Theorem fourierdlem33 32127

Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Upper bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem33.1	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem33.2	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem33.3	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem33.4	|- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
fourierdlem33.5	|- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )
fourierdlem33.6	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem33.7	|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem33.8	|- ( ph -> C < D )
fourierdlem33.ss	|- ( ph -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
fourierdlem33.y	|- Y = if ( D = B , L , ( F ` D ) )
fourierdlem33.10	|- J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { B } ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem33	|- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC D ) )

Proof of Theorem fourierdlem33

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem33.5	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )
2	1	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ D = B ) -> L e. ( F lim CC B ) )
3		fourierdlem33.y	. . . . 5 |- Y = if ( D = B , L , ( F ` D ) )
4		iftrue 3880	. . . . 5 |- ( D = B -> if ( D = B , L , ( F ` D ) ) = L )
5	3, 4	syl5req 2450	. . . 4 |- ( D = B -> L = Y )
6	5	adantl 464	. . 3 |- ( ( ph /\ D = B ) -> L = Y )
7		oveq2 6226	. . . . 5 |- ( D = B -> ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC D ) = ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC B ) )
8	7	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ D = B ) -> ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC D ) = ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC B ) )
9		fourierdlem33.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
10		cncff 21505	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
11	9, 10	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> CC )
12	11	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ D = B ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
13		fourierdlem33.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
14	13	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ D = B ) -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
15		ioosscn 31732	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) C_ CC
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ D = B ) -> ( A (,) B ) C_ CC )
17		eqid 2396	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
18		fourierdlem33.10	. . . . 5 |- J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { B } ) )
19		fourierdlem33.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. RR )
20		fourierdlem33.8	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < D )
21	19	leidd 10058	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D <_ D )
22		fourierdlem33.6	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR )
23	22	rexrd 9576	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR* )
24		elioc2 11530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR ) -> ( D e. ( C (,] D ) <-> ( D e. RR /\ C < D /\ D <_ D ) ) )
25	23, 19, 24	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D e. ( C (,] D ) <-> ( D e. RR /\ C < D /\ D <_ D ) ) )
26	19, 20, 21, 25	mpbir3and 1177	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( C (,] D ) )
27	26	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ D = B ) -> D e. ( C (,] D ) )
28		eqcom 2405	. . . . . . . . 9 |- ( D = B <-> B = D )
29	28	biimpi 194	. . . . . . . 8 |- ( D = B -> B = D )
30	29	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ D = B ) -> B = D )
31	17	cnfldtop 21399	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
32		fourierdlem33.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. RR )
33	32	rexrd 9576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR* )
34		fourierdlem33.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. RR )
35	34	rexrd 9576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR* )
36		fourierdlem33.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A < B )
37		snunioo2 31749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> ( ( A (,) B ) u. { B } ) = ( A (,] B ) )
38	33, 35, 36, 37	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) u. { B } ) = ( A (,] B ) )
39		ovex 6246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,] B ) e. _V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A (,] B ) e. _V )
41	38, 40	eqeltrd 2484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) u. { B } ) e. _V )
42		resttop 19770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( ( A (,) B ) u. { B } ) e. _V ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { B } ) ) e. Top )
43	31, 41, 42	sylancr 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { B } ) ) e. Top )
44	18, 43	syl5eqel 2488	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. Top )
45	44	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ D = B ) -> J e. Top )
46		oveq2 6226	. . . . . . . . . . 11 |- ( D = B -> ( C (,] D ) = ( C (,] B ) )
47	46	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ D = B ) -> ( C (,] D ) = ( C (,] B ) )
48	23	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> C e. RR* )
49		pnfxr 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- +oo e. RR*
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> +oo e. RR* )
51		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> x e. ( C (,] B ) )
52	34	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> B e. RR )
53		elioc2 11530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR ) -> ( x e. ( C (,] B ) <-> ( x e. RR /\ C < x /\ x <_ B ) ) )
54	48, 52, 53	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> ( x e. ( C (,] B ) <-> ( x e. RR /\ C < x /\ x <_ B ) ) )
55	51, 54	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> ( x e. RR /\ C < x /\ x <_ B ) )
56	55	simp1d 1006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> x e. RR )
57	55	simp2d 1007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> C < x )
58	56	ltpnfd 31686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> x < +oo )
59	48, 50, 56, 57, 58	eliood 31736	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> x e. ( C (,) +oo ) )
60	32	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> A e. RR )
61	22	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> C e. RR )
62	32, 34, 22, 19, 20, 13	fourierdlem10 32104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( A <_ C /\ D <_ B ) )
63	62	simpld 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A <_ C )
64	63	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> A <_ C )
