Theorem fourierdlem54 32109

Description: Given a partition Q and an arbitrary interval [ C , D ], a partition S on [ C , D ] is built such that it preserves any periodic function piecewise continuous on Q will be piecewise continuous on S, with the same limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem54.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem54.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem54.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem54.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem54.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem54.d	|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem54.cd	|- ( ph -> C < D )
fourierdlem54.o	|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem54.h	|- H = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
fourierdlem54.n	|- N = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem54.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem54	|- ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, m, p   B, i, m, p   C, m, p   x, C   D, m, p   x, D   f, H   x, H   i, M, m, p   f, N   i, N, m, p   x, N, i   Q, i, k   Q, p   x, Q, k   S, f   S, i, p   x, S   T, i, k, x   ph, f   ph, i, k

Allowed substitution hints:   ph( x, m, p)   A( x, f, k)   B( x, f, k)   C( f, i, k)   D( f, i, k)   P( x, f, i, k, m, p)   Q( f, m)   S( k, m)   T( f, m, p)   H( i, k, m, p)   M( x, f, k)   N( k)   O( x, f, i, k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem54

Dummy variables w h y z j l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem54.n	. . 3 |- N = ( ( # ` H ) - 1 )
2		2z 10813	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
4		fourierdlem54.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR )
5		prid1g 4050	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. RR -> C e. { C , D } )
6		elun1 3585	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. { C , D } -> C e. ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
7	4, 5, 6	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
8		fourierdlem54.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
9	7, 8	syl6eleqr 2481	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. H )
10		ne0i 3717	. . . . . . . 8 |- ( C e. H -> H =/= (/) )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> H =/= (/) )
12		prfi 7710	. . . . . . . . . 10 |- { C , D } e. Fin
13		fourierdlem54.p	. . . . . . . . . . . . 13 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
14		fourierdlem54.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. NN )
15		fourierdlem54.q	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
16	13, 14, 15	fourierdlem11 32066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
17	16	simp1d 1006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
18	16	simp2d 1007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR )
19	16	simp3d 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A < B )
20		fourierdlem54.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( B - A )
21	13, 14, 15	fourierdlem15 32070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
22		frn 5645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) -> ran Q C_ ( A [,] B ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran Q C_ ( A [,] B ) )
24	13	fourierdlem2 32057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
25	14, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
26	15, 25	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
27	26	simpld 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
28		elmapi 7359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
29		ffn 5639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Q Fn ( 0 ... M ) )
30	27, 28, 29	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
31		fzfid 11986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
32		fnfi 7713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ ( 0 ... M ) e. Fin ) -> Q e. Fin )
33	30, 31, 32	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. Fin )
34		rnfi 7720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Q e. Fin -> ran Q e. Fin )
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran Q e. Fin )
36	26	simprd 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
37	36	simpld 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) )
38	37	simpld 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
39	14	nnnn0d 10769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. NN0 )
40		nn0uz 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
41	39, 40	syl6eleq 2480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
42		eluzfz1 11614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
44		fnfvelrn 5930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` 0 ) e. ran Q )
45	30, 43, 44	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. ran Q )
46	38, 45	eqeltrrd 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ran Q )
47	37	simprd 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
48		eluzfz2 11615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
49	41, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
50		fnfvelrn 5930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ M e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` M ) e. ran Q )
