Theorem fourierdlem40 38010

Description: H is a continuous function on any partition interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem40.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem40.a	|- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem40.b	|- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem40.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem40.nxelab	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem40.fcn	|- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem40.y	|- ( ph -> Y e. RR )
fourierdlem40.w	|- ( ph -> W e. RR )
fourierdlem40.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem40	|- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   F, s   W, s   X, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hint:   H( s)

Proof of Theorem fourierdlem40

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem40.h	. . . . 5 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
2	1	reseq1i 5101	. . . 4 |- ( H |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) )
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
4		pire 23413	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
5	4	renegcli 9935	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi e. RR )
7	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> pi e. RR )
8		elioore 11666	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
9	8	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
10	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. RR )
11	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. RR )
12	10, 11	iccssred 37602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
13		fourierdlem40.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
14	12, 13	sseldd 3433	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
15	14	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
16	5, 4	elicc2i 11700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ -u pi <_ A /\ A <_ pi ) )
17	16	simp2bi 1024	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) -> -u pi <_ A )
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ A )
19	18	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ A )
20	15	rexrd 9690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
21		fourierdlem40.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
22	12, 21	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
23	22	rexrd 9690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR* )
24	23	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
25		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
26		ioogtlb 37592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
27	20, 24, 25, 26	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
28	6, 15, 9, 19, 27	lelttrd 9793	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi < s )
29	6, 9, 28	ltled 9783	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ s )
30	22	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
31		iooltub 37610	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
32	20, 24, 25, 31	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
33	5, 4	elicc2i 11700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( B e. RR /\ -u pi <_ B /\ B <_ pi ) )
34	33	simp3bi 1025	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) -> B <_ pi )
35	21, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B <_ pi )
36	35	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ pi )
37	9, 30, 7, 32, 36	ltletrd 9795	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < pi )
38	9, 7, 37	ltled 9783	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s <_ pi )
39	6, 7, 9, 29, 38	eliccd 37601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
40	39	ex 436	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) ) )
41	40	ssrdv 3438	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
42	41	resmptd 5156	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) )
43		eleq1 2517	. . . . . . . . 9 |- ( s = 0 -> ( s e. ( A (,) B ) <-> 0 e. ( A (,) B ) ) )
44	43	biimpac 489	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
45	44	adantll 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
46		fourierdlem40.nxelab	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
47	46	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
48	45, 47	pm2.65da 580	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
49	48	iffalsed 3892	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
50		fourierdlem40.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : RR --> RR )
51	50	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
52		fourierdlem40.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. RR )
53	52	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
54	53, 9	readdcld 9670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
55	51, 54	ffvelrnd 6023	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
56		fourierdlem40.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. RR )
57		fourierdlem40.w	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> W e. RR )
58	56, 57	ifcld 3924	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
59	58	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
60	55, 59	resubcld 10047	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. RR )
61	60	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. CC )
62	9	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
63	48	neqned 2631	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
64	61, 62, 63	divrecd 10386	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
65	49, 64	eqtrd 2485	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
66	65	mpteq2dva 4489	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) )
67	3, 42, 66	3eqtrd 2489	. 2 |- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) )
68	55	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
69	59	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
70	68, 69	negsubd 9992	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) )
71	70	eqcomd 2457	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) )
72	71	mpteq2dva 4489	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) )
73	14, 52	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR )
74	73	rexrd 9690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR* )
75	74	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) e. RR* )
76	22, 52	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR )
77	76	rexrd 9690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR* )
78	77	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( B + X ) e. RR* )
79	14	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. CC )
80	52	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. CC )
81	79, 80	addcomd 9835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + X ) = ( X + A ) )
82	81	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) = ( X + A ) )
83	15, 9, 53, 27	ltadd2dd 9794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
84	82, 83	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) < ( X + s ) )
