Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem40 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem40 37874
Description:  H is a continuous function on any partition interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem40.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem40.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem40.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem40.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem40.nxelab  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
fourierdlem40.fcn  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) )  e.  ( ( ( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) )
-cn-> CC ) )
fourierdlem40.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
fourierdlem40.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
fourierdlem40.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem40  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    F, s    W, s    X, s    Y, s    ph, s
Allowed substitution hint:    H( s)

Proof of Theorem fourierdlem40
StepHypRef Expression
1 fourierdlem40.h . . . . 5  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
21reseq1i 5118 . . . 4  |-  ( H  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )  |`  ( A (,) B
) )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( A (,) B ) )  =  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )
4 pire 23405 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
54renegcli 9937 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  e.  RR )
74a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  pi  e.  RR )
8 elioore 11668 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
98adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
1210, 11iccssred 37477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
13 fourierdlem40.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
1412, 13sseldd 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1514adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
165, 4elicc2i 11702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
1716simp2bi 1022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  -u pi  <_  A )
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <_  A
)
1918adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <_  A )
2015rexrd 9692 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
21 fourierdlem40.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ( -u pi [,] pi ) )
2212, 21sseldd 3466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2322rexrd 9692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2423adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
25 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
26 ioogtlb 37467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
2720, 24, 25, 26syl3anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
286, 15, 9, 19, 27lelttrd 9795 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <  s )
296, 9, 28ltled 9785 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <_  s )
3022adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
31 iooltub 37485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
3220, 24, 25, 31syl3anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
335, 4elicc2i 11702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( B  e.  RR  /\  -u pi  <_  B  /\  B  <_  pi ) )
3433simp3bi 1023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  B  <_  pi )
3521, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  <_  pi )
3635adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  <_  pi )
379, 30, 7, 32, 36ltletrd 9797 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  pi )
389, 7, 37ltled 9785 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <_  pi )
396, 7, 9, 29, 38eliccd 37476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
4039ex 436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  (
-u pi [,] pi ) ) )
4140ssrdv 3471 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
4241resmptd 5173 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) ) )
43 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  0  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  <->  0  e.  ( A (,) B ) ) )
4443biimpac 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
4544adantll 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  ( A (,) B ) )
46 fourierdlem40.nxelab . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
4746ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
4845, 47pm2.65da 579 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
4948iffalsed 3921 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )
50 fourierdlem40.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
5150adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
52 fourierdlem40.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
5352adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
5453, 9readdcld 9672 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
5551, 54ffvelrnd 6036 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
56 fourierdlem40.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
57 fourierdlem40.w . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
5856, 57ifcld 3953 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  e.  RR )
5958adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
0  <  s ,  Y ,  W )  e.  RR )
6055, 59resubcld 10049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  RR )
6160recnd 9671 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  CC )
629recnd 9671 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
6348neqned 2628 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
6461, 62, 63divrecd 10388 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s
) ) )
6549, 64eqtrd 2464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s ) ) )
6665mpteq2dva 4508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s ) ) ) )
673, 42, 663eqtrd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( A (,) B ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s
) ) ) )
6855recnd 9671 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
6959recnd 9671 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
0  <  s ,  Y ,  W )  e.  CC )
7068, 69negsubd 9994 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )
7170eqcomd 2431 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( ( F `  ( X  +  s
) )  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )
7271mpteq2dva 4508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) ) )
7314, 52readdcld 9672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  e.  RR )
7473rexrd 9692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  e.  RR* )
7574adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A  +  X )  e.  RR* )
7622, 52readdcld 9672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  e.  RR )
7776rexrd 9692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  e.  RR* )
7877adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( B  +  X )  e.  RR* )
7914recnd 9671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
8052recnd 9671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
8179, 80addcomd 9837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  =  ( X  +  A ) )
8281adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A  +  X )  =  ( X  +  A ) )
8315, 9, 53, 27ltadd2dd 9796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
8482, 83eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A  +  X )  <  ( X  +  s )
)
859, 30, 53, 32ltadd2dd 9796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
8622recnd 9671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
8780, 86addcomd 9837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  =  ( B  +  X ) )
8887adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  =  ( B  +  X ) )
8985, 88breqtrd 4446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( B  +  X
) )
9075, 78, 54, 84, 89eliood 37470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X )
) )
91 fvres 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  +  s )  e.  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X
