Theorem fourierdlem46 38128

Description: The function F has a limit at the bounds of every interval induced by the partition Q. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem46.cn	|- ( ph -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
fourierdlem46.rlim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem46.llim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem46.qiso	|- ( ph -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
fourierdlem46.qf	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
fourierdlem46.i	|- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
fourierdlem46.10	|- ( ph -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
fourierdlem46.qiss	|- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi (,) pi ) )
fourierdlem46.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem46.h	|- H = ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
fourierdlem46.ranq	|- ( ph -> ran Q = H )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem46	|- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) /\ ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, I   x, Q   ph, x

Allowed substitution hints:   C( x)   H( x)   M( x)

Proof of Theorem fourierdlem46

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem46.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
2		pire 23492	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. RR
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. RR )
4	3	renegcld 10067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u pi e. RR )
5		fourierdlem46.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR )
6		tpssi 4130	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ C e. RR ) -> { -u pi , pi , C } C_ RR )
7	4, 3, 5, 6	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { -u pi , pi , C } C_ RR )
8	4, 3	iccssred 37698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
9	8	ssdifssd 3560	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) C_ RR )
10	7, 9	unssd 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) ) C_ RR )
11	1, 10	syl5eqss 3462	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H C_ RR )
12		fourierdlem46.qf	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
13		fourierdlem46.i	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
14		elfzofz 11962	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> I e. ( 0 ... M ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. ( 0 ... M ) )
16	12, 15	ffvelrnd 6038	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. H )
17	11, 16	sseldd 3419	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR )
18	17	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. RR )
19		fzofzp1 12037	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
20	13, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
21	12, 20	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. H )
22	11, 21	sseldd 3419	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
23	22	rexrd 9708	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
24	23	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
25		fourierdlem46.10	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
26	25	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
27		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` I ) e. dom F /\ x = ( Q ` I ) ) -> x = ( Q ` I ) )
28		simpl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` I ) e. dom F /\ x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) e. dom F )
29	27, 28	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Q ` I ) e. dom F /\ x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
30	29	adantll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
31	30	adantlr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
32		ssun2 3589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) C_ ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
33	32, 1	sseqtr4i 3451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) C_ H
34		fourierdlem46.qiss	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi (,) pi ) )
35		ioossicc 11745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -u pi (,) pi ) C_ ( -u pi [,] pi )
36	34, 35	syl6ss 3430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
37	36	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( -u pi [,] pi ) )
38	37	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ( -u pi [,] pi ) )
39		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> -. x e. dom F )
40	38, 39	eldifd 3401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
41	33, 40	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. H )
42		fourierdlem46.ranq	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ran Q = H )
43	42	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H = ran Q )
44	43	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> H = ran Q )
45	41, 44	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ran Q )
46		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> x e. ran Q )
47		ffn 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> H -> Q Fn ( 0 ... M ) )
48	12, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
49	48	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> Q Fn ( 0 ... M ) )
50		fvelrnb 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( x e. ran Q <-> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> ( x e. ran Q <-> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x ) )
52	46, 51	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
53	52	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) -> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
54		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
55	54	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> j e. ZZ )
56		simplll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ph )
57		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> j e. ( 0 ... M ) )
58		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ( Q ` j ) = x )
59		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
60	58, 59	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
61	60	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
62		elfzoelz 11947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> I e. ZZ )
63	13, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> I e. ZZ )
64	63	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> I e. ZZ )
65	17	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR* )
66	65	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
67	23	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
68		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
69		ioogtlb 37688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) )
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) )
71		fourierdlem46.qiso	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
72	71	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
73	15	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> I e. ( 0 ... M ) )
74		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
75		isorel 6235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( I e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( I < j <-> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) ) )
76	72, 73, 74, 75	syl12anc 1290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( I < j <-> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) ) )
77	70, 76	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> I < j )
78		iooltub 37706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
79	66, 67, 68, 78	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
80	20	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
81		isorel 6235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( j e. ( 0 ... M ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( j < ( I + 1 ) <-> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
82	72, 74, 80, 81	syl12anc 1290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( j < ( I + 1 ) <-> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
83	79, 82	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> j < ( I + 1 ) )
84		btwnnz 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( I e. ZZ /\ I < j /\ j < ( I + 1 ) ) -> -. j e. ZZ )
85	64, 77, 83, 84	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> -. j e. ZZ )
86	56, 57, 61, 85	syl21anc 1291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> -. j e. ZZ )
87	86	adantllr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> -. j e. ZZ )
