Theorem fourierdlem40 37297

Description: H is a continuous function on any partition interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem40.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem40.a	|- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem40.b	|- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem40.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem40.nxelab	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem40.fcn	|- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem40.y	|- ( ph -> Y e. RR )
fourierdlem40.w	|- ( ph -> W e. RR )
fourierdlem40.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem40	|- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   F, s   W, s   X, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hint:   H( s)

Proof of Theorem fourierdlem40

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem40.h	. . . . 5 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
2	1	reseq1i 5090	. . . 4 |- ( H |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) )
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
4		pire 23143	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
5	4	renegcli 9916	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi e. RR )
7	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> pi e. RR )
8		elioore 11612	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
9	8	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
10	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. RR )
11	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. RR )
12	10, 11	iccssred 36907	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
13		fourierdlem40.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
14	12, 13	sseldd 3443	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
15	14	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
16	5, 4	elicc2i 11644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ -u pi <_ A /\ A <_ pi ) )
17	16	simp2bi 1013	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) -> -u pi <_ A )
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ A )
19	18	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ A )
20	15	rexrd 9673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
21		fourierdlem40.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
22	12, 21	sseldd 3443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
23	22	rexrd 9673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR* )
24	23	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
25		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
26		ioogtlb 36897	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
27	20, 24, 25, 26	syl3anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
28	6, 15, 9, 19, 27	lelttrd 9774	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi < s )
29	6, 9, 28	ltled 9765	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ s )
30	22	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
31		iooltub 36916	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
32	20, 24, 25, 31	syl3anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
33	5, 4	elicc2i 11644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( B e. RR /\ -u pi <_ B /\ B <_ pi ) )
34	33	simp3bi 1014	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) -> B <_ pi )
35	21, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B <_ pi )
36	35	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ pi )
37	9, 30, 7, 32, 36	ltletrd 9776	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < pi )
38	9, 7, 37	ltled 9765	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s <_ pi )
39	6, 7, 9, 29, 38	eliccd 36906	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
40	39	ex 432	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) ) )
41	40	ssrdv 3448	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
42	41	resmptd 5145	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) )
43		eleq1 2474	. . . . . . . . 9 |- ( s = 0 -> ( s e. ( A (,) B ) <-> 0 e. ( A (,) B ) ) )
44	43	biimpac 484	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
45	44	adantll 712	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
46		fourierdlem40.nxelab	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
47	46	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
48	45, 47	pm2.65da 574	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
49	48	iffalsed 3896	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
50		fourierdlem40.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : RR --> RR )
51	50	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
52		fourierdlem40.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. RR )
53	52	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
54	53, 9	readdcld 9653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
55	51, 54	ffvelrnd 6010	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
56		fourierdlem40.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. RR )
57		fourierdlem40.w	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> W e. RR )
58	56, 57	ifcld 3928	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
59	58	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
60	55, 59	resubcld 10028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. RR )
61	60	recnd 9652	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. CC )
62	9	recnd 9652	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
63	48	neqned 2606	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
64	61, 62, 63	divrecd 10364	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
65	49, 64	eqtrd 2443	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
66	65	mpteq2dva 4481	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) )
67	3, 42, 66	3eqtrd 2447	. 2 |- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) )
68	55	recnd 9652	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
69	59	recnd 9652	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
70	68, 69	negsubd 9973	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) )
71	70	eqcomd 2410	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) )
72	71	mpteq2dva 4481	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) )
73	14, 52	readdcld 9653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR )
74	73	rexrd 9673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR* )
75	74	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) e. RR* )
76	22, 52	readdcld 9653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR )
77	76	rexrd 9673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR* )
78	77	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( B + X ) e. RR* )
79	14	recnd 9652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. CC )
80	52	recnd 9652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. CC )
81	79, 80	addcomd 9816	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + X ) = ( X + A ) )
82	81	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) = ( X + A ) )
83	15, 9, 53, 27	ltadd2dd 9775	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
84	82, 83	eqbrtrd 4415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) < ( X + s ) )
