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Theorem fourierdlem39 32174
Description: Integration by parts of  S. ( A (,) B ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( R  x.  x
) ) )  _d x (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem39.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem39.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem39.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
fourierdlem39.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
fourierdlem39.g  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
fourierdlem39.gcn  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
fourierdlem39.gbd  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `
 x ) )  <_  y )
fourierdlem39.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem39  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x )
) )  _d x  =  ( ( ( ( F `  B
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  B )
)  /  R ) )  -  ( ( F `  A )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  A
) )  /  R
) ) )  -  S. ( A (,) B
) ( ( G `
 x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) )  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, F, y    x, G, y   
x, R, y    ph, x, y

Proof of Theorem fourierdlem39
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem39.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 fourierdlem39.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 fourierdlem39.aleb . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
4 fourierdlem39.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
5 cncff 21614 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
76feqmptd 5926 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `
 x ) ) )
87eqcomd 2465 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( F `  x
) )  =  F )
98, 4eqeltrd 2545 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
10 coscn 23057 . . . . . 6  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
121, 2iccssred 31785 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
13 ax-resscn 9566 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
1412, 13syl6ss 3511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
15 fourierdlem39.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1615rpred 11281 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
1716recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
18 ssid 3518 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
2014, 17, 19constcncfg 31919 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  R )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
2114, 19idcncfg 31920 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  x )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
2220, 21mulcncf 22076 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( R  x.  x
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
2311, 22cncfmpt1f 21634 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( cos `  ( R  x.  x )
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
2415rpcnne0d 11290 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  e.  CC  /\  R  =/=  0 ) )
25 eldifsn 4157 . . . . . 6  |-  ( R  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( R  e.  CC  /\  R  =/=  0 ) )
2624, 25sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
27 difssd 3628 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
2814, 26, 27constcncfg 31919 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  R )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
2923, 28divcncf 31932 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
3029negcncfg 31929 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( ( cos `  ( R  x.  x
) )  /  R
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
31 fourierdlem39.gcn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
32 cncff 21614 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  G :
( A (,) B
) --> CC )
3331, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> CC )
3433feqmptd 5926 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `
 x ) ) )
3534eqcomd 2465 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( G `  x
) )  =  G )
3635, 31eqeltrd 2545 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
37 sincn 23056 . . . 4  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
3837a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
39 ioosscn 31773 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  CC
4039a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
4140, 17, 19constcncfg 31919 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  R )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
4240, 19idcncfg 31920 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  x )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
4341, 42mulcncf 22076 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( R  x.  x
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
4438, 43cncfmpt1f 21634 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( sin `  ( R  x.  x )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
45 ioombl 22192 . . . 4  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
4645a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
47 volioo 31993 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A
) )
481, 2, 3, 47syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A ) )
492, 1resubcld 10008 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
5048, 49eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
51 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B
)  |->  ( F `  x ) )
52 ioossicc 11635 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
5352a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
546adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
