Theorem fourierdlem53 37843

Description: The limit of F ( s ) at ( X + D ) is the limit of F ( X + s ) at D. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem53.1	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem53.2	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem53.3	|- ( ph -> A C_ RR )
fourierdlem53.g	|- G = ( s e. A |-> ( F ` ( X + s ) ) )
fourierdlem53.xps	|- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. B )
fourierdlem53.b	|- ( ph -> B C_ RR )
fourierdlem53.sned	|- ( ( ph /\ s e. A ) -> s =/= D )
fourierdlem53.c	|- ( ph -> C e. ( ( F |` B ) lim CC ( X + D ) ) )
fourierdlem53.d	|- ( ph -> D e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem53	|- ( ph -> C e. ( G lim CC D ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   D, s   F, s   X, s   ph, s

Allowed substitution hints:   C( s)   G( s)

Proof of Theorem fourierdlem53

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem53.xps	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. B )
2		fourierdlem53.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : RR --> RR )
3		fourierdlem53.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B C_ RR )
4	2, 3	fssresd 5764	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F |` B ) : B --> RR )
5		fdm 5747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F |` B ) : B --> RR -> dom ( F |` B ) = B )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( F |` B ) = B )
7	6	eqcomd 2430	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = dom ( F |` B ) )
8	7	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> B = dom ( F |` B ) )
9	1, 8	eleqtrd 2512	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. dom ( F |` B ) )
10		fourierdlem53.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. RR )
11	10	recnd 9670	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. CC )
12	11	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> X e. CC )
13		fourierdlem53.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ RR )
14	13	sselda 3464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. RR )
15	14	recnd 9670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. CC )
16		fourierdlem53.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. CC )
17	16	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> D e. CC )
18		fourierdlem53.sned	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s =/= D )
19	12, 15, 17, 18	addneintrd 9841	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) =/= ( X + D ) )
20	19	neneqd 2625	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> -. ( X + s ) = ( X + D ) )
21	10	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> X e. RR )
22	21, 14	readdcld 9671	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. RR )
23		elsncg 4019	. . . . . . . 8 |- ( ( X + s ) e. RR -> ( ( X + s ) e. { ( X + D ) } <-> ( X + s ) = ( X + D ) ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( ( X + s ) e. { ( X + D ) } <-> ( X + s ) = ( X + D ) ) )
25	20, 24	mtbird 302	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> -. ( X + s ) e. { ( X + D ) } )
26	9, 25	eldifd 3447	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. ( dom ( F |` B ) \ { ( X + D ) } ) )
27	26	ralrimiva 2839	. . . 4 |- ( ph -> A. s e. A ( X + s ) e. ( dom ( F |` B ) \ { ( X + D ) } ) )
28		eqid 2422	. . . . 5 |- ( s e. A |-> ( X + s ) ) = ( s e. A |-> ( X + s ) )
29	28	rnmptss 6064	. . . 4 |- ( A. s e. A ( X + s ) e. ( dom ( F |` B ) \ { ( X + D ) } ) -> ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) C_ ( dom ( F |` B ) \ { ( X + D ) } ) )
30	27, 29	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) C_ ( dom ( F |` B ) \ { ( X + D ) } ) )
31		eqid 2422	. . . 4 |- ( s e. A |-> X ) = ( s e. A |-> X )
32		eqid 2422	. . . 4 |- ( s e. A |-> s ) = ( s e. A |-> s )
33		ax-resscn 9597	. . . . . 6 |- RR C_ CC
34	13, 33	syl6ss 3476	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ CC )
35	31, 34, 11, 16	constlimc 37524	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( ( s e. A |-> X ) lim CC D ) )
36	34, 32, 16	idlimc 37526	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( ( s e. A |-> s ) lim CC D ) )
37	31, 32, 28, 12, 15, 35, 36	addlimc 37549	. . 3 |- ( ph -> ( X + D ) e. ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) lim CC D ) )
38		fourierdlem53.c	. . 3 |- ( ph -> C e. ( ( F |` B ) lim CC ( X + D ) ) )
39	30, 37, 38	limccog 37520	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( ( F |` B ) o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) lim CC D ) )
40		simpr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) )
41	28	elrnmpt 5097	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) -> ( y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) <-> E. s e. A y = ( X + s ) ) )
42	41	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> ( y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) <-> E. s e. A y = ( X + s ) ) )
43	40, 42	mpbid 213	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> E. s e. A y = ( X + s ) )
44		nfv 1751	. . . . . . . . . 10 |- F/ s ph
45		nfmpt1 4510	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ s ( s e. A |-> ( X + s ) )
