Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem53 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem53 37843
Description: The limit of  F ( s ) at  ( X  +  D ) is the limit of  F ( X  +  s ) at  D. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem53.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem53.2  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem53.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
fourierdlem53.g  |-  G  =  ( s  e.  A  |->  ( F `  ( X  +  s )
) )
fourierdlem53.xps  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  e.  B )
fourierdlem53.b  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
fourierdlem53.sned  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  =/=  D )
fourierdlem53.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  ( X  +  D
) ) )
fourierdlem53.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem53  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G lim
CC  D ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    D, s    F, s    X, s    ph, s
Allowed substitution hints:    C( s)    G( s)

Proof of Theorem fourierdlem53
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem53.xps . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  e.  B )
2 fourierdlem53.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
3 fourierdlem53.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
42, 3fssresd 5764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> RR )
5 fdm 5747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  B ) : B --> RR  ->  dom  ( F  |`  B )  =  B )
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( F  |`  B )  =  B )
76eqcomd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  dom  ( F  |`  B ) )
87adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  B  =  dom  ( F  |`  B ) )
91, 8eleqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  e.  dom  ( F  |`  B ) )
10 fourierdlem53.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1110recnd 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1211adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  X  e.  CC )
13 fourierdlem53.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1413sselda 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
1514recnd 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  CC )
16 fourierdlem53.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
1716adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  D  e.  CC )
18 fourierdlem53.sned . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  =/=  D )
1912, 15, 17, 18addneintrd 9841 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  =/=  ( X  +  D
) )
2019neneqd 2625 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  ( X  +  s
)  =  ( X  +  D ) )
2110adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  X  e.  RR )
2221, 14readdcld 9671 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
23 elsncg 4019 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  +  s )  e.  RR  ->  (
( X  +  s )  e.  { ( X  +  D ) }  <->  ( X  +  s )  =  ( X  +  D ) ) )
2422, 23syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( X  +  s )  e.  { ( X  +  D ) }  <->  ( X  +  s )  =  ( X  +  D ) ) )
2520, 24mtbird 302 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  ( X  +  s
)  e.  { ( X  +  D ) } )
269, 25eldifd 3447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  e.  ( dom  ( F  |`  B )  \  {
( X  +  D
) } ) )
2726ralrimiva 2839 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  A  ( X  +  s
)  e.  ( dom  ( F  |`  B ) 
\  { ( X  +  D ) } ) )
28 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )
2928rnmptss 6064 . . . 4  |-  ( A. s  e.  A  ( X  +  s )  e.  ( dom  ( F  |`  B )  \  {
( X  +  D
) } )  ->  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  C_  ( dom  ( F  |`  B ) 
\  { ( X  +  D ) } ) )
3027, 29syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  C_  ( dom  ( F  |`  B )  \  {
( X  +  D
) } ) )
31 eqid 2422 . . . 4  |-  ( s  e.  A  |->  X )  =  ( s  e.  A  |->  X )
32 eqid 2422 . . . 4  |-  ( s  e.  A  |->  s )  =  ( s  e.  A  |->  s )
33 ax-resscn 9597 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
3413, 33syl6ss 3476 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
3531, 34, 11, 16constlimc 37524 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( ( s  e.  A  |->  X ) lim CC  D ) )
3634, 32, 16idlimc 37526 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( s  e.  A  |->  s ) lim CC  D ) )
3731, 32, 28, 12, 15, 35, 36addlimc 37549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  +  D
)  e.  ( ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) lim CC  D ) )
38 fourierdlem53.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  ( X  +  D
) ) )
3930, 37, 38limccog 37520 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( F  |`  B )  o.  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) ) lim
CC  D ) )
40 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  -> 
y  e.  ran  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )
4128elrnmpt 5097 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  ->  ( y  e. 
ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  <->  E. s  e.  A  y  =  ( X  +  s
) ) )
4241adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  -> 
( y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  <->  E. s  e.  A  y  =  ( X  +  s
) ) )
4340, 42mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  ->  E. s  e.  A  y  =  ( X  +  s ) )
44 nfv 1751 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s
ph
45 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ s
( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )
4645nfrn 5093 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ s ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )
4746nfcri 2577 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s  y  e.  ran  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )
4844, 47nfan 1984 . . . . . . . . 9  |-  F/ s ( ph  /\  y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )
49 nfv 1751 . . . . . . . . 9  |-  F/ s  y  e.  B
50 simp3 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A  /\  y  =  ( X  +  s ) )  ->  y  =  ( X  +  s
) )
5113adant3 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A  /\  y  =  ( X  +  s ) )  ->  ( X  +  s )  e.  B )
5250, 51eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A  /\  y  =  ( X  +  s ) )  ->  y  e.  B )
53523exp 1204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  ->  ( y  =  ( X  +  s )  ->  y  e.  B
) ) )
5453adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  -> 
( s  e.  A  ->  ( y  =  ( X  +  s )  ->  y  e.  B
) ) )
5548, 49, 54rexlimd 2909 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  -> 
( E. s  e.  A  y  =  ( X  +  s )  ->  y  e.  B
) )
5643, 55mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  -> 
y  e.  B )
5756ralrimiva 2839 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) y  e.  B )
58 dfss3 3454 . . . . . 6  |-  ( ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  C_  B  <->  A. y  e.  ran  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) y  e.  B
)
5957, 58sylibr 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  C_  B )
60 cores 5354 . . . . 5  |-  ( ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  C_  B  ->  ( ( F  |`  B )  o.  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  =  ( F  o.  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) ) )
6159, 60syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  B )  o.  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  =  ( F  o.  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) ) )
6222, 28fmptd 6058 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) : A --> RR )
63 fcompt 6071 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) : A --> RR )  ->  ( F  o.  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  ( ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) `  x ) ) ) )
642, 62, 63syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  ( ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) `  x ) ) ) )
65 fourierdlem53.g . . . . . 6  |-  G  =  ( s  e.  A  |->  ( F `  ( X  +  s )
) )
6665a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( s  e.  A  |->  ( F `
 ( X  +  s ) ) ) )
67 oveq2 6310 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  x  ->  ( X  +  s )  =  ( X  +  x ) )
6867fveq2d 5882 . . . . . . 7  |-  ( s  =  x  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  =  ( F `  ( X  +  x
) ) )
6968cbvmptv 4513 . . . . . 6  |-  ( s  e.  A  |->  ( F `
 ( X  +  s ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  ( X  +  x
) ) )
7069a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( F `  ( X  +  s )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  ( X  +  x ) ) ) )
71 eqidd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )
7267adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  s  =  x )  ->  ( X  +  s )  =  ( X  +  x ) )
73 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
7410adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X  e.  RR )
7513sselda 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
7674, 75readdcld 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( X  +  x )  e.  RR )
7771, 72, 73, 76fvmptd 5967 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) `  x
)  =  ( X  +  x ) )
7877eqcomd 2430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( X  +  x )  =  ( ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) `
 x ) )
7978fveq2d 5882 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  ( X  +  x ) )  =  ( F `  (
( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) `  x
) ) )
8079mpteq2dva 4507 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  ( X  +  x )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  ( ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) `  x ) ) ) )
8166, 70, 803eqtrrd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  (
( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) `  x
) ) )  =  G )
8261, 64, 813eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  B )  o.  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  =  G )
8382oveq1d 6317 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  B )  o.  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) ) lim CC  D
)  =  ( G lim
CC  D ) )
8439, 83eleqtrd 2512 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G lim
CC  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776    \ cdif 3433    C_ wss 3436   {csn 3996    |-> cmpt 4479   dom cdm 4850   ran crn 4851    |` cres 4852    o. ccom 4854   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539    + caddc 9543   lim CC climc 22804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-fz 11786  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-rest 15309  df-topn 15310  df-topgen 15330  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cnp 20231  df-xms 21322  df-ms 21323  df-limc 22808
This theorem is referenced by:  fourierdlem74  37864  fourierdlem75  37865  fourierdlem76  37866  fourierdlem84  37874
  Copyright terms: Public domain W3C validator