Theorem fourierdlem50 31780

Description: Continuity of O and its limits with respect to the S partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem50.xre	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem50.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem50.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem50.v	|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
fourierdlem50.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem50.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem50.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem50.ab	|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem50.q	|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
fourierdlem50.t	|- T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
fourierdlem50.n	|- N = ( ( # ` T ) - 1 )
fourierdlem50.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
fourierdlem50.j	|- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
fourierdlem50.u	|- U = ( iota_ i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem50.ch	|- ( ch <-> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem50	|- ( ph -> ( U e. ( 0..^ M ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` U ) (,) ( Q ` ( U + 1 ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, J, k   i, M, k   m, M, p, i   f, N   Q, i, k   S, f   S, i, k   T, f   U, i   i, V, k   V, p   i, X, k   m, X, p   ph, f   ph, i, k

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   ch( f, i, k, m, p)   A( f, i, k, m, p)   B( f, i, k, m, p)   P( f, i, k, m, p)   Q( f, m, p)   S( m, p)   T( i, k, m, p)   U( f, k, m, p)   J( f, m, p)   M( f)   N( i, k, m, p)   V( f, m)   X( f)

Proof of Theorem fourierdlem50

Dummy variables x h l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem50.u	. . 3 |- U = ( iota_ i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
2		fourierdlem50.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
3		fourierdlem50.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
4		fourierdlem50.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR )
5		fourierdlem50.altb	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A < B )
6	3, 4, 5	ltled 9744	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A <_ B )
7		fourierdlem50.p	. . . . . . . . . . . . 13 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
8		fourierdlem50.v	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
9	7, 2, 8	fourierdlem15 31745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) )
10		pire 22718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. RR
11	10	renegcli 9892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u pi e. RR
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -u pi e. RR )
13		fourierdlem50.xre	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X e. RR )
14	12, 13	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( -u pi e. RR /\ X e. RR ) )
15		readdcl 9587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi e. RR /\ X e. RR ) -> ( -u pi + X ) e. RR )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( -u pi + X ) e. RR )
17	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> pi e. RR )
18	17, 13	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( pi e. RR /\ X e. RR ) )
19		readdcl 9587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( pi e. RR /\ X e. RR ) -> ( pi + X ) e. RR )
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( pi + X ) e. RR )
21	16, 20	iccssred 31426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) C_ RR )
22	9, 21	fssd 5746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
23	22	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
24	13	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> X e. RR )
25	23, 24	resubcld 9999	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
26		fourierdlem50.q	. . . . . . . . 9 |- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
27	25, 26	fmptd 6056	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
28	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) )
29		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = 0 -> ( V ` i ) = ( V ` 0 ) )
30	29	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 0 -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
31	30	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
32		nnssnn0 10810	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN C_ NN0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> NN C_ NN0 )
34		nn0uz 11128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
35	33, 34	syl6sseq 3555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> NN C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
36	35, 2	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
37		eluzfz1 11705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
39	22, 38	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( V ` 0 ) e. RR )
40	39, 13	resubcld 9999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) e. RR )
41	28, 31, 38, 40	fvmptd 5962	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
42	7	fourierdlem2 31732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
43	2, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
44	8, 43	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
45	44	simprd 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
46	45	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) )
47	46	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) )
48	47	oveq1d 6310	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) = ( ( -u pi + X ) - X ) )
49	12	recnd 9634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u pi e. CC )
50	13	recnd 9634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. CC )
51	49, 50	pncand 9943	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( -u pi + X ) - X ) = -u pi )
52	41, 48, 51	3eqtrd 2512	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u pi )
53	12	rexrd 9655	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi e. RR* )
54	17	rexrd 9655	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> pi e. RR* )
55		fourierdlem50.ab	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
56	3	leidd 10131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A <_ A )
57	3, 4, 3, 56, 6	eliccd 31425	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( A [,] B ) )
58	55, 57	sseldd 3510	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
59		iccgelb 11593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ A e. ( -u pi [,] pi ) ) -> -u pi <_ A )
60	53, 54, 58, 59	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u pi <_ A )
61	52, 60	eqbrtrd 4473	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) <_ A )
62	4	leidd 10131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B <_ B )
63	3, 4, 4, 6, 62	eliccd 31425	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ( A [,] B ) )
64	55, 63	sseldd 3510	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
