Theorem fourierdlem46 31776

Description: The function F has a limit at the bounds of every interval induced by the partition Q. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem46.cn	|- ( ph -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
fourierdlem46.rlim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem46.llim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem46.qiso	|- ( ph -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
fourierdlem46.qf	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
fourierdlem46.i	|- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
fourierdlem46.10	|- ( ph -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
fourierdlem46.qiss	|- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi (,) pi ) )
fourierdlem46.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem46.h	|- H = ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
fourierdlem46.ranq	|- ( ph -> ran Q = H )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem46	|- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) /\ ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, I   x, Q   ph, x

Allowed substitution hints:   C( x)   H( x)   M( x)

Proof of Theorem fourierdlem46

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem46.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
2		pire 22718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. RR
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> pi e. RR )
4	3	renegcld 9998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. RR )
5		fourierdlem46.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR )
6	4, 3, 5	3jca 1176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ C e. RR ) )
7		tpssi 4199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ C e. RR ) -> { -u pi , pi , C } C_ RR )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { -u pi , pi , C } C_ RR )
9	4, 3	iccssred 31426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
10	9	ssdifssd 3647	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) C_ RR )
11	8, 10	unssd 3685	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) ) C_ RR )
12	1, 11	syl5eqss 3553	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H C_ RR )
13		fourierdlem46.qf	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
14		fourierdlem46.i	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
15		elfzofz 11823	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> I e. ( 0 ... M ) )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. ( 0 ... M ) )
17	13, 16	ffvelrnd 6033	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. H )
18	12, 17	sseldd 3510	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR )
19	18	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. RR )
20		fzofzp1 11889	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
21	14, 20	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
22	13, 21	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. H )
23	12, 22	sseldd 3510	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
24	23	rexrd 9655	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
25	24	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
26		fourierdlem46.10	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
27	26	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
28		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` I ) e. dom F /\ x = ( Q ` I ) ) -> x = ( Q ` I ) )
29		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` I ) e. dom F /\ x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) e. dom F )
30	28, 29	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Q ` I ) e. dom F /\ x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
31	30	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
32	31	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
33		ssun2 3673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) C_ ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
34	33, 1	sseqtr4i 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) C_ H
35		fourierdlem46.qiss	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi (,) pi ) )
36		ioossicc 11622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -u pi (,) pi ) C_ ( -u pi [,] pi )
37	35, 36	syl6ss 3521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
39		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
40	38, 39	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( -u pi [,] pi ) )
41	40	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ( -u pi [,] pi ) )
42		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> -. x e. dom F )
43	41, 42	eldifd 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
44	34, 43	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. H )
45		fourierdlem46.ranq	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ran Q = H )
46	45	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H = ran Q )
47	46	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> H = ran Q )
48	44, 47	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ran Q )
49		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> x e. ran Q )
50		ffn 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> H -> Q Fn ( 0 ... M ) )
51	13, 50	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
52	51	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> Q Fn ( 0 ... M ) )
53		fvelrnb 5921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( x e. ran Q <-> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x ) )
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> ( x e. ran Q <-> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x ) )
55	49, 54	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
56	55	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) -> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
57		elfzelz 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
58	57	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> j e. ZZ )
59		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ph )
60		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> j e. ( 0 ... M ) )
61		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ( Q ` j ) = x )
62		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
63	61, 62	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
64	63	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
65		elfzoelz 11809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> I e. ZZ )
66	14, 65	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> I e. ZZ )
67	66	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> I e. ZZ )
68	18	rexrd 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR* )
69	68	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
70	24	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
71		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
72		ioogtlb 31415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) )
73	69, 70, 71, 72	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) )
74		fourierdlem46.qiso	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
75	74	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
76	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> I e. ( 0 ... M ) )
77		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
78		isorel 6221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( I e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( I < j <-> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) ) )
79	75, 76, 77, 78	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( I < j <-> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) ) )
80	73, 79	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> I < j )
81		iooltub 31435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
82	69, 70, 71, 81	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
83	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
84		isorel 6221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( j e. ( 0 ... M ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( j < ( I + 1 ) <-> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
85	75, 77, 83, 84	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( j < ( I + 1 ) <-> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
86	82, 85	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> j < ( I + 1 ) )
87		btwnnz 10949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( I e. ZZ /\ I < j /\ j < ( I + 1 ) ) -> -. j e. ZZ )
88	67, 80, 86, 87	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> -. j e. ZZ )
89	59, 60, 64, 88	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> -. j e. ZZ )
90	89	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> -. j e. ZZ )
91	58, 90	pm2.65da 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> -. ( Q ` j ) = x )
92	91	ralrimiva 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) -> A. j e. ( 0 ... M ) -. ( Q ` j ) = x )
