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Theorem fourierdlem32 32167
Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Lower bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem32.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem32.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem32.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem32.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
fourierdlem32.l  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
fourierdlem32.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem32.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
fourierdlem32.cltd  |-  ( ph  ->  C  <  D )
fourierdlem32.ss  |-  ( ph  ->  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
fourierdlem32.y  |-  Y  =  if ( C  =  A ,  R , 
( F `  C
) )
fourierdlem32.j  |-  J  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,) B ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem32  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C ) )

Proof of Theorem fourierdlem32
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem32.l . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
21adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  R  e.  ( F lim CC  A
) )
3 fourierdlem32.y . . . . 5  |-  Y  =  if ( C  =  A ,  R , 
( F `  C
) )
4 iftrue 3950 . . . . 5  |-  ( C  =  A  ->  if ( C  =  A ,  R ,  ( F `
 C ) )  =  R )
53, 4syl5req 2511 . . . 4  |-  ( C  =  A  ->  R  =  Y )
65adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  R  =  Y )
7 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( C  =  A  ->  (
( F  |`  ( C (,) D ) ) lim
CC  C )  =  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  A ) )
87adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( F  |`  ( C (,) D ) ) lim
CC  C )  =  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  A ) )
9 fourierdlem32.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
10 cncff 21614 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
13 fourierdlem32.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
15 ioosscn 31773 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  CC
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( A (,) B )  C_  CC )
17 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
18 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u.  { A } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ A } ) )
19 fourierdlem32.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2019leidd 10140 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <_  C )
21 fourierdlem32.cltd . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <  D )
22 fourierdlem32.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
2322rexrd 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
24 elico2 11613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR* )  -> 
( C  e.  ( C [,) D )  <-> 
( C  e.  RR  /\  C  <_  C  /\  C  <  D ) ) )
2519, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( C [,) D )  <-> 
( C  e.  RR  /\  C  <_  C  /\  C  <  D ) ) )
2619, 20, 21, 25mpbir3and 1179 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( C [,) D ) )
2726adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  C  e.  ( C [,) D
) )
28 fourierdlem32.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,) B ) )
2917cnfldtop 21508 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
30 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A [,) B )  e. 
_V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( A [,) B )  e. 
_V )
32 resttop 19879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,) B
)  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,) B ) )  e. 
Top )
3329, 31, 32sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,) B ) )  e. 
Top )
3428, 33syl5eqel 2549 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  J  e.  Top )
35 mnfxr 11348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- -oo  e.  RR*
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  -> -oo  e.  RR* )
3723adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  D  e.  RR* )
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  e.  ( A [,) D ) )
39 fourierdlem32.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  A  e.  RR )
41 elico2 11613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) D )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  D ) ) )
4240, 37, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  ( x  e.  ( A [,) D
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  D
) ) )
4338, 42mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  D
) )
4443simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  e.  RR )
4544mnfltd 31737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  -> -oo  <  x
)
4643simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  <  D )
4736, 37, 44, 45, 46eliood 31777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) D ) )
4843simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  A  <_  x )
4922adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  D  e.  RR )
50 fourierdlem32.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  B  e.  RR )
5239, 50, 19, 22, 21, 13fourierdlem10 32145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )
5352simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  <_  B )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  D  <_  B )
5544, 49, 51, 46, 54ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  <  B )
5650rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  B  e.  RR* )
58 elico2 11613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) ) )
5940, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  ( x  e.  ( A [,) B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B
) ) )
6044, 48, 55, 59mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  e.  ( A [,) B ) )
6147, 60elind 3684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )
62 elinel1 31670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) D ) )
63 elioore 11584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -oo (,) D )  ->  x  e.  RR )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) )  ->  x  e.  RR )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  x  e.  RR )
66 elinel2 31669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) )  ->  x  e.  ( A [,) B ) )
6766adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  x  e.  ( A [,) B ) )
6839adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  A  e.  RR )
6956adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  B  e.  RR* )
7068, 69, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  ( x  e.  ( A [,) B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B
) ) )
7167, 70mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B
) )
7271simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  A  <_  x )
7362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) D ) )
7423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  D  e.  RR* )
75 elioo2 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) D )  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  D
) ) )
7635, 74, 75sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  ( x  e.  ( -oo (,) D
)  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  D
) ) )
7773, 76mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  D
) )
7877simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  x  <  D )
7968, 74, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  ( x  e.  ( A [,) D
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  D
) ) )
8065, 72, 78, 79mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  x  e.  ( A [,) D ) )
8161, 80impbida 832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,) D )  <-> 
x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) ) )
8281eqrdv 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,) D
)  =  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )
83 retop 21485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
8530a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,) B
)  e.  _V )
86 iooretop 21490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo (,) D )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) D
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
88 elrestr 14937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,) B )  e. 