88	55, 87	pm2.65da 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> -. ( Q ` j ) = x )
89	88	nrexdv 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) -> -. E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
90	53, 89	pm2.65da 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> -. x e. ran Q )
91	90	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> -. x e. ran Q )
92	45, 91	condan 811	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
93	92	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
94		dfss3 3408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
95	93, 94	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
96	95	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
97	65	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
98	23	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
99		icossre 11740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* ) -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
100	17, 23, 99	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
101	100	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
102	101	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. RR )
103	17	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) e. RR )
104	65	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
105	23	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
106		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
107		icogelb 11711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) <_ x )
108	104, 105, 106, 107	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) <_ x )
109	108	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) <_ x )
110		neqne 2651	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = ( Q ` I ) -> x =/= ( Q ` I ) )
111	110	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x =/= ( Q ` I ) )
112	103, 102, 109, 111	leneltd 9806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) < x )
113		icoltub 37703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
114	104, 105, 106, 113	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
115	114	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
116	97, 98, 102, 112, 115	eliood 37691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
117	96, 116	sseldd 3419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
118	117	adantllr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
119	31, 118	pm2.61dan 808	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
120	119	ralrimiva 2809	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> A. x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
121		dfss3 3408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
122	120, 121	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
123		fourierdlem46.cn	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
124	123	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
125		rescncf 22007	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F -> ( F e. ( dom F -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
126	122, 124, 125	sylc 61	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
127	18, 24, 26, 126	icocncflimc 37864	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
128	17	leidd 10201	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` I ) <_ ( Q ` I ) )
129	65, 23, 65, 128, 25	elicod 11710	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
130		fvres 5893	. . . . . . . 8 |- ( ( Q ` I ) e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) = ( F ` ( Q ` I ) ) )
131	129, 130	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) = ( F ` ( Q ` I ) ) )
132	131	eqcomd 2477	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( Q ` I ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) )
133	132	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F ` ( Q ` I ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) )
134		ioossico 11748	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) )
135	134	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
136	135	resabs1d 5140	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
137	136	eqcomd 2477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
138	137	oveq1d 6323	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
139	127, 133, 138	3eltr4d 2564	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F ` ( Q ` I ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
140		ne0i 3728	. . . 4 |- ( ( F ` ( Q ` I ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
141	139, 140	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
142		pnfxr 11435	. . . . . . . . 9 |- +oo e. RR*
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> +oo e. RR* )
144	22	ltpnfd 11446	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) < +oo )
145	23, 143, 144	xrltled 37574	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ +oo )
146		iooss2 11697	. . . . . . . . 9 |- ( ( +oo e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ +oo ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,) +oo ) )
147	142, 145, 146	sylancr 676	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,) +oo ) )
148	147	resabs1d 5140	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
149	148	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
150	149	eqcomd 2477	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
151	150	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
152		limcresi 22919	. . . . 5 |- ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) C_ ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) )
153	17	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. RR )
154		simpl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ph )
155	2	renegcli 9955	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR
156	155	rexri 9711	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. RR*
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi e. RR* )
158	2	rexri 9711	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR*
159	158	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> pi e. RR* )
160	4, 3, 17, 22, 25, 34	fourierdlem10 38091	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi <_ ( Q ` I ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi ) )
161	160	simpld 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ ( Q ` I ) )
162	160	simprd 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi )
163	17, 22, 3, 25, 162	ltletrd 9812	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` I ) < pi )
164	157, 159, 65, 161, 163	elicod 11710	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. ( -u pi [,) pi ) )
165	164	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. ( -u pi [,) pi ) )
166		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> -. ( Q ` I ) e. dom F )
167	165, 166	eldifd 3401	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) )
168	154, 167	jca 541	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) )
169		eleq1 2537	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) <-> ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) )
170	169	anbi2d 718	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) <-> ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) ) )
171		oveq1 6315	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( x (,) +oo ) = ( ( Q ` I ) (,) +oo ) )
172	171	reseq2d 5111	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( F |` ( x (,) +oo ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) )
173		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` I ) -> x = ( Q ` I ) )
174	172, 173	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
175	174	neeq1d 2702	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) )
176	170, 175	imbi12d 327	. . . . . . 7 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) ) )
177		fourierdlem46.rlim	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
178	176, 177	vtoclg 3093	. . . . . 6 |- ( ( Q ` I ) e. RR -> ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) )
179	153, 168, 178	sylc 61	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
180		ssn0 3770	. . . . 5 |- ( ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) C_ ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) /\ ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
181	152, 179, 180	sylancr 676	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
182	151, 181	eqnetrd 2710	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