65		iccleub 11592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ B e. ( -u pi [,] pi ) ) -> B <_ pi )
66	53, 54, 64, 65	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B <_ pi )
67		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = M -> ( V ` i ) = ( V ` M ) )
68	67	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = M -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` M ) - X ) )
69	68	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i = M ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` M ) - X ) )
70		eluzfz2 11706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
71	36, 70	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
72	22, 71	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( V ` M ) e. RR )
73	72, 13	resubcld 9999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( V ` M ) - X ) e. RR )
74	28, 69, 71, 73	fvmptd 5962	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` M ) = ( ( V ` M ) - X ) )
75	46	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( V ` M ) = ( pi + X ) )
76	75	oveq1d 6310	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( V ` M ) - X ) = ( ( pi + X ) - X ) )
77	17	recnd 9634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> pi e. CC )
78	77, 50	pncand 9943	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( pi + X ) - X ) = pi )
79	74, 76, 78	3eqtrrd 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> pi = ( Q ` M ) )
80	66, 79	breqtrd 4477	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B <_ ( Q ` M ) )
81		fourierdlem50.j	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
82		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
83		fourierdlem50.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) )
84		prfi 7807	. . . . . . . . . . . . 13 |- { A , B } e. Fin
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
86		fzfid 12063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
87	26	rnmptfi 31348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 ... M ) e. Fin -> ran Q e. Fin )
88	86, 87	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ran Q e. Fin )
89		infi 7755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran Q e. Fin -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) e. Fin )
90	88, 89	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) e. Fin )
91		unfi 7799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) e. Fin ) -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) e. Fin )
92	85, 90, 91	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) e. Fin )
93	83, 92	syl5eqel 2559	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T e. Fin )
94	3, 4	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
95		prssg 4188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) <-> { A , B } C_ RR ) )
96	3, 4, 95	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) <-> { A , B } C_ RR ) )
97	94, 96	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { A , B } C_ RR )
98		inss2 3724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ ( A (,) B )
99		ioossre 11598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A (,) B ) C_ RR
100	98, 99	sstri 3518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ RR
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) C_ RR )
102	97, 101	unssd 3685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) C_ RR )
103	83, 102	syl5eqss 3553	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T C_ RR )
104		fourierdlem50.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
105		fourierdlem50.n	. . . . . . . . . 10 |- N = ( ( # ` T ) - 1 )
106	93, 103, 104, 105	fourierdlem36 31766	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
107		isoeq5 6218	. . . . . . . . . 10 |- ( T = ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) -> ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) <-> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) ) ) )
108	83, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) <-> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) ) )
109	106, 108	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) ) )
110		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- sup ( { x e. ( 0..^ M ) | ( Q ` x ) <_ ( S ` J ) } , RR , < ) = sup ( { x e. ( 0..^ M ) | ( Q ` x ) <_ ( S ` J ) } , RR , < )
111	2, 3, 4, 6, 27, 61, 80, 81, 82, 109, 110	fourierdlem20 31750	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. i e. ( 0..^ M ) ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
112		fourierdlem50.ch	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch <-> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )
113	112	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ch )
114	112	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )
115		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ph )
116	114, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ph )
117		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> k e. ( 0..^ M ) )
118	114, 117	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> k e. ( 0..^ M ) )
119	116, 118	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) )
120		simp-4r 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
121	114, 120	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> i e. ( 0..^ M ) )
122		elfzofz 11823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( 0..^ M ) -> k e. ( 0 ... M ) )
123	122	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> k e. ( 0 ... M ) )
124	114, 123	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> k e. ( 0 ... M ) )
125	116, 22	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
126	125, 124	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( V ` k ) e. RR )
127	116, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> X e. RR )
128	126, 127	resubcld 9999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( ( V ` k ) - X ) e. RR )
129		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ i ( ( k e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` k ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` k ) = ( ( V ` k ) - X ) )
130		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i = k -> ( i e. ( 0 ... M ) <-> k e. ( 0 ... M ) ) )
131		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i = k -> ( V ` i ) = ( V ` k ) )
132	131	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i = k -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` k ) - X ) )
133	132	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i = k -> ( ( ( V ` i ) - X ) e. RR <-> ( ( V ` k ) - X ) e. RR ) )
134	130, 133	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = k -> ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) <-> ( k e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` k ) - X ) e. RR ) ) )
135		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i = k -> ( Q ` i ) = ( Q ` k ) )