85	9, 30, 53, 32	ltadd2dd 9775	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
86	22	recnd 9652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. CC )
87	80, 86	addcomd 9816	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X + B ) = ( B + X ) )
88	87	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) = ( B + X ) )
89	85, 88	breqtrd 4419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( B + X ) )
90	75, 78, 54, 84, 89	eliood 36900	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) )
91		fvres 5863	. . . . . . . . 9 |- ( ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
93	92	eqcomd 2410	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) )
94	93	mpteq2dva 4481	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
95		ioosscn 36896	. . . . . . . 8 |- ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC )
97		fourierdlem40.fcn	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
98		ioosscn 36896	. . . . . . . 8 |- ( A (,) B ) C_ CC
99	98	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
100	96, 97, 99, 80, 90	fourierdlem23 37280	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
101	94, 100	eqeltrd 2490	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
102		0red 9627	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
103	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
104	8	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
105		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ A )
106	27	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
107	102, 103, 104, 105, 106	lelttrd 9774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 < s )
108	107	iftrued 3893	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = Y )
109	108	negeqd 9850	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u Y )
110	109	mpteq2dva 4481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) )
111	56	renegcld 10027	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u Y e. RR )
112	111	recnd 9652	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u Y e. CC )
113		ssid 3461	. . . . . . . . . 10 |- CC C_ CC
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> CC C_ CC )
115	99, 112, 114	constcncfg 37041	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
116	115	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
117	110, 116	eqeltrd 2490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
118	14	rexrd 9673	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR* )
119	118	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A e. RR* )
120	23	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR* )
121		0red 9627	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
122		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> -. 0 <_ A )
123	14	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A e. RR )
124		0red 9627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> 0 e. RR )
125	123, 124	ltnled 9764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( A < 0 <-> -. 0 <_ A ) )
126	122, 125	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A < 0 )
127	126	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A < 0 )
128		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> -. B <_ 0 )
129		0red 9627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
130	22	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR )
131	129, 130	ltnled 9764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> ( 0 < B <-> -. B <_ 0 ) )
132	128, 131	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
133	132	adantlr 713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
134	119, 120, 121, 127, 133	eliood 36900	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
135	46	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
136	134, 135	condan 795	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> B <_ 0 )
137	8	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
138		0red 9627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
139	22	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
140	32	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
141		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ 0 )
142	137, 139, 138, 140, 141	ltletrd 9776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < 0 )
143	137, 138, 142	ltnsymd 9766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. 0 < s )
144	143	iffalsed 3896	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
145	144	negeqd 9850	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u W )
146	145	mpteq2dva 4481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) )
147	57	recnd 9652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. CC )
148	147	negcld 9954	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u W e. CC )
149	99, 148, 114	constcncfg 37041	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
150	149	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
151	146, 150	eqeltrd 2490	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
152	136, 151	syldan 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
153	117, 152	pm2.61dan 792	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
154	101, 153	addcncf 37043	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
155	72, 154	eqeltrd 2490	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
156		eqid 2402	. . . 4 |- ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) = ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) )
157		1cnd 9642	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
158	156	cdivcncf 21713	. . . . 5 |- ( 1 e. CC -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
159	157, 158	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
160		elsn 3986	. . . . . . . 8 |- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
161	48, 160	sylnibr 303	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s e. { 0 } )
162	62, 161	eldifd 3425	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
163	162	ralrimiva 2818	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
164		dfss3 3432	. . . . 5 |- ( ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) <-> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
165	163, 164	sylibr 212	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
166	9, 63	rereccld 10412	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. RR )
167	166	recnd 9652	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. CC )
168	156, 159, 165, 114, 167	cncfmptssg 37040	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
169	155, 168	mulcncf 22151	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
170	67, 169	eqeltrd 2490	1 |- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2754   \ cdif 3411   C_ wss 3414   ifcif 3885   {csn 3972   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   |` cres 4825   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   + caddc 9525   x. cmul 9527   RR*cxr 9657   < clt 9658   <_ cle 9659   - cmin 9841   -ucneg 9842   / cdiv 10247   (,)cioo 11582   [,]cicc 11585   picpi 14011   -cn->ccncf 21672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563

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