Theorem fourierdlem50 32142

Description: Continuity of O and its limits with respect to the S partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem50.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem50.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem50.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem50.v	|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
fourierdlem50.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem50.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem50.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem50.ab	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem50.q	|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
fourierdlem50.t	|- T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
fourierdlem50.n	|- N = ( ( # ` T ) - 1 )
fourierdlem50.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
fourierdlem50.j	|- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
fourierdlem50.u	|- U = ( iota_ i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem50.ch	|- ( ch <-> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem50	|- ( ph -> ( U e. ( 0..^ M ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, J, k   i, M, k   m, M, p, i   f, N   Q, i, k   S, f   S, i, k   T, f   U, i   i, V, k   V, p   i, X, k   m, X, p   ph, f   ph, i, k

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   ch( f, i, k, m, p)   A( f, i, k, m, p)   B( f, i, k, m, p)   P( f, i, k, m, p)   Q( f, m, p)   S( m, p)   T( i, k, m, p)   U( f, k, m, p)   J( f, m, p)   M( f)   N( i, k, m, p)   V( f, m)   X( f)

Proof of Theorem fourierdlem50

Dummy variables x h l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem50.u	. . 3 |- U = ( iota_ i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
2		fourierdlem50.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
3		fourierdlem50.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
4		fourierdlem50.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR )
5		fourierdlem50.altb	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A < B )
6	3, 4, 5	ltled 9750	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A <_ B )
7		fourierdlem50.p	. . . . . . . . . . . . 13 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
8		fourierdlem50.v	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
9	7, 2, 8	fourierdlem15 32107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
10		pire 22977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi e. RR
11	10	renegcli 9899	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u pi e. RR
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u pi e. RR )
13		fourierdlem50.xre	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X e. RR )
14	12, 13	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( -u pi + X ) e. RR )
15	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> pi e. RR )
16	15, 13	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( pi + X ) e. RR )
17	14, 16	iccssred 31742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) C_ RR )
18	9, 17	fssd 5746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
19	18	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
20	13	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> X e. RR )
21	19, 20	resubcld 10008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
22		fourierdlem50.q	. . . . . . . . 9 |- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
23	21, 22	fmptd 6056	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
24	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) )
25		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = 0 -> ( V ` i ) = ( V ` 0 ) )
26	25	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 0 -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
27	26	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
28		nnssnn0 10819	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN C_ NN0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> NN C_ NN0 )
30		nn0uz 11140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
31	29, 30	syl6sseq 3545	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> NN C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
32	31, 2	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
33		eluzfz1 11718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
35	18, 34	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( V ` 0 ) e. RR )
36	35, 13	resubcld 10008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) e. RR )
37	24, 27, 34, 36	fvmptd 5961	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
38	7	fourierdlem2 32094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
39	2, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
40	8, 39	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
41	40	simprd 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
42	41	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) )
43	42	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) )
44	43	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) = ( ( -u pi + X ) - X ) )
45	12	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u pi e. CC )
46	13	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. CC )
47	45, 46	pncand 9951	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( -u pi + X ) - X ) = -u pi )
48	37, 44, 47	3eqtrd 2502	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u pi )
49	12	rexrd 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi e. RR* )
50	15	rexrd 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> pi e. RR* )
51		fourierdlem50.ab	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
52	3	leidd 10140	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A <_ A )
53	3, 4, 3, 52, 6	eliccd 31741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
54	51, 53	sseldd 3500	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
55		iccgelb 11606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ A e. ( -u pi [,] pi ) ) -> -u pi <_ A )
56	49, 50, 54, 55	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u pi <_ A )
57	48, 56	eqbrtrd 4476	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) <_ A )
58	4	leidd 10140	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B <_ B )
59	3, 4, 4, 6, 58	eliccd 31741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ( A [,] B ) )
60	51, 59	sseldd 3500	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
61		iccleub 11605	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ B e. ( -u pi [,] pi ) ) -> B <_ pi )
62	49, 50, 60, 61	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B <_ pi )
63		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = M -> ( V ` i ) = ( V ` M ) )
64	63	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = M -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` M ) - X ) )
65	64	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i = M ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` M ) - X ) )
66		eluzfz2 11719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
67	32, 66	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
68	18, 67	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( V ` M ) e. RR )
69	68, 13	resubcld 10008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( V ` M ) - X ) e. RR )
70	24, 65, 67, 69	fvmptd 5961	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` M ) = ( ( V ` M ) - X ) )
71	42	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( V ` M ) = ( pi + X ) )
72	71	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( V ` M ) - X ) = ( ( pi + X ) - X ) )
73	15	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> pi e. CC )
74	73, 46	pncand 9951	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( pi + X ) - X ) = pi )
