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Theorem fourierdlem46 38010
Description: The function  F has a limit at the bounds of every interval induced by the partition  Q. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem46.cn  |-  ( ph  ->  F  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) )
fourierdlem46.rlim  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =/=  (/) )
fourierdlem46.llim  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =/=  (/) )
fourierdlem46.qiso  |-  ( ph  ->  Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H ) )
fourierdlem46.qf  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> H )
fourierdlem46.i  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ M ) )
fourierdlem46.10  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
fourierdlem46.qiss  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi (,) pi ) )
fourierdlem46.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem46.h  |-  H  =  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )
fourierdlem46.ranq  |-  ( ph  ->  ran  Q  =  H )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem46  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/)  /\  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, I    x, Q    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    H( x)    M( x)

Proof of Theorem fourierdlem46
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem46.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )
2 pire 23406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
43renegcld 10043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
5 fourierdlem46.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 tpssi 4137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  { -u pi ,  pi ,  C }  C_  RR )
74, 3, 5, 6syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { -u pi ,  pi ,  C }  C_  RR )
84, 3iccssred 37596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
98ssdifssd 3570 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F )  C_  RR )
107, 9unssd 3609 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )  C_  RR )
111, 10syl5eqss 3475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  C_  RR )
12 fourierdlem46.qf . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> H )
13 fourierdlem46.i . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ M ) )
14 elfzofz 11932 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  I  e.  ( 0 ... M
) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0 ... M ) )
1612, 15ffvelrnd 6021 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  H )
1711, 16sseldd 3432 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR )
1817adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  e.  RR )
19 fzofzp1 12005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
2013, 19syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
2112, 20ffvelrnd 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  H )
2211, 21sseldd 3432 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
2322rexrd 9687 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
2423adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
25 fourierdlem46.10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
2625adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
27 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  I )
)  ->  x  =  ( Q `  I ) )
28 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  I )
)  ->  ( Q `  I )  e.  dom  F )
2927, 28eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  I )
)  ->  x  e.  dom  F )
3029adantll 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  dom  F )
3130adantlr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  x  =  ( Q `  I
) )  ->  x  e.  dom  F )
32 ssun2 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  dom  F ) 
C_  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  (
( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )
3332, 1sseqtr4i 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  dom  F ) 
C_  H
34 fourierdlem46.qiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi (,) pi ) )
35 ioossicc 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  ( -u pi [,] pi )
3634, 35syl6ss 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
3736sselda 3431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( -u pi [,] pi ) )
3837adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  (
-u pi [,] pi ) )
39 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  -.  x  e.  dom  F )
4038, 39eldifd 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F
) )
4133, 40sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  H
)
42 fourierdlem46.ranq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ran  Q  =  H )
4342eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  =  ran  Q
)
4443ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  H  =  ran  Q )
4541, 44eleqtrd 2530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  ran  Q )
46 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  ran  Q )
47 ffn 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> H  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
4812, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
4948adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  Q  Fn  ( 0 ... M
) )
50 fvelrnb 5910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Q  Fn  ( 0 ... M )  ->  (
x  e.  ran  Q  <->  E. j  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  j )  =  x ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  (
x  e.  ran  Q  <->  E. j  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  j )  =  x ) )
5246, 51mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  E. j  e.  ( 0 ... M
) ( Q `  j )  =  x )
5352adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  E. j  e.  (
0 ... M ) ( Q `  j )  =  x )
54 elfzelz 11797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  ZZ )
5554ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  j  e.  ZZ )
56 simplll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ph )
57 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
58 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ( Q `  j )  =  x )
59 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
6058, 59eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
6160adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
62 elfzoelz 11917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  I  e.  ZZ )
6313, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  I  e.  ZZ )
6463ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
6517rexrd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR* )
6665ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
6723ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
68 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
69 ioogtlb 37586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j
) )
7066, 67, 68, 69syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j
) )
71 fourierdlem46.qiso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H ) )
7271ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  Q  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... M
) ,  H ) )
7315ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ( 0 ... M
) )
74 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
75 isorel 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H )  /\  ( I  e.  ( 0 ... M
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) ) )  -> 
( I  <  j  <->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j ) ) )
7672, 73, 74, 75syl12anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
I  <  j  <->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j )
) )
7770, 76mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  I  <  j )
78 iooltub 37604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
7966, 67, 68, 78syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
8020ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
81 isorel 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H )  /\  ( j  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) ) )  -> 
( j  <  (
I  +  1 )  <-> 
( Q `  j
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
8272, 74, 80, 81syl12anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
j  <  ( I  +  1 )  <->  ( Q `  j )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
8379, 82mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  j  <  ( I  +  1 ) )
84 btwnnz 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  I  <  j  /\  j  <  ( I  +  1 ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8564, 77, 83, 84syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8656, 57, 61, 85syl21anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8786adantllr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8855, 87pm2.65da 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  -.  ( Q `  j )  =  x )
8988nrexdv 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  -.  E. j  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  j
)  =  x )
9053, 89pm2.65da 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  -.  x  e.  ran  Q )
9190adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  -.  x  e.  ran  Q )