51	30, 49, 50	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. ran Q )
52	47, 51	eqeltrrd 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ran Q )
53		eqid 2382	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
54		eqid 2382	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ran Q X. ran Q ) \ _I ) = ( ( ran Q X. ran Q ) \ _I )
55		eqid 2382	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( ( abs o. - ) |` ( ( ran Q X. ran Q ) \ _I ) ) = ran ( ( abs o. - ) |` ( ( ran Q X. ran Q ) \ _I ) )
56		eqid 2382	. . . . . . . . . . 11 |- sup ( ran ( ( abs o. - ) |` ( ( ran Q X. ran Q ) \ _I ) ) , RR , `' < ) = sup ( ran ( ( abs o. - ) |` ( ( ran Q X. ran Q ) \ _I ) ) , RR , `' < )
57		fourierdlem54.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. RR )
58		eqid 2382	. . . . . . . . . . 11 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
59		eqid 2382	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C [,] D ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( C [,] D ) )
60		oveq1 6203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( x + ( k x. T ) ) = ( w + ( k x. T ) ) )
61	60	eleq1d 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
62	61	rexbidv 2893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
63	62	cbvrabv 3033	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { w e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q }
64		oveq1 6203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = j -> ( i x. T ) = ( j x. T ) )
65	64	oveq2d 6212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = j -> ( y + ( i x. T ) ) = ( y + ( j x. T ) ) )
66	65	eleq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = j -> ( ( y + ( i x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q ) )
67	66	anbi1d 702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( ( ( y + ( i x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q ) <-> ( ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q ) ) )
68		oveq1 6203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = k -> ( l x. T ) = ( k x. T ) )
69	68	oveq2d 6212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = k -> ( z + ( l x. T ) ) = ( z + ( k x. T ) ) )
70	69	eleq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = k -> ( ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q <-> ( z + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
71	70	anbi2d 701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = k -> ( ( ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q ) <-> ( ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( k x. T ) ) e. ran Q ) ) )
72	67, 71	cbvrex2v 3018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. i e. ZZ E. l e. ZZ ( ( y + ( i x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q ) <-> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
73	72	anbi2i 692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y < z ) ) /\ E. i e. ZZ E. l e. ZZ ( ( y + ( i x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q ) ) <-> ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y < z ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q /\ ( z + ( k x. T ) ) e. ran Q ) ) )
74	17, 18, 19, 20, 23, 35, 46, 52, 53, 54, 55, 56, 4, 57, 58, 59, 63, 73	fourierdlem42 32097	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } e. Fin )
75		unfi 7702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { C , D } e. Fin /\ { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } e. Fin ) -> ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) e. Fin )
76	12, 74, 75	sylancr 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) e. Fin )
77	8, 76	syl5eqel 2474	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H e. Fin )
78		hashnncl 12339	. . . . . . . 8 |- ( H e. Fin -> ( ( # ` H ) e. NN <-> H =/= (/) ) )
79	77, 78	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` H ) e. NN <-> H =/= (/) ) )
80	11, 79	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` H ) e. NN )
81	80	nnzd 10883	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` H ) e. ZZ )
82		fourierdlem54.cd	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < D )
83	4, 82	ltned 9632	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C =/= D )
84		hashprg 12364	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( C =/= D <-> ( # ` { C , D } ) = 2 ) )
85	4, 57, 84	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C =/= D <-> ( # ` { C , D } ) = 2 ) )
86	83, 85	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` { C , D } ) = 2 )
87	86	eqcomd 2390	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 = ( # ` { C , D } ) )
88		ssun1 3581	. . . . . . . . 9 |- { C , D } C_ ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
89	88	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { C , D } C_ ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
90	89, 8	syl6sseqr 3464	. . . . . . 7 |- ( ph -> { C , D } C_ H )
91		hashssle 31663	. . . . . . 7 |- ( ( H e. Fin /\ { C , D } C_ H ) -> ( # ` { C , D } ) <_ ( # ` H ) )
92	77, 90, 91	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` { C , D } ) <_ ( # ` H ) )
93	87, 92	eqbrtrd 4387	. . . . 5 |- ( ph -> 2 <_ ( # ` H ) )
