Theorem fourierdlem46 31889

Description: The function F has a limit at the bounds of every interval induced by the partition Q. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem46.cn	|- ( ph -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
fourierdlem46.rlim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem46.llim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem46.qiso	|- ( ph -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
fourierdlem46.qf	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
fourierdlem46.i	|- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
fourierdlem46.10	|- ( ph -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
fourierdlem46.qiss	|- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi (,) pi ) )
fourierdlem46.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem46.h	|- H = ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
fourierdlem46.ranq	|- ( ph -> ran Q = H )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem46	|- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) /\ ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, I   x, Q   ph, x

Allowed substitution hints:   C( x)   H( x)   M( x)

Proof of Theorem fourierdlem46

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem46.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
2		pire 22829	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. RR
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. RR )
4	3	renegcld 9993	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u pi e. RR )
5		fourierdlem46.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR )
6		tpssi 4181	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ C e. RR ) -> { -u pi , pi , C } C_ RR )
7	4, 3, 5, 6	syl3anc 1229	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { -u pi , pi , C } C_ RR )
8	4, 3	iccssred 31493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
9	8	ssdifssd 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) C_ RR )
10	7, 9	unssd 3665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) ) C_ RR )
11	1, 10	syl5eqss 3533	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H C_ RR )
12		fourierdlem46.qf	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
13		fourierdlem46.i	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
14		elfzofz 11825	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> I e. ( 0 ... M ) )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. ( 0 ... M ) )
16	12, 15	ffvelrnd 6017	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. H )
17	11, 16	sseldd 3490	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR )
18	17	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. RR )
19		fzofzp1 11891	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
20	13, 19	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
21	12, 20	ffvelrnd 6017	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. H )
22	11, 21	sseldd 3490	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
23	22	rexrd 9646	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
24	23	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
25		fourierdlem46.10	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
26	25	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
27		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` I ) e. dom F /\ x = ( Q ` I ) ) -> x = ( Q ` I ) )
28		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` I ) e. dom F /\ x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) e. dom F )
29	27, 28	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Q ` I ) e. dom F /\ x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
30	29	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
31	30	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
32		ssun2 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) C_ ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
33	32, 1	sseqtr4i 3522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) C_ H
34		fourierdlem46.qiss	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi (,) pi ) )
35		ioossicc 11621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -u pi (,) pi ) C_ ( -u pi [,] pi )
36	34, 35	syl6ss 3501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
37	36	sselda 3489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( -u pi [,] pi ) )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ( -u pi [,] pi ) )
39		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> -. x e. dom F )
40	38, 39	eldifd 3472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
41	33, 40	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. H )
42		fourierdlem46.ranq	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ran Q = H )
43	42	eqcomd 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H = ran Q )
44	43	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> H = ran Q )
45	41, 44	eleqtrd 2533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ran Q )
46		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> x e. ran Q )
47		ffn 5721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> H -> Q Fn ( 0 ... M ) )
48	12, 47	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
49	48	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> Q Fn ( 0 ... M ) )
50		fvelrnb 5905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( x e. ran Q <-> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x ) )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> ( x e. ran Q <-> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x ) )
52	46, 51	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
53	52	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) -> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
54		elfzelz 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
55	54	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> j e. ZZ )
56		simplll 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ph )
57		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> j e. ( 0 ... M ) )
58		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ( Q ` j ) = x )
59		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
60	58, 59	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
61	60	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
62		elfzoelz 11811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> I e. ZZ )
63	13, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> I e. ZZ )
64	63	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> I e. ZZ )
65	17	rexrd 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR* )
66	65	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
67	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
68		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
69		ioogtlb 31482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) )
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) )
71		fourierdlem46.qiso	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
72	71	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
73	15	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> I e. ( 0 ... M ) )
74		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
75		isorel 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( I e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( I < j <-> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) ) )
76	72, 73, 74, 75	syl12anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( I < j <-> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) ) )
77	70, 76	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> I < j )
78		iooltub 31502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
79	66, 67, 68, 78	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
80	20	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
81		isorel 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( j e. ( 0 ... M ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( j < ( I + 1 ) <-> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
82	72, 74, 80, 81	syl12anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( j < ( I + 1 ) <-> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
83	79, 82	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> j < ( I + 1 ) )
84		btwnnz 10946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( I e. ZZ /\ I < j /\ j < ( I + 1 ) ) -> -. j e. ZZ )
85	64, 77, 83, 84	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> -. j e. ZZ )
86	56, 57, 61, 85	syl21anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> -. j e. ZZ )
