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Theorem fourierdlem54 38136
 Description: Given a partition and an arbitrary interval , a partition on is built such that it preserves any periodic function piecewise continuous on will be piecewise continuous on , with the same limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem54.t
fourierdlem54.p ..^
fourierdlem54.m
fourierdlem54.q
fourierdlem54.c
fourierdlem54.d
fourierdlem54.cd
fourierdlem54.o ..^
fourierdlem54.h
fourierdlem54.n
fourierdlem54.s
Assertion
Ref Expression
fourierdlem54
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,,,   ,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,,,)   (,)   (,)   (,,)   (,,,)   (,,)   ()   (,,,,,)

Proof of Theorem fourierdlem54
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem54.n . . 3
2 2z 10993 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
4 fourierdlem54.c . . . . . . . . . 10
5 prid1g 4069 . . . . . . . . . 10
6 elun1 3592 . . . . . . . . . 10
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . 9
8 fourierdlem54.h . . . . . . . . 9
97, 8syl6eleqr 2560 . . . . . . . 8
10 ne0i 3728 . . . . . . . 8
119, 10syl 17 . . . . . . 7
12 prfi 7864 . . . . . . . . . 10
13 fourierdlem54.p . . . . . . . . . . . . 13 ..^
14 fourierdlem54.m . . . . . . . . . . . . 13
15 fourierdlem54.q . . . . . . . . . . . . 13
1613, 14, 15fourierdlem11 38092 . . . . . . . . . . . 12
1716simp1d 1042 . . . . . . . . . . 11
1816simp2d 1043 . . . . . . . . . . 11
1916simp3d 1044 . . . . . . . . . . 11
20 fourierdlem54.t . . . . . . . . . . 11
2113, 14, 15fourierdlem15 38096 . . . . . . . . . . . 12
22 frn 5747 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11
2413fourierdlem2 38083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
2514, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
2615, 25mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
2726simpld 466 . . . . . . . . . . . . . 14
28 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . 14
29 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . 14
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
31 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . 13
32 fnfi 7867 . . . . . . . . . . . . 13
3330, 31, 32syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
34 rnfi 7875 . . . . . . . . . . . 12
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11
3626simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
3736simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13
3837simpld 466 . . . . . . . . . . . 12
3914nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . . . 15
4139, 40syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . 14
42 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . . . . 14
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
44 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . 13
4530, 43, 44syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
4638, 45eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . 11
4737simprd 470 . . . . . . . . . . . 12
48 eluzfz2 11833 . . . . . . . . . . . . . 14
4941, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
50 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . 13
5130, 49, 50syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
5247, 51eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . 11
53 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
54 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
55 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
56 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 inf inf
57 fourierdlem54.d . . . . . . . . . . 11
58 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
59 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 t t
60 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14
6160eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13
6261rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . 12
6362cbvrabv 3030 . . . . . . . . . . 11
64 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6564oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14
6766anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . 13
68 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14
7170anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . 13
7267, 71cbvrex2v 3014 . . . . . . . . . . . 12
7372anbi2i 708 . . . . . . . . . . 11
7417, 18, 19, 20, 23, 35, 46, 52, 53, 54, 55, 56, 4, 57, 58, 59, 63, 73fourierdlem42 38124 . . . . . . . . . 10
75 unfi 7856 . . . . . . . . . 10
7612, 74, 75sylancr 676 . . . . . . . . 9
778, 76syl5eqel 2553 . . . . . . . 8
78 hashnncl 12585 . . . . . . . 8
7977, 78syl 17 . . . . . . 7
8011, 79mpbird 240 . . . . . 6
8180nnzd 11062 . . . . 5
82 fourierdlem54.cd . . . . . . . . 9
834, 82ltned 9788 . . . . . . . 8
84 hashprg 12610 . . . . . . . . 9
854, 57, 84syl2anc 673 . . . . . . . 8
8683, 85mpbid 215 . . . . . . 7
8786eqcomd 2477 . . . . . 6
88 ssun1 3588 . . . . . . . . 9
8988a1i 11 . . . . . . . 8
9089, 8syl6sseqr 3465 . . . . . . 7
91 hashssle 37603 . . . . . . 7
9277, 90, 91syl2anc 673 . . . . . 6
9387, 92eqbrtrd 4416 . . . . 5
94 eluz2 11188 . . . . 5
953, 81, 93, 94syl3anbrc 1214 . . . 4
96 uz2m1nn 11256 . . . 4
9795, 96syl 17 . . 3
981, 97syl5eqel 2553 . 2
99 prssg 4118 . . . . . . . . . . . . 13
1004, 57, 99syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
1014, 57, 100mpbi2and 935 . . . . . . . . . . 11
102 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . 12
1034, 57iccssred 37698 . . . . . . . . . . . 12
104102, 103syl5ss 3429 . . . . . . . . . . 11
105101, 104unssd 3601 . . . . . . . . . 10
1068, 105syl5eqss 3462 . . . . . . . . 9
107 fourierdlem54.s . . . . . . . . 9
10877, 106, 107, 1fourierdlem36 38118 . . . . . . . 8
109 df-isom 5598 . . . . . . . 8
110108, 109sylib 201 . . . . . . 7
111110simpld 466 . . . . . 6
112 f1of 5828 . . . . . 6
113111, 112syl 17 . . . . 5
114113, 106fssd 5750 . . . 4
115 reex 9648 . . . . 5
116 ovex 6336 . . . . . 6
117116a1i 11 . . . . 5
118 elmapg 7503 . . . . 5
119115, 117, 118sylancr 676 . . . 4
120114, 119mpbird 240 . . 3
121 df-f1o 5596 . . . . . . . . . . 11
122111, 121sylib 201 . . . . . . . . . 10
123122simprd 470 . . . . . . . . 9
124 dffo3 6052 . . . . . . . . 9
125123, 124sylib 201 . . . . . . . 8
126125simprd 470 . . . . . . 7
127 eqeq1 2475 . . . . . . . . . 10
128 eqcom 2478 . . . . . . . . . 10
129127, 128syl6bb 269 . . . . . . . . 9