) )  ->  (
( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) ) `  ( X  +  s ) )  =  ( F `  ( X  +  s
) ) )
9290, 91syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X
) ) ) `  ( X  +  s
) )  =  ( F `  ( X  +  s ) ) )
9392eqcomd 2431 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  =  ( ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )
9493mpteq2dva 4508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) ) `  ( X  +  s ) ) ) )
95 ioosscn 37466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X ) )  C_  CC
9695a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X )
)  C_  CC )
97 fourierdlem40.fcn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) )  e.  ( ( ( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) )
-cn-> CC ) )
98 ioosscn 37466 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  CC
9998a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
10096, 97, 99, 80, 90fourierdlem23 37856 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F  |`  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X )
) ) `  ( X  +  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
10194, 100eqeltrd 2511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
102 0red 9646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  e.  RR )
10314ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  e.  RR )
1048adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  e.  RR )
105 simplr 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  <_  A )
10627adantlr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
107102, 103, 104, 105, 106lelttrd 9795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  <  s )
108107iftrued 3918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  Y )
109108negeqd 9871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  -u Y )
110109mpteq2dva 4508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <_  A )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u Y ) )
11156renegcld 10048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u Y  e.  RR )
112111recnd 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u Y  e.  CC )
113 ssid 3484 . . . . . . . . . 10  |-  CC  C_  CC
114113a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
11599, 112, 114constcncfg 37612 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u Y )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
116115adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <_  A )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u Y )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
117110, 116eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <_  A )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
11814rexrd 9692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
119118ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  A  e.  RR* )
12023ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  B  e.  RR* )
121 0red 9646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
122 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  -.  0  <_  A )
12314adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
124 0red 9646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  0  e.  RR )
125123, 124ltnled 9784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  ( A  <  0  <->  -.  0  <_  A ) )
126122, 125mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  A  <  0 )
127126adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  A  <  0
)
128 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  -.  B  <_  0 )
129 0red 9646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
13022adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  B  e.  RR )
131129, 130ltnled 9784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  (
0  <  B  <->  -.  B  <_  0 ) )
132128, 131mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  <  B )
133132adantlr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  <  B
)
134119, 120, 121, 127, 133eliood 37470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
13546ad2antrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
136134, 135condan 802 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  B  <_  0 )
1378adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  e.  RR )
138 0red 9646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  e.  RR )
13922ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  B  e.  RR )
14032adantlr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
141 simplr 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  B  <_  0 )
142137, 139, 138, 140, 141ltletrd 9797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  0 )
143137, 138, 142ltnsymd 9786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  -.  0  <  s )
144143iffalsed 3921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  W )
145144negeqd 9871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  -u W )
146145mpteq2dva 4508 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  <_  0 )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u W ) )
14757recnd 9671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  CC )
148147negcld 9975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u W  e.  CC )
14999, 148, 114constcncfg 37612 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u W )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
150149adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  <_  0 )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u W )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
151146, 150eqeltrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <_  0 )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
152136, 151syldan 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
153117, 152pm2.61dan 799 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
154101, 153addcncf 37614 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
15572, 154eqeltrd 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
156 eqid 2423 . . . 4  |-  ( s  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  s
) )  =  ( s  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
s ) )
157 1cnd 9661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
158156cdivcncf 21941 . . . . 5  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
s  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
s ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC ) )
159157, 158syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  s ) )  e.  ( ( CC 
\  { 0 } ) -cn-> CC ) )
160 elsn 4011 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  { 0 }  <-> 
s  =  0 )
16148, 160sylnibr 307 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  e.  { 0 } )
16262, 161eldifd 3448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
163162ralrimiva 2840 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( A (,) B ) s  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
164 dfss3 3455 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  ( CC  \  { 0 } )  <->  A. s  e.  ( A (,) B ) s  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
165163, 164sylibr 216 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
1669, 63rereccld 10436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  s )  e.  RR )
167166recnd 9671 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  s )  e.  CC )
168156, 159, 165, 114, 167cncfmptssg 37611 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( 1  /  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
169155, 168mulcncf 22390 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
17067, 169eqeltrd 2511 1  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776    \ cdif 3434    C_ wss 3437   ifcif 3910   {csn 3997   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480    |` cres 4853   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546   RR*cxr 9676    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862   -ucneg 9863    / cdiv 10271   (,)cioo 11637   [,]cicc 11640   picpi 14112   -cn->ccncf 21900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  37937  fourierdlem104  37938
  Copyright terms: Public domain W3C validator