94		eluz2 11007	. . . . 5 |- ( ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ ( # ` H ) e. ZZ /\ 2 <_ ( # ` H ) ) )
95	3, 81, 93, 94	syl3anbrc 1178	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
96		uz2m1nn 11075	. . . 4 |- ( ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN )
97	95, 96	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN )
98	1, 97	syl5eqel 2474	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
99		prssg 4099	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( C e. RR /\ D e. RR ) <-> { C , D } C_ RR ) )
100	4, 57, 99	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( C e. RR /\ D e. RR ) <-> { C , D } C_ RR ) )
101	4, 57, 100	mpbi2and 919	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { C , D } C_ RR )
102		ssrab2 3499	. . . . . . . . . . . 12 |- { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } C_ ( C [,] D )
103	4, 57	iccssred 31705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C [,] D ) C_ RR )
104	102, 103	syl5ss 3428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } C_ RR )
105	101, 104	unssd 3594	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) C_ RR )
106	8, 105	syl5eqss 3461	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H C_ RR )
107		fourierdlem54.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
108	77, 106, 107, 1	fourierdlem36 32091	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
109		df-isom 5505	. . . . . . . 8 |- ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H /\ A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) ) )
110	108, 109	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H /\ A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) ) )
111	110	simpld 457	. . . . . 6 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
112		f1of 5724	. . . . . 6 |- ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H -> S : ( 0 ... N ) --> H )
113	111, 112	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> H )
114	113, 106	fssd 5648	. . . 4 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
115		reex 9494	. . . . 5 |- RR e. _V
116		ovex 6224	. . . . . 6 |- ( 0 ... N ) e. _V
117	116	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. _V )
118		elmapg 7351	. . . . 5 |- ( ( RR e. _V /\ ( 0 ... N ) e. _V ) -> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) <-> S : ( 0 ... N ) --> RR ) )
119	115, 117, 118	sylancr 661	. . . 4 |- ( ph -> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) <-> S : ( 0 ... N ) --> RR ) )
120	114, 119	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) )
121		df-f1o 5503	. . . . . . . . . . 11 |- ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H <-> ( S : ( 0 ... N ) -1-1-> H /\ S : ( 0 ... N ) -onto-> H ) )
122	111, 121	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S : ( 0 ... N ) -1-1-> H /\ S : ( 0 ... N ) -onto-> H ) )
123	122	simprd 461	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) -onto-> H )
124		dffo3 5948	. . . . . . . . 9 |- ( S : ( 0 ... N ) -onto-> H <-> ( S : ( 0 ... N ) --> H /\ A. h e. H E. y e. ( 0 ... N ) h = ( S ` y ) ) )
125	123, 124	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S : ( 0 ... N ) --> H /\ A. h e. H E. y e. ( 0 ... N ) h = ( S ` y ) ) )
126	125	simprd 461	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. h e. H E. y e. ( 0 ... N ) h = ( S ` y ) )
127		eqeq1 2386	. . . . . . . . . 10 |- ( h = C -> ( h = ( S ` y ) <-> C = ( S ` y ) ) )
128		eqcom 2391	. . . . . . . . . 10 |- ( C = ( S ` y ) <-> ( S ` y ) = C )
129	127, 128	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( h = C -> ( h = ( S ` y ) <-> ( S ` y ) = C ) )
130	129	rexbidv 2893	. . . . . . . 8 |- ( h = C -> ( E. y e. ( 0 ... N ) h = ( S ` y ) <-> E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = C ) )
131	130	rspcv 3131	. . . . . . 7 |- ( C e. H -> ( A. h e. H E. y e. ( 0 ... N ) h = ( S ` y ) -> E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = C ) )
132	9, 126, 131	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ph -> E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = C )
133		fveq2 5774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = 0 -> ( S ` y ) = ( S ` 0 ) )
134	133	eqcomd 2390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = 0 -> ( S ` 0 ) = ( S ` y ) )
135	134	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( S ` y ) = C ) /\ y = 0 ) -> ( S ` 0 ) = ( S ` y ) )
136		simplr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( S ` y ) = C ) /\ y = 0 ) -> ( S ` y ) = C )
137	135, 136	eqtrd 2423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( S ` y ) = C ) /\ y = 0 ) -> ( S ` 0 ) = C )
138	4	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( S ` y ) = C ) /\ y = 0 ) -> C e. RR )
139	137, 138	eqeltrd 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( S ` y ) = C ) /\ y = 0 ) -> ( S ` 0 ) e. RR )
140	139, 137	eqled 31621	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( S ` y ) = C ) /\ y = 0 ) -> ( S ` 0 ) <_ C )
141	140	3adantl2 1151	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ y = 0 ) -> ( S ` 0 ) <_ C )
142	4	rexrd 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> C e. RR* )
143	57	rexrd 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> D e. RR* )
144	4, 57, 82	ltled 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> C <_ D )
