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Theorem fourierdlem46 31889
Description: The function  F has a limit at the bounds of every interval induced by the partition  Q. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem46.cn  |-  ( ph  ->  F  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) )
fourierdlem46.rlim  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =/=  (/) )
fourierdlem46.llim  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =/=  (/) )
fourierdlem46.qiso  |-  ( ph  ->  Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H ) )
fourierdlem46.qf  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> H )
fourierdlem46.i  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ M ) )
fourierdlem46.10  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
fourierdlem46.qiss  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi (,) pi ) )
fourierdlem46.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem46.h  |-  H  =  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )
fourierdlem46.ranq  |-  ( ph  ->  ran  Q  =  H )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem46  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/)  /\  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, I    x, Q    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    H( x)    M( x)

Proof of Theorem fourierdlem46
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem46.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )
2 pire 22829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
43renegcld 9993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
5 fourierdlem46.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 tpssi 4181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  { -u pi ,  pi ,  C }  C_  RR )
74, 3, 5, 6syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { -u pi ,  pi ,  C }  C_  RR )
84, 3iccssred 31493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
98ssdifssd 3627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F )  C_  RR )
107, 9unssd 3665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )  C_  RR )
111, 10syl5eqss 3533 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  C_  RR )
12 fourierdlem46.qf . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> H )
13 fourierdlem46.i . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ M ) )
14 elfzofz 11825 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  I  e.  ( 0 ... M
) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0 ... M ) )
1612, 15ffvelrnd 6017 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  H )
1711, 16sseldd 3490 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  e.  RR )
19 fzofzp1 11891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
2013, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
2112, 20ffvelrnd 6017 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  H )
2211, 21sseldd 3490 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
2322rexrd 9646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
2423adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
25 fourierdlem46.10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
2625adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  I )
)  ->  x  =  ( Q `  I ) )
28 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  I )
)  ->  ( Q `  I )  e.  dom  F )
2927, 28eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  I )
)  ->  x  e.  dom  F )
3029adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  dom  F )
3130adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  x  =  ( Q `  I
) )  ->  x  e.  dom  F )
32 ssun2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  dom  F ) 
C_  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  (
( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )
3332, 1sseqtr4i 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  dom  F ) 
C_  H
34 fourierdlem46.qiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi (,) pi ) )
35 ioossicc 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  ( -u pi [,] pi )
3634, 35syl6ss 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
3736sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( -u pi [,] pi ) )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  (
-u pi [,] pi ) )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  -.  x  e.  dom  F )
4038, 39eldifd 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F
) )
4133, 40sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  H
)
42 fourierdlem46.ranq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ran  Q  =  H )
4342eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  =  ran  Q
)
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  H  =  ran  Q )
4541, 44eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  ran  Q )
46 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  ran  Q )
47 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> H  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
4812, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  Q  Fn  ( 0 ... M
) )
50 fvelrnb 5905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Q  Fn  ( 0 ... M )  ->  (
x  e.  ran  Q  <->  E. j  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  j )  =  x ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  (
x  e.  ran  Q  <->  E. j  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  j )  =  x ) )
5246, 51mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  E. j  e.  ( 0 ... M
) ( Q `  j )  =  x )
5352adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  E. j  e.  (
0 ... M ) ( Q `  j )  =  x )
54 elfzelz 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  ZZ )
5554ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  j  e.  ZZ )
56 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ph )
57 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
58 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ( Q `  j )  =  x )
59 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
6058, 59eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
6160adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
62 elfzoelz 11811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  I  e.  ZZ )
6313, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  I  e.  ZZ )
6463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
6517rexrd 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR* )
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
6723ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
69 ioogtlb 31482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j
) )
7066, 67, 68, 69syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j
) )
71 fourierdlem46.qiso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H ) )
7271ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  Q  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... M
) ,  H ) )
7315ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ( 0 ... M
) )
74 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
75 isorel 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H )  /\  ( I  e.  ( 0 ... M
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) ) )  -> 
( I  <  j  <->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j ) ) )
7672, 73, 74, 75syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
I  <  j  <->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j )
) )
7770, 76mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  I  <  j )
78 iooltub 31502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
7966, 67, 68, 78syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
8020ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
81 isorel 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H )  /\  ( j  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) ) )  -> 
( j  <  (
I  +  1 )  <-> 
( Q `  j
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
8272, 74, 80, 81syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
j  <  ( I  +  1 )  <->  ( Q `  j )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
8379, 82mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  j  <  ( I  +  1 ) )
84 btwnnz 10946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  I  <  j  /\  j  <  ( I  +  1 ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8564, 77, 83, 84syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8656, 57, 61, 85syl21anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8786adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8855, 87pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  -.  ( Q `  j )  =  x )
8988nrexdv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  -.  E. j  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  j
)  =  x )
9053, 89pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  -.  x  e.  ran  Q )
9190adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  -.  x  e.  ran  Q )
9245, 91condan 794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
9392ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) x  e.  dom  F
