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Theorem fourierdlem46 31776
Description: The function  F has a limit at the bounds of every interval induced by the partition  Q. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem46.cn  |-  ( ph  ->  F  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) )
fourierdlem46.rlim  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =/=  (/) )
fourierdlem46.llim  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =/=  (/) )
fourierdlem46.qiso  |-  ( ph  ->  Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H ) )
fourierdlem46.qf  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> H )
fourierdlem46.i  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ M ) )
fourierdlem46.10  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
fourierdlem46.qiss  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi (,) pi ) )
fourierdlem46.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem46.h  |-  H  =  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )
fourierdlem46.ranq  |-  ( ph  ->  ran  Q  =  H )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem46  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/)  /\  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, I    x, Q    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    H( x)    M( x)

Proof of Theorem fourierdlem46
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem46.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )
2 pire 22718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
43renegcld 9998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
5 fourierdlem46.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
64, 3, 53jca 1176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  C  e.  RR ) )
7 tpssi 4199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  { -u pi ,  pi ,  C }  C_  RR )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { -u pi ,  pi ,  C }  C_  RR )
94, 3iccssred 31426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
109ssdifssd 3647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F )  C_  RR )
118, 10unssd 3685 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )  C_  RR )
121, 11syl5eqss 3553 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  C_  RR )
13 fourierdlem46.qf . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> H )
14 fourierdlem46.i . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ M ) )
15 elfzofz 11823 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  I  e.  ( 0 ... M
) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0 ... M ) )
1713, 16ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  H )
1812, 17sseldd 3510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR )
1918adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  e.  RR )
20 fzofzp1 11889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
2114, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
2213, 21ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  H )
2312, 22sseldd 3510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
2423rexrd 9655 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
2524adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
26 fourierdlem46.10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
2726adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  I )
)  ->  x  =  ( Q `  I ) )
29 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  I )
)  ->  ( Q `  I )  e.  dom  F )
3028, 29eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  I )
)  ->  x  e.  dom  F )
3130adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  dom  F )
3231adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  x  =  ( Q `  I
) )  ->  x  e.  dom  F )
33 ssun2 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  dom  F ) 
C_  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  (
( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )
3433, 1sseqtr4i 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  dom  F ) 
C_  H
35 fourierdlem46.qiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi (,) pi ) )
36 ioossicc 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  ( -u pi [,] pi )
3735, 36syl6ss 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( -u pi [,] pi ) )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
4038, 39sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( -u pi [,] pi ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  (
-u pi [,] pi ) )
42 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  -.  x  e.  dom  F )
4341, 42eldifd 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F
) )
4434, 43sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  H
)
45 fourierdlem46.ranq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ran  Q  =  H )
4645eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  =  ran  Q
)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  H  =  ran  Q )
4844, 47eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  ran  Q )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  ran  Q )
50 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> H  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
5113, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  Q  Fn  ( 0 ... M
) )
53 fvelrnb 5921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Q  Fn  ( 0 ... M )  ->  (
x  e.  ran  Q  <->  E. j  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  j )  =  x ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  (
x  e.  ran  Q  <->  E. j  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  j )  =  x ) )
5549, 54mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  E. j  e.  ( 0 ... M
) ( Q `  j )  =  x )
5655adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  E. j  e.  (
0 ... M ) ( Q `  j )  =  x )
57 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  ZZ )
5857ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  j  e.  ZZ )
59 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ph )
60 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ( Q `  j )  =  x )
62 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
6361, 62eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
6463adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
65 elfzoelz 11809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  I  e.  ZZ )
6614, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  I  e.  ZZ )
6766ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
6818rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR* )
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
7024ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
71 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
72 ioogtlb 31415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j
) )
7369, 70, 71, 72syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j
) )
74 fourierdlem46.qiso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H ) )
7574ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  Q  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... M
) ,  H ) )
7616ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ( 0 ... M
) )
77 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
78 isorel 6221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H )  /\  ( I  e.  ( 0 ... M
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) ) )  -> 
( I  <  j  <->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j ) ) )
7975, 76, 77, 78syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
I  <  j  <->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j )
) )
8073, 79mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  I  <  j )
81 iooltub 31435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
8269, 70, 71, 81syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
8321ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
84 isorel 6221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H )  /\  ( j  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) ) )  -> 
( j  <  (
I  +  1 )  <-> 
( Q `  j
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
8575, 77, 83, 84syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
j  <  ( I  +  1 )  <->  ( Q `  j )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
8682, 85mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  j  <  ( I  +  1 ) )
87 btwnnz 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  I  <  j  /\  j  <  ( I  +  1 ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8867, 80, 86, 87syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8959, 60, 64, 88syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  -.  j  e.  ZZ )
9089adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  -.  j  e.  ZZ )
9158, 90pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  -.  ( Q `  j )  =  x )
9291ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  A. j  e.  (
0 ... M )  -.  ( Q `  j
)  =  x )
93 ralnex 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. j  e.  ( 0 ... M )  -.  ( Q `  j
)  =  x  <->  -.  E. j  e.  ( 0 ... M
) ( Q `  j )  =  x )
9492, 93sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  -.  E. j  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  j
)  =  x )
9556, 94pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  -.  x  e.  ran  Q )
9695adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  -.  x  e.  ran  Q )
9748, 96condan 792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
9897ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) x  e.  dom  F
