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Theorem fourierdlem57 31787
Description: The derivative of  O (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem57.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem57.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem57.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem57.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem57.fdv  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
fourierdlem57.ab  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem57.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
fourierdlem57.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem57.o  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem57  |-  ( (
ph  ->  ( ( RR 
_D  O ) : ( A (,) B
) --> RR  /\  ( RR  _D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /\  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    F, s    X, s    ph, s
Allowed substitution hint:    O( s)

Proof of Theorem fourierdlem57
StepHypRef Expression
1 fourierdlem57.fdv . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
21adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) ) ) : ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) --> RR )
3 fourierdlem57.xre . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
4 fourierdlem57.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
53, 4readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR )
65rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR* )
76adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  e.  RR* )
8 fourierdlem57.b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
93, 8readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR )
109rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR* )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  e.  RR* )
123adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
13 elioore 11571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
1512, 14readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
164adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
1716rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
188rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
21 ioogtlb 31415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
2217, 19, 20, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
2316, 14, 12, 22ltadd2dd 9752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
248adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
25 iooltub 31435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
2617, 19, 20, 25syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
2714, 24, 12, 26ltadd2dd 9752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
287, 11, 15, 23, 27eliood 31418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )
292, 28ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  RR )
30 2re 10617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  RR )
32 rehalfcl 10777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
3314, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
34 resincl 13753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  RR )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
3631, 35jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  RR ) )
37 remulcl 9589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sin `  ( s  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  e.  RR )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
3929, 38jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR ) )
40 remulcl 9589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  e.  RR  /\  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  RR )  ->  (
( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  RR )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  e.  RR )
42 recoscl 13754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  RR )
4333, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
44 fourierdlem57.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
4645, 15ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
47 fourierdlem57.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
4946, 48resubcld 9999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR )
5043, 49jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  RR  /\  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR ) )
51 remulcl 9589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  e.  RR )  ->  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) )  e.  RR )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( s  / 
2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  e.  RR )
5341, 52jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) )  e.  RR ) )
54 resubcl 9895 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  e.  RR  /\  (
( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  e.  RR )
5553, 54syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  e.  RR )
56 resqcl 12215 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  RR  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 )  e.  RR )
5738, 56syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 )  e.  RR )
58 2cn 10618 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR  ->  2  e.  CC )
6032recnd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
6160sincld 13743 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
6259, 61mulcld 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
6314, 62syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
6458a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  CC )
6514, 61syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
66 2ne0 10640 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
6766a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
68 fourierdlem57.ab . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
6968sselda 3509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
70 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  0  <->  0  =  s )
7170biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  0  ->  0  =  s )
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  =  s )
73 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
7472, 73eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
7574adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  ( A (,) B ) )
76 fourierdlem57.n0 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
7776ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
7875, 77pm2.65da 576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
7978neqned 2670 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
80 fourierdlem44 31774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
8169, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
8264, 65, 67, 81mulne0d 10213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
)
83 2z 10908 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
8483a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  ZZ )
8563, 82, 84expne0d 12296 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 )  =/=  0
)
8655, 57, 85redivcld 10384 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
8786ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( A (,) B ) ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
88 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
8988fmpt 6053 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  ( A (,) B ) ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR  <->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR )
9087, 89sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B
) --> RR )
91 fourierdlem57.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
9291a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
9392oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
94 reex 9595 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
9594prid1 4141 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
9695a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
9749recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
98 ax-resscn 9561 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
9998, 46sseldi 3507 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
100 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  =  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )
10144, 3, 4, 8, 100, 1fourierdlem28 31758 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
10298, 48sseldi 3507 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  CC )
103 0re 9608 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
104103a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  e.  RR )
105 iooretop 21141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
106 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
107106tgioo2 21176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
