Theorem fourierdlem32 32167

Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Lower bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem32.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem32.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem32.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem32.f	|- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
fourierdlem32.l	|- ( ph -> R e. ( F lim CC A ) )
fourierdlem32.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem32.d	|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem32.cltd	|- ( ph -> C < D )
fourierdlem32.ss	|- ( ph -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
fourierdlem32.y	|- Y = if ( C = A , R , ( F ` C ) )
fourierdlem32.j	|- J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem32	|- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )

Proof of Theorem fourierdlem32

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem32.l	. . . 4 |- ( ph -> R e. ( F lim CC A ) )
2	1	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ C = A ) -> R e. ( F lim CC A ) )
3		fourierdlem32.y	. . . . 5 |- Y = if ( C = A , R , ( F ` C ) )
4		iftrue 3950	. . . . 5 |- ( C = A -> if ( C = A , R , ( F ` C ) ) = R )
5	3, 4	syl5req 2511	. . . 4 |- ( C = A -> R = Y )
6	5	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ C = A ) -> R = Y )
7		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( C = A -> ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC A ) )
8	7	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC A ) )
9		fourierdlem32.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
10		cncff 21614	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
11	9, 10	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> CC )
12	11	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
13		fourierdlem32.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
14	13	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
15		ioosscn 31773	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) C_ CC
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( A (,) B ) C_ CC )
17		eqid 2457	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
18		eqid 2457	. . . . 5 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) )
19		fourierdlem32.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR )
20	19	leidd 10140	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C <_ C )
21		fourierdlem32.cltd	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < D )
22		fourierdlem32.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. RR )
23	22	rexrd 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. RR* )
24		elico2 11613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR* ) -> ( C e. ( C [,) D ) <-> ( C e. RR /\ C <_ C /\ C < D ) ) )
25	19, 23, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C e. ( C [,) D ) <-> ( C e. RR /\ C <_ C /\ C < D ) ) )
26	19, 20, 21, 25	mpbir3and 1179	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. ( C [,) D ) )
27	26	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> C e. ( C [,) D ) )
28		fourierdlem32.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) )
29	17	cnfldtop 21508	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
30		ovex 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( A [,) B ) e. _V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( A [,) B ) e. _V )
32		resttop 19879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( A [,) B ) e. _V ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) e. Top )
33	29, 31, 32	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) e. Top )
34	28, 33	syl5eqel 2549	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = A ) -> J e. Top )
35		mnfxr 11348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -oo e. RR*
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> -oo e. RR* )
37	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> D e. RR* )
38		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( A [,) D ) )
39		fourierdlem32.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. RR )
40	39	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> A e. RR )
41		elico2 11613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR /\ D e. RR* ) -> ( x e. ( A [,) D ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) ) )
42	40, 37, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> ( x e. ( A [,) D ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) ) )
43	38, 42	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) )
44	43	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. RR )
45	44	mnfltd 31737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> -oo < x )
46	43	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x < D )
47	36, 37, 44, 45, 46	eliood 31777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( -oo (,) D ) )
48	43	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> A <_ x )
49	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> D e. RR )
50		fourierdlem32.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. RR )
51	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> B e. RR )
52	39, 50, 19, 22, 21, 13	fourierdlem10 32145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A <_ C /\ D <_ B ) )
53	52	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> D <_ B )
54	53	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> D <_ B )
55	44, 49, 51, 46, 54	ltletrd 9759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x < B )
56	50	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. RR* )
57	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> B e. RR* )
58		elico2 11613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A [,) B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) ) )
59	40, 57, 58	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> ( x e. ( A [,) B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) ) )
60	44, 48, 55, 59	mpbir3and 1179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( A [,) B ) )
61	47, 60	elind 3684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) )
