Theorem fourierdlem37 38119

Description: I is a function that maps any real point to the point that in the partition that immediately precedes the corresponding periodic point in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem37.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem37.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem37.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem37.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem37.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem37.l	|- L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
fourierdlem37.i	|- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem37	|- ( ph -> ( I : RR --> ( 0..^ M ) /\ ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, p   x, A, y   B, m, p   x, B, y   i, E   y, E   i, L   i, M, m, p   x, M, i   Q, i, p   x, T   ph, i, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   A( i)   B( i)   P( x, y, i, m, p)   Q( x, y, m)   T( y, i, m, p)   E( x, m, p)   I( x, y, i, m, p)   L( x, y, m, p)   M( y)

Proof of Theorem fourierdlem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3500	. . . 4 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ ( 0..^ M )
2		ltso 9732	. . . . . 6 |- < Or RR
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> < Or RR )
4		fzfi 12223	. . . . . . 7 |- ( 0 ... M ) e. Fin
5		fzossfz 11965	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
6	1, 5	sstri 3427	. . . . . . 7 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ ( 0 ... M )
7		ssfi 7810	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 ... M ) e. Fin /\ { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ ( 0 ... M ) ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin )
8	4, 6, 7	mp2an 686	. . . . . 6 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin )
10		0zd 10973	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
11		fourierdlem37.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
12	11	nnzd 11062	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
13	11	nngt0d 10675	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < M )
14		fzolb 11953	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 0 < M ) )
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1214	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ M ) )
16	15	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 e. ( 0..^ M ) )
17		fourierdlem37.q	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
18		fourierdlem37.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
19	18	fourierdlem2 38083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
20	11, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
21	17, 20	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
22	21	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
23	22	simplld 769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
24	18, 11, 17	fourierdlem11 38092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
25	24	simp1d 1042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR )
26	23, 25	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
27	26, 23	eqled 9755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) <_ A )
28	27	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ A )
29		iftrue 3878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E ` x ) = B -> if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) = A )
30	29	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E ` x ) = B -> A = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
31	30	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( E ` x ) = B ) -> A = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
32	28, 31	breqtrd 4420	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
33	26	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
34	25	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A e. RR )
35	34	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A e. RR* )
36	24	simp2d 1043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR )
37	36	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> B e. RR )
38		iocssre 11739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
39	35, 37, 38	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
40	24	simp3d 1044	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A < B )
41		fourierdlem37.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( B - A )
42		fourierdlem37.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
43	25, 36, 40, 41, 42	fourierdlem4 38085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
44	43	fnvinran 37398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E ` x ) e. ( A (,] B ) )
45	39, 44	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E ` x ) e. RR )
46	23	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) = A )
47		elioc2 11722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( E ` x ) e. ( A (,] B ) <-> ( ( E ` x ) e. RR /\ A < ( E ` x ) /\ ( E ` x ) <_ B ) ) )
48	35, 37, 47	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( E ` x ) e. ( A (,] B ) <-> ( ( E ` x ) e. RR /\ A < ( E ` x ) /\ ( E ` x ) <_ B ) ) )
49	44, 48	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( E ` x ) e. RR /\ A < ( E ` x ) /\ ( E ` x ) <_ B ) )
50	49	simp2d 1043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A < ( E ` x ) )
51	46, 50	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) < ( E ` x ) )
52	33, 45, 51	ltled 9800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( E ` x ) )
53	52	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( E ` x ) )
54		iffalse 3881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( E ` x ) = B -> if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) = ( E ` x ) )
55	54	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( E ` x ) = B -> ( E ` x ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
56	55	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( E ` x ) = B ) -> ( E ` x ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
57	53, 56	breqtrd 4420	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
58	32, 57	pm2.61dan 808	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) <_ if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
59		fourierdlem37.l	. . . . . . . . . 10 |- L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
60	59	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) ) )
61		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( E ` x ) -> ( y = B <-> ( E ` x ) = B ) )
62		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( E ` x ) -> y = ( E ` x ) )
63	61, 62	ifbieq2d 3897	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( E ` x ) -> if ( y = B , A , y ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
64	63	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ y = ( E ` x ) ) -> if ( y = B , A , y ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
65	34, 45	ifcld 3915	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) e. RR )
66	60, 64, 44, 65	fvmptd 5969	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( L ` ( E ` x ) ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
67	58, 66	breqtrrd 4422	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) )
68		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 |- ( i = 0 -> ( Q ` i ) = ( Q ` 0 ) )
69	68	breq1d 4405	. . . . . . . 8 |- ( i = 0 -> ( ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) <-> ( Q ` 0 ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) ) )
70	69	elrab 3184	. . . . . . 7 |- ( 0 e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } <-> ( 0 e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` 0 ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) ) )
71	16, 67, 70	sylanbrc 677	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } )
72		ne0i 3728	. . . . . 6 |- ( 0 e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } =/= (/) )
73	71, 72	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } =/= (/) )
74		fzssz 11827	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... M ) C_ ZZ
75	5, 74	sstri 3427	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) C_ ZZ
76		zssre 10968	. . . . . . . 8 |- ZZ C_ RR
77	75, 76	sstri 3427	. . . . . . 7 |- ( 0..^ M ) C_ RR
78	1, 77	sstri 3427	. . . . . 6 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ RR
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ RR )
80		fisupcl 8003	. . . . 5 |- ( ( < Or RR /\ ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin /\ { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } =/= (/) /\ { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ RR ) ) -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } )
81	3, 9, 73, 79, 80	syl13anc 1294	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } )
82	1, 81	sseldi 3416	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. ( 0..^ M ) )
83		fourierdlem37.i	. . 3 |- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
84	82, 83	fmptd 6061	. 2 |- ( ph -> I : RR --> ( 0..^ M ) )
85	81	ex 441	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } ) )
86	84, 85	jca 541	1 |- ( ph -> ( I : RR --> ( 0..^ M ) /\ ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   Or wor 4759   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   Fincfn 7587   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   ZZcz 10961   (,]cioc 11661   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   |_cfl 12059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ioc 11665  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061

This theorem is referenced by:  fourierdlem79  38161  fourierdlem89  38171  fourierdlem90  38172  fourierdlem91  38173