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Theorem fourierdlem32 37885
Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Lower bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem32.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem32.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem32.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem32.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
fourierdlem32.l  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
fourierdlem32.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem32.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
fourierdlem32.cltd  |-  ( ph  ->  C  <  D )
fourierdlem32.ss  |-  ( ph  ->  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
fourierdlem32.y  |-  Y  =  if ( C  =  A ,  R , 
( F `  C
) )
fourierdlem32.j  |-  J  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,) B ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem32  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C ) )

Proof of Theorem fourierdlem32
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem32.l . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
21adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  R  e.  ( F lim CC  A
) )
3 fourierdlem32.y . . . . 5  |-  Y  =  if ( C  =  A ,  R , 
( F `  C
) )
4 iftrue 3860 . . . . 5  |-  ( C  =  A  ->  if ( C  =  A ,  R ,  ( F `
 C ) )  =  R )
53, 4syl5req 2475 . . . 4  |-  ( C  =  A  ->  R  =  Y )
65adantl 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  R  =  Y )
7 oveq2 6257 . . . . 5  |-  ( C  =  A  ->  (
( F  |`  ( C (,) D ) ) lim
CC  C )  =  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  A ) )
87adantl 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( F  |`  ( C (,) D ) ) lim
CC  C )  =  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  A ) )
9 fourierdlem32.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
10 cncff 21867 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
1211adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
13 fourierdlem32.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
1413adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
15 ioosscn 37483 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  CC
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( A (,) B )  C_  CC )
17 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
18 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u.  { A } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ A } ) )
19 fourierdlem32.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2019leidd 10131 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <_  C )
21 fourierdlem32.cltd . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <  D )
22 fourierdlem32.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
2322rexrd 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
24 elico2 11649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR* )  -> 
( C  e.  ( C [,) D )  <-> 
( C  e.  RR  /\  C  <_  C  /\  C  <  D ) ) )
2519, 23, 24syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( C [,) D )  <-> 
( C  e.  RR  /\  C  <_  C  /\  C  <  D ) ) )
2619, 20, 21, 25mpbir3and 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( C [,) D ) )
2726adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  C  e.  ( C [,) D
) )
28 fourierdlem32.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,) B ) )
2917cnfldtop 21746 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
30 ovex 6277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A [,) B )  e. 
_V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( A [,) B )  e. 
_V )
32 resttop 20118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,) B
)  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,) B ) )  e. 
Top )
3329, 31, 32sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,) B ) )  e. 
Top )
3428, 33syl5eqel 2510 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  J  e.  Top )
35 mnfxr 11365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- -oo  e.  RR*
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  -> -oo  e.  RR* )
3723adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  D  e.  RR* )
38 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  e.  ( A [,) D ) )
39 fourierdlem32.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4039adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  A  e.  RR )
41 elico2 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) D )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  D ) ) )
4240, 37, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  ( x  e.  ( A [,) D
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  D
) ) )
4338, 42mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  D
) )
4443simp1d 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  e.  RR )
4544mnfltd 11377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  -> -oo  <  x
)
4643simp3d 1019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  <  D )
4736, 37, 44, 45, 46eliood 37487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) D ) )
4843simp2d 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  A  <_  x )
4922adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  D  e.  RR )
50 fourierdlem32.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5150adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  B  e.  RR )
5239, 50, 19, 22, 21, 13fourierdlem10 37862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )
5352simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  <_  B )
5453adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  D  <_  B )
5544, 49, 51, 46, 54ltletrd 9746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  <  B )
5650rexrd 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
5756adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  B  e.  RR* )
58 elico2 11649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) ) )
5940, 57, 58syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  ( x  e.  ( A [,) B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B
) ) )
6044, 48, 55, 59mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  e.  ( A [,) B ) )
6147, 60elind 3593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )
62 elinel1 3594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) D ) )
63 elioore 11617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -oo (,) D )  ->  x  e.  RR )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) )  ->  x  e.  RR )
6564adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  x  e.  RR )
66 elinel2 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) )  ->  x  e.  ( A [,) B ) )
6766adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  x  e.  ( A [,) B ) )
6839adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  A  e.  RR )
6956adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  B  e.  RR* )
7068, 69, 58syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  ( x  e.  ( A [,) B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B
) ) )
7167, 70mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B
) )
7271simp2d 1018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  A  <_  x )
7362adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) D ) )
7423adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  D  e.  RR* )
75 elioo2 11628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) D )  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  D
) ) )
7635, 74, 75sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  ( x  e.  ( -oo (,) D
)  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  D
) ) )
7773, 76mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  D
) )
7877simp3d 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  x  <  D )
7968, 74, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  ( x  e.  ( A [,) D
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  D
) ) )
8065, 72, 78, 79mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  x  e.  ( A [,) D ) )
8161, 80impbida 840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,) D )  <-> 
x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) ) )
8281eqrdv 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,) D
)  =  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )
83 retop 21724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
8530a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,) B
)  e.  _V )
86 iooretop 21728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo (,) D )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) D
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
88 elrestr 15270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,) B )  e. 
