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Theorem fourierdlem46 37316
Description: The function  F has a limit at the bounds of every interval induced by the partition  Q. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem46.cn  |-  ( ph  ->  F  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) )
fourierdlem46.rlim  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =/=  (/) )
fourierdlem46.llim  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =/=  (/) )
fourierdlem46.qiso  |-  ( ph  ->  Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H ) )
fourierdlem46.qf  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> H )
fourierdlem46.i  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ M ) )
fourierdlem46.10  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
fourierdlem46.qiss  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi (,) pi ) )
fourierdlem46.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem46.h  |-  H  =  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )
fourierdlem46.ranq  |-  ( ph  ->  ran  Q  =  H )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem46  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/)  /\  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, I    x, Q    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    H( x)    M( x)

Proof of Theorem fourierdlem46
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem46.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )
2 pire 23145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
43renegcld 10029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
5 fourierdlem46.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 tpssi 4140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  { -u pi ,  pi ,  C }  C_  RR )
74, 3, 5, 6syl3anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { -u pi ,  pi ,  C }  C_  RR )
84, 3iccssred 36920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
98ssdifssd 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F )  C_  RR )
107, 9unssd 3621 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )  C_  RR )
111, 10syl5eqss 3488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  C_  RR )
12 fourierdlem46.qf . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> H )
13 fourierdlem46.i . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ M ) )
14 elfzofz 11876 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  I  e.  ( 0 ... M
) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0 ... M ) )
1612, 15ffvelrnd 6012 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  H )
1711, 16sseldd 3445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  e.  RR )
19 fzofzp1 11948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
2013, 19syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
2112, 20ffvelrnd 6012 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  H )
2211, 21sseldd 3445 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
2322rexrd 9675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
2423adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
25 fourierdlem46.10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
2625adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  I )
)  ->  x  =  ( Q `  I ) )
28 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  I )
)  ->  ( Q `  I )  e.  dom  F )
2927, 28eqeltrd 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  I )
)  ->  x  e.  dom  F )
3029adantll 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  dom  F )
3130adantlr 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  x  =  ( Q `  I
) )  ->  x  e.  dom  F )
32 ssun2 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  dom  F ) 
C_  ( { -u pi ,  pi ,  C }  u.  (
( -u pi [,] pi )  \  dom  F ) )
3332, 1sseqtr4i 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  dom  F ) 
C_  H
34 fourierdlem46.qiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi (,) pi ) )
35 ioossicc 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  ( -u pi [,] pi )
3634, 35syl6ss 3456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
3736sselda 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( -u pi [,] pi ) )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  (
-u pi [,] pi ) )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  -.  x  e.  dom  F )
4038, 39eldifd 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  F
) )
4133, 40sseldi 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  H
)
42 fourierdlem46.ranq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ran  Q  =  H )
4342eqcomd 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  =  ran  Q
)
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  H  =  ran  Q )
4541, 44eleqtrd 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  x  e.  ran  Q )
46 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  x  e.  ran  Q )
47 ffn 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> H  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
4812, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  Q  Fn  ( 0 ... M
) )
50 fvelrnb 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Q  Fn  ( 0 ... M )  ->  (
x  e.  ran  Q  <->  E. j  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  j )  =  x ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  (
x  e.  ran  Q  <->  E. j  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  j )  =  x ) )
5246, 51mpbid 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  Q )  ->  E. j  e.  ( 0 ... M
) ( Q `  j )  =  x )
5352adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  E. j  e.  (
0 ... M ) ( Q `  j )  =  x )
54 elfzelz 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  ZZ )
5554ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  j  e.  ZZ )
56 simplll 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ph )
57 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
58 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ( Q `  j )  =  x )
59 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
6058, 59eqeltrd 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
6160adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
62 elfzoelz 11861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  I  e.  ZZ )
6313, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  I  e.  ZZ )
6463ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
6517rexrd 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR* )
6665ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
6723ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
69 ioogtlb 36910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j
) )
7066, 67, 68, 69syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j
) )
71 fourierdlem46.qiso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H ) )
7271ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  Q  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... M
) ,  H ) )
7315ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  I  e.  ( 0 ... M
) )
74 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
75 isorel 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H )  /\  ( I  e.  ( 0 ... M
)  /\  j  e.  ( 0 ... M
) ) )  -> 
( I  <  j  <->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j ) ) )
