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Theorem fourierdlem56 31786
Description: Derivative of the  K function on an interval non containing ' 0 '. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem56.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem56.a  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( -u pi [,] pi ) 
\  { 0 } ) )
fourierdlem56.r4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem56  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( K `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( sin `  ( s  /  2
) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    ph, s
Allowed substitution hint:    K( s)

Proof of Theorem fourierdlem56
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pire 22718 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
21a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  pi  e.  RR )
32renegcld 9998 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  e.  RR )
4 elioore 11571 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
54adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
61a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
76renegcld 9998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
87rexrd 9655 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR* )
98adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  e.  RR* )
106rexrd 9655 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR* )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  pi  e.  RR* )
12 fourierdlem56.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( -u pi [,] pi ) 
\  { 0 } ) )
1312difss2d 3639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
15 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
1614, 15sseldd 3510 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
17 iccgelb 11593 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  -u pi  <_  s )
189, 11, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <_  s )
19 iccleub 11592 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  s  <_  pi )
209, 11, 16, 19syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <_  pi )
213, 2, 5, 18, 20eliccd 31425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
22 1ex 9603 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
23 ovex 6320 . . . . . . . 8  |-  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e. 
_V
2422, 23ifex 4014 . . . . . . 7  |-  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  _V
2524a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  _V )
26 fourierdlem56.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
2726fvmpt2 5964 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  _V )  -> 
( K `  s
)  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
2821, 25, 27syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
29 fourierdlem56.r4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
3029neneqd 2669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
3130iffalsed 3956 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
32 ax-resscn 9561 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
3332, 5sseldi 3507 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
3433halfcld 10795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  CC )
3534sincld 13743 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
36 2cn 10618 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
3736a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  CC )
38 fourierdlem44 31774 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
3921, 29, 38syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
40 2ne0 10640 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
4140a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
4233, 35, 37, 39, 41divdiv1d 10363 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
s  /  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  / 
2 )  =  ( s  /  ( ( sin `  ( s  /  2 ) )  x.  2 ) ) )
4335, 37mulcomd 9629 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( sin `  ( s  / 
2 ) )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )
4443oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) )  x.  2 ) )  =  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
4542, 44eqtr2d 2509 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  / 
( sin `  (
s  /  2 ) ) )  /  2
) )
4628, 31, 453eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  =  ( ( s  /  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  /  2 ) )
4746mpteq2dva 4539 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( K `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( s  /  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  /  2 ) ) )
4847oveq2d 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( K `  s ) ) )  =  ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( s  /  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  / 
2 ) ) ) )
49 reex 9595 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
5049prid1 4141 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
5150a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
5233, 35, 39divcld 10332 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
53 1re 9607 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
5453a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  1  e.  RR )
555rehalfcld 10797 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
5655resincld 13756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
5754, 56remulcld 9636 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
5855recoscld 13757 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
5954rehalfcld 10797 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
6058, 59remulcld 9636 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( s  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  e.  RR )
6160, 5remulcld 9636 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  e.  RR )
6257, 61resubcld 9999 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
1  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )
6356resqcld 12316 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ^
2 )  e.  RR )
64 2z 10908 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
6564a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  ZZ )
6635, 39, 65expne0d 12296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ^
2 )  =/=  0
)
6762, 63, 66redivcld 10384 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( 1  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  / 
( ( sin `  (
s  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
68 ax-1cn 9562 . . . . 5  |-  1  e.  CC
6968a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  1  e.  CC )
7032sseli 3505 . . . . . 6  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
7170adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
7253a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
7351dvmptid 22228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
74 ioossre 11598 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  RR
7574a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
76 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
7776tgioo2 21176 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
78 iooretop 21141 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
7978a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
8051, 71, 72, 73, 75, 77, 76, 79dvmptres 22234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
81 elsni 4058 . . . . . . 7  |-  ( ( sin `  ( s  /  2 ) )  e.  { 0 }  ->  ( sin `  (
s  /  2 ) )  =  0 )
8281necon3ai 2695 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  ( s  /  2 ) )  =/=  0  ->  -.  ( sin `  ( s  /  2 ) )  e.  { 0 } )
8339, 82syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e. 
{ 0 } )
8435, 83eldifd 3492 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
8534coscld 13744 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
8669halfcld 10795 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  CC )
8785, 86mulcld 9628 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( s  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  e.  CC )
88 cnex 9585 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
8988prid2 4142 . . . . . 6  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
9089a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
91 sinf 13737 . . . . . . 7  |-  sin : CC
--> CC
9291a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sin : CC --> CC )
9392ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
94 cosf 13738 . . . . . . 7  |-  cos : CC
--> CC
9594a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  cos : CC --> CC )
9695ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
9736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
9840a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
9951, 33, 54, 80, 97, 98dvmptdivc 22236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( s  /  2 ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 1  /  2 ) ) )
100 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sin
: CC --> CC  ->  sin 
Fn  CC )
10191, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  sin  Fn  CC
102 dffn5 5919 . . . . . . . . . 10  |-  ( sin 
Fn  CC  <->  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )
103101, 102mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) )
104103eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) )  =  sin
105104oveq2i 6306 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x
) ) )  =  ( CC  _D  sin )
106 dvsin 22251 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  sin )  =  cos
107 ffn 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
10894, 107ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  cos  Fn  CC
109 dffn5 5919 . . . . . . . 8  |-  ( cos 
Fn  CC  <->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
110108, 109mpbi 208 . . . . . . 7  |-  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )
111105, 106, 1103eqtri 2500 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )
112111a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
113 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( x  =  ( s  / 
2 )  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
114 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( x  =  ( s  / 
2 )  ->  ( cos `  x )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
11551, 90, 34, 59, 93, 96, 99, 112, 113, 114dvmptco 22243 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( sin `  ( s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) ) ) )
11651, 33, 69, 80, 84, 87, 115dvmptdiv 31570 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( s  /  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( 1  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  / 
( ( sin `  (
s  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
11751, 52, 67, 116, 97, 98dvmptdivc 22236 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( s  /  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  /  2 ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
1184, 70syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  CC )
119118halfcld 10795 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
120119sincld 13743 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
121120mulid2d 9626 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
1  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
122119coscld 13744 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
12336a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  e.  CC )
12440a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  =/=  0 )
125122, 123, 124divrecd 10335 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  =  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
126125eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  /  2
) )
127126oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  =  ( ( ( cos `  ( s  /  2
) )  /  2
)  x.  s ) )
128121, 127oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 1  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  =  ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) ) )
129128oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) ) )
130129oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
)  =  ( ( ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) )
131130mpteq2ia 4535 . . 3  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( sin `  ( s  /  2
) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) )
132131a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( 1  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2 ) ) ^ 2 ) )  /  2 ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
13348, 117, 1323eqtrd 2512 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( K `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( sin `  ( s  /  2
) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   ifcif 3945   {csn 4033   {cpr 4035   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   ran crn 5006    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    x. cmul 9509   RR*cxr 9639    <_ cle 9641    - cmin 9817   -ucneg 9818    / cdiv 10218   2c2 10597   ZZcz 10876   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   ^cexp 12146   sincsin 13678   cosccos 13679   picpi 13681   TopOpenctopn 14694   topGenctg 14710  ℂfldccnfld 18290    _D cdv 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-t1 19683  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139
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