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Theorem fourierdlem37 32129
Description:  I is a function that maps any real point to the point that in the partition that immediately precedes the corresponding periodic point in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem37.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem37.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem37.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem37.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem37.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
fourierdlem37.l  |-  L  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
fourierdlem37.i  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem37  |-  ( ph  ->  ( I : RR --> ( 0..^ M )  /\  ( x  e.  RR  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) } ,  RR ,  <  )  e.  {
i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ) ) )
Distinct variable groups:    A, m, p    x, A, y    B, m, p    x, B, y   
i, E    y, E    i, L    i, M, m, p    x, M, i    Q, i, p    x, T    ph, i, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    A( i)    B( i)    P( x, y, i, m, p)    Q( x, y, m)    T( y, i, m, p)    E( x, m, p)    I( x, y, i, m, p)    L( x, y, m, p)    M( y)

Proof of Theorem fourierdlem37
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3581 . . . 4  |-  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  C_  (
0..^ M )
2 ltso 9682 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  <  Or  RR )
4 fzfi 12085 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... M )  e. 
Fin
5 fzossfz 11844 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ M )  C_  (
0 ... M )
61, 5sstri 3508 . . . . . . 7  |-  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  C_  (
0 ... M )
7 ssfi 7759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 ... M
)  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) }  C_  (
0 ... M ) )  ->  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) }  e.  Fin )
84, 6, 7mp2an 672 . . . . . 6  |-  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  e.  Fin
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  e.  Fin )
10 0zd 10897 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
11 fourierdlem37.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1211nnzd 10989 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1311nngt0d 10600 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  M )
14 fzolb 11832 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  0  < 
M ) )
1510, 12, 13, 14syl3anbrc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ M ) )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  ( 0..^ M ) )
17 fourierdlem37.q . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
18 fourierdlem37.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
1918fourierdlem2 32094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
2011, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <-> 
( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
2117, 20mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
2221simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 0 )  =  A  /\  ( Q `
 M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
2322simplld 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
2418, 11, 17fourierdlem11 32103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B ) )
2524simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2623, 25eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR )
2726, 23eqled 31657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <_  A )
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( E `  x )  =  B )  ->  ( Q `  0 )  <_  A )
29 iftrue 3950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E `  x )  =  B  ->  if ( ( E `  x )  =  B ,  A ,  ( E `  x ) )  =  A )
3029eqcomd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  x )  =  B  ->  A  =  if ( ( E `
 x )  =  B ,  A , 
( E `  x
) ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( E `  x )  =  B )  ->  A  =  if ( ( E `
 x )  =  B ,  A , 
( E `  x
) ) )
3228, 31breqtrd 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( E `  x )  =  B )  ->  ( Q `  0 )  <_  if ( ( E `
 x )  =  B ,  A , 
( E `  x
) ) )
3326adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( Q `
 0 )  e.  RR )
3425adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
3534rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  e. 
