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Theorem fourierdlem54 38136
Description: Given a partition  Q and an arbitrary interval  [ C ,  D ], a partition  S on  [ C ,  D ] is built such that it preserves any periodic function piecewise continuous on  Q will be piecewise continuous on  S, with the same limits. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem54.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem54.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem54.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem54.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem54.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem54.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
fourierdlem54.cd  |-  ( ph  ->  C  <  D )
fourierdlem54.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem54.h  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
fourierdlem54.n  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
fourierdlem54.s  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem54  |-  ( ph  ->  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `  N
) )  /\  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) ) )
Distinct variable groups:    A, i, m, p    B, i, m, p    C, m, p    x, C    D, m, p    x, D    f, H    x, H    i, M, m, p    f, N    i, N, m, p   
x, N, i    Q, i, k    Q, p    x, Q, k    S, f    S, i, p    x, S    T, i, k, x    ph, f    ph, i, k
Allowed substitution hints:    ph( x, m, p)    A( x, f, k)    B( x, f, k)    C( f, i, k)    D( f, i, k)    P( x, f, i, k, m, p)    Q( f, m)    S( k, m)    T( f, m, p)    H( i, k, m, p)    M( x, f, k)    N( k)    O( x, f, i, k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem54
Dummy variables  w  h  y  z  j 
l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem54.n . . 3  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
2 2z 10993 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
4 fourierdlem54.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5 prid1g 4069 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  { C ,  D } )
6 elun1 3592 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  { C ,  D }  ->  C  e.  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )
8 fourierdlem54.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
97, 8syl6eleqr 2560 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  H )
10 ne0i 3728 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  H  ->  H  =/=  (/) )
119, 10syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  =/=  (/) )
12 prfi 7864 . . . . . . . . . 10  |-  { C ,  D }  e.  Fin
13 fourierdlem54.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
14 fourierdlem54.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
15 fourierdlem54.q . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
1613, 14, 15fourierdlem11 38092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B ) )
1716simp1d 1042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1816simp2d 1043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
1916simp3d 1044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <  B )
20 fourierdlem54.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( B  -  A
)
2113, 14, 15fourierdlem15 38096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
22 frn 5747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B )  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
2413fourierdlem2 38083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
2514, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <-> 
( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
2615, 25mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
2726simpld 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
28 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
29 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
31 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  Fin )
32 fnfi 7867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q  Fn  ( 0 ... M )  /\  ( 0 ... M
)  e.  Fin )  ->  Q  e.  Fin )
3330, 31, 32syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  e.  Fin )
34 rnfi 7875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  Fin  ->  ran  Q  e.  Fin )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  Q  e.  Fin )
3626simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 0 )  =  A  /\  ( Q `
 M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
3736simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B ) )
3837simpld 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
3914nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
40 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
4139, 40syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
42 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
44 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q  Fn  ( 0 ... M )  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( Q ` 
0 )  e.  ran  Q )
4530, 43, 44syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  ran  Q
)
4638, 45eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ran  Q
)
4737simprd 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
48 eluzfz2 11833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  M  e.  ( 0 ... M
) )
4941, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
50 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q  Fn  ( 0 ... M )  /\  M  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( Q `  M )  e.  ran  Q )
5130, 49, 50syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  e.  ran  Q
)
5247, 51eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ran  Q
)
53 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
54 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  Q  X.  ran  Q )  \  _I  )  =  ( ( ran 
Q  X.  ran  Q
)  \  _I  )
55 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( ran  Q  X.  ran  Q )  \  _I  ) )  =  ran  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( ran  Q  X.  ran  Q )  \  _I  )
)
56 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |- inf ( ran  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( ran  Q  X.  ran  Q )  \  _I  )
) ,  RR ,  <  )  = inf ( ran  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( ran  Q  X.  ran  Q )  \  _I  )
) ,  RR ,  <  )
57 fourierdlem54.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
58 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
59 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( C [,] D ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( C [,] D ) )
60 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
x  +  ( k  x.  T ) )  =  ( w  +  ( k  x.  T
) ) )
6160eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( w  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
6261rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( x  +  (
k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  (
w  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
6362cbvrabv 3030 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  =  { w  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( w  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }
64 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  j  ->  (
i  x.  T )  =  ( j  x.  T ) )
6564oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  j  ->  (
y  +  ( i  x.  T ) )  =  ( y  +  ( j  x.  T
) ) )
6665eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  (
( y  +  ( i  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( y  +  ( j  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
6766anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( y  +  ( i  x.  T
) )  e.  ran  Q  /\  ( z  +  ( l  x.  T
) )  e.  ran  Q )  <->  ( ( y  +  ( j  x.  T ) )  e. 