85	9, 30, 53, 32	ltadd2dd 9794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
86	22	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. CC )
87	80, 86	addcomd 9835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X + B ) = ( B + X ) )
88	87	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) = ( B + X ) )
89	85, 88	breqtrd 4427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( B + X ) )
90	75, 78, 54, 84, 89	eliood 37595	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) )
91		fvres 5879	. . . . . . . . 9 |- ( ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
93	92	eqcomd 2457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) )
94	93	mpteq2dva 4489	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
95		ioosscn 37591	. . . . . . . 8 |- ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC )
97		fourierdlem40.fcn	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
98		ioosscn 37591	. . . . . . . 8 |- ( A (,) B ) C_ CC
99	98	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
100	96, 97, 99, 80, 90	fourierdlem23 37992	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
101	94, 100	eqeltrd 2529	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
102		0red 9644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
103	14	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
104	8	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
105		simplr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ A )
106	27	adantlr 721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
107	102, 103, 104, 105, 106	lelttrd 9793	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 < s )
108	107	iftrued 3889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = Y )
109	108	negeqd 9869	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u Y )
110	109	mpteq2dva 4489	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) )
111	56	renegcld 10046	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u Y e. RR )
112	111	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u Y e. CC )
113		ssid 3451	. . . . . . . . . 10 |- CC C_ CC
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> CC C_ CC )
115	99, 112, 114	constcncfg 37748	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
116	115	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
117	110, 116	eqeltrd 2529	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
118	14	rexrd 9690	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR* )
119	118	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A e. RR* )
120	23	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR* )
121		0red 9644	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
122		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> -. 0 <_ A )
123	14	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A e. RR )
124		0red 9644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> 0 e. RR )
125	123, 124	ltnled 9782	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( A < 0 <-> -. 0 <_ A ) )
126	122, 125	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A < 0 )
127	126	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A < 0 )
128		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> -. B <_ 0 )
129		0red 9644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
130	22	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR )
131	129, 130	ltnled 9782	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> ( 0 < B <-> -. B <_ 0 ) )
132	128, 131	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
133	132	adantlr 721	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
134	119, 120, 121, 127, 133	eliood 37595	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
135	46	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
136	134, 135	condan 803	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> B <_ 0 )
137	8	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
138		0red 9644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
139	22	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
140	32	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
141		simplr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ 0 )
142	137, 139, 138, 140, 141	ltletrd 9795	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < 0 )
143	137, 138, 142	ltnsymd 9784	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. 0 < s )
144	143	iffalsed 3892	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
145	144	negeqd 9869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u W )
146	145	mpteq2dva 4489	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) )
147	57	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. CC )
148	147	negcld 9973	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u W e. CC )
149	99, 148, 114	constcncfg 37748	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
150	149	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
151	146, 150	eqeltrd 2529	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
152	136, 151	syldan 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
153	117, 152	pm2.61dan 800	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
154	101, 153	addcncf 37750	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
155	72, 154	eqeltrd 2529	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
156		eqid 2451	. . . 4 |- ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) = ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) )
157		1cnd 9659	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
158	156	cdivcncf 21949	. . . . 5 |- ( 1 e. CC -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
159	157, 158	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
160		elsn 3982	. . . . . . . 8 |- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
161	48, 160	sylnibr 307	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s e. { 0 } )
162	62, 161	eldifd 3415	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
163	162	ralrimiva 2802	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
164		dfss3 3422	. . . . 5 |- ( ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) <-> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
165	163, 164	sylibr 216	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
166	9, 63	rereccld 10434	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. RR )
167	166	recnd 9669	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. CC )
168	156, 159, 165, 114, 167	cncfmptssg 37747	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
169	155, 168	mulcncf 22398	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
170	67, 169	eqeltrd 2529	1 |- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   \ cdif 3401   C_ wss 3404   ifcif 3881   {csn 3968   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   -ucneg 9861   / cdiv 10269   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   picpi 14119   -cn->ccncf 21908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822

This theorem is referenced by:  fourierdlem103  38073  fourierdlem104  38074