108105, 107eleqtri 2553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
109108a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
11098, 47sseldi 3507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
11196, 109, 110dvmptconst 31566 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
11296, 99, 29, 101, 102, 104, 111dvmptsub 22238 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  -  0 ) ) )
11398, 29sseldi 3507 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  CC )
114113subid1d 9931 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  - 
0 )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) )
115114mpteq2dva 4539 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
116112, 115eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
11763, 82jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
) )
118 eldifsn 4158 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
) )
119117, 118sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
12098sseli 3505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
12166a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  2  =/=  0 )
122120, 59, 121divrec2d 10336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )
123122eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
12413, 123syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
125124fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
126 ax-1cn 9562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
127 halfcl 10776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
128126, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
130 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  CC  ->  s  e.  CC )
131129, 130mulcld 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  e.  CC )
132 coscl 13740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  s )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
13413, 120, 1333syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
135125, 134eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
136135adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
137 ioossre 11598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  RR
138 resmpt 5329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )
140139eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) )
141140oveq2i 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )
142 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
143142, 62fmpti 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) : RR --> CC
14498, 143pm3.2i 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  /\  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) : RR --> CC )
145 ssid 3528 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  RR
146145, 137pm3.2i 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  RR )
147106, 107dvres 22183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) ) )
148144, 146, 147mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) )
149 resmpt 5329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
15098, 149ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
151123fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
152151oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
153152mpteq2ia 4535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
154150, 153, 1423eqtrri 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
155154oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
156 ioontr 31436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( A (,) B )
157155, 156reseq12i 5277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )  |`  ( A (,) B ) )
158 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
15958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  CC  ->  2  e.  CC )
160131sincld 13743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
161159, 160mulcld 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC )
162158, 161fmpti 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC
16395, 162pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC )
164130ssriv 3513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  C_  CC
16558, 128mulcli 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
167166, 133jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC ) )
168 mulcl 9588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )  -> 
( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) )  e.  CC )
169167, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC )
170169rgen 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A. s  e.  CC  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) )  e.  CC
171 dmmptg 5510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. s  e.  CC  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  CC )
172170, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  (
s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  =  CC
17398, 172sseqtr4i 3542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
174 dvasinbx 31573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC )  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
17558, 128, 174mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( CC 
_D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
176175dmeqi 5210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
177176sseq2i 3534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) )  <->  RR  C_  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) )
178173, 177mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
179164, 178pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) ) )
180 dvres3 22185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) ) ) )  -> 
( RR  _D  (
( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
)  =  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR ) )
181163, 179, 180mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )
182181reseq1i 5275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )
183175reseq1i 5275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
184183reseq1i 5275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B ) )
185 resabs1 5308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )
186137, 185ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) )
187137, 98sstri 3518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  CC
188 resmpt 5329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  CC  ->  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
189187, 188ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
190184, 186, 1893eqtri 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
191157, 182, 1903eqtri 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
192141, 148, 1913eqtri 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
19358, 66recidi 10287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
194193oveq1i 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )
195194a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
196134mulid2d 9626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
1  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) )
197195, 196, 1253eqtrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
198197mpteq2ia 4535 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
199192, 198eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
200199a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) ) )
20196, 97, 29, 116, 119, 136, 200dvmptdiv 31570 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
20293, 201eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
203202feq1d 5723 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  <->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
20490, 203mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
) : ( A (,) B ) --> RR )
205204, 202jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  /\  ( RR 
_D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
206205, 199pm3.2i 455 1  |-  ( (
ph  ->  ( ( RR 
_D  O ) : ( A (,) B
) --> RR  /\  ( RR  _D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /\  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4033   {cpr 4035   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ran crn 5006    |` cres 5007   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509   RR*cxr 9639    < clt 9640    - cmin 9817   -ucneg 9818    / cdiv 10218   2c2 10597   ZZcz 10876   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   ^cexp 12146   sincsin 13678   cosccos 13679   picpi 13681   ↾t crest 14693   TopOpenctopn 14694   topGenctg 14710  ℂfldccnfld 18290   intcnt 19386    _D cdv 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-t1 19683  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139
This theorem is referenced by:  fourierdlem68  31798  fourierdlem80  31810
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