130129rexbidv 2892 . . . . . . . 8
131130rspcv 3132 . . . . . . 7
1329, 126, 131sylc 61 . . . . . 6
133 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
134133eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13
135134adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
136 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12
137135, 136eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11
1384ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
139137, 138eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10
140139, 137eqled 9755 . . . . . . . . 9
1411403adantl2 1187 . . . . . . . 8
1424rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14357rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1444, 57, 82ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
145 lbicc2 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
146142, 143, 144, 145syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16
147 ubicc2 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
148142, 143, 144, 147syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16
149 prssg 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
150146, 148, 149syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151146, 148, 150mpbi2and 935 . . . . . . . . . . . . . . 15
152102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
153151, 152unssd 3601 . . . . . . . . . . . . . 14
1548, 153syl5eqss 3462 . . . . . . . . . . . . 13
155 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15680, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1571, 156syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158157, 40syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . 15
159 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . . . . . 15
160158, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
161113, 160ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13
162154, 161sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12
163103, 162sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11
164163adantr 472 . . . . . . . . . 10
1651643ad2antl1 1192 . . . . . . . . 9
1664adantr 472 . . . . . . . . . 10
1671663ad2antl1 1192 . . . . . . . . 9
168 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . 15
169168zred 11063 . . . . . . . . . . . . . 14
170169adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
171 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . 14
172171adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
173 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . 14
174173adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
175170, 172, 174ne0gt0d 9789 . . . . . . . . . . . 12
1761753ad2antl2 1193 . . . . . . . . . . 11
177 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . 12
178 simpl2 1034 . . . . . . . . . . . 12
179110simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14
180 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
181 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
182181breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
183180, 182bibi12d 328 . . . . . . . . . . . . . . . 16
184183ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15
185184rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . 14
186160, 179, 185sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13
187186r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . 12
188177, 178, 187syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
189176, 188mpbid 215 . . . . . . . . . 10
190 simpl3 1035 . . . . . . . . . 10
191189, 190breqtrd 4420 . . . . . . . . 9
192165, 167, 191ltled 9800 . . . . . . . 8
193141, 192pm2.61dan 808 . . . . . . 7
194193rexlimdv3a 2873 . . . . . 6
195132, 194mpd 15 . . . . 5
196 elicc2 11724 . . . . . . . 8
1974, 57, 196syl2anc 673 . . . . . . 7
198162, 197mpbid 215 . . . . . 6
199198simp2d 1043 . . . . 5
200163, 4letri3d 9794 . . . . 5
201195, 199, 200mpbir2and 936 . . . 4
202 eluzfz2 11833 . . . . . . . . . 10
203158, 202syl 17 . . . . . . . . 9
204113, 203ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8
205154, 204sseldd 3419 . . . . . . 7
206 elicc2 11724 . . . . . . . 8
2074, 57, 206syl2anc 673 . . . . . . 7
208205, 207mpbid 215 . . . . . 6
209208simp3d 1044 . . . . 5
210 prid2g 4070 . . . . . . . . 9
211 elun1 3592 . . . . . . . . 9
21257, 210, 2113syl 18 . . . . . . . 8
213212, 8syl6eleqr 2560 . . . . . . 7
214 eqeq1 2475 . . . . . . . . . 10
215 eqcom 2478 . . . . . . . . . 10
216214, 215syl6bb 269 . . . . . . . . 9
217216rexbidv 2892 . . . . . . . 8
218217rspcv 3132 . . . . . . 7
219213, 126, 218sylc 61 . . . . . 6
220215biimpri 211 . . . . . . . . 9
2212203ad2ant3 1053 . . . . . . . 8
222114ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10
223103, 205sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11
224223adantr 472 . . . . . . . . . 10
225169adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
226 elfzel2 11824 . . . . . . . . . . . . . 14
227226zred 11063 . . . . . . . . . . . . 13
228227adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
229 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . 13
230229adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
231225, 228, 230lensymd 9803 . . . . . . . . . . 11
232 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . 16
233 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
234233breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16
235232, 234bibi12d 328 . . . . . . . . . . . . . . 15
236235ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . 14
237236rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . 13
238203, 179, 237sylc 61 . . . . . . . . . . . 12
239238r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . 11
240231, 239mtbid 307 . . . . . . . . . 10
241222, 224, 240nltled 9802 . . . . . . . . 9
2422413adant3 1050 . . . . . . . 8
243221, 242eqbrtrd 4416 . . . . . . 7
244243rexlimdv3a 2873 . . . . . 6
245219, 244mpd 15 . . . . 5
246223, 57letri3d 9794 . . . . 5
247209, 245, 246mpbir2and 936 . . . 4
248 elfzoelz 11947 . . . . . . . . 9 ..^
249248zred 11063 . . . . . . . 8 ..^
250249ltp1d 10559 . . . . . . 7 ..^
251250adantl 473 . . . . . 6 ..^
252179adantr 472 . . . . . . 7 ..^
253 elfzofz 11962 . . . . . . . . 9 ..^
254253adantl 473 . . . . . . . 8 ..^
255 fzofzp1 12037 . . . . . . . . 9 ..^
256255adantl 473 . . . . . . . 8 ..^
257 breq1 4398 . . . . . . . . . 10
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