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Theorem fourierdlem47 32182
Description: For  r large enough, the final expression is less then the given positive  E. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem47.ibl  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  F )  e.  L^1 )
fourierdlem47.iblmul  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( x  e.  I  |->  ( F  x.  -u G ) )  e.  L^1 )
fourierdlem47.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  CC )
fourierdlem47.g  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  CC )  ->  G  e.  CC )
fourierdlem47.absg  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  G )  <_ 
1 )
fourierdlem47.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
fourierdlem47.x  |-  X  =  ( abs `  A
)
fourierdlem47.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fourierdlem47.y  |-  Y  =  ( abs `  C
)
fourierdlem47.z  |-  Z  =  S. I ( abs `  F )  _d x
fourierdlem47.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
fourierdlem47.b  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
fourierdlem47.absb  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  B )  <_  1
)
fourierdlem47.d  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  D  e.  CC )
fourierdlem47.absd  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  D )  <_  1
)
fourierdlem47.m  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem47  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ( abs `  ( ( ( A  x.  -u ( B  /  r ) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r
) ) )  -  S. I ( F  x.  -u ( G  /  r
) )  _d x ) )  <  E
)
Distinct variable groups:    A, m    B, m    C, m    D, m   
m, E    m, F    m, G    m, I, x   
m, M, r, x    ph, r, x
Allowed substitution hints:    ph( m)    A( x, r)    B( x, r)    C( x, r)    D( x, r)    E( x, r)    F( x, r)    G( x, r)    I( r)    X( x, m, r)    Y( x, m, r)    Z( x, m, r)

Proof of Theorem fourierdlem47
StepHypRef Expression
1 fourierdlem47.m . . 3  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  +  1 )
2 fourierdlem47.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( abs `  A
)
3 fourierdlem47.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
43abscld 13370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
52, 4syl5eqel 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
6 fourierdlem47.y . . . . . . . . . . 11  |-  Y  =  ( abs `  C
)
7 fourierdlem47.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
87abscld 13370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
96, 8syl5eqel 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
105, 9readdcld 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  +  Y
)  e.  RR )
11 fourierdlem47.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  S. I ( abs `  F )  _d x
12 fourierdlem47.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  CC )
1312abscld 13370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  F )  e.  RR )
14 fourierdlem47.ibl . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  F )  e.  L^1 )
1512, 14iblabs 22452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( abs `  F
) )  e.  L^1 )
1613, 15itgrecl 22421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. I ( abs `  F )  _d x  e.  RR )
1711, 16syl5eqel 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
1810, 17readdcld 9640 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  RR )
19 fourierdlem47.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
2019rpred 11281 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
2119rpne0d 11286 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
2218, 20, 21redivcld 10393 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  e.  RR )
23 1red 9628 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2422, 23readdcld 9640 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  e.  RR )
2524flcld 11938 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  e.  ZZ )
26 0red 9614 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
27 reflcl 11936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  e.  RR )
2824, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  e.  RR )
29 0lt1 10096 . . . . . . 7  |-  0  <  1
3029a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
313absge0d 13378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
3231, 2syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  X )
337absge0d 13378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  C ) )
3433, 6syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  Y )
355, 9, 32, 34addge0d 10149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  +  Y ) )
3612absge0d 13378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( abs `  F
) )
3715, 13, 36itgge0 22434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  S. I
( abs `  F
)  _d x )
3837, 11syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  Z )
3910, 17, 35, 38addge0d 10149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
4018, 19, 39divge0d 11317 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E ) )
41 flge0nn0 11957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E ) )  -> 
( |_ `  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E ) )  e.  NN0 )
4222, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E ) )  e.  NN0 )
43 nn0addge1 10863 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E ) )  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( 1  +  ( |_ `  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
) ) ) )
4423, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  ( 1  +  ( |_ `  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
) ) ) )
45 1z 10915 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
46 fladdz 11961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E ) )  +  1 ) )
4722, 45, 46sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E ) )  +  1 ) )
4842nn0cnd 10875 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E ) )  e.  CC )
4923recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
5048, 49addcomd 9799 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
) )  +  1 )  =  ( 1  +  ( |_ `  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
) ) ) )
5147, 50eqtr2d 2499 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( |_ `  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E ) ) )  =  ( |_