136	135, 132	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = k -> ( ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) <-> ( Q ` k ) = ( ( V ` k ) - X ) ) )
137	134, 136	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i = k -> ( ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) ) <-> ( ( k e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` k ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` k ) = ( ( V ` k ) - X ) ) ) )
138	26	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
139	129, 137, 138	chvar 1982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` k ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` k ) = ( ( V ` k ) - X ) )
140	124, 128, 139	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( Q ` k ) = ( ( V ` k ) - X ) )
141	140, 128	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( Q ` k ) e. RR )
142	27	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
143		fzofzp1 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
144	143	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
145	142, 144	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
146	116, 121, 145	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
147		isof1o 6220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T )
148	106, 147	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T )
149		f1of 5822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T -> S : ( 0 ... N ) --> T )
150	148, 149	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> T )
151		fzofzp1 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
152	81, 151	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
153	150, 152	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. T )
154	103, 153	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
155	116, 154	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
156		elfzofz 11823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ( 0 ... N ) )
157	81, 156	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> J e. ( 0 ... N ) )
158	150, 157	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( S ` J ) e. T )
159	103, 158	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S ` J ) e. RR )
160	116, 159	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( S ` J ) e. RR )
161	114	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
162	141	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ch -> ( Q ` k ) e. RR* )
163	27	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
164		fzofzp1 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( k e. ( 0..^ M ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
165	164	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
166	163, 165	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( k + 1 ) ) e. RR )
167	166	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
168	119, 167	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ch -> ( Q ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
169	160	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ch -> ( S ` J ) e. RR* )
170	155	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ch -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* )
171		elfzoelz 11809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ZZ )
172	171	zred 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. RR )
173	172	ltp1d 10488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J < ( J + 1 ) )
174	81, 173	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> J < ( J + 1 ) )
175		isorel 6221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { A , B } u. ( ran Q i^i ( A (,) B ) ) ) ) /\ ( J e. ( 0 ... N ) /\ ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( J < ( J + 1 ) <-> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
176	109, 157, 152, 175	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( J < ( J + 1 ) <-> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
177	174, 176	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
178	116, 177	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ch -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
179	162, 168, 169, 170, 178	ioossioobi 31444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )
180	161, 179	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
181	180	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( Q ` k ) <_ ( S ` J ) )
182	141, 160, 155, 181, 178	lelttrd 9751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( Q ` k ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
183		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
184	114, 183	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
185		elfzofz 11823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
186	185	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
187	186	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` k ) (,) ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
188	114, 187	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ch -> i e. ( 0 ... M ) )
189	116, 188, 25	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ch -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
190	188, 189, 138	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ch -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
191	190, 189	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ch -> ( Q ` i ) e. RR )
192	191	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( Q ` i ) e. RR* )
193	146	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
194	192, 193, 169, 170, 178	ioossioobi 31444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( Q ` i ) <_ ( S ` J ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
195	184, 194	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( ( Q ` i ) <_ ( S ` J ) /\ ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
196	195	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( i + 1 ) ) )
197	141, 155, 146, 182, 196	ltletrd 9753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( Q ` k ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
198	141, 146, 127, 197	ltadd2dd 9752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( Q ` k ) ) < ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
199	140	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( X + ( Q ` k ) ) = ( X + ( ( V ` k ) - X ) ) )
200	116, 50	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> X e. CC )
201		ax-resscn 9561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- RR C_ CC
202	201, 126	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( V ` k ) e. CC )
203	200, 202	pncan3d 9945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` k ) - X ) ) = ( V ` k ) )
204	199, 203	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( X + ( Q ` k ) ) = ( V ` k ) )
205	204	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( V ` k ) = ( X + ( Q ` k ) ) )
206	121, 143	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
