Theorem fourierdlem40 37874

Description: H is a continuous function on any partition interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem40.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem40.a	|- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem40.b	|- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem40.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem40.nxelab	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem40.fcn	|- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem40.y	|- ( ph -> Y e. RR )
fourierdlem40.w	|- ( ph -> W e. RR )
fourierdlem40.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem40	|- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   F, s   W, s   X, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hint:   H( s)

Proof of Theorem fourierdlem40

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem40.h	. . . . 5 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
2	1	reseq1i 5118	. . . 4 |- ( H |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) )
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
4		pire 23405	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
5	4	renegcli 9937	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi e. RR )
7	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> pi e. RR )
8		elioore 11668	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
9	8	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
10	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. RR )
11	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. RR )
12	10, 11	iccssred 37477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
13		fourierdlem40.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
14	12, 13	sseldd 3466	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
15	14	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
16	5, 4	elicc2i 11702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ -u pi <_ A /\ A <_ pi ) )
17	16	simp2bi 1022	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) -> -u pi <_ A )
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ A )
19	18	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ A )
20	15	rexrd 9692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
21		fourierdlem40.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
22	12, 21	sseldd 3466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
23	22	rexrd 9692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR* )
24	23	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
25		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
26		ioogtlb 37467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
27	20, 24, 25, 26	syl3anc 1265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
28	6, 15, 9, 19, 27	lelttrd 9795	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi < s )
29	6, 9, 28	ltled 9785	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ s )
30	22	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
31		iooltub 37485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
32	20, 24, 25, 31	syl3anc 1265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
33	5, 4	elicc2i 11702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( B e. RR /\ -u pi <_ B /\ B <_ pi ) )
34	33	simp3bi 1023	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) -> B <_ pi )
35	21, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B <_ pi )
36	35	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ pi )
37	9, 30, 7, 32, 36	ltletrd 9797	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < pi )
38	9, 7, 37	ltled 9785	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s <_ pi )
39	6, 7, 9, 29, 38	eliccd 37476	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
40	39	ex 436	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) ) )
41	40	ssrdv 3471	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
42	41	resmptd 5173	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) )
43		eleq1 2495	. . . . . . . . 9 |- ( s = 0 -> ( s e. ( A (,) B ) <-> 0 e. ( A (,) B ) ) )
44	43	biimpac 489	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
45	44	adantll 719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
46		fourierdlem40.nxelab	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
47	46	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
48	45, 47	pm2.65da 579	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
49	48	iffalsed 3921	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
50		fourierdlem40.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : RR --> RR )
51	50	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
52		fourierdlem40.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. RR )
53	52	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
54	53, 9	readdcld 9672	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
55	51, 54	ffvelrnd 6036	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
56		fourierdlem40.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. RR )
57		fourierdlem40.w	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> W e. RR )
58	56, 57	ifcld 3953	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
59	58	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
60	55, 59	resubcld 10049	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. RR )
61	60	recnd 9671	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. CC )
62	9	recnd 9671	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
63	48	neqned 2628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
64	61, 62, 63	divrecd 10388	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
65	49, 64	eqtrd 2464	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
66	65	mpteq2dva 4508	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) )
67	3, 42, 66	3eqtrd 2468	. 2 |- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) )
68	55	recnd 9671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
69	59	recnd 9671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
70	68, 69	negsubd 9994	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) )
71	70	eqcomd 2431	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) )
72	71	mpteq2dva 4508	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) )
73	14, 52	readdcld 9672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR )
74	73	rexrd 9692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR* )
75	74	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) e. RR* )
76	22, 52	readdcld 9672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR )
77	76	rexrd 9692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR* )
78	77	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( B + X ) e. RR* )
79	14	recnd 9671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. CC )
80	52	recnd 9671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. CC )
81	79, 80	addcomd 9837	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + X ) = ( X + A ) )
82	81	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) = ( X + A ) )
83	15, 9, 53, 27	ltadd2dd 9796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
84	82, 83	eqbrtrd 4442	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) < ( X + s ) )
