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Theorem fourierdlem4 37913
Description:  E is a function that maps any point to a periodic corresponding point in  ( A ,  B ]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem4.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem4.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem4.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem4.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem4.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem4  |-  ( ph  ->  E : RR --> ( A (,] B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, T    ph, x
Allowed substitution hint:    E( x)

Proof of Theorem fourierdlem4
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
2 fourierdlem4.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
32adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
43, 1resubcld 10054 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  -  x )  e.  RR )
5 fourierdlem4.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( B  -  A
)
6 fourierdlem4.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
72, 6resubcld 10054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
85, 7syl5eqel 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
98adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  T  e.  RR )
105a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  =  ( B  -  A ) )
112recnd 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
126recnd 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
13 fourierdlem4.altb . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <  B )
146, 13gtned 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
1511, 12, 14subne0d 10002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  =/=  0 )
1610, 15eqnetrd 2713 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
1716adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  T  =/=  0 )
184, 9, 17redivcld 10442 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( B  -  x )  /  T )  e.  RR )
1918flcld 12040 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e.  ZZ )
2019zred 11047 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  e.  RR )
2120, 9remulcld 9678 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T )  e.  RR )
221, 21readdcld 9677 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
236adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
2423, 1resubcld 10054 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  -  x )  e.  RR )
2524, 9, 17redivcld 10442 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( A  -  x )  /  T )  e.  RR )
2625, 9remulcld 9678 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( A  -  x
)  /  T )  x.  T )  e.  RR )
2711addid1d 9840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  +  0 )  =  B )
2827eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  =  ( B  +  0 ) )
2911, 12subcld 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
3029subidd 9981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  -  ( B  -  A )
)  =  0 )
3130eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  =  ( ( B  -  A )  -  ( B  -  A ) ) )
3231oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  +  0 )  =  ( B  +  ( ( B  -  A )  -  ( B  -  A
) ) ) )
3311, 29, 29addsub12d 10016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( ( B  -  A
)  -  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( B  -  A )  +  ( B  -  ( B  -  A
) ) ) )
3411, 12nncand 9998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  -  ( B  -  A )
)  =  A )
3534oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  +  ( B  -  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( B  -  A )  +  A ) )
3629, 12addcomd 9842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  +  A
)  =  ( A  +  ( B  -  A ) ) )
3710eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  =  T )
3837oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  ( A  +  T ) )
3936, 38eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  +  A
)  =  ( A  +  T ) )
4033, 35, 393eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( ( B  -  A
)  -  ( B  -  A ) ) )  =  ( A  +  T ) )
4128, 32, 403eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =  ( A  +  T ) )
4241adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  B  =  ( A  +  T
) )
4342oveq1d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  -  x )  =  ( ( A  +  T )  -  x
) )
4412adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
459recnd 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  T  e.  CC )
461recnd 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
4744, 45, 46addsubd 10014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( A  +  T )  -  x )  =  ( ( A  -  x )  +  T
) )
4843, 47eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  -  x )  =  ( ( A  -  x )  +  T
) )
4948oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( B  -  x )  /  T )  =  ( ( ( A  -  x )  +  T )  /  T
) )
5044, 46subcld 9993 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  -  x )  e.  CC )
5150, 45, 45, 17divdird 10428 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( A  -  x
)  +  T )  /  T )  =  ( ( ( A  -  x )  /  T )  +  ( T  /  T ) ) )
525, 29syl5eqel 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
5352, 16dividd 10388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T  /  T
)  =  1 )
5453adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( T  /  T )  =  1 )
5554oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( A  -  x
)  /  T )  +  ( T  /  T ) )  =  ( ( ( A  -  x )  /  T )  +  1 ) )
5649, 51, 553eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( B  -  x )  /  T )  =  ( ( ( A  -  x )  /  T )  +  1 ) )
5756fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( ( A  -  x )  /  T
)  +  1 ) ) )
5857oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  x )  /  T )  +  1 ) )  x.  T
) )
5958, 21eqeltrrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  ( ( ( A  -  x
)  /  T )  +  1 ) )  x.  T )  e.  RR )
60 peano2re 9813 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  x
)  /  T )  e.  RR  ->  (
( ( A  -  x )  /  T
