Theorem fourierdlem46 38010

Description: The function F has a limit at the bounds of every interval induced by the partition Q. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem46.cn	|- ( ph -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
fourierdlem46.rlim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem46.llim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem46.qiso	|- ( ph -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
fourierdlem46.qf	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
fourierdlem46.i	|- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
fourierdlem46.10	|- ( ph -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
fourierdlem46.qiss	|- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi (,) pi ) )
fourierdlem46.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem46.h	|- H = ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
fourierdlem46.ranq	|- ( ph -> ran Q = H )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem46	|- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) /\ ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, I   x, Q   ph, x

Allowed substitution hints:   C( x)   H( x)   M( x)

Proof of Theorem fourierdlem46

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem46.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
2		pire 23406	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. RR
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. RR )
4	3	renegcld 10043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u pi e. RR )
5		fourierdlem46.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR )
6		tpssi 4137	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ C e. RR ) -> { -u pi , pi , C } C_ RR )
7	4, 3, 5, 6	syl3anc 1267	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { -u pi , pi , C } C_ RR )
8	4, 3	iccssred 37596	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
9	8	ssdifssd 3570	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) C_ RR )
10	7, 9	unssd 3609	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) ) C_ RR )
11	1, 10	syl5eqss 3475	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H C_ RR )
12		fourierdlem46.qf	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
13		fourierdlem46.i	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
14		elfzofz 11932	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> I e. ( 0 ... M ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. ( 0 ... M ) )
16	12, 15	ffvelrnd 6021	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. H )
17	11, 16	sseldd 3432	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR )
18	17	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. RR )
19		fzofzp1 12005	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
20	13, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
21	12, 20	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. H )
22	11, 21	sseldd 3432	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
23	22	rexrd 9687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
24	23	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
25		fourierdlem46.10	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
26	25	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
27		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` I ) e. dom F /\ x = ( Q ` I ) ) -> x = ( Q ` I ) )
28		simpl 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` I ) e. dom F /\ x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) e. dom F )
29	27, 28	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Q ` I ) e. dom F /\ x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
30	29	adantll 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
31	30	adantlr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
32		ssun2 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) C_ ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
33	32, 1	sseqtr4i 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) C_ H
34		fourierdlem46.qiss	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi (,) pi ) )
35		ioossicc 11717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -u pi (,) pi ) C_ ( -u pi [,] pi )
36	34, 35	syl6ss 3443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
37	36	sselda 3431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( -u pi [,] pi ) )
38	37	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ( -u pi [,] pi ) )
39		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> -. x e. dom F )
40	38, 39	eldifd 3414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
41	33, 40	sseldi 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. H )
42		fourierdlem46.ranq	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ran Q = H )
43	42	eqcomd 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H = ran Q )
44	43	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> H = ran Q )
45	41, 44	eleqtrd 2530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ran Q )
46		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> x e. ran Q )
47		ffn 5726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> H -> Q Fn ( 0 ... M ) )
48	12, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
49	48	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> Q Fn ( 0 ... M ) )
50		fvelrnb 5910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( x e. ran Q <-> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> ( x e. ran Q <-> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x ) )
52	46, 51	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
53	52	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) -> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
54		elfzelz 11797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
55	54	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> j e. ZZ )
56		simplll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ph )
57		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> j e. ( 0 ... M ) )
58		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ( Q ` j ) = x )
59		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
60	58, 59	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
61	60	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
62		elfzoelz 11917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> I e. ZZ )
63	13, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> I e. ZZ )
64	63	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> I e. ZZ )
65	17	rexrd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR* )
66	65	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
67	23	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
68		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
69		ioogtlb 37586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) )
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) )
71		fourierdlem46.qiso	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
72	71	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
73	15	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> I e. ( 0 ... M ) )
74		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
75		isorel 6215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( I e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( I < j <-> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) ) )
76	72, 73, 74, 75	syl12anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( I < j <-> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) ) )
77	70, 76	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> I < j )
78		iooltub 37604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
79	66, 67, 68, 78	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
80	20	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
81		isorel 6215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( j e. ( 0 ... M ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( j < ( I + 1 ) <-> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
82	72, 74, 80, 81	syl12anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( j < ( I + 1 ) <-> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
83	79, 82	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> j < ( I + 1 ) )
84		btwnnz 11009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( I e. ZZ /\ I < j /\ j < ( I + 1 ) ) -> -. j e. ZZ )
85	64, 77, 83, 84	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> -. j e. ZZ )
86	56, 57, 61, 85	syl21anc 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> -. j e. ZZ )
87	86	adantllr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> -. j e. ZZ )
