Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem47 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem47 37900
 Description: For large enough, the final expression is less than the given positive . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem47.ibl
fourierdlem47.iblmul
fourierdlem47.f
fourierdlem47.g
fourierdlem47.absg
fourierdlem47.a
fourierdlem47.x
fourierdlem47.c
fourierdlem47.y
fourierdlem47.z
fourierdlem47.e
fourierdlem47.b
fourierdlem47.absb
fourierdlem47.d
fourierdlem47.absd
fourierdlem47.m
Assertion
Ref Expression
fourierdlem47
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   ()   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem fourierdlem47
StepHypRef Expression
1 fourierdlem47.m . . 3
2 fourierdlem47.x . . . . . . . . . . 11
3 fourierdlem47.a . . . . . . . . . . . 12
43abscld 13441 . . . . . . . . . . 11
52, 4syl5eqel 2510 . . . . . . . . . 10
6 fourierdlem47.y . . . . . . . . . . 11
7 fourierdlem47.c . . . . . . . . . . . 12
87abscld 13441 . . . . . . . . . . 11
96, 8syl5eqel 2510 . . . . . . . . . 10
105, 9readdcld 9621 . . . . . . . . 9
11 fourierdlem47.z . . . . . . . . . 10
12 fourierdlem47.f . . . . . . . . . . . 12
1312abscld 13441 . . . . . . . . . . 11
14 fourierdlem47.ibl . . . . . . . . . . . 12
1512, 14iblabs 22728 . . . . . . . . . . 11
1613, 15itgrecl 22697 . . . . . . . . . 10
1711, 16syl5eqel 2510 . . . . . . . . 9
1810, 17readdcld 9621 . . . . . . . 8
19 fourierdlem47.e . . . . . . . . 9
2019rpred 11292 . . . . . . . 8
2119rpne0d 11297 . . . . . . . 8
2218, 20, 21redivcld 10386 . . . . . . 7
23 1red 9609 . . . . . . 7
2422, 23readdcld 9621 . . . . . 6
2524flcld 11984 . . . . 5
26 0red 9595 . . . . . 6
27 reflcl 11982 . . . . . . 7
2824, 27syl 17 . . . . . 6
29 0lt1 10087 . . . . . . 7
3029a1i 11 . . . . . 6
313absge0d 13449 . . . . . . . . . . . . 13
3231, 2syl6breqr 4407 . . . . . . . . . . . 12
337absge0d 13449 . . . . . . . . . . . . 13
3433, 6syl6breqr 4407 . . . . . . . . . . . 12
355, 9, 32, 34addge0d 10140 . . . . . . . . . . 11
3612absge0d 13449 . . . . . . . . . . . . 13
3715, 13, 36itgge0 22710 . . . . . . . . . . . 12
3837, 11syl6breqr 4407 . . . . . . . . . . 11
3910, 17, 35, 38addge0d 10140 . . . . . . . . . 10
4018, 19, 39divge0d 11329 . . . . . . . . 9
41 flge0nn0 12004 . . . . . . . . 9
4222, 40, 41syl2anc 665 . . . . . . . 8
43 nn0addge1 10867 . . . . . . . 8
4423, 42, 43syl2anc 665 . . . . . . 7
45 1z 10918 . . . . . . . . 9
46 fladdz 12008 . . . . . . . . 9
4722, 45, 46sylancl 666 . . . . . . . 8
4842nn0cnd 10878 . . . . . . . . 9
4923recnd 9620 . . . . . . . . 9
5048, 49addcomd 9786 . . . . . . . 8
5147, 50eqtr2d 2463 . . . . . . 7
5244, 51breqtrd 4391 . . . . . 6
5326, 23, 28, 30, 52ltletrd 9746 . . . . 5
54 elnnz 10898 . . . . 5
5525, 53, 54sylanbrc 668 . . . 4
5655peano2nnd 10577 . . 3
571, 56syl5eqel 2510 . 2
58 elioore 11617 . . . . 5
59 fourierdlem47.iblmul . . . . 5
6058, 59sylan2 476 . . . 4
6112adantlr 719 . . . 4
62 simpll 758 . . . . 5
63 simpr 462 . . . . 5
6458ad2antlr 731 . . . . . 6
6564recnd 9620 . . . . 5
66 fourierdlem47.g . . . . 5
6762, 63, 65, 66syl21anc 1263 . . . 4
683adantr 466 . . . 4
697adantr 466 . . . 4
70 eqid 2428 . . . 4
7119adantr 466 . . . 4
7258adantl 467 . . . 4
732eqcomi 2437 . . . . . . . . . 10
746eqcomi 2437 . . . . . . . . . 10
7573, 74oveq12i 6261 . . . . . . . . 9
7675oveq1i 6259 . . . . . . . 8
774adantr 466 . . . . . . . . . 10
788adantr 466 . . . . . . . . . 10
7977, 78readdcld 9621 . . . . . . . . 9
8067negcld 9924 . . . . . . . . . . . 12
8161, 80mulcld 9614 . . . . . . . . . . 11
8281, 60itgcl 22683 . . . . . . . . . 10
8382abscld 13441 . . . . . . . . 9
8479, 83readdcld 9621 . . . . . . . 8
8576, 84syl5eqelr 2511 . . . . . . 7
8620adantr 466 . . . . . . 7
8721adantr 466 . . . . . . 7
8885, 86, 87redivcld 10386 . . . . . 6
89 1red 9609 . . . . . 6
9088, 89readdcld 9621 . . . . 5
912, 77syl5eqel 2510 . . . . . . . . . . . . 13