62		elinel1 31670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) -> x e. ( -oo (,) D ) )
63		elioore 11584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -oo (,) D ) -> x e. RR )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) -> x e. RR )
65	64	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. RR )
66		elinel2 31669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) -> x e. ( A [,) B ) )
67	66	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. ( A [,) B ) )
68	39	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> A e. RR )
69	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> B e. RR* )
70	68, 69, 58	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. ( A [,) B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) ) )
71	67, 70	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) )
72	71	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> A <_ x )
73	62	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. ( -oo (,) D ) )
74	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> D e. RR* )
75		elioo2 11595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -oo e. RR* /\ D e. RR* ) -> ( x e. ( -oo (,) D ) <-> ( x e. RR /\ -oo < x /\ x < D ) ) )
76	35, 74, 75	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. ( -oo (,) D ) <-> ( x e. RR /\ -oo < x /\ x < D ) ) )
77	73, 76	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. RR /\ -oo < x /\ x < D ) )
78	77	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x < D )
79	68, 74, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. ( A [,) D ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) ) )
80	65, 72, 78, 79	mpbir3and 1179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. ( A [,) D ) )
81	61, 80	impbida 832	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( A [,) D ) <-> x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) )
82	81	eqrdv 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,) D ) = ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) )
83		retop 21485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
85	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A [,) B ) e. _V )
86		iooretop 21490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -oo (,) D ) e. ( topGen ` ran (,) )
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -oo (,) D ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
88		elrestr 14937	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( A [,) B ) e. _V /\ ( -oo (,) D ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
89	84, 85, 87, 88	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
90	82, 89	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,) D ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
91	90	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( A [,) D ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
92		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = A ) -> C = A )
93	92	oveq1d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( C [,) D ) = ( A [,) D ) )
94	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
95	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
96		icossre 11630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( A [,) B ) C_ RR )
97	39, 56, 96	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A [,) B ) C_ RR )
98		reex 9600	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. _V
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR e. _V )
100		restabs 19884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( A [,) B ) C_ RR /\ RR e. _V ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
101	95, 97, 99, 100	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
102	17	tgioo2 21525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
103	102	eqcomi 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) = ( topGen ` ran (,) )
104	103	oveq1i 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) )
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
106	94, 101, 105	3eqtr2d 2504	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
107	106	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> J = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
108	91, 93, 107	3eltr4d 2560	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( C [,) D ) e. J )
109		isopn3i 19801	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( C [,) D ) e. J ) -> ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) = ( C [,) D ) )
110	34, 108, 109	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) = ( C [,) D ) )
111	27, 110	eleqtrrd 2548	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = A ) -> C e. ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) )
112		id 22	. . . . . . . 8 |- ( C = A -> C = A )
113	112	eqcomd 2465	. . . . . . 7 |- ( C = A -> A = C )
114	113	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = A ) -> A = C )
115		uncom 3644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A (,) B ) u. { A } ) = ( { A } u. ( A (,) B ) )
116	39	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR* )
117		fourierdlem32.altb	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A < B )
118		snunioo 11671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> ( { A } u. ( A (,) B ) ) = ( A [,) B ) )
119	116, 56, 117, 118	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( { A } u. ( A (,) B ) ) = ( A [,) B ) )
120	115, 119	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) u. { A } ) = ( A [,) B ) )
121	120	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( A (,) B ) u. { A } ) = ( A [,) B ) )
122	121	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
123	122, 28	syl6eqr 2516	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) = J )
124	123	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) ) = ( int ` J ) )
125		uncom 3644	. . . . . . . . 9 |- ( ( C (,) D ) u. { A } ) = ( { A } u. ( C (,) D ) )
126		sneq 4042	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = A -> { C } = { A } )
127	126	eqcomd 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( C = A -> { A } = { C } )
