Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem54 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem54 32109
Description: Given a partition  Q and an arbitrary interval  [ C ,  D ], a partition  S on  [ C ,  D ] is built such that it preserves any periodic function piecewise continuous on  Q will be piecewise continuous on  S, with the same limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem54.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem54.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem54.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem54.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem54.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem54.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
fourierdlem54.cd  |-  ( ph  ->  C  <  D )
fourierdlem54.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem54.h  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
fourierdlem54.n  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
fourierdlem54.s  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem54  |-  ( ph  ->  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `  N
) )  /\  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) ) )
Distinct variable groups:    A, i, m, p    B, i, m, p    C, m, p    x, C    D, m, p    x, D    f, H    x, H    i, M, m, p    f, N    i, N, m, p   
x, N, i    Q, i, k    Q, p    x, Q, k    S, f    S, i, p    x, S    T, i, k, x    ph, f    ph, i, k
Allowed substitution hints:    ph( x, m, p)    A( x, f, k)    B( x, f, k)    C( f, i, k)    D( f, i, k)    P( x, f, i, k, m, p)    Q( f, m)    S( k, m)    T( f, m, p)    H( i, k, m, p)    M( x, f, k)    N( k)    O( x, f, i, k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem54
Dummy variables  w  h  y  z  j 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem54.n . . 3  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
2 2z 10813 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
4 fourierdlem54.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5 prid1g 4050 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  { C ,  D } )
6 elun1 3585 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  { C ,  D }  ->  C  e.  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )
74, 5, 63syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )
8 fourierdlem54.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
97, 8syl6eleqr 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  H )
10 ne0i 3717 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  H  ->  H  =/=  (/) )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  =/=  (/) )
12 prfi 7710 . . . . . . . . . 10  |-  { C ,  D }  e.  Fin
13 fourierdlem54.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
14 fourierdlem54.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
15 fourierdlem54.q . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
1613, 14, 15fourierdlem11 32066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B ) )
1716simp1d 1006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1816simp2d 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
1916simp3d 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <  B )
20 fourierdlem54.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( B  -  A
)
2113, 14, 15fourierdlem15 32070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
22 frn 5645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B )  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
2413fourierdlem2 32057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
2514, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <-> 
( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
2615, 25mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
2726simpld 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
28 elmapi 7359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
29 ffn 5639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
3027, 28, 293syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
31 fzfid 11986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  Fin )
32 fnfi 7713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q  Fn  ( 0 ... M )  /\  ( 0 ... M
)  e.  Fin )  ->  Q  e.  Fin )
3330, 31, 32syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  e.  Fin )
34 rnfi 7720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  Fin  ->  ran  Q  e.  Fin )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  Q  e.  Fin )
3626simprd 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 0 )  =  A  /\  ( Q `
 M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
3736simpld 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B ) )
3837simpld 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
3914nnnn0d 10769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
40 nn0uz 11035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
4139, 40syl6eleq 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
42 eluzfz1 11614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
44 fnfvelrn 5930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q  Fn  ( 0 ... M )  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( Q ` 
0 )  e.  ran  Q )
4530, 43, 44syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  ran  Q
)
4638, 45eqeltrrd 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ran  Q
)
4737simprd 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
48 eluzfz2 11615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  M  e.  ( 0 ... M
) )
4941, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
50 fnfvelrn 5930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q  Fn  ( 0 ... M )  /\  M  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( Q `  M )  e.  ran  Q )
5130, 49, 50syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  e.  ran  Q
)
5247, 51eqeltrrd 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ran  Q
)
53 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
54 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  Q  X.  ran  Q )  \  _I  )  =  ( ( ran 
Q  X.  ran  Q
)  \  _I  )
55 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( ran  Q  X.  ran  Q )  \  _I  ) )  =  ran  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( ran  Q  X.  ran  Q )  \  _I  )
)
56 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  sup ( ran  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( ran  Q  X.  ran  Q )  \  _I  )
) ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( ran  Q  X.  ran  Q )  \  _I  ) ) ,  RR ,  `'  <  )
57 fourierdlem54.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
58 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
59 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C [,] D ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C [,] D ) )
60 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
x  +  ( k  x.  T ) )  =  ( w  +  ( k  x.  T
) ) )
6160eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( w  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
6261rexbidv 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( x  +  (
k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  (
w  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
6362cbvrabv 3033 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  =  { w  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( w  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }
64 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  j  ->  (
i  x.  T )  =  ( j  x.  T ) )
6564oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  j  ->  (
y  +  ( i  x.  T ) )  =  ( y  +  ( j  x.  T
) ) )
6665eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  (
( y  +  ( i  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( y  +  ( j  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
6766anbi1d 702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( y  +  ( i  x.  T
) )  e.  ran  Q  /\  ( z  +  ( l  x.  T
) )  e.  ran  Q )  <->  ( ( y  +  ( j  x.  T ) )  e. 