75	70, 72, 74	3eqtrrd 2503	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> pi = ( Q ` M ) )
76	62, 75	breqtrd 4480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B <_ ( Q ` M ) )
77		fourierdlem50.j	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
78		fourierdlem50.t	. . . . . . . 8 |- T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
79		prfi 7813	. . . . . . . . . . . 12 |- { A , B } e. Fin
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
81		fzfid 12086	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
82	22	rnmptfi 31650	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 ... M ) e. Fin -> ran Q e. Fin )
83	81, 82	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran Q e. Fin )
84		infi 7762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran Q e. Fin -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) e. Fin )
85	83, 84	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) e. Fin )
86		unfi 7805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) e. Fin ) -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) e. Fin )
87	80, 85, 86	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) e. Fin )
88	78, 87	syl5eqel 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. Fin )
89	3, 4	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
90		prssg 4187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) <-> { A , B } C_ RR ) )
91	3, 4, 90	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) <-> { A , B } C_ RR ) )
92	89, 91	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { A , B } C_ RR )
93		inss2 3715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ ( A (,) B )
94		ioossre 11611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) C_ RR
95	93, 94	sstri 3508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ RR
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ RR )
97	92, 96	unssd 3676	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) C_ RR )
98	78, 97	syl5eqss 3543	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T C_ RR )
99		fourierdlem50.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
100		fourierdlem50.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( ( # ` T ) - 1 )
101	88, 98, 99, 100	fourierdlem36 32128	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
102		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- sup ( { x e. ( 0..^ M ) | ( Q ` x ) <_ ( S ` J ) } , RR , < ) = sup ( { x e. ( 0..^ M ) | ( Q ` x ) <_ ( S ` J ) } , RR , < )
103	2, 3, 4, 6, 23, 57, 76, 77, 78, 101, 102	fourierdlem20 32112	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
104		fourierdlem50.ch	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch <-> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )
105	104	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )
106		simp-4l 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ph )
107	105, 106	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ph )
108		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> k e. ( 0..^ M ) )
109	105, 108	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> k e. ( 0..^ M ) )
110	107, 109	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) )
111		simp-4r 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
112	105, 111	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> i e. ( 0..^ M ) )
113		elfzofz 11841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( 0..^ M ) -> k e. ( 0 ... M ) )
114	113	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> k e. ( 0 ... M ) )
115	105, 114	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> k e. ( 0 ... M ) )
116	107, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
117	116, 115	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( V ` k ) e. RR )
118	107, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> X e. RR )
119	117, 118	resubcld 10008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( ( V ` k ) - X ) e. RR )
120		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i = k -> ( V ` i ) = ( V ` k ) )
121	120	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = k -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` k ) - X ) )
122	121, 22	fvmptg 5954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` k ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` k ) = ( ( V ` k ) - X ) )
123	115, 119, 122	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( Q ` k ) = ( ( V ` k ) - X ) )
124	123, 119	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` k ) e. RR )
125	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
126		fzofzp1 11912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
127	126	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
128	125, 127	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
129	107, 112, 128	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
130		isof1o 6222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T )
131	101, 130	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T )
132		f1of 5822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T -> S : ( 0 ... N ) --> T )
133	131, 132	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> T )
134		fzofzp1 11912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
135	77, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
136	133, 135	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. T )
137	98, 136	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
138	107, 137	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
139		elfzofz 11841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ( 0 ... N ) )
140	77, 139	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> J e. ( 0 ... N ) )
141	133, 140	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S ` J ) e. T )
142	98, 141	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( S ` J ) e. RR )
143	107, 142	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( S ` J ) e. RR )
144	105	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
145	124	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( Q ` k ) e. RR* )
146	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
147		fzofzp1 11912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. ( 0..^ M ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
148	147	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
149	146, 148	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( k + 1 ) ) e. RR )
150	149	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
151	110, 150	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( Q ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
152	143	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( S ` J ) e. RR* )
153	138	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* )
154		elfzoelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ZZ )
155	154	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. RR )
156	155	ltp1d 10496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J < ( J + 1 ) )
157	77, 156	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> J < ( J + 1 ) )
158		isoeq5 6220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) -> ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) <-> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) ) ) )
159	78, 158	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) <-> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) ) )
160	101, 159	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) ) )
161		isorel 6223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) ) /\ ( J e. ( 0 ... N ) /\ ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( J < ( J + 1 ) <-> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