88	55, 87	pm2.65da 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> -. ( Q ` j ) = x )
89	88	nrexdv 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) -> -. E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
90	53, 89	pm2.65da 579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> -. x e. ran Q )
91	90	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> -. x e. ran Q )
92	45, 91	condan 802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
93	92	ralrimiva 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
94		dfss3 3421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
95	93, 94	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
96	95	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
97	65	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
98	23	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
99		icossre 11712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* ) -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
100	17, 23, 99	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
101	100	sselda 3431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
102	101	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. RR )
103	17	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) e. RR )
104	65	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
105	23	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
106		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
107		icogelb 11683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) <_ x )
108	104, 105, 106, 107	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) <_ x )
109	108	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) <_ x )
110		neqne 37368	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = ( Q ` I ) -> x =/= ( Q ` I ) )
111	110	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x =/= ( Q ` I ) )
112	103, 102, 109, 111	leneltd 9786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) < x )
113		icoltub 37601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
114	104, 105, 106, 113	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
115	114	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
116	97, 98, 102, 112, 115	eliood 37589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
117	96, 116	sseldd 3432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
118	117	adantllr 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
119	31, 118	pm2.61dan 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
120	119	ralrimiva 2801	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> A. x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
121		dfss3 3421	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
122	120, 121	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
123		fourierdlem46.cn	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
124	123	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
125		rescncf 21922	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F -> ( F e. ( dom F -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
126	122, 124, 125	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
127	18, 24, 26, 126	icocncflimc 37761	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
128	17	leidd 10177	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` I ) <_ ( Q ` I ) )
129	65, 23, 65, 128, 25	elicod 11682	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
130		fvres 5877	. . . . . . . 8 |- ( ( Q ` I ) e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) = ( F ` ( Q ` I ) ) )
131	129, 130	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) = ( F ` ( Q ` I ) ) )
132	131	eqcomd 2456	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( Q ` I ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) )
133	132	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F ` ( Q ` I ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) )
134		ioossico 11720	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) )
135	134	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
136	135	resabs1d 5133	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
137	136	eqcomd 2456	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
138	137	oveq1d 6303	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
139	127, 133, 138	3eltr4d 2543	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F ` ( Q ` I ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
140		ne0i 3736	. . . 4 |- ( ( F ` ( Q ` I ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
141	139, 140	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
142		pnfxr 11409	. . . . . . . . 9 |- +oo e. RR*
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> +oo e. RR* )
144	22	ltpnfd 11420	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) < +oo )
145	23, 143, 144	xrltled 37478	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ +oo )
146		iooss2 11669	. . . . . . . . 9 |- ( ( +oo e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ +oo ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,) +oo ) )
147	142, 145, 146	sylancr 668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,) +oo ) )
148	147	resabs1d 5133	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
149	148	oveq1d 6303	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
150	149	eqcomd 2456	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
151	150	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
152		limcresi 22833	. . . . 5 |- ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) C_ ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) )
153	17	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. RR )
154		simpl 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ph )
155	2	renegcli 9932	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR
156	155	rexri 9690	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. RR*
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi e. RR* )
158	2	rexri 9690	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR*
159	158	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> pi e. RR* )
160	4, 3, 17, 22, 25, 34	fourierdlem10 37973	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi <_ ( Q ` I ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi ) )
161	160	simpld 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ ( Q ` I ) )
162	160	simprd 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi )
163	17, 22, 3, 25, 162	ltletrd 9792	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` I ) < pi )
164	157, 159, 65, 161, 163	elicod 11682	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. ( -u pi [,) pi ) )
165	164	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. ( -u pi [,) pi ) )
166		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> -. ( Q ` I ) e. dom F )
167	165, 166	eldifd 3414	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) )
168	154, 167	jca 535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) )
169		eleq1 2516	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) <-> ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) )
170	169	anbi2d 709	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) <-> ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) ) )
171		oveq1 6295	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( x (,) +oo ) = ( ( Q ` I ) (,) +oo ) )
172	171	reseq2d 5104	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( F |` ( x (,) +oo ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) )
173		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` I ) -> x = ( Q ` I ) )
174	172, 173	oveq12d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
175	174	neeq1d 2682	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) )
176	170, 175	imbi12d 322	. . . . . . 7 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) ) )
177		fourierdlem46.rlim	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
178	176, 177	vtoclg 3106	. . . . . 6 |- ( ( Q ` I ) e. RR -> ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) )
179	153, 168, 178	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
180		ssn0 3766	. . . . 5 |- ( ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) C_ ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) /\ ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
181	152, 179, 180	sylancr 668	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
182	151, 181	eqnetrd 2690	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
183	141, 182	pm2.61dan 799	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