ran  Q  /\  (
z  +  ( l  x.  T ) )  e.  ran  Q ) ) )
68 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  k  ->  (
l  x.  T )  =  ( k  x.  T ) )
6968oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  k  ->  (
z  +  ( l  x.  T ) )  =  ( z  +  ( k  x.  T
) ) )
7069eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  k  ->  (
( z  +  ( l  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( z  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
7170anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( y  +  ( j  x.  T
) )  e.  ran  Q  /\  ( z  +  ( l  x.  T
) )  e.  ran  Q )  <->  ( ( y  +  ( j  x.  T ) )  e. 
ran  Q  /\  (
z  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) ) )
7267, 71cbvrex2v 3018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. i  e.  ZZ  E. l  e.  ZZ  (
( y  +  ( i  x.  T ) )  e.  ran  Q  /\  ( z  +  ( l  x.  T ) )  e.  ran  Q
)  <->  E. j  e.  ZZ  E. k  e.  ZZ  (
( y  +  ( j  x.  T ) )  e.  ran  Q  /\  ( z  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q
) )
7372anbi2i 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <  z ) )  /\  E. i  e.  ZZ  E. l  e.  ZZ  (
( y  +  ( i  x.  T ) )  e.  ran  Q  /\  ( z  +  ( l  x.  T ) )  e.  ran  Q
) )  <->  ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  < 
z ) )  /\  E. j  e.  ZZ  E. k  e.  ZZ  (
( y  +  ( j  x.  T ) )  e.  ran  Q  /\  ( z  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q
) ) )
7417, 18, 19, 20, 23, 35, 46, 52, 53, 54, 55, 56, 4, 57, 58, 59, 63, 73fourierdlem42 32097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  e.  Fin )
75 unfi 7702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { C ,  D }  e.  Fin  /\  {
x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  (
k  x.  T ) )  e.  ran  Q }  e.  Fin )  ->  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  e.  Fin )
7612, 74, 75sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  e.  Fin )
778, 76syl5eqel 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  Fin )
78 hashnncl 12339 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  Fin  ->  (
( # `  H )  e.  NN  <->  H  =/=  (/) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  H
)  e.  NN  <->  H  =/=  (/) ) )
8011, 79mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  e.  NN )
8180nnzd 10883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  e.  ZZ )
82 fourierdlem54.cd . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <  D )
834, 82ltned 9632 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  =/=  D )
84 hashprg 12364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( C  =/=  D  <->  (
# `  { C ,  D } )  =  2 ) )
854, 57, 84syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  =/=  D  <->  (
# `  { C ,  D } )  =  2 ) )
8683, 85mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  { C ,  D }
)  =  2 )
8786eqcomd 2390 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  =  ( # `  { C ,  D } ) )
88 ssun1 3581 . . . . . . . . 9  |-  { C ,  D }  C_  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
8988a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { C ,  D }  C_  ( { C ,  D }  u.  {
x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  (
k  x.  T ) )  e.  ran  Q } ) )
9089, 8syl6sseqr 3464 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { C ,  D }  C_  H )
91 hashssle 31663 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  Fin  /\  { C ,  D }  C_  H )  ->  ( # `
 { C ,  D } )  <_  ( # `
 H ) )
9277, 90, 91syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  { C ,  D }
)  <_  ( # `  H
) )
9387, 92eqbrtrd 4387 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  H
) )
94 eluz2 11007 . . . . 5  |-  ( (
# `  H )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  H )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  H
) ) )
953, 81, 93, 94syl3anbrc 1178 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
96 uz2m1nn 11075 . . . 4  |-  ( (
# `  H )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( # `  H
)  -  1 )  e.  NN )
9795, 96syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  H
)  -  1 )  e.  NN )
981, 97syl5eqel 2474 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
99 prssg 4099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  <->  { C ,  D }  C_  RR ) )
1004, 57, 99syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  <->  { C ,  D }  C_  RR ) )
1014, 57, 100mpbi2and 919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { C ,  D }  C_  RR )
102 ssrab2 3499 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  C_  ( C [,] D )
1034, 57iccssred 31705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C [,] D
)  C_  RR )
104102, 103syl5ss 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  C_  RR )
105101, 104unssd 3594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  C_  RR )
1068, 105syl5eqss 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  C_  RR )
107 fourierdlem54.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
10877, 106, 107, 1fourierdlem36 32091 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  H ) )