)
99 dfss3 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
10098, 99sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
101100ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
10268ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR* )
10324ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
104 icossre 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  RR )
10518, 24, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  RR )
106105adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  RR )
107 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
108106, 107sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  RR )
11018ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR )
11168adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
11224adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
113 icogelb 31429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <_  x )
114111, 112, 107, 113syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <_  x )
115114adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  <_  x )
116 neqne 31339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  ( Q `
 I )  ->  x  =/=  ( Q `  I ) )
117116adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  =/=  ( Q `  I ) )
118110, 109, 115, 117leneltd 31394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  <  x )
119 icoltub 31432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
120111, 112, 107, 119syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
121120adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  <  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
122102, 103, 109, 118, 121eliood 31418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
123101, 122sseldd 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  dom  F )
124123adantllr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  dom  F )
12532, 124pm2.61dan 789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
126125ralrimiva 2881 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
127 dfss3 3499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
128126, 127sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
129 fourierdlem46.cn . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) )
130129adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  F  e.  ( dom  F -cn-> CC ) )
131 rescncf 21269 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  ->  ( F  e.  ( dom 
F -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
132128, 130, 131sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
13319, 25, 27, 132icocncflimc 31551 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
13418leidd 10131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <_  ( Q `  I ) )
13568, 24, 68, 134, 26elicod 31438 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
136 fvres 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q `  I )  e.  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) `  ( Q `
 I ) )  =  ( F `  ( Q `  I ) ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I )
)  =  ( F `
 ( Q `  I ) ) )
138137eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( Q `  I )
)  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I ) ) )
139138adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( Q `  I
) )  =  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) `  ( Q `
 I ) ) )
140 ioossico 11625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) )  C_  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
141140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
142141resabs1d 5309 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) )
143142eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) )
144143oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
145139, 144eleq12d 2549 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  ( Q `  I ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I )
)  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) ) )
146133, 145mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( Q `  I
) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) )
147 ne0i 3796 . . . 4  |-  ( ( F `  ( Q `
 I ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) )
148146, 147syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) )
149 pnfxr 11333 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  RR*
150149a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
15123ltpnfd 31380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  < +oo )
15224, 150, 151xrltled 31356 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_ +oo )
153 iooss2 11577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_ +oo )  ->  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 I ) (,) +oo ) )
154150, 152, 153syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )
155 resabs1 5308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 I ) (,) +oo )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) )
156154, 155syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
157156oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
) )
158157eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
)  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
159158adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
)  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
160 limcresi 22157 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  C_  ( (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
)  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )
161160a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) 
C_  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
) )
16218adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR )
163 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ph )
1642renegcli 9892 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR
165164rexri 9658 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  e.  RR*
166165a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR* )
1672rexri 9658 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR*
168167a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR* )
169166, 168, 68, 24, 26ioossioobi 31444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi (,) pi )  <-> 
( -u pi  <_  ( Q `  I )  /\  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  pi )
) )
17035, 169mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <_  ( Q `  I )  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  pi ) )
171170simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <_  ( Q `  I )
)
172170simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  pi )
17318, 23, 3, 26, 172ltletrd 9753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  pi )
174166, 168, 68, 171, 173elicod 31438 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  ( -u pi [,) pi ) )
175163, 174syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( Q `  I
)  e.  ( -u pi [,) pi ) )
176 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  -.  ( Q `  I
)  e.  dom  F
)
177175, 176eldifd 3492 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( Q `  I
)  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F ) )
178163, 177jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ph  /\  ( Q `  I )  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) ) )
179 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
x  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F )  <-> 
( Q `  I
)  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F ) ) )
180179anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  <->  ( ph  /\  ( Q `  I
)  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F ) ) ) )
181 oveq1 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
x (,) +oo )  =  ( ( Q `
 I ) (,) +oo ) )
182181reseq2d 5279 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  ( F  |`  ( x (,) +oo ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) )
183 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  x  =  ( Q `  I ) )
184182, 183oveq12d 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( F  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) )
185184neeq1d 2744 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( ( F  |`  ( x (,) +oo ) ) lim CC  x )  =/=  (/)  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) ) )
186180, 185imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi ) 
\  dom  F )
)  ->  ( ( F  |`  ( x (,) +oo ) ) lim CC  x
)  =/=  (/) )  <->  ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F
) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) ) ) )
187 fourierdlem46.rlim . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =/=  (/) )
188186, 187vtoclg 3176 . . . . . 6  |-  ( ( Q `  I )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  ( Q `  I )  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) ) )
189162, 178, 188sylc 60 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) )
190 ssn0 3823 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) 
C_  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  /\  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) )
191161, 189, 190syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) )
192159, 191eqnetrd 2760 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/) )
193148, 192pm2.61dan 789 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/) )
19468adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
19523adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
19626adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