ran  Q  /\  (
z  +  ( l  x.  T ) )  e.  ran  Q ) ) )
68 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  k  ->  (
l  x.  T )  =  ( k  x.  T ) )
6968oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  k  ->  (
z  +  ( l  x.  T ) )  =  ( z  +  ( k  x.  T
) ) )
7069eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  k  ->  (
( z  +  ( l  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( z  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
7170anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( l  =  k  ->  (
( ( y  +  ( j  x.  T
) )  e.  ran  Q  /\  ( z  +  ( l  x.  T
) )  e.  ran  Q )  <->  ( ( y  +  ( j  x.  T ) )  e. 
ran  Q  /\  (
z  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) ) )
7267, 71cbvrex2v 3014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. i  e.  ZZ  E. l  e.  ZZ  (
( y  +  ( i  x.  T ) )  e.  ran  Q  /\  ( z  +  ( l  x.  T ) )  e.  ran  Q
)  <->  E. j  e.  ZZ  E. k  e.  ZZ  (
( y  +  ( j  x.  T ) )  e.  ran  Q  /\  ( z  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q
) )
7372anbi2i 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <  z ) )  /\  E. i  e.  ZZ  E. l  e.  ZZ  (
( y  +  ( i  x.  T ) )  e.  ran  Q  /\  ( z  +  ( l  x.  T ) )  e.  ran  Q
) )  <->  ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  < 
z ) )  /\  E. j  e.  ZZ  E. k  e.  ZZ  (
( y  +  ( j  x.  T ) )  e.  ran  Q  /\  ( z  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q
) ) )
7417, 18, 19, 20, 23, 35, 46, 52, 53, 54, 55, 56, 4, 57, 58, 59, 63, 73fourierdlem42 38124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  e.  Fin )
75 unfi 7856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { C ,  D }  e.  Fin  /\  {
x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  (
k  x.  T ) )  e.  ran  Q }  e.  Fin )  ->  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  e.  Fin )
7612, 74, 75sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  e.  Fin )
778, 76syl5eqel 2553 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  Fin )
78 hashnncl 12585 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  Fin  ->  (
( # `  H )  e.  NN  <->  H  =/=  (/) ) )
7977, 78syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  H
)  e.  NN  <->  H  =/=  (/) ) )
8011, 79mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  e.  NN )
8180nnzd 11062 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  e.  ZZ )
82 fourierdlem54.cd . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <  D )
834, 82ltned 9788 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  =/=  D )
84 hashprg 12610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( C  =/=  D  <->  (
# `  { C ,  D } )  =  2 ) )
854, 57, 84syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  =/=  D  <->  (
# `  { C ,  D } )  =  2 ) )
8683, 85mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  { C ,  D }
)  =  2 )
8786eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  =  ( # `  { C ,  D } ) )
88 ssun1 3588 . . . . . . . . 9  |-  { C ,  D }  C_  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
8988a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { C ,  D }  C_  ( { C ,  D }  u.  {
x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  (
k  x.  T ) )  e.  ran  Q } ) )
9089, 8syl6sseqr 3465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { C ,  D }  C_  H )
91 hashssle 37603 . . . . . . 7  |-  ( ( H  e.  Fin  /\  { C ,  D }  C_  H )  ->  ( # `
 { C ,  D } )  <_  ( # `
 H ) )
9277, 90, 91syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  { C ,  D }
)  <_  ( # `  H
) )
9387, 92eqbrtrd 4416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  H
) )
94 eluz2 11188 . . . . 5  |-  ( (
# `  H )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  H )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  H
) ) )
953, 81, 93, 94syl3anbrc 1214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
96 uz2m1nn 11256 . . . 4  |-  ( (
# `  H )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( # `  H
)  -  1 )  e.  NN )
9795, 96syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  H
)  -  1 )  e.  NN )
981, 97syl5eqel 2553 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
99 prssg 4118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  <->  { C ,  D }  C_  RR ) )
1004, 57, 99syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  <->  { C ,  D }  C_  RR ) )
1014, 57, 100mpbi2and 935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { C ,  D }  C_  RR )
102 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  C_  ( C [,] D )
1034, 57iccssred 37698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C [,] D
)  C_  RR )
104102, 103syl5ss 3429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  C_  RR )
105101, 104unssd 3601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  C_  RR )
1068, 105syl5eqss 3462 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  C_  RR )
107 fourierdlem54.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