5553sselda 3499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
5654, 55ffvelrnd 6033 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
5751, 9, 53, 19, 56cncfmptssg 31918 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
5857, 44mulcncf 22076 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
59 cniccbdd 22090 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )
601, 2, 4, 59syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  y )
61 nfra1 2838 . . . . . . . 8  |-  F/ z A. z  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y
6252sseli 3495 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
63 rspa 2824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )
6462, 63sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )
6564ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  y  ->  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )
)
6661, 65ralrimi 2857 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  y  ->  A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )
6766a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  y  ->  A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )
)
6867reximdva 2932 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  y
) )
6960, 68mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  y )
70 nfv 1708 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( ph  /\  y  e.  RR )
71 nfra1 2838 . . . . . . . 8  |-  F/ z A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y
7270, 71nfan 1929 . . . . . . 7  |-  F/ z ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )
73 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( R  x.  x
) ) ) ) )  ->  ( ph  /\  y  e.  RR ) )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) ) )  ->  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x )
) ) ) )
7516adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  R  e.  RR )
76 elioore 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  RR )
7776adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  RR )
7875, 77remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( R  x.  x )  e.  RR )
7978resincld 13981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( R  x.  x
) )  e.  RR )
8079recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( R  x.  x
) )  e.  CC )
8156, 80mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x )
) )  e.  CC )
8281ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) )  e.  CC )
83 dmmptg 5510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x )
) )  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x )
) ) )  =  ( A (,) B
) )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x )
) ) )  =  ( A (,) B
) )
8584adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( R  x.  x
) ) ) )  =  ( A (,) B ) )
8674, 85eleqtrd 2547 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) ) )  ->  z  e.  ( A (,) B
) )
8786adant423 31671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( R  x.  x
) ) ) ) )  ->  z  e.  ( A (,) B ) )
88 simplr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  y
)  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( A (,) B
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )
8986adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  y
)  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) ) )  ->  z  e.  ( A (,) B
) )
90 rspa 2824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )
9188, 89, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  y
)  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
y )
9291adantllr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( R  x.  x
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  y
)
93 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) ) )
94 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
95 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  ( R  x.  x )  =  ( R  x.  z ) )
9695fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  ( sin `  ( R  x.  x ) )  =  ( sin `  ( R  x.  z )
) )
9794, 96oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( R  x.  x
) ) )  =  ( ( F `  z )  x.  ( sin `  ( R  x.  z ) ) ) )
9897adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  =  z )  -> 
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) )  =  ( ( F `
 z )  x.  ( sin `  ( R  x.  z )
) ) )
99 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  z  e.  ( A (,) B ) )
1006adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
10152, 99sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  z  e.  ( A [,] B ) )
102100, 101ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
10317adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  R  e.  CC )
10439, 99sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  z  e.  CC )
105103, 104mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( R  x.  z )  e.  CC )
106105sincld 13968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( sin `  ( R  x.  z
) )  e.  CC )
107102, 106mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  z )  x.  ( sin `  ( R  x.  z )
) )  e.  CC )
10893, 98, 99, 107fvmptd 5961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( R  x.  x
) ) ) ) `
 z )  =  ( ( F `  z )  x.  ( sin `  ( R  x.  z ) ) ) )
109108fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x )
) ) ) `  z ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
)  x.  ( sin `  ( R  x.  z
) ) ) ) )
110102, 106absmuld 13388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  x.  ( sin `  ( R  x.  z ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 z ) )  x.  ( abs `  ( sin `  ( R  x.  z ) ) ) ) )
111109, 110eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x )
) ) ) `  z ) )  =  ( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( sin `  ( R  x.  z )
) ) ) )