`  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) ) )
5244, 51breqtrd 4480 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <_  ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) ) )
5326, 23, 28, 30, 52ltletrd 9759 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( |_
`  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) ) )
54 elnnz 10895 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )  e.  NN  <->  ( ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  0  < 
( |_ `  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) ) ) )
5525, 53, 54sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  e.  NN )
5655peano2nnd 10573 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  +  1 )  e.  NN )
571, 56syl5eqel 2549 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
58 elioore 11584 . . . . 5  |-  ( r  e.  ( M (,) +oo )  ->  r  e.  RR )
59 fourierdlem47.iblmul . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( x  e.  I  |->  ( F  x.  -u G ) )  e.  L^1 )
6058, 59sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( F  x.  -u G ) )  e.  L^1 )
6112adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  CC )
62 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ph )
63 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
6458ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  r  e.  RR )
6564recnd 9639 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  r  e.  CC )
66 fourierdlem47.g . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  CC )  ->  G  e.  CC )
6762, 63, 65, 66syl21anc 1227 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  G  e.  CC )
683adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  A  e.  CC )
697adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  C  e.  CC )
70 eqid 2457 . . . 4  |-  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  =  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x )
7119adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  E  e.  RR+ )
7258adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  r  e.  RR )
732eqcomi 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  A )  =  X
746eqcomi 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  C )  =  Y
7573, 74oveq12i 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  =  ( X  +  Y )
7675oveq1i 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  =  ( ( X  +  Y
)  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )
774adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
788adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
7977, 78readdcld 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  e.  RR )
8067negcld 9937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  -u G  e.  CC )
8161, 80mulcld 9633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( F  x.  -u G )  e.  CC )
8281, 60itgcl 22407 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x  e.  CC )
8382abscld 13370 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  e.  RR )
8479, 83readdcld 9640 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  e.  RR )
8576, 84syl5eqelr 2550 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( ( X  +  Y )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  e.  RR )
8620adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  E  e.  RR )
8721adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  E  =/=  0 )
8885, 86, 87redivcld 10393 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  E )  e.  RR )
89 1red 9628 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  1  e.  RR )
9088, 89readdcld 9640 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  E )  +  1 )  e.  RR )
912, 77syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  X  e.  RR )
926, 78syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  Y  e.  RR )
9391, 92readdcld 9640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( X  +  Y )  e.  RR )
9417adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  Z  e.  RR )
9593, 94readdcld 9640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z )  e.  RR )
9695, 86, 87redivcld 10393 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  e.  RR )
9796, 89readdcld 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 )  e.  RR )
9897, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  e.  RR )
9998, 89readdcld 9640 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  +  1 )  e.  RR )
1001, 99syl5eqel 2549 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  M  e.  RR )
10181abscld 13370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  ( F  x.  -u G ) )  e.  RR )
10281, 60iblabs 22452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( abs `  ( F  x.  -u G
) ) )  e.  L^1 )
103101, 102itgrecl 22421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  S. I
( abs `  ( F  x.  -u G ) )  _d x  e.  RR )
10481, 60itgabs 22458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  <_  S. I ( abs `  ( F  x.  -u G ) )  _d x )
10515adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( abs `  F ) )  e.  L^1 )
10661abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  F )  e.  RR )
10761, 80absmuld 13388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  ( F  x.  -u G ) )  =  ( ( abs `  F
)  x.  ( abs `  -u G ) ) )
10880abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  -u G )  e.  RR )
109 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  1  e.  RR )
11061absge0d 13378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( abs `  F
) )
111 recn 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  e.  RR  ->  r  e.  CC )
112111, 66sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR )  ->  G  e.  CC )
113112absnegd 13383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  -u G )  =  ( abs `  G
) )
114 fourierdlem47.absg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  G )  <_ 
1 )
115113, 114eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  -u G )  <_ 
1 )
11662, 63, 64, 115syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  -u G )  <_ 
1 )
117108, 109, 106, 110, 116lemul2ad 10506 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( abs `  F
)  x.  ( abs `  -u G ) )  <_  ( ( abs `  F )  x.  1 ) )
118106recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  F )  e.  CC )