109 df-isom 5505 . . . . . . . 8  |-  ( S 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H )  <-> 
( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H  /\  A. x  e.  ( 0 ... N
) A. y  e.  ( 0 ... N
) ( x  < 
y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
) ) )
110108, 109sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H  /\  A. x  e.  ( 0 ... N
) A. y  e.  ( 0 ... N
) ( x  < 
y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
) ) )
111110simpld 457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
112 f1of 5724 . . . . . 6  |-  ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H  ->  S :
( 0 ... N
) --> H )
113111, 112syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> H )
114113, 106fssd 5648 . . . 4  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> RR )
115 reex 9494 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
116 ovex 6224 . . . . . 6  |-  ( 0 ... N )  e. 
_V
117116a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  _V )
118 elmapg 7351 . . . . 5  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  ( 0 ... N
)  e.  _V )  ->  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  <-> 
S : ( 0 ... N ) --> RR ) )
119115, 117, 118sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  <-> 
S : ( 0 ... N ) --> RR ) )
120114, 119mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... N ) ) )
121 df-f1o 5503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H  <->  ( S :
( 0 ... N
) -1-1-> H  /\  S :
( 0 ... N
) -onto-> H ) )
122111, 121sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S : ( 0 ... N )
-1-1-> H  /\  S :
( 0 ... N
) -onto-> H ) )
123122simprd 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) -onto-> H )
124 dffo3 5948 . . . . . . . . 9  |-  ( S : ( 0 ... N ) -onto-> H  <->  ( S : ( 0 ... N ) --> H  /\  A. h  e.  H  E. y  e.  ( 0 ... N ) h  =  ( S `  y ) ) )
125123, 124sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S : ( 0 ... N ) --> H  /\  A. h  e.  H  E. y  e.  ( 0 ... N
) h  =  ( S `  y ) ) )
126125simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. h  e.  H  E. y  e.  (
0 ... N ) h  =  ( S `  y ) )
127 eqeq1 2386 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  C  ->  (
h  =  ( S `
 y )  <->  C  =  ( S `  y ) ) )
128 eqcom 2391 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  ( S `  y )  <->  ( S `  y )  =  C )
129127, 128syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  C  ->  (
h  =  ( S `
 y )  <->  ( S `  y )  =  C ) )
130129rexbidv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  C  ->  ( E. y  e.  (
0 ... N ) h  =  ( S `  y )  <->  E. y  e.  ( 0 ... N
) ( S `  y )  =  C ) )
131130rspcv 3131 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  H  ->  ( A. h  e.  H  E. y  e.  (
0 ... N ) h  =  ( S `  y )  ->  E. y  e.  ( 0 ... N
) ( S `  y )  =  C ) )
1329, 126, 131sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( 0 ... N ) ( S `  y
)  =  C )
133 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  0  ->  ( S `  y )  =  ( S ` 
0 ) )
134133eqcomd 2390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  0  ->  ( S `  0 )  =  ( S `  y ) )
135134adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  =  ( S `
 y ) )
136 simplr 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  y  =  0 )  -> 
( S `  y
)  =  C )
137135, 136eqtrd 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  =  C )
1384ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  y  =  0 )  ->  C  e.  RR )
139137, 138eqeltrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  e.  RR )
140139, 137eqled 31621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  <_  C )
1411403adantl2 1151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  y  =  0 )  ->  ( S `  0 )  <_  C )
1424rexrd 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
14357rexrd 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
1444, 57, 82ltled 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
145 lbicc2 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  C  <_  D )  ->  C  e.  ( C [,] D
) )
146142, 143, 144, 145syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  ( C [,] D ) )
147 ubicc2 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  C  <_  D )  ->  D  e.  ( C [,] D
) )
148142, 143, 144, 147syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C [,] D ) )
149 prssg 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  ( C [,] D )  /\  D  e.  ( C [,] D ) )  -> 
( ( C  e.  ( C [,] D
)  /\  D  e.  ( C [,] D ) )  <->  { C ,  D }  C_  ( C [,] D ) ) )
150146, 148, 149syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  ( C [,] D
)  /\  D  e.  ( C [,] D ) )  <->  { C ,  D }  C_  ( C [,] D ) ) )
151146, 148, 150mpbi2and 919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { C ,  D }  C_  ( C [,] D ) )
152102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  C_  ( C [,] D ) )
153151, 152unssd 3594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  C_  ( C [,] D ) )
1548, 153syl5eqss 3461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  H  C_  ( C [,] D ) )