10877, 106, 107, 1fourierdlem36 38118 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  H ) )
109 df-isom 5598 . . . . . . . 8  |-  ( S 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H )  <-> 
( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H  /\  A. x  e.  ( 0 ... N
) A. y  e.  ( 0 ... N
) ( x  < 
y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
) ) )
110108, 109sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H  /\  A. x  e.  ( 0 ... N
) A. y  e.  ( 0 ... N
) ( x  < 
y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
) ) )
111110simpld 466 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H )
112 f1of 5828 . . . . . 6  |-  ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H  ->  S :
( 0 ... N
) --> H )
113111, 112syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> H )
114113, 106fssd 5750 . . . 4  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> RR )
115 reex 9648 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
116 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( 0 ... N )  e. 
_V
117116a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  _V )
118 elmapg 7503 . . . . 5  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  ( 0 ... N
)  e.  _V )  ->  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  <-> 
S : ( 0 ... N ) --> RR ) )
119115, 117, 118sylancr 676 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  <-> 
S : ( 0 ... N ) --> RR ) )
120114, 119mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... N ) ) )
121 df-f1o 5596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> H  <->  ( S :
( 0 ... N
) -1-1-> H  /\  S :
( 0 ... N
) -onto-> H ) )
122111, 121sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S : ( 0 ... N )
-1-1-> H  /\  S :
( 0 ... N
) -onto-> H ) )
123122simprd 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) -onto-> H )
124 dffo3 6052 . . . . . . . . 9  |-  ( S : ( 0 ... N ) -onto-> H  <->  ( S : ( 0 ... N ) --> H  /\  A. h  e.  H  E. y  e.  ( 0 ... N ) h  =  ( S `  y ) ) )
125123, 124sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S : ( 0 ... N ) --> H  /\  A. h  e.  H  E. y  e.  ( 0 ... N
) h  =  ( S `  y ) ) )
126125simprd 470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. h  e.  H  E. y  e.  (
0 ... N ) h  =  ( S `  y ) )
127 eqeq1 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  C  ->  (
h  =  ( S `
 y )  <->  C  =  ( S `  y ) ) )
128 eqcom 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  ( S `  y )  <->  ( S `  y )  =  C )
129127, 128syl6bb 269 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  C  ->  (
h  =  ( S `
 y )  <->  ( S `  y )  =  C ) )
130129rexbidv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  C  ->  ( E. y  e.  (
0 ... N ) h  =  ( S `  y )  <->  E. y  e.  ( 0 ... N
) ( S `  y )  =  C ) )
131130rspcv 3132 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  H  ->  ( A. h  e.  H  E. y  e.  (
0 ... N ) h  =  ( S `  y )  ->  E. y  e.  ( 0 ... N
) ( S `  y )  =  C ) )
1329, 126, 131sylc 61 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( 0 ... N ) ( S `  y
)  =  C )
133 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  0  ->  ( S `  y )  =  ( S ` 
0 ) )
134133eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  0  ->  ( S `  0 )  =  ( S `  y ) )
135134adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  =  ( S `
 y ) )
136 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  y  =  0 )  -> 
( S `  y
)  =  C )
137135, 136eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  =  C )
1384ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  y  =  0 )  ->  C  e.  RR )
139137, 138eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  e.  RR )
140139, 137eqled 9755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  <_  C )
1411403adantl2 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  y  =  0 )  ->  ( S `  0 )  <_  C )
1424rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
14357rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
1444, 57, 82ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
145 lbicc2 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  C  <_  D )  ->  C  e.  ( C [,] D
) )
146142, 143, 144, 145syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  ( C [,] D ) )
147 ubicc2 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  C  <_  D )  ->  D  e.  ( C [,] D
) )
148142, 143, 144, 147syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C [,] D ) )
149 prssg 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  ( C [,] D )  /\  D  e.  ( C [,] D ) )  -> 
( ( C  e.  ( C [,] D
)  /\  D  e.  ( C [,] D ) )  <->  { C ,  D }  C_  ( C [,] D ) ) )
150146, 148, 149syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  ( C [,] D
)  /\  D  e.  ( C [,] D ) )  <->  { C ,  D }  C_  ( C [,] D ) ) )
151146, 148, 150mpbi2and 935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { C ,  D }  C_  ( C [,] D ) )
152102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  C_  ( C [,] D ) )
