Theorem fourierdlem57 31787

Description: The derivative of O (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem57.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem57.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem57.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem57.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem57.fdv	|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
fourierdlem57.ab	|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem57.n0	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem57.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem57.o	|- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )

Assertion

Ref

Expression

fourierdlem57

|- ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   C, s   F, s   X, s   ph, s

Allowed substitution hint:   O( s)

Proof of Theorem fourierdlem57

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem57.fdv	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
2	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
3		fourierdlem57.xre	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X e. RR )
4		fourierdlem57.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. RR )
5	3, 4	readdcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR )
6	5	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR* )
7	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) e. RR* )
8		fourierdlem57.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. RR )
9	3, 8	readdcld 9635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR )
10	9	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR* )
11	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) e. RR* )
12	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
13		elioore 11571	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
14	13	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
15	12, 14	readdcld 9635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
16	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
17	16	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
18	8	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. RR* )
19	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
20		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
21		ioogtlb 31415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
23	16, 14, 12, 22	ltadd2dd 9752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
24	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
25		iooltub 31435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
26	17, 19, 20, 25	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
27	14, 24, 12, 26	ltadd2dd 9752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
28	7, 11, 15, 23, 27	eliood 31418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) )
29	2, 28	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. RR )
30		2re 10617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. RR )
32		rehalfcl 10777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) e. RR )
33	14, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
34		resincl 13753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s / 2 ) e. RR -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
36	31, 35	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 e. RR /\ ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR ) )
37		remulcl 9589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
39	29, 38	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR ) )
40		remulcl 9589	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
42		recoscl 13754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s / 2 ) e. RR -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. RR )
43	33, 42	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. RR )
44		fourierdlem57.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : RR --> RR )
45	44	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
46	45, 15	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
47		fourierdlem57.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. RR )
48	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
49	46, 48	resubcld 9999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR )
50	43, 49	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( cos ` ( s / 2 ) ) e. RR /\ ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR ) )
51		remulcl 9589	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( cos ` ( s / 2 ) ) e. RR /\ ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR ) -> ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) e. RR )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) e. RR )
53	41, 52	jca 532	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR /\ ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) e. RR ) )
54		resubcl 9895	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR /\ ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) e. RR )
55	53, 54	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) e. RR )
56		resqcl 12215	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
57	38, 56	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
58		2cn 10618	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR -> 2 e. CC )
60	32	recnd 9634	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) e. CC )
61	60	sincld 13743	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
62	59, 61	mulcld 9628	. . . . . . . . 9 |- ( s e. RR -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
63	14, 62	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
64	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. CC )
65	14, 61	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
66		2ne0 10640	. . . . . . . . . 10 |- 2 =/= 0
67	66	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 =/= 0 )
68		fourierdlem57.ab	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
69	68	sselda 3509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
70		eqcom 2476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = 0 <-> 0 = s )
71	70	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = 0 -> 0 = s )
72	71	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 = s )
73		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> s e. ( A (,) B ) )
74	72, 73	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
75	74	adantll 713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
76		fourierdlem57.n0	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
77	76	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
78	75, 77	pm2.65da 576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
79	78	neqned 2670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
80		fourierdlem44 31774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
81	69, 79, 80	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
82	64, 65, 67, 81	mulne0d 10213	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
83		2z 10908	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
84	83	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. ZZ )
85	63, 82, 84	expne0d 12296	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
86	55, 57, 85	redivcld 10384	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
87	86	ralrimiva 2881	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( A (,) B ) ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
88		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
89	88	fmpt 6053	. . . . 5 |- ( A. s e. ( A (,) B ) ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR )
90	87, 89	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR )
91		fourierdlem57.o	. . . . . . . 8 |- O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
92	91	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> O = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
93	92	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
94		reex 9595	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
95	94	prid1 4141	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
97	49	recnd 9634	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
98		ax-resscn 9561	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
99	98, 46	sseldi 3507	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
100		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
101	44, 3, 4, 8, 100, 1	fourierdlem28 31758	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
102	98, 48	sseldi 3507	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. CC )
103		0re 9608	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
104	103	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
105		iooretop 21141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
106		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
107	106	tgioo2 21176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
108	105, 107	eleqtri 2553	. . . . . . . . . . 11 |- ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
110	98, 47	sseldi 3507	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. CC )
111	96, 109, 110	dvmptconst 31566	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
112	96, 99, 29, 101, 102, 104, 111	dvmptsub 22238	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) )
113	98, 29	sseldi 3507	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) e. CC )
114	113	subid1d 9931	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) )
115	114	mpteq2dva 4539	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) - 0 ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
116	112, 115	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
117	63, 82	jca 532	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 ) )
118		eldifsn 4158	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 ) )
119	117, 118	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. ( CC \ { 0 } ) )
120	98	sseli 3505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> s e. CC )
121	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> 2 =/= 0 )
122	120, 59, 121	divrec2d 10336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. s ) )
123	122	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) = ( s / 2 ) )
124	13, 123	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) = ( s / 2 ) )
