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Theorem fourierdlem33 38013
Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Upper bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem33.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem33.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem33.3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem33.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
fourierdlem33.5  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
fourierdlem33.6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem33.7  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
fourierdlem33.8  |-  ( ph  ->  C  <  D )
fourierdlem33.ss  |-  ( ph  ->  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
fourierdlem33.y  |-  Y  =  if ( D  =  B ,  L , 
( F `  D
) )
fourierdlem33.10  |-  J  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem33  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  D ) )

Proof of Theorem fourierdlem33
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem33.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
21adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  L  e.  ( F lim CC  B
) )
3 fourierdlem33.y . . . . 5  |-  Y  =  if ( D  =  B ,  L , 
( F `  D
) )
4 iftrue 3889 . . . . 5  |-  ( D  =  B  ->  if ( D  =  B ,  L ,  ( F `
 D ) )  =  L )
53, 4syl5req 2500 . . . 4  |-  ( D  =  B  ->  L  =  Y )
65adantl 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  L  =  Y )
7 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( D  =  B  ->  (
( F  |`  ( C (,) D ) ) lim
CC  D )  =  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  B ) )
87adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  (
( F  |`  ( C (,) D ) ) lim
CC  D )  =  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  B ) )
9 fourierdlem33.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
10 cncff 21937 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
1211adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
13 fourierdlem33.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
1413adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
15 ioosscn 37601 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  CC
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( A (,) B )  C_  CC )
17 eqid 2453 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
18 fourierdlem33.10 . . . . 5  |-  J  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )
19 fourierdlem33.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
20 fourierdlem33.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <  D )
2119leidd 10187 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  <_  D )
22 fourierdlem33.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2322rexrd 9695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
24 elioc2 11704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR )  ->  ( D  e.  ( C (,] D )  <->  ( D  e.  RR  /\  C  < 
D  /\  D  <_  D ) ) )
2523, 19, 24syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( C (,] D )  <-> 
( D  e.  RR  /\  C  <  D  /\  D  <_  D ) ) )
2619, 20, 21, 25mpbir3and 1192 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C (,] D ) )
2726adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  D  e.  ( C (,] D
) )
28 eqcom 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( D  =  B  <->  B  =  D )
2928biimpi 198 . . . . . . . 8  |-  ( D  =  B  ->  B  =  D )
3029adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  B  =  D )
3117cnfldtop 21816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
32 fourierdlem33.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3332rexrd 9695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
34 fourierdlem33.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3534rexrd 9695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
36 fourierdlem33.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  B )
37 snunioo2 37616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  =  ( A (,] B ) )
3833, 35, 36, 37syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { B } )  =  ( A (,] B ) )
39 ovex 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,] B )  e. 
_V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A (,] B
)  e.  _V )
4138, 40eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { B } )  e.  _V )
42 resttop 20188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A (,) B )  u.  { B } )  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A (,) B
)  u.  { B } ) )  e. 
Top )
4331, 41, 42sylancr 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )  e.  Top )
4418, 43syl5eqel 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
4544adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  J  e.  Top )
46 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  =  B  ->  ( C (,] D )  =  ( C (,] B
) )
4746adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( C (,] D )  =  ( C (,] B
) )
4823adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  C  e.  RR* )
49 pnfxr 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- +oo  e.  RR*
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  -> +oo  e.  RR* )
51 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  x  e.  ( C (,] B ) )
5234adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  B  e.  RR )
53 elioc2 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
x  e.  ( C (,] B )  <->  ( x  e.  RR  /\  C  < 
x  /\  x  <_  B ) ) )
5448, 52, 53syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  ( x  e.  ( C (,] B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  C  < 
x  /\  x  <_  B ) ) )
5551, 54mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  C  < 
x  /\  x  <_  B ) )
5655simp1d 1021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  x  e.  RR )
5755simp2d 1022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  C  <  x )
5856ltpnfd 11430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  x  < +oo )
5948, 50, 56, 57, 58eliood 37605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  x  e.  ( C (,) +oo )
)
6032adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  A  e.  RR )
6122adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  C  e.  RR )
6232, 34, 22, 19, 20, 13fourierdlem10 37989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )
6362simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
6463adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  A  <_  C )
6560, 61, 56, 64, 57lelttrd 9798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  A  <  x )