153151, 152unssd 3601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  C_  ( C [,] D ) )
1548, 153syl5eqss 3462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  H  C_  ( C [,] D ) )
155 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  H )  e.  NN  ->  ( ( # `
 H )  - 
1 )  e.  NN0 )
15680, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( # `  H
)  -  1 )  e.  NN0 )
1571, 156syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
158157, 40syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
159 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... N
) )
160158, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... N ) )
161113, 160ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S `  0
)  e.  H )
162154, 161sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S `  0
)  e.  ( C [,] D ) )
163103, 162sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S `  0
)  e.  RR )
164163adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  e.  RR )
1651643ad2antl1 1192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  e.  RR )
1664adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  y  =  0 )  ->  C  e.  RR )
1671663ad2antl1 1192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  ->  C  e.  RR )
168 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  y  e.  ZZ )
169168zred 11063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  y  e.  RR )
170169adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  y  =  0
)  ->  y  e.  RR )
171 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  y )
172171adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  y  =  0
)  ->  0  <_  y )
173 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  y  =  0  -> 
y  =/=  0 )
174173adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  y  =  0
)  ->  y  =/=  0 )
175170, 172, 174ne0gt0d 9789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  y  =  0
)  ->  0  <  y )
1761753ad2antl2 1193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
0  <  y )
177 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  ->  ph )
178 simpl2 1034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
y  e.  ( 0 ... N ) )
179110simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 0 ... N ) A. y  e.  ( 0 ... N ) ( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y ) ) )
180 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <  y  <->  0  <  y ) )
181 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  ( S `  x )  =  ( S ` 
0 ) )
182181breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  (
( S `  x
)  <  ( S `  y )  <->  ( S `  0 )  < 
( S `  y
) ) )
183180, 182bibi12d 328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y ) )  <->  ( 0  <  y  <->  ( S `  0 )  < 
( S `  y
) ) ) )
184183ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  (
0 ... N ) ( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
)  <->  A. y  e.  ( 0 ... N ) ( 0  <  y  <->  ( S `  0 )  <  ( S `  y ) ) ) )
185184rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ( 0 ... N )  ->  ( A. x  e.  (
0 ... N ) A. y  e.  ( 0 ... N ) ( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
)  ->  A. y  e.  ( 0 ... N
) ( 0  < 
y  <->  ( S ` 
0 )  <  ( S `  y )
) ) )
186160, 179, 185sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 0 ... N ) ( 0  <  y  <->  ( S `  0 )  <  ( S `  y ) ) )
187186r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  <  y  <->  ( S `  0 )  < 
( S `  y
) ) )
188177, 178, 187syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
( 0  <  y  <->  ( S `  0 )  <  ( S `  y ) ) )
189176, 188mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  <  ( S `  y ) )
190 simpl3 1035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
( S `  y
)  =  C )
191189, 190breqtrd 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  <  C )
192165, 167, 191ltled 9800 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  /\  -.  y  =  0 )  -> 
( S `  0
)  <_  C )
193141, 192pm2.61dan 808 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  C )  ->  ( S `  0 )  <_  C )
194193rexlimdv3a 2873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( 0 ... N
) ( S `  y )  =  C  ->  ( S ` 
0 )  <_  C
) )
195132, 194mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S `  0
)  <_  C )
196 elicc2 11724 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( S ` 
0 )  e.  ( C [,] D )  <-> 
( ( S ` 
0 )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  0 )  /\  ( S `  0 )  <_  D ) ) )
1974, 57, 196syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S ` 
0 )  e.  ( C [,] D )  <-> 
( ( S ` 
0 )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  0 )  /\  ( S `  0 )  <_  D ) ) )
198162, 197mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S ` 
0 )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  0 )  /\  ( S `  0 )  <_  D ) )
199198simp2d 1043 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  <_  ( S `  0 ) )
200163, 4letri3d 9794 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S ` 
