Theorem fourierdlem57 37314

Description: The derivative of O. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem57.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem57.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem57.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem57.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem57.fdv	|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
fourierdlem57.ab	|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem57.n0	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem57.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem57.o	|- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )

Assertion

Ref

Expression

fourierdlem57

|- ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   C, s   F, s   X, s   ph, s

Allowed substitution hint:   O( s)

Proof of Theorem fourierdlem57

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem57.fdv	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
2	1	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
3		fourierdlem57.xre	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. RR )
4		fourierdlem57.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR )
5	3, 4	readdcld 9653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR )
6	5	rexrd 9673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR* )
7	6	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) e. RR* )
8		fourierdlem57.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR )
9	3, 8	readdcld 9653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR )
10	9	rexrd 9673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR* )
11	10	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) e. RR* )
12	3	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
13		elioore 11612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
14	13	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
15	12, 14	readdcld 9653	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
16	4	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
17	16	rexrd 9673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
18	8	rexrd 9673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR* )
19	18	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
20		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
21		ioogtlb 36897	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
23	16, 14, 12, 22	ltadd2dd 9775	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
24	8	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
25		iooltub 36916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
26	17, 19, 20, 25	syl3anc 1230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
27	14, 24, 12, 26	ltadd2dd 9775	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
28	7, 11, 15, 23, 27	eliood 36900	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) )
29	2, 28	ffvelrnd 6010	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. RR )
30		2re 10646	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. RR )
32		rehalfcl 10806	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) e. RR )
33	14, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
34	33	resincld 14087	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
35	31, 34	remulcld 9654	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
36	29, 35	remulcld 9654	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
37	33	recoscld 14088	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. RR )
38		fourierdlem57.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : RR --> RR )
39	38	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
40	39, 15	ffvelrnd 6010	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
41		fourierdlem57.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR )
42	41	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
43	40, 42	resubcld 10028	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR )
44	37, 43	remulcld 9654	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) e. RR )
45	36, 44	resubcld 10028	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) e. RR )
46	35	resqcld 12380	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
47		2cnd 10649	. . . . . . . . 9 |- ( s e. RR -> 2 e. CC )
48	32	recnd 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) e. CC )
49	48	sincld 14074	. . . . . . . . 9 |- ( s e. RR -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
50	47, 49	mulcld 9646	. . . . . . . 8 |- ( s e. RR -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
51	14, 50	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
52		2cnd 10649	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. CC )
53	14, 49	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
54		2ne0 10669	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 =/= 0 )
56		fourierdlem57.ab	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
57	56	sselda 3442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
58		eqcom 2411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = 0 <-> 0 = s )
59	58	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = 0 -> 0 = s )
60	59	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 = s )
61		simpl 455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> s e. ( A (,) B ) )
62	60, 61	eqeltrd 2490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
63	62	adantll 712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
64		fourierdlem57.n0	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
65	64	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
66	63, 65	pm2.65da 574	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
67	66	neqned 2606	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
68		fourierdlem44 37301	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
69	57, 67, 68	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
70	52, 53, 55, 69	mulne0d 10242	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
71		2z 10937	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. ZZ )
73	51, 70, 72	expne0d 12360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
74	45, 46, 73	redivcld 10413	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
75		eqid 2402	. . . . 5 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
76	74, 75	fmptd 6033	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR )
77		fourierdlem57.o	. . . . . . . 8 |- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
79	78	oveq2d 6294	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
80		reelprrecn 9614	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
82	43	recnd 9652	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
83	40	recnd 9652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
84		eqid 2402	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
85	38, 3, 4, 8, 84, 1	fourierdlem28 37285	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
86	42	recnd 9652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. CC )
87		0red 9627	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
88		iooretop 21565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
89		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
90	89	tgioo2 21600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
91	88, 90	eleqtri 2488	. . . . . . . . . . 11 |- ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
93	41	recnd 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. CC )
94	81, 92, 93	dvmptconst 37078	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
95	81, 83, 29, 85, 86, 87, 94	dvmptsub 22662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) )
96	29	recnd 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
97	96	subid1d 9956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
98	97	mpteq2dva 4481	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
99	95, 98	eqtrd 2443	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
100		eldifsn 4097	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 ) )
101	51, 70, 100	sylanbrc 662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. ( CC \ { 0 } ) )
102		recn 9612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> s e. CC )