6655simp3d 1023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  x  <_  B )
6733adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  A  e.  RR* )
68 elioc2 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
x  e.  ( A (,] B )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <_  B ) ) )
6967, 52, 68syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  ( x  e.  ( A (,] B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <_  B ) ) )
7056, 65, 66, 69mpbir3and 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  x  e.  ( A (,] B ) )
7159, 70elind 3620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )
72 elinel1 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B
) )  ->  x  e.  ( C (,) +oo ) )
73 elioore 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( C (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B
) )  ->  x  e.  RR )
7574adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  x  e.  RR )
7623adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  C  e.  RR* )
7749a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  -> +oo  e.  RR* )
7872adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  x  e.  ( C (,) +oo )
)
79 ioogtlb 37602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  x  e.  ( C (,) +oo ) )  ->  C  <  x )
8076, 77, 78, 79syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  C  <  x )
81 elinel2 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B
) )  ->  x  e.  ( A (,] B
) )
8281adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  x  e.  ( A (,] B ) )
8333adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  A  e.  RR* )
8434adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  B  e.  RR )
8583, 84, 68syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  ( x  e.  ( A (,] B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <_  B ) ) )
8682, 85mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <_  B ) )
8786simp3d 1023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  x  <_  B )
8876, 84, 53syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  ( x  e.  ( C (,] B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  C  < 
x  /\  x  <_  B ) ) )
8975, 80, 87, 88mpbir3and 1192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  x  e.  ( C (,] B ) )
9071, 89impbida 844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( C (,] B )  <-> 
x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B
) ) ) )
9190eqrdv 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C (,] B
)  =  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B
) ) )
92 retop 21794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
94 iooretop 21798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C (,) +oo )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
96 elrestr 15339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A (,] B )  e. 
_V  /\  ( C (,) +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B
) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B ) ) )
9793, 40, 95, 96syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A (,] B ) ) )
9891, 97eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C (,] B
)  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B ) ) )
9998adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( C (,] B )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B
) ) )
10047, 99eqeltrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( C (,] D )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B
) ) )
10118a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u.  { B } ) ) )
10238oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,] B
) ) )
10317tgioo2 21833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
104103eqcomi 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  =  (
topGen `  ran  (,) )
105104oveq1i 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A (,] B ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B
) )
10631a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
107 iocssre 11721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  C_  RR )
10833, 34, 107syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,] B
)  C_  RR )
109 reex 9635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
111 restabs 20193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A (,] B
)  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A (,] B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,] B ) ) )
112106, 108, 110, 111syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A (,] B ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,] B
) ) )
113105, 112syl5reqr 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,] B ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B
) ) )
114101, 102, 1133eqtrrd 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B
) )  =  J )
115114adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B ) )  =  J )
116100, 115eleqtrd 2533 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( C (,] D )  e.  J )
117 isopn3i 20110 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( C (,] D )  e.  J )  -> 
( ( int `  J
) `  ( C (,] D ) )  =  ( C (,] D
) )
11845, 116, 117syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  (
( int `  J
) `  ( C (,] D ) )  =  ( C (,] D
) )
11927, 30, 1183eltr4d 2546 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  B  e.  ( ( int `  J
) `  ( C (,] D ) ) )
120 sneq 3980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  =  B  ->  { D }  =  { B } )
121120eqcomd 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  =  B  ->  { B }  =  { D } )
122121uneq2d 3590 . . . . . . . . 9  |-  ( D  =  B  ->  (
( C (,) D
)  u.  { B } )  =  ( ( C (,) D
)  u.  { D } ) )
123122adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  (
( C (,) D
)  u.  { B } )  =  ( ( C (,) D
)  u.  { D } ) )
12419rexrd 9695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
125 snunioo2 37616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  C  < 
D )  ->  (
( C (,) D
)  u.  { D } )  =  ( C (,] D ) )
12623, 124, 20, 125syl3anc 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C (,) D )  u.  { D } )  =  ( C (,] D ) )
127126adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  (
( C (,) D
)  u.  { D } )  =  ( C (,] D ) )
128123, 127eqtr2d 2488 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( C (,] D )  =  ( ( C (,) D )  u.  { B } ) )
129128fveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  (
( int `  J
) `  ( C (,] D ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( ( C (,) D )  u. 
