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Theorem fourierdlem40 38122
Description:  H is a continuous function on any partition interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem40.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem40.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem40.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem40.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem40.nxelab  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
fourierdlem40.fcn  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) )  e.  ( ( ( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) )
-cn-> CC ) )
fourierdlem40.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
fourierdlem40.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
fourierdlem40.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem40  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    F, s    W, s    X, s    Y, s    ph, s
Allowed substitution hint:    H( s)

Proof of Theorem fourierdlem40
StepHypRef Expression
1 fourierdlem40.h . . . . 5  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
21reseq1i 5107 . . . 4  |-  ( H  |`  ( A (,) B
) )  =  ( ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )  |`  ( A (,) B
) )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( A (,) B ) )  =  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )  |`  ( A (,) B ) ) )
4 pire 23492 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
54renegcli 9955 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  e.  RR )
74a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  pi  e.  RR )
8 elioore 11691 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
98adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
1210, 11iccssred 37698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
13 fourierdlem40.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ( -u pi [,] pi ) )
1412, 13sseldd 3419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1514adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
165, 4elicc2i 11725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  -u pi  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
1716simp2bi 1046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  -u pi  <_  A )
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <_  A
)
1918adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <_  A )
2015rexrd 9708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
21 fourierdlem40.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ( -u pi [,] pi ) )
2212, 21sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2322rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2423adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
25 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
26 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
2720, 24, 25, 26syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
286, 15, 9, 19, 27lelttrd 9810 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <  s )
296, 9, 28ltled 9800 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u pi  <_  s )
3022adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
31 iooltub 37706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
3220, 24, 25, 31syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
335, 4elicc2i 11725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( B  e.  RR  /\  -u pi  <_  B  /\  B  <_  pi ) )
3433simp3bi 1047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  B  <_  pi )
3521, 34syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  <_  pi )
3635adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  <_  pi )
379, 30, 7, 32, 36ltletrd 9812 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  pi )
389, 7, 37ltled 9800 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <_  pi )
396, 7, 9, 29, 38eliccd 37697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
4039ex 441 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  (
-u pi [,] pi ) ) )
4140ssrdv 3424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( -u pi [,] pi ) )
4241resmptd 5162 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) ) )
43 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  0  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  <->  0  e.  ( A (,) B ) ) )
4443biimpac 494 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
4544adantll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  ( A (,) B ) )
46 fourierdlem40.nxelab . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
4746ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
4845, 47pm2.65da 586 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
4948iffalsed 3883 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )
50 fourierdlem40.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
5150adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
52 fourierdlem40.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
5352adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
5453, 9readdcld 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
5551, 54ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
56 fourierdlem40.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
57 fourierdlem40.w . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
5856, 57ifcld 3915 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( 0  < 
s ,  Y ,  W )  e.  RR )
5958adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
0  <  s ,  Y ,  W )  e.  RR )
6055, 59resubcld 10068 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  RR )
6160recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  CC )
629recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
6348neqned 2650 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
6461, 62, 63divrecd 10408 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s
) ) )
6549, 64eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) )  =  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s ) ) )
6665mpteq2dva 4482 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  /  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s ) ) ) )
673, 42, 663eqtrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( A (,) B ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s
) ) ) )
6855recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
6959recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  if (
0  <  s ,  Y ,  W )  e.  CC )
7068, 69negsubd 10011 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )
7170eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( ( F `  ( X  +  s
) )  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )
7271mpteq2dva 4482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) ) )
7314, 52readdcld 9688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  e.  RR )
7473rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  e.  RR* )
7574adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A  +  X )  e.  RR* )
7622, 52readdcld 9688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  e.  RR )
7776rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  e.  RR* )
7877adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( B  +  X )  e.  RR* )
7914recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
8052recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
8179, 80addcomd 9853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  =  ( X  +  A ) )
8281adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A  +  X )  =  ( X  +  A ) )
8315, 9, 53, 27ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
8482, 83eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A  +  X )  <  ( X  +  s )
)
859, 30, 53, 32ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
8622recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
8780, 86addcomd 9853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  =  ( B  +  X ) )
8887adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  =  ( B  +  X ) )
8985, 88breqtrd 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( B  +  X
) )
9075, 78, 54, 84, 89eliood 37691 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X )
) )
