  e.  RR )
4536, 44resubcld 10044 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  e.  RR )
4635resqcld 12439 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 )  e.  RR )
47 2cnd 10679 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  2  e.  CC )
4832recnd 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
4948sincld 14177 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
5047, 49mulcld 9660 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
5114, 50syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
52 2cnd 10679 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  CC )
5314, 49syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
54 2ne0 10699 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
56 fourierdlem57.ab . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
5756sselda 3431 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
58 eqcom 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  0  <->  0  =  s )
5958biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  0  ->  0  =  s )
6059adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  =  s )
61 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
6260, 61eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
6362adantll 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  ( A (,) B ) )
64 fourierdlem57.n0 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
6564ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
6663, 65pm2.65da 579 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
6766neqned 2630 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
68 fourierdlem44 38009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
6957, 67, 68syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
7052, 53, 55, 69mulne0d 10261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
)
71 2z 10966 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
7271a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  ZZ )
7351, 70, 72expne0d 12419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 )  =/=  0
)
7445, 46, 73redivcld 10432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
75 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
7674, 75fmptd 6044 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B
) --> RR )
77 fourierdlem57.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
7877a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
7978oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
80 reelprrecn 9628 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
8180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
8243recnd 9666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
8340recnd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
84 eqid 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  =  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )
8538, 3, 4, 8, 84, 1fourierdlem28 37991 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
8642recnd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  CC )
87 0red 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  e.  RR )
88 iooretop 21779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
89 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9089tgioo2 21814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
9188, 90eleqtri 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
9341recnd 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
9481, 92, 93dvmptconst 37779 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
9581, 83, 29, 85, 86, 87, 94dvmptsub 22914 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  -  0 ) ) )
9629recnd 9666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  CC )
9796subid1d 9972 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  - 
0 )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) )
9897mpteq2dva 4488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
9995, 98eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
100 eldifsn 4096 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
) )
10151, 70, 100sylanbrc 669 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
102 recn 9626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
10354a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  2  =/=  0 )
104102, 47, 103divrec2d 10384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )
105104eqcomd 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
10613, 105syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
107106fveq2d 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
108 halfcn 10826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
110 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  CC  ->  s  e.  CC )
111109, 110mulcld 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  e.  CC )
112111coscld 14178 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
11313, 102, 1123syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
114107, 113eqeltrrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
115114adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
116 ioossre 11693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  RR
117 resmpt 5153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )
119118eqcomi 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) )
120119oveq2i 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )
121 ax-resscn 9593 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
122 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
123122, 50fmpti 6043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) : RR --> CC
124 ssid 3450 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR
12589, 90dvres 22859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) ) )
126121, 123, 124, 116, 125mp4an 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) )
127 resmpt 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
128121, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
129105fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
130129oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
131130mpteq2ia 4484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
132128, 131eqtr2i 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
133132oveq2i 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
134 ioontr 37605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( A (,) B )
135133, 134reseq12i 5102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )  |`  ( A (,) B ) )
136 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
137 2cnd 10679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  ->  2  e.  CC )
138111sincld 14177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
139137, 138mulcld 9660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC )
140136, 139fmpti 6043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC
141 ssid 3450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
142 dmmptg 5331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. s  e.  CC  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  CC )
143 2cn 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
144143, 108mulcli 9645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
146145, 112mulcld 9660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC )
147142, 146mprg 2750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (
s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  =  CC
148121, 147sseqtr4i 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
149 dvasinbx 37786 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC )  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
150143, 108, 149mp2an 677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
_D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
151150dmeqi 5035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
152148, 151sseqtr4i 3464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
153 dvres3 22861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) ) ) )  -> 
( RR  _D  (
( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
)  =  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR ) )
15480, 140, 141, 152, 153mp4an 678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )
155154reseq1i 5100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )
156150reseq1i 5100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
157156reseq1i 5100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B ) )
158 resabs1 5132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )
159116, 158ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) )
160 ioosscn 37585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  CC
161 resmpt 5153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  CC  ->  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
163157, 159, 1623eqtri 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
164135, 155, 1633eqtri 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
165120, 126, 1643eqtri 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
166143, 54recidi 10335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
167166oveq1i 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )
168167a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
169113mulid2d 9658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
1  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) )
170168, 169, 1073eqtrd 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
171170mpteq2ia 4484 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
172165, 171eqtri 2472 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
173172a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) ) )
17481, 82, 29, 99, 101, 115, 173dvmptdiv 37783 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
17579, 174eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
176175feq1d 5712 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  <->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
17776, 176mpbird 236 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
) : ( A (,) B ) --> RR )
178177, 175jca 535 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  /\  ( RR 
_D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
179178, 172pm3.2i 457 1  |-  ( (
ph  ->  ( ( RR 
_D  O ) : ( A (,) B
) --> RR  /\  ( RR  _D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /\  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621    \ cdif 3400    C_ wss 3403   {csn 3967   {cpr 3969   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   ran crn 4834    |` cres 4835   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541   RR*cxr 9671    < clt 9672    - cmin 9857   -ucneg 9858    / cdiv 10266   2c2 10656   ZZcz 10934   (,)cioo 11632   [,]cicc 11635   ^cexp 12269   sincsin 14109   cosccos 14110   picpi 14112   ↾t crest 15312   TopOpenctopn 15313   topGenctg 15329  ℂfldccnfld 18963   intcnt 20025    _D cdv 22811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-t1 20323  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815
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