155 nnm1nn0 10754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  H )  e.  NN  ->  ( ( # `
 H )  - 
1 )  e.  NN0 )
15680, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( # `  H
)  -  1 )  e.  NN0 )
1571, 156syl5eqel 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
158157, 40syl6eleq 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
159 eluzfz1 11614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... N
) )
160158, 159syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... N ) )
161113, 160ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S `  0
)  e.  H )
162154, 161sseldd 3418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S `  0
)  e.  ( C [,] D ) )
163103, 162sseldd 3418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S `  0
)  e.  RR )
164163adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  e.  RR )
1651643ad2antl1 1156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  e.  RR )
1664adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  y  =  0 )  ->  C  e.  RR )
1671663ad2antl1 1156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  ->  C  e.  RR )
168 elfzelz 11609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  y  e.  ZZ )
169168zred 10884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  y  e.  RR )
170169adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  y  =  0
)  ->  y  e.  RR )
171 elfzle1 11610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  y )
172171adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  y  =  0
)  ->  0  <_  y )
173 neqne 31601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  y  =  0  -> 
y  =/=  0 )
174173adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  y  =  0
)  ->  y  =/=  0 )
175170, 172, 174ne0gt0d 9633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  y  =  0
)  ->  0  <  y )
1761753ad2antl2 1157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
0  <  y )
177 simpl1 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  ->  ph )
178 simpl2 998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
y  e.  ( 0 ... N ) )
179110simprd 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 ... N ) A. y  e.  ( 0 ... N ) ( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y ) ) )
180 breq1 4370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <  y  <->  0  <  y ) )
181 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  ( S `  x )  =  ( S ` 
0 ) )
182181breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  (
( S `  x
)  <  ( S `  y )  <->  ( S `  0 )  < 
( S `  y
) ) )
183180, 182bibi12d 319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y ) )  <->  ( 0  <  y  <->  ( S `  0 )  < 
( S `  y
) ) ) )
184183ralbidv 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  (
0 ... N ) ( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
)  <->  A. y  e.  ( 0 ... N ) ( 0  <  y  <->  ( S `  0 )  <  ( S `  y ) ) ) )
185184rspcv 3131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  ( A. x  e.  (
0 ... N ) A. y  e.  ( 0 ... N ) ( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
)  ->  A. y  e.  ( 0 ... N
) ( 0  < 
y  <->  ( S ` 
0 )  <  ( S `  y )
) ) )
186160, 179, 185sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 0 ... N ) ( 0  <  y  <->  ( S `  0 )  <  ( S `  y ) ) )
187186r19.21bi 2751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  <  y  <->  ( S `  0 )  < 
( S `  y
) ) )
188177, 178, 187syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
( 0  <  y  <->  ( S `  0 )  <  ( S `  y ) ) )
189176, 188mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  <  ( S `  y ) )
190 simpl3 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
( S `  y
)  =  C )
191189, 190breqtrd 4391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  <  C )
192165, 167, 191ltled 9644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  <_  C )
193141, 192pm2.61dan 789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  ->  ( S `  0 )  <_  C )
194193rexlimdv3a 2876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( 0 ... N
) ( S `  y )  =  C  ->  ( S ` 
0 )  <_  C
) )
195132, 194mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S `  0
)  <_  C )
196 elicc2 11510 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( S ` 
0 )  e.  ( C [,] D )  <-> 
( ( S ` 
0 )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  0 )  /\  ( S `  0 )  <_  D ) ) )
1974, 57, 196syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S ` 
0 )  e.  ( C [,] D )  <-> 
( ( S ` 
0 )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  0 )  /\  ( S `  0 )  <_  D ) ) )
198162, 197mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S ` 
0 )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  0 )  /\  ( S `  0 )  <_  D ) )
199198simp2d 1007 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  <_  ( S `  0 ) )
200163, 4letri3d 9638 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S ` 
0 )  =  C  <-> 
( ( S ` 
0 )  <_  C  /\  C  <_  ( S `
 0 ) ) ) )
201195, 199, 200mpbir2and 920 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  0