9245, 91condan 802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
9392ralrimiva 2801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) x  e.  dom  F
)
94 dfss3 3421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
9593, 94sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
9695ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
9765ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR* )
9823ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
99 icossre 11712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  RR )
10017, 23, 99syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  RR )
101100sselda 3431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
102101adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  RR )
10317ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR )
10465adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
10523adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
106 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
107 icogelb 11683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <_  x )
108104, 105, 106, 107syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <_  x )
109108adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  <_  x )
110 neqne 37368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  ( Q `
 I )  ->  x  =/=  ( Q `  I ) )
111110adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  =/=  ( Q `  I ) )
112103, 102, 109, 111leneltd 9786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  <  x )
113 icoltub 37601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
114104, 105, 106, 113syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
115114adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  <  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
11697, 98, 102, 112, 115eliood 37589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
11796, 116sseldd 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  dom  F )
118117adantllr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  dom  F )
11931, 118pm2.61dan 799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
120119ralrimiva 2801 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
121 dfss3 3421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
122120, 121sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
123 fourierdlem46.cn . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) )
124123adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  F  e.  ( dom  F -cn-> CC ) )
125 rescncf 21922 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  ->  ( F  e.  ( dom 
F -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
126122, 124, 125sylc 62 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
12718, 24, 26, 126icocncflimc 37761 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
12817leidd 10177 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <_  ( Q `  I ) )
12965, 23, 65, 128, 25elicod 11682 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
130 fvres 5877 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q `  I )  e.  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) `  ( Q `
 I ) )  =  ( F `  ( Q `  I ) ) )
131129, 130syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I )
)  =  ( F `
 ( Q `  I ) ) )
132131eqcomd 2456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( Q `  I )
)  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I ) ) )
133132adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( Q `  I
) )  =  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) `  ( Q `
 I ) ) )
134 ioossico 11720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) )  C_  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
135134a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
136135resabs1d 5133 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) )
137136eqcomd 2456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) )
138137oveq1d 6303 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
139127, 133, 1383eltr4d 2543 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( Q `  I
) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) )
140 ne0i 3736 . . . 4  |-  ( ( F `  ( Q `
 I ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) )
141139, 140syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) )
142 pnfxr 11409 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
143142a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
14422ltpnfd 11420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  < +oo )
14523, 143, 144xrltled 37478 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_ +oo )
146 iooss2 11669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_ +oo )  ->  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 I ) (,) +oo ) )
147142, 145, 146sylancr 668 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )
148147resabs1d 5133 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
149148oveq1d 6303 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
) )
150149eqcomd 2456 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
)  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
151150adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
)  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
152 limcresi 22833 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  C_  ( (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
)  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )
15317adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR )
154 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ph )
1552renegcli 9932 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR
156155rexri 9690 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  e.  RR*
157156a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR* )
1582rexri 9690 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR*
159158a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR* )
1604, 3, 17, 22, 25, 34fourierdlem10 37973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <_  ( Q `  I )  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  pi ) )
161160simpld 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <_  ( Q `  I )
)
162160simprd 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  pi )
16317, 22, 3, 25, 162ltletrd 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  pi )
164157, 159, 65, 161, 163elicod 11682 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  ( -u pi [,) pi ) )
165164adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( Q `  I
)  e.  ( -u pi [,) pi ) )
166 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  -.  ( Q `  I
)  e.  dom  F
)
167165, 166eldifd 3414 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( Q `  I
)  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F ) )
168154, 167jca 535 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ph  /\  ( Q `  I )  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) ) )
169 eleq1 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
x  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F )  <-> 
( Q `  I
)  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F ) ) )
170169anbi2d 709 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  <->  ( ph  /\  ( Q `  I
)  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F ) ) ) )
171 oveq1 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
x (,) +oo )  =  ( ( Q `
 I ) (,) +oo ) )
172171reseq2d 5104 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  ( F  |`  ( x (,) +oo ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) )
173 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  x  =  ( Q `  I ) )
174172, 173oveq12d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( F  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) )
175174neeq1d 2682 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( ( F  |`  ( x (,) +oo ) ) lim CC  x )  =/=  (/)  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) ) )
176170, 175imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi ) 
\  dom  F )
)  ->  ( ( F  |`  ( x (,) +oo ) ) lim CC  x
)  =/=  (/) )  <->  ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F
) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) ) ) )
177 fourierdlem46.rlim . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =/=  (/) )
178176, 177vtoclg 3106 . . . . . 6  |-  ( ( Q `  I )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  ( Q `  I )  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) ) )
179153, 168, 178sylc 62 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) )
180 ssn0 3766 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) 
C_  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  /\  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) )
181152, 179, 180sylancr 668 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) )
182151, 181eqnetrd 2690 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/) )
183141, 182pm2.61dan 799 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/) )
18465adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
18522adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
18625adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
187 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