112111adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( abs `  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x )
) ) ) `  z ) )  =  ( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( sin `  ( R  x.  z )
) ) ) )
113112adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( abs `  (
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) ) `  z ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 z ) )  x.  ( abs `  ( sin `  ( R  x.  z ) ) ) ) )
114 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ph )
115 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  z  e.  ( A (,) B ) )
116114, 115, 102syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
117116abscld 13370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  e.  RR )
11817ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  R  e.  CC )
11939, 115sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  z  e.  CC )
120118, 119mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( R  x.  z
)  e.  CC )
121120sincld 13968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( sin `  ( R  x.  z )
)  e.  CC )
122121abscld 13370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( abs `  ( sin `  ( R  x.  z ) ) )  e.  RR )
123117, 122remulcld 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( sin `  ( R  x.  z )
) ) )  e.  RR )
124 1red 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  1  e.  RR )
125117, 124remulcld 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  1 )  e.  RR )
126 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  y  e.  RR )
127126, 124remulcld 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( y  x.  1 )  e.  RR )
128106abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( sin `  ( R  x.  z )
) )  e.  RR )
129 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  1  e.  RR )
130102abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  e.  RR )
131102absge0d 13378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `
 z ) ) )
13216adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  R  e.  RR )
133 elioore 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  ->  z  e.  RR )
134133adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  z  e.  RR )
135132, 134remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( R  x.  z )  e.  RR )
136 abssinbd 31736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  x.  z )  e.  RR  ->  ( abs `  ( sin `  ( R  x.  z )
) )  <_  1
)
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( sin `  ( R  x.  z )
) )  <_  1
)
138128, 129, 130, 131, 137lemul2ad 10506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  z ) )  x.  ( abs `  ( sin `  ( R  x.  z ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  z ) )  x.  1 ) )
139138adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B
) )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( sin `  ( R  x.  z )
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  1 ) )
140139adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( sin `  ( R  x.  z )
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  1 ) )
141 0le1 10097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  1
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  0  <_  1 )
143 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )
144117, 126, 124, 142, 143lemul1ad 10505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  1 )  <_  ( y  x.  1 ) )
145123, 125, 127, 140, 144letrd 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( ( abs `  ( F `  z )
)  x.  ( abs `  ( sin `  ( R  x.  z )
) ) )  <_ 
( y  x.  1 ) )
146113, 145eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( abs `  (
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) ) `  z ) )  <_  ( y  x.  1 ) )
147126recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  y  e.  CC )
148147mulid1d 9630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( y  x.  1 )  =  y )
149146, 148breqtrd 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  ->  ( abs `  (
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) ) `  z ) )  <_  y )
15073, 87, 92, 149syl21anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y )  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( R  x.  x
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x )
) ) ) `  z ) )  <_ 
y )
151150ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  y
)  ->  ( z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x )
) ) )  -> 
( abs `  (
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) ) `  z ) )  <_  y )
)
15272, 151ralrimi 2857 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  y
)  ->  A. z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x )
) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( R  x.  x
) ) ) ) `
 z ) )  <_  y )
153152ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  y  ->  A. z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( R  x.  x
) ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) ) `  z ) )  <_  y )
)
154153reximdva 2932 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ( A (,) B
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x )
) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( R  x.  x
) ) ) ) `
 z ) )  <_  y ) )
15569, 154mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( R  x.  x
) ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) ) `  z ) )  <_  y )
15646, 50, 58, 155cnbdibl 32007 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
15711, 43cncfmpt1f 21634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( cos `  ( R  x.  x )
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
15840, 26, 27constcncfg 31919 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  R )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
159157, 158divcncf 31932 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