{ B } ) ) )
130119, 129eleqtrd 2533 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  B  e.  ( ( int `  J
) `  ( ( C (,) D )  u. 
{ B } ) ) )
13112, 14, 16, 17, 18, 130limcres 22853 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  (
( F  |`  ( C (,) D ) ) lim
CC  B )  =  ( F lim CC  B
) )
1328, 131eqtr2d 2488 . . 3  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( F lim CC  B )  =  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  D ) )
1332, 6, 1323eltr3d 2545 . 2  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  D ) )
134 limcresi 22852 . . 3  |-  ( F lim
CC  D )  C_  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  D )
135 iffalse 3892 . . . . . 6  |-  ( -.  D  =  B  ->  if ( D  =  B ,  L ,  ( F `  D ) )  =  ( F `
 D ) )
1363, 135syl5eq 2499 . . . . 5  |-  ( -.  D  =  B  ->  Y  =  ( F `  D ) )
137136adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  Y  =  ( F `  D ) )
138 ssid 3453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
140 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
141 unicntop 37381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
142141restid 15344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
14331, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
144143eqcomi 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
14517, 140, 144cncfcn 21953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
14615, 139, 145sylancr 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1479, 146eleqtrd 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
14817cnfldtopon 21815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
14915a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
150 resttopon 20189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A (,) B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) ) )
151148, 149, 150sylancr 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B ) ) )
152148a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
153 cncnp 20308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B ) )  /\  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )  -> 
( F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) ) ) )
154151, 152, 153syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) ) ) )
155147, 154mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  A. x  e.  ( A (,) B
) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) ) )
156155simprd 465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) )
157156adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  A. x  e.  ( A (,) B
) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) )
15833adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  A  e.  RR* )
15935adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  B  e.  RR* )
16019adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  D  e.  RR )
16132, 22, 19, 63, 20lelttrd 9798 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <  D )
162161adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  A  <  D )
16334adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  B  e.  RR )
16462simprd 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  <_  B )
165164adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  D  <_  B )
166 neqne 37384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  D  =  B  ->  D  =/=  B )
167166necomd 2681 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  D  =  B  ->  B  =/=  D )
168167adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  B  =/=  D )
169160, 163, 165, 168leneltd 9794 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  D  <  B )
170158, 159, 160, 162, 169eliood 37605 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  D  e.  ( A (,) B
) )
171 fveq2 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  D  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  D
) )
172171eleq2d 2516 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  D  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
)  <->  F  e.  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  D
) ) )
173172rspccva 3151 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
)  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  D
) )
174157, 170, 173syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  D
) )
17517, 140cnplimc 22854 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  D  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  D
)  <->  ( F :
( A (,) B
) --> CC  /\  ( F `  D )  e.  ( F lim CC  D
) ) ) )
17615, 170, 175sylancr 670 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  D
)  <->  ( F :
( A (,) B
) --> CC  /\  ( F `  D )  e.  ( F lim CC  D
) ) ) )
177174, 176mpbid 214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  ( F `  D )  e.  ( F lim CC  D ) ) )
178177simprd 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  ( F `  D )  e.  ( F lim CC  D
) )
179137, 178eqeltrd 2531 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  Y  e.  ( F lim CC  D
) )
180134, 179sseldi 3432 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  D ) )
181133, 180pm2.61dan 801 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   _Vcvv 3047    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406   ifcif 3883   {csn 3970   class class class wbr 4405   ran crn 4838    |` cres 4839   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679    < clt 9680    <_ cle 9681   (,)cioo 11642   (,]cioc 11643   ↾t crest 15331   TopOpenctopn 15332   topGenctg 15348  ℂfldccnfld 18982   Topctop 19929  TopOnctopon 19930   intcnt 20044    Cn ccn 20252    CnP ccnp 20253   -cn->ccncf 21920   lim CC climc 22829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-icc 11649  df-fz 11792  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-rest 15333  df-topn 15334  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-ntr 20047  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-xms 21347  df-ms 21348  df-cncf 21922  df-limc 22833
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