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Theorem fourierdlem46 38128
Description: The function  F has a limit at the bounds of every interval induced by the partition  Q. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem46.cn  |-  ( ph  ->  F  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) )
fourierdlem46.rlim  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =/=  (/) )
fourierdlem46.llim  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =/=  (/) )
fourierdlem46.qiso  |-  ( ph  ->  Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H ) )
fourierdlem46.qf  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> H )
fourierdlem46.i  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ M ) )
fourierdlem46.10  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
fourierdlem46.qiss  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi (,) pi ) )
fourierdlem46.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem46.h  |-  H  =  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )
fourierdlem46.ranq  |-  ( ph  ->  ran  Q  =  H )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem46  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/)  /\  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, I    x, Q    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    H( x)    M( x)

Proof of Theorem fourierdlem46
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem46.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )
2 pire 23492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
43renegcld 10067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
5 fourierdlem46.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 tpssi 4130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  { -u pi ,  pi ,  C }  C_  RR )
74, 3, 5, 6syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { -u pi ,  pi ,  C }  C_  RR )
84, 3iccssred 37698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
98ssdifssd 3560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F )  C_  RR )
107, 9unssd 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )  C_  RR )
111, 10syl5eqss 3462 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  C_  RR )
12 fourierdlem46.qf . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> H )
13 fourierdlem46.i . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ M ) )
14 elfzofz 11962 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  I  e.  ( 0 ... M
) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0 ... M ) )
1612, 15ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  H )
1711, 16sseldd 3419 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR )
1817adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  e.  RR )
19 fzofzp1 12037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
2013, 19syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
2112, 20ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  H )
2211, 21sseldd 3419 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
2322rexrd 9708 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
2423adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
25 fourierdlem46.10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
2625adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
27 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  I )
)  ->  x  =  ( Q `  I ) )
28 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  I )
)  ->  ( Q `  I )  e.  dom  F )
2927, 28eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  I )
)  ->  x  e.  dom  F )
3029adantll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  dom  F )
3130adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  x  =  ( Q `  I
) )  ->  x  e.  dom  F )
32 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  dom  F ) 
C_  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  (
( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )
3332, 1sseqtr4i 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  dom  F ) 
C_  H
34 fourierdlem46.qiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi (,) pi ) )
35 ioossicc 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  ( -u pi [,] pi )
3634, 35syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
3736sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( -u pi [,] pi ) )
3837adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  (
-u pi [,] pi ) )
39 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  -.  x  e.  dom  F )
4038, 39eldifd 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F
) )
4133, 40sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  H
)
42 fourierdlem46.ranq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ran  Q  =  H )
4342eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  =  ran  Q
)
4443ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  H  =  ran  Q )
4541, 44eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  ran  Q )
46 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  ran  Q )
47 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> H  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
4812, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
4948adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  Q  Fn  ( 0 ... M
) )
50 fvelrnb 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Q  Fn  ( 0 ... M )  ->  (
x  e.  ran  Q  <->  E. j  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  j )  =  x ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  (
x  e.  ran  Q  <->  E. j  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  j )  =  x ) )
5246, 51mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  E. j  e.  ( 0 ... M
) ( Q `  j )  =  x )
5352adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  E. j  e.  (
0 ... M ) ( Q `  j )  =  x )
54 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  ZZ )
5554ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  j  e.  ZZ )
56 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ph )
57 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
58 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ( Q `  j )  =  x )
59 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
6058, 59eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
6160adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
62 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  I  e.  ZZ )
6313, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  I  e.  ZZ )
6463ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
6517rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR* )
6665ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
6723ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
68 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
69 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j
) )
7066, 67, 68, 69syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j
) )
71 fourierdlem46.qiso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H ) )
7271ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  Q  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... M
) ,  H ) )
7315ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ( 0 ... M
) )
74 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
75 isorel 6235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H )  /\  ( I  e.  ( 0 ... M
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) ) )  -> 
( I  <  j  <->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j ) ) )
7672, 73, 74, 75syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
I  <  j  <->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j )
) )
7770, 76mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  I  <  j )
78 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
7966, 67, 68, 78syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
8020ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
81 isorel 6235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H )  /\  ( j  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) ) )  -> 
( j  <  (
I  +  1 )  <-> 
( Q `  j
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
8272, 74, 80, 81syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
j  <  ( I  +  1 )  <->  ( Q `  j )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
8379, 82mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  j  <  ( I  +  1 ) )
84 btwnnz 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  I  <  j  /\  j  <  ( I  +  1 ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8564, 77, 83, 84syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8656, 57, 61, 85syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8786adantllr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8855, 87pm2.65da 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  -.  ( Q `  j )  =  x )
8988nrexdv 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  -.  E. j  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  j
)  =  x )
9053, 89pm2.65da 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  -.  x  e.  ran  Q )
