Theorem fourierdlem32 37885

Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Lower bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem32.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem32.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem32.altb	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem32.f	|- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
fourierdlem32.l	|- ( ph -> R e. ( F lim CC A ) )
fourierdlem32.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem32.d	|- ( ph -> D e. RR )
fourierdlem32.cltd	|- ( ph -> C < D )
fourierdlem32.ss	|- ( ph -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
fourierdlem32.y	|- Y = if ( C = A , R , ( F ` C ) )
fourierdlem32.j	|- J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem32	|- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )

Proof of Theorem fourierdlem32

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem32.l	. . . 4 |- ( ph -> R e. ( F lim CC A ) )
2	1	adantr 466	. . 3 |- ( ( ph /\ C = A ) -> R e. ( F lim CC A ) )
3		fourierdlem32.y	. . . . 5 |- Y = if ( C = A , R , ( F ` C ) )
4		iftrue 3860	. . . . 5 |- ( C = A -> if ( C = A , R , ( F ` C ) ) = R )
5	3, 4	syl5req 2475	. . . 4 |- ( C = A -> R = Y )
6	5	adantl 467	. . 3 |- ( ( ph /\ C = A ) -> R = Y )
7		oveq2 6257	. . . . 5 |- ( C = A -> ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC A ) )
8	7	adantl 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC A ) )
9		fourierdlem32.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
10		cncff 21867	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> CC )
12	11	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> F : ( A (,) B ) --> CC )
13		fourierdlem32.ss	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
14	13	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( C (,) D ) C_ ( A (,) B ) )
15		ioosscn 37483	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) C_ CC
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( A (,) B ) C_ CC )
17		eqid 2428	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
18		eqid 2428	. . . . 5 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) )
19		fourierdlem32.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR )
20	19	leidd 10131	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C <_ C )
21		fourierdlem32.cltd	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < D )
22		fourierdlem32.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. RR )
23	22	rexrd 9641	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. RR* )
24		elico2 11649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR* ) -> ( C e. ( C [,) D ) <-> ( C e. RR /\ C <_ C /\ C < D ) ) )
25	19, 23, 24	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C e. ( C [,) D ) <-> ( C e. RR /\ C <_ C /\ C < D ) ) )
26	19, 20, 21, 25	mpbir3and 1188	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. ( C [,) D ) )
27	26	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> C e. ( C [,) D ) )
28		fourierdlem32.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) )
29	17	cnfldtop 21746	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
30		ovex 6277	. . . . . . . . . . 11 |- ( A [,) B ) e. _V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( A [,) B ) e. _V )
32		resttop 20118	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( A [,) B ) e. _V ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) e. Top )
33	29, 31, 32	sylancr 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) e. Top )
34	28, 33	syl5eqel 2510	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = A ) -> J e. Top )
35		mnfxr 11365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -oo e. RR*
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> -oo e. RR* )
37	23	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> D e. RR* )
38		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( A [,) D ) )
39		fourierdlem32.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. RR )
40	39	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> A e. RR )
41		elico2 11649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR /\ D e. RR* ) -> ( x e. ( A [,) D ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) ) )
42	40, 37, 41	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> ( x e. ( A [,) D ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) ) )
43	38, 42	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) )
44	43	simp1d 1017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. RR )
45	44	mnfltd 11377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> -oo < x )
46	43	simp3d 1019	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x < D )
47	36, 37, 44, 45, 46	eliood 37487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( -oo (,) D ) )
48	43	simp2d 1018	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> A <_ x )
49	22	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> D e. RR )
50		fourierdlem32.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. RR )
51	50	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> B e. RR )
52	39, 50, 19, 22, 21, 13	fourierdlem10 37862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A <_ C /\ D <_ B ) )
53	52	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> D <_ B )
54	53	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> D <_ B )
55	44, 49, 51, 46, 54	ltletrd 9746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x < B )
56	50	rexrd 9641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. RR* )
57	56	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> B e. RR* )
58		elico2 11649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A [,) B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) ) )
59	40, 57, 58	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> ( x e. ( A [,) B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) ) )
60	44, 48, 55, 59	mpbir3and 1188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( A [,) B ) )
61	47, 60	elind 3593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,) D ) ) -> x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) )
62		elinel1 3594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) -> x e. ( -oo (,) D ) )
63		elioore 11617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -oo (,) D ) -> x e. RR )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) -> x e. RR )
65	64	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. RR )
66		elinel2 3595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) -> x e. ( A [,) B ) )