)  +  1 )  e.  RR )
6125, 60syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( A  -  x
)  /  T )  +  1 )  e.  RR )
62 reflcl 12038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  -  x )  /  T
)  +  1 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( A  -  x )  /  T )  +  1 ) )  e.  RR )
6361, 62syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_
`  ( ( ( A  -  x )  /  T )  +  1 ) )  e.  RR )
646, 2posdifd 10207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
6513, 64mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
6665, 10breqtrrd 4450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  T )
678, 66elrpd 11345 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
6867adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  T  e.  RR+ )
69 flltp1 12042 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  x
)  /  T )  e.  RR  ->  (
( A  -  x
)  /  T )  <  ( ( |_
`  ( ( A  -  x )  /  T ) )  +  1 ) )
7025, 69syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( A  -  x )  /  T )  < 
( ( |_ `  ( ( A  -  x )  /  T
) )  +  1 ) )
71 1zzd 10975 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
72 fladdz 12064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  -  x )  /  T
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( ( A  -  x )  /  T
)  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( ( A  -  x )  /  T ) )  +  1 ) )
7325, 71, 72syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_
`  ( ( ( A  -  x )  /  T )  +  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( ( A  -  x )  /  T
) )  +  1 ) )
7470, 73breqtrrd 4450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( A  -  x )  /  T )  < 
( |_ `  (
( ( A  -  x )  /  T
)  +  1 ) ) )
7525, 63, 68, 74ltmul1dd 11400 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( A  -  x
)  /  T )  x.  T )  < 
( ( |_ `  ( ( ( A  -  x )  /  T )  +  1 ) )  x.  T
) )
7626, 59, 1, 75ltadd2dd 9801 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  ( ( ( A  -  x )  /  T )  x.  T ) )  < 
( x  +  ( ( |_ `  (
( ( A  -  x )  /  T
)  +  1 ) )  x.  T ) ) )
7750, 45, 17divcan1d 10391 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( A  -  x
)  /  T )  x.  T )  =  ( A  -  x
) )
7877oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  ( ( ( A  -  x )  /  T )  x.  T ) )  =  ( x  +  ( A  -  x ) ) )
7946, 44pncan3d 9996 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  ( A  -  x ) )  =  A )
8078, 79eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  ( ( ( A  -  x )  /  T )  x.  T ) )  =  A )
8158oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( x  +  ( ( |_ `  (
( ( A  -  x )  /  T
)  +  1 ) )  x.  T ) ) )
8281eqcomd 2430 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( ( A  -  x )  /  T )  +  1 ) )  x.  T ) )  =  ( x  +  ( ( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
8376, 80, 823brtr3d 4453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  < 
( x  +  ( ( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
8418, 9remulcld 9678 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( B  -  x
)  /  T )  x.  T )  e.  RR )
85 flle 12041 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  -  x
)  /  T )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  <_ 
( ( B  -  x )  /  T
) )
8618, 85syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  <_ 
( ( B  -  x )  /  T
) )
8720, 18, 68lemul1d 11388 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  <_  ( ( B  -  x )  /  T )  <->  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T )  <_  (
( ( B  -  x )  /  T
)  x.  T ) ) )
8886, 87mpbid 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T )  <_ 
( ( ( B  -  x )  /  T )  x.  T
) )
8921, 84, 1, 88leadd2dd 10235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  <_ 
( x  +  ( ( ( B  -  x )  /  T
)  x.  T ) ) )
904recnd 9676 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  -  x )  e.  CC )
9190, 45, 17divcan1d 10391 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( B  -  x
)  /  T )  x.  T )  =  ( B  -  x
) )
9291oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  ( ( ( B  -  x )  /  T )  x.  T ) )  =  ( x  +  ( B  -  x ) ) )
9311adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
9446, 93pncan3d 9996 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  ( B  -  x ) )  =  B )
9592, 94eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  ( ( ( B  -  x )  /  T )  x.  T ) )  =  B )
9689, 95breqtrd 4448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  <_  B )
9723rexrd 9697 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  e. 
RR* )
98 elioc2 11704 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( x  +  ( ( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) )  e.  ( A (,] B )  <->  ( (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR  /\  A  <  ( x  +  ( ( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) )  /\  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  <_  B ) ) )
9997, 3, 98syl2anc 665 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  ( A (,] B )  <->  ( (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR  /\  A  <  ( x  +  ( ( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) )  /\  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  <_  B ) ) )
10022, 83, 96, 99mpbir3and 1188 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  e.  ( A (,] B
) )
101 fourierdlem4.e . 2  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
102100, 101fmptd 6061 1  |-  ( ph  ->  E : RR --> ( A (,] B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867    / cdiv 10276   ZZcz 10944   RR+crp 11309   (,]cioc 11643   |_cfl 12032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-ioc 11647  df-fl 12034
This theorem is referenced by:  fourierdlem19  37928  fourierdlem37  37947  fourierdlem41  37951  fourierdlem48  37958  fourierdlem49  37959  fourierdlem51  37961  fourierdlem63  37973  fourierdlem65  37975  fourierdlem71  37981  fourierdlem79  37989  fourierdlem89  37999  fourierdlem90  38000  fourierdlem91  38001  fourierdlem102  38012  fourierdlem114  38024
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