Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem46 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fourierdlem46 38128
 Description: The function has a limit at the bounds of every interval induced by the partition . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem46.cn
fourierdlem46.rlim lim
fourierdlem46.llim lim
fourierdlem46.qiso
fourierdlem46.qf
fourierdlem46.i ..^
fourierdlem46.10
fourierdlem46.qiss
fourierdlem46.c
fourierdlem46.h
fourierdlem46.ranq
Assertion
Ref Expression
fourierdlem46 lim lim
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem fourierdlem46
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem46.h . . . . . . . . 9
2 pire 23492 . . . . . . . . . . . . 13
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
43renegcld 10067 . . . . . . . . . . 11
5 fourierdlem46.c . . . . . . . . . . 11
6 tpssi 4130 . . . . . . . . . . 11
74, 3, 5, 6syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
84, 3iccssred 37698 . . . . . . . . . . 11
98ssdifssd 3560 . . . . . . . . . 10
107, 9unssd 3601 . . . . . . . . 9
111, 10syl5eqss 3462 . . . . . . . 8
12 fourierdlem46.qf . . . . . . . . 9
13 fourierdlem46.i . . . . . . . . . 10 ..^
14 elfzofz 11962 . . . . . . . . . 10 ..^
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9
1612, 15ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8
1711, 16sseldd 3419 . . . . . . 7
1817adantr 472 . . . . . 6
19 fzofzp1 12037 . . . . . . . . . . 11 ..^
2013, 19syl 17 . . . . . . . . . 10
2112, 20ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
2211, 21sseldd 3419 . . . . . . . 8
2322rexrd 9708 . . . . . . 7
2423adantr 472 . . . . . 6
25 fourierdlem46.10 . . . . . . 7
2625adantr 472 . . . . . 6
27 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
28 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13
2927, 28eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12
3029adantll 728 . . . . . . . . . . 11
3130adantlr 729 . . . . . . . . . 10
32 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3332, 1sseqtr4i 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34 fourierdlem46.qiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
35 ioossicc 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3634, 35syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3736sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3837adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4038, 39eldifd 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4133, 40sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
42 fourierdlem46.ranq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4342eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4443ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4541, 44eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
47 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4812, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4948adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
50 fvelrnb 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5246, 51mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5352adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
54 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5554ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
56 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
57 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
58 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
59 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6058, 59eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6160adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
62 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^
6313, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6463ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6517rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6665ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6723ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
68 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
69 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7066, 67, 68, 69syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
71 fourierdlem46.qiso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7271ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7315ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
74 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
75 isorel 6235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7672, 73, 74, 75syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7770, 76mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
78 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7966, 67, 68, 78syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8020ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
81 isorel 6235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8272, 74, 80, 81syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8379, 82mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
84 btwnnz 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8564, 77, 83, 84syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8656, 57, 61, 85syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8786adantllr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8855, 87pm2.65da 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8988nrexdv 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9053, 89pm2.65da 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9245, 91condan 811 . . . . . . . . . . . . . . 15
9392ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . 14
94 dfss3 3408 . . . . . . . . . . . . . 14
9593, 94sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13
9695ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
9765ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
9823ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
99 icossre 11740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10017, 23, 99syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
101100sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . 14
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
10317ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
