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Theorem fourierdlem56 38026
Description: Derivative of the  K function on an interval non containing ' 0 '. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem56.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem56.a  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( -u pi [,] pi ) 
\  { 0 } ) )
fourierdlem56.r4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem56  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( K `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( sin `  ( s  /  2
) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    ph, s
Allowed substitution hint:    K( s)

Proof of Theorem fourierdlem56
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem56.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( -u pi [,] pi ) 
\  { 0 } ) )
21difss2d 3563 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
32sselda 3432 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
4 1ex 9638 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
5 ovex 6318 . . . . . . . 8  |-  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  e. 
_V
64, 5ifex 3949 . . . . . . 7  |-  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  _V
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  _V )
8 fourierdlem56.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
98fvmpt2 5957 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  e.  _V )  -> 
( K `  s
)  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
103, 7, 9syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  =  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) ) )
11 fourierdlem56.r4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
1211neneqd 2629 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
1312iffalsed 3892 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  1 ,  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )  =  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) )
14 elioore 11666 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
1514adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
1615recnd 9669 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
1716halfcld 10857 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  CC )
1817sincld 14184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
19 2cnd 10682 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  CC )
20 fourierdlem44 38015 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  s  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
s  /  2 ) )  =/=  0 )
213, 11, 20syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  =/=  0
)
22 2ne0 10702 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  =/=  0 )
2416, 18, 19, 21, 23divdiv1d 10414 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
s  /  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  / 
2 )  =  ( s  /  ( ( sin `  ( s  /  2 ) )  x.  2 ) ) )
2518, 19mulcomd 9664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( sin `  ( s  / 
2 ) )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) )
2625oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) )  x.  2 ) )  =  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) ) )
2724, 26eqtr2d 2486 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( 2  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) ) )  =  ( ( s  / 
( sin `  (
s  /  2 ) ) )  /  2
) )
2810, 13, 273eqtrd 2489 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( K `  s )  =  ( ( s  /  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  /  2 ) )
2928mpteq2dva 4489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( K `  s
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( s  /  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  /  2 ) ) )
3029oveq2d 6306 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( K `  s ) ) )  =  ( RR  _D  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( s  /  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  / 
2 ) ) ) )
31 reelprrecn 9631 . . . 4  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
3231a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
3316, 18, 21divcld 10383 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  CC )
34 1red 9658 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  1  e.  RR )
3515rehalfcld 10859 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR )
3635resincld 14197 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
3734, 36remulcld 9671 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  e.  RR )
3835recoscld 14198 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  RR )
3934rehalfcld 10859 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
4038, 39remulcld 9671 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( s  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  e.  RR )
4140, 15remulcld 9671 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  e.  RR )
4237, 41resubcld 10047 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
1  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) )  x.  s ) )  e.  RR )
4336resqcld 12442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ^
2 )  e.  RR )
44 2z 10969 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
4544a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  2  e.  ZZ )
4618, 21, 45expne0d 12422 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ^
2 )  =/=  0
)
4742, 43, 46redivcld 10435 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( 1  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  / 
( ( sin `  (
s  /  2 ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
48 1cnd 9659 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  1  e.  CC )
49 recn 9629 . . . . . 6  |-  ( s  e.  RR  ->  s  e.  CC )
5049adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  CC )
51 1red 9658 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
5232dvmptid 22911 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  RR  |->  s ) )  =  ( s  e.  RR  |->  1 ) )
53 ioossre 11696 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  RR
5453a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
55 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5655tgioo2 21821 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
57 iooretop 21786 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
5857a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
5932, 50, 51, 52, 54, 56, 55, 58dvmptres 22917 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
60 elsni 3993 . . . . . . 7  |-  ( ( sin `  ( s  /  2 ) )  e.  { 0 }  ->  ( sin `  (
s  /  2 ) )  =  0 )
6160necon3ai 2649 . . . . . 6  |-  ( ( sin `  ( s  /  2 ) )  =/=  0  ->  -.  ( sin `  ( s  /  2 ) )  e.  { 0 } )
6221, 61syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e. 