184	65	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
185	22	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
186	25	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
187		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
188		simpl 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F )
189	187, 188	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
190	189	adantll 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
191	190	adantlr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
192	95	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
193	65	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
194	23	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
195	65	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
196	22	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
197		iocssre 11711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
198	195, 196, 197	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
199		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
200	198, 199	sseldd 3432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
201	200	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. RR )
202	23	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
203		iocgtlb 37593	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < x )
204	195, 202, 199, 203	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < x )
205	204	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` I ) < x )
206	22	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
207		iocleub 37594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
208	195, 202, 199, 207	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
209	208	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
210		neqne 37368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> x =/= ( Q ` ( I + 1 ) ) )
211	210	necomd 2678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) =/= x )
212	211	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) =/= x )
213	201, 206, 209, 212	leneltd 9786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
214	193, 194, 201, 205, 213	eliood 37589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
215	192, 214	sseldd 3432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
216	215	adantllr 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
217	191, 216	pm2.61dan 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
218	217	ralrimiva 2801	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> A. x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
219		dfss3 3421	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
220	218, 219	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
221	123	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
222		rescncf 21922	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F -> ( F e. ( dom F -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
223	220, 221, 222	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
224	184, 185, 186, 223	ioccncflimc 37757	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
225	22	leidd 10177	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
226	65, 23, 23, 25, 225	eliocd 37599	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
227		fvres 5877	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
228	226, 227	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
229	228	eqcomd 2456	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
230		ioossioc 37582	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) )
231		resabs1 5132	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
232	230, 231	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
233	232	eqcomi 2459	. . . . . . . . 9 |- ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
234	233	oveq1i 6298	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) )
235	234	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
236	229, 235	eleq12d 2522	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
237	236	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
238	224, 237	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
239		ne0i 3736	. . . 4 |- ( ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
240	238, 239	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
241		mnfxr 11411	. . . . . . . . 9 |- -oo e. RR*
242	241	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -oo e. RR* )
243	17	mnfltd 11423	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -oo < ( Q ` I ) )
244	242, 65, 243	xrltled 37478	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -oo <_ ( Q ` I ) )
245		iooss1 11668	. . . . . . . . 9 |- ( ( -oo e. RR* /\ -oo <_ ( Q ` I ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
246	241, 244, 245	sylancr 668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
247	246	resabs1d 5133	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
248	247	eqcomd 2456	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
249	248	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
250	249	oveq1d 6303	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
251		limcresi 22833	. . . . 5 |- ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) )
252	22	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
253		simpl 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ph )
254	156	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> -u pi e. RR* )
255	158	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> pi e. RR* )
256	23	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
257	4, 17, 22, 161, 25	lelttrd 9790	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
258	257	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> -u pi < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
259	162	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi )
260	254, 255, 256, 258, 259	eliocd 37599	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( -u pi (,] pi ) )
261		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F )
262	260, 261	eldifd 3414	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) )
263	253, 262	jca 535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) )
264		eleq1 2516	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) <-> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) )
265	264	anbi2d 709	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) <-> ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) ) )
266		oveq2 6296	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( -oo (,) x ) = ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
267	266	reseq2d 5104	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( F |` ( -oo (,) x ) ) = ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
268		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> x = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
269	267, 268	oveq12d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
270	269	neeq1d 2682	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) <-> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )
271	265, 270	imbi12d 322	. . . . . . 7 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) ) )
272		fourierdlem46.llim	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
273	271, 272	vtoclg 3106	. . . . . 6 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR -> ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )
274	252, 263, 273	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
275		ssn0 3766	. . . . 5 |- ( ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) /\ ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
276	251, 274, 275	sylancr 668	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
277	250, 276	eqnetrd 2690	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
278	240, 277	pm2.61dan 799	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
279	183, 278	jca 535	1 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) /\ ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   \ cdif 3400   u. cun 3401   C_ wss 3403   (/)c0 3730   {ctp 3971   class class class wbr 4401   dom cdm 4833   ran crn 4834   |` cres 4835   Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581   Isom wiso 5582  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   +oocpnf 9669   -oocmnf 9670   RR*cxr 9671   < clt 9672   <_ cle 9673   -ucneg 9858   ZZcz 10934   (,)cioo 11632   (,]cioc 11633   [,)cico 11634   [,]cicc 11635   ...cfz 11781  ..^cfzo 11912   picpi 14112   -cn->ccncf 21901   lim CC climc 22810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815

This theorem is referenced by:  fourierdlem102  38066  fourierdlem114  38078