103	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> 2 =/= 0 )
104	102, 47, 103	divrec2d 10365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. s ) )
105	104	eqcomd 2410	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) = ( s / 2 ) )
106	13, 105	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) = ( s / 2 ) )
107	106	fveq2d 5853	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) = ( cos ` ( s / 2 ) ) )
108		halfcn 10796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. CC
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
110		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. CC -> s e. CC )
111	109, 110	mulcld 9646	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. CC -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) e. CC )
112	111	coscld 14075	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. CC -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
113	13, 102, 112	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
114	107, 113	eqeltrrd 2491	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
115	114	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
116		ioossre 11640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) C_ RR
117		resmpt 5143	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) C_ RR -> ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
119	118	eqcomi 2415	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) )
120	119	oveq2i 6289	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
121		ax-resscn 9579	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
122		eqid 2402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
123	122, 50	fmpti 6032	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : RR --> CC
124		ssid 3461	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ RR
125	89, 90	dvres 22607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) ) = ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) ) )
126	121, 123, 124, 116, 125	mp4an 671	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) ) = ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) )
127		resmpt 5143	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR C_ CC -> ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
128	121, 127	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
129	105	fveq2d 5853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. RR -> ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
130	129	oveq2d 6294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. RR -> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
131	130	mpteq2ia 4477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
132	128, 131	eqtr2i 2432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR )
133	132	oveq2i 6289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) )
134		ioontr 36917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) = ( A (,) B )
135	133, 134	reseq12i 5092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) ) = ( ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) |` ( A (,) B ) )
136		eqid 2402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
137		2cnd 10649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. CC -> 2 e. CC )
138	111	sincld 14074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. CC -> ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
139	137, 138	mulcld 9646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. CC -> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC )
140	136, 139	fmpti 6032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) : CC --> CC
141		ssid 3461	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
142		dmmptg 5320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. s e. CC ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC -> dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = CC )
143		2cn 10647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. CC
144	143, 108	mulcli 9631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) e. CC
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. CC -> ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) e. CC )
146	145, 112	mulcld 9646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. CC -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC )
147	142, 146	mprg 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = CC
148	121, 147	sseqtr4i 3475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
149		dvasinbx 37085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC ) -> ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
150	143, 108, 149	mp2an 670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
151	150	dmeqi 5025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
152	148, 151	sseqtr4i 3475	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
153		dvres3 22609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( RR e. { RR , CC } /\ ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) : CC --> CC ) /\ ( CC C_ CC /\ RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) )
154	80, 140, 141, 152, 153	mp4an 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR )
155	154	reseq1i 5090	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) )
156	150	reseq1i 5090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) = ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR )
157	156	reseq1i 5090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) )
158		resabs1 5122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) C_ RR -> ( ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
159	116, 158	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) )
160		ioosscn 36896	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) C_ CC
161		resmpt 5143	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) C_ CC -> ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
162	160, 161	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
163	157, 159, 162	3eqtri 2435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
164	135, 155, 163	3eqtri 2435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
165	120, 126, 164	3eqtri 2435	. . . . . . . . 9 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
166	143, 54	recidi 10316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
167	166	oveq1i 6288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) )
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
169	113	mulid2d 9644	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( 1 x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) )
170	168, 169, 107	3eqtrd 2447	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( cos ` ( s / 2 ) ) )
171	170	mpteq2ia 4477	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
172	165, 171	eqtri 2431	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
173	172	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
174	81, 82, 29, 99, 101, 115, 173	dvmptdiv 37082	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
175	79, 174	eqtrd 2443	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
176	175	feq1d 5700	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
177	76, 176	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR )
178	177, 175	jca 530	. 2 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
179	178, 172	pm3.2i 453	1 |- ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   \ cdif 3411   C_ wss 3414   {csn 3972   {cpr 3974   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   dom cdm 4823   ran crn 4824   |` cres 4825   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   + caddc 9525   x. cmul 9527   RR*cxr 9657   < clt 9658   - cmin 9841   -ucneg 9842   / cdiv 10247   2c2 10626   ZZcz 10905   (,)cioo 11582   [,]cicc 11585   ^cexp 12210   sincsin 14008   cosccos 14009   picpi 14011   ↾_t crest 15035   TopOpenctopn 15036   topGenctg 15052  ℂ_fldccnfld 18740   intcnt 19810   _D cdv 22559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-t1 20108  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563

This theorem is referenced by:  fourierdlem68  37325  fourierdlem80  37337