160159negcncfg 31929 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u ( ( cos `  ( R  x.  x
) )  /  R
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
16136, 160mulcncf 22076 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G `  x )  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
162 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
16316adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  R  e.  RR )
16415rpne0d 11286 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  =/=  0 )
165164adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  R  =/=  0 )
166162, 163, 165redivcld 10393 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  /  R )  e.  RR )
167166adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x
) )  <_  y
)  ->  ( y  /  R )  e.  RR )
168 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G `  x )  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) )  -> 
z  e.  dom  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) )
16933ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
17017adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  R  e.  CC )
17176recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  CC )
172171adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  CC )
173170, 172mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( R  x.  x )  e.  CC )
174173coscld 13969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( R  x.  x
) )  e.  CC )
175164adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  R  =/=  0 )
176174, 170, 175divcld 10341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( R  x.  x ) )  /  R )  e.  CC )
177176negcld 9937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u ( ( cos `  ( R  x.  x ) )  /  R )  e.  CC )
178169, 177mulcld 9633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G `  x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x
) )  /  R
) )  e.  CC )
179178ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( G `  x )  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) )  e.  CC )
180179adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G `  x )  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( G `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) )  e.  CC )
181 dmmptg 5510 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( G `  x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x
) )  /  R
) )  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G `
 x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) )  =  ( A (,) B ) )
182180, 181syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G `  x )  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G `  x )  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) )  =  ( A (,) B ) )
183168, 182eleqtrd 2547 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G `  x )  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) )  -> 
z  e.  ( A (,) B ) )
184183adant423 31671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) )  -> 
z  e.  ( A (,) B ) )
185 eqidd 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G `
 x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) )
186 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
18795fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( cos `  ( R  x.  x ) )  =  ( cos `  ( R  x.  z )
) )
188187oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R )  =  ( ( cos `  ( R  x.  z
) )  /  R
) )
189188negeqd 9833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R )  =  -u ( ( cos `  ( R  x.  z
) )  /  R
) )
190186, 189oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( G `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) )  =  ( ( G `  z )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  z
) )  /  R
) ) )
191190adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( A (,) B
) )  /\  x  =  z )  -> 
( ( G `  x )  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) )  =  ( ( G `  z )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  z
) )  /  R
) ) )
19233ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
193105coscld 13969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( R  x.  z
) )  e.  CC )
194164adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  R  =/=  0 )
195193, 103, 194divcld 10341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( R  x.  z ) )  /  R )  e.  CC )
196195negcld 9937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u ( ( cos `  ( R  x.  z ) )  /  R )  e.  CC )
197192, 196mulcld 9633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G `  z )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  z
) )  /  R
) )  e.  CC )
198185, 191, 99, 197fvmptd 5961 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) `  z
)  =  ( ( G `  z )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  z
) )  /  R
) ) )
199198fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G `
 x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) `  z
) )  =  ( abs `  ( ( G `  z )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  z
) )  /  R
) ) ) )
200199adant423 31671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G `  x )  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) `  z
) )  =  ( abs `  ( ( G `  z )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  z
) )  /  R
) ) ) )
20133ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x
) )  <_  y
)  ->  G :
( A (,) B
) --> CC )
202201ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
203202abscld 13370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR )
204 simpllr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  RR )
20517ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  R  e.  CC )
206104adant423 31671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  z  e.  CC )
207205, 206mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( R  x.  z )  e.  CC )