7672, 73, 74, 75syl12anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
I  <  j  <->  ( Q `  I )  <  ( Q `  j )
) )
7770, 76mpbird 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  I  <  j )
78 iooltub 36929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
7966, 67, 68, 78syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
8020ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
81 isorel 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H )  /\  ( j  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) ) )  -> 
( j  <  (
I  +  1 )  <-> 
( Q `  j
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
8272, 74, 80, 81syl12anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
j  <  ( I  +  1 )  <->  ( Q `  j )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
8379, 82mpbird 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  j  <  ( I  +  1 ) )
84 btwnnz 10982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  I  <  j  /\  j  <  ( I  +  1 ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8564, 77, 83, 84syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8656, 57, 61, 85syl21anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8786adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  j )  =  x )  ->  -.  j  e.  ZZ )
8855, 87pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  -.  ( Q `  j )  =  x )
8988nrexdv 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  ran  Q )  ->  -.  E. j  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  j
)  =  x )
9053, 89pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  -.  x  e.  ran  Q )
9190adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  -.  x  e.  ran  Q )
9245, 91condan 797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
9392ralrimiva 2820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) x  e.  dom  F
)
94 dfss3 3434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
9593, 94sylibr 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
9695ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
9765ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR* )
9823ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
99 icossre 11661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  RR )
10017, 23, 99syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  RR )
101100sselda 3444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  RR )
10317ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR )
10465adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
10523adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
106 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
107 icogelb 36923 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <_  x )
108104, 105, 106, 107syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <_  x )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  <_  x )
110 neqne 36823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  ( Q `
 I )  ->  x  =/=  ( Q `  I ) )
111110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  =/=  ( Q `  I ) )
112103, 102, 109, 111leneltd 36877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  -> 
( Q `  I
)  <  x )
113 icoltub 36926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
114104, 105, 106, 113syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
115114adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  <  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
11697, 98, 102, 112, 115eliood 36913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
11796, 116sseldd 3445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  dom  F )
118117adantllr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  I ) )  ->  x  e.  dom  F )
11931, 118pm2.61dan 794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
120119ralrimiva 2820 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
121 dfss3 3434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
122120, 121sylibr 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
123 fourierdlem46.cn . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( dom 
F -cn-> CC ) )
124123adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  F  e.  ( dom  F -cn-> CC ) )
125 rescncf 21695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  ->  ( F  e.  ( dom 
F -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
126122, 124, 125sylc 61 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
12718, 24, 26, 126icocncflimc 37073 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
12817leidd 10161 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <_  ( Q `  I ) )
12965, 23, 65, 128, 25elicod 36932 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
130 fvres 5865 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q `  I )  e.  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) `  ( Q `
 I ) )  =  ( F `  ( Q `  I ) ) )
131129, 130syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I )
)  =  ( F `
 ( Q `  I ) ) )
132131eqcomd 2412 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( Q `  I )
)  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  I ) ) )
133132adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( Q `  I
) )  =  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) `  ( Q `
 I ) ) )
134 ioossico 11669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) )  C_  ( ( Q `  I ) [,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
135134a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
136135resabs1d 5125 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) [,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) )
137136eqcomd 2412 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) )
138137oveq1d 6295 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) [,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
139127, 133, 1383eltr4d 2507 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( Q `  I
) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) )
140 ne0i 3746 . . . 4  |-  ( ( F `  ( Q `
 I ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) )
141139, 140syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) )
142 pnfxr 11376 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
143142a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
14422ltpnfd 36865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  < +oo )
14523, 143, 144xrltled 36843 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_ +oo )
146 iooss2 11620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_ +oo )  ->  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 I ) (,) +oo ) )
147142, 145, 146sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )
148147resabs1d 5125 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
149148oveq1d 6295 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
) )
150149eqcomd 2412 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
)  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
151150adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
)  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) ) )
152 limcresi 22583 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `  I ) )  C_  ( (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