0 )  =  C  <-> 
( ( S ` 
0 )  <_  C  /\  C  <_  ( S `
 0 ) ) ) )
201195, 199, 200mpbir2and 936 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  0
)  =  C )
202 eluzfz2 11833 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
203158, 202syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
204113, 203ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S `  N
)  e.  H )
205154, 204sseldd 3419 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S `  N
)  e.  ( C [,] D ) )
206 elicc2 11724 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( S `  N )  e.  ( C [,] D )  <-> 
( ( S `  N )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  N )  /\  ( S `  N )  <_  D ) ) )
2074, 57, 206syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S `  N )  e.  ( C [,] D )  <-> 
( ( S `  N )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  N )  /\  ( S `  N )  <_  D ) ) )
208205, 207mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S `  N )  e.  RR  /\  C  <_  ( S `  N )  /\  ( S `  N )  <_  D ) )
209208simp3d 1044 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S `  N
)  <_  D )
210 prid2g 4070 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  RR  ->  D  e.  { C ,  D } )
211 elun1 3592 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  { C ,  D }  ->  D  e.  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )
21257, 210, 2113syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } ) )
213212, 8syl6eleqr 2560 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  H )
214 eqeq1 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  D  ->  (
h  =  ( S `
 y )  <->  D  =  ( S `  y ) ) )
215 eqcom 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  =  ( S `  y )  <->  ( S `  y )  =  D )
216214, 215syl6bb 269 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  D  ->  (
h  =  ( S `
 y )  <->  ( S `  y )  =  D ) )
217216rexbidv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  D  ->  ( E. y  e.  (
0 ... N ) h  =  ( S `  y )  <->  E. y  e.  ( 0 ... N
) ( S `  y )  =  D ) )
218217rspcv 3132 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  H  ->  ( A. h  e.  H  E. y  e.  (
0 ... N ) h  =  ( S `  y )  ->  E. y  e.  ( 0 ... N
) ( S `  y )  =  D ) )
219213, 126, 218sylc 61 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( 0 ... N ) ( S `  y
)  =  D )
220215biimpri 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S `  y )  =  D  ->  D  =  ( S `  y ) )
2212203ad2ant3 1053 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  D )  ->  D  =  ( S `  y ) )
222114ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( S `  y )  e.  RR )
223103, 205sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S `  N
)  e.  RR )
224223adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( S `  N )  e.  RR )
225169adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  y  e.  RR )
226 elfzel2 11824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
227226zred 11063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  RR )
228227adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  RR )
229 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 0 ... N )  ->  y  <_  N )
230229adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  y  <_  N )
231225, 228, 230lensymd 9803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  N  <  y )
232 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  N  ->  (
x  <  y  <->  N  <  y ) )
233 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  N  ->  ( S `  x )  =  ( S `  N ) )
234233breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  N  ->  (
( S `  x
)  <  ( S `  y )  <->  ( S `  N )  <  ( S `  y )
) )
235232, 234bibi12d 328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y ) )  <->  ( N  <  y  <->  ( S `  N )  <  ( S `  y )
) ) )
236235ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  N  ->  ( A. y  e.  (
0 ... N ) ( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
)  <->  A. y  e.  ( 0 ... N ) ( N  <  y  <->  ( S `  N )  <  ( S `  y ) ) ) )
237236rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( 0 ... N )  ->  ( A. x  e.  (
0 ... N ) A. y  e.  ( 0 ... N ) ( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
)  ->  A. y  e.  ( 0 ... N
) ( N  < 
y  <->  ( S `  N )  <  ( S `  y )
) ) )
238203, 179, 237sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 0 ... N ) ( N  <  y  <->  ( S `  N )  <  ( S `  y ) ) )
239238r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  <  y  <->  ( S `  N )  <  ( S `  y )
) )
240231, 239mtbid 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  ( S `  N )  <  ( S `  y ) )
241222, 224, 240nltled 9802 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( S `  y )  <_  ( S `  N
) )
2422413adant3 1050 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  D )  ->  ( S `  y )  <_  ( S `  N )
)
243221, 242eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( S `  y )  =  D )  ->  D  <_  ( S `  N ) )
