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Theorem fourierdlem47 37900
Description: For  r large enough, the final expression is less than the given positive  E. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem47.ibl  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  F )  e.  L^1 )
fourierdlem47.iblmul  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( x  e.  I  |->  ( F  x.  -u G ) )  e.  L^1 )
fourierdlem47.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  CC )
fourierdlem47.g  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  CC )  ->  G  e.  CC )
fourierdlem47.absg  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  G )  <_ 
1 )
fourierdlem47.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
fourierdlem47.x  |-  X  =  ( abs `  A
)
fourierdlem47.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fourierdlem47.y  |-  Y  =  ( abs `  C
)
fourierdlem47.z  |-  Z  =  S. I ( abs `  F )  _d x
fourierdlem47.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
fourierdlem47.b  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
fourierdlem47.absb  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  B )  <_  1
)
fourierdlem47.d  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  D  e.  CC )
fourierdlem47.absd  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  D )  <_  1
)
fourierdlem47.m  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem47  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ( abs `  ( ( ( A  x.  -u ( B  /  r ) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r
) ) )  -  S. I ( F  x.  -u ( G  /  r
) )  _d x ) )  <  E
)
Distinct variable groups:    A, m    B, m    C, m    D, m   
m, E    m, F    m, G    m, I, x   
m, M, r, x    ph, r, x
Allowed substitution hints:    ph( m)    A( x, r)    B( x, r)    C( x, r)    D( x, r)    E( x, r)    F( x, r)    G( x, r)    I( r)    X( x, m, r)    Y( x, m, r)    Z( x, m, r)

Proof of Theorem fourierdlem47
StepHypRef Expression
1 fourierdlem47.m . . 3  |-  M  =  ( ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  +  1 )
2 fourierdlem47.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( abs `  A
)
3 fourierdlem47.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
43abscld 13441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
52, 4syl5eqel 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
6 fourierdlem47.y . . . . . . . . . . 11  |-  Y  =  ( abs `  C
)
7 fourierdlem47.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
87abscld 13441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
96, 8syl5eqel 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
105, 9readdcld 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  +  Y
)  e.  RR )
11 fourierdlem47.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  S. I ( abs `  F )  _d x
12 fourierdlem47.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  CC )
1312abscld 13441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  F )  e.  RR )
14 fourierdlem47.ibl . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  F )  e.  L^1 )
1512, 14iblabs 22728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( abs `  F
) )  e.  L^1 )
1613, 15itgrecl 22697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. I ( abs `  F )  _d x  e.  RR )
1711, 16syl5eqel 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
1810, 17readdcld 9621 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  RR )
19 fourierdlem47.e . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
2019rpred 11292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
2119rpne0d 11297 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
2218, 20, 21redivcld 10386 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  e.  RR )
23 1red 9609 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2422, 23readdcld 9621 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  e.  RR )
2524flcld 11984 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  e.  ZZ )
26 0red 9595 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
27 reflcl 11982 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  e.  RR )
2824, 27syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  e.  RR )
29 0lt1 10087 . . . . . . 7  |-  0  <  1
3029a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
313absge0d 13449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
3231, 2syl6breqr 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  X )
337absge0d 13449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  C ) )
3433, 6syl6breqr 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  Y )
355, 9, 32, 34addge0d 10140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  +  Y ) )
3612absge0d 13449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( abs `  F
) )
3715, 13, 36itgge0 22710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  S. I
( abs `  F
)  _d x )
3837, 11syl6breqr 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  Z )
3910, 17, 35, 38addge0d 10140 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
4018, 19, 39divge0d 11329 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E ) )
41 flge0nn0 12004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E ) )  -> 
( |_ `  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E ) )  e.  NN0 )
4222, 40, 41syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E ) )  e.  NN0 )
43 nn0addge1 10867 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E ) )  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( 1  +  ( |_ `  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
) ) ) )
4423, 42, 43syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  ( 1  +  ( |_ `  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
) ) ) )
45 1z 10918 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
46 fladdz 12008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E ) )  +  1 ) )
4722, 45, 46sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E ) )  +  1 ) )
4842nn0cnd 10878 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E ) )  e.  CC )
4923recnd 9620 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
5048, 49addcomd 9786 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
) )  +  1 )  =  ( 1  +  ( |_ `  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
) ) ) )