{ 0 } )
6318, 62eldifd 3415 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( s  /  2
) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
6417coscld 14185 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( s  /  2
) )  e.  CC )
6548halfcld 10857 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  CC )
6664, 65mulcld 9663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( s  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  2
) )  e.  CC )
67 cnelprrecn 9632 . . . . . 6  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
6867a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
69 sinf 14178 . . . . . . 7  |-  sin : CC
--> CC
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sin : CC --> CC )
7170ffvelrnda 6022 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
72 cosf 14179 . . . . . . 7  |-  cos : CC
--> CC
7372a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  cos : CC --> CC )
7473ffvelrnda 6022 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
75 2cnd 10682 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
7622a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
7732, 16, 34, 59, 75, 76dvmptdivc 22919 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( s  /  2 ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( 1  /  2 ) ) )
78 ffn 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sin
: CC --> CC  ->  sin 
Fn  CC )
7969, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  sin  Fn  CC
80 dffn5 5910 . . . . . . . . . 10  |-  ( sin 
Fn  CC  <->  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )
8179, 80mpbi 212 . . . . . . . . 9  |-  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) )
8281eqcomi 2460 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) )  =  sin
8382oveq2i 6301 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x
) ) )  =  ( CC  _D  sin )
84 dvsin 22934 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  sin )  =  cos
85 ffn 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
8672, 85ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  cos  Fn  CC
87 dffn5 5910 . . . . . . . 8  |-  ( cos 
Fn  CC  <->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
8886, 87mpbi 212 . . . . . . 7  |-  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )
8983, 84, 883eqtri 2477 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )
9089a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
91 fveq2 5865 . . . . 5  |-  ( x  =  ( s  / 
2 )  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
92 fveq2 5865 . . . . 5  |-  ( x  =  ( s  / 
2 )  ->  ( cos `  x )  =  ( cos `  (
s  /  2 ) ) )
9332, 68, 17, 39, 71, 74, 77, 90, 91, 92dvmptco 22926 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( sin `  ( s  /  2 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) ) ) )
9432, 16, 48, 59, 63, 66, 93dvmptdiv 37789 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( s  /  ( sin `  ( s  /  2
) ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( 1  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  / 
( ( sin `  (
s  /  2 ) ) ^ 2 ) ) ) )
9532, 33, 47, 94, 75, 76dvmptdivc 22919 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( s  /  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  /  2 ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
9614recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  CC )
9796halfcld 10857 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
s  /  2 )  e.  CC )
9897sincld 14184 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( sin `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
9998mulid2d 9661 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
1  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  =  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )
10097coscld 14185 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  ( cos `  ( s  / 
2 ) )  e.  CC )
101 2cnd 10682 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  e.  CC )
10222a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  2  =/=  0 )
103100, 101, 102divrecd 10386 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  =  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
104103eqcomd 2457 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( cos `  ( s  /  2
) )  /  2
) )
105104oveq1d 6305 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s )  =  ( ( ( cos `  ( s  /  2
) )  /  2
)  x.  s ) )
10699, 105oveq12d 6308 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( 1  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2 ) )  x.  ( 1  / 
2 ) )  x.  s ) )  =  ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) ) )
107106oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) ) )
108107oveq1d 6305 . . . 4  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
)  =  ( ( ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) )
109108mpteq2ia 4485 . . 3  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( 1  x.  ( sin `  (
s  /  2 ) ) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( sin `  ( s  /  2
) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) )
110109a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( ( 1  x.  ( sin `  ( s  /  2
) ) )  -  ( ( ( cos `  ( s  /  2
) )  x.  (
1  /  2 ) )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2 ) ) ^ 2 ) )  /  2 ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( ( sin `  (
s  /  2 ) )  -  ( ( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
11130, 95, 1103eqtrd 2489 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( K `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( ( sin `  ( s  /  2
) )  -  (
( ( cos `  (
s  /  2 ) )  /  2 )  x.  s ) )  /  ( ( sin `  ( s  /  2
) ) ^ 2 ) )  /  2
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    C_ wss 3404   ifcif 3881   {csn 3968   {cpr 3970    |-> cmpt 4461   ran crn 4835    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    x. cmul 9544    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   2c2 10659   ZZcz 10937   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   ^cexp 12272   sincsin 14116   cosccos 14117   picpi 14119   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336  ℂfldccnfld 18970    _D cdv 22818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-t1 20330  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
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