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Theorem fourierdlem33 32127
Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Upper bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem33.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem33.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem33.3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem33.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
fourierdlem33.5  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
fourierdlem33.6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem33.7  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
fourierdlem33.8  |-  ( ph  ->  C  <  D )
fourierdlem33.ss  |-  ( ph  ->  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
fourierdlem33.y  |-  Y  =  if ( D  =  B ,  L , 
( F `  D
) )
fourierdlem33.10  |-  J  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem33  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  D ) )

Proof of Theorem fourierdlem33
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem33.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
21adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  L  e.  ( F lim CC  B
) )
3 fourierdlem33.y . . . . 5  |-  Y  =  if ( D  =  B ,  L , 
( F `  D
) )
4 iftrue 3880 . . . . 5  |-  ( D  =  B  ->  if ( D  =  B ,  L ,  ( F `
 D ) )  =  L )
53, 4syl5req 2450 . . . 4  |-  ( D  =  B  ->  L  =  Y )
65adantl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  L  =  Y )
7 oveq2 6226 . . . . 5  |-  ( D  =  B  ->  (
( F  |`  ( C (,) D ) ) lim
CC  D )  =  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  B ) )
87adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  (
( F  |`  ( C (,) D ) ) lim
CC  D )  =  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  B ) )
9 fourierdlem33.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
10 cncff 21505 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
1211adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
13 fourierdlem33.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
1413adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
15 ioosscn 31732 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  CC
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( A (,) B )  C_  CC )
17 eqid 2396 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
18 fourierdlem33.10 . . . . 5  |-  J  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )
19 fourierdlem33.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
20 fourierdlem33.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <  D )
2119leidd 10058 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  <_  D )
22 fourierdlem33.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2322rexrd 9576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
24 elioc2 11530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR )  ->  ( D  e.  ( C (,] D )  <->  ( D  e.  RR  /\  C  < 
D  /\  D  <_  D ) ) )
2523, 19, 24syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( C (,] D )  <-> 
( D  e.  RR  /\  C  <  D  /\  D  <_  D ) ) )
2619, 20, 21, 25mpbir3and 1177 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C (,] D ) )
2726adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  D  e.  ( C (,] D
) )
28 eqcom 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( D  =  B  <->  B  =  D )
2928biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( D  =  B  ->  B  =  D )
3029adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  B  =  D )
3117cnfldtop 21399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
32 fourierdlem33.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3332rexrd 9576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
34 fourierdlem33.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3534rexrd 9576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
36 fourierdlem33.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  B )
37 snunioo2 31749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { B } )  =  ( A (,] B ) )
3833, 35, 36, 37syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { B } )  =  ( A (,] B ) )
39 ovex 6246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,] B )  e. 
_V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A (,] B
)  e.  _V )
4138, 40eqeltrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { B } )  e.  _V )
42 resttop 19770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A (,) B )  u.  { B } )  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A (,) B
)  u.  { B } ) )  e. 
Top )
4331, 41, 42sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )  e.  Top )
4418, 43syl5eqel 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
4544adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  J  e.  Top )
46 oveq2 6226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  =  B  ->  ( C (,] D )  =  ( C (,] B
) )
4746adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( C (,] D )  =  ( C (,] B
) )
4823adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  C  e.  RR* )
49 pnfxr 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- +oo  e.  RR*
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  -> +oo  e.  RR* )
51 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  x  e.  ( C (,] B ) )
5234adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  B  e.  RR )
53 elioc2 11530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
x  e.  ( C (,] B )  <->  ( x  e.  RR  /\  C  < 
x  /\  x  <_  B ) ) )
5448, 52, 53syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  ( x  e.  ( C (,] B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  C  < 
x  /\  x  <_  B ) ) )
5551, 54mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  C  < 
x  /\  x  <_  B ) )
5655simp1d 1006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  x  e.  RR )
5755simp2d 1007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  C  <  x )
5856ltpnfd 31686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  x  < +oo )
5948, 50, 56, 57, 58eliood 31736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  x  e.  ( C (,) +oo )
)
6032adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  A  e.  RR )
6122adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  C  e.  RR )
6232, 34, 22, 19, 20, 13fourierdlem10 32104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )
6362simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
6463adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  A  <_  C )
6560, 61, 56, 64, 57lelttrd 9673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  A  <  x )
6655simp3d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  x  <_  B )
6733adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  A  e.  RR* )
68 elioc2 11530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