65	60, 61, 56, 64, 57	lelttrd 9673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> A < x )
66	55	simp3d 1008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> x <_ B )
67	33	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> A e. RR* )
68		elioc2 11530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A (,] B ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x <_ B ) ) )
69	67, 52, 68	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> ( x e. ( A (,] B ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x <_ B ) ) )
70	56, 65, 66, 69	mpbir3and 1177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> x e. ( A (,] B ) )
71	59, 70	elind 3619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( C (,] B ) ) -> x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) )
72		elinel1 31631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) -> x e. ( C (,) +oo ) )
73		elioore 11502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( C (,) +oo ) -> x e. RR )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) -> x e. RR )
75	74	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) ) -> x e. RR )
76	23	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) ) -> C e. RR* )
77	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) ) -> +oo e. RR* )
78	72	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) ) -> x e. ( C (,) +oo ) )
79		ioogtlb 31733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ x e. ( C (,) +oo ) ) -> C < x )
80	76, 77, 78, 79	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) ) -> C < x )
81		elinel2 31630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) -> x e. ( A (,] B ) )
82	81	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) ) -> x e. ( A (,] B ) )
83	33	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) ) -> A e. RR* )
84	34	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) ) -> B e. RR )
85	83, 84, 68	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) ) -> ( x e. ( A (,] B ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x <_ B ) ) )
86	82, 85	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) ) -> ( x e. RR /\ A < x /\ x <_ B ) )
87	86	simp3d 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) ) -> x <_ B )
88	76, 84, 53	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) ) -> ( x e. ( C (,] B ) <-> ( x e. RR /\ C < x /\ x <_ B ) ) )
89	75, 80, 87, 88	mpbir3and 1177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) ) -> x e. ( C (,] B ) )
90	71, 89	impbida 830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( C (,] B ) <-> x e. ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) ) )
91	90	eqrdv 2393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C (,] B ) = ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) )
92		retop 21376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
94		iooretop 21381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) )
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
96		elrestr 14859	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( A (,] B ) e. _V /\ ( C (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A (,] B ) ) )
97	93, 40, 95, 96	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( C (,) +oo ) i^i ( A (,] B ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A (,] B ) ) )
98	91, 97	eqeltrd 2484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C (,] B ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A (,] B ) ) )
99	98	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ D = B ) -> ( C (,] B ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A (,] B ) ) )
100	47, 99	eqeltrd 2484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ D = B ) -> ( C (,] D ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A (,] B ) ) )
101	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { B } ) ) )
102	38	oveq2d 6234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { B } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,] B ) ) )
103	17	tgioo2 21416	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
104	103	eqcomi 2409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) = ( topGen ` ran (,) )
105	104	oveq1i 6228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A (,] B ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A (,] B ) )
106	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
107		iocssre 11547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
108	33, 34, 107	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A (,] B ) C_ RR )
109		reex 9516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR e. _V
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> RR e. _V )
111		restabs 19775	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( A (,] B ) C_ RR /\ RR e. _V ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A (,] B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,] B ) ) )
112	106, 108, 110, 111	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A (,] B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,] B ) ) )
113	105, 112	syl5reqr 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,] B ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A (,] B ) ) )
114	101, 102, 113	3eqtrrd 2442	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A (,] B ) ) = J )
115	114	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ D = B ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A (,] B ) ) = J )
116	100, 115	eleqtrd 2486	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ D = B ) -> ( C (,] D ) e. J )
117		isopn3i 19692	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( C (,] D ) e. J ) -> ( ( int ` J ) ` ( C (,] D ) ) = ( C (,] D ) )
118	45, 116, 117	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ D = B ) -> ( ( int ` J ) ` ( C (,] D ) ) = ( C (,] D ) )
119	27, 30, 118	3eltr4d 2499	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D = B ) -> B e. ( ( int ` J ) ` ( C (,] D ) ) )
120		sneq 3971	. . . . . . . . . . 11 |- ( D = B -> { D } = { B } )
121	120	eqcomd 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( D = B -> { B } = { D } )
122	121	uneq2d 3589	. . . . . . . . 9 |- ( D = B -> ( ( C (,) D ) u. { B } ) = ( ( C (,) D ) u. { D } ) )
123	122	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ D = B ) -> ( ( C (,) D ) u. { B } ) = ( ( C (,) D ) u. { D } ) )
124	19	rexrd 9576	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. RR* )
125		snunioo2 31749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) -> ( ( C (,) D ) u. { D } ) = ( C (,] D ) )
126	23, 124, 20, 125	syl3anc 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C (,) D ) u. { D } ) = ( C (,] D ) )