46	45	nfrn 5093	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ s ran ( s e. A |-> ( X + s ) )
47	46	nfcri 2577	. . . . . . . . . 10 |- F/ s y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) )
48	44, 47	nfan 1984	. . . . . . . . 9 |- F/ s ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) )
49		nfv 1751	. . . . . . . . 9 |- F/ s y e. B
50		simp3 1007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. A /\ y = ( X + s ) ) -> y = ( X + s ) )
51	1	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. A /\ y = ( X + s ) ) -> ( X + s ) e. B )
52	50, 51	eqeltrd 2510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. A /\ y = ( X + s ) ) -> y e. B )
53	52	3exp 1204	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. A -> ( y = ( X + s ) -> y e. B ) ) )
54	53	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> ( s e. A -> ( y = ( X + s ) -> y e. B ) ) )
55	48, 49, 54	rexlimd 2909	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> ( E. s e. A y = ( X + s ) -> y e. B ) )
56	43, 55	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> y e. B )
57	56	ralrimiva 2839	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) y e. B )
58		dfss3 3454	. . . . . 6 |- ( ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) C_ B <-> A. y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) y e. B )
59	57, 58	sylibr 215	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) C_ B )
60		cores 5354	. . . . 5 |- ( ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) C_ B -> ( ( F |` B ) o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) = ( F o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) )
61	59, 60	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` B ) o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) = ( F o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) )
62	22, 28	fmptd 6058	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. A |-> ( X + s ) ) : A --> RR )
63		fcompt 6071	. . . . 5 |- ( ( F : RR --> RR /\ ( s e. A |-> ( X + s ) ) : A --> RR ) -> ( F o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) = ( x e. A |-> ( F ` ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) ) ) )
64	2, 62, 63	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ph -> ( F o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) = ( x e. A |-> ( F ` ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) ) ) )
65		fourierdlem53.g	. . . . . 6 |- G = ( s e. A |-> ( F ` ( X + s ) ) )
66	65	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> G = ( s e. A |-> ( F ` ( X + s ) ) ) )
67		oveq2 6310	. . . . . . . 8 |- ( s = x -> ( X + s ) = ( X + x ) )
68	67	fveq2d 5882	. . . . . . 7 |- ( s = x -> ( F ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + x ) ) )
69	68	cbvmptv 4513	. . . . . 6 |- ( s e. A |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( x e. A |-> ( F ` ( X + x ) ) )
70	69	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. A |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( x e. A |-> ( F ` ( X + x ) ) ) )
71		eqidd 2423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( s e. A |-> ( X + s ) ) = ( s e. A |-> ( X + s ) ) )
72	67	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ s = x ) -> ( X + s ) = ( X + x ) )
73		simpr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
74	10	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X e. RR )
75	13	sselda 3464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. RR )
76	74, 75	readdcld 9671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X + x ) e. RR )
77	71, 72, 73, 76	fvmptd 5967	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) = ( X + x ) )
78	77	eqcomd 2430	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X + x ) = ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) )
79	78	fveq2d 5882	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` ( X + x ) ) = ( F ` ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) ) )
80	79	mpteq2dva 4507	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` ( X + x ) ) ) = ( x e. A |-> ( F ` ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) ) ) )
81	66, 70, 80	3eqtrrd 2468	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) ) ) = G )
82	61, 64, 81	3eqtrd 2467	. . 3 |- ( ph -> ( ( F |` B ) o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) = G )
83	82	oveq1d 6317	. 2 |- ( ph -> ( ( ( F |` B ) o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) lim CC D ) = ( G lim CC D ) )
84	39, 83	eleqtrd 2512	1 |- ( ph -> C e. ( G lim CC D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   \ cdif 3433   C_ wss 3436   {csn 3996   |-> cmpt 4479   dom cdm 4850   ran crn 4851   |` cres 4852   o. ccom 4854   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539   + caddc 9543   lim CC climc 22804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-fz 11786  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-rest 15309  df-topn 15310  df-topgen 15330  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cnp 20231  df-xms 21322  df-ms 21323  df-limc 22808

This theorem is referenced by:  fourierdlem74  37864  fourierdlem75  37865  fourierdlem76  37866  fourierdlem84  37874