91 fvres 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  +  s )  e.  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X
) )  ->  (
( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) ) `  ( X  +  s ) )  =  ( F `  ( X  +  s
) ) )
9290, 91syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X
) ) ) `  ( X  +  s
) )  =  ( F `  ( X  +  s ) ) )
9392eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  =  ( ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )
9493mpteq2dva 4482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) ) `  ( X  +  s ) ) ) )
95 ioosscn 37687 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X ) )  C_  CC
9695a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X )
)  C_  CC )
97 fourierdlem40.fcn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) ) )  e.  ( ( ( A  +  X
) (,) ( B  +  X ) )
-cn-> CC ) )
98 ioosscn 37687 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  CC
9998a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
10096, 97, 99, 80, 90fourierdlem23 38104 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F  |`  ( ( A  +  X ) (,) ( B  +  X )
) ) `  ( X  +  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
10194, 100eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
102 0red 9662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  e.  RR )
10314ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  e.  RR )
1048adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  e.  RR )
105 simplr 770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  <_  A )
10627adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
107102, 103, 104, 105, 106lelttrd 9810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  <  s )
108107iftrued 3880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  Y )
109108negeqd 9889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <_  A )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  -u Y )
110109mpteq2dva 4482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <_  A )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u Y ) )
11156renegcld 10067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u Y  e.  RR )
112111recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u Y  e.  CC )
113 ssid 3437 . . . . . . . . . 10  |-  CC  C_  CC
114113a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
11599, 112, 114constcncfg 37845 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u Y )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
116115adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <_  A )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u Y )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
117110, 116eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <_  A )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
11814rexrd 9708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
119118ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  A  e.  RR* )
12023ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  B  e.  RR* )
121 0red 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
122 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  -.  0  <_  A )
12314adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
124 0red 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  0  e.  RR )
125123, 124ltnled 9799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  ( A  <  0  <->  -.  0  <_  A ) )
126122, 125mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  A  <  0 )
127126adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  A  <  0
)
128 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  -.  B  <_  0 )
129 0red 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
13022adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  B  e.  RR )
131129, 130ltnled 9799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  (
0  <  B  <->  -.  B  <_  0 ) )
132128, 131mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  <  B )
133132adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  <  B
)
134119, 120, 121, 127, 133eliood 37691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
13546ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <_  A )  /\  -.  B  <_  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
136134, 135condan 811 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  B  <_  0 )
1378adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  e.  RR )
138 0red 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  0  e.  RR )
13922ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  B  e.  RR )
14032adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
141 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  B  <_  0 )
142137, 139, 138, 140, 141ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  0 )
143137, 138, 142ltnsymd 9801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  -.  0  <  s )
144143iffalsed 3883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  W )
145144negeqd 9889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <_  0 )  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W )  =  -u W )
146145mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  <_  0 )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u W ) )
14757recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  CC )
148147negcld 9992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u W  e.  CC )
14999, 148, 114constcncfg 37845 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u W )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
150149adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  <_  0 )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u W )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
151146, 150eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <_  0 )  ->  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
152136, 151syldan 478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <_  A )  ->  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
153117, 152pm2.61dan 808 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
154101, 153addcncf 37847 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  +  -u if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
15572, 154eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
156 eqid 2471 . . . 4  |-  ( s  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  s
) )  =  ( s  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
s ) )
157 1cnd 9677 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
158156cdivcncf 22027 . . . . 5  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
s  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  / 
s ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC ) )
159157, 158syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  s ) )  e.  ( ( CC 
\  { 0 } ) -cn-> CC ) )
160 elsn 3973 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  { 0 }  <-> 
s  =  0 )
16148, 160sylnibr 312 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  e.  { 0 } )
16262, 161eldifd 3401 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
163162ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( A (,) B ) s  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
164 dfss3 3408 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  ( CC  \  { 0 } )  <->  A. s  e.  ( A (,) B ) s  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
165163, 164sylibr 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( CC  \  { 0 } ) )
1669, 63rereccld 10456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  s )  e.  RR )
167166recnd 9687 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  s )  e.  CC )
168156, 159, 165, 114, 167cncfmptssg 37844 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( 1  /  s
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
169155, 168mulcncf 22476 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  x.  ( 1  /  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
17067, 169eqeltrd 2549 1  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    \ cdif 3387    C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   picpi 14196   -cn->ccncf 21986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
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