Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem56 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem56 31786
 Description: Derivative of the function on an interval non containing ' 0 '. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem56.k
fourierdlem56.a
fourierdlem56.r4
Assertion
Ref Expression
fourierdlem56
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fourierdlem56
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pire 22718 . . . . . . . . 9
21a1i 11 . . . . . . . 8
32renegcld 9998 . . . . . . 7
4 elioore 11571 . . . . . . . 8
54adantl 466 . . . . . . 7
61a1i 11 . . . . . . . . . . 11
76renegcld 9998 . . . . . . . . . 10
87rexrd 9655 . . . . . . . . 9
98adantr 465 . . . . . . . 8
106rexrd 9655 . . . . . . . . 9
1110adantr 465 . . . . . . . 8
12 fourierdlem56.a . . . . . . . . . . 11
1312difss2d 3639 . . . . . . . . . 10
1413adantr 465 . . . . . . . . 9
15 simpr 461 . . . . . . . . 9
1614, 15sseldd 3510 . . . . . . . 8
17 iccgelb 11593 . . . . . . . 8
189, 11, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . 7
19 iccleub 11592 . . . . . . . 8
209, 11, 16, 19syl3anc 1228 . . . . . . 7
213, 2, 5, 18, 20eliccd 31425 . . . . . 6
22 1ex 9603 . . . . . . . 8
23 ovex 6320 . . . . . . . 8
2422, 23ifex 4014 . . . . . . 7
2524a1i 11 . . . . . 6
26 fourierdlem56.k . . . . . . 7
2726fvmpt2 5964 . . . . . 6
2821, 25, 27syl2anc 661 . . . . 5
29 fourierdlem56.r4 . . . . . . 7
3029neneqd 2669 . . . . . 6
3130iffalsed 3956 . . . . 5
32 ax-resscn 9561 . . . . . . . 8
3332, 5sseldi 3507 . . . . . . 7
3433halfcld 10795 . . . . . . . 8
3534sincld 13743 . . . . . . 7
36 2cn 10618 . . . . . . . 8
3736a1i 11 . . . . . . 7
38 fourierdlem44 31774 . . . . . . . 8
3921, 29, 38syl2anc 661 . . . . . . 7
40 2ne0 10640 . . . . . . . 8
4140a1i 11 . . . . . . 7
4233, 35, 37, 39, 41divdiv1d 10363 . . . . . 6
4335, 37mulcomd 9629 . . . . . . 7
4443oveq2d 6311 . . . . . 6
4542, 44eqtr2d 2509 . . . . 5
4628, 31, 453eqtrd 2512 . . . 4
4746mpteq2dva 4539 . . 3
4847oveq2d 6311 . 2
49 reex 9595 . . . . 5
5049prid1 4141 . . . 4
5150a1i 11 . . 3
5233, 35, 39divcld 10332 . . 3
53 1re 9607 . . . . . . 7
5453a1i 11 . . . . . 6
555rehalfcld 10797 . . . . . . 7
5655resincld 13756 . . . . . 6
5754, 56remulcld 9636 . . . . 5
5855recoscld 13757 . . . . . . 7
5954rehalfcld 10797 . . . . . . 7
6058, 59remulcld 9636 . . . . . 6
6160, 5remulcld 9636 . . . . 5
6257, 61resubcld 9999 . . . 4
6356resqcld 12316 . . . 4
64 2z 10908 . . . . . 6
6564a1i 11 . . . . 5
6635, 39, 65expne0d 12296 . . . 4
6762, 63, 66redivcld 10384 . . 3
68 ax-1cn 9562 . . . . 5
6968a1i 11 . . . 4
7032sseli 3505 . . . . . 6
7170adantl 466 . . . . 5
7253a1i 11 . . . . 5
7351dvmptid 22228 . . . . 5
74 ioossre 11598 . . . . . 6
7574a1i 11 . . . . 5
76 eqid 2467 . . . . . 6 fld fld
7776tgioo2 21176 . . . . 5 fldt
78 iooretop 21141 . . . . . 6
7978a1i 11 . . . . 5
8051, 71, 72, 73, 75, 77, 76, 79dvmptres 22234 . . . 4
81 elsni 4058 . . . . . . 7
8281necon3ai 2695 . . . . . 6
8339, 82syl 16 . . . . 5
8435, 83eldifd 3492 . . . 4
8534coscld 13744 . . . . 5
8669halfcld 10795 . . . . 5
8785, 86mulcld 9628 . . . 4
88 cnex 9585 . . . . . . 7
8988prid2 4142 . . . . . 6
9089a1i 11 . . . . 5
91 sinf 13737 . . . . . . 7
9291a1i 11 . . . . . 6
9392ffvelrnda 6032 . . . . 5
94 cosf 13738 . . . . . . 7
9594a1i 11 . . . . . 6
9695ffvelrnda 6032 . . . . 5
9736a1i 11 . . . . . 6
9840a1i 11 . . . . . 6
9951, 33, 54, 80, 97, 98dvmptdivc 22236 . . . . 5
100 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11
10191, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
102 dffn5 5919 . . . . . . . . . 10
103101, 102mpbi 208 . . . . . . . . 9
104103eqcomi 2480 . . . . . . . 8
105104oveq2i 6306 . . . . . . 7
106 dvsin 22251 . . . . . . 7
107 ffn 5737 . . . . . . . . 9
10894, 107ax-mp 5 . . . . . . . 8
109 dffn5 5919 . . . . . . . 8
110108, 109mpbi 208 . . . . . . 7
111105, 106, 1103eqtri 2500 . . . . . 6
112111a1i 11 . . . . 5
113 fveq2 5872 . . . . 5
114 fveq2 5872 . . . . 5
11551, 90, 34, 59, 93, 96, 99, 112, 113, 114dvmptco 22243 . . . 4
11651, 33, 69, 80, 84, 87, 115dvmptdiv 31570 . . 3
11751, 52, 67, 116, 97, 98dvmptdivc 22236 . 2
1184, 70syl 16 . . . . . . . . . 10
119118halfcld 10795 . . . . . . . . 9
120119sincld 13743 . . . . . . . 8
121120mulid2d 9626 . . . . . . 7
122119coscld 13744 . . . . . . . . . 10
12336a1i 11 . . . . . . . . . 10
12440a1i 11 . . . . . . . . . 10
125122, 123, 124divrecd 10335 . . . . . . . . 9
126125eqcomd 2475 . . . . . . . 8
127126oveq1d 6310 . . . . . . 7
128121, 127oveq12d 6313 . . . . . 6
129128oveq1d 6310 . . . . 5
130129oveq1d 6310 . . . 4
131130mpteq2ia 4535 . . 3
132131a1i 11 . 2
13348, 117, 1323eqtrd 2512 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  cvv 3118   cdif 3478   wss 3481  cif 3945  csn 4033  cpr 4035   class class class wbr 4453   cmpt 4511   crn 5006   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cr 9503  cc0 9504  c1 9505   cmul 9509  cxr 9639   cle 9641   cmin 9817  cneg 9818   cdiv 10218  c2 10597  cz 10876  cioo 11541  cicc 11544  cexp 12146  csin 13678  ccos 13679  cpi 13681  ctopn 14694  ctg 14710  ℂfldccnfld 18290   cdv 22135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-t1 19683  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator