Theorem fourierdlem32 38114

Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Lower bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem32.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem32.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem32.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem32.f	|- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
fourierdlem32.l	|- ( ph -> R e. ( F lim CC A ) )
fourierdlem32.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem32.d	|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem32.cltd	|- ( ph -> C < D )
fourierdlem32.ss	|- ( ph -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
fourierdlem32.y	|- Y = if ( C = A , R , ( F ` C ) )
fourierdlem32.j	|- J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem32	|- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )

Proof of Theorem fourierdlem32

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem32.l	. . . 4 |- ( ph -> R e. ( F lim CC A ) )
2	1	adantr 472	. . 3 |- ( ( ph /\ C = A ) -> R e. ( F lim CC A ) )
3		fourierdlem32.y	. . . . 5 |- Y = if ( C = A , R , ( F ` C ) )
4		iftrue 3878	. . . . 5 |- ( C = A -> if ( C = A , R , ( F ` C ) ) = R )
5	3, 4	syl5req 2518	. . . 4 |- ( C = A -> R = Y )
6	5	adantl 473	. . 3 |- ( ( ph /\ C = A ) -> R = Y )
7		oveq2 6316	. . . . 5 |- ( C = A -> ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC A ) )
8	7	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC A ) )
9		fourierdlem32.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
10		cncff 22003	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> CC )
12	11	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
13		fourierdlem32.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
14	13	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
15		ioosscn 37687	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) C_ CC
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( A (,) B ) C_ CC )
17		eqid 2471	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
18		eqid 2471	. . . . 5 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) )
19		fourierdlem32.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR )
20	19	leidd 10201	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C <_ C )
21		fourierdlem32.cltd	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < D )
22		fourierdlem32.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. RR )
23	22	rexrd 9708	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. RR* )
24		elico2 11723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR* ) -> ( C e. ( C [,) D ) <-> ( C e. RR /\ C <_ C /\ C < D ) ) )
25	19, 23, 24	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C e. ( C [,) D ) <-> ( C e. RR /\ C <_ C /\ C < D ) ) )
26	19, 20, 21, 25	mpbir3and 1213	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. ( C [,) D ) )
27	26	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> C e. ( C [,) D ) )
28		fourierdlem32.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) )
29	17	cnfldtop 21882	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
30		ovex 6336	. . . . . . . . . . 11 |- ( A [,) B ) e. _V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( A [,) B ) e. _V )
32		resttop 20253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( A [,) B ) e. _V ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) e. Top )
33	29, 31, 32	sylancr 676	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) e. Top )
34	28, 33	syl5eqel 2553	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = A ) -> J e. Top )
35		mnfxr 11437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -oo e. RR*
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> -oo e. RR* )
37	23	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> D e. RR* )
38		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( A [,) D ) )
39		fourierdlem32.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. RR )
40	39	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> A e. RR )
41		elico2 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR /\ D e. RR* ) -> ( x e. ( A [,) D ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) ) )
42	40, 37, 41	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> ( x e. ( A [,) D ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) ) )
43	38, 42	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) )
44	43	simp1d 1042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. RR )
45	44	mnfltd 11449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> -oo < x )
46	43	simp3d 1044	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x < D )
47	36, 37, 44, 45, 46	eliood 37691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( -oo (,) D ) )
48	43	simp2d 1043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> A <_ x )
49	22	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> D e. RR )
50		fourierdlem32.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. RR )
51	50	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> B e. RR )
52	39, 50, 19, 22, 21, 13	fourierdlem10 38091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A <_ C /\ D <_ B ) )
53	52	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> D <_ B )
54	53	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> D <_ B )
55	44, 49, 51, 46, 54	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x < B )
56	50	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. RR* )
57	56	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> B e. RR* )
58		elico2 11723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A [,) B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) ) )
59	40, 57, 58	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> ( x e. ( A [,) B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) ) )
60	44, 48, 55, 59	mpbir3and 1213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( A [,) B ) )
61	47, 60	elind 3609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) )
62		elinel1 3610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) -> x e. ( -oo (,) D ) )