_V  /\  ( -oo (,) D )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B
) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
8984, 85, 87, 88syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
9082, 89eqeltrd 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,) D
)  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
9190adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( A [,) D )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B
) ) )
92 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  C  =  A )
9392oveq1d 6264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( C [,) D )  =  ( A [,) D
) )
9428a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,) B
) ) )
9529a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
96 icossre 11666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )
9739, 56, 96syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,) B
)  C_  RR )
98 reex 9581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  _V
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
100 restabs 20123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,) B
)  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,) B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,) B ) ) )
10195, 97, 99, 100syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,) B ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,) B
) ) )
10217tgioo2 21763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
103102eqcomi 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  =  (
topGen `  ran  (,) )
104103oveq1i 6259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,) B ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B
) )
105104a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,) B ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
10694, 101, 1053eqtr2d 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
107106adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  J  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
10891, 93, 1073eltr4d 2521 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( C [,) D )  e.  J )
109 isopn3i 20040 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( C [,) D )  e.  J )  -> 
( ( int `  J
) `  ( C [,) D ) )  =  ( C [,) D
) )
11034, 108, 109syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( int `  J
) `  ( C [,) D ) )  =  ( C [,) D
) )
11127, 110eleqtrrd 2509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  C  e.  ( ( int `  J
) `  ( C [,) D ) ) )
112 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  A  ->  C  =  A )
113112eqcomd 2434 . . . . . . 7  |-  ( C  =  A  ->  A  =  C )
114113adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  A  =  C )
115 uncom 3553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A }
)  =  ( { A }  u.  ( A (,) B ) )
11639rexrd 9641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
117 fourierdlem32.altb . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  B )
118 snunioo 11709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  ( { A }  u.  ( A (,) B ) )  =  ( A [,) B ) )
119116, 56, 117, 118syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( { A }  u.  ( A (,) B
) )  =  ( A [,) B ) )
120115, 119syl5eq 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { A } )  =  ( A [,) B ) )
121120adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A } )  =  ( A [,) B ) )
122121oveq2d 6265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ A } ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,) B
) ) )
123122, 28syl6eqr 2480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ A } ) )  =  J )
124123fveq2d 5829 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A (,) B
)  u.  { A } ) ) )  =  ( int `  J
) )
125 uncom 3553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C (,) D )  u.  { A }
)  =  ( { A }  u.  ( C (,) D ) )
126 sneq 3951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  A  ->  { C }  =  { A } )
127126eqcomd 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  A  ->  { A }  =  { C } )
128127uneq1d 3562 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  A  ->  ( { A }  u.  ( C (,) D ) )  =  ( { C }  u.  ( C (,) D ) ) )
129125, 128syl5eq 2474 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  A  ->  (
( C (,) D
)  u.  { A } )  =  ( { C }  u.  ( C (,) D ) ) )
13019rexrd 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
131 snunioo 11709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  C  < 
D )  ->  ( { C }  u.  ( C (,) D ) )  =  ( C [,) D ) )
132130, 23, 21, 131syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( { C }  u.  ( C (,) D
) )  =  ( C [,) D ) )
133129, 132sylan9eqr 2484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( C (,) D
)  u.  { A } )  =  ( C [,) D ) )
134124, 133fveq12d 5831 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ A } ) ) ) `  (
( C (,) D
)  u.  { A } ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( C [,) D ) ) )
135111, 114, 1343eltr4d 2521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  A  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ A } ) ) ) `  (
( C (,) D
)  u.  { A } ) ) )
13612, 14, 16, 17, 18, 135limcres 22783 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( F  |`  ( C (,) D ) ) lim
CC  A )  =  ( F lim CC  A
) )
1378, 136eqtr2d 2463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( F lim CC  A )  =  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C ) )