127	126	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ D = B ) -> ( ( C (,) D ) u. { D } ) = ( C (,] D ) )
128	123, 127	eqtr2d 2438	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ D = B ) -> ( C (,] D ) = ( ( C (,) D ) u. { B } ) )
129	128	fveq2d 5795	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ D = B ) -> ( ( int ` J ) ` ( C (,] D ) ) = ( ( int ` J ) ` ( ( C (,) D ) u. { B } ) ) )
130	119, 129	eleqtrd 2486	. . . . 5 |- ( ( ph /\ D = B ) -> B e. ( ( int ` J ) ` ( ( C (,) D ) u. { B } ) ) )
131	12, 14, 16, 17, 18, 130	limcres 22398	. . . 4 |- ( ( ph /\ D = B ) -> ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )
132	8, 131	eqtr2d 2438	. . 3 |- ( ( ph /\ D = B ) -> ( F lim CC B ) = ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC D ) )
133	2, 6, 132	3eltr3d 2498	. 2 |- ( ( ph /\ D = B ) -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC D ) )
134		limcresi 22397	. . 3 |- ( F lim CC D ) C_ ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC D )
135		iffalse 3883	. . . . . 6 |- ( -. D = B -> if ( D = B , L , ( F ` D ) ) = ( F ` D ) )
136	3, 135	syl5eq 2449	. . . . 5 |- ( -. D = B -> Y = ( F ` D ) )
137	136	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> Y = ( F ` D ) )
138		ssid 3453	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC C_ CC )
140		eqid 2396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) )
141		unicntop 31638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
142	141	restid 14864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
143	31, 142	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
144	143	eqcomi 2409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
145	17, 140, 144	cncfcn 21521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A (,) B ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
146	15, 139, 145	sylancr 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
147	9, 146	eleqtrd 2486	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
148	17	cnfldtopon 21398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
149	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
150		resttopon 19771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ( A (,) B ) C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) ) )
151	148, 149, 150	sylancr 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) ) )
152	148	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) )
153		cncnp 19890	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) ) /\ ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) ) )
154	151, 152, 153	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) ) )
155	147, 154	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) )
156	155	simprd 461	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
157	156	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
158	33	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> A e. RR* )
159	35	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> B e. RR* )
160	19	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> D e. RR )
161	32, 22, 19, 63, 20	lelttrd 9673	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A < D )
162	161	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> A < D )
163	34	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> B e. RR )
164	62	simprd 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D <_ B )
165	164	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> D <_ B )
166		neqne 31641	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. D = B -> D =/= B )
167	166	necomd 2667	. . . . . . . . . 10 |- ( -. D = B -> B =/= D )
168	167	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> B =/= D )
169	160, 163, 165, 168	leneltd 31699	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> D < B )
170	158, 159, 160, 162, 169	eliood 31736	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> D e. ( A (,) B ) )
171		fveq2 5791	. . . . . . . . 9 |- ( x = D -> ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) = ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` D ) )
172	171	eleq2d 2466	. . . . . . . 8 |- ( x = D -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) <-> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` D ) ) )
173	172	rspccva 3151	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) /\ D e. ( A (,) B ) ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` D ) )
174	157, 170, 173	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` D ) )
175	17, 140	cnplimc 22399	. . . . . . 7 |- ( ( ( A (,) B ) C_ CC /\ D e. ( A (,) B ) ) -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` D ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( F ` D ) e. ( F lim CC D ) ) ) )
176	15, 170, 175	sylancr 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` D ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( F ` D ) e. ( F lim CC D ) ) ) )
177	174, 176	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( F ` D ) e. ( F lim CC D ) ) )
178	177	simprd 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> ( F ` D ) e. ( F lim CC D ) )
179	137, 178	eqeltrd 2484	. . 3 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> Y e. ( F lim CC D ) )
180	134, 179	sseldi 3432	. 2 |- ( ( ph /\ -. D = B ) -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC D ) )
181	133, 180	pm2.61dan 789	1 |- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1836   =/= wne 2591   A.wral 2746   _Vcvv 3051   u. cun 3404   i^i cin 3405   C_ wss 3406   ifcif 3874   {csn 3961   class class class wbr 4384   ran crn 4931   |` cres 4932   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   CCcc 9423   RRcr 9424   +oocpnf 9558   RR*cxr 9560   < clt 9561   <_ cle 9562   (,)cioo 11472   (,]cioc 11473   ↾_t crest 14851   TopOpenctopn 14852   topGenctg 14868  ℂ_fldccnfld 18556   Topctop 19502  TopOnctopon 19503   intcnt 19626   Cn ccn 19834   CnP ccnp 19835   -cn->ccncf 21488   lim CC climc 22374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-pm 7363  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fi 7808  df-sup 7838  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-xneg 11261  df-xadd 11262  df-xmul 11263  df-ioo 11476  df-ioc 11477  df-icc 11479  df-fz 11616  df-seq 12034  df-exp 12093  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-starv 14740  df-tset 14744  df-ple 14745  df-ds 14747  df-unif 14748  df-rest 14853  df-topn 14854  df-topgen 14874  df-psmet 18547  df-xmet 18548  df-met 18549  df-bl 18550  df-mopn 18551  df-cnfld 18557  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510  df-topsp 19511  df-ntr 19629  df-cn 19837  df-cnp 19838  df-xms 20931  df-ms 20932  df-cncf 21490  df-limc 22378

This theorem is referenced by:  fourierdlem49  32143  fourierdlem76  32170  fourierdlem91  32185