85	9, 30, 53, 32	ltadd2dd 9796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
86	22	recnd 9671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. CC )
87	80, 86	addcomd 9837	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X + B ) = ( B + X ) )
88	87	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) = ( B + X ) )
89	85, 88	breqtrd 4446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( B + X ) )
90	75, 78, 54, 84, 89	eliood 37470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) )
91		fvres 5893	. . . . . . . . 9 |- ( ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
93	92	eqcomd 2431	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) )
94	93	mpteq2dva 4508	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
95		ioosscn 37466	. . . . . . . 8 |- ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC )
97		fourierdlem40.fcn	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
98		ioosscn 37466	. . . . . . . 8 |- ( A (,) B ) C_ CC
99	98	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
100	96, 97, 99, 80, 90	fourierdlem23 37856	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
101	94, 100	eqeltrd 2511	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
102		0red 9646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
103	14	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
104	8	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
105		simplr 761	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ A )
106	27	adantlr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
107	102, 103, 104, 105, 106	lelttrd 9795	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 < s )
108	107	iftrued 3918	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = Y )
109	108	negeqd 9871	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u Y )
110	109	mpteq2dva 4508	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) )
111	56	renegcld 10048	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u Y e. RR )
112	111	recnd 9671	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u Y e. CC )
113		ssid 3484	. . . . . . . . . 10 |- CC C_ CC
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> CC C_ CC )
115	99, 112, 114	constcncfg 37612	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
116	115	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
117	110, 116	eqeltrd 2511	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
118	14	rexrd 9692	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR* )
119	118	ad2antrr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A e. RR* )
120	23	ad2antrr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR* )
121		0red 9646	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
122		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> -. 0 <_ A )
123	14	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A e. RR )
124		0red 9646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> 0 e. RR )
125	123, 124	ltnled 9784	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( A < 0 <-> -. 0 <_ A ) )
126	122, 125	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A < 0 )
127	126	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A < 0 )
128		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> -. B <_ 0 )
129		0red 9646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
130	22	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR )
131	129, 130	ltnled 9784	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> ( 0 < B <-> -. B <_ 0 ) )
132	128, 131	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
133	132	adantlr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
134	119, 120, 121, 127, 133	eliood 37470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
135	46	ad2antrr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
136	134, 135	condan 802	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> B <_ 0 )
137	8	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
138		0red 9646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
139	22	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
140	32	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
141		simplr 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ 0 )
142	137, 139, 138, 140, 141	ltletrd 9797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < 0 )
143	137, 138, 142	ltnsymd 9786	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. 0 < s )
144	143	iffalsed 3921	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
145	144	negeqd 9871	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u W )
146	145	mpteq2dva 4508	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) )
147	57	recnd 9671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. CC )
148	147	negcld 9975	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u W e. CC )
149	99, 148, 114	constcncfg 37612	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
150	149	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
151	146, 150	eqeltrd 2511	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
152	136, 151	syldan 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
153	117, 152	pm2.61dan 799	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
154	101, 153	addcncf 37614	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
155	72, 154	eqeltrd 2511	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
156		eqid 2423	. . . 4 |- ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) = ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) )
157		1cnd 9661	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
158	156	cdivcncf 21941	. . . . 5 |- ( 1 e. CC -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
159	157, 158	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
160		elsn 4011	. . . . . . . 8 |- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
161	48, 160	sylnibr 307	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s e. { 0 } )
162	62, 161	eldifd 3448	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
163	162	ralrimiva 2840	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
164		dfss3 3455	. . . . 5 |- ( ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) <-> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
165	163, 164	sylibr 216	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
166	9, 63	rereccld 10436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. RR )
167	166	recnd 9671	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. CC )
168	156, 159, 165, 114, 167	cncfmptssg 37611	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
169	155, 168	mulcncf 22390	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
170	67, 169	eqeltrd 2511	1 |- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1438   e. wcel 1869   A.wral 2776   \ cdif 3434   C_ wss 3437   ifcif 3910   {csn 3997   class class class wbr 4421   |-> cmpt 4480   |` cres 4853   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542   + caddc 9544   x. cmul 9546   RR*cxr 9676   < clt 9677   <_ cle 9678   - cmin 9862   -ucneg 9863   / cdiv 10271   (,)cioo 11637   [,]cicc 11640   picpi 14112   -cn->ccncf 21900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814

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