RR* )
3624simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
38 iocssre 11629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  C_  RR )
3935, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  C_  RR )
4024simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  <  B )
41 fourierdlem37.t . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  ( B  -  A
)
42 fourierdlem37.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
4325, 36, 40, 41, 42fourierdlem4 32096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E : RR --> ( A (,] B ) )
4443fnvinran 31592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E `
 x )  e.  ( A (,] B
) )
4539, 44sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E `
 x )  e.  RR )
4623adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( Q `
 0 )  =  A )
47 elioc2 11612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( E `  x
)  e.  ( A (,] B )  <->  ( ( E `  x )  e.  RR  /\  A  < 
( E `  x
)  /\  ( E `  x )  <_  B
) ) )
4835, 37, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( E `  x )  e.  ( A (,] B )  <->  ( ( E `  x )  e.  RR  /\  A  < 
( E `  x
)  /\  ( E `  x )  <_  B
) ) )
4944, 48mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( E `  x )  e.  RR  /\  A  <  ( E `  x
)  /\  ( E `  x )  <_  B
) )
5049simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  < 
( E `  x
) )
5146, 50eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( Q `
 0 )  < 
( E `  x
) )
5233, 45, 51ltled 9750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( Q `
 0 )  <_ 
( E `  x
) )
5352adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( E `  x )  =  B )  -> 
( Q `  0
)  <_  ( E `  x ) )
54 iffalse 3953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( E `  x
)  =  B  ->  if ( ( E `  x )  =  B ,  A ,  ( E `  x ) )  =  ( E `
 x ) )
5554eqcomd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( E `  x
)  =  B  -> 
( E `  x
)  =  if ( ( E `  x
)  =  B ,  A ,  ( E `  x ) ) )
5655adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( E `  x )  =  B )  -> 
( E `  x
)  =  if ( ( E `  x
)  =  B ,  A ,  ( E `  x ) ) )
5753, 56breqtrd 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( E `  x )  =  B )  -> 
( Q `  0
)  <_  if (
( E `  x
)  =  B ,  A ,  ( E `  x ) ) )
5832, 57pm2.61dan 791 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( Q `
 0 )  <_  if ( ( E `  x )  =  B ,  A ,  ( E `  x ) ) )
59 fourierdlem37.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
6059a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  L  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) ) )
61 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( E `  x )  ->  (
y  =  B  <->  ( E `  x )  =  B ) )
62 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( E `  x )  ->  y  =  ( E `  x ) )
6361, 62ifbieq2d 3969 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( E `  x )  ->  if ( y  =  B ,  A ,  y )  =  if ( ( E `  x
)  =  B ,  A ,  ( E `  x ) ) )
6463adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  y  =  ( E `  x ) )  ->  if ( y  =  B ,  A ,  y )  =  if ( ( E `  x
)  =  B ,  A ,  ( E `  x ) ) )
6534, 45ifcld 3987 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( E `  x
)  =  B ,  A ,  ( E `  x ) )  e.  RR )
6660, 64, 44, 65fvmptd 5961 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( L `
 ( E `  x ) )  =  if ( ( E `
 x )  =  B ,  A , 
( E `  x
) ) )
6758, 66breqtrrd 4482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( Q `
 0 )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) )
68 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  0  ->  ( Q `  i )  =  ( Q ` 
0 ) )
6968breq1d 4466 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  (
( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) )  <->  ( Q `  0 )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) ) )
7069elrab 3257 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) }  <-> 
( 0  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  0 )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) ) )
7116, 67, 70sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  e. 
{ i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) ) } )
72 ne0i 3799 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) }  ->  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) }  =/=  (/) )
7371, 72syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  =/=  (/) )
74 fzssz 31669 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... M )  C_  ZZ
755, 74sstri 3508 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ M )  C_  ZZ
76 zssre 10892 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  RR
7775, 76sstri 3508 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ M )  C_  RR
781, 77sstri 3508 . . . . . 6  |-  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  C_  RR
7978a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  C_  RR )
80 fisupcl 7945 . . . . 5  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) ) }  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) }  =/=  (/)  /\  { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) }  C_  RR ) )  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) ) } ,  RR ,  <  )  e. 
{ i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) ) } )
813, 9, 73, 79, 80syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) ) } ,  RR ,  <  )  e. 
{ i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) ) } )
821, 81sseldi 3497 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i
)  <_  ( L `  ( E `  x
) ) } ,  RR ,  <  )  e.  ( 0..^ M ) )
83 fourierdlem37.i . . 3  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
8482, 83fmptd 6056 . 2  |-  ( ph  ->  I : RR --> ( 0..^ M ) )
8581ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) } ,  RR ,  <  )  e.  {
i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ) )
8684, 85jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( I : RR --> ( 0..^ M )  /\  ( x  e.  RR  ->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 i )  <_ 
( L `  ( E `  x )
) } ,  RR ,  <  )  e.  {
i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( L `  ( E `  x ) ) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    Or wor 4808   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   ZZcz 10885   (,]cioc 11555   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821   |_cfl 11930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ioc 11559  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932
This theorem is referenced by:  fourierdlem79  32171  fourierdlem89  32181  fourierdlem90  32182  fourierdlem91  32183
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