Theorem fourierdlem37 38007

Description: I is a function that maps any real point to the point that in the partition that immediately precedes the corresponding periodic point in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem37.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem37.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem37.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem37.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem37.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem37.l	|- L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
fourierdlem37.i	|- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem37	|- ( ph -> ( I : RR --> ( 0..^ M ) /\ ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, p   x, A, y   B, m, p   x, B, y   i, E   y, E   i, L   i, M, m, p   x, M, i   Q, i, p   x, T   ph, i, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   A( i)   B( i)   P( x, y, i, m, p)   Q( x, y, m)   T( y, i, m, p)   E( x, m, p)   I( x, y, i, m, p)   L( x, y, m, p)   M( y)

Proof of Theorem fourierdlem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3514	. . . 4 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ ( 0..^ M )
2		ltso 9714	. . . . . 6 |- < Or RR
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> < Or RR )
4		fzfi 12185	. . . . . . 7 |- ( 0 ... M ) e. Fin
5		fzossfz 11938	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
6	1, 5	sstri 3441	. . . . . . 7 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ ( 0 ... M )
7		ssfi 7792	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 ... M ) e. Fin /\ { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ ( 0 ... M ) ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin )
8	4, 6, 7	mp2an 678	. . . . . 6 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin )
10		0zd 10949	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
11		fourierdlem37.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
12	11	nnzd 11039	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
13	11	nngt0d 10653	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < M )
14		fzolb 11926	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 0 < M ) )
15	10, 12, 13, 14	syl3anbrc 1192	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ M ) )
16	15	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 e. ( 0..^ M ) )
17		fourierdlem37.q	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
18		fourierdlem37.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
19	18	fourierdlem2 37971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
20	11, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
21	17, 20	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
22	21	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
23	22	simplld 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
24	18, 11, 17	fourierdlem11 37980	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
25	24	simp1d 1020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR )
26	23, 25	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
27	26, 23	eqled 9737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) <_ A )
28	27	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ A )
29		iftrue 3887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E ` x ) = B -> if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) = A )
30	29	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E ` x ) = B -> A = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
31	30	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( E ` x ) = B ) -> A = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
32	28, 31	breqtrd 4427	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
33	26	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
34	25	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A e. RR )
35	34	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A e. RR* )
36	24	simp2d 1021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR )
37	36	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> B e. RR )
38		iocssre 11714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
39	35, 37, 38	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
40	24	simp3d 1022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A < B )
41		fourierdlem37.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( B - A )
42		fourierdlem37.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
43	25, 36, 40, 41, 42	fourierdlem4 37973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
44	43	fnvinran 37335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E ` x ) e. ( A (,] B ) )
45	39, 44	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E ` x ) e. RR )
46	23	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) = A )
47		elioc2 11697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( E ` x ) e. ( A (,] B ) <-> ( ( E ` x ) e. RR /\ A < ( E ` x ) /\ ( E ` x ) <_ B ) ) )
48	35, 37, 47	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( E ` x ) e. ( A (,] B ) <-> ( ( E ` x ) e. RR /\ A < ( E ` x ) /\ ( E ` x ) <_ B ) ) )
49	44, 48	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( E ` x ) e. RR /\ A < ( E ` x ) /\ ( E ` x ) <_ B ) )
50	49	simp2d 1021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> A < ( E ` x ) )
51	46, 50	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) < ( E ` x ) )
52	33, 45, 51	ltled 9783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( E ` x ) )
53	52	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( E ` x ) )
54		iffalse 3890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( E ` x ) = B -> if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) = ( E ` x ) )
55	54	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( E ` x ) = B -> ( E ` x ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
56	55	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( E ` x ) = B ) -> ( E ` x ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
57	53, 56	breqtrd 4427	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. ( E ` x ) = B ) -> ( Q ` 0 ) <_ if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
58	32, 57	pm2.61dan 800	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) <_ if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
59		fourierdlem37.l	. . . . . . . . . 10 |- L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
60	59	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) ) )
61		eqeq1 2455	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( E ` x ) -> ( y = B <-> ( E ` x ) = B ) )
62		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( E ` x ) -> y = ( E ` x ) )
63	61, 62	ifbieq2d 3906	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( E ` x ) -> if ( y = B , A , y ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
64	63	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ y = ( E ` x ) ) -> if ( y = B , A , y ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
65	34, 45	ifcld 3924	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) e. RR )
66	60, 64, 44, 65	fvmptd 5954	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( L ` ( E ` x ) ) = if ( ( E ` x ) = B , A , ( E ` x ) ) )
67	58, 66	breqtrrd 4429	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) )
68		fveq2 5865	. . . . . . . . 9 |- ( i = 0 -> ( Q ` i ) = ( Q ` 0 ) )
69	68	breq1d 4412	. . . . . . . 8 |- ( i = 0 -> ( ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) <-> ( Q ` 0 ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) ) )
70	69	elrab 3196	. . . . . . 7 |- ( 0 e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } <-> ( 0 e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` 0 ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) ) )
71	16, 67, 70	sylanbrc 670	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } )
72		ne0i 3737	. . . . . 6 |- ( 0 e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } =/= (/) )
73	71, 72	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } =/= (/) )
74		fzssz 11801	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... M ) C_ ZZ
75	5, 74	sstri 3441	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) C_ ZZ
76		zssre 10944	. . . . . . . 8 |- ZZ C_ RR
77	75, 76	sstri 3441	. . . . . . 7 |- ( 0..^ M ) C_ RR
78	1, 77	sstri 3441	. . . . . 6 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ RR
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ RR )
80		fisupcl 7985	. . . . 5 |- ( ( < Or RR /\ ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } e. Fin /\ { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } =/= (/) /\ { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } C_ RR ) ) -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } )
81	3, 9, 73, 79, 80	syl13anc 1270	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } )
82	1, 81	sseldi 3430	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. ( 0..^ M ) )
83		fourierdlem37.i	. . 3 |- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
84	82, 83	fmptd 6046	. 2 |- ( ph -> I : RR --> ( 0..^ M ) )
85	81	ex 436	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } ) )
86	84, 85	jca 535	1 |- ( ph -> ( I : RR --> ( 0..^ M ) /\ ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   {crab 2741   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   Or wor 4754   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ^m cmap 7472   Fincfn 7569   supcsup 7954   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   ZZcz 10937   (,]cioc 11636   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   |_cfl 12026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ioc 11640  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028

This theorem is referenced by:  fourierdlem79  38049  fourierdlem89  38059  fourierdlem90  38060  fourierdlem91  38061