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Theorem fourierdlem57 32149
Description: The derivative of  O. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem57.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem57.xre  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem57.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem57.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem57.fdv  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
fourierdlem57.ab  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem57.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
fourierdlem57.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem57.o  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem57  |-  ( (
ph  ->  ( ( RR 
_D  O ) : ( A (,) B
) --> RR  /\  ( RR  _D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /\  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    F, s    X, s    ph, s
Allowed substitution hint:    O( s)

Proof of Theorem fourierdlem57
StepHypRef Expression
1 fourierdlem57.fdv . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
21adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) ) ) : ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) --> RR )
3 fourierdlem57.xre . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
4 fourierdlem57.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
53, 4readdcld 9640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR )
65rexrd 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR* )
76adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  e.  RR* )
8 fourierdlem57.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
93, 8readdcld 9640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR )
109rexrd 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR* )
1110adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  e.  RR* )
123adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
13 elioore 11584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
1512, 14readdcld 9640 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
164adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
1716rexrd 9660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
188rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
21 ioogtlb 31731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
2217, 19, 20, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
2316, 14, 12, 22ltadd2dd 9758 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
248adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
25 iooltub 31751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
2617, 19, 20, 25syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
2714, 24, 12, 26ltadd2dd 9758 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
287, 11, 15, 23, 27eliood 31734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )
292, 28ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  RR )
30 2re 10626 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  RR )
32 rehalfcl 10786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  RR )
3314, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
3433resincld 13890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
3531, 34remulcld 9641 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
3629, 35remulcld 9641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  e.  RR )
3733recoscld 13891 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
38 fourierdlem57.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
3938adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
4039, 15ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
41 fourierdlem57.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
4340, 42resubcld 10008 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR )
4437, 43remulcld 9641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( s  / 
2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  e.  RR )
4536, 44resubcld 10008 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  e.  RR )
4635resqcld 12339 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 )  e.  RR )
47 2cnd 10629 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  2  e.  CC )
4832recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
4948sincld 13877 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
5047, 49mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC )
5114, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
52 2cnd 10629 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  CC )
5314, 49syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
54 2ne0 10649 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
56 fourierdlem57.ab . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
5756sselda 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
58 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  0  <->  0  =  s )
5958biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  0  ->  0  =  s )
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  =  s )
61 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
6260, 61eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
6362adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  ( A (,) B ) )
64 fourierdlem57.n0 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
6663, 65pm2.65da 576 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
6766neqned 2660 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
68 fourierdlem44 32136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
6957, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
7052, 53, 55, 69mulne0d 10222 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
)
71 2z 10917 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
7271a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  ZZ )
7351, 70, 72expne0d 12319 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 )  =/=  0
)
7445, 46, 73redivcld 10393 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
75 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
7674, 75fmptd 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B
) --> RR )
77 fourierdlem57.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
7877a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
7978oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
80 reelprrecn 9601 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
8180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
8243recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
8340recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
84 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  =  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )
8538, 3, 4, 8, 84, 1fourierdlem28 32120 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
8642recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  CC )
87 0red 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  e.  RR )
88 iooretop 21399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
89 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9089tgioo2 21434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
9188, 90eleqtri 2543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
9341recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
9481, 92, 93dvmptconst 31913 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
9581, 83, 29, 85, 86, 87, 94dvmptsub 22496 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  -  0 ) ) )
9629recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  e.  CC )
9796subid1d 9939 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  - 
0 )  =  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) )
9897mpteq2dva 4543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  -  0 ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
9995, 98eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
100 eldifsn 4157 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  =/=  0
) )
10151, 70, 100sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
102 recn 9599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
10354a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  ->  2  =/=  0 )
104102, 47, 103divrec2d 10345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  ->  (
s  /  2 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )
105104eqcomd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
10613, 105syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  =  ( s  / 
2 ) )
107106fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
108 halfcn 10776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
110 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  CC  ->  s  e.  CC )
111109, 110mulcld 9633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  s )  e.  CC )
112111coscld 13878 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
11313, 102, 1123syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
114107, 113eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
115114adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
116 ioossre 11611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  RR
117 resmpt 5333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )
119118eqcomi 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) )
120119oveq2i 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )
121 ax-resscn 9566 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
122 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
123122, 50fmpti 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) : RR --> CC
124 ssid 3518 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR
12589, 90dvres 22441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  ( A (,) B )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) ) )
126121, 123, 124, 116, 125mp4an 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) )
127 resmpt 5333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
128121, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
129105fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
130129oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
131130mpteq2ia 4539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )
132128, 131eqtr2i 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
133132oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )
134 ioontr 31752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( A (,) B )
135133, 134reseq12i 5281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )  |`  ( A (,) B ) )
136 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
137 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  ->  2  e.  CC )
138111sincld 13877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) )  e.  CC )
139137, 138mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC )
140136, 139fmpti 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC
141 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
142 dmmptg 5510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. s  e.  CC  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC  ->  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  CC )
143 2cn 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
144143, 108mulcli 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  CC  ->  (
2  x.  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
146145, 112mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  e.  CC )
147142, 146mprg 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (
s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  =  CC
148121, 147sseqtr4i 3532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
149 dvasinbx 31920 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC )  ->  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
150143, 108, 149mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
_D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
151150dmeqi 5214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  =  dom  ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
152148, 151sseqtr4i 3532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
153 dvres3 22443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) ) ) )  -> 
( RR  _D  (
( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
)  =  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR ) )
15480, 140, 141, 152, 153mp4an 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
_D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )
155154reseq1i 5279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  ( ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  RR ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )
156150reseq1i 5279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) ) )  |`  RR )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )
157156reseq1i 5279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B ) )
158 resabs1 5312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )
159116, 158ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )  |`  ( A (,) B ) )
160 ioosscn 31730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  C_  CC
161 resmpt 5333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  CC  ->  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )
162160, 161ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  CC  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
163157, 159, 1623eqtri 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  _D  (
s  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) ) )  |`  RR )  |`  ( A (,) B
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) ) )
164135, 155, 1633eqtri 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  _D  ( s  e.  RR  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
165120, 126, 1643eqtri 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )
166143, 54recidi 10296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
167166oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )
168167a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( ( 1  /  2 )  x.  s ) ) ) )
169113mulid2d 9631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
1  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) )
170168, 169, 1073eqtrd 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( 1  / 
2 )  x.  s
) ) )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
171170mpteq2ia 4539 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( 1  /  2
)  x.  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
172165, 171eqtri 2486 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
173172a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( cos `  ( s  /  2
) ) ) )
17481, 82, 29, 99, 101, 115, 173dvmptdiv 31917 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
)  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
17579, 174eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
)  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) ) `  ( X  +  s
) )  x.  (
2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  /  (
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
176175feq1d 5723 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  <->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ^
2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
17776, 176mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  O
) : ( A (,) B ) --> RR )
178177, 175jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  O ) : ( A (,) B ) --> RR  /\  ( RR 
_D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
179178, 172pm3.2i 455 1  |-  ( (
ph  ->  ( ( RR 
_D  O ) : ( A (,) B
) --> RR  /\  ( RR  _D  O )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) )  x.  ( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) )  -  ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) ) )  /  ( ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  /\  ( RR 
_D  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( cos `  (
s  /  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    \ cdif 3468    C_ wss 3471   {csn 4032   {cpr 4034   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   2c2 10606   ZZcz 10885   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   ^cexp 12169   sincsin 13811   cosccos 13812   picpi 13814   ↾t crest 14838   TopOpenctopn 14839   topGenctg 14855  ℂfldccnfld 18547   intcnt 19645    _D cdv 22393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-t1 19942  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397
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