207	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
208	207, 144	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
209	116, 121, 208	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
210	209, 127	resubcld 9999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ch -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR )
211	206, 210	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) )
212		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( k e. ( 0 ... M ) <-> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
213		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( V ` k ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
214	213	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( V ` k ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
215	214	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( ( V ` k ) - X ) e. RR <-> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) )
216	212, 215	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( k e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` k ) - X ) e. RR ) <-> ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) ) )
217		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( Q ` k ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
218	217, 214	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( Q ` k ) = ( ( V ` k ) - X ) <-> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) )
219	216, 218	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = ( i + 1 ) -> ( ( ( k e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` k ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` k ) = ( ( V ` k ) - X ) ) <-> ( ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) ) )
220	219, 139	vtoclg 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) )
221	206, 211, 220	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
222	221	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( X + ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) )
223	201, 209	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. CC )
224	200, 223	pncan3d 9945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
225	222, 224	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( V ` ( i + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
226	205, 225	breq12d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) <-> ( X + ( Q ` k ) ) < ( X + ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
227	198, 226	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
228		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ l ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` i ) )
229		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l = i -> ( l e. ( 0..^ M ) <-> i e. ( 0..^ M ) ) )
230	229	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = i -> ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) ) )
231		oveq1 6302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( l = i -> ( l + 1 ) = ( i + 1 ) )
232	231	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l = i -> ( V ` ( l + 1 ) ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
233	232	breq2d 4465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = i -> ( ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) <-> ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
234	230, 233	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = i -> ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
235		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = i -> ( V ` l ) = ( V ` i ) )
236	235	breq2d 4465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = i -> ( ( V ` k ) <_ ( V ` l ) <-> ( V ` k ) <_ ( V ` i ) ) )
237	234, 236	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = i -> ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` l ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` i ) ) ) )
238		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ h ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` l ) )
239		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( h = k -> ( h e. ( 0..^ M ) <-> k e. ( 0..^ M ) ) )
240	239	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h = k -> ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) ) )
241	240	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h = k -> ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) ) )
242		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( h = k -> ( V ` h ) = ( V ` k ) )
243	242	breq1d 4463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h = k -> ( ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) <-> ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) )
244	241, 243	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = k -> ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) ) )
245	242	breq1d 4463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = k -> ( ( V ` h ) <_ ( V ` l ) <-> ( V ` k ) <_ ( V ` l ) ) )
246	244, 245	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h = k -> ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` h ) <_ ( V ` l ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` l ) ) ) )
247		elfzoelz 11809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h e. ZZ )
248	247	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> h e. ZZ )
249		elfzoelz 11809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> l e. ZZ )
250	249	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> l e. ZZ )
251		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) )
252		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) )
253		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> -. h < ( l + 1 ) )
254	249	zred 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> l e. RR )
255		peano2re 9764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( l e. RR -> ( l + 1 ) e. RR )
256	254, 255	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> ( l + 1 ) e. RR )
257	256	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( l + 1 ) e. RR )
258	247	zred 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h e. RR )
259	258	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> h e. RR )
260	257, 259	lenltd 9742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( ( l + 1 ) <_ h <-> -. h < ( l + 1 ) ) )
261	253, 260	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( l + 1 ) <_ h )
262	249	peano2zd 10981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> ( l + 1 ) e. ZZ )
263	262	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> ( l + 1 ) e. ZZ )
264	247	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> h e. ZZ )
265		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> ( l + 1 ) <_ h )
266	263, 264, 265	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> ( ( l + 1 ) e. ZZ /\ h e. ZZ /\ ( l + 1 ) <_ h ) )
267		eluz2 11100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( h e. ( ZZ>= ` ( l + 1 ) ) <-> ( ( l + 1 ) e. ZZ /\ h e. ZZ /\ ( l + 1 ) <_ h ) )