208207coscld 13969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( cos `  ( R  x.  z )
)  e.  CC )
209164ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  R  =/=  0
)
210208, 205, 209divcld 10341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( cos `  ( R  x.  z
) )  /  R
)  e.  CC )
211210negcld 9937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u ( ( cos `  ( R  x.  z
) )  /  R
)  e.  CC )
212211abscld 13370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  -u (
( cos `  ( R  x.  z )
)  /  R ) )  e.  RR )
21315rprecred 11292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  R
)  e.  RR )
214213ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  /  R )  e.  RR )
215202absge0d 13378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  z ) ) )
216211absge0d 13378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  <_  ( abs `  -u ( ( cos `  ( R  x.  z
) )  /  R
) ) )
217186fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  ( abs `  ( G `  x ) )  =  ( abs `  ( G `  z )
) )
218217breq1d 4466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( abs `  ( G `  x )
)  <_  y  <->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  y
) )
219218rspccva 3209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( abs `  ( G `  z )
)  <_  y )
220219adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  y )
221195absnegd 13383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  -u ( ( cos `  ( R  x.  z )
)  /  R ) )  =  ( abs `  ( ( cos `  ( R  x.  z )
)  /  R ) ) )
222193, 103, 194absdivd 13389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( cos `  ( R  x.  z )
)  /  R ) )  =  ( ( abs `  ( cos `  ( R  x.  z
) ) )  / 
( abs `  R
) ) )
22315rpge0d 11285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
22416, 223absidd 13357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  R
)  =  R )
225224oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( cos `  ( R  x.  z ) ) )  /  ( abs `  R
) )  =  ( ( abs `  ( cos `  ( R  x.  z ) ) )  /  R ) )
226225adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( cos `  ( R  x.  z )
) )  /  ( abs `  R ) )  =  ( ( abs `  ( cos `  ( R  x.  z )
) )  /  R
) )
227221, 222, 2263eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  -u ( ( cos `  ( R  x.  z )
)  /  R ) )  =  ( ( abs `  ( cos `  ( R  x.  z
) ) )  /  R ) )
228193abscld 13370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( cos `  ( R  x.  z )
) )  e.  RR )
22915adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  R  e.  RR+ )
230 abscosbd 31706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  x.  z )  e.  RR  ->  ( abs `  ( cos `  ( R  x.  z )
) )  <_  1
)
231135, 230syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( cos `  ( R  x.  z )
) )  <_  1
)
232228, 129, 229, 231lediv1dd 11335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( cos `  ( R  x.  z )
) )  /  R
)  <_  ( 1  /  R ) )
233227, 232eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  -u ( ( cos `  ( R  x.  z )
)  /  R ) )  <_  ( 1  /  R ) )
234233adant423 31671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  -u (
( cos `  ( R  x.  z )
)  /  R ) )  <_  ( 1  /  R ) )
235203, 204, 212, 214, 215, 216, 220, 234lemul12ad 10508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  z
) )  x.  ( abs `  -u ( ( cos `  ( R  x.  z
) )  /  R
) ) )  <_ 
( y  x.  (
1  /  R ) ) )
236192, 196absmuld 13388 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  z )
)  /  R ) ) )  =  ( ( abs `  ( G `  z )
)  x.  ( abs `  -u ( ( cos `  ( R  x.  z
) )  /  R
) ) ) )
237236adant423 31671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  z )
)  /  R ) ) )  =  ( ( abs `  ( G `  z )
)  x.  ( abs `  -u ( ( cos `  ( R  x.  z
) )  /  R
) ) ) )
238204recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  CC )
239238, 205, 209divrecd 10344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( y  /  R )  =  ( y  x.  ( 1  /  R ) ) )
240235, 237, 2393brtr4d 4486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  z )
)  /  R ) ) )  <_  (
y  /  R ) )
241200, 240eqbrtrd 4476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G `  x )  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) `  z
) )  <_  (
y  /  R ) )
242184, 241syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x )
)  <_  y )  /\  z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G `  x )  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) `  z
) )  <_  (
y  /  R ) )
243242ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x
) )  <_  y
)  ->  A. z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G `
 x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G `
 x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) `  z
) )  <_  (
y  /  R ) )
244 breq2 4460 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  /  R )  ->  (
( abs `  (
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G `  x )  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) `  z
) )  <_  w  <->  ( abs `  ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) `  z
) )  <_  (
y  /  R ) ) )
245244ralbidv 2896 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  /  R )  ->  ( A. z  e.  dom  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G `
 x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) `  z
) )  <_  w  <->  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G `
 x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) `  z
) )  <_  (
y  /  R ) ) )
246245rspcev 3210 . . . . 5  |-  ( ( ( y  /  R
)  e.  RR  /\  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G `
 x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) `  z
) )  <_  (
y  /  R ) )  ->  E. w  e.  RR  A. z  e. 
dom  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G `
 x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G `