67	66	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. ( A [,) B ) )
68	39	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> A e. RR )
69	56	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> B e. RR* )
70	68, 69, 58	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. ( A [,) B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) ) )
71	67, 70	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) )
72	71	simp2d 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> A <_ x )
73	62	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. ( -oo (,) D ) )
74	23	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> D e. RR* )
75		elioo2 11628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -oo e. RR* /\ D e. RR* ) -> ( x e. ( -oo (,) D ) <-> ( x e. RR /\ -oo < x /\ x < D ) ) )
76	35, 74, 75	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. ( -oo (,) D ) <-> ( x e. RR /\ -oo < x /\ x < D ) ) )
77	73, 76	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. RR /\ -oo < x /\ x < D ) )
78	77	simp3d 1019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x < D )
79	68, 74, 41	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> ( x e. ( A [,) D ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < D ) ) )
80	65, 72, 78, 79	mpbir3and 1188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) -> x e. ( A [,) D ) )
81	61, 80	impbida 840	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( A [,) D ) <-> x e. ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) ) )
82	81	eqrdv 2426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A [,) D ) = ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) )
83		retop 21724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
85	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A [,) B ) e. _V )
86		iooretop 21728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -oo (,) D ) e. ( topGen ` ran (,) )
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -oo (,) D ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
88		elrestr 15270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( A [,) B ) e. _V /\ ( -oo (,) D ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
89	84, 85, 87, 88	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( -oo (,) D ) i^i ( A [,) B ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
90	82, 89	eqeltrd 2506	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A [,) D ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
91	90	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( A [,) D ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
92		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = A ) -> C = A )
93	92	oveq1d 6264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( C [,) D ) = ( A [,) D ) )
94	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
95	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
96		icossre 11666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( A [,) B ) C_ RR )
97	39, 56, 96	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A [,) B ) C_ RR )
98		reex 9581	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. _V
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR e. _V )
100		restabs 20123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( A [,) B ) C_ RR /\ RR e. _V ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
101	95, 97, 99, 100	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
102	17	tgioo2 21763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
103	102	eqcomi 2437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) = ( topGen ` ran (,) )
104	103	oveq1i 6259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) )
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( A [,) B ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
106	94, 101, 105	3eqtr2d 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
107	106	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> J = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( A [,) B ) ) )
108	91, 93, 107	3eltr4d 2521	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( C [,) D ) e. J )
109		isopn3i 20040	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( C [,) D ) e. J ) -> ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) = ( C [,) D ) )
110	34, 108, 109	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) = ( C [,) D ) )
111	27, 110	eleqtrrd 2509	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = A ) -> C e. ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) )
112		id 22	. . . . . . . 8 |- ( C = A -> C = A )
113	112	eqcomd 2434	. . . . . . 7 |- ( C = A -> A = C )
114	113	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = A ) -> A = C )
115		uncom 3553	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A (,) B ) u. { A } ) = ( { A } u. ( A (,) B ) )
116	39	rexrd 9641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR* )
117		fourierdlem32.altb	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A < B )
118		snunioo 11709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> ( { A } u. ( A (,) B ) ) = ( A [,) B ) )
119	116, 56, 117, 118	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( { A } u. ( A (,) B ) ) = ( A [,) B ) )
120	115, 119	syl5eq 2474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) u. { A } ) = ( A [,) B ) )
121	120	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( A (,) B ) u. { A } ) = ( A [,) B ) )
122	121	oveq2d 6265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A [,) B ) ) )
123	122, 28	syl6eqr 2480	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) = J )
124	123	fveq2d 5829	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) ) = ( int ` J ) )
125		uncom 3553	. . . . . . . . 9 |- ( ( C (,) D ) u. { A } ) = ( { A } u. ( C (,) D ) )
126		sneq 3951	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = A -> { C } = { A } )
127	126	eqcomd 2434	. . . . . . . . . 10 |- ( C = A -> { A } = { C } )
128	127	uneq1d 3562	. . . . . . . . 9 |- ( C = A -> ( { A } u. ( C (,) D ) ) = ( { C } u. ( C (,) D ) ) )
129	125, 128	syl5eq 2474	. . . . . . . 8 |- ( C = A -> ( ( C (,) D ) u. { A } ) = ( { C } u. ( C (,) D ) ) )
130	19	rexrd 9641	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR* )
131		snunioo 11709	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* /\ C < D ) -> ( { C } u. ( C (,) D ) ) = ( C [,) D ) )
132	130, 23, 21, 131	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { C } u. ( C (,) D ) ) = ( C [,) D ) )