63		elioore 11691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -oo (,) D ) -> x e. RR )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) -> x e. RR )
65	64	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. RR )
66		elinel2 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) -> x e. ( A [,) B ) )
67	66	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. ( A [,) B ) )
68	39	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> A e. RR )
69	56	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> B e. RR* )
70	68, 69, 58	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. ( A [,) B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) ) )
71	67, 70	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) )
72	71	simp2d 1043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> A <_ x )
73	62	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. ( -oo (,) D ) )
74	23	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> D e. RR* )
75		elioo2 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -oo e. RR* /\ D e. RR* ) -> ( x e. ( -oo (,) D ) <-> ( x e. RR /\ -oo < x /\ x < D ) ) )
76	35, 74, 75	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. ( -oo (,) D ) <-> ( x e. RR /\ -oo < x /\ x < D ) ) )
77	73, 76	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. RR /\ -oo < x /\ x < D ) )
78	77	simp3d 1044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x < D )
79	68, 74, 41	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. ( A [,) D ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) ) )
80	65, 72, 78, 79	mpbir3and 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. ( A [,) D ) )
81	61, 80	impbida 850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( A [,) D ) <-> x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) )
82	81	eqrdv 2469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,) D ) = ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) )
83		retop 21860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
85	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A [,) B ) e. _V )
86		iooretop 21864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -oo (,) D ) e. ( topGen ` ran (,) )
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -oo (,) D ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
88		elrestr 15405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( A [,) B ) e. _V /\ ( -oo (,) D ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
89	84, 85, 87, 88	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
90	82, 89	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,) D ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
91	90	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( A [,) D ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
92		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = A ) -> C = A )
93	92	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( C [,) D ) = ( A [,) D ) )
94	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
95	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
96		icossre 11740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( A [,) B ) C_ RR )
97	39, 56, 96	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A [,) B ) C_ RR )
98		reex 9648	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. _V
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR e. _V )
100		restabs 20258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( A [,) B ) C_ RR /\ RR e. _V ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
101	95, 97, 99, 100	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
102	17	tgioo2 21899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
103	102	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) = ( topGen ` ran (,) )
104	103	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) )
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
106	94, 101, 105	3eqtr2d 2511	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
107	106	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> J = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
108	91, 93, 107	3eltr4d 2564	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( C [,) D ) e. J )
109		isopn3i 20175	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( C [,) D ) e. J ) -> ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) = ( C [,) D ) )
110	34, 108, 109	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) = ( C [,) D ) )
111	27, 110	eleqtrrd 2552	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = A ) -> C e. ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) )
112		id 22	. . . . . . . 8 |- ( C = A -> C = A )
113	112	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( C = A -> A = C )
114	113	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = A ) -> A = C )
115		uncom 3569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A (,) B ) u. { A } ) = ( { A } u. ( A (,) B ) )
116	39	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR* )
117		fourierdlem32.altb	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A < B )
118		snunioo 11784	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> ( { A } u. ( A (,) B ) ) = ( A [,) B ) )
119	116, 56, 117, 118	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( { A } u. ( A (,) B ) ) = ( A [,) B ) )
120	115, 119	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) u. { A } ) = ( A [,) B ) )
121	120	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( A (,) B ) u. { A } ) = ( A [,) B ) )
122	121	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
123	122, 28	syl6eqr 2523	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) = J )
124	123	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) ) = ( int ` J ) )
125		uncom 3569	. . . . . . . . 9 |- ( ( C (,) D ) u. { A } ) = ( { A } u. ( C (,) D ) )
126		sneq 3969	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = A -> { C } = { A } )
127	126	eqcomd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( C = A -> { A } = { C } )