162	160, 140, 135, 161	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( J < ( J + 1 ) <-> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
163	157, 162	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
164	107, 163	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
165	145, 151, 152, 153, 164	ioossioobi 31760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )
166	144, 165	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
167	166	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) )
168	124, 143, 138, 167, 164	lelttrd 9757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( Q ` k ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
169		elfzofz 11841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
170	169	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
171	170	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
172	105, 171	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> i e. ( 0 ... M ) )
173	107, 172, 21	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
174	22	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
175	172, 173, 174	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
176	175, 173	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( Q ` i ) e. RR )
177		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
178	105, 177	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
179	176, 129, 143, 138, 164, 178	fourierdlem10 32102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( ( Q ` i ) <_ ( S ` J ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
180	179	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) )
181	124, 138, 129, 168, 180	ltletrd 9759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` k ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
182	124, 129, 118, 181	ltadd2dd 9758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( X + ( Q ` k ) ) < ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
183	123	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( Q ` k ) ) = ( X + ( ( V ` k ) - X ) ) )
184	107, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> X e. CC )
185	117	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( V ` k ) e. CC )
186	184, 185	pncan3d 9953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` k ) - X ) ) = ( V ` k ) )
187	183, 186	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( V ` k ) = ( X + ( Q ` k ) ) )
188	112, 126	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
189	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
190	189, 127	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
191	107, 112, 190	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
192	191, 118	resubcld 10008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR )
193	188, 192	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) )
194		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( k e. ( 0 ... M ) <-> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
195		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( V ` k ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
196	195	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( V ` k ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
197	196	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( ( V ` k ) - X ) e. RR <-> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) )
198	194, 197	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( k e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` k ) - X ) e. RR ) <-> ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) ) )
199		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( Q ` k ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
200	199, 196	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( Q ` k ) = ( ( V ` k ) - X ) <-> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) )
201	198, 200	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( ( k e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` k ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` k ) = ( ( V ` k ) - X ) ) <-> ( ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) ) )
202	201, 122	vtoclg 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) )
203	188, 193, 202	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
204	203	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( X + ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) )
205	191	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. CC )
206	184, 205	pncan3d 9953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
207	204, 206	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
208	182, 187, 207	3brtr4d 4486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
209		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = i -> ( l e. ( 0..^ M ) <-> i e. ( 0..^ M ) ) )
210	209	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = i -> ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) ) )
211		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l = i -> ( l + 1 ) = ( i + 1 ) )
212	211	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = i -> ( V ` ( l + 1 ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
213	212	breq2d 4468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = i -> ( ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) <-> ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
214	210, 213	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = i -> ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
215		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = i -> ( V ` l ) = ( V ` i ) )
216	215	breq2d 4468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = i -> ( ( V ` k ) <_ ( V ` l ) <-> ( V ` k ) <_ ( V ` i ) ) )
217	214, 216	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l = i -> ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` l ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` i ) ) ) )
218		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h = k -> ( h e. ( 0..^ M ) <-> k e. ( 0..^ M ) ) )
219	218	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h = k -> ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) ) )
220	219	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = k -> ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) ) )
221		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h = k -> ( V ` h ) = ( V ` k ) )
222	221	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = k -> ( ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) <-> ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) )
223	220, 222	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = k -> ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) ) )
224	221	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = k -> ( ( V ` h ) <_ ( V ` l ) <-> ( V ` k ) <_ ( V ` l ) ) )
225	223, 224	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h = k -> ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` h ) <_ ( V ` l ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` l ) ) ) )
226		elfzoelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h e. ZZ )
227	226	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> h e. ZZ )
228		elfzoelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> l e. ZZ )
229	228	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> l e. ZZ )
230		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) )
231	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ l e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
232		fzofzp1 11912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> ( l + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
