Theorem fourierdlem40 38122

Description: H is a continuous function on any partition interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem40.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem40.a	|- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem40.b	|- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem40.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem40.nxelab	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem40.fcn	|- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem40.y	|- ( ph -> Y e. RR )
fourierdlem40.w	|- ( ph -> W e. RR )
fourierdlem40.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem40	|- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   F, s   W, s   X, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hint:   H( s)

Proof of Theorem fourierdlem40

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem40.h	. . . . 5 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
2	1	reseq1i 5107	. . . 4 |- ( H |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) )
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
4		pire 23492	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
5	4	renegcli 9955	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi e. RR )
7	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> pi e. RR )
8		elioore 11691	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
9	8	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
10	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. RR )
11	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. RR )
12	10, 11	iccssred 37698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
13		fourierdlem40.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
14	12, 13	sseldd 3419	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
15	14	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
16	5, 4	elicc2i 11725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ -u pi <_ A /\ A <_ pi ) )
17	16	simp2bi 1046	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) -> -u pi <_ A )
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ A )
19	18	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ A )
20	15	rexrd 9708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
21		fourierdlem40.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
22	12, 21	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
23	22	rexrd 9708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR* )
24	23	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
25		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
26		ioogtlb 37688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
27	20, 24, 25, 26	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
28	6, 15, 9, 19, 27	lelttrd 9810	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi < s )
29	6, 9, 28	ltled 9800	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ s )
30	22	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
31		iooltub 37706	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
32	20, 24, 25, 31	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
33	5, 4	elicc2i 11725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( B e. RR /\ -u pi <_ B /\ B <_ pi ) )
34	33	simp3bi 1047	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) -> B <_ pi )
35	21, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B <_ pi )
36	35	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ pi )
37	9, 30, 7, 32, 36	ltletrd 9812	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < pi )
38	9, 7, 37	ltled 9800	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s <_ pi )
39	6, 7, 9, 29, 38	eliccd 37697	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
40	39	ex 441	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) ) )
41	40	ssrdv 3424	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
42	41	resmptd 5162	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) )
43		eleq1 2537	. . . . . . . . 9 |- ( s = 0 -> ( s e. ( A (,) B ) <-> 0 e. ( A (,) B ) ) )
44	43	biimpac 494	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
45	44	adantll 728	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
46		fourierdlem40.nxelab	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
47	46	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
48	45, 47	pm2.65da 586	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
49	48	iffalsed 3883	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
50		fourierdlem40.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : RR --> RR )
51	50	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
52		fourierdlem40.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. RR )
53	52	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
54	53, 9	readdcld 9688	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
55	51, 54	ffvelrnd 6038	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
56		fourierdlem40.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. RR )
57		fourierdlem40.w	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> W e. RR )
58	56, 57	ifcld 3915	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
59	58	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
60	55, 59	resubcld 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. RR )
61	60	recnd 9687	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. CC )
62	9	recnd 9687	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
63	48	neqned 2650	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
64	61, 62, 63	divrecd 10408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
65	49, 64	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
66	65	mpteq2dva 4482	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) )
67	3, 42, 66	3eqtrd 2509	. 2 |- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) )
68	55	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
69	59	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
70	68, 69	negsubd 10011	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) )
71	70	eqcomd 2477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) )
72	71	mpteq2dva 4482	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) )
73	14, 52	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR )
74	73	rexrd 9708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR* )
75	74	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) e. RR* )
76	22, 52	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR )
77	76	rexrd 9708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR* )
78	77	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( B + X ) e. RR* )
79	14	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. CC )
80	52	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. CC )
81	79, 80	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + X ) = ( X + A ) )
82	81	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) = ( X + A ) )
83	15, 9, 53, 27	ltadd2dd 9811	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
84	82, 83	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) < ( X + s ) )
85	9, 30, 53, 32	ltadd2dd 9811	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
86	22	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. CC )
87	80, 86	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X + B ) = ( B + X ) )
88	87	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) = ( B + X ) )
89	85, 88	breqtrd 4420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( B + X ) )
90	75, 78, 54, 84, 89	eliood 37691	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) )
91		fvres 5893	. . . . . . . . 9 |- ( ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
93	92	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) )
94	93	mpteq2dva 4482	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
95		ioosscn 37687	. . . . . . . 8 |- ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC )
97		fourierdlem40.fcn	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
98		ioosscn 37687	. . . . . . . 8 |- ( A (,) B ) C_ CC
99	98	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
100	96, 97, 99, 80, 90	fourierdlem23 38104	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
101	94, 100	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
102		0red 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
103	14	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
104	8	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
105		simplr 770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ A )
106	27	adantlr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
107	102, 103, 104, 105, 106	lelttrd 9810	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 < s )
108	107	iftrued 3880	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = Y )
109	108	negeqd 9889	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u Y )
110	109	mpteq2dva 4482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) )
111	56	renegcld 10067	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u Y e. RR )
112	111	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u Y e. CC )
113		ssid 3437	. . . . . . . . . 10 |- CC C_ CC
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> CC C_ CC )
115	99, 112, 114	constcncfg 37845	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
116	115	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
117	110, 116	eqeltrd 2549	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
118	14	rexrd 9708	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR* )
119	118	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A e. RR* )
120	23	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR* )
121		0red 9662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
122		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> -. 0 <_ A )
123	14	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A e. RR )
124		0red 9662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> 0 e. RR )
125	123, 124	ltnled 9799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( A < 0 <-> -. 0 <_ A ) )
126	122, 125	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A < 0 )
127	126	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A < 0 )
128		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> -. B <_ 0 )
129		0red 9662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
130	22	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR )
131	129, 130	ltnled 9799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> ( 0 < B <-> -. B <_ 0 ) )
132	128, 131	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
133	132	adantlr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
134	119, 120, 121, 127, 133	eliood 37691	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
135	46	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
136	134, 135	condan 811	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> B <_ 0 )
137	8	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
138		0red 9662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
139	22	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
140	32	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
141		simplr 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ 0 )
142	137, 139, 138, 140, 141	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < 0 )
143	137, 138, 142	ltnsymd 9801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. 0 < s )
144	143	iffalsed 3883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
145	144	negeqd 9889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u W )
146	145	mpteq2dva 4482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) )
147	57	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. CC )
148	147	negcld 9992	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u W e. CC )
149	99, 148, 114	constcncfg 37845	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
150	149	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
151	146, 150	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
152	136, 151	syldan 478	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
153	117, 152	pm2.61dan 808	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
154	101, 153	addcncf 37847	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
155	72, 154	eqeltrd 2549	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
156		eqid 2471	. . . 4 |- ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) = ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) )
157		1cnd 9677	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
158	156	cdivcncf 22027	. . . . 5 |- ( 1 e. CC -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
159	157, 158	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
160		elsn 3973	. . . . . . . 8 |- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
161	48, 160	sylnibr 312	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s e. { 0 } )
162	62, 161	eldifd 3401	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
163	162	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
164		dfss3 3408	. . . . 5 |- ( ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) <-> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
165	163, 164	sylibr 217	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
166	9, 63	rereccld 10456	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. RR )
167	166	recnd 9687	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. CC )
168	156, 159, 165, 114, 167	cncfmptssg 37844	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
169	155, 168	mulcncf 22476	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
170	67, 169	eqeltrd 2549	1 |- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   \ cdif 3387   C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   -ucneg 9881   / cdiv 10291   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   picpi 14196   -cn->ccncf 21986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  fourierdlem103  38185  fourierdlem104  38186