145		lbicc2 11557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C <_ D ) -> C e. ( C [,] D ) )
146	142, 143, 144, 145	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> C e. ( C [,] D ) )
147		ubicc2 11558	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C <_ D ) -> D e. ( C [,] D ) )
148	142, 143, 144, 147	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. ( C [,] D ) )
149		prssg 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. ( C [,] D ) /\ D e. ( C [,] D ) ) -> ( ( C e. ( C [,] D ) /\ D e. ( C [,] D ) ) <-> { C , D } C_ ( C [,] D ) ) )
150	146, 148, 149	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( C e. ( C [,] D ) /\ D e. ( C [,] D ) ) <-> { C , D } C_ ( C [,] D ) ) )
151	146, 148, 150	mpbi2and 919	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> { C , D } C_ ( C [,] D ) )
152	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } C_ ( C [,] D ) )
153	151, 152	unssd 3594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) C_ ( C [,] D ) )
154	8, 153	syl5eqss 3461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> H C_ ( C [,] D ) )
155		nnm1nn0 10754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` H ) e. NN -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN0 )
156	80, 155	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN0 )
157	1, 156	syl5eqel 2474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN0 )
158	157, 40	syl6eleq 2480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
159		eluzfz1 11614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... N ) )
160	158, 159	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... N ) )
161	113, 160	ffvelrnd 5934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S ` 0 ) e. H )
162	154, 161	sseldd 3418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ` 0 ) e. ( C [,] D ) )
163	103, 162	sseldd 3418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S ` 0 ) e. RR )
164	163	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. y = 0 ) -> ( S ` 0 ) e. RR )
165	164	3ad2antl1 1156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> ( S ` 0 ) e. RR )
166	4	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. y = 0 ) -> C e. RR )
167	166	3ad2antl1 1156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> C e. RR )
168		elfzelz 11609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( 0 ... N ) -> y e. ZZ )
169	168	zred 10884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 0 ... N ) -> y e. RR )
170	169	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ( 0 ... N ) /\ -. y = 0 ) -> y e. RR )
171		elfzle1 11610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ y )
172	171	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ( 0 ... N ) /\ -. y = 0 ) -> 0 <_ y )
173		neqne 31601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. y = 0 -> y =/= 0 )
174	173	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ( 0 ... N ) /\ -. y = 0 ) -> y =/= 0 )
175	170, 172, 174	ne0gt0d 9633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ( 0 ... N ) /\ -. y = 0 ) -> 0 < y )
176	175	3ad2antl2 1157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> 0 < y )
177		simpl1 997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> ph )
178		simpl2 998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> y e. ( 0 ... N ) )
179	110	simprd 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) )
180		breq1 4370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 0 -> ( x < y <-> 0 < y ) )
181		fveq2 5774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 0 -> ( S ` x ) = ( S ` 0 ) )
182	181	breq1d 4377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 0 -> ( ( S ` x ) < ( S ` y ) <-> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) ) )
183	180, 182	bibi12d 319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 0 -> ( ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) <-> ( 0 < y <-> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) ) ) )
184	183	ralbidv 2821	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 0 -> ( A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) <-> A. y e. ( 0 ... N ) ( 0 < y <-> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) ) ) )
185	184	rspcv 3131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ( 0 ... N ) -> ( A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) -> A. y e. ( 0 ... N ) ( 0 < y <-> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) ) ) )
186	160, 179, 185	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. y e. ( 0 ... N ) ( 0 < y <-> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) ) )
187	186	r19.21bi 2751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 < y <-> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) ) )
188	177, 178, 187	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> ( 0 < y <-> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) ) )
189	176, 188	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> ( S ` 0 ) < ( S ` y ) )
190		simpl3 999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> ( S ` y ) = C )
191	189, 190	breqtrd 4391	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> ( S ` 0 ) < C )
192	165, 167, 191	ltled 9644	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) /\ -. y = 0 ) -> ( S ` 0 ) <_ C )