)  =  C )
202 eluzfz2 11615 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
203158, 202syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
204113, 203ffvelrnd 5934 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S `  N
)  e.  H )
205154, 204sseldd 3418 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S `  N
)  e.  ( C [,] D ) )
206 elicc2 11510 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( S `  N )  e.  ( C [,] D )  <-> 
( ( S `  N )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  N )  /\  ( S `  N )  <_  D ) ) )
2074, 57, 206syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S `  N )  e.  ( C [,] D )  <-> 
( ( S `  N )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  N )  /\  ( S `  N )  <_  D ) ) )
208205, 207mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S `  N )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  N )  /\  ( S `  N )  <_  D ) )
209208simp3d 1008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S `  N
)  <_  D )
210 prid2g 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  RR  ->  D  e.  { C ,  D } )
211 elun1 3585 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  { C ,  D }  ->  D  e.  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )
21257, 210, 2113syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )
213212, 8syl6eleqr 2481 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  H )
214 eqeq1 2386 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  D  ->  (
h  =  ( S `
 y )  <->  D  =  ( S `  y ) ) )
215 eqcom 2391 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  =  ( S `  y )  <->  ( S `  y )  =  D )
216214, 215syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  D  ->  (
h  =  ( S `
 y )  <->  ( S `  y )  =  D ) )
217216rexbidv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  D  ->  ( E. y  e.  (
0 ... N ) h  =  ( S `  y )  <->  E. y  e.  ( 0 ... N
) ( S `  y )  =  D ) )
218217rspcv 3131 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  H  ->  ( A. h  e.  H  E. y  e.  (
0 ... N ) h  =  ( S `  y )  ->  E. y  e.  ( 0 ... N
) ( S `  y )  =  D ) )
219213, 126, 218sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( 0 ... N ) ( S `  y
)  =  D )
220215biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S `  y )  =  D  ->  D  =  ( S `  y ) )
2212203ad2ant3 1017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  D )  ->  D  =  ( S `  y ) )
222114ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( S `  y )  e.  RR )
223103, 205sseldd 3418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S `  N
)  e.  RR )
224223adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( S `  N )  e.  RR )
225169adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  y  e.  RR )
226 elfzel2 11607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
227226zred 10884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  RR )
228227adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  RR )
229 elfzle2 11611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  y  <_  N )
230229adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  y  <_  N )
231225, 228, 230leimnltd 31639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  N  <  y )
232 breq1 4370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  N  ->  (
x  <  y  <->  N  <  y ) )
233 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  N  ->  ( S `  x )  =  ( S `  N ) )
234233breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  N  ->  (
( S `  x
)  <  ( S `  y )  <->  ( S `  N )  <  ( S `  y )
) )
235232, 234bibi12d 319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y ) )  <->  ( N  <  y  <->  ( S `  N )  <  ( S `  y )
) ) )
236235ralbidv 2821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  N  ->  ( A. y  e.  (
0 ... N ) ( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
)  <->  A. y  e.  ( 0 ... N ) ( N  <  y  <->  ( S `  N )  <  ( S `  y ) ) ) )
237236rspcv 3131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( 0 ... N )  ->  ( A. x  e.  (
0 ... N ) A. y  e.  ( 0 ... N ) ( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
)  ->  A. y  e.  ( 0 ... N
) ( N  < 
y  <->  ( S `  N )  <  ( S `  y )
) ) )
238203, 179, 237sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 0 ... N ) ( N  <  y  <->  ( S `  N )  <  ( S `  y ) ) )
239238r19.21bi 2751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  <  y  <->  ( S `  N )  <  ( S `  y )
) )
240231, 239mtbid 298 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  ( S `  N )  <  ( S `  y ) )
241222, 224, 240nltled 31644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( S `  y )  <_  ( S `  N
) )
2422413adant3 1014 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  D )  ->  ( S `  y )  <_  ( S `  N )
)
243221, 242eqbrtrd 4387 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  D )  ->  D  <_  ( S `  N ) )
244243rexlimdv3a 2876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( 0 ... N
) ( S `  y )  =  D  ->  D  <_  ( S `  N )
) )
245219, 244mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  <_  ( S `  N ) )