)  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I ) )
15317adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR )
154 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  ph )
1552renegcli 9918 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR
156155rexri 9678 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  e.  RR*
157156a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR* )
1582rexri 9678 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR*
159158a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR* )
1604, 3, 17, 22, 25, 34fourierdlem10 37280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi  <_  ( Q `  I )  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  pi ) )
161160simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <_  ( Q `  I )
)
162160simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  pi )
16317, 22, 3, 25, 162ltletrd 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  pi )
164157, 159, 65, 161, 163elicod 36932 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  ( -u pi [,) pi ) )
165164adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( Q `  I
)  e.  ( -u pi [,) pi ) )
166 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  ->  -.  ( Q `  I
)  e.  dom  F
)
167165, 166eldifd 3427 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( Q `  I
)  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F ) )
168154, 167jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ph  /\  ( Q `  I )  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) ) )
169 eleq1 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
x  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F )  <-> 
( Q `  I
)  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F ) ) )
170169anbi2d 704 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  <->  ( ph  /\  ( Q `  I
)  e.  ( (
-u pi [,) pi )  \  dom  F ) ) ) )
171 oveq1 6287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
x (,) +oo )  =  ( ( Q `
 I ) (,) +oo ) )
172171reseq2d 5096 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  ( F  |`  ( x (,) +oo ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) )
173 id 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  x  =  ( Q `  I ) )
174172, 173oveq12d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( F  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) )
175174neeq1d 2682 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( ( F  |`  ( x (,) +oo ) ) lim CC  x )  =/=  (/)  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) ) )
176170, 175imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Q `  I )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi ) 
\  dom  F )
)  ->  ( ( F  |`  ( x (,) +oo ) ) lim CC  x
)  =/=  (/) )  <->  ( ( ph  /\  ( Q `  I )  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F
) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) ) ) )
177 fourierdlem46.rlim . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =/=  (/) )
178176, 177vtoclg 3119 . . . . . 6  |-  ( ( Q `  I )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  ( Q `  I )  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) +oo )
) lim CC  ( Q `  I ) )  =/=  (/) ) )
179153, 168, 178sylc 61 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) )
180 ssn0 3774 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `
 I ) ) 
C_  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  /\  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) +oo ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) )
181152, 179, 180sylancr 663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) +oo ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 I ) )  =/=  (/) )
182151, 181eqnetrd 2698 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  I )  e.  dom  F )  -> 
( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/) )
183141, 182pm2.61dan 794 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/) )
18465adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
18522adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
18625adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  I )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
187 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
188 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )
189187, 188eqeltrd 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  dom  F  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
190189adantll 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
191190adantlr 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  x  =  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
19295ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
19365ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  I
)  e.  RR* )
19423ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
19565adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR* )
19622adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
197 iocssre 11660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  RR )
198195, 196, 197syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  RR )
199 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
200198, 199sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
201200adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
20223adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR* )
203 iocgtlb 36917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  x )
204195, 202, 199, 203syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( Q `  I )  <  x )
205204adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  I
)  <  x )
20622ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
207 iocleub 36918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Q `  I
)  e.  RR*  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
208195, 202, 199, 207syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
209208adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
210 neqne 36823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  =  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  ->  x  =/=  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
211210necomd 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  =/=  x )
212211adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  =/=  x )
213201, 206, 209, 212leneltd 36877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  <  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
214193, 194, 201, 205, 213eliood 36913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
215192, 214sseldd 3445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
216215adantllr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  /\  -.  x  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  ->  x  e.  dom  F )
217191, 216pm2.61dan 794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  /\  x  e.  ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
218217ralrimiva 2820 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
219 dfss3 3434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  <->  A. x  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) x  e.  dom  F )
220218, 219sylibr 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  C_  dom  F )