197 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
198 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )
199197, 198eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
200199adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
201200adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  x  =  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
202100ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
20368ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR* )
20424ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
20568adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
20623adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
207 iocssre 11616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  RR )
208205, 206, 207syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  RR )
209 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
210208, 209sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
211210adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
21224adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
213 iocgtlb 31422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  x )
214205, 212, 209, 213syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  x )
215214adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  I
)  <  x )
216206adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
217 iocleub 31423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
218205, 212, 209, 217syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
219218adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
220 neqne 31339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  =  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  ->  x  =/=  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
221220necomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  =/=  x )
222221adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  =/=  x )
223211, 216, 219, 222leneltd 31394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  <  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
224203, 204, 211, 215, 223eliood 31418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
225202, 224sseldd 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
226225adantllr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  ->  x  e.  dom  F )
227201, 226pm2.61dan 789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
228227ralrimiva 2881 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
229 dfss3 3499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
230228, 229sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
231129adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  F  e.  ( dom  F -cn-> CC ) )
232 rescncf 21269 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  ->  ( F  e.  ( dom 
F -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
233230, 231, 232sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
234194, 195, 196, 233ioccncflimc 31547 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
23523leidd 10131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
23668, 24, 24, 26, 235eliocd 31430 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
237 fvres 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) `  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =  ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
238236, 237syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( F `
 ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
239238eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
240 ioossioc 31411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) )  C_  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
241 resabs1 5308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
242240, 241ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
243242eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
244243oveq1i 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
245244a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
246239, 245eleq12d 2549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
247246adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
248234, 247mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
249 ne0i 3796 . . . 4  |-  ( ( F `  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
250248, 249syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
251 mnfxr 11335 . . . . . . . . . 10  |- -oo  e.  RR*
252251a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
25318mnfltd 31391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> -oo  <  ( Q `  I ) )
254252, 68, 253xrltled 31356 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> -oo  <_  ( Q `  I ) )
255 iooss1 11576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_  ( Q `  I
) )  ->  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
256252, 254, 255syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
257256resabs1d 5309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
258257eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
259258adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
260259oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
261 limcresi 22157 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( (
( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
262261a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( (
( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
26323adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  RR )
264 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ph )
265165a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  -u pi  e.  RR* )
266167a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  pi  e.  RR* )
267264, 24syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  RR* )
2684, 18, 23, 171, 26lelttrd 9751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
269268adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  -u pi  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
270264, 172syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  pi )
271265, 266, 267, 269, 270eliocd 31430 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  (
-u pi (,] pi ) )
272 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )
273271, 272eldifd 3492 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F
) )
274264, 273jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) ) )
275 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
x  e.  ( (
-u pi (,] pi )  \  dom  F )  <-> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ( (
-u pi (,] pi )  \  dom  F ) ) )
276275anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  <->  ( ph  /\  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ( (
-u pi (,] pi )  \  dom  F ) ) ) )
277 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  ( -oo (,) x )  =  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
278277reseq2d 5279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  ( F  |`  ( -oo (,) x ) )  =  ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) ) )
279 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  x  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
280278, 279oveq12d 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
281280neeq1d 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim CC  x )  =/=  (/)  <->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) ) )
282276, 281imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi ) 
\  dom  F )
)  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim CC  x )  =/=  (/) )  <->  ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F
) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) ) lim
CC  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  =/=  (/) ) ) )
283 fourierdlem46.llim . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =/=  (/) )
284282, 283vtoclg 3176 . . . . . . 7  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  -> 
( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) ) )
285263, 274, 284sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
286262, 285jca 532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( (
( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  /\  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) ) )
287 ssn0 3823 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  /\  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) )
288286, 287syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
289260, 288eqnetrd 2760 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
290250, 289pm2.61dan 789 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
291193, 290jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/)  /\  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    \ cdif 3478    u. cun 3479    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {ctp 4037   class class class wbr 4453   dom cdm 5005   ran crn 5006    |` cres 5007    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594    Isom wiso 5595  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507   +oocpnf 9637   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   -ucneg 9818   ZZcz 10876   (,)cioo 11541   (,]cioc 11542   [,)cico 11543   [,]cicc 11544   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804   picpi 13681   -cn->ccncf 21248   lim CC climc 22134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139
This theorem is referenced by:  fourierdlem102  31832  fourierdlem114  31844
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