1382, 6, 1373eltr3d 2520 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C ) )
139 limcresi 22782 . . 3  |-  ( F lim
CC  C )  C_  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C )
140 iffalse 3863 . . . . . 6  |-  ( -.  C  =  A  ->  if ( C  =  A ,  R ,  ( F `  C ) )  =  ( F `
 C ) )
1413, 140syl5eq 2474 . . . . 5  |-  ( -.  C  =  A  ->  Y  =  ( F `  C ) )
142141adantl 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  Y  =  ( F `  C ) )
143 ssid 3426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
145 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
146 unicntop 37287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
147146restid 15275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
14829, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
149148eqcomi 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
15017, 145, 149cncfcn 21883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
15115, 144, 150sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1529, 151eleqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
15317cnfldtopon 21745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
154 resttopon 20119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A (,) B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) ) )
155153, 15, 154mp2an 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) )
156 cncnp 20238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B ) )  /\  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )  -> 
( F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) ) ) )
157155, 153, 156mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) ) )
158152, 157sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  A. x  e.  ( A (,) B
) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) ) )
159158simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) )
160159adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A. x  e.  ( A (,) B
) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) )
161116adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A  e.  RR* )
16256adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  B  e.  RR* )
16319adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  C  e.  RR )
16439adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A  e.  RR )
16552simpld 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
166165adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A  <_  C )
167112eqcoms 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  C  ->  C  =  A )
168167necon3bi 2627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  C  =  A  ->  A  =/=  C )
169168adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A  =/=  C )
170169necomd 2656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  C  =/=  A )
171164, 163, 166, 170leneltd 9740 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A  <  C )
17219, 22, 50, 21, 53ltletrd 9746 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <  B )
173172adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  C  <  B )
174161, 162, 163, 171, 173eliood 37487 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  C  e.  ( A (,) B
) )
175 fveq2 5825 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) )
176175eleq2d 2491 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
)  <->  F  e.  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) ) )
177176rspccva 3124 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
)  /\  C  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  C
) )
178160, 174, 177syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  C
) )
17917, 145cnplimc 22784 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  C  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
)  <->  ( F :
( A (,) B
) --> CC  /\  ( F `  C )  e.  ( F lim CC  C
) ) ) )
18015, 174, 179sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
)  <->  ( F :
( A (,) B
) --> CC  /\  ( F `  C )  e.  ( F lim CC  C
) ) ) )
181178, 180mpbid 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  ( F `  C )  e.  ( F lim CC  C ) ) )
182181simprd 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  ( F `  C )  e.  ( F lim CC  C
) )
183142, 182eqeltrd 2506 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  Y  e.  ( F lim CC  C
) )
184139, 183sseldi 3405 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C ) )
185138, 184pm2.61dan 798 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   _Vcvv 3022    u. cun 3377    i^i cin 3378    C_ wss 3379   ifcif 3854   {csn 3941   class class class wbr 4366   ran crn 4797    |` cres 4798   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   -oocmnf 9624   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627   (,)cioo 11586   [,)cico 11588   ↾t crest 15262   TopOpenctopn 15263   topGenctg 15279  ℂfldccnfld 18913   Topctop 19859  TopOnctopon 19860   intcnt 19974    Cn ccn 20182    CnP ccnp 20183   -cn->ccncf 21850   lim CC climc 22759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-seq 12164  df-exp 12223  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-rest 15264  df-topn 15265  df-topgen 15285  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-ntr 19977  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-xms 21277  df-ms 21278  df-cncf 21852  df-limc 22763
This theorem is referenced by:  fourierdlem48  37901  fourierdlem76  37929  fourierdlem89  37942
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