233	232	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ l e. ( 0..^ M ) ) -> ( l + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
234	231, 233	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ l e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( l + 1 ) ) e. RR )
235	234	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( l + 1 ) ) e. RR )
236	235	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( V ` ( l + 1 ) ) e. RR )
237	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
238		elfzofz 11841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h e. ( 0 ... M ) )
239	238	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) -> h e. ( 0 ... M ) )
240	237, 239	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` h ) e. RR )
241	240	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( V ` h ) e. RR )
242	228	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> l e. RR )
243		peano2re 9770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( l e. RR -> ( l + 1 ) e. RR )
244	242, 243	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> ( l + 1 ) e. RR )
245	244	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( l + 1 ) e. RR )
246	226	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h e. RR )
247	246	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> h e. RR )
248		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> -. h < ( l + 1 ) )
249	245, 247, 248	nltled 31680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( l + 1 ) <_ h )
250	228	peano2zd 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> ( l + 1 ) e. ZZ )
251	250	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> ( l + 1 ) e. ZZ )
252	226	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> h e. ZZ )
253		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> ( l + 1 ) <_ h )
254		eluz2 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( h e. ( ZZ>= ` ( l + 1 ) ) <-> ( ( l + 1 ) e. ZZ /\ h e. ZZ /\ ( l + 1 ) <_ h ) )
255	251, 252, 253, 254	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> h e. ( ZZ>= ` ( l + 1 ) ) )
256	255	adantlll 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> h e. ( ZZ>= ` ( l + 1 ) ) )
257		simplll 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ph )
258		0zd 10897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 e. ZZ )
259		elfzoel2 11825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> M e. ZZ )
260	259	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> M e. ZZ )
261		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... h ) -> i e. ZZ )
262	261	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i e. ZZ )
263	258, 260, 262	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
264		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 e. RR )
265	261	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... h ) -> i e. RR )
266	265	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i e. RR )
267	242	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> l e. RR )
268		elfzole1 11834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> 0 <_ l )
269	268	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 <_ l )
270	267, 243	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( l + 1 ) e. RR )
271	267	ltp1d 10496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> l < ( l + 1 ) )
272		elfzle1 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... h ) -> ( l + 1 ) <_ i )
273	272	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( l + 1 ) <_ i )
274	267, 270, 266, 271, 273	ltletrd 9759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> l < i )
275	264, 267, 266, 269, 274	lelttrd 9757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 < i )
276	264, 266, 275	ltled 9750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 <_ i )
277	276	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 <_ i )
278	265	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i e. RR )
279	259	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> M e. RR )
280	279	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> M e. RR )
281	246	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> h e. RR )
282		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... h ) -> i <_ h )
283	282	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i <_ h )
284		elfzolt2 11835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h < M )
285	284	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> h < M )
286	278, 281, 280, 283, 285	lelttrd 9757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i < M )
287	278, 280, 286	ltled 9750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i <_ M )
288	287	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i <_ M )
289	263, 277, 288	jca32 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 0 <_ i /\ i <_ M ) ) )
290		elfz2 11704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( i e. ( 0 ... M ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 0 <_ i /\ i <_ M ) ) )
291	289, 290	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
292	291	adantlll 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
293	257, 292, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
294	293	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
295		simplll 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ph )
296		0zd 10897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
297		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) -> i e. ZZ )
298	297	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
299		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
300	298	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. RR )
301	242	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> l e. RR )
302	268	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> 0 <_ l )
303	301, 243	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( l + 1 ) e. RR )
304	301	ltp1d 10496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> l < ( l + 1 ) )
305		elfzle1 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) -> ( l + 1 ) <_ i )
306	305	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( l + 1 ) <_ i )
307	301, 303, 300, 304, 306	ltletrd 9759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> l < i )
308	299, 301, 300, 302, 307	lelttrd 9757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> 0 < i )
309	299, 300, 308	ltled 9750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> 0 <_ i )
310		eluz2 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( i e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( 0 e. ZZ /\ i e. ZZ /\ 0 <_ i ) )
311	296, 298, 309, 310	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
312	311	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
313		elfzoel2 11825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> M e. ZZ )
314	313	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
315	297	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) -> i e. RR )
316	315	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. RR )
317		peano2rem 9905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( h e. RR -> ( h - 1 ) e. RR )
318	246, 317	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> ( h - 1 ) e. RR )
319	318	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( h - 1 ) e. RR )
320	279	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> M e. RR )
321		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) -> i <_ ( h - 1 ) )
322	321	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i <_ ( h - 1 ) )
323	246	ltm1d 10498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> ( h - 1 ) < h )