)
94 dfss3 3479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
9593, 94sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
9765ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR* )
9823ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
99 icossre 11616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  RR )
10017, 23, 99syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  RR )
101100sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  RR )
10317ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR )
10465adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
10523adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
106 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
107 icogelb 31496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <_  x )
108104, 105, 106, 107syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <_  x )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  <_  x )
110 neqne 31388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  ( Q `
 I )  ->  x  =/=  ( Q `  I ) )
111110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  =/=  ( Q `  I ) )
112103, 102, 109, 111leneltd 31448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  <  x )
113 icoltub 31499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
114104, 105, 106, 113syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
115114adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  <  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
11697, 98, 102, 112, 115eliood 31485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
11796, 116sseldd 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  dom  F )
118117adantllr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  dom  F )
11931, 118pm2.61dan 791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
120119ralrimiva 2857 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
121 dfss3 3479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
122120, 121sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
123 fourierdlem46.cn . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) )
124123adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  F  e.  ( dom  F -cn-> CC ) )
125 rescncf 21379 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  ->  ( F  e.  ( dom 
F -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
126122, 124, 125sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
12718, 24, 26, 126icocncflimc 31646 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
12817leidd 10126 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <_  ( Q `  I ) )
12965, 23, 65, 128, 25elicod 31505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
130 fvres 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q `  I )  e.  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) `  ( Q `
 I ) )  =  ( F `  ( Q `  I ) ) )
131129, 130syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I )
)  =  ( F `
 ( Q `  I ) ) )
132131eqcomd 2451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( Q `  I )
)  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I ) ) )
133132adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( Q `  I
) )  =  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) `  ( Q `
 I ) ) )
134 ioossico 11624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) )  C_  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
135134a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
136135resabs1d 5293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) )
137136eqcomd 2451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) )
138137oveq1d 6296 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
139127, 133, 1383eltr4d 2546 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( Q `  I
) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) )
140 ne0i 3776 . . . 4  |-  ( ( F `  ( Q `
 I ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) )
141139, 140syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) )
142 pnfxr 11332 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
143142a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
14422ltpnfd 31434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  < +oo )
14523, 143, 144xrltled 31410 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_ +oo )
146 iooss2 11576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_ +oo )  ->  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 I ) (,) +oo ) )
147142, 145, 146sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )
148147resabs1d 5293 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
149148oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
) )
150149eqcomd 2451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
)  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
151150adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
)  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
152 limcresi 22267 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  C_  ( (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
)  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )
15317adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR )
154 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ph )
1552renegcli 9885 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR
156155rexri 9649 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  e.  RR*
157156a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR* )
1582rexri 9649 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR*
159158a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR* )
1604, 3, 17, 22, 25, 34fourierdlem10 31853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <_  ( Q `  I )  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  pi ) )
161160simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <_  ( Q `  I )
)
162160simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  pi )
16317, 22, 3, 25, 162ltletrd 9745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  pi )
164157, 159, 65, 161, 163elicod 31505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  ( -u pi [,) pi ) )
165164adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( Q `  I
)  e.  ( -u pi [,) pi ) )
166 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  -.  ( Q `  I
)  e.  dom  F
)
167165, 166eldifd 3472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( Q `  I
)  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F ) )
168154, 167jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ph  /\  ( Q `  I )  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) ) )
169 eleq1 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
x  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F )  <-> 
( Q `  I
)  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F ) ) )
170169anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  <->  ( ph  /\  ( Q `  I
)  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F ) ) ) )
171 oveq1 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
x (,) +oo )  =  ( ( Q `
 I ) (,) +oo ) )
172171reseq2d 5263 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  ( F  |`  ( x (,) +oo ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) )
173 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  x  =  ( Q `  I ) )
174172, 173oveq12d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( F  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) )
175174neeq1d 2720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( ( F  |`  ( x (,) +oo ) ) lim CC  x )  =/=  (/)  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) ) )
176170, 175imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi ) 
\  dom  F )
)  ->  ( ( F  |`  ( x (,) +oo ) ) lim CC  x
)  =/=  (/) )  <->  ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F
) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) ) ) )
177 fourierdlem46.rlim . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =/=  (/) )
178176, 177vtoclg 3153 . . . . . 6  |-  ( ( Q `  I )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  ( Q `  I )  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) ) )
179153, 168, 178sylc 60 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) )
180 ssn0 3804 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) 
C_  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  /\  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) )
181152, 179, 180sylancr 663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) )
182151, 181eqnetrd 2736 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/) )
183141, 182pm2.61dan 791 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/) )
18465adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
18522adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
18625adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
187 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
188 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )
189187, 188eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