93		ralnex 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. j e. ( 0 ... M ) -. ( Q ` j ) = x <-> -. E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
94	92, 93	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) -> -. E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
95	56, 94	pm2.65da 576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> -. x e. ran Q )
96	95	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> -. x e. ran Q )
97	48, 96	condan 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
98	97	ralrimiva 2881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
99		dfss3 3499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
100	98, 99	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
101	100	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
102	68	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
103	24	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
104		icossre 11617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* ) -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
105	18, 24, 104	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
106	105	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
107		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
108	106, 107	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
109	108	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. RR )
110	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) e. RR )
111	68	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
112	24	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
113		icogelb 31429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) <_ x )
114	111, 112, 107, 113	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) <_ x )
115	114	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) <_ x )
116		neqne 31339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = ( Q ` I ) -> x =/= ( Q ` I ) )
117	116	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x =/= ( Q ` I ) )
118	110, 109, 115, 117	leneltd 31394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) < x )
119		icoltub 31432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
120	111, 112, 107, 119	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
121	120	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
122	102, 103, 109, 118, 121	eliood 31418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
123	101, 122	sseldd 3510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
124	123	adantllr 718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
125	32, 124	pm2.61dan 789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
126	125	ralrimiva 2881	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> A. x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
127		dfss3 3499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
128	126, 127	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
129		fourierdlem46.cn	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
130	129	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
131		rescncf 21269	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F -> ( F e. ( dom F -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
132	128, 130, 131	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
133	19, 25, 27, 132	icocncflimc 31551	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
134	18	leidd 10131	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` I ) <_ ( Q ` I ) )
135	68, 24, 68, 134, 26	elicod 31438	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
136		fvres 5886	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` I ) e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) = ( F ` ( Q ` I ) ) )
137	135, 136	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) = ( F ` ( Q ` I ) ) )
138	137	eqcomd 2475	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( Q ` I ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) )
139	138	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F ` ( Q ` I ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) )
140		ioossico 11625	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) )
141	140	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
142	141	resabs1d 5309	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
143	142	eqcomd 2475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
144	143	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
145	139, 144	eleq12d 2549	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F ` ( Q ` I ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) ) )
146	133, 145	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F ` ( Q ` I ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
147		ne0i 3796	. . . 4 |- ( ( F ` ( Q ` I ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
148	146, 147	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
149		pnfxr 11333	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
150	149	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> +oo e. RR* )
151	23	ltpnfd 31380	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) < +oo )
152	24, 150, 151	xrltled 31356	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ +oo )
153		iooss2 11577	. . . . . . . . 9 |- ( ( +oo e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ +oo ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,) +oo ) )
154	150, 152, 153	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,) +oo ) )
155		resabs1 5308	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,) +oo ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
156	154, 155	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
157	156	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
158	157	eqcomd 2475	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
159	158	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
160		limcresi 22157	. . . . . 6 |- ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) C_ ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) )
161	160	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) C_ ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
162	18	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. RR )
163		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ph )
164	2	renegcli 9892	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR
165	164	rexri 9658	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. RR*
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi e. RR* )
167	2	rexri 9658	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR*
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> pi e. RR* )
169	166, 168, 68, 24, 26	ioossioobi 31444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi (,) pi ) <-> ( -u pi <_ ( Q ` I ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi ) ) )
170	35, 169	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi <_ ( Q ` I ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi ) )
171	170	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ ( Q ` I ) )
172	170	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi )
173	18, 23, 3, 26, 172	ltletrd 9753	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` I ) < pi )
174	166, 168, 68, 171, 173	elicod 31438	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. ( -u pi [,) pi ) )
175	163, 174	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. ( -u pi [,) pi ) )
176		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> -. ( Q ` I ) e. dom F )
177	175, 176	eldifd 3492	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) )
178	163, 177	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) )
179		eleq1 2539	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) <-> ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) )
180	179	anbi2d 703	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) <-> ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) ) )
181		oveq1 6302	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( x (,) +oo ) = ( ( Q ` I ) (,) +oo ) )
182	181	reseq2d 5279	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( F |` ( x (,) +oo ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) )
183		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` I ) -> x = ( Q ` I ) )
184	182, 183	oveq12d 6313	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
185	184	neeq1d 2744	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) )
186	180, 185	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) ) )
187		fourierdlem46.rlim	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
188	186, 187	vtoclg 3176	. . . . . 6 |- ( ( Q ` I ) e. RR -> ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) )
189	162, 178, 188	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
190		ssn0 3823	. . . . 5 |- ( ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) C_ ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) /\ ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
191	161, 189, 190	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
