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Theorem fourierdlem56 38138
Description: Derivative of the  K function on an interval non containing ' 0 '. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem56.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem56.a  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( -u pi [,] pi ) 
\  { 0 } ) )
fourierdlem56.r4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem56  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( K `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( sin `  ( s  /  2
) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    ph, s
Allowed substitution hint:    K( s)

Proof of Theorem fourierdlem56
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem56.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( -u pi [,] pi ) 
\  { 0 } ) )
21difss2d 3552 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
32sselda 3418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
4 1ex 9656 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
5 ovex 6336 . . . . . . . 8  |-  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e. 
_V
64, 5ifex 3940 . . . . . . 7  |-  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  _V
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  _V )
8 fourierdlem56.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
98fvmpt2 5972 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  _V )  -> 
( K `  s
)  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
103, 7, 9syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
11 fourierdlem56.r4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
1211neneqd 2648 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
1312iffalsed 3883 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
14 elioore 11691 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
1514adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
1615recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
1716halfcld 10880 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  CC )
1817sincld 14261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
19 2cnd 10704 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  CC )
20 fourierdlem44 38127 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
213, 11, 20syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
22 2ne0 10724 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
2416, 18, 19, 21, 23divdiv1d 10436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
s  /  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  / 
2 )  =  ( s  /  ( ( sin `  ( s  /  2 ) )  x.  2 ) ) )
2518, 19mulcomd 9682 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( sin `  ( s  / 
2 ) )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )
2625oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) )  x.  2 ) )  =  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
2724, 26eqtr2d 2506 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  / 
( sin `  (
s  /  2 ) ) )  /  2
) )
2810, 13, 273eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  =  ( ( s  /  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  /  2 ) )
2928mpteq2dva 4482 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( K `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( s  /  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  /  2 ) ) )
3029oveq2d 6324 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( K `  s ) ) )  =  ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( s  /  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  / 
2 ) ) ) )
31 reelprrecn 9649 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
3231a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
3316, 18, 21divcld 10405 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
34 1red 9676 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  1  e.  RR )
3515rehalfcld 10882 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
3635resincld 14274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
3734, 36remulcld 9689 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
3835recoscld 14275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
3934rehalfcld 10882 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
4038, 39remulcld 9689 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( s  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  e.  RR )
4140, 15remulcld 9689 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  e.  RR )
4237, 41resubcld 10068 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
1  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )
4336resqcld 12480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ^
2 )  e.  RR )
44 2z 10993 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
4544a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  ZZ )
4618, 21, 45expne0d 12460 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ^
2 )  =/=  0
)
4742, 43, 46redivcld 10457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( 1  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  / 
( ( sin `  (
s  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
48 1cnd 9677 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  1  e.  CC )
49 recn 9647 . . . . . 6  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
5049adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
51 1red 9676 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
5232dvmptid 22990 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
53 ioossre 11721 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  RR
5453a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
55 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5655tgioo2 21899 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
57 iooretop 21864 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
5857a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
5932, 50, 51, 52, 54, 56, 55, 58dvmptres 22996 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
60 elsni 3985 . . . . . . 7  |-  ( ( sin `  ( s  /  2 ) )  e.  { 0 }  ->  ( sin `  (
s  /  2 ) )  =  0 )
6160necon3ai 2668 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  ( s  /  2 ) )  =/=  0  ->  -.  ( sin `  ( s  /  2 ) )  e.  { 0 } )
6221, 61syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e. 
{ 0 } )
6318, 62eldifd 3401 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
6417coscld 14262 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
6548halfcld 10880 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  CC )
6664, 65mulcld 9681 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( s  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  e.  CC )
67 cnelprrecn 9650 . . . . . 6  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
6867a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
69 sinf 14255 . . . . . . 7  |-  sin : CC
--> CC
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sin : CC --> CC )
7170ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
72 cosf 14256 . . . . . . 7  |-  cos : CC
--> CC
7372a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  cos : CC --> CC )
7473ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
75 2cnd 10704 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
7622a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
7732, 16, 34, 59, 75, 76dvmptdivc 22998 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( s  /  2 ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 1  /  2 ) ) )
78 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sin
: CC --> CC  ->  sin 
Fn  CC )
7969, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  sin  Fn  CC
80 dffn5 5924 . . . . . . . . . 10  |-  ( sin 
Fn  CC  <->  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )
8179, 80mpbi 213 . . . . . . . . 9  |-  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) )
8281eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) )  =  sin
8382oveq2i 6319 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x
) ) )  =  ( CC  _D  sin )
84 dvsin 23013 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  sin )  =  cos
85 ffn 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
8672, 85ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  cos  Fn  CC
87 dffn5 5924 . . . . . . . 8  |-  ( cos 
Fn  CC  <->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
8886, 87mpbi 213 . . . . . . 7  |-  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )
8983, 84, 883eqtri 2497 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )
9089a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
91 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( x  =  ( s  / 
2 )  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
92 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( x  =  ( s  / 
2 )  ->  ( cos `  x )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
9332, 68, 17, 39, 71, 74, 77, 90, 91, 92dvmptco 23005 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( sin `  ( s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) ) ) )
9432, 16, 48, 59, 63, 66, 93dvmptdiv 37886 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( s  /  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( 1  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  / 
( ( sin `  (
s  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
9532, 33, 47, 94, 75, 76dvmptdivc 22998 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( s  /  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  /  2 ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
9614recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  CC )
9796halfcld 10880 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
9897sincld 14261 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
9998mulid2d 9679 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
1  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
10097coscld 14262 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
101 2cnd 10704 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  e.  CC )
10222a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  =/=  0 )
103100, 101, 102divrecd 10408 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  =  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
104103eqcomd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  /  2
) )
105104oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  =  ( ( ( cos `  ( s  /  2
) )  /  2
)  x.  s ) )
10699, 105oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 1  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  =  ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) ) )
107106oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) ) )
108107oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
)  =  ( ( ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) )
109108mpteq2ia 4478 . . 3  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( sin `  ( s  /  2
) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) )
110109a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( 1  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2 ) ) ^ 2 ) )  /  2 ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
11130, 95, 1103eqtrd 2509 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( K `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( sin `  ( s  /  2
) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   {cpr 3961    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   2c2 10681   ZZcz 10961   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ^cexp 12310   sincsin 14193   cosccos 14194   picpi 14196   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
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