5147, 50eqtr2d 2463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( |_ `  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E ) ) )  =  ( |_
`  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) ) )
5244, 51breqtrd 4391 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <_  ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) ) )
5326, 23, 28, 30, 52ltletrd 9746 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( |_
`  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) ) )
54 elnnz 10898 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )  e.  NN  <->  ( ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  0  < 
( |_ `  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) ) ) )
5525, 53, 54sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  e.  NN )
5655peano2nnd 10577 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  +  1 )  e.  NN )
571, 56syl5eqel 2510 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
58 elioore 11617 . . . . 5  |-  ( r  e.  ( M (,) +oo )  ->  r  e.  RR )
59 fourierdlem47.iblmul . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( x  e.  I  |->  ( F  x.  -u G ) )  e.  L^1 )
6058, 59sylan2 476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( F  x.  -u G ) )  e.  L^1 )
6112adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  CC )
62 simpll 758 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ph )
63 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
6458ad2antlr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  r  e.  RR )
6564recnd 9620 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  r  e.  CC )
66 fourierdlem47.g . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  CC )  ->  G  e.  CC )
6762, 63, 65, 66syl21anc 1263 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  G  e.  CC )
683adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  A  e.  CC )
697adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  C  e.  CC )
70 eqid 2428 . . . 4  |-  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  =  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x )
7119adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  E  e.  RR+ )
7258adantl 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  r  e.  RR )
732eqcomi 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  A )  =  X
746eqcomi 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  C )  =  Y
7573, 74oveq12i 6261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  =  ( X  +  Y )
7675oveq1i 6259 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  =  ( ( X  +  Y
)  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )
774adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
788adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
7977, 78readdcld 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  e.  RR )
8067negcld 9924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  -u G  e.  CC )
8161, 80mulcld 9614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( F  x.  -u G )  e.  CC )
8281, 60itgcl 22683 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x  e.  CC )
8382abscld 13441 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  e.  RR )
8479, 83readdcld 9621 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  e.  RR )
8576, 84syl5eqelr 2511 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( ( X  +  Y )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  e.  RR )
8620adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  E  e.  RR )
8721adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  E  =/=  0 )
8885, 86, 87redivcld 10386 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  E )  e.  RR )
89 1red 9609 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  1  e.  RR )
9088, 89readdcld 9621 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  E )  +  1 )  e.  RR )
912, 77syl5eqel 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  X  e.  RR )
926, 78syl5eqel 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  Y  e.  RR )
9391, 92readdcld 9621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( X  +  Y )  e.  RR )
9417adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  Z  e.  RR )
9593, 94readdcld 9621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z )  e.  RR )
9695, 86, 87redivcld 10386 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  e.  RR )
9796, 89readdcld 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 )  e.  RR )
9897, 27syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  e.  RR )
9998, 89readdcld 9621 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  +  1 )  e.  RR )
1001, 99syl5eqel 2510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  M  e.  RR )
10181abscld 13441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  ( F  x.  -u G ) )  e.  RR )
10281, 60iblabs 22728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( abs `  ( F  x.  -u G
) ) )  e.  L^1 )
103101, 102itgrecl 22697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  S. I
( abs `  ( F  x.  -u G ) )  _d x  e.  RR )
10481, 60itgabs 22734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  <_  S. I ( abs `  ( F  x.  -u G ) )  _d x )
10515adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( x  e.  I  |->  ( abs `  F ) )  e.  L^1 )
10661abscld 13441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  F )  e.  RR )
10761, 80absmuld 13459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  ( F  x.  -u G ) )  =  ( ( abs `  F
)  x.  ( abs `  -u G ) ) )
10880abscld 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  -u G )  e.  RR )
109 1red 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  1  e.  RR )
11061absge0d 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( abs `  F
) )
111 recn 9580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  e.  RR  ->  r  e.  CC )
112111, 66sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR )  ->  G  e.  CC )
113112absnegd 13454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  -u G )  =  ( abs `  G
) )
114 fourierdlem47.absg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  G )  <_ 
1 )
115113, 114eqbrtrd 4387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  -u G )  <_ 
1 )
11662, 63, 64, 115syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  -u G )  <_ 
1 )