119118mulid1d 9630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( abs `  F
)  x.  1 )  =  ( abs `  F
) )
120117, 119breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( abs `  F
)  x.  ( abs `  -u G ) )  <_  ( abs `  F
) )
121107, 120eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  ( F  x.  -u G ) )  <_ 
( abs `  F
) )
122102, 105, 101, 106, 121itgle 22433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  S. I
( abs `  ( F  x.  -u G ) )  _d x  <_  S. I ( abs `  F
)  _d x )
123122, 11syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  S. I
( abs `  ( F  x.  -u G ) )  _d x  <_  Z )
12483, 103, 94, 104, 123letrd 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  <_  Z
)
12583, 94, 93, 124leadd2dd 10188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( ( X  +  Y )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  <_  (
( X  +  Y
)  +  Z ) )
12685, 95, 71, 125lediv1dd 11335 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  E )  <_  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E ) )
127 flltp1 11940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  e.  RR  ->  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  <  ( ( |_
`  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E ) )  +  1 ) )
12896, 127syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  < 
( ( |_ `  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
) )  +  1 ) )
12996, 45, 46sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E ) )  +  1 ) )
130128, 129breqtrrd 4482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  < 
( |_ `  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) ) )
13188, 96, 98, 126, 130lelttrd 9757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  E )  <  ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) ) )
13288, 98, 89, 131ltadd1dd 10184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  E )  +  1 )  < 
( ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  +  1 ) )
133132, 1syl6breqr 4496 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  E )  +  1 )  < 
M )
134100rexrd 9660 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  M  e.  RR* )
135 pnfxr 11346 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
136135a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  -> +oo  e.  RR* )
137 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  r  e.  ( M (,) +oo )
)
138 ioogtlb 31774 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  ->  M  <  r )
139134, 136, 137, 138syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  M  <  r )
14090, 100, 72, 133, 139lttrd 9760 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  E )  +  1 )  < 
r )
14190, 72, 140ltled 9750 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  E )  +  1 )  <_ 
r )
14272recnd 9639 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  r  e.  CC )
143 fourierdlem47.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
144142, 143syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  B  e.  CC )
145 fourierdlem47.absb . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  B )  <_  1
)
14658, 145sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  B )  <_  1
)
147 fourierdlem47.d . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  D  e.  CC )
148142, 147syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  D  e.  CC )
149 fourierdlem47.absd . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  D )  <_  1
)
15058, 149sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  D )  <_  1
)
15160, 61, 67, 68, 2, 69, 6, 70, 71, 72, 141, 144, 146, 148, 150fourierdlem30 32165 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A  x.  -u ( B  / 
r ) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  r ) )  _d x ) )  <  E )
152151ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( M (,) +oo )
( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  r
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  r ) )  _d x ) )  <  E )
153 oveq1 6303 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
m (,) +oo )  =  ( M (,) +oo ) )
154153raleqdv 3060 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  ( A. r  e.  (
m (,) +oo )
( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  r
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  r ) )  _d x ) )  <  E  <->  A. r  e.  ( M (,) +oo ) ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  r
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  r ) )  _d x ) )  <  E ) )
155154rspcev 3210 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  A. r  e.  ( M (,) +oo ) ( abs `  ( ( ( A  x.  -u ( B  /  r ) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r
) ) )  -  S. I ( F  x.  -u ( G  /  r
) )  _d x ) )  <  E
)  ->  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  r
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  r ) )  _d x ) )  <  E )
15657, 152, 155syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ( abs `  ( ( ( A  x.  -u ( B  /  r ) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r
) ) )  -  S. I ( F  x.  -u ( G  /  r
) )  _d x ) )  <  E
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   |_cfl 11930   abscabs 13170   L^1cibl 22243   S.citg 22244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-clim 13414  df-rlim 13415  df-sum 13612  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-sca 14819  df-vsca 14820  df-ip 14821  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-hom 14827  df-cco 14828  df-rest 14931  df-topn 14932  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-topgen 14952  df-pt 14953  df-prds 14956  df-xrs 15010  df-qtop 15015  df-imas 15016  df-xps 15018  df-mre 15094  df-mrc 15095  df-acs 15097  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-submnd 16185  df-mulg 16278  df-cntz 16573  df-cmn 17018  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-cnfld 18639  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-cn 19946  df-cnp 19947  df-cmp 20105  df-tx 20280  df-hmeo 20473  df-xms 21040  df-ms 21041  df-tms 21042  df-cncf 21599  df-ovol 22093  df-vol 22094  df-mbf 22245  df-itg1 22246  df-itg2 22247  df-ibl 22248  df-itg 22249  df-0p 22294
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  32208
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