926, 78syl5eqel 2510 . . . . . . . . . . . . 13
9391, 92readdcld 9621 . . . . . . . . . . . 12
9417adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
9593, 94readdcld 9621 . . . . . . . . . . 11
9695, 86, 87redivcld 10386 . . . . . . . . . 10
9796, 89readdcld 9621 . . . . . . . . 9
9897, 27syl 17 . . . . . . . 8
9998, 89readdcld 9621 . . . . . . 7
1001, 99syl5eqel 2510 . . . . . 6
10181abscld 13441 . . . . . . . . . . . . 13
10281, 60iblabs 22728 . . . . . . . . . . . . 13
103101, 102itgrecl 22697 . . . . . . . . . . . 12
10481, 60itgabs 22734 . . . . . . . . . . . 12
10515adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14
10661abscld 13441 . . . . . . . . . . . . . 14
10761, 80absmuld 13459 . . . . . . . . . . . . . . 15
10880abscld 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109 1red 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11061absge0d 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111 recn 9580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
112111, 66sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113112absnegd 13454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114 fourierdlem47.absg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115113, 114eqbrtrd 4387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11662, 63, 64, 115syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117108, 109, 106, 110, 116lemul2ad 10498 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118106recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119118mulid1d 9611 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120117, 119breqtrd 4391 . . . . . . . . . . . . . . 15
121107, 120eqbrtrd 4387 . . . . . . . . . . . . . 14
122102, 105, 101, 106, 121itgle 22709 . . . . . . . . . . . . 13
123122, 11syl6breqr 4407 . . . . . . . . . . . 12
12483, 103, 94, 104, 123letrd 9743 . . . . . . . . . . 11
12583, 94, 93, 124leadd2dd 10179 . . . . . . . . . 10
12685, 95, 71, 125lediv1dd 11347 . . . . . . . . 9
127 flltp1 11986 . . . . . . . . . . 11
12896, 127syl 17 . . . . . . . . . 10
12996, 45, 46sylancl 666 . . . . . . . . . 10
130128, 129breqtrrd 4393 . . . . . . . . 9
13188, 96, 98, 126, 130lelttrd 9744 . . . . . . . 8
13288, 98, 89, 131ltadd1dd 10175 . . . . . . 7
133132, 1syl6breqr 4407 . . . . . 6
134100rexrd 9641 . . . . . . 7
135 pnfxr 11363 . . . . . . . 8
136135a1i 11 . . . . . . 7
137 simpr 462 . . . . . . 7
138 ioogtlb 37484 . . . . . . 7
139134, 136, 137, 138syl3anc 1264 . . . . . 6
14090, 100, 72, 133, 139lttrd 9747 . . . . 5
14190, 72, 140ltled 9734 . . . 4
14272recnd 9620 . . . . 5
143 fourierdlem47.b . . . . 5
144142, 143syldan 472 . . . 4
145 fourierdlem47.absb . . . . 5
14658, 145sylan2 476 . . . 4
147 fourierdlem47.d . . . . 5
148142, 147syldan 472 . . . 4
149 fourierdlem47.absd . . . . 5
15058, 149sylan2 476 . . . 4
15160, 61, 67, 68, 2, 69, 6, 70, 71, 72, 141, 144, 146, 148, 150fourierdlem30 37882 . . 3
152151ralrimiva 2779 . 2
153 oveq1 6256 . . . 4
154153raleqdv 2970 . . 3
155154rspcev 3125 . 2
15657, 152, 155syl2anc 665 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wne 2599  wral 2714  wrex 2715   class class class wbr 4366   cmpt 4425  cfv 5544  (class class class)co 6249  cc 9488  cr 9489  cc0 9490  c1 9491   caddc 9493   cmul 9495   cpnf 9623  cxr 9625   clt 9626   cle 9627   cmin 9811  cneg 9812   cdiv 10220  cn 10560  cn0 10820  cz 10888  crp 11253  cioo 11586  cfl 11976  cabs 13241  cibl 22517  citg 22518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cc 8816  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-ofr 6490  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-acn 8328  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-cmp 20344  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-ovol 22358  df-vol 22360  df-mbf 22519  df-itg1 22520  df-itg2 22521  df-ibl 22522  df-itg 22523  df-0p 22570 This theorem is referenced by:  fourierdlem73  37926
 Copyright terms: Public domain W3C validator