268	266, 267	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> h e. ( ZZ>= ` ( l + 1 ) ) )
269	268	adantlll 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> h e. ( ZZ>= ` ( l + 1 ) ) )
270		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ph )
271		0z 10887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- 0 e. ZZ
272	271	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 e. ZZ )
273		elfzoel2 11808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> M e. ZZ )
274	273	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> M e. ZZ )
275		elfzelz 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... h ) -> i e. ZZ )
276	275	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i e. ZZ )
277	272, 274, 276	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
278		0re 9608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- 0 e. RR
279	278	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 e. RR )
280	275	zred 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... h ) -> i e. RR )
281	280	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i e. RR )
282	254	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> l e. RR )
283		elfzole1 11816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> 0 <_ l )
284	283	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 <_ l )
285	282, 255	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( l + 1 ) e. RR )
286	282	ltp1d 10488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> l < ( l + 1 ) )
287		elfzle1 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... h ) -> ( l + 1 ) <_ i )
288	287	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( l + 1 ) <_ i )
289	282, 285, 281, 286, 288	ltletrd 9753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> l < i )
290	279, 282, 281, 284, 289	lelttrd 9751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 < i )
291	279, 281, 290	ltled 9744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 <_ i )
292	291	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> 0 <_ i )
293	280	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i e. RR )
294	273	zred 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> M e. RR )
295	294	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> M e. RR )
296	258	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> h e. RR )
297		elfzle2 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... h ) -> i <_ h )
298	297	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i <_ h )
299		elfzolt2 11817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h < M )
300	299	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> h < M )
301	293, 296, 295, 298, 300	lelttrd 9751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i < M )
302	293, 295, 301	ltled 9744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i <_ M )
303	302	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i <_ M )
304	277, 292, 303	jca32 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 0 <_ i /\ i <_ M ) ) )
305		elfz2 11691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( i e. ( 0 ... M ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 0 <_ i /\ i <_ M ) ) )
306	304, 305	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
307	306	adantlll 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
308	270, 307, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
309	308	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... h ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
310		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ph )
311	271	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
312		elfzelz 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) -> i e. ZZ )
313	312	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
314	278	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
315	313	zred 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. RR )
316	254	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> l e. RR )
317	283	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> 0 <_ l )
318	316, 255	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( l + 1 ) e. RR )
319	316	ltp1d 10488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> l < ( l + 1 ) )
320		elfzle1 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) -> ( l + 1 ) <_ i )
321	320	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( l + 1 ) <_ i )
322	316, 318, 315, 319, 321	ltletrd 9753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> l < i )
323	314, 316, 315, 317, 322	lelttrd 9751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> 0 < i )
324	314, 315, 323	ltled 9744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> 0 <_ i )
325	311, 313, 324	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ i e. ZZ /\ 0 <_ i ) )
326		eluz2 11100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( i e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( 0 e. ZZ /\ i e. ZZ /\ 0 <_ i ) )
327	325, 326	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
328	327	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
329		elfzoel2 11808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> M e. ZZ )
330	329	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
331	312	zred 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) -> i e. RR )
332	331	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. RR )
333		peano2rem 9898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( h e. RR -> ( h - 1 ) e. RR )
334	258, 333	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> ( h - 1 ) e. RR )
335	334	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( h - 1 ) e. RR )
336	294	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> M e. RR )
337		elfzle2 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) -> i <_ ( h - 1 ) )
338	337	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i <_ ( h - 1 ) )
339	258	ltm1d 10490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> ( h - 1 ) < h )
340	334, 258, 294, 339, 299	lttrd 9754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> ( h - 1 ) < M )
341	340	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( h - 1 ) < M )
342	332, 335, 336, 338, 341	lelttrd 9751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i < M )
343	342	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i < M )
344	343	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i < M )
345	328, 330, 344	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) )
346		elfzo2 11812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( i e. ( 0..^ M ) <-> ( i e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) )
347	345, 346	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
348	185, 23	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
349	45	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
350	349	r19.21bi 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) )