 x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) `  z
) )  <_  w
)
247167, 243, 246syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `  x
) )  <_  y
)  ->  E. w  e.  RR  A. z  e. 
dom  ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G `
 x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G `
 x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) `  z
) )  <_  w
)
248 fourierdlem39.gbd . . . 4  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  ( A (,) B ) ( abs `  ( G `
 x ) )  <_  y )
249247, 248r19.29a 2999 . . 3  |-  ( ph  ->  E. w  e.  RR  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( G `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( G `
 x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) ) `  z
) )  <_  w
)
25046, 50, 161, 249cnbdibl 32007 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( G `  x )  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) )  e.  L^1 )
2518oveq2d 6312 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( RR  _D  F ) )
252 fourierdlem39.g . . . . 5  |-  G  =  ( RR  _D  F
)
253252eqcomi 2470 . . . 4  |-  ( RR 
_D  F )  =  G
254253a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  G )
255251, 254, 343eqtrd 2502 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( G `  x ) ) )
256 reelprrecn 9601 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
257256a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
25817adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  R  e.  CC )
259 recn 9599 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
260259adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
261258, 260mulcld 9633 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( R  x.  x )  e.  CC )
262261coscld 13969 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( cos `  ( R  x.  x
) )  e.  CC )
263164adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  R  =/=  0 )
264262, 258, 263divcld 10341 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( cos `  ( R  x.  x ) )  /  R )  e.  CC )
265264negcld 9937 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R )  e.  CC )
26616adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  R  e.  RR )
267 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
268266, 267remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( R  x.  x )  e.  RR )
269268resincld 13981 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  ( R  x.  x
) )  e.  RR )
270269renegcld 10007 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( sin `  ( R  x.  x ) )  e.  RR )
271270, 266remulcld 9641 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u ( sin `  ( R  x.  x ) )  x.  R )  e.  RR )
272271, 266, 263redivcld 10393 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( (
-u ( sin `  ( R  x.  x )
)  x.  R )  /  R )  e.  RR )
273272renegcld 10007 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u (
( -u ( sin `  ( R  x.  x )
)  x.  R )  /  R )  e.  RR )
274 recoscl 13979 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  ( cos `  y )  e.  RR )
275274adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( cos `  y )  e.  RR )
276275recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( cos `  y )  e.  CC )
277 resincl 13978 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  ( sin `  y )  e.  RR )
278277renegcld 10007 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  -u ( sin `  y )  e.  RR )
279278adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  -u ( sin `  y )  e.  RR )
280 1red 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
281257dvmptid 22577 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
282257, 260, 280, 281, 17dvmptcmul 22584 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( R  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( R  x.  1 ) ) )
283258mulid1d 9630 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( R  x.  1 )  =  R )
284283mpteq2dva 4543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( R  x.  1
) )  =  ( x  e.  RR  |->  R ) )
285282, 284eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( R  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  R ) )
286 dvcosre 31952 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( cos `  y
) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  -u ( sin `  y
) )
287286a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( cos `  y ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  -u ( sin `  y ) ) )
288 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( R  x.  x )  ->  ( cos `  y )  =  ( cos `  ( R  x.  x )
) )
289 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( R  x.  x )  ->  ( sin `  y )  =  ( sin `  ( R  x.  x )
) )
290289negeqd 9833 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( R  x.  x )  ->  -u ( sin `  y )  = 
-u ( sin `  ( R  x.  x )
) )
291257, 257, 268, 266, 276, 279, 285, 287, 288, 290dvmptco 22592 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( cos `  ( R  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  (
-u ( sin `  ( R  x.  x )
)  x.  R ) ) )
292257, 262, 271, 291, 17, 164dvmptdivc 22585 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( -u ( sin `  ( R  x.  x
) )  x.  R
)  /  R ) ) )
293257, 264, 272, 292dvmptneg 22586 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( ( -u ( sin `  ( R  x.  x ) )  x.  R )  /  R
) ) )
294 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
295294tgioo2 21525 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
296 iccntr 21543 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
2971, 2, 296syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
298257, 265, 273, 293, 12, 295, 294, 297dvmptres2 22582 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( -u ( sin `  ( R  x.  x ) )  x.  R )  /  R