128	127	uneq1d 3653	. . . . . . . . 9 |- ( C = A -> ( { A } u. ( C (,) D ) ) = ( { C } u. ( C (,) D ) ) )
129	125, 128	syl5eq 2510	. . . . . . . 8 |- ( C = A -> ( ( C (,) D ) u. { A } ) = ( { C } u. ( C (,) D ) ) )
130	19	rexrd 9660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR* )
131		snunioo 11671	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) -> ( { C } u. ( C (,) D ) ) = ( C [,) D ) )
132	130, 23, 21, 131	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { C } u. ( C (,) D ) ) = ( C [,) D ) )
133	129, 132	sylan9eqr 2520	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( C (,) D ) u. { A } ) = ( C [,) D ) )
134	124, 133	fveq12d 5878	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) ) ` ( ( C (,) D ) u. { A } ) ) = ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) )
135	111, 114, 134	3eltr4d 2560	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> A e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) ) ` ( ( C (,) D ) u. { A } ) ) )
136	12, 14, 16, 17, 18, 135	limcres 22507	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC A ) = ( F lim CC A ) )
137	8, 136	eqtr2d 2499	. . 3 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( F lim CC A ) = ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )
138	2, 6, 137	3eltr3d 2559	. 2 |- ( ( ph /\ C = A ) -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )
139		limcresi 22506	. . 3 |- ( F lim CC C ) C_ ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C )
140		iffalse 3953	. . . . . 6 |- ( -. C = A -> if ( C = A , R , ( F ` C ) ) = ( F ` C ) )
141	3, 140	syl5eq 2510	. . . . 5 |- ( -. C = A -> Y = ( F ` C ) )
142	141	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> Y = ( F ` C ) )
143		ssid 3518	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC C_ CC )
145		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) )
146		unicntop 31677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
147	146	restid 14942	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
148	29, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
149	148	eqcomi 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
150	17, 145, 149	cncfcn 21630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A (,) B ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
151	15, 144, 150	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
152	9, 151	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
153	17	cnfldtopon 21507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
154		resttopon 19880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ( A (,) B ) C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) ) )
155	153, 15, 154	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) )
156		cncnp 19999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) ) /\ ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) ) )
157	155, 153, 156	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) )
158	152, 157	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) )
159	158	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
160	159	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
161	116	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A e. RR* )
162	56	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> B e. RR* )
163	19	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C e. RR )
164	39	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A e. RR )
165	52	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A <_ C )
166	165	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A <_ C )
167	112	eqcoms 2469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = C -> C = A )
168	167	necon3bi 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. C = A -> A =/= C )
169	168	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A =/= C )
170	169	necomd 2728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C =/= A )
171	164, 163, 166, 170	leneltd 31740	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A < C )
172	19, 22, 50, 21, 53	ltletrd 9759	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < B )
173	172	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C < B )
174	161, 162, 163, 171, 173	eliood 31777	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C e. ( A (,) B ) )
175		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) = ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) )
176	175	eleq2d 2527	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) <-> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) ) )
177	176	rspccva 3209	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) /\ C e. ( A (,) B ) ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) )
178	160, 174, 177	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) )
179	17, 145	cnplimc 22508	. . . . . . 7 |- ( ( ( A (,) B ) C_ CC /\ C e. ( A (,) B ) ) -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) ) ) )
180	15, 174, 179	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) ) ) )
181	178, 180	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) ) )
182	181	simprd 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) )
183	142, 182	eqeltrd 2545	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> Y e. ( F lim CC C ) )
184	139, 183	sseldi 3497	. 2 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )
185	138, 184	pm2.61dan 791	1 |- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456   ran crn 5009   |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   (,)cioo 11554   [,)cico 11556   ↾_t crest 14929   TopOpenctopn 14930   topGenctg 14946  ℂ_fldccnfld 18638   Topctop 19612  TopOnctopon 19613   intcnt 19736   Cn ccn 19943   CnP ccnp 19944   -cn->ccncf 21597   lim CC climc 22483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-rest 14931  df-topn 14932  df-topgen 14952  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-cnfld 18639  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-ntr 19739  df-cn 19946  df-cnp 19947  df-xms 21040  df-ms 21041  df-cncf 21599  df-limc 22487

This theorem is referenced by:  fourierdlem48  32183  fourierdlem76  32211  fourierdlem89  32224