Theorem fourierdlem37 32129

Description: I is a function that maps any real point to the point that in the partition that immediately precedes the corresponding periodic point in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem37.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem37.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem37.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem37.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem37.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem37.l	|- L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
fourierdlem37.i	|- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem37	|- ( ph -> ( I : RR --> ( 0..^ M ) /\ ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, p   x, A, y   B, m, p   x, B, y   i, E   y, E   i, L   i, M, m, p   x, M, i   Q, i, p   x, T   ph, i, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   A( i)   B( i)   P( x, y, i, m, p)   Q( x, y, m)   T( y, i, m, p)   E( x, m, p)   I( x, y, i, m, p)   L( x, y, m, p)   M( y)

Proof of Theorem fourierdlem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3581	. . . 4 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ ( 0..^ M )
2		ltso 9682	. . . . . 6 |- < Or RR
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> < Or RR )
4		fzfi 12085	. . . . . . 7 |- ( 0 ... M ) e. Fin
5		fzossfz 11844	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
6	1, 5	sstri 3508	. . . . . . 7 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ ( 0 ... M )
7		ssfi 7759	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 ... M ) e. Fin /\ { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ ( 0 ... M ) ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin )
8	4, 6, 7	mp2an 672	. . . . . 6 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin )
10		0zd 10897	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
11		fourierdlem37.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
12	11	nnzd 10989	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
13	11	nngt0d 10600	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < M )
14		fzolb 11832	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 0 < M ) )
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1180	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ M ) )
16	15	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 e. ( 0..^ M ) )
17		fourierdlem37.q	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
18		fourierdlem37.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
19	18	fourierdlem2 32094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
20	11, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
21	17, 20	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
22	21	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
23	22	simplld 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
24	18, 11, 17	fourierdlem11 32103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
25	24	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR )
26	23, 25	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
27	26, 23	eqled 31657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) <_ A )
28	27	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ A )
29		iftrue 3950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E ` x ) = B -> if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) = A )
30	29	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E ` x ) = B -> A = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
31	30	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( E ` x ) = B ) -> A = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
32	28, 31	breqtrd 4480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
33	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
34	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A e. RR )
35	34	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A e. RR* )
36	24	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> B e. RR )
38		iocssre 11629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
39	35, 37, 38	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
40	24	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A < B )
41		fourierdlem37.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( B - A )
42		fourierdlem37.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
43	25, 36, 40, 41, 42	fourierdlem4 32096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
44	43	fnvinran 31592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E ` x ) e. ( A (,] B ) )
45	39, 44	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E ` x ) e. RR )
46	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) = A )
47		elioc2 11612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( E ` x ) e. ( A (,] B ) <-> ( ( E ` x ) e. RR /\ A < ( E ` x ) /\ ( E ` x ) <_ B ) ) )
48	35, 37, 47	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( E ` x ) e. ( A (,] B ) <-> ( ( E ` x ) e. RR /\ A < ( E ` x ) /\ ( E ` x ) <_ B ) ) )
49	44, 48	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( E ` x ) e. RR /\ A < ( E ` x ) /\ ( E ` x ) <_ B ) )
50	49	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A < ( E ` x ) )
51	46, 50	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) < ( E ` x ) )
52	33, 45, 51	ltled 9750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( E ` x ) )
53	52	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( E ` x ) )
54		iffalse 3953	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( E ` x ) = B -> if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) = ( E ` x ) )
55	54	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( E ` x ) = B -> ( E ` x ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
56	55	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( E ` x ) = B ) -> ( E ` x ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
57	53, 56	breqtrd 4480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
58	32, 57	pm2.61dan 791	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) <_ if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
59		fourierdlem37.l	. . . . . . . . . 10 |- L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
60	59	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) ) )
61		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( E ` x ) -> ( y = B <-> ( E ` x ) = B ) )
62		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( E ` x ) -> y = ( E ` x ) )
63	61, 62	ifbieq2d 3969	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( E ` x ) -> if ( y = B , A , y ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
64	63	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ y = ( E ` x ) ) -> if ( y = B , A , y ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
65	34, 45	ifcld 3987	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) e. RR )
66	60, 64, 44, 65	fvmptd 5961	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( L ` ( E ` x ) ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
67	58, 66	breqtrrd 4482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) )
68		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( i = 0 -> ( Q ` i ) = ( Q ` 0 ) )
69	68	breq1d 4466	. . . . . . . 8 |- ( i = 0 -> ( ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) <-> ( Q ` 0 ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) ) )
70	69	elrab 3257	. . . . . . 7 |- ( 0 e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } <-> ( 0 e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` 0 ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) ) )
71	16, 67, 70	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } )
72		ne0i 3799	. . . . . 6 |- ( 0 e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } =/= (/) )
73	71, 72	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } =/= (/) )
74		fzssz 31669	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... M ) C_ ZZ
75	5, 74	sstri 3508	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) C_ ZZ
76		zssre 10892	. . . . . . . 8 |- ZZ C_ RR
77	75, 76	sstri 3508	. . . . . . 7 |- ( 0..^ M ) C_ RR
78	1, 77	sstri 3508	. . . . . 6 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ RR
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ RR )
80		fisupcl 7945	. . . . 5 |- ( ( < Or RR /\ ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin /\ { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } =/= (/) /\ { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ RR ) ) -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } )
81	3, 9, 73, 79, 80	syl13anc 1230	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } )
82	1, 81	sseldi 3497	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. ( 0..^ M ) )
83		fourierdlem37.i	. . 3 |- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
84	82, 83	fmptd 6056	. 2 |- ( ph -> I : RR --> ( 0..^ M ) )
85	81	ex 434	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } ) )
86	84, 85	jca 532	1 |- ( ph -> ( I : RR --> ( 0..^ M ) /\ ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   {crab 2811   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   Or wor 4808   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ^m cmap 7438   Fincfn 7535   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   ZZcz 10885   (,]cioc 11555   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821   |_cfl 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ioc 11559  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932

This theorem is referenced by:  fourierdlem79  32171  fourierdlem89  32181  fourierdlem90  32182  fourierdlem91  32183