117108, 109, 106, 110, 116lemul2ad 10498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( abs `  F
)  x.  ( abs `  -u G ) )  <_  ( ( abs `  F )  x.  1 ) )
118106recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  F )  e.  CC )
119118mulid1d 9611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( abs `  F
)  x.  1 )  =  ( abs `  F
) )
120117, 119breqtrd 4391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( abs `  F
)  x.  ( abs `  -u G ) )  <_  ( abs `  F
) )
121107, 120eqbrtrd 4387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( abs `  ( F  x.  -u G ) )  <_ 
( abs `  F
) )
122102, 105, 101, 106, 121itgle 22709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  S. I
( abs `  ( F  x.  -u G ) )  _d x  <_  S. I ( abs `  F
)  _d x )
123122, 11syl6breqr 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  S. I
( abs `  ( F  x.  -u G ) )  _d x  <_  Z )
12483, 103, 94, 104, 123letrd 9743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  <_  Z
)
12583, 94, 93, 124leadd2dd 10179 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( ( X  +  Y )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  <_  (
( X  +  Y
)  +  Z ) )
12685, 95, 71, 125lediv1dd 11347 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  E )  <_  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E ) )
127 flltp1 11986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  e.  RR  ->  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  <  ( ( |_
`  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E ) )  +  1 ) )
12896, 127syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  < 
( ( |_ `  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
) )  +  1 ) )
12996, 45, 46sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E ) )  +  1 ) )
130128, 129breqtrrd 4393 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  < 
( |_ `  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) ) )
13188, 96, 98, 126, 130lelttrd 9744 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  E )  <  ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) ) )
13288, 98, 89, 131ltadd1dd 10175 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  E )  +  1 )  < 
( ( |_ `  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  +  1 ) )
133132, 1syl6breqr 4407 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  E )  +  1 )  < 
M )
134100rexrd 9641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  M  e.  RR* )
135 pnfxr 11363 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
136135a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  -> +oo  e.  RR* )
137 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  r  e.  ( M (,) +oo )
)
138 ioogtlb 37484 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  r  e.  ( M (,) +oo ) )  ->  M  <  r )
139134, 136, 137, 138syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  M  <  r )
14090, 100, 72, 133, 139lttrd 9747 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  E )  +  1 )  < 
r )
14190, 72, 140ltled 9734 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  E )  +  1 )  <_ 
r )
14272recnd 9620 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  r  e.  CC )
143 fourierdlem47.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
144142, 143syldan 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  B  e.  CC )
145 fourierdlem47.absb . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  B )  <_  1
)
14658, 145sylan2 476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  B )  <_  1
)
147 fourierdlem47.d . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  D  e.  CC )
148142, 147syldan 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  D  e.  CC )
149 fourierdlem47.absd . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( abs `  D )  <_  1
)
15058, 149sylan2 476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  D )  <_  1
)
15160, 61, 67, 68, 2, 69, 6, 70, 71, 72, 141, 144, 146, 148, 150fourierdlem30 37882 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( M (,) +oo )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A  x.  -u ( B  / 
r ) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  r ) )  _d x ) )  <  E )
152151ralrimiva 2779 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( M (,) +oo )
( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  r
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  r ) )  _d x ) )  <  E )
153 oveq1 6256 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
m (,) +oo )  =  ( M (,) +oo ) )
154153raleqdv 2970 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  ( A. r  e.  (
m (,) +oo )
( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  r
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  r ) )  _d x ) )  <  E  <->  A. r  e.  ( M (,) +oo ) ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  r
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  r ) )  _d x ) )  <  E ) )
155154rspcev 3125 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  A. r  e.  ( M (,) +oo ) ( abs `  ( ( ( A  x.  -u ( B  /  r ) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r
) ) )  -  S. I ( F  x.  -u ( G  /  r
) )  _d x ) )  <  E
)  ->  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  r
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  r ) )  _d x ) )  <  E )
15657, 152, 155syl2anc 665 1  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ( abs `  ( ( ( A  x.  -u ( B  /  r ) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  r
) ) )  -  S. I ( F  x.  -u ( G  /  r
) )  _d x ) )  <  E
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495   +oocpnf 9623   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9811   -ucneg 9812    / cdiv 10220   NNcn 10560   NN0cn0 10820   ZZcz 10888   RR+crp 11253   (,)cioo 11586   |_cfl 11976   abscabs 13241   L^1cibl 22517   S.citg 22518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cc 8816  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-ofr 6490  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-acn 8328  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-cmp 20344  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-ovol 22358  df-vol 22360  df-mbf 22519  df-itg1 22520  df-itg2 22521  df-ibl 22522  df-itg 22523  df-0p 22570
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  37926
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