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Theorem fourierdlem37 38007
Description:  I is a function that maps any real point to the point that in the partition that immediately precedes the corresponding periodic point in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem37.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem37.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem37.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem37.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem37.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
fourierdlem37.l  |-  L  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
fourierdlem37.i  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem37  |-  ( ph  ->  ( I : RR --> ( 0..^ M )  /\  ( x  e.  RR  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) } ,  RR ,  <  )  e.  {
i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ) ) )
Distinct variable groups:    A, m, p    x, A, y    B, m, p    x, B, y   
i, E    y, E    i, L    i, M, m, p    x, M, i    Q, i, p    x, T    ph, i, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    A( i)    B( i)    P( x, y, i, m, p)    Q( x, y, m)    T( y, i, m, p)    E( x, m, p)    I( x, y, i, m, p)    L( x, y, m, p)    M( y)

Proof of Theorem fourierdlem37
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3514 . . . 4  |-  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  C_  (
0..^ M )
2 ltso 9714 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  <  Or  RR )
4 fzfi 12185 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... M )  e. 
Fin
5 fzossfz 11938 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ M )  C_  (
0 ... M )
61, 5sstri 3441 . . . . . . 7  |-  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  C_  (
0 ... M )
7 ssfi 7792 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 ... M
)  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) }  C_  (
0 ... M ) )  ->  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) }  e.  Fin )
84, 6, 7mp2an 678 . . . . . 6  |-  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  e.  Fin
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  e.  Fin )
10 0zd 10949 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
11 fourierdlem37.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1211nnzd 11039 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1311nngt0d 10653 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  M )
14 fzolb 11926 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  0  < 
M ) )
1510, 12, 13, 14syl3anbrc 1192 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ M ) )
1615adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  ( 0..^ M ) )
17 fourierdlem37.q . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
18 fourierdlem37.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
1918fourierdlem2 37971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <-> 
( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
2117, 20mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
2221simprd 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 0 )  =  A  /\  ( Q `
 M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
2322simplld 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
2418, 11, 17fourierdlem11 37980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B ) )
2524simp1d 1020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2623, 25eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR )
2726, 23eqled 9737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <_  A )
2827ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( E `  x )  =  B )  ->  ( Q `  0 )  <_  A )
29 iftrue 3887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E `  x )  =  B  ->  if ( ( E `  x )  =  B ,  A ,  ( E `  x ) )  =  A )
3029eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  x )  =  B  ->  A  =  if ( ( E `
 x )  =  B ,  A , 
( E `  x
) ) )
3130adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( E `  x )  =  B )  ->  A  =  if ( ( E `
 x )  =  B ,  A , 
( E `  x
) ) )
3228, 31breqtrd 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( E `  x )  =  B )  ->  ( Q `  0 )  <_  if ( ( E `
 x )  =  B ,  A , 
( E `  x
) ) )
3326adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( Q `
 0 )  e.  RR )
3425adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
3534rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  e. 
