Theorem fourierdlem53 38061

Description: The limit of F ( s ) at ( X + D ) is the limit of F ( X + s ) at D. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem53.1	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem53.2	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem53.3	|- ( ph -> A C_ RR )
fourierdlem53.g	|- G = ( s e. A |-> ( F ` ( X + s ) ) )
fourierdlem53.xps	|- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. B )
fourierdlem53.b	|- ( ph -> B C_ RR )
fourierdlem53.sned	|- ( ( ph /\ s e. A ) -> s =/= D )
fourierdlem53.c	|- ( ph -> C e. ( ( F |` B ) lim CC ( X + D ) ) )
fourierdlem53.d	|- ( ph -> D e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem53	|- ( ph -> C e. ( G lim CC D ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   D, s   F, s   X, s   ph, s

Allowed substitution hints:   C( s)   G( s)

Proof of Theorem fourierdlem53

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem53.xps	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. B )
2		fourierdlem53.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : RR --> RR )
3		fourierdlem53.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B C_ RR )
4	2, 3	fssresd 5773	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F |` B ) : B --> RR )
5		fdm 5756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F |` B ) : B --> RR -> dom ( F |` B ) = B )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( F |` B ) = B )
7	6	eqcomd 2468	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = dom ( F |` B ) )
8	7	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> B = dom ( F |` B ) )
9	1, 8	eleqtrd 2542	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. dom ( F |` B ) )
10		fourierdlem53.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. RR )
11	10	recnd 9695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. CC )
12	11	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> X e. CC )
13		fourierdlem53.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ RR )
14	13	sselda 3444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. RR )
15	14	recnd 9695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. CC )
16		fourierdlem53.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. CC )
17	16	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> D e. CC )
18		fourierdlem53.sned	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s =/= D )
19	12, 15, 17, 18	addneintrd 9866	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) =/= ( X + D ) )
20	19	neneqd 2640	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> -. ( X + s ) = ( X + D ) )
21	10	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> X e. RR )
22	21, 14	readdcld 9696	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. RR )
23		elsncg 4003	. . . . . . . 8 |- ( ( X + s ) e. RR -> ( ( X + s ) e. { ( X + D ) } <-> ( X + s ) = ( X + D ) ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( ( X + s ) e. { ( X + D ) } <-> ( X + s ) = ( X + D ) ) )
25	20, 24	mtbird 307	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> -. ( X + s ) e. { ( X + D ) } )
26	9, 25	eldifd 3427	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. ( dom ( F |` B ) \ { ( X + D ) } ) )
27	26	ralrimiva 2814	. . . 4 |- ( ph -> A. s e. A ( X + s ) e. ( dom ( F |` B ) \ { ( X + D ) } ) )
28		eqid 2462	. . . . 5 |- ( s e. A |-> ( X + s ) ) = ( s e. A |-> ( X + s ) )
29	28	rnmptss 6076	. . . 4 |- ( A. s e. A ( X + s ) e. ( dom ( F |` B ) \ { ( X + D ) } ) -> ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) C_ ( dom ( F |` B ) \ { ( X + D ) } ) )
30	27, 29	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) C_ ( dom ( F |` B ) \ { ( X + D ) } ) )
31		eqid 2462	. . . 4 |- ( s e. A |-> X ) = ( s e. A |-> X )
32		eqid 2462	. . . 4 |- ( s e. A |-> s ) = ( s e. A |-> s )
33		ax-resscn 9622	. . . . . 6 |- RR C_ CC
34	13, 33	syl6ss 3456	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ CC )
35	31, 34, 11, 16	constlimc 37742	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( ( s e. A |-> X ) lim CC D ) )
36	34, 32, 16	idlimc 37744	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( ( s e. A |-> s ) lim CC D ) )
37	31, 32, 28, 12, 15, 35, 36	addlimc 37767	. . 3 |- ( ph -> ( X + D ) e. ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) lim CC D ) )
38		fourierdlem53.c	. . 3 |- ( ph -> C e. ( ( F |` B ) lim CC ( X + D ) ) )
39	30, 37, 38	limccog 37738	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( ( F |` B ) o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) lim CC D ) )
40		simpr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) )
41	28	elrnmpt 5100	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) -> ( y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) <-> E. s e. A y = ( X + s ) ) )
42	41	adantl 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> ( y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) <-> E. s e. A y = ( X + s ) ) )
43	40, 42	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> E. s e. A y = ( X + s ) )
44		nfv 1772	. . . . . . . . . 10 |- F/ s ph
45		nfmpt1 4506	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ s ( s e. A |-> ( X + s ) )
46	45	nfrn 5096	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ s ran ( s e. A |-> ( X + s ) )