193	141, 192	pm2.61dan 789	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = C ) -> ( S ` 0 ) <_ C )
194	193	rexlimdv3a 2876	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = C -> ( S ` 0 ) <_ C ) )
195	132, 194	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> ( S ` 0 ) <_ C )
196		elicc2 11510	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( S ` 0 ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` 0 ) e. RR /\ C <_ ( S ` 0 ) /\ ( S ` 0 ) <_ D ) ) )
197	4, 57, 196	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S ` 0 ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` 0 ) e. RR /\ C <_ ( S ` 0 ) /\ ( S ` 0 ) <_ D ) ) )
198	162, 197	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S ` 0 ) e. RR /\ C <_ ( S ` 0 ) /\ ( S ` 0 ) <_ D ) )
199	198	simp2d 1007	. . . . 5 |- ( ph -> C <_ ( S ` 0 ) )
200	163, 4	letri3d 9638	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S ` 0 ) = C <-> ( ( S ` 0 ) <_ C /\ C <_ ( S ` 0 ) ) ) )
201	195, 199, 200	mpbir2and 920	. . . 4 |- ( ph -> ( S ` 0 ) = C )
202		eluzfz2 11615	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> N e. ( 0 ... N ) )
203	158, 202	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( 0 ... N ) )
204	113, 203	ffvelrnd 5934	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S ` N ) e. H )
205	154, 204	sseldd 3418	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S ` N ) e. ( C [,] D ) )
206		elicc2 11510	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR ) -> ( ( S ` N ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` N ) e. RR /\ C <_ ( S ` N ) /\ ( S ` N ) <_ D ) ) )
207	4, 57, 206	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S ` N ) e. ( C [,] D ) <-> ( ( S ` N ) e. RR /\ C <_ ( S ` N ) /\ ( S ` N ) <_ D ) ) )
208	205, 207	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S ` N ) e. RR /\ C <_ ( S ` N ) /\ ( S ` N ) <_ D ) )
209	208	simp3d 1008	. . . . 5 |- ( ph -> ( S ` N ) <_ D )
210		prid2g 4051	. . . . . . . . 9 |- ( D e. RR -> D e. { C , D } )
211		elun1 3585	. . . . . . . . 9 |- ( D e. { C , D } -> D e. ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
212	57, 210, 211	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
213	212, 8	syl6eleqr 2481	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. H )
214		eqeq1 2386	. . . . . . . . . 10 |- ( h = D -> ( h = ( S ` y ) <-> D = ( S ` y ) ) )
215		eqcom 2391	. . . . . . . . . 10 |- ( D = ( S ` y ) <-> ( S ` y ) = D )
216	214, 215	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( h = D -> ( h = ( S ` y ) <-> ( S ` y ) = D ) )
217	216	rexbidv 2893	. . . . . . . 8 |- ( h = D -> ( E. y e. ( 0 ... N ) h = ( S ` y ) <-> E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = D ) )
218	217	rspcv 3131	. . . . . . 7 |- ( D e. H -> ( A. h e. H E. y e. ( 0 ... N ) h = ( S ` y ) -> E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = D ) )
219	213, 126, 218	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ph -> E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = D )
220	215	biimpri 206	. . . . . . . . 9 |- ( ( S ` y ) = D -> D = ( S ` y ) )
221	220	3ad2ant3 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = D ) -> D = ( S ` y ) )
222	114	ffvelrnda 5933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> ( S ` y ) e. RR )
223	103, 205	sseldd 3418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S ` N ) e. RR )
224	223	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> ( S ` N ) e. RR )
225	169	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> y e. RR )
226		elfzel2 11607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
227	226	zred 10884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0 ... N ) -> N e. RR )
228	227	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR )
229		elfzle2 11611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0 ... N ) -> y <_ N )
230	229	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> y <_ N )
231	225, 228, 230	leimnltd 31639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> -. N < y )
232		breq1 4370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = N -> ( x < y <-> N < y ) )
233		fveq2 5774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = N -> ( S ` x ) = ( S ` N ) )
234	233	breq1d 4377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = N -> ( ( S ` x ) < ( S ` y ) <-> ( S ` N ) < ( S ` y ) ) )
235	232, 234	bibi12d 319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = N -> ( ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) <-> ( N < y <-> ( S ` N ) < ( S ` y ) ) ) )
236	235	ralbidv 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = N -> ( A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) <-> A. y e. ( 0 ... N ) ( N < y <-> ( S ` N ) < ( S ` y ) ) ) )
237	236	rspcv 3131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( 0 ... N ) -> ( A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) -> A. y e. ( 0 ... N ) ( N < y <-> ( S ` N ) < ( S ` y ) ) ) )
238	203, 179, 237	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. y e. ( 0 ... N ) ( N < y <-> ( S ` N ) < ( S ` y ) ) )
239	238	r19.21bi 2751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> ( N < y <-> ( S ` N ) < ( S ` y ) ) )