x  e.  ( A (,] B )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <_  B ) ) )
6967, 52, 68syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  ( x  e.  ( A (,] B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <_  B ) ) )
7056, 65, 66, 69mpbir3and 1177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  x  e.  ( A (,] B ) )
7159, 70elind 3619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( C (,] B ) )  ->  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )
72 elinel1 31631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B
) )  ->  x  e.  ( C (,) +oo ) )
73 elioore 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( C (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B
) )  ->  x  e.  RR )
7574adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  x  e.  RR )
7623adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  C  e.  RR* )
7749a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  -> +oo  e.  RR* )
7872adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  x  e.  ( C (,) +oo )
)
79 ioogtlb 31733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  x  e.  ( C (,) +oo ) )  ->  C  <  x )
8076, 77, 78, 79syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  C  <  x )
81 elinel2 31630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B
) )  ->  x  e.  ( A (,] B
) )
8281adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  x  e.  ( A (,] B ) )
8333adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  A  e.  RR* )
8434adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  B  e.  RR )
8583, 84, 68syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  ( x  e.  ( A (,] B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <_  B ) ) )
8682, 85mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <_  B ) )
8786simp3d 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  x  <_  B )
8876, 84, 53syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  ( x  e.  ( C (,] B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  C  < 
x  /\  x  <_  B ) ) )
8975, 80, 87, 88mpbir3and 1177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) ) )  ->  x  e.  ( C (,] B ) )
9071, 89impbida 830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( C (,] B )  <-> 
x  e.  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B
) ) ) )
9190eqrdv 2393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C (,] B
)  =  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B
) ) )
92 retop 21376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
94 iooretop 21381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C (,) +oo )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
96 elrestr 14859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A (,] B )  e. 
_V  /\  ( C (,) +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B
) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B ) ) )
9793, 40, 95, 96syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C (,) +oo )  i^i  ( A (,] B ) )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A (,] B ) ) )
9891, 97eqeltrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C (,] B
)  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B ) ) )
9998adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( C (,] B )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B
) ) )
10047, 99eqeltrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( C (,] D )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B
) ) )
10118a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u.  { B } ) ) )
10238oveq2d 6234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,] B
) ) )
10317tgioo2 21416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
104103eqcomi 2409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  =  (
topGen `  ran  (,) )
105104oveq1i 6228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A (,] B ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B
) )
10631a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
107 iocssre 11547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  C_  RR )
10833, 34, 107syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,] B
)  C_  RR )
109 reex 9516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  e.  _V
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
111 restabs 19775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A (,] B
)  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A (,] B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,] B ) ) )
112106, 108, 110, 111syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A (,] B ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,] B
) ) )
113105, 112syl5reqr 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,] B ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B
) ) )
114101, 102, 1133eqtrrd 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B
) )  =  J )
115114adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,] B ) )  =  J )
116100, 115eleqtrd 2486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( C (,] D )  e.  J )
117 isopn3i 19692 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( C (,] D )  e.  J )  -> 
( ( int `  J
) `  ( C (,] D ) )  =  ( C (,] D
) )
11845, 116, 117syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  (
( int `  J
) `  ( C (,] D ) )  =  ( C (,] D
) )
11927, 30, 1183eltr4d 2499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  B  e.  ( ( int `  J
) `  ( C (,] D ) ) )
120 sneq 3971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  =  B  ->  { D }  =  { B } )
121120eqcomd 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  =  B  ->  { B }  =  { D } )
122121uneq2d 3589 . . . . . . . . 9  |-  ( D  =  B  ->  (
( C (,) D
)  u.  { B } )  =  ( ( C (,) D
)  u.  { D } ) )
123122adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  (
( C (,) D
)  u.  { B } )  =  ( ( C (,) D
)  u.  { D } ) )
12419rexrd 9576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
125 snunioo2 31749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  C  < 
D )  ->  (
( C (,) D
)  u.  { D } )  =  ( C (,] D ) )
12623, 124, 20, 125syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C (,) D )  u.  { D } )  =  ( C (,] D ) )
127126adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  (
( C (,) D
)  u.  { D } )  =  ( C (,] D ) )
128123, 127eqtr2d 2438 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( C (,] D )  =  ( ( C (,) D )  u.  { B } ) )
129128fveq2d 5795 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  (
( int `  J
) `  ( C (,] D ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( ( C (,) D )  u. 
{ B } ) ) )
130119, 129eleqtrd 2486 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  B  e.  ( ( int `  J
) `  ( ( C (,) D )  u. 
{ B } ) ) )
13112, 14, 16, 17, 18, 130limcres 22398 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  (
( F  |`  ( C (,) D ) ) lim
CC  B )  =  ( F lim CC  B
) )
1328, 131eqtr2d 2438 . . 3  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  ( F lim CC  B )  =  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  D ) )
1332, 6, 1323eltr3d 2498 . 2  |-  ( (
ph  /\  D  =  B )  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  D ) )
134 limcresi 22397 . . 3  |-  ( F lim
CC  D )  C_  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  D )
135 iffalse 3883 . . . . . 6  |-  ( -.  D  =  B  ->  if ( D  =  B ,  L ,  ( F `  D ) )  =  ( F `
 D ) )
1363, 135syl5eq 2449 . . . . 5  |-  ( -.  D  =  B  ->  Y  =  ( F `  D ) )
137136adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  Y  =  ( F `  D ) )
138 ssid 3453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
140 eqid 2396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
141 unicntop 31638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
142141restid 14864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
14331, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
144143eqcomi 2409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
14517, 140, 144cncfcn 21521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
14615, 139, 145sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1479, 146eleqtrd 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
14817cnfldtopon 21398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
14915a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
150 resttopon 19771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A (,) B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) ) )
151148, 149, 150sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B ) ) )
152148a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
153 cncnp 19890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B ) )  /\  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )  -> 
( F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) ) ) )
154151, 152, 153syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) ) ) )
155147, 154mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  A. x  e.  ( A (,) B
) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) ) )
156155simprd 461 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) )
157156adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  A. x  e.  ( A (,) B
) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) )
15833adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  A  e.  RR* )
15935adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  B  e.  RR* )
16019adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  D  e.  RR )
16132, 22, 19, 63, 20lelttrd 9673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <  D )
162161adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  A  <  D )
16334adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  B  e.  RR )
16462simprd 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  <_  B )
165164adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  D  <_  B )
166 neqne 31641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  D  =  B  ->  D  =/=  B )
167166necomd 2667 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  D  =  B  ->  B  =/=  D )
168167adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  B  =/=  D )
169160, 163, 165, 168leneltd 31699 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  D  <  B )
170158, 159, 160, 162, 169eliood 31736 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  D  e.  ( A (,) B
) )
171 fveq2 5791 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  D  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  D
) )
172171eleq2d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  D  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
)  <->  F  e.  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  D
) ) )
173172rspccva 3151 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
)  /\  D  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  D
) )
174157, 170, 173syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  D
) )
17517, 140cnplimc 22399 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  D  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  D
)  <->  ( F :
( A (,) B
) --> CC  /\  ( F `  D )  e.  ( F lim CC  D
) ) ) )
17615, 170, 175sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  D
)  <->  ( F :
( A (,) B
) --> CC  /\  ( F `  D )  e.  ( F lim CC  D
) ) ) )
177174, 176mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  ( F `  D )  e.  ( F lim CC  D ) ) )
178177simprd 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  ( F `  D )  e.  ( F lim CC  D
) )
179137, 178eqeltrd 2484 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  Y  e.  ( F lim CC  D
) )
180134, 179sseldi 3432 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  D  =  B )  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  D ) )
181133, 180pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2591   A.wral 2746   _Vcvv 3051    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406   ifcif 3874   {csn 3961   class class class wbr 4384   ran crn 4931    |` cres 4932   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   CCcc 9423   RRcr 9424   +oocpnf 9558   RR*cxr 9560    < clt 9561    <_ cle 9562   (,)cioo 11472   (,]cioc 11473   ↾t crest 14851   TopOpenctopn 14852   topGenctg 14868  ℂfldccnfld 18556   Topctop 19502  TopOnctopon 19503   intcnt 19626    Cn ccn 19834    CnP ccnp 19835   -cn->ccncf 21488   lim CC climc 22374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-pm 7363  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fi 7808  df-sup 7838  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-xneg 11261  df-xadd 11262  df-xmul 11263  df-ioo 11476  df-ioc 11477  df-icc 11479  df-fz 11616  df-seq 12034  df-exp 12093  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-starv 14740  df-tset 14744  df-ple 14745  df-ds 14747  df-unif 14748  df-rest 14853  df-topn 14854  df-topgen 14874  df-psmet 18547  df-xmet 18548  df-met 18549  df-bl 18550  df-mopn 18551  df-cnfld 18557  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510  df-topsp 19511  df-ntr 19629  df-cn 19837  df-cnp 19838  df-xms 20931  df-ms 20932  df-cncf 21490  df-limc 22378
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