133	129, 132	sylan9eqr 2484	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( C (,) D ) u. { A } ) = ( C [,) D ) )
134	124, 133	fveq12d 5831	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) ) ` ( ( C (,) D ) u. { A } ) ) = ( ( int ` J ) ` ( C [,) D ) ) )
135	111, 114, 134	3eltr4d 2521	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = A ) -> A e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A (,) B ) u. { A } ) ) ) ` ( ( C (,) D ) u. { A } ) ) )
136	12, 14, 16, 17, 18, 135	limcres 22783	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC A ) = ( F lim CC A ) )
137	8, 136	eqtr2d 2463	. . 3 |- ( ( ph /\ C = A ) -> ( F lim CC A ) = ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )
138	2, 6, 137	3eltr3d 2520	. 2 |- ( ( ph /\ C = A ) -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )
139		limcresi 22782	. . 3 |- ( F lim CC C ) C_ ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C )
140		iffalse 3863	. . . . . 6 |- ( -. C = A -> if ( C = A , R , ( F ` C ) ) = ( F ` C ) )
141	3, 140	syl5eq 2474	. . . . 5 |- ( -. C = A -> Y = ( F ` C ) )
142	141	adantl 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> Y = ( F ` C ) )
143		ssid 3426	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC C_ CC
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> CC C_ CC )
145		eqid 2428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) )
146		unicntop 37287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
147	146	restid 15275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
148	29, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
149	148	eqcomi 2437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
150	17, 145, 149	cncfcn 21883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A (,) B ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
151	15, 144, 150	sylancr 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
152	9, 151	eleqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
153	17	cnfldtopon 21745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
154		resttopon 20119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ( A (,) B ) C_ CC ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) ) )
155	153, 15, 154	mp2an 676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) )
156		cncnp 20238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) e. (TopOn ` ( A (,) B ) ) /\ ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) ) -> ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) ) )
157	155, 153, 156	mp2an 676	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) )
158	152, 157	sylib 199	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) ) )
159	158	simprd 464	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
160	159	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) )
161	116	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A e. RR* )
162	56	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> B e. RR* )
163	19	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C e. RR )
164	39	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A e. RR )
165	52	simpld 460	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A <_ C )
166	165	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A <_ C )
167	112	eqcoms 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = C -> C = A )
168	167	necon3bi 2627	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. C = A -> A =/= C )
169	168	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A =/= C )
170	169	necomd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C =/= A )
171	164, 163, 166, 170	leneltd 9740	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> A < C )
172	19, 22, 50, 21, 53	ltletrd 9746	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C < B )
173	172	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C < B )
174	161, 162, 163, 171, 173	eliood 37487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> C e. ( A (,) B ) )
175		fveq2 5825	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) = ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) )
176	175	eleq2d 2491	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) <-> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) ) )
177	176	rspccva 3124	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. ( A (,) B ) F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` x ) /\ C e. ( A (,) B ) ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) )
178	160, 174, 177	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) )
179	17, 145	cnplimc 22784	. . . . . . 7 |- ( ( ( A (,) B ) C_ CC /\ C e. ( A (,) B ) ) -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) ) ) )
180	15, 174, 179	sylancr 667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> ( F e. ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( A (,) B ) ) CnP ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` C ) <-> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) ) ) )
181	178, 180	mpbid 213	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> ( F : ( A (,) B ) --> CC /\ ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) ) )
182	181	simprd 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> ( F ` C ) e. ( F lim CC C ) )
183	142, 182	eqeltrd 2506	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> Y e. ( F lim CC C ) )
184	139, 183	sseldi 3405	. 2 |- ( ( ph /\ -. C = A ) -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )
185	138, 184	pm2.61dan 798	1 |- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( C (,) D ) ) lim CC C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2599   A.wral 2714   _Vcvv 3022   u. cun 3377   i^i cin 3378   C_ wss 3379   ifcif 3854   {csn 3941   class class class wbr 4366   ran crn 4797   |` cres 4798   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   -oocmnf 9624   RR*cxr 9625   < clt 9626   <_ cle 9627   (,)cioo 11586   [,)cico 11588   ↾_t crest 15262   TopOpenctopn 15263   topGenctg 15279  ℂ_fldccnfld 18913   Topctop 19859  TopOnctopon 19860   intcnt 19974   Cn ccn 20182   CnP ccnp 20183   -cn->ccncf 21850   lim CC climc 22759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-seq 12164  df-exp 12223  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-rest 15264  df-topn 15265  df-topgen 15285  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-ntr 19977  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-xms 21277  df-ms 21278  df-cncf 21852  df-limc 22763

This theorem is referenced by:  fourierdlem48  37901  fourierdlem76  37929  fourierdlem89  37942