221123adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  F  e.  ( dom  F -cn-> CC ) )
222 rescncf 21695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  dom  F  ->  ( F  e.  ( dom 
F -cn-> CC )  ->  ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
223220, 221, 222sylc 61 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
224184, 185, 186, 223ioccncflimc 37069 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
22522leidd 10161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
22665, 23, 23, 25, 225eliocd 36924 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
227 fvres 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) `  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =  ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
228226, 227syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( F `
 ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
229228eqcomd 2412 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
230 ioossioc 36906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) )  C_  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
231 resabs1 5124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
232230, 231ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
233232eqcomi 2417 . . . . . . . . 9  |-  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
234233oveq1i 6290 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
235234a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
236229, 235eleq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
237236adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  <->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,] ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) `  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,] ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
238224, 237mpbird 234 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( F `  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
239 ne0i 3746 . . . 4  |-  ( ( F `  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
240238, 239syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
241 mnfxr 11378 . . . . . . . . 9  |- -oo  e.  RR*
242241a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
24317mnfltd 36874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> -oo  <  ( Q `  I ) )
244242, 65, 243xrltled 36843 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> -oo  <_  ( Q `  I ) )
245 iooss1 11619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_  ( Q `  I
) )  ->  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
246241, 244, 245sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
247246resabs1d 5125 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
248247eqcomd 2412 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
249248adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
250249oveq1d 6295 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
251 limcresi 22583 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  C_  ( (
( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
25222adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  RR )
253 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ph )
254156a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  -u pi  e.  RR* )
255158a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  pi  e.  RR* )
25623adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  RR* )
2574, 17, 22, 161, 25lelttrd 9776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
258257adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  -u pi  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
259162adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  pi )
260254, 255, 256, 258, 259eliocd 36924 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  (
-u pi (,] pi ) )
261 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )
262260, 261eldifd 3427 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F
) )
263253, 262jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) ) )
264 eleq1 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
x  e.  ( (
-u pi (,] pi )  \  dom  F )  <-> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ( (
-u pi (,] pi )  \  dom  F ) ) )
265264anbi2d 704 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  <->  ( ph  /\  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ( (
-u pi (,] pi )  \  dom  F ) ) ) )
266 oveq2 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  ( -oo (,) x )  =  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
267266reseq2d 5096 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  ( F  |`  ( -oo (,) x ) )  =  ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) ) )
268 id 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  x  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
269267, 268oveq12d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
270269neeq1d 2682 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim CC  x )  =/=  (/)  <->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) ) )
271265, 270imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( Q `  ( I  +  1
) )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi ) 
\  dom  F )
)  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim CC  x )  =/=  (/) )  <->  ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F
) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) ) lim
CC  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  =/=  (/) ) ) )
272 fourierdlem46.llim . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =/=  (/) )
273271, 272vtoclg 3119 . . . . . 6  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR  ->  (
( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  F ) )  -> 
( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) ) )
274252, 263, 273sylc 61 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
275 ssn0 3774 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  /\  ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )  -> 
( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) )
276251, 274, 275sylancr 663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
277250, 276eqnetrd 2698 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
278240, 277pm2.61dan 794 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
279183, 278jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  I )
)  =/=  (/)  /\  (
( F  |`  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757    \ cdif 3413    u. cun 3414    C_ wss 3416   (/)c0 3740   {ctp 3978   class class class wbr 4397   dom cdm 4825   ran crn 4826    |` cres 4827    Fn wfn 5566   -->wf 5567   ` cfv 5571    Isom wiso 5572  (class class class)co 6280   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527   +oocpnf 9657   -oocmnf 9658   RR*cxr 9659    < clt 9660    <_ cle 9661   -ucneg 9844   ZZcz 10907   (,)cioo 11584   (,]cioc 11585   [,)cico 11586   [,]cicc 11587   ...cfz 11728  ..^cfzo 11856   picpi 14013   -cn->ccncf 21674   lim CC climc 22560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-ef 14014  df-sin 14016  df-cos 14017  df-pi 14019  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565
This theorem is referenced by:  fourierdlem102  37372  fourierdlem114  37384
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