244243rexlimdv3a 2873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( 0 ... N
) ( S `  y )  =  D  ->  D  <_  ( S `  N )
) )
245219, 244mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  <_  ( S `  N ) )
246223, 57letri3d 9794 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S `  N )  =  D  <-> 
( ( S `  N )  <_  D  /\  D  <_  ( S `
 N ) ) ) )
247209, 245, 246mpbir2and 936 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  N
)  =  D )
248 elfzoelz 11947 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ZZ )
249248zred 11063 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  RR )
250249ltp1d 10559 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  <  ( i  +  1 ) )
251250adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  <  (
i  +  1 ) )
252179adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A. x  e.  ( 0 ... N ) A. y  e.  ( 0 ... N ) ( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y ) ) )
253 elfzofz 11962 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0 ... N
) )
254253adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  e.  ( 0 ... N ) )
255 fzofzp1 12037 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
256255adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
257 breq1 4398 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  (
x  <  y  <->  i  <  y ) )
258 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  ( S `  x )  =  ( S `  i ) )
259258breq1d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  (
( S `  x
)  <  ( S `  y )  <->  ( S `  i )  <  ( S `  y )
) )
260257, 259bibi12d 328 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  (
( x  <  y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y ) )  <->  ( i  <  y  <->  ( S `  i )  <  ( S `  y )
) ) )
261 breq2 4399 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  (
i  <  y  <->  i  <  ( i  +  1 ) ) )
262 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  ( S `  y )  =  ( S `  ( i  +  1 ) ) )
263262breq2d 4407 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  (
( S `  i
)  <  ( S `  y )  <->  ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) ) )
264261, 263bibi12d 328 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( i  +  1 )  ->  (
( i  <  y  <->  ( S `  i )  <  ( S `  y ) )  <->  ( i  <  ( i  +  1 )  <->  ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
265260, 264rspc2v 3147 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... N )  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( A. x  e.  ( 0 ... N
) A. y  e.  ( 0 ... N
) ( x  < 
y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
)  ->  ( i  <  ( i  +  1 )  <->  ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
266254, 256, 265syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( A. x  e.  ( 0 ... N
) A. y  e.  ( 0 ... N
) ( x  < 
y  <->  ( S `  x )  <  ( S `  y )
)  ->  ( i  <  ( i  +  1 )  <->  ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
267252, 266mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( i  < 
( i  +  1 )  <->  ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) ) )
268251, 267mpbid 215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) )
269268ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `  i )  <  ( S `  ( i  +  1 ) ) )
270201, 247, 269jca31 543 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 0 )  =  C  /\  ( S `
 N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) )
271 fourierdlem54.o . . . . 5  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
272271fourierdlem2 38083 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <->  ( S  e.  ( RR  ^m  (
0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
27398, 272syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ( O `  N )  <-> 
( S  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( ( S `  0 )  =  C  /\  ( S `  N )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( S `
 i )  < 
( S `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
274120, 270, 273mpbir2and 936 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( O `
 N ) )
27598, 274, 108jca31 543 1  |-  ( ph  ->  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `  N
) )  /\  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    _I cid 4749    X. cxp 4837   ran crn 4840    |` cres 4841    o. ccom 4843   iotacio 5551    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589    Isom wiso 5590  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   Fincfn 7587  infcinf 7973   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   #chash 12553   abscabs 13374   ↾t crest 15397   topGenctg 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-cmp 20479
This theorem is referenced by:  fourierdlem63  38145  fourierdlem64  38146  fourierdlem65  38147  fourierdlem79  38161  fourierdlem89  38171  fourierdlem90  38172  fourierdlem91  38173  fourierdlem100  38182  fourierdlem107  38189  fourierdlem109  38191  fourierdlem112  38194
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