351	348, 208, 350	ltled 9744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` ( i + 1 ) ) )
352	310, 347, 351	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` ( i + 1 ) ) )
353	352	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) /\ i e. ( ( l + 1 ) ... ( h - 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` ( i + 1 ) ) )
354	269, 309, 353	monoord 12117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( l + 1 ) <_ h ) -> ( V ` ( l + 1 ) ) <_ ( V ` h ) )
355	252, 261, 354	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( V ` ( l + 1 ) ) <_ ( V ` h ) )
356	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ l e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
357		fzofzp1 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> ( l + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
358	357	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ l e. ( 0..^ M ) ) -> ( l + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
359	356, 358	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ l e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( l + 1 ) ) e. RR )
360	359	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( l + 1 ) ) e. RR )
361	360	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( V ` ( l + 1 ) ) e. RR )
362	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
363		elfzofz 11823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h e. ( 0 ... M ) )
364	363	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) -> h e. ( 0 ... M ) )
365	362, 364	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` h ) e. RR )
366	365	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( V ` h ) e. RR )
367	361, 366	lenltd 9742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> ( ( V ` ( l + 1 ) ) <_ ( V ` h ) <-> -. ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) )
368	355, 367	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> -. ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) )
369	368	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ -. h < ( l + 1 ) ) -> -. ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) )
370	251, 369	condan 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> h < ( l + 1 ) )
371		zleltp1 10925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( h e. ZZ /\ l e. ZZ ) -> ( h <_ l <-> h < ( l + 1 ) ) )
372	248, 250, 371	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( h <_ l <-> h < ( l + 1 ) ) )
373	370, 372	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> h <_ l )
374	248, 250, 373	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( h e. ZZ /\ l e. ZZ /\ h <_ l ) )
375		eluz2 11100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l e. ( ZZ>= ` h ) <-> ( h e. ZZ /\ l e. ZZ /\ h <_ l ) )
376	374, 375	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> l e. ( ZZ>= ` h ) )
377	22	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
378	271	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> 0 e. ZZ )
379	273	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> M e. ZZ )
380		elfzelz 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i e. ( h ... l ) -> i e. ZZ )
381	380	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i e. ZZ )
382	378, 379, 381	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
383	278	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> 0 e. RR )
384	258	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> h e. RR )
385	380	zred 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i e. ( h ... l ) -> i e. RR )
386	385	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i e. RR )
387		elfzole1 11816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> 0 <_ h )
388	387	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> 0 <_ h )
389		elfzle1 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i e. ( h ... l ) -> h <_ i )
390	389	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> h <_ i )
391	383, 384, 386, 388, 390	letrd 9750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> 0 <_ i )
392	391	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> 0 <_ i )
393	385	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i e. RR )
394	329	zred 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> M e. RR )
395	394	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> M e. RR )
396	254	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> l e. RR )
397		elfzle2 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( i e. ( h ... l ) -> i <_ l )
398	397	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i <_ l )
399		elfzolt2 11817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( l e. ( 0..^ M ) -> l < M )
400	399	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> l < M )
401	393, 396, 395, 398, 400	lelttrd 9751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i < M )
402	393, 395, 401	ltled 9744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i <_ M )
403	402	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i <_ M )
404	382, 392, 403	jca32 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 0 <_ i /\ i <_ M ) ) )
405	404, 305	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
406	405	adantlll 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
407	377, 406	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
408	407	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... l ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
409		simp-4l 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> ph )
410	271	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
411		elfzelz 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( i e. ( h ... ( l - 1 ) ) -> i e. ZZ )
412	411	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
413	278	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
414	258	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> h e. RR )
415	412	zred 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. RR )
416	387	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> 0 <_ h )
417		elfzle1 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( i e. ( h ... ( l - 1 ) ) -> h <_ i )
418	417	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> h <_ i )
419	413, 414, 415, 416, 418	letrd 9750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> 0 <_ i )
420	410, 412, 419	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ i e. ZZ /\ 0 <_ i ) )
421	420, 326	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( h e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
422	421	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
423	422	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
424	423	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
425	329	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
426	411	zred 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i e. ( h ... ( l - 1 ) ) -> i e. RR )