128	127	uneq1d 3578	. . . . . . . . 9 |- ( C = A -> ( { A } u. ( C (,) D ) ) = ( { C } u. ( C (,) D ) ) )
129	125, 128	syl5eq 2517	. . . . . . . 8 |- ( C = A -> ( ( C (,) D ) u. { A } ) = ( { C } u. ( C (,) D ) ) )
130	19	rexrd 9708	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR* )
131		snunioo 11784	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) -> ( { C } u. ( C (,) D ) ) = ( C [,) D ) )
132	130, 23, 21, 131	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { C } u. ( C (,) D ) ) = ( C [,) D ) )
133	129, 132	sylan9eqr 2527	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( C (,) D ) u. { A } ) = ( C [,) D ) )
134	124, 133	fveq12d 5885	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) ) ` ( ( C (,) D ) u. { A } ) ) = ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) )
135	111, 114, 134	3eltr4d 2564	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> A e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) ) ` ( ( C (,) D ) u. { A } ) ) )
136	12, 14, 16, 17, 18, 135	limcres 22920	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC A ) = ( F lim CC A ) )
137	8, 136	eqtr2d 2506	. . 3 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( F lim CC A ) = ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )
138	2, 6, 137	3eltr3d 2563	. 2 |- ( ( ph /\ C = A ) -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )
139		limcresi 22919	. . 3 |- ( F lim CC C ) C_ ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C )
140		iffalse 3881	. . . . . 6 |- ( -. C = A -> if ( C = A , R , ( F ` C ) ) = ( F ` C ) )
141	3, 140	syl5eq 2517	. . . . 5 |- ( -. C = A -> Y = ( F ` C ) )
142	141	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> Y = ( F ` C ) )
143		ssid 3437	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC C_ CC )
145		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) )
146		unicntop 37433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
147	146	restid 15410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
148	29, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
149	148	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
150	17, 145, 149	cncfcn 22019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A (,) B ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
151	15, 144, 150	sylancr 676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
152	9, 151	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
153	17	cnfldtopon 21881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
154		resttopon 20254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ( A (,) B ) C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) ) )
155	153, 15, 154	mp2an 686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) )
156		cncnp 20373	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) ) /\ ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) ) )
157	155, 153, 156	mp2an 686	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) )
158	152, 157	sylib 201	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) )
159	158	simprd 470	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
160	159	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
161	116	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A e. RR* )
162	56	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> B e. RR* )
163	19	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C e. RR )
164	39	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A e. RR )
165	52	simpld 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A <_ C )
166	165	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A <_ C )
167	112	eqcoms 2479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = C -> C = A )
168	167	necon3bi 2669	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. C = A -> A =/= C )
169	168	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A =/= C )
170	169	necomd 2698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C =/= A )
171	164, 163, 166, 170	leneltd 9806	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A < C )
172	19, 22, 50, 21, 53	ltletrd 9812	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < B )
173	172	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C < B )
174	161, 162, 163, 171, 173	eliood 37691	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C e. ( A (,) B ) )
175		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) = ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) )
176	175	eleq2d 2534	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) <-> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) ) )
177	176	rspccva 3135	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) /\ C e. ( A (,) B ) ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) )
178	160, 174, 177	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) )
179	17, 145	cnplimc 22921	. . . . . . 7 |- ( ( ( A (,) B ) C_ CC /\ C e. ( A (,) B ) ) -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) ) ) )
180	15, 174, 179	sylancr 676	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) ) ) )
181	178, 180	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) ) )
182	181	simprd 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) )
183	142, 182	eqeltrd 2549	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> Y e. ( F lim CC C ) )
184	139, 183	sseldi 3416	. 2 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )
185	138, 184	pm2.61dan 808	1 |- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395   ran crn 4840   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   ↾_t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂ_fldccnfld 19047   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   intcnt 20109   Cn ccn 20317   CnP ccnp 20318   -cn->ccncf 21986   lim CC climc 22896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-ntr 20112  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-cncf 21988  df-limc 22900

This theorem is referenced by:  fourierdlem48  38130  fourierdlem76  38158  fourierdlem89  38171