190189adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
191190adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  x  =  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
19295ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
19365ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR* )
19423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
19565adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
19622adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
197 iocssre 11615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  RR )
198195, 196, 197syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  RR )
199 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
200198, 199sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
201200adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
20223adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
203 iocgtlb 31489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  x )
204195, 202, 199, 203syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  x )
205204adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  I
)  <  x )
20622ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
207 iocleub 31490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
208195, 202, 199, 207syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
209208adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
210 neqne 31388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  =  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  ->  x  =/=  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
211210necomd 2714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  =/=  x )
212211adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  =/=  x )
213201, 206, 209, 212leneltd 31448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  <  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
214193, 194, 201, 205, 213eliood 31485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
215192, 214sseldd 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
216215adantllr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  ->  x  e.  dom  F )
217191, 216pm2.61dan 791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
218217ralrimiva 2857 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
219 dfss3 3479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
220218, 219sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
221123adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  F  e.  ( dom  F -cn-> CC ) )
222 rescncf 21379 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  ->  ( F  e.  ( dom 
F -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
223220, 221, 222sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
224184, 185, 186, 223ioccncflimc 31642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
22522leidd 10126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
22665, 23, 23, 25, 225eliocd 31497 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
227 fvres 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) `  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =  ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
228226, 227syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( F `
 ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
229228eqcomd 2451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
230 ioossioc 31478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) )  C_  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
231 resabs1 5292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
232230, 231ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
233232eqcomi 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
234233oveq1i 6291 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
235234a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
236229, 235eleq12d 2525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
237236adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
238224, 237mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
239 ne0i 3776 . . . 4  |-  ( ( F `  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
240238, 239syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
241 mnfxr 11334 . . . . . . . . 9  |- -oo  e.  RR*
242241a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
24317mnfltd 31445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> -oo  <  ( Q `  I ) )
244242, 65, 243xrltled 31410 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> -oo  <_  ( Q `  I ) )
245 iooss1 11575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_  ( Q `  I
) )  ->  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
246241, 244, 245sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
247246resabs1d 5293 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
248247eqcomd 2451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
249248adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
250249oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
251 limcresi 22267 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( (
( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
25222adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  RR )
253 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ph )
254156a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  -u pi  e.  RR* )
255158a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  pi  e.  RR* )
25623adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  RR* )
2574, 17, 22, 161, 25lelttrd 9743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
258257adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  -u pi  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
259162adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  pi )
260254, 255, 256, 258, 259eliocd 31497 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  (
-u pi (,] pi ) )
261 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )
262260, 261eldifd 3472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F
) )
263253, 262jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) ) )
264 eleq1 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
x  e.  ( (
-u pi (,] pi )  \  dom  F )  <-> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ( (
-u pi (,] pi )  \  dom  F ) ) )
265264anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  <->  ( ph  /\  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ( (
-u pi (,] pi )  \  dom  F ) ) ) )
266 oveq2 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  ( -oo (,) x )  =  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
267266reseq2d 5263 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  ( F  |`  ( -oo (,) x ) )  =  ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) ) )
268 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  x  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
269267, 268oveq12d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
270269neeq1d 2720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim CC  x )  =/=  (/)  <->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) ) )
271265, 270imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi ) 
\  dom  F )
)  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim CC  x )  =/=  (/) )  <->  ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F
) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) ) lim
CC  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  =/=  (/) ) ) )
272 fourierdlem46.llim . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =/=  (/) )
273271, 272vtoclg 3153 . . . . . 6  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  -> 
( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) ) )
274252, 263, 273sylc 60 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
275 ssn0 3804 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  /\  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) )
276251, 274, 275sylancr 663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
277250, 276eqnetrd 2736 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
278240, 277pm2.61dan 791 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
279183, 278jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/)  /\  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794    \ cdif 3458    u. cun 3459    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {ctp 4018   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   ran crn 4990    |` cres 4991    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578    Isom wiso 5579  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   +oocpnf 9628   -oocmnf 9629   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632   -ucneg 9811   ZZcz 10871   (,)cioo 11540   (,]cioc 11541   [,)cico 11542   [,]cicc 11543   ...cfz 11683  ..^cfzo 11806   picpi 13784   -cn->ccncf 21358   lim CC climc 22244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249
This theorem is referenced by:  fourierdlem102  31945  fourierdlem114  31957
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