125	124	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) = ( cos ` ( s / 2 ) ) )
126		ax-1cn 9562	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
127		halfcl 10776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
128	126, 127	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. CC
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
130		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. CC -> s e. CC )
131	129, 130	mulcld 9628	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. CC -> ( ( 1 / 2 ) x. s ) e. CC )
132		coscl 13740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / 2 ) x. s ) e. CC -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
133	131, 132	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. CC -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
134	13, 120, 133	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
135	125, 134	eqeltrrd 2556	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
136	135	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( cos ` ( s / 2 ) ) e. CC )
137		ioossre 11598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) C_ RR
138		resmpt 5329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) C_ RR -> ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
139	137, 138	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
140	139	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) )
141	140	oveq2i 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
142		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
143	142, 62	fmpti 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : RR --> CC
144	98, 143	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR C_ CC /\ ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : RR --> CC )
145		ssid 3528	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ RR
146	145, 137	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR C_ RR /\ ( A (,) B ) C_ RR )
147	106, 107	dvres 22183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) ) = ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) ) )
148	144, 146, 147	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) ) = ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) )
149		resmpt 5329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR C_ CC -> ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
150	98, 149	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
151	123	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. RR -> ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
152	151	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. RR -> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
153	152	mpteq2ia 4535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
154	150, 153, 142	3eqtrri 2501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR )
155	154	oveq2i 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) )
156		ioontr 31436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) = ( A (,) B )
157	155, 156	reseq12i 5277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) ) = ( ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) |` ( A (,) B ) )
158		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
159	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. CC -> 2 e. CC )
160	131	sincld 13743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. CC -> ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC )
161	159, 160	mulcld 9628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. CC -> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC )
162	158, 161	fmpti 6055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) : CC --> CC
163	95, 162	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR e. { RR , CC } /\ ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) : CC --> CC )
164	130	ssriv 3513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC C_ CC
165	58, 128	mulcli 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) e. CC
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. CC -> ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) e. CC )
167	166, 133	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. CC -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) e. CC /\ ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC ) )
168		mulcl 9588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) e. CC /\ ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) e. CC ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC )
169	167, 168	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. CC -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC )
170	169	rgen 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- A. s e. CC ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC
171		dmmptg 5510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. s e. CC ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) e. CC -> dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = CC )
172	170, 171	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = CC
173	98, 172	sseqtr4i 3542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR C_ dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
174		dvasinbx 31573	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC ) -> ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
175	58, 128, 174	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
176	175	dmeqi 5210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) = dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
177	176	sseq2i 3534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) <-> RR C_ dom ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
178	173, 177	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
179	164, 178	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( CC C_ CC /\ RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) )
180		dvres3 22185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( RR e. { RR , CC } /\ ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) : CC --> CC ) /\ ( CC C_ CC /\ RR C_ dom ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) ) ) -> ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) )
181	163, 179, 180	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) = ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR )
182	181	reseq1i 5275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR _D ( ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) )
183	175	reseq1i 5275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) = ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR )
184	183	reseq1i 5275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) )
185		resabs1 5308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) C_ RR -> ( ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
186	137, 185	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) )
187	137, 98	sstri 3518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) C_ CC
188		resmpt 5329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) C_ CC -> ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) )
189	187, 188	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. CC |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
190	184, 186, 189	3eqtri 2500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( CC _D ( s e. CC |-> ( 2 x. ( sin ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) ) |` RR ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
191	157, 182, 190	3eqtri 2500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR _D ( s e. RR |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A (,) B ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
192	141, 148, 191	3eqtri 2500	. . . . . . . . 9 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
193	58, 66	recidi 10287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
194	193	oveq1i 6305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) )
195	194	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) )
196	134	mulid2d 9626	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( 1 x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) )
197	195, 196, 125	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) = ( cos ` ( s / 2 ) ) )
198	197	mpteq2ia 4535	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( 1 / 2 ) x. s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
199	192, 198	eqtri 2496	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) )
200	199	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )
201	96, 97, 29, 116, 119, 136, 200	dvmptdiv 31570	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
202	93, 201	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
203	202	feq1d 5723	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR <-> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
204	90, 203	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR )
205	204, 202	jca 532	. 2 |- ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
206	205, 199	pm3.2i 455	1 |- ( ( ph -> ( ( RR _D O ) : ( A (,) B ) --> RR /\ ( RR _D O ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) x. ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) - ( ( cos ` ( s / 2 ) ) x. ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) /\ ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( cos ` ( s / 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   \ cdif 3478   C_ wss 3481   {csn 4033   {cpr 4035   class class class wbr 4453   |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ran crn 5006   |` cres 5007   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   + caddc 9507   x. cmul 9509   RR*cxr 9639   < clt 9640   - cmin 9817   -ucneg 9818   / cdiv 10218   2c2 10597   ZZcz 10876   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   ^cexp 12146   sincsin 13678   cosccos 13679   picpi 13681   ↾_t crest 14693   TopOpenctopn 14694   topGenctg 14710  ℂ_fldccnfld 18290   intcnt 19386   _D cdv 22135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-t1 19683  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139

This theorem is referenced by:  fourierdlem68  31798  fourierdlem80  31810