RR* )
3624simp2d 1021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3736adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
38 iocssre 11714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  C_  RR )
3935, 37, 38syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  C_  RR )
4024simp3d 1022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  <  B )
41 fourierdlem37.t . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  ( B  -  A
)
42 fourierdlem37.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
4325, 36, 40, 41, 42fourierdlem4 37973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E : RR --> ( A (,] B ) )
4443fnvinran 37335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E `
 x )  e.  ( A (,] B
) )
4539, 44sseldd 3433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E `
 x )  e.  RR )
4623adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( Q `
 0 )  =  A )
47 elioc2 11697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( E `  x
)  e.  ( A (,] B )  <->  ( ( E `  x )  e.  RR  /\  A  < 
( E `  x
)  /\  ( E `  x )  <_  B
) ) )
4835, 37, 47syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( E `  x )  e.  ( A (,] B )  <->  ( ( E `  x )  e.  RR  /\  A  < 
( E `  x
)  /\  ( E `  x )  <_  B
) ) )
4944, 48mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( E `  x )  e.  RR  /\  A  <  ( E `  x
)  /\  ( E `  x )  <_  B
) )
5049simp2d 1021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  < 
( E `  x
) )
5146, 50eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( Q `
 0 )  < 
( E `  x
) )
5233, 45, 51ltled 9783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( Q `
 0 )  <_ 
( E `  x
) )
5352adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( E `  x )  =  B )  -> 
( Q `  0
)  <_  ( E `  x ) )
54 iffalse 3890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( E `  x
)  =  B  ->  if ( ( E `  x )  =  B ,  A ,  ( E `  x ) )  =  ( E `
 x ) )
5554eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( E `  x
)  =  B  -> 
( E `  x
)  =  if ( ( E `  x
)  =  B ,  A ,  ( E `  x ) ) )
5655adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( E `  x )  =  B )  -> 
( E `  x
)  =  if ( ( E `  x
)  =  B ,  A ,  ( E `  x ) ) )
5753, 56breqtrd 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( E `  x )  =  B )  -> 
( Q `  0
)  <_  if (
( E `  x
)  =  B ,  A ,  ( E `  x ) ) )
5832, 57pm2.61dan 800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( Q `
 0 )  <_  if ( ( E `  x )  =  B ,  A ,  ( E `  x ) ) )
59 fourierdlem37.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
6059a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  L  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) ) )
61 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( E `  x )  ->  (
y  =  B  <->  ( E `  x )  =  B ) )
62 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( E `  x )  ->  y  =  ( E `  x ) )
6361, 62ifbieq2d 3906 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( E `  x )  ->  if ( y  =  B ,  A ,  y )  =  if ( ( E `  x
)  =  B ,  A ,  ( E `  x ) ) )
6463adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  y  =  ( E `  x ) )  ->  if ( y  =  B ,  A ,  y )  =  if ( ( E `  x
)  =  B ,  A ,  ( E `  x ) ) )
6534, 45ifcld 3924 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( E `  x
)  =  B ,  A ,  ( E `  x ) )  e.  RR )
6660, 64, 44, 65fvmptd 5954 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( L `
 ( E `  x ) )  =  if ( ( E `
 x )  =  B ,  A , 
( E `  x
) ) )
6758, 66breqtrrd 4429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( Q `
 0 )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) )
68 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  0  ->  ( Q `  i )  =  ( Q ` 
0 ) )
6968breq1d 4412 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  (
( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) )  <->  ( Q `  0 )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) ) )
7069elrab 3196 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) }  <-> 
( 0  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  0 )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) ) )
7116, 67, 70sylanbrc 670 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  e. 
{ i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) ) } )
72 ne0i 3737 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) }  ->  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) }  =/=  (/) )
7371, 72syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  =/=  (/) )
74 fzssz 11801 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... M )  C_  ZZ
755, 74sstri 3441 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ M )  C_  ZZ
76 zssre 10944 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  RR
7775, 76sstri 3441 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ M )  C_  RR
781, 77sstri 3441 . . . . . 6  |-  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  C_  RR
7978a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  C_  RR )
80 fisupcl 7985 . . . . 5  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) ) }  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) }  =/=  (/)  /\  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  C_  RR ) )  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) ) } ,  RR ,  <  )  e. 
{ i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) ) } )
813, 9, 73, 79, 80syl13anc 1270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) ) } ,  RR ,  <  )  e. 
{ i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) ) } )
821, 81sseldi 3430 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) ) } ,  RR ,  <  )  e.  ( 0..^ M ) )
83 fourierdlem37.i . . 3  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
8482, 83fmptd 6046 . 2  |-  ( ph  ->  I : RR --> ( 0..^ M ) )
8581ex 436 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) } ,  RR ,  <  )  e.  {
i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ) )
8684, 85jca 535 1  |-  ( ph  ->  ( I : RR --> ( 0..^ M )  /\  ( x  e.  RR  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) } ,  RR ,  <  )  e.  {
i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   {crab 2741    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    Or wor 4754   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   Fincfn 7569   supcsup 7954   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   ZZcz 10937   (,]cioc 11636   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   |_cfl 12026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ioc 11640  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028
This theorem is referenced by:  fourierdlem79  38049  fourierdlem89  38059  fourierdlem90  38060  fourierdlem91  38061
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