246223, 57letri3d 9638 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S `  N )  =  D  <-> 
( ( S `  N )  <_  D  /\  D  <_  ( S `
 N ) ) ) )
247209, 245, 246mpbir2and 920 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  N
)  =  D )
248 elfzoelz 11722 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ZZ )
249248zred 10884 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  RR )
250249ltp1d 10392 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  <  ( i  +  1 ) )
251250adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  <  (
i  +  1 ) )
252179adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( 0 ... N ) A. y  e.  ( 0 ... N ) ( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y ) ) )
253 elfzofz 11737 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0 ... N
) )
254253adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  e.  ( 0 ... N ) )
255 fzofzp1 11808 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
256255adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
257 breq1 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  (
x  <  y  <->  i  <  y ) )
258 fveq2 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  ( S `  x )  =  ( S `  i ) )
259258breq1d 4377 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  (
( S `  x
)  <  ( S `  y )  <->  ( S `  i )  <  ( S `  y )
) )
260257, 259bibi12d 319 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  (
( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y ) )  <->  ( i  <  y  <->  ( S `  i )  <  ( S `  y )
) ) )
261 breq2 4371 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  (
i  <  y  <->  i  <  ( i  +  1 ) ) )
262 fveq2 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  ( S `  y )  =  ( S `  ( i  +  1 ) ) )
263262breq2d 4379 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  (
( S `  i
)  <  ( S `  y )  <->  ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) ) )
264261, 263bibi12d 319 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  (
( i  <  y  <->  ( S `  i )  <  ( S `  y ) )  <->  ( i  <  ( i  +  1 )  <->  ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
265260, 264rspc2v 3144 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... N )  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( A. x  e.  ( 0 ... N
) A. y  e.  ( 0 ... N
) ( x  < 
y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
)  ->  ( i  <  ( i  +  1 )  <->  ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
266254, 256, 265syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( A. x  e.  ( 0 ... N
) A. y  e.  ( 0 ... N
) ( x  < 
y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
)  ->  ( i  <  ( i  +  1 )  <->  ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
267252, 266mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( i  < 
( i  +  1 )  <->  ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) ) )
268251, 267mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) )
269268ralrimiva 2796 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) )
270201, 247, 269jca31 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 0 )  =  C  /\  ( S `
 N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) )
271 fourierdlem54.o . . . . 5  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
272271fourierdlem2 32057 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <->  ( S  e.  ( RR  ^m  (
0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
27398, 272syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <-> 
( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
274120, 270, 273mpbir2and 920 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( O `
 N ) )
27598, 274, 108jca31 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `  N
) )  /\  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    u. cun 3387    C_ wss 3389   (/)c0 3711   {cpr 3946   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425    _I cid 4704    X. cxp 4911   `'ccnv 4912   ran crn 4914    |` cres 4915    o. ccom 4917   iotacio 5458    Fn wfn 5491   -->wf 5492   -1-1->wf1 5493   -onto->wfo 5494   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496    Isom wiso 5497  (class class class)co 6196    ^m cmap 7338   Fincfn 7435   supcsup 7815   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408   RR*cxr 9538    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   NNcn 10452   2c2 10502   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   (,)cioo 11450   [,]cicc 11453   ...cfz 11593  ..^cfzo 11717   #chash 12307   abscabs 13069   ↾t crest 14828   topGenctg 14845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-rest 14830  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-cmp 19973
This theorem is referenced by:  fourierdlem63  32118  fourierdlem64  32119  fourierdlem65  32120  fourierdlem79  32134  fourierdlem89  32144  fourierdlem90  32145  fourierdlem91  32146  fourierdlem100  32155  fourierdlem107  32162  fourierdlem109  32164  fourierdlem112  32167
  Copyright terms: Public domain W3C validator