47	46	nfcri 2597	. . . . . . . . . 10 |- F/ s y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) )
48	44, 47	nfan 2022	. . . . . . . . 9 |- F/ s ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) )
49		nfv 1772	. . . . . . . . 9 |- F/ s y e. B
50		simp3 1016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. A /\ y = ( X + s ) ) -> y = ( X + s ) )
51	1	3adant3 1034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. A /\ y = ( X + s ) ) -> ( X + s ) e. B )
52	50, 51	eqeltrd 2540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. A /\ y = ( X + s ) ) -> y e. B )
53	52	3exp 1214	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. A -> ( y = ( X + s ) -> y e. B ) ) )
54	53	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> ( s e. A -> ( y = ( X + s ) -> y e. B ) ) )
55	48, 49, 54	rexlimd 2883	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> ( E. s e. A y = ( X + s ) -> y e. B ) )
56	43, 55	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) -> y e. B )
57	56	ralrimiva 2814	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) y e. B )
58		dfss3 3434	. . . . . 6 |- ( ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) C_ B <-> A. y e. ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) y e. B )
59	57, 58	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) C_ B )
60		cores 5357	. . . . 5 |- ( ran ( s e. A |-> ( X + s ) ) C_ B -> ( ( F |` B ) o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) = ( F o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) )
61	59, 60	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` B ) o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) = ( F o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) )
62	22, 28	fmptd 6069	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. A |-> ( X + s ) ) : A --> RR )
63		fcompt 6083	. . . . 5 |- ( ( F : RR --> RR /\ ( s e. A |-> ( X + s ) ) : A --> RR ) -> ( F o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) = ( x e. A |-> ( F ` ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) ) ) )
64	2, 62, 63	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ph -> ( F o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) = ( x e. A |-> ( F ` ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) ) ) )
65		fourierdlem53.g	. . . . . 6 |- G = ( s e. A |-> ( F ` ( X + s ) ) )
66	65	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> G = ( s e. A |-> ( F ` ( X + s ) ) ) )
67		oveq2 6323	. . . . . . . 8 |- ( s = x -> ( X + s ) = ( X + x ) )
68	67	fveq2d 5892	. . . . . . 7 |- ( s = x -> ( F ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + x ) ) )
69	68	cbvmptv 4509	. . . . . 6 |- ( s e. A |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( x e. A |-> ( F ` ( X + x ) ) )
70	69	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. A |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( x e. A |-> ( F ` ( X + x ) ) ) )
71		eqidd 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( s e. A |-> ( X + s ) ) = ( s e. A |-> ( X + s ) ) )
72	67	adantl 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ s = x ) -> ( X + s ) = ( X + x ) )
73		simpr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
74	10	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X e. RR )
75	13	sselda 3444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. RR )
76	74, 75	readdcld 9696	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X + x ) e. RR )
77	71, 72, 73, 76	fvmptd 5977	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) = ( X + x ) )
78	77	eqcomd 2468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X + x ) = ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) )
79	78	fveq2d 5892	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` ( X + x ) ) = ( F ` ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) ) )
80	79	mpteq2dva 4503	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` ( X + x ) ) ) = ( x e. A |-> ( F ` ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) ) ) )
81	66, 70, 80	3eqtrrd 2501	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` ( ( s e. A |-> ( X + s ) ) ` x ) ) ) = G )
82	61, 64, 81	3eqtrd 2500	. . 3 |- ( ph -> ( ( F |` B ) o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) = G )
83	82	oveq1d 6330	. 2 |- ( ph -> ( ( ( F |` B ) o. ( s e. A |-> ( X + s ) ) ) lim CC D ) = ( G lim CC D ) )
84	39, 83	eleqtrd 2542	1 |- ( ph -> C e. ( G lim CC D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   \ cdif 3413   C_ wss 3416   {csn 3980   |-> cmpt 4475   dom cdm 4853   ran crn 4854   |` cres 4855   o. ccom 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   CCcc 9563   RRcr 9564   + caddc 9568   lim CC climc 22866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fi 7951  df-sup 7982  df-inf 7983  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-fz 11814  df-seq 12246  df-exp 12305  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-rest 15370  df-topn 15371  df-topgen 15391  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-met 19013  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-cnfld 19020  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cnp 20293  df-xms 21384  df-ms 21385  df-limc 22870

This theorem is referenced by:  fourierdlem74  38082  fourierdlem75  38083  fourierdlem76  38084  fourierdlem84  38092