427	426	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. RR )
428	254	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> l e. RR )
429	394	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> M e. RR )
430		elfzle2 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( i e. ( h ... ( l - 1 ) ) -> i <_ ( l - 1 ) )
431	430	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i <_ ( l - 1 ) )
432	411	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
433	249	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> l e. ZZ )
434		zltlem1 10927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( i e. ZZ /\ l e. ZZ ) -> ( i < l <-> i <_ ( l - 1 ) ) )
435	432, 433, 434	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> ( i < l <-> i <_ ( l - 1 ) ) )
436	431, 435	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i < l )
437	399	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> l < M )
438	427, 428, 429, 436, 437	lttrd 9754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( l e. ( 0..^ M ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i < M )
439	438	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i < M )
440	439	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i < M )
441	440	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i < M )
442	424, 425, 441	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ /\ i < M ) )
443	442, 346	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
444	409, 443, 351	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) /\ i e. ( h ... ( l - 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` ( i + 1 ) ) )
445	376, 408, 444	monoord 12117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ h e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` h ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` h ) <_ ( V ` l ) )
446	238, 246, 445	chvar 1982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` l ) )
447	228, 237, 446	chvar 1982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` k ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) -> ( V ` k ) <_ ( V ` i ) )
448	119, 121, 227, 447	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch -> ( V ` k ) <_ ( V ` i ) )
449	116, 121	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) )
450	119, 166	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( Q ` ( k + 1 ) ) e. RR )
451	195	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( Q ` i ) <_ ( S ` J ) )
452	191, 160, 155, 451, 178	lelttrd 9751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( Q ` i ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
453	180	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( S ` ( J + 1 ) ) <_ ( Q ` ( k + 1 ) ) )
454	191, 155, 450, 452, 453	ltletrd 9753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( k + 1 ) ) )
455	191, 450, 127, 454	ltadd2dd 9752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( X + ( Q ` i ) ) < ( X + ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
456	190	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( X + ( Q ` i ) ) = ( X + ( ( V ` i ) - X ) ) )
457	201	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> RR C_ CC )
458	116, 188, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( V ` i ) e. RR )
459	457, 458	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( V ` i ) e. CC )
460	200, 459	pncan3d 9945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` i ) - X ) ) = ( V ` i ) )
461	456, 460	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( V ` i ) = ( X + ( Q ` i ) ) )
462	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) )
463		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( V ` i ) = ( V ` ( k + 1 ) ) )
464	463	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) )
465	464	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ i = ( k + 1 ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) )
466	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
467	466, 165	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( k + 1 ) ) e. RR )
468	13	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> X e. RR )
469	467, 468	resubcld 9999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) e. RR )
470	462, 465, 165, 469	fvmptd 5962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( k + 1 ) ) = ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) )
471	116, 118, 470	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( Q ` ( k + 1 ) ) = ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) )
472	471	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( X + ( Q ` ( k + 1 ) ) ) = ( X + ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) ) )
473	119, 467	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch -> ( V ` ( k + 1 ) ) e. RR )
474	473	recnd 9634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch -> ( V ` ( k + 1 ) ) e. CC )
475	200, 474	pncan3d 9945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> ( X + ( ( V ` ( k + 1 ) ) - X ) ) = ( V ` ( k + 1 ) ) )
476	472, 475	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( V ` ( k + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( k + 1 ) ) ) )
477	461, 476	breq12d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> ( ( V ` i ) < ( V ` ( k + 1 ) ) <-> ( X + ( Q ` i ) ) < ( X + ( Q ` ( k + 1 ) ) ) ) )
478	455, 477	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> ( V ` i ) < ( V ` ( k + 1 ) ) )
479		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ l ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( k + 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` k ) )
480		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l = k -> ( l e. ( 0..^ M ) <-> k e. ( 0..^ M ) ) )
481	480	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = k -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) ) )
482		oveq1 6302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( l = k -> ( l + 1 ) = ( k + 1 ) )
483	482	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l = k -> ( V ` ( l + 1 ) ) = ( V ` ( k + 1 ) ) )
484	483	breq2d 4465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = k -> ( ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) <-> ( V ` i ) < ( V ` ( k + 1 ) ) ) )
485	481, 484	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = k -> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( k + 1 ) ) ) ) )
486		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l = k -> ( V ` l ) = ( V ` k ) )
487	486	breq2d 4465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = k -> ( ( V ` i ) <_ ( V ` l ) <-> ( V ` i ) <_ ( V ` k ) ) )
488	485, 487	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = k -> ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ l e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V ` i ) < ( V ` ( l + 1 ) ) ) -> ( V ` i ) <_ ( V ` l ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ k e. ( 0..^ M ) ) /\ ( V `