10465adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10523adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107 icogelb 11711 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108104, 105, 106, 107syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
109108adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
110 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15
111110adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
112103, 102, 109, 111leneltd 9806 . . . . . . . . . . . . 13
113 icoltub 37703 . . . . . . . . . . . . . . 15
114104, 105, 106, 113syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
115114adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
11697, 98, 102, 112, 115eliood 37691 . . . . . . . . . . . 12
11796, 116sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11
118117adantllr 733 . . . . . . . . . 10
11931, 118pm2.61dan 808 . . . . . . . . 9
120119ralrimiva 2809 . . . . . . . 8
121 dfss3 3408 . . . . . . . 8
122120, 121sylibr 217 . . . . . . 7
123 fourierdlem46.cn . . . . . . . 8
124123adantr 472 . . . . . . 7
125 rescncf 22007 . . . . . . 7
126122, 124, 125sylc 61 . . . . . 6
12718, 24, 26, 126icocncflimc 37864 . . . . 5 lim
12817leidd 10201 . . . . . . . . 9
12965, 23, 65, 128, 25elicod 11710 . . . . . . . 8
130 fvres 5893 . . . . . . . 8
131129, 130syl 17 . . . . . . 7
132131eqcomd 2477 . . . . . 6
133132adantr 472 . . . . 5
134 ioossico 11748 . . . . . . . . 9
135134a1i 11 . . . . . . . 8
136135resabs1d 5140 . . . . . . 7
137136eqcomd 2477 . . . . . 6
138137oveq1d 6323 . . . . 5 lim lim
139127, 133, 1383eltr4d 2564 . . . 4 lim
140 ne0i 3728 . . . 4 lim lim
141139, 140syl 17 . . 3 lim
142 pnfxr 11435 . . . . . . . . 9
143142a1i 11 . . . . . . . . . 10
14422ltpnfd 11446 . . . . . . . . . 10
14523, 143, 144xrltled 37574 . . . . . . . . 9
146 iooss2 11697 . . . . . . . . 9
147142, 145, 146sylancr 676 . . . . . . . 8
148147resabs1d 5140 . . . . . . 7
149148oveq1d 6323 . . . . . 6 lim lim
150149eqcomd 2477 . . . . 5 lim lim
151150adantr 472 . . . 4 lim lim
152 limcresi 22919 . . . . 5 lim lim
15317adantr 472 . . . . . 6
154 simpl 464 . . . . . . 7
1552renegcli 9955 . . . . . . . . . . . 12
156155rexri 9711 . . . . . . . . . . 11
157156a1i 11 . . . . . . . . . 10
1582rexri 9711 . . . . . . . . . . 11
159158a1i 11 . . . . . . . . . 10
1604, 3, 17, 22, 25, 34fourierdlem10 38091 . . . . . . . . . . 11
161160simpld 466 . . . . . . . . . 10
162160simprd 470 . . . . . . . . . . 11
16317, 22, 3, 25, 162ltletrd 9812 . . . . . . . . . 10
164157, 159, 65, 161, 163elicod 11710 . . . . . . . . 9
165164adantr 472 . . . . . . . 8
166 simpr 468 . . . . . . . 8
167165, 166eldifd 3401 . . . . . . 7
168154, 167jca 541 . . . . . 6
169 eleq1 2537 . . . . . . . . 9
170169anbi2d 718 . . . . . . . 8
171 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11
172171reseq2d 5111 . . . . . . . . . 10
173 id 22 . . . . . . . . . 10
174172, 173oveq12d 6326 . . . . . . . . 9 lim lim
175174neeq1d 2702 . . . . . . . 8 lim lim
176170, 175imbi12d 327 . . . . . . 7 lim lim
177 fourierdlem46.rlim . . . . . . 7 lim
178176, 177vtoclg 3093 . . . . . 6 lim
179153, 168, 178sylc 61 . . . . 5 lim
180 ssn0 3770 . . . . 5 lim lim lim lim
181152, 179, 180sylancr 676 . . . 4 lim
182151, 181eqnetrd 2710 . . 3 lim
183141, 182pm2.61dan 808 . 2 lim
18465adantr 472 . . . . . 6
18522adantr 472 . . . . . 6
18625adantr 472 . . . . . 6
187 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
188 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13
189187, 188eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12
190189adantll 728 . . . . . . . . . . 11
191190adantlr 729 . . . . . . . . . 10
19295ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
19365ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
19423ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
19565adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19622adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
197 iocssre 11739 . . . . . . . . . . . . . . . 16
198195, 196, 197syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
199 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
200198, 199sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14
201200adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
20223adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
203 iocgtlb 37695 . . . . . . . . . . . . . . 15
204195, 202, 199, 203syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
205204adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
20622ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
207 iocleub 37696 . . . . . . . . . . . . . . . 16
208195, 202, 199, 207syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
209208adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
210 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16
211210necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15
212211adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
213201, 206, 209, 212leneltd 9806 . . . . . . . . . . . . 13
214193, 194, 201, 205, 213eliood 37691 . . . . . . . . . . . 12
215192, 214sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11
216215adantllr 733 . . . . . . . . . 10
217191, 216pm2.61dan 808 . . . . . . . . 9
218217ralrimiva 2809 . . . . . . . 8
219 dfss3 3408 . . . . . . . 8
220218, 219sylibr 217 . . . . . . 7
221123adantr 472 . . . . . . 7
222 rescncf 22007 . . . . . . 7
223220, 221, 222sylc 61 . . . . . 6
224184, 185, 186, 223ioccncflimc 37860 . . . . 5 lim
22522leidd 10201 . . . . . . . . . 10
22665, 23, 23, 25, 225eliocd 37701 . . . . . . . . 9
227 fvres 5893 . . . . . . . . 9
228226, 227syl 17 . . . . . . . 8
229228eqcomd 2477 . . . . . . 7
230 ioossioc 37684 . . . . . . . . . . 11
231 resabs1 5139 . . . . . . . . . . 11
232230, 231ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
233232eqcomi 2480 . . . . . . . . 9
234233oveq1i 6318 . . . . . . . 8 lim lim
235234a1i 11 . . . . . . 7 lim lim
236229, 235eleq12d 2543 . . . . . 6 lim lim
237236adantr 472 . . . . 5 lim lim
238224, 237mpbird 240 . . . 4 lim
239 ne0i 3728 . . . 4 lim lim
240238, 239syl 17 . . 3 lim
241 mnfxr 11437 . . . . . . . . 9
242241a1i 11 . . . . . . . . . 10
24317mnfltd 11449 . . . . . . . . . 10
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