_V  /\  ( -oo (,) D )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B
) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
8984, 85, 87, 88syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
9082, 89eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,) D
)  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
9190adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( A [,) D )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B
) ) )
92 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  C  =  A )
9392oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( C [,) D )  =  ( A [,) D
) )
9428a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,) B
) ) )
9529a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
96 icossre 11630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )
9739, 56, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,) B
)  C_  RR )
98 reex 9600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  _V
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
100 restabs 19884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,) B
)  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,) B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,) B ) ) )
10195, 97, 99, 100syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,) B ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,) B
) ) )
10217tgioo2 21525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
103102eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  =  (
topGen `  ran  (,) )
104103oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,) B ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B
) )
105104a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,) B ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
10694, 101, 1053eqtr2d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
107106adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  J  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
10891, 93, 1073eltr4d 2560 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( C [,) D )  e.  J )
109 isopn3i 19801 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( C [,) D )  e.  J )  -> 
( ( int `  J
) `  ( C [,) D ) )  =  ( C [,) D
) )
11034, 108, 109syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( int `  J
) `  ( C [,) D ) )  =  ( C [,) D
) )
11127, 110eleqtrrd 2548 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  C  e.  ( ( int `  J
) `  ( C [,) D ) ) )
112 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  A  ->  C  =  A )
113112eqcomd 2465 . . . . . . 7  |-  ( C  =  A  ->  A  =  C )
114113adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  A  =  C )
115 uncom 3644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A }
)  =  ( { A }  u.  ( A (,) B ) )
11639rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
117 fourierdlem32.altb . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  B )
118 snunioo 11671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  ( { A }  u.  ( A (,) B ) )  =  ( A [,) B ) )
119116, 56, 117, 118syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( { A }  u.  ( A (,) B
) )  =  ( A [,) B ) )
120115, 119syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { A } )  =  ( A [,) B ) )
121120adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A } )  =  ( A [,) B ) )
122121oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ A } ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,) B
) ) )
123122, 28syl6eqr 2516 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ A } ) )  =  J )
124123fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A (,) B
)  u.  { A } ) ) )  =  ( int `  J
) )
125 uncom 3644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C (,) D )  u.  { A }
)  =  ( { A }  u.  ( C (,) D ) )
126 sneq 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  A  ->  { C }  =  { A } )
127126eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  A  ->  { A }  =  { C } )
128127uneq1d 3653 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  A  ->  ( { A }  u.  ( C (,) D ) )  =  ( { C }  u.  ( C (,) D ) ) )
129125, 128syl5eq 2510 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  A  ->  (
( C (,) D
)  u.  { A } )  =  ( { C }  u.  ( C (,) D ) ) )
13019rexrd 9660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
131 snunioo 11671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  C  < 
D )  ->  ( { C }  u.  ( C (,) D ) )  =  ( C [,) D ) )
132130, 23, 21, 131syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( { C }  u.  ( C (,) D
) )  =  ( C [,) D ) )
133129, 132sylan9eqr 2520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( C (,) D
)  u.  { A } )  =  ( C [,) D ) )
134124, 133fveq12d 5878 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ A } ) ) ) `  (
( C (,) D
)  u.  { A } ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( C [,) D ) ) )
135111, 114, 1343eltr4d 2560 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  A  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ A } ) ) ) `  (
( C (,) D
)  u.  { A } ) ) )
13612, 14, 16, 17, 18, 135limcres 22507 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( F  |`  ( C (,) D ) ) lim
CC  A )  =  ( F lim CC  A
) )