183	141, 182	pm2.61dan 808	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
184	65	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
185	22	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
186	25	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
187		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
188		simpl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F )
189	187, 188	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
190	189	adantll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
191	190	adantlr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
192	95	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
193	65	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
194	23	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
195	65	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
196	22	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
197		iocssre 11739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
198	195, 196, 197	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
199		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
200	198, 199	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
201	200	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. RR )
202	23	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
203		iocgtlb 37695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < x )
204	195, 202, 199, 203	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < x )
205	204	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` I ) < x )
206	22	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
207		iocleub 37696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
208	195, 202, 199, 207	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
209	208	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
210		neqne 2651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> x =/= ( Q ` ( I + 1 ) ) )
211	210	necomd 2698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) =/= x )
212	211	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) =/= x )
213	201, 206, 209, 212	leneltd 9806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
214	193, 194, 201, 205, 213	eliood 37691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
215	192, 214	sseldd 3419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
216	215	adantllr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
217	191, 216	pm2.61dan 808	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
218	217	ralrimiva 2809	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> A. x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
219		dfss3 3408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
220	218, 219	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
221	123	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
222		rescncf 22007	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F -> ( F e. ( dom F -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
223	220, 221, 222	sylc 61	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
224	184, 185, 186, 223	ioccncflimc 37860	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
225	22	leidd 10201	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
226	65, 23, 23, 25, 225	eliocd 37701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
227		fvres 5893	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
228	226, 227	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
229	228	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
230		ioossioc 37684	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) )
231		resabs1 5139	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
232	230, 231	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
233	232	eqcomi 2480	. . . . . . . . 9 |- ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
234	233	oveq1i 6318	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) )
235	234	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
236	229, 235	eleq12d 2543	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
237	236	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
238	224, 237	mpbird 240	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
239		ne0i 3728	. . . 4 |- ( ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
240	238, 239	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
241		mnfxr 11437	. . . . . . . . 9 |- -oo e. RR*
242	241	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -oo e. RR* )
243	17	mnfltd 11449	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -oo < ( Q ` I ) )
244	242, 65, 243	xrltled 37574	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -oo <_ ( Q ` I ) )
245		iooss1 11696	. . . . . . . . 9 |- ( ( -oo e. RR* /\ -oo <_ ( Q ` I ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
246	241, 244, 245	sylancr 676	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
247	246	resabs1d 5140	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
248	247	eqcomd 2477	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
249	248	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
250	249	oveq1d 6323	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
251		limcresi 22919	. . . . 5 |- ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) )
252	22	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
253		simpl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ph )
254	156	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> -u pi e. RR* )
255	158	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> pi e. RR* )
256	23	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
257	4, 17, 22, 161, 25	lelttrd 9810	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
258	257	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> -u pi < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
259	162	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi )
260	254, 255, 256, 258, 259	eliocd 37701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( -u pi (,] pi ) )
261		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F )
262	260, 261	eldifd 3401	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) )
263	253, 262	jca 541	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) )
264		eleq1 2537	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) <-> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) )
265	264	anbi2d 718	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) <-> ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) ) )
266		oveq2 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( -oo (,) x ) = ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
267	266	reseq2d 5111	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( F |` ( -oo (,) x ) ) = ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
268		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> x = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
269	267, 268	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
270	269	neeq1d 2702	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) <-> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )
271	265, 270	imbi12d 327	. . . . . . 7 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) ) )
272		fourierdlem46.llim	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
273	271, 272	vtoclg 3093	. . . . . 6 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR -> ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )
274	252, 263, 273	sylc 61	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
275		ssn0 3770	. . . . 5 |- ( ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) /\ ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
276	251, 274, 275	sylancr 676	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
277	250, 276	eqnetrd 2710	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
278	240, 277	pm2.61dan 808	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
279	183, 278	jca 541	1 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) /\ ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   \ cdif 3387   u. cun 3388   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {ctp 3963   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589   Isom wiso 5590  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   -ucneg 9881   ZZcz 10961   (,)cioo 11660   (,]cioc 11661   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   picpi 14196   -cn->ccncf 21986   lim CC climc 22896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  fourierdlem102  38184  fourierdlem114  38196