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  -.  x  e.  ran  Q )
9245, 91condan 811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
9392ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) x  e.  dom  F
)
94 dfss3 3408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
9593, 94sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
9695ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
9765ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR* )
9823ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
99 icossre 11740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  RR )
10017, 23, 99syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  RR )
101100sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  RR )
10317ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR )
10465adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
10523adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
106 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
107 icogelb 11711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <_  x )
108104, 105, 106, 107syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <_  x )
109108adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  <_  x )
110 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  ( Q `
 I )  ->  x  =/=  ( Q `  I ) )
111110adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  =/=  ( Q `  I ) )
112103, 102, 109, 111leneltd 9806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  <  x )
113 icoltub 37703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
114104, 105, 106, 113syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
115114adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  <  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
11697, 98, 102, 112, 115eliood 37691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
11796, 116sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  dom  F )
118117adantllr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  dom  F )
11931, 118pm2.61dan 808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
120119ralrimiva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
121 dfss3 3408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
122120, 121sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
123 fourierdlem46.cn . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) )
124123adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  F  e.  ( dom  F -cn-> CC ) )
125 rescncf 22007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  ->  ( F  e.  ( dom 
F -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
126122, 124, 125sylc 61 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
12718, 24, 26, 126icocncflimc 37864 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
12817leidd 10201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <_  ( Q `  I ) )
12965, 23, 65, 128, 25elicod 11710 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
130 fvres 5893 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q `  I )  e.  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) `  ( Q `
 I ) )  =  ( F `  ( Q `  I ) ) )
131129, 130syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I )
)  =  ( F `
 ( Q `  I ) ) )
132131eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( Q `  I )
)  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I ) ) )
133132adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( Q `  I
) )  =  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) `  ( Q `
 I ) ) )
134 ioossico 11748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) )  C_  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
135134a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
136135resabs1d 5140 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) )
137136eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) )
138137oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
139127, 133, 1383eltr4d 2564 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( Q `  I
) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) )
140 ne0i 3728 . . . 4  |-  ( ( F `  ( Q `
 I ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) )
141139, 140syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) )
142 pnfxr 11435 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
143142a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
14422ltpnfd 11446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  < +oo )
14523, 143, 144xrltled 37574 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_ +oo )
146 iooss2 11697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_ +oo )  ->  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 I ) (,) +oo ) )
147142, 145, 146sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )
148147resabs1d 5140 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
149148oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
) )
150149eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
)  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
151150adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
)  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
152 limcresi 22919 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  C_  ( (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
)  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )
15317adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR )
154 simpl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ph )
1552renegcli 9955 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR
156155rexri 9711 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  e.  RR*
157156a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR* )
1582rexri 9711 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR*
159158a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR* )
1604, 3, 17, 22, 25, 34fourierdlem10 38091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <_  ( Q `  I )  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  pi ) )
161160simpld 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <_  ( Q `  I )
)
162160simprd 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  pi )
16317, 22, 3, 25, 162ltletrd 9812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  pi )
164157, 159, 65, 161, 163elicod 11710 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  ( -u pi [,) pi ) )
165164adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( Q `  I
)  e.  ( -u pi [,) pi ) )
166 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  -.  ( Q `  I
)  e.  dom  F
)
167165, 166eldifd 3401 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( Q `  I
)  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F ) )
168154, 167jca 541 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ph  /\  ( Q `  I )  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) ) )
169 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
x  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F )  <-> 
( Q `  I
)  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F ) ) )
170169anbi2d 718 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  <->  ( ph  /\  ( Q `  I
)  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F ) ) ) )
171 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
x (,) +oo )  =  ( ( Q `
 I ) (,) +oo ) )
172171reseq2d 5111 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  ( F  |`  ( x (,) +oo ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) )
173 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  x  =  ( Q `  I ) )
174172, 173oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( F  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) )
175174neeq1d 2702 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( ( F  |`  ( x (,) +oo ) ) lim CC  x )  =/=  (/)  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) ) )
176170, 175imbi12d 327 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi ) 
\  dom  F )
)  ->  ( ( F  |`  ( x (,) +oo ) ) lim CC  x
)  =/=  (/) )  <->  ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F
) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) ) ) )
177 fourierdlem46.rlim . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =/=  (/) )
178176, 177vtoclg 3093 . . . . . 6  |-  ( ( Q `  I )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  ( Q `  I )  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) ) )
179153, 168, 178sylc 61 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) )
180 ssn0 3770 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) 
C_  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  /\  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) )
181152, 179, 180sylancr 676 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) )
182151, 181eqnetrd 2710 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/) )
183141, 182pm2.61dan 808 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/) )
18465adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
