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Theorem fourierdlem53 38061
Description: The limit of  F ( s ) at  ( X  +  D ) is the limit of  F ( X  +  s ) at  D. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem53.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem53.2  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem53.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
fourierdlem53.g  |-  G  =  ( s  e.  A  |->  ( F `  ( X  +  s )
) )
fourierdlem53.xps  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  e.  B )
fourierdlem53.b  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
fourierdlem53.sned  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  =/=  D )
fourierdlem53.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  ( X  +  D
) ) )
fourierdlem53.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem53  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G lim
CC  D ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    D, s    F, s    X, s    ph, s
Allowed substitution hints:    C( s)    G( s)

Proof of Theorem fourierdlem53
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem53.xps . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  e.  B )
2 fourierdlem53.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
3 fourierdlem53.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
42, 3fssresd 5773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> RR )
5 fdm 5756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  B ) : B --> RR  ->  dom  ( F  |`  B )  =  B )
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( F  |`  B )  =  B )
76eqcomd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  dom  ( F  |`  B ) )
87adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  B  =  dom  ( F  |`  B ) )
91, 8eleqtrd 2542 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  e.  dom  ( F  |`  B ) )
10 fourierdlem53.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1110recnd 9695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1211adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  X  e.  CC )
13 fourierdlem53.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1413sselda 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  RR )
1514recnd 9695 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  e.  CC )
16 fourierdlem53.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
1716adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  D  e.  CC )
18 fourierdlem53.sned . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  s  =/=  D )
1912, 15, 17, 18addneintrd 9866 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  =/=  ( X  +  D
) )
2019neneqd 2640 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  ( X  +  s
)  =  ( X  +  D ) )
2110adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  X  e.  RR )
2221, 14readdcld 9696 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
23 elsncg 4003 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  +  s )  e.  RR  ->  (
( X  +  s )  e.  { ( X  +  D ) }  <->  ( X  +  s )  =  ( X  +  D ) ) )
2422, 23syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  (
( X  +  s )  e.  { ( X  +  D ) }  <->  ( X  +  s )  =  ( X  +  D ) ) )
2520, 24mtbird 307 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  -.  ( X  +  s
)  e.  { ( X  +  D ) } )
269, 25eldifd 3427 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A )  ->  ( X  +  s )  e.  ( dom  ( F  |`  B )  \  {
( X  +  D
) } ) )
2726ralrimiva 2814 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  A  ( X  +  s
)  e.  ( dom  ( F  |`  B ) 
\  { ( X  +  D ) } ) )
28 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )
2928rnmptss 6076 . . . 4  |-  ( A. s  e.  A  ( X  +  s )  e.  ( dom  ( F  |`  B )  \  {
( X  +  D
) } )  ->  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  C_  ( dom  ( F  |`  B ) 
\  { ( X  +  D ) } ) )
3027, 29syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  C_  ( dom  ( F  |`  B )  \  {
( X  +  D
) } ) )
31 eqid 2462 . . . 4  |-  ( s  e.  A  |->  X )  =  ( s  e.  A  |->  X )
32 eqid 2462 . . . 4  |-  ( s  e.  A  |->  s )  =  ( s  e.  A  |->  s )
33 ax-resscn 9622 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
3413, 33syl6ss 3456 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
3531, 34, 11, 16constlimc 37742 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( ( s  e.  A  |->  X ) lim CC  D ) )
3634, 32, 16idlimc 37744 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( s  e.  A  |->  s ) lim CC  D ) )
3731, 32, 28, 12, 15, 35, 36addlimc 37767 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  +  D
)  e.  ( ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) lim CC  D ) )
38 fourierdlem53.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  ( X  +  D
) ) )
3930, 37, 38limccog 37738 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( ( F  |`  B )  o.  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) ) lim
CC  D ) )
40 simpr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  -> 
y  e.  ran  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )
4128elrnmpt 5100 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  ->  ( y  e. 
ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  <->  E. s  e.  A  y  =  ( X  +  s
) ) )
4241adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  -> 
( y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  <->  E. s  e.  A  y  =  ( X  +  s
) ) )
4340, 42mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  ->  E. s  e.  A  y  =  ( X  +  s ) )
44 nfv 1772 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s
ph
45 nfmpt1 4506 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ s
( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )
4645nfrn 5096 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ s ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )
4746nfcri 2597 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s  y  e.  ran  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )
4844, 47nfan 2022 . . . . . . . . 9  |-  F/ s ( ph  /\  y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )
49 nfv 1772 . . . . . . . . 9  |-  F/ s  y  e.  B
50 simp3 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A  /\  y  =  ( X  +  s ) )  ->  y  =  ( X  +  s
) )
5113adant3 1034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A  /\  y  =  ( X  +  s ) )  ->  ( X  +  s )  e.  B )
5250, 51eqeltrd 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  A  /\  y  =  ( X  +  s ) )  ->  y  e.  B )
53523exp 1214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  ->  ( y  =  ( X  +  s )  ->  y  e.  B
) ) )
5453adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  -> 
( s  e.  A  ->  ( y  =  ( X  +  s )  ->  y  e.  B
) ) )
5548, 49, 54rexlimd 2883 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  -> 
( E. s  e.  A  y  =  ( X  +  s )  ->  y  e.  B
) )
5643, 55mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  -> 
y  e.  B )
5756ralrimiva 2814 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) y  e.  B )
58 dfss3 3434 . . . . . 6  |-  ( ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  C_  B  <->  A. y  e.  ran  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) y  e.  B
)
5957, 58sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  C_  B )
60 cores 5357 . . . . 5  |-  ( ran  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  C_  B  ->  ( ( F  |`  B )  o.  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  =  ( F  o.  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) ) )
6159, 60syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  B )  o.  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  =  ( F  o.  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) ) )
6222, 28fmptd 6069 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) : A --> RR )
63 fcompt 6083 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) : A --> RR )  ->  ( F  o.  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  ( ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) `  x ) ) ) )
642, 62, 63syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  ( ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) `  x ) ) ) )
65 fourierdlem53.g . . . . . 6  |-  G  =  ( s  e.  A  |->  ( F `  ( X  +  s )
) )
6665a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( s  e.  A  |->  ( F `
 ( X  +  s ) ) ) )
67 oveq2 6323 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  x  ->  ( X  +  s )  =  ( X  +  x ) )
6867fveq2d 5892 . . . . . . 7  |-  ( s  =  x  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  =  ( F `  ( X  +  x
) ) )
6968cbvmptv 4509 . . . . . 6  |-  ( s  e.  A  |->  ( F `
 ( X  +  s ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  ( X  +  x
) ) )
7069a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  A  |->  ( F `  ( X  +  s )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  ( X  +  x ) ) ) )
71 eqidd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) )  =  ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )
7267adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  s  =  x )  ->  ( X  +  s )  =  ( X  +  x ) )
73 simpr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
7410adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X  e.  RR )
7513sselda 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
7674, 75readdcld 9696 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( X  +  x )  e.  RR )
7771, 72, 73, 76fvmptd 5977 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) `  x
)  =  ( X  +  x ) )
7877eqcomd 2468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( X  +  x )  =  ( ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) `
 x ) )
7978fveq2d 5892 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  ( X  +  x ) )  =  ( F `  (
( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) `  x
) ) )
8079mpteq2dva 4503 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  ( X  +  x )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( F `  ( ( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) `  x ) ) ) )
8166, 70, 803eqtrrd 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  (
( s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) `  x
) ) )  =  G )
8261, 64, 813eqtrd 2500 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  B )  o.  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) )  =  G )
8382oveq1d 6330 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  B )  o.  (
s  e.  A  |->  ( X  +  s ) ) ) lim CC  D
)  =  ( G lim
CC  D ) )
8439, 83eleqtrd 2542 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G lim
CC  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750    \ cdif 3413    C_ wss 3416   {csn 3980    |-> cmpt 4475   dom cdm 4853   ran crn 4854    |` cres 4855    o. ccom 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   CCcc 9563   RRcr 9564    + caddc 9568   lim CC climc 22866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fi 7951  df-sup 7982  df-inf 7983  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-fz 11814  df-seq 12246  df-exp 12305  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-rest 15370  df-topn 15371  df-topgen 15391  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-met 19013  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-cnfld 19020  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cnp 20293  df-xms 21384  df-ms 21385  df-limc 22870
This theorem is referenced by:  fourierdlem74  38082  fourierdlem75  38083  fourierdlem76  38084  fourierdlem84  38092
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