87	86	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> -. j e. ZZ )
88	55, 87	pm2.65da 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> -. ( Q ` j ) = x )
89	88	nrexdv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) -> -. E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
90	53, 89	pm2.65da 576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> -. x e. ran Q )
91	90	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> -. x e. ran Q )
92	45, 91	condan 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
93	92	ralrimiva 2857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
94		dfss3 3479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
95	93, 94	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
96	95	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
97	65	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
98	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
99		icossre 11616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* ) -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
100	17, 23, 99	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
101	100	sselda 3489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
102	101	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. RR )
103	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) e. RR )
104	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
105	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
106		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
107		icogelb 31496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) <_ x )
108	104, 105, 106, 107	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) <_ x )
109	108	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) <_ x )
110		neqne 31388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = ( Q ` I ) -> x =/= ( Q ` I ) )
111	110	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x =/= ( Q ` I ) )
112	103, 102, 109, 111	leneltd 31448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) < x )
113		icoltub 31499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
114	104, 105, 106, 113	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
115	114	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
116	97, 98, 102, 112, 115	eliood 31485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
117	96, 116	sseldd 3490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
118	117	adantllr 718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
119	31, 118	pm2.61dan 791	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
120	119	ralrimiva 2857	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> A. x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
121		dfss3 3479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
122	120, 121	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
123		fourierdlem46.cn	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
124	123	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
125		rescncf 21379	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F -> ( F e. ( dom F -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
126	122, 124, 125	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
127	18, 24, 26, 126	icocncflimc 31646	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
128	17	leidd 10126	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` I ) <_ ( Q ` I ) )
129	65, 23, 65, 128, 25	elicod 31505	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
130		fvres 5870	. . . . . . . 8 |- ( ( Q ` I ) e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) = ( F ` ( Q ` I ) ) )
131	129, 130	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) = ( F ` ( Q ` I ) ) )
132	131	eqcomd 2451	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( Q ` I ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) )
133	132	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F ` ( Q ` I ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) )
134		ioossico 11624	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) )
135	134	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
136	135	resabs1d 5293	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
137	136	eqcomd 2451	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
138	137	oveq1d 6296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
139	127, 133, 138	3eltr4d 2546	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F ` ( Q ` I ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
140		ne0i 3776	. . . 4 |- ( ( F ` ( Q ` I ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
141	139, 140	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
142		pnfxr 11332	. . . . . . . . 9 |- +oo e. RR*
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> +oo e. RR* )
144	22	ltpnfd 31434	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) < +oo )
145	23, 143, 144	xrltled 31410	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ +oo )
146		iooss2 11576	. . . . . . . . 9 |- ( ( +oo e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ +oo ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,) +oo ) )
147	142, 145, 146	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,) +oo ) )
148	147	resabs1d 5293	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
149	148	oveq1d 6296	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
150	149	eqcomd 2451	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
151	150	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
152		limcresi 22267	. . . . 5 |- ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) C_ ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) )
153	17	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. RR )
154		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ph )
155	2	renegcli 9885	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR
156	155	rexri 9649	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. RR*
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi e. RR* )
158	2	rexri 9649	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR*
159	158	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> pi e. RR* )
160	4, 3, 17, 22, 25, 34	fourierdlem10 31853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi <_ ( Q ` I ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi ) )
161	160	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ ( Q ` I ) )
162	160	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi )
163	17, 22, 3, 25, 162	ltletrd 9745	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` I ) < pi )
164	157, 159, 65, 161, 163	elicod 31505	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. ( -u pi [,) pi ) )
165	164	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. ( -u pi [,) pi ) )
166		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> -. ( Q ` I ) e. dom F )
167	165, 166	eldifd 3472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) )
168	154, 167	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) )
169		eleq1 2515	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) <-> ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) )
170	169	anbi2d 703	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) <-> ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) ) )
171		oveq1 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( x (,) +oo ) = ( ( Q ` I ) (,) +oo ) )
172	171	reseq2d 5263	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( F |` ( x (,) +oo ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) )
173		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` I ) -> x = ( Q ` I ) )
174	172, 173	oveq12d 6299	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
175	174	neeq1d 2720	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) )
176	170, 175	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) ) )
177		fourierdlem46.rlim	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
178	176, 177	vtoclg 3153	. . . . . 6 |- ( ( Q ` I ) e. RR -> ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) )
179	153, 168, 178	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
180		ssn0 3804	. . . . 5 |- ( ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) C_ ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) /\ ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
181	152, 179, 180	sylancr 663	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
182	151, 181	eqnetrd 2736	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
183	141, 182	pm2.61dan 791	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