18522adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
18625adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
187 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
188 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )
189187, 188eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
190189adantll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
191190adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  x  =  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
19295ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
19365ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR* )
19423ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
19565adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
19622adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
197 iocssre 11739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  RR )
198195, 196, 197syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  RR )
199 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
200198, 199sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
201200adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
20223adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
203 iocgtlb 37695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  x )
204195, 202, 199, 203syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  x )
205204adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  I
)  <  x )
20622ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
207 iocleub 37696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
208195, 202, 199, 207syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
209208adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
210 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  =  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  ->  x  =/=  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
211210necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  =/=  x )
212211adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  =/=  x )
213201, 206, 209, 212leneltd 9806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  <  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
214193, 194, 201, 205, 213eliood 37691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
215192, 214sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
216215adantllr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  ->  x  e.  dom  F )
217191, 216pm2.61dan 808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
218217ralrimiva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
219 dfss3 3408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
220218, 219sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
221123adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  F  e.  ( dom  F -cn-> CC ) )
222 rescncf 22007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  ->  ( F  e.  ( dom 
F -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
223220, 221, 222sylc 61 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
224184, 185, 186, 223ioccncflimc 37860 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
22522leidd 10201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
22665, 23, 23, 25, 225eliocd 37701 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
227 fvres 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) `  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =  ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
228226, 227syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( F `
 ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
229228eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
230 ioossioc 37684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) )  C_  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
231 resabs1 5139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
232230, 231ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
233232eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
234233oveq1i 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
235234a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
236229, 235eleq12d 2543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
237236adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
238224, 237mpbird 240 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
239 ne0i 3728 . . . 4  |-  ( ( F `  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
240238, 239syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
241 mnfxr 11437 . . . . . . . . 9  |- -oo  e.  RR*
242241a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
24317mnfltd 11449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> -oo  <  ( Q `  I ) )
244242, 65, 243xrltled 37574 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> -oo  <_  ( Q `  I ) )
245 iooss1 11696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_  ( Q `  I
) )  ->  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
246241, 244, 245sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
247246resabs1d 5140 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
248247eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
249248adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
250249oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
251 limcresi 22919 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( (
( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
25222adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  RR )
253 simpl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ph )
254156a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  -u pi  e.  RR* )
255158a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  pi  e.  RR* )
25623adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  RR* )
2574, 17, 22, 161, 25lelttrd 9810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
258257adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  -u pi  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
259162adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  pi )
260254, 255, 256, 258, 259eliocd 37701 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  (
-u pi (,] pi ) )
261 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )
262260, 261eldifd 3401 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F
) )
263253, 262jca 541 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) ) )
264 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
x  e.  ( (
-u pi (,] pi )  \  dom  F )  <-> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ( (
-u pi (,] pi )  \  dom  F ) ) )
265264anbi2d 718 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  <->  ( ph  /\  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ( (
-u pi (,] pi )  \  dom  F ) ) ) )
266 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  ( -oo (,) x )  =  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
267266reseq2d 5111 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  ( F  |`  ( -oo (,) x ) )  =  ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) ) )
268 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  x  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
269267, 268oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
270269neeq1d 2702 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim CC  x )  =/=  (/)  <->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) ) )
271265, 270imbi12d 327 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi ) 
\  dom  F )
)  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim CC  x )  =/=  (/) )  <->  ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F
) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) ) lim
CC  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  =/=  (/) ) ) )
272 fourierdlem46.llim . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =/=  (/) )
273271, 272vtoclg 3093 . . . . . 6  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  -> 
( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) ) )
274252, 263, 273sylc 61 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
275 ssn0 3770 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  /\  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) )
276251, 274, 275sylancr 676 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
277250, 276eqnetrd 2710 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
278240, 277pm2.61dan 808 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
279183, 278jca 541 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/)  /\  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {ctp 3963   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589    Isom wiso 5590  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   -ucneg 9881   ZZcz 10961   (,)cioo 11660   (,]cioc 11661   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   picpi 14196   -cn->ccncf 21986   lim CC climc 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  fourierdlem102  38184  fourierdlem114  38196
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