324	318, 246, 279, 323, 284	lttrd 9760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> ( h - 1 ) < M )
325	324	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( h - 1 ) < M )
326	316, 319, 320, 322, 325	lelttrd 9757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i < M )
327	326	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i < M )
328	327	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i < M )
329		elfzo2 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( i e. ( 0..^ M ) <-> ( i e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) )
330	312, 314, 328, 329	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
331	169, 19	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
332	41	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
333	332	r19.21bi 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
334	331, 190, 333	ltled 9750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` ( i + 1 ) ) )
335	295, 330, 334	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` ( i + 1 ) ) )
336	335	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` ( i + 1 ) ) )
337	256, 294, 336	monoord 12140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> ( V ` ( l + 1 ) ) <_ ( V ` h ) )
338	249, 337	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( V ` ( l + 1 ) ) <_ ( V ` h ) )
339	236, 241, 338	leimnltd 31675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> -. ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) )
340	339	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> -. ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) )
341	230, 340	condan 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> h < ( l + 1 ) )
342		zleltp1 10935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( h e. ZZ /\ l e. ZZ ) -> ( h <_ l <-> h < ( l + 1 ) ) )
343	227, 229, 342	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( h <_ l <-> h < ( l + 1 ) ) )
344	341, 343	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> h <_ l )
345		eluz2 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l e. ( ZZ>= ` h ) <-> ( h e. ZZ /\ l e. ZZ /\ h <_ l ) )
346	227, 229, 344, 345	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> l e. ( ZZ>= ` h ) )
347	18	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
348		0zd 10897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> 0 e. ZZ )
349	259	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> M e. ZZ )
350		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. ( h ... l ) -> i e. ZZ )
351	350	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i e. ZZ )
352	348, 349, 351	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
353		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> 0 e. RR )
354	246	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> h e. RR )
355	350	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( h ... l ) -> i e. RR )
356	355	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i e. RR )
357		elfzole1 11834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> 0 <_ h )
358	357	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> 0 <_ h )
359		elfzle1 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( h ... l ) -> h <_ i )
360	359	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> h <_ i )
361	353, 354, 356, 358, 360	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> 0 <_ i )
362	361	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> 0 <_ i )
363	355	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i e. RR )
364	313	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> M e. RR )
365	364	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> M e. RR )
366	242	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> l e. RR )
367		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i e. ( h ... l ) -> i <_ l )
368	367	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i <_ l )
369		elfzolt2 11835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> l < M )
370	369	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> l < M )
371	363, 366, 365, 368, 370	lelttrd 9757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i < M )
372	363, 365, 371	ltled 9750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i <_ M )
373	372	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i <_ M )
374	352, 362, 373	jca32 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 0 <_ i /\ i <_ M ) ) )
375	374, 290	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
376	375	adantlll 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
377	347, 376	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
378	377	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
379		simp-4l 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> ph )
380		0zd 10897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
381		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i e. ( h ... ( l - 1 ) ) -> i e. ZZ )
382	381	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
383		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
384	246	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> h e. RR )
385	382	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. RR )
386	357	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> 0 <_ h )
387		elfzle1 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. ( h ... ( l - 1 ) ) -> h <_ i )
388	387	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> h <_ i )
389	383, 384, 385, 386, 388	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> 0 <_ i )
390	380, 382, 389, 310	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
391	390	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
392	391	adant423 31628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
393	313	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
394	381	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i e. ( h ... ( l - 1 ) ) -> i e. RR )
395	394	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. RR )
396	242	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> l e. RR )
397	364	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> M e. RR )
398		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. ( h ... ( l - 1 ) ) -> i <_ ( l - 1 ) )
399	398	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i <_ ( l - 1 ) )
400		zltlem1 10937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( i e. ZZ /\ l e. ZZ ) -> ( i < l <-> i <_ ( l - 1 ) ) )
401	381, 228, 400	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> ( i < l <-> i <_ ( l - 1 ) ) )
402	399, 401	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i < l )
403	369	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> l < M )
404	395, 396, 397, 402, 403	lttrd 9760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i < M )
405	404	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i < M )
406	405	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i < M )
407	392, 393, 406, 329	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
408	379, 407, 334	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` ( i + 1 ) ) )
409	346, 378, 408	monoord 12140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` h ) <_ ( V ` l ) )
410	225, 409	chvarv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` l ) )
411	217, 410	chvarv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` i ) )
412	110, 112, 208, 411	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( V ` k ) <_ ( V ` i ) )
413	107, 112	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) )
414	110, 149	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` ( k + 1 ) ) e. RR )
415	179	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( Q ` i ) <_ ( S ` J ) )