240	231, 239	mtbid 298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> -. ( S ` N ) < ( S ` y ) )
241	222, 224, 240	nltled 31644	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) ) -> ( S ` y ) <_ ( S ` N ) )
242	241	3adant3 1014	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = D ) -> ( S ` y ) <_ ( S ` N ) )
243	221, 242	eqbrtrd 4387	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 ... N ) /\ ( S ` y ) = D ) -> D <_ ( S ` N ) )
244	243	rexlimdv3a 2876	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. y e. ( 0 ... N ) ( S ` y ) = D -> D <_ ( S ` N ) ) )
245	219, 244	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> D <_ ( S ` N ) )
246	223, 57	letri3d 9638	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S ` N ) = D <-> ( ( S ` N ) <_ D /\ D <_ ( S ` N ) ) ) )
247	209, 245, 246	mpbir2and 920	. . . 4 |- ( ph -> ( S ` N ) = D )
248		elfzoelz 11722	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 0..^ N ) -> i e. ZZ )
249	248	zred 10884	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ N ) -> i e. RR )
250	249	ltp1d 10392	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 0..^ N ) -> i < ( i + 1 ) )
251	250	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ N ) ) -> i < ( i + 1 ) )
252	179	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ N ) ) -> A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) )
253		elfzofz 11737	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 0..^ N ) -> i e. ( 0 ... N ) )
254	253	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ N ) ) -> i e. ( 0 ... N ) )
255		fzofzp1 11808	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 0..^ N ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
256	255	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ N ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
257		breq1 4370	. . . . . . . . . 10 |- ( x = i -> ( x < y <-> i < y ) )
258		fveq2 5774	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = i -> ( S ` x ) = ( S ` i ) )
259	258	breq1d 4377	. . . . . . . . . 10 |- ( x = i -> ( ( S ` x ) < ( S ` y ) <-> ( S ` i ) < ( S ` y ) ) )
260	257, 259	bibi12d 319	. . . . . . . . 9 |- ( x = i -> ( ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) <-> ( i < y <-> ( S ` i ) < ( S ` y ) ) ) )
261		breq2 4371	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( i + 1 ) -> ( i < y <-> i < ( i + 1 ) ) )
262		fveq2 5774	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( i + 1 ) -> ( S ` y ) = ( S ` ( i + 1 ) ) )
263	262	breq2d 4379	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( i + 1 ) -> ( ( S ` i ) < ( S ` y ) <-> ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) )
264	261, 263	bibi12d 319	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( i + 1 ) -> ( ( i < y <-> ( S ` i ) < ( S ` y ) ) <-> ( i < ( i + 1 ) <-> ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
265	260, 264	rspc2v 3144	. . . . . . . 8 |- ( ( i e. ( 0 ... N ) /\ ( i + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
266	254, 256, 265	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ N ) ) -> ( A. x e. ( 0 ... N ) A. y e. ( 0 ... N ) ( x < y <-> ( S ` x ) < ( S ` y ) ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
267	252, 266	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ N ) ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) )
268	251, 267	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) )
269	268	ralrimiva 2796	. . . 4 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) )
270	201, 247, 269	jca31 532	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) )
271		fourierdlem54.o	. . . . 5 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
272	271	fourierdlem2 32057	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
273	98, 272	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
274	120, 270, 273	mpbir2and 920	. 2 |- ( ph -> S e. ( O ` N ) )
275	98, 274, 108	jca31 532	1 |- ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1826   =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736   _Vcvv 3034   \ cdif 3386   u. cun 3387   C_ wss 3389   (/)c0 3711   {cpr 3946   class class class wbr 4367   |-> cmpt 4425   _I cid 4704   X. cxp 4911   `'ccnv 4912   ran crn 4914   |` cres 4915   o. ccom 4917   iotacio 5458   Fn wfn 5491   -->wf 5492   -1-1->wf1 5493   -onto->wfo 5494   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496   Isom wiso 5497  (class class class)co 6196   ^m cmap 7338   Fincfn 7435   supcsup 7815   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404   + caddc 9406   x. cmul 9408   RR*cxr 9538   < clt 9539   <_ cle 9540   - cmin 9718   NNcn 10452   2c2 10502   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   (,)cioo 11450   [,]cicc 11453   ...cfz 11593  ..^cfzo 11717   #chash 12307   abscabs 13069   ↾_t crest 14828   topGenctg 14845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-rest 14830  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-cmp 19973

This theorem is referenced by:  fourierdlem63  32118  fourierdlem64  32119  fourierdlem65  32120  fourierdlem79  32134  fourierdlem89  32144  fourierdlem90  32145  fourierdlem91  32146  fourierdlem100  32155  fourierdlem107  32162  fourierdlem109  32164  fourierdlem112  32167