188 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )
189187, 188eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
190189adantll 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
191190adantlr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  x  =  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
19295ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
19365ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR* )
19423ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
19565adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
19622adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
197 iocssre 11711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  RR )
198195, 196, 197syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  RR )
199 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
200198, 199sseldd 3432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
201200adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
20223adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
203 iocgtlb 37593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  x )
204195, 202, 199, 203syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  x )
205204adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  I
)  <  x )
20622ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
207 iocleub 37594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
208195, 202, 199, 207syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
209208adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
210 neqne 37368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  =  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  ->  x  =/=  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
211210necomd 2678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  =/=  x )
212211adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  =/=  x )
213201, 206, 209, 212leneltd 9786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  <  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
214193, 194, 201, 205, 213eliood 37589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
215192, 214sseldd 3432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
216215adantllr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  ->  x  e.  dom  F )
217191, 216pm2.61dan 799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
218217ralrimiva 2801 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
219 dfss3 3421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
220218, 219sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
221123adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  F  e.  ( dom  F -cn-> CC ) )
222 rescncf 21922 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  ->  ( F  e.  ( dom 
F -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
223220, 221, 222sylc 62 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
224184, 185, 186, 223ioccncflimc 37757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
22522leidd 10177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
22665, 23, 23, 25, 225eliocd 37599 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
227 fvres 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) `  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =  ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
228226, 227syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( F `
 ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
229228eqcomd 2456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
230 ioossioc 37582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) )  C_  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
231 resabs1 5132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
232230, 231ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
233232eqcomi 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
234233oveq1i 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
235234a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
236229, 235eleq12d 2522 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
237236adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
238224, 237mpbird 236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
239 ne0i 3736 . . . 4  |-  ( ( F `  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
240238, 239syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
241 mnfxr 11411 . . . . . . . . 9  |- -oo  e.  RR*
242241a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
24317mnfltd 11423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> -oo  <  ( Q `  I ) )
244242, 65, 243xrltled 37478 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> -oo  <_  ( Q `  I ) )
245 iooss1 11668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_  ( Q `  I
) )  ->  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
246241, 244, 245sylancr 668 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
247246resabs1d 5133 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
248247eqcomd 2456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
249248adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
250249oveq1d 6303 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
251 limcresi 22833 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( (
( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
25222adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  RR )
253 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ph )
254156a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  -u pi  e.  RR* )
255158a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  pi  e.  RR* )
25623adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  RR* )
2574, 17, 22, 161, 25lelttrd 9790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
258257adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  -u pi  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
259162adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  pi )
260254, 255, 256, 258, 259eliocd 37599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  (
-u pi (,] pi ) )
261 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )
262260, 261eldifd 3414 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F
) )
263253, 262jca 535 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) ) )
264 eleq1 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
x  e.  ( (
-u pi (,] pi )  \  dom  F )  <-> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ( (
-u pi (,] pi )  \  dom  F ) ) )
265264anbi2d 709 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  <->  ( ph  /\  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ( (
-u pi (,] pi )  \  dom  F ) ) ) )
266 oveq2 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  ( -oo (,) x )  =  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
267266reseq2d 5104 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  ( F  |`  ( -oo (,) x ) )  =  ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) ) )
268 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  x  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
269267, 268oveq12d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
270269neeq1d 2682 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim CC  x )  =/=  (/)  <->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) ) )
271265, 270imbi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi ) 
\  dom  F )
)  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim CC  x )  =/=  (/) )  <->  ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F
) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) ) lim
CC  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  =/=  (/) ) ) )
272 fourierdlem46.llim . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =/=  (/) )
273271, 272vtoclg 3106 . . . . . 6  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  -> 
( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) ) )
274252, 263, 273sylc 62 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
275 ssn0 3766 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  /\  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) )
276251, 274, 275sylancr 668 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
277250, 276eqnetrd 2690 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
278240, 277pm2.61dan 799 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
279183, 278jca 535 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/)  /\  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737    \ cdif 3400    u. cun 3401    C_ wss 3403   (/)c0 3730   {ctp 3971   class class class wbr 4401   dom cdm 4833   ran crn 4834    |` cres 4835    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581    Isom wiso 5582  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539   +oocpnf 9669   -oocmnf 9670   RR*cxr 9671    < clt 9672    <_ cle 9673   -ucneg 9858   ZZcz 10934   (,)cioo 11632   (,]cioc 11633   [,)cico 11634   [,]cicc 11635   ...cfz 11781  ..^cfzo 11912   picpi 14112   -cn->ccncf 21901   lim CC climc 22810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815
This theorem is referenced by:  fourierdlem102  38066  fourierdlem114  38078
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