416	176, 143, 138, 415, 164	lelttrd 9757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( Q ` i ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
417	166	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( k + 1 ) ) )
418	176, 138, 414, 416, 417	ltletrd 9759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( k + 1 ) ) )
419	176, 414, 118, 418	ltadd2dd 9758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( X + ( Q ` i ) ) < ( X + ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
420	175	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( Q ` i ) ) = ( X + ( ( V ` i ) - X ) ) )
421	107, 172, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( V ` i ) e. RR )
422	421	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( V ` i ) e. CC )
423	184, 422	pncan3d 9953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` i ) - X ) ) = ( V ` i ) )
424	420, 423	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( V ` i ) = ( X + ( Q ` i ) ) )
425	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) )
426		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( V ` i ) = ( V ` ( k + 1 ) ) )
427	426	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) )
428	427	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i = ( k + 1 ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) )
429	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
430	429, 148	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( k + 1 ) ) e. RR )
431	13	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> X e. RR )
432	430, 431	resubcld 10008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) e. RR )
433	425, 428, 148, 432	fvmptd 5961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( k + 1 ) ) = ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) )
434	107, 109, 433	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( Q ` ( k + 1 ) ) = ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) )
435	434	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( Q ` ( k + 1 ) ) ) = ( X + ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) ) )
436	110, 430	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( V ` ( k + 1 ) ) e. RR )
437	436	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( V ` ( k + 1 ) ) e. CC )
438	184, 437	pncan3d 9953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) ) = ( V ` ( k + 1 ) ) )
439	435, 438	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( V ` ( k + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
440	419, 424, 439	3brtr4d 4486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( V ` i ) < ( V ` ( k + 1 ) ) )
441		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = k -> ( l e. ( 0..^ M ) <-> k e. ( 0..^ M ) ) )
442	441	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = k -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) ) )
443		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l = k -> ( l + 1 ) = ( k + 1 ) )
444	443	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = k -> ( V ` ( l + 1 ) ) = ( V ` ( k + 1 ) ) )
445	444	breq2d 4468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = k -> ( ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) <-> ( V ` i ) < ( V ` ( k + 1 ) ) ) )
446	442, 445	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = k -> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( k + 1 ) ) ) ) )
447		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = k -> ( V ` l ) = ( V ` k ) )
448	447	breq2d 4468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = k -> ( ( V ` i ) <_ ( V ` l ) <-> ( V ` i ) <_ ( V ` k ) ) )
449	446, 448	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l = k -> ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` l ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( k + 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` k ) ) ) )
450		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h = i -> ( h e. ( 0..^ M ) <-> i e. ( 0..^ M ) ) )
451	450	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h = i -> ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) ) )
452	451	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = i -> ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) ) )
453		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h = i -> ( V ` h ) = ( V ` i ) )
454	453	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = i -> ( ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) <-> ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) )
455	452, 454	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = i -> ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) ) )
456	453	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = i -> ( ( V ` h ) <_ ( V ` l ) <-> ( V ` i ) <_ ( V ` l ) ) )
457	455, 456	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h = i -> ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` h ) <_ ( V ` l ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` l ) ) ) )
458	457, 409	chvarv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` l ) )
459	449, 458	chvarv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( k + 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` k ) )
460	413, 109, 440, 459	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( V ` i ) <_ ( V ` k ) )
461	117, 421	letri3d 9744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ( ( V ` k ) = ( V ` i ) <-> ( ( V ` k ) <_ ( V ` i ) /\ ( V ` i ) <_ ( V ` k ) ) ) )
462	412, 460, 461	mpbir2and 922	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( V ` k ) = ( V ` i ) )
463	7, 2, 8	fourierdlem34 32126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> V : ( 0 ... M ) -1-1-> RR )
464	107, 463	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> V : ( 0 ... M ) -1-1-> RR )
465		f1fveq 6171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V : ( 0 ... M ) -1-1-> RR /\ ( k e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( V ` k ) = ( V ` i ) <-> k = i ) )
466	464, 115, 172, 465	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( ( V ` k ) = ( V ` i ) <-> k = i ) )
467	462, 466	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> k = i )
468	104, 467	sylbir 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> k = i )
469	468	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) -> k = i ) )
470		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) /\ k = i ) -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
471		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = i -> ( Q ` k ) = ( Q ` i ) )
472		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = i -> ( k + 1 ) = ( i + 1 ) )
473	472	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = i -> ( Q ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
474	471, 473	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = i -> ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
475	474	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = i -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
476	475	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) /\ k = i ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
477	470, 476	sseqtrd 3535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) /\ k = i ) -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
478	477	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( k = i -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )
479	478	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( k = i -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )
480	469, 479	impbid 191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) <-> k = i ) )
481	480	ralrimiva 2871	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M )