192	159, 191	eqnetrd 2760	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
193	148, 192	pm2.61dan 789	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
194	68	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
195	23	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
196	26	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
197		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
198		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F )
199	197, 198	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
200	199	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
201	200	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
202	100	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
203	68	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
204	24	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
205	68	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
206	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
207		iocssre 11616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
208	205, 206, 207	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
209		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
210	208, 209	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
211	210	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. RR )
212	24	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
213		iocgtlb 31422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < x )
214	205, 212, 209, 213	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < x )
215	214	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` I ) < x )
216	206	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
217		iocleub 31423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
218	205, 212, 209, 217	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
219	218	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
220		neqne 31339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> x =/= ( Q ` ( I + 1 ) ) )
221	220	necomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) =/= x )
222	221	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) =/= x )
223	211, 216, 219, 222	leneltd 31394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
224	203, 204, 211, 215, 223	eliood 31418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
225	202, 224	sseldd 3510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
226	225	adantllr 718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
227	201, 226	pm2.61dan 789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
228	227	ralrimiva 2881	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> A. x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
229		dfss3 3499	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
230	228, 229	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
231	129	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
232		rescncf 21269	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F -> ( F e. ( dom F -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
233	230, 231, 232	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
234	194, 195, 196, 233	ioccncflimc 31547	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
235	23	leidd 10131	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
236	68, 24, 24, 26, 235	eliocd 31430	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
237		fvres 5886	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
238	236, 237	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
239	238	eqcomd 2475	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
240		ioossioc 31411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) )
241		resabs1 5308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
242	240, 241	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
243	242	eqcomi 2480	. . . . . . . . 9 |- ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
244	243	oveq1i 6305	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) )
245	244	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
246	239, 245	eleq12d 2549	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
247	246	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
248	234, 247	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
249		ne0i 3796	. . . 4 |- ( ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
250	248, 249	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
251		mnfxr 11335	. . . . . . . . . 10 |- -oo e. RR*
252	251	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -oo e. RR* )
253	18	mnfltd 31391	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -oo < ( Q ` I ) )
254	252, 68, 253	xrltled 31356	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -oo <_ ( Q ` I ) )
255		iooss1 11576	. . . . . . . . 9 |- ( ( -oo e. RR* /\ -oo <_ ( Q ` I ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
256	252, 254, 255	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
257	256	resabs1d 5309	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
258	257	eqcomd 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
259	258	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
260	259	oveq1d 6310	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
261		limcresi 22157	. . . . . . 7 |- ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) )
262	261	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
263	23	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
264		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ph )
265	165	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> -u pi e. RR* )
266	167	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> pi e. RR* )
267	264, 24	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
268	4, 18, 23, 171, 26	lelttrd 9751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u pi < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
269	268	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> -u pi < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
270	264, 172	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi )
271	265, 266, 267, 269, 270	eliocd 31430	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( -u pi (,] pi ) )
272		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F )
273	271, 272	eldifd 3492	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) )
274	264, 273	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) )
275		eleq1 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) <-> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) )
276	275	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) <-> ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) ) )
277		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( -oo (,) x ) = ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
278	277	reseq2d 5279	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( F |` ( -oo (,) x ) ) = ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
279		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> x = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
280	278, 279	oveq12d 6313	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
281	280	neeq1d 2744	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) <-> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )
282	276, 281	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) ) )
283		fourierdlem46.llim	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
284	282, 283	vtoclg 3176	. . . . . . 7 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR -> ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )
285	263, 274, 284	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
286	262, 285	jca 532	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) /\ ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )
287		ssn0 3823	. . . . 5 |- ( ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) /\ ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
288	286, 287	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
289	260, 288	eqnetrd 2760	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
290	250, 289	pm2.61dan 789	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
291	193, 290	jca 532	1 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) /\ ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   \ cdif 3478   u. cun 3479   C_ wss 3481   (/)c0 3790   {ctp 4037   class class class wbr 4453   dom cdm 5005   ran crn 5006   |` cres 5007   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   Isom wiso 5595  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   + caddc 9507   +oocpnf 9637   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639   < clt 9640   <_ cle 9641   -ucneg 9818   ZZcz 10876   (,)cioo 11541   (,]cioc 11542   [,)cico 11543   [,]cicc 11544   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804   picpi 13681   -cn->ccncf 21248   lim CC climc 22134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139

This theorem is referenced by:  fourierdlem102  31832  fourierdlem114  31844