184	65	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
185	22	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
186	25	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
187		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
188		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F )
189	187, 188	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
190	189	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
191	190	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
192	95	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
193	65	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
194	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
195	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
196	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
197		iocssre 11615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
198	195, 196, 197	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
199		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
200	198, 199	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
201	200	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. RR )
202	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
203		iocgtlb 31489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < x )
204	195, 202, 199, 203	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < x )
205	204	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` I ) < x )
206	22	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
207		iocleub 31490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
208	195, 202, 199, 207	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
209	208	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
210		neqne 31388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> x =/= ( Q ` ( I + 1 ) ) )
211	210	necomd 2714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) =/= x )
212	211	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) =/= x )
213	201, 206, 209, 212	leneltd 31448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
214	193, 194, 201, 205, 213	eliood 31485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
215	192, 214	sseldd 3490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
216	215	adantllr 718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
217	191, 216	pm2.61dan 791	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
218	217	ralrimiva 2857	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> A. x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
219		dfss3 3479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
220	218, 219	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
221	123	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
222		rescncf 21379	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F -> ( F e. ( dom F -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
223	220, 221, 222	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
224	184, 185, 186, 223	ioccncflimc 31642	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
225	22	leidd 10126	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
226	65, 23, 23, 25, 225	eliocd 31497	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
227		fvres 5870	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
228	226, 227	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
229	228	eqcomd 2451	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
230		ioossioc 31478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) )
231		resabs1 5292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
232	230, 231	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
233	232	eqcomi 2456	. . . . . . . . 9 |- ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
234	233	oveq1i 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) )
235	234	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
236	229, 235	eleq12d 2525	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
237	236	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
238	224, 237	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
239		ne0i 3776	. . . 4 |- ( ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
240	238, 239	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
241		mnfxr 11334	. . . . . . . . 9 |- -oo e. RR*
242	241	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -oo e. RR* )
243	17	mnfltd 31445	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -oo < ( Q ` I ) )
244	242, 65, 243	xrltled 31410	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -oo <_ ( Q ` I ) )
245		iooss1 11575	. . . . . . . . 9 |- ( ( -oo e. RR* /\ -oo <_ ( Q ` I ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
246	241, 244, 245	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
247	246	resabs1d 5293	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
248	247	eqcomd 2451	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
249	248	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
250	249	oveq1d 6296	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
251		limcresi 22267	. . . . 5 |- ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) )
252	22	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
253		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ph )
254	156	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> -u pi e. RR* )
255	158	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> pi e. RR* )
256	23	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
257	4, 17, 22, 161, 25	lelttrd 9743	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
258	257	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> -u pi < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
259	162	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi )
260	254, 255, 256, 258, 259	eliocd 31497	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( -u pi (,] pi ) )
261		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F )
262	260, 261	eldifd 3472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) )
263	253, 262	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) )
264		eleq1 2515	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) <-> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) )
265	264	anbi2d 703	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) <-> ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) ) )
266		oveq2 6289	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( -oo (,) x ) = ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
267	266	reseq2d 5263	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( F |` ( -oo (,) x ) ) = ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
268		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> x = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
269	267, 268	oveq12d 6299	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
270	269	neeq1d 2720	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) <-> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )
271	265, 270	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) ) )
272		fourierdlem46.llim	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
273	271, 272	vtoclg 3153	. . . . . 6 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR -> ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )
274	252, 263, 273	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
275		ssn0 3804	. . . . 5 |- ( ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) /\ ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
276	251, 274, 275	sylancr 663	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
277	250, 276	eqnetrd 2736	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
278	240, 277	pm2.61dan 791	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
279	183, 278	jca 532	1 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) /\ ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   \ cdif 3458   u. cun 3459   C_ wss 3461   (/)c0 3770   {ctp 4018   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   ran crn 4990   |` cres 4991   Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578   Isom wiso 5579  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   + caddc 9498   +oocpnf 9628   -oocmnf 9629   RR*cxr 9630   < clt 9631   <_ cle 9632   -ucneg 9811   ZZcz 10871   (,)cioo 11540   (,]cioc 11541   [,)cico 11542   [,]cicc 11543   ...cfz 11683  ..^cfzo 11806   picpi 13784   -cn->ccncf 21358   lim CC climc 22244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249

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