) ) )
29980, 170mulneg1d 10030 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( -u ( sin `  ( R  x.  x ) )  x.  R )  =  -u ( ( sin `  ( R  x.  x )
)  x.  R ) )
300299oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( -u ( sin `  ( R  x.  x )
)  x.  R )  /  R )  =  ( -u ( ( sin `  ( R  x.  x ) )  x.  R )  /  R ) )
30180, 170mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( sin `  ( R  x.  x ) )  x.  R )  e.  CC )
302301, 170, 175divnegd 10354 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u ( ( ( sin `  ( R  x.  x )
)  x.  R )  /  R )  =  ( -u ( ( sin `  ( R  x.  x ) )  x.  R )  /  R ) )
303300, 302eqtr4d 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( -u ( sin `  ( R  x.  x )
)  x.  R )  /  R )  = 
-u ( ( ( sin `  ( R  x.  x ) )  x.  R )  /  R ) )
304303negeqd 9833 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u ( (
-u ( sin `  ( R  x.  x )
)  x.  R )  /  R )  = 
-u -u ( ( ( sin `  ( R  x.  x ) )  x.  R )  /  R ) )
305301, 170, 175divcld 10341 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( sin `  ( R  x.  x )
)  x.  R )  /  R )  e.  CC )
306305negnegd 9941 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u -u (
( ( sin `  ( R  x.  x )
)  x.  R )  /  R )  =  ( ( ( sin `  ( R  x.  x
) )  x.  R
)  /  R ) )
30780, 170, 175divcan4d 10347 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( sin `  ( R  x.  x )
)  x.  R )  /  R )  =  ( sin `  ( R  x.  x )
) )
308304, 306, 3073eqtrd 2502 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -u ( (
-u ( sin `  ( R  x.  x )
)  x.  R )  /  R )  =  ( sin `  ( R  x.  x )
) )
309308mpteq2dva 4543 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u ( ( -u ( sin `  ( R  x.  x ) )  x.  R )  /  R ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( sin `  ( R  x.  x )
) ) )
310298, 309eqtrd 2498 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) ) )  =  ( x  e.  ( A (,) B )  |->  ( sin `  ( R  x.  x ) ) ) )
311 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
312 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( R  x.  x )  =  ( R  x.  A ) )
313312fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( cos `  ( R  x.  x ) )  =  ( cos `  ( R  x.  A )
) )
314313oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R )  =  ( ( cos `  ( R  x.  A
) )  /  R
) )
315314negeqd 9833 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R )  =  -u ( ( cos `  ( R  x.  A
) )  /  R
) )
316311, 315oveq12d 6314 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) )  =  ( ( F `  A )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  A
) )  /  R
) ) )
317316adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  (
( F `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) )  =  ( ( F `  A )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  A
) )  /  R
) ) )
318 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
319 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( R  x.  x )  =  ( R  x.  B ) )
320319fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( cos `  ( R  x.  x ) )  =  ( cos `  ( R  x.  B )
) )
321320oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R )  =  ( ( cos `  ( R  x.  B
) )  /  R
) )
322321negeqd 9833 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R )  =  -u ( ( cos `  ( R  x.  B
) )  /  R
) )
323318, 322oveq12d 6314 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) )  =  ( ( F `  B )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  B
) )  /  R
) ) )
324323adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  (
( F `  x
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) )  =  ( ( F `  B )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  B
) )  /  R
) ) )
3251, 2, 3, 9, 30, 36, 44, 156, 250, 255, 310, 317, 324itgparts 22665 1  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( R  x.  x )
) )  _d x  =  ( ( ( ( F `  B
)  x.  -u (
( cos `  ( R  x.  B )
)  /  R ) )  -  ( ( F `  A )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  A
) )  /  R
) ) )  -  S. ( A (,) B
) ( ( G `
 x )  x.  -u ( ( cos `  ( R  x.  x )
)  /  R ) )  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3468    C_ wss 3471   {csn 4032   {cpr 4034   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   abscabs 13170   sincsin 13902   cosccos 13903   TopOpenctopn 14930   topGenctg 14946  ℂfldccnfld 18638   intcnt 19736   -cn->ccncf 21597   volcvol 22092   S.citg 22244    _D cdv 22484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 13003  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-limsup 13397  df-clim 13414  df-rlim 13415  df-sum 13612  df-ef 13906  df-sin 13908  df-cos 13909  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-sca 14819  df-vsca 14820  df-ip 14821  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-hom 14827  df-cco 14828  df-rest 14931  df-topn 14932  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-topgen 14952  df-pt 14953  df-prds 14956  df-xrs 15010  df-qtop 15015  df-imas 15016  df-xps 15018  df-mre 15094  df-mrc 15095  df-acs 15097  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-submnd 16185  df-mulg 16278  df-cntz 16573  df-cmn 17018  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-fbas 18634  df-fg 18635  df-cnfld 18639  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-cld 19738  df-ntr 19739  df-cls 19740  df-nei 19817  df-lp 19855  df-perf 19856  df-cn 19946  df-cnp 19947  df-haus 20034  df-cmp 20105  df-tx 20280  df-hmeo 20473  df-fil 20564  df-fm 20656  df-flim 20657  df-flf 20658  df-xms 21040  df-ms 21041  df-tms 21042  df-cncf 21599  df-ovol 22093  df-vol 22094  df-mbf 22245  df-itg1 22246  df-itg2 22247  df-ibl 22248  df-itg 22249  df-0p 22294  df-limc 22487  df-dv 22488
This theorem is referenced by:  fourierdlem73  32208
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