1378, 136eqtr2d 2499 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( F lim CC  A )  =  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C ) )
1382, 6, 1373eltr3d 2559 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C ) )
139 limcresi 22506 . . 3  |-  ( F lim
CC  C )  C_  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C )
140 iffalse 3953 . . . . . 6  |-  ( -.  C  =  A  ->  if ( C  =  A ,  R ,  ( F `  C ) )  =  ( F `
 C ) )
1413, 140syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( -.  C  =  A  ->  Y  =  ( F `  C ) )
142141adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  Y  =  ( F `  C ) )
143 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
145 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
146 unicntop 31677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
147146restid 14942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
14829, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
149148eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
15017, 145, 149cncfcn 21630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
15115, 144, 150sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1529, 151eleqtrd 2547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
15317cnfldtopon 21507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
154 resttopon 19880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A (,) B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) ) )
155153, 15, 154mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) )
156 cncnp 19999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B ) )  /\  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )  -> 
( F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) ) ) )
157155, 153, 156mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) ) )
158152, 157sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  A. x  e.  ( A (,) B
) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) ) )
159158simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) )
160159adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A. x  e.  ( A (,) B
) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) )
161116adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A  e.  RR* )
16256adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  B  e.  RR* )
16319adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  C  e.  RR )
16439adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A  e.  RR )
16552simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
166165adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A  <_  C )
167112eqcoms 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  C  ->  C  =  A )
168167necon3bi 2686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  C  =  A  ->  A  =/=  C )
169168adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A  =/=  C )
170169necomd 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  C  =/=  A )
171164, 163, 166, 170leneltd 31740 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A  <  C )
17219, 22, 50, 21, 53ltletrd 9759 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <  B )
173172adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  C  <  B )
174161, 162, 163, 171, 173eliood 31777 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  C  e.  ( A (,) B
) )
175 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) )
176175eleq2d 2527 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
)  <->  F  e.  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) ) )
177176rspccva 3209 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
)  /\  C  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  C
) )
178160, 174, 177syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  C
) )
17917, 145cnplimc 22508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  C  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
)  <->  ( F :
( A (,) B
) --> CC  /\  ( F `  C )  e.  ( F lim CC  C
) ) ) )
18015, 174, 179sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
)  <->  ( F :
( A (,) B
) --> CC  /\  ( F `  C )  e.  ( F lim CC  C
) ) ) )
181178, 180mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  ( F `  C )  e.  ( F lim CC  C ) ) )
182181simprd 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  ( F `  C )  e.  ( F lim CC  C
) )
183142, 182eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  Y  e.  ( F lim CC  C
) )
184139, 183sseldi 3497 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C ) )
185138, 184pm2.61dan 791 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   (,)cioo 11554   [,)cico 11556   ↾t crest 14929   TopOpenctopn 14930   topGenctg 14946  ℂfldccnfld 18638   Topctop 19612  TopOnctopon 19613   intcnt 19736    Cn ccn 19943    CnP ccnp 19944   -cn->ccncf 21597   lim CC climc 22483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-rest 14931  df-topn 14932  df-topgen 14952  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-cnfld 18639  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-ntr 19739  df-cn 19946  df-cnp 19947  df-xms 21040  df-ms 21041  df-cncf 21599  df-limc 22487
This theorem is referenced by:  fourierdlem48  32183  fourierdlem76  32211  fourierdlem89  32224
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