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Theorem fourierdlem56 32184
Description: Derivative of the  K function on an interval non containing ' 0 '. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem56.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem56.a  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( -u pi [,] pi ) 
\  { 0 } ) )
fourierdlem56.r4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem56  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( K `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( sin `  ( s  /  2
) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    ph, s
Allowed substitution hint:    K( s)

Proof of Theorem fourierdlem56
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem56.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( -u pi [,] pi ) 
\  { 0 } ) )
21difss2d 3620 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
32sselda 3489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
4 1ex 9580 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
5 ovex 6298 . . . . . . . 8  |-  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e. 
_V
64, 5ifex 3997 . . . . . . 7  |-  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  _V
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  _V )
8 fourierdlem56.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
98fvmpt2 5939 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  _V )  -> 
( K `  s
)  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
103, 7, 9syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
11 fourierdlem56.r4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
1211neneqd 2656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
1312iffalsed 3940 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
14 elioore 11562 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
1514adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
1615recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
1716halfcld 10779 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  CC )
1817sincld 13947 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
19 2cnd 10604 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  CC )
20 fourierdlem44 32172 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
213, 11, 20syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
22 2ne0 10624 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
2416, 18, 19, 21, 23divdiv1d 10347 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
s  /  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  / 
2 )  =  ( s  /  ( ( sin `  ( s  /  2 ) )  x.  2 ) ) )
2518, 19mulcomd 9606 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( sin `  ( s  / 
2 ) )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )
2625oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) )  x.  2 ) )  =  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
2724, 26eqtr2d 2496 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  / 
( sin `  (
s  /  2 ) ) )  /  2
) )
2810, 13, 273eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  =  ( ( s  /  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  /  2 ) )
2928mpteq2dva 4525 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( K `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( s  /  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  /  2 ) ) )
3029oveq2d 6286 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( K `  s ) ) )  =  ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( s  /  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  / 
2 ) ) ) )
31 reelprrecn 9573 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
3231a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
3316, 18, 21divcld 10316 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
34 1red 9600 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  1  e.  RR )
3515rehalfcld 10781 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
3635resincld 13960 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
3734, 36remulcld 9613 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
3835recoscld 13961 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
3934rehalfcld 10781 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
4038, 39remulcld 9613 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( s  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  e.  RR )
4140, 15remulcld 9613 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  e.  RR )
4237, 41resubcld 9983 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
1  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )
4336resqcld 12318 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ^
2 )  e.  RR )
44 2z 10892 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
4544a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  ZZ )
4618, 21, 45expne0d 12298 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ^
2 )  =/=  0
)
4742, 43, 46redivcld 10368 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( 1  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  / 
( ( sin `  (
s  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
48 1cnd 9601 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  1  e.  CC )
49 recn 9571 . . . . . 6  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
5049adantl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
51 1red 9600 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
5232dvmptid 22526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
53 ioossre 11589 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  RR
5453a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
55 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5655tgioo2 21474 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
57 iooretop 21439 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
5857a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
5932, 50, 51, 52, 54, 56, 55, 58dvmptres 22532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
60 elsni 4041 . . . . . . 7  |-  ( ( sin `  ( s  /  2 ) )  e.  { 0 }  ->  ( sin `  (
s  /  2 ) )  =  0 )
6160necon3ai 2682 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  ( s  /  2 ) )  =/=  0  ->  -.  ( sin `  ( s  /  2 ) )  e.  { 0 } )
6221, 61syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e. 
{ 0 } )
6318, 62eldifd 3472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
6417coscld 13948 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
6548halfcld 10779 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  CC )
6664, 65mulcld 9605 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( s  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  e.  CC )
67 cnelprrecn 9574 . . . . . 6  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
6867a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
69 sinf 13941 . . . . . . 7  |-  sin : CC
--> CC
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sin : CC --> CC )
7170ffvelrnda 6007 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
72 cosf 13942 . . . . . . 7  |-  cos : CC
--> CC
7372a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  cos : CC --> CC )
7473ffvelrnda 6007 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
75 2cnd 10604 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
7622a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
7732, 16, 34, 59, 75, 76dvmptdivc 22534 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( s  /  2 ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 1  /  2 ) ) )
78 ffn 5713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sin
: CC --> CC  ->  sin 
Fn  CC )
7969, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  sin  Fn  CC
80 dffn5 5893 . . . . . . . . . 10  |-  ( sin 
Fn  CC  <->  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )
8179, 80mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) )
8281eqcomi 2467 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) )  =  sin
8382oveq2i 6281 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x
) ) )  =  ( CC  _D  sin )
84 dvsin 22549 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  sin )  =  cos
85 ffn 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
8672, 85ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  cos  Fn  CC
87 dffn5 5893 . . . . . . . 8  |-  ( cos 
Fn  CC  <->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
8886, 87mpbi 208 . . . . . . 7  |-  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )
8983, 84, 883eqtri 2487 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )
9089a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
91 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( x  =  ( s  / 
2 )  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
92 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( x  =  ( s  / 
2 )  ->  ( cos `  x )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
9332, 68, 17, 39, 71, 74, 77, 90, 91, 92dvmptco 22541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( sin `  ( s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) ) ) )
9432, 16, 48, 59, 63, 66, 93dvmptdiv 31953 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( s  /  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( 1  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  / 
( ( sin `  (
s  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
9532, 33, 47, 94, 75, 76dvmptdivc 22534 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( s  /  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  /  2 ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
9614recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  CC )
9796halfcld 10779 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
9897sincld 13947 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
9998mulid2d 9603 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
1  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
10097coscld 13948 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
101 2cnd 10604 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  e.  CC )
10222a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  =/=  0 )
103100, 101, 102divrecd 10319 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  =  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
104103eqcomd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  /  2
) )
105104oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  =  ( ( ( cos `  ( s  /  2
) )  /  2
)  x.  s ) )
10699, 105oveq12d 6288 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 1  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  =  ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) ) )
107106oveq1d 6285 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) ) )
108107oveq1d 6285 . . . 4  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
)  =  ( ( ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) )
109108mpteq2ia 4521 . . 3  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( sin `  ( s  /  2
) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) )
110109a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( 1  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2 ) ) ^ 2 ) )  /  2 ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
11130, 95, 1103eqtrd 2499 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( K `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( sin `  ( s  /  2
) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ifcif 3929   {csn 4016   {cpr 4018    |-> cmpt 4497   ran crn 4989    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   2c2 10581   ZZcz 10860   (,)cioo 11532   [,]cicc 11535   ^cexp 12148   sincsin 13881   cosccos 13882   picpi 13884   TopOpenctopn 14911   topGenctg 14927  ℂfldccnfld 18615    _D cdv 22433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-t1 19982  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437
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