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Theorem fourierdlem32 38114
Description: Limit of a continuous function on an open subinterval. Lower bound version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem32.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem32.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem32.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem32.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
fourierdlem32.l  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
fourierdlem32.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem32.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
fourierdlem32.cltd  |-  ( ph  ->  C  <  D )
fourierdlem32.ss  |-  ( ph  ->  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
fourierdlem32.y  |-  Y  =  if ( C  =  A ,  R , 
( F `  C
) )
fourierdlem32.j  |-  J  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,) B ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem32  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C ) )

Proof of Theorem fourierdlem32
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem32.l . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  ( F lim
CC  A ) )
21adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  R  e.  ( F lim CC  A
) )
3 fourierdlem32.y . . . . 5  |-  Y  =  if ( C  =  A ,  R , 
( F `  C
) )
4 iftrue 3878 . . . . 5  |-  ( C  =  A  ->  if ( C  =  A ,  R ,  ( F `
 C ) )  =  R )
53, 4syl5req 2518 . . . 4  |-  ( C  =  A  ->  R  =  Y )
65adantl 473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  R  =  Y )
7 oveq2 6316 . . . . 5  |-  ( C  =  A  ->  (
( F  |`  ( C (,) D ) ) lim
CC  C )  =  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  A ) )
87adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( F  |`  ( C (,) D ) ) lim
CC  C )  =  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  A ) )
9 fourierdlem32.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
10 cncff 22003 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
1211adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
13 fourierdlem32.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
1413adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
15 ioosscn 37687 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  CC
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( A (,) B )  C_  CC )
17 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
18 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u.  { A } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ A } ) )
19 fourierdlem32.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2019leidd 10201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <_  C )
21 fourierdlem32.cltd . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <  D )
22 fourierdlem32.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
2322rexrd 9708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
24 elico2 11723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR* )  -> 
( C  e.  ( C [,) D )  <-> 
( C  e.  RR  /\  C  <_  C  /\  C  <  D ) ) )
2519, 23, 24syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( C [,) D )  <-> 
( C  e.  RR  /\  C  <_  C  /\  C  <  D ) ) )
2619, 20, 21, 25mpbir3and 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( C [,) D ) )
2726adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  C  e.  ( C [,) D
) )
28 fourierdlem32.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,) B ) )
2917cnfldtop 21882 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
30 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A [,) B )  e. 
_V
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( A [,) B )  e. 
_V )
32 resttop 20253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,) B
)  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,) B ) )  e. 
Top )
3329, 31, 32sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( A [,) B ) )  e. 
Top )
3428, 33syl5eqel 2553 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  J  e.  Top )
35 mnfxr 11437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- -oo  e.  RR*
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  -> -oo  e.  RR* )
3723adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  D  e.  RR* )
38 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  e.  ( A [,) D ) )
39 fourierdlem32.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  A  e.  RR )
41 elico2 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) D )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  D ) ) )
4240, 37, 41syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  ( x  e.  ( A [,) D
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  D
) ) )
4338, 42mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  D
) )
4443simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  e.  RR )
4544mnfltd 11449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  -> -oo  <  x
)
4643simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  <  D )
4736, 37, 44, 45, 46eliood 37691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) D ) )
4843simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  A  <_  x )
4922adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  D  e.  RR )
50 fourierdlem32.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  B  e.  RR )
5239, 50, 19, 22, 21, 13fourierdlem10 38091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )
5352simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  <_  B )
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  D  <_  B )
5544, 49, 51, 46, 54ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  <  B )
5650rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
5756adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  B  e.  RR* )
58 elico2 11723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) ) )
5940, 57, 58syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  ( x  e.  ( A [,) B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B
) ) )
6044, 48, 55, 59mpbir3and 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  e.  ( A [,) B ) )
6147, 60elind 3609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,) D ) )  ->  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )
62 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) D ) )
63 elioore 11691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -oo (,) D )  ->  x  e.  RR )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) )  ->  x  e.  RR )
6564adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  x  e.  RR )
66 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) )  ->  x  e.  ( A [,) B ) )
6766adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  x  e.  ( A [,) B ) )
6839adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  A  e.  RR )
6956adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  B  e.  RR* )
7068, 69, 58syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  ( x  e.  ( A [,) B
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B
) ) )
7167, 70mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B
) )
7271simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  A  <_  x )
7362adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) D ) )
7423adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  D  e.  RR* )
75 elioo2 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) D )  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  D
) ) )
7635, 74, 75sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  ( x  e.  ( -oo (,) D
)  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  D
) ) )
7773, 76mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <  D
) )
7877simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  x  <  D )
7968, 74, 41syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  ( x  e.  ( A [,) D
)  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  D
) ) )
8065, 72, 78, 79mpbir3and 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )  ->  x  e.  ( A [,) D ) )
8161, 80impbida 850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,) D )  <-> 
x  e.  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) ) )
8281eqrdv 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,) D
)  =  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) ) )
83 retop 21860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
8530a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,) B
)  e.  _V )
86 iooretop 21864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo (,) D )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) D
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
88 elrestr 15405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,) B )  e. 
_V  /\  ( -oo (,) D )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B
) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
8984, 85, 87, 88syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( -oo (,) D )  i^i  ( A [,) B ) )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
9082, 89eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,) D
)  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
9190adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( A [,) D )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B
) ) )
92 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  C  =  A )
9392oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( C [,) D )  =  ( A [,) D
) )
9428a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,) B
) ) )
9529a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
96 icossre 11740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )
9739, 56, 96syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,) B
)  C_  RR )
98 reex 9648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  _V
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
100 restabs 20258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( A [,) B
)  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  (
( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,) B ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A [,) B ) ) )
10195, 97, 99, 100syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,) B ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,) B
) ) )
10217tgioo2 21899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
103102eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  =  (
topGen `  ran  (,) )
104103oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,) B ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B
) )
105104a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( A [,) B ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
10694, 101, 1053eqtr2d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
107106adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  J  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,) B ) ) )
10891, 93, 1073eltr4d 2564 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( C [,) D )  e.  J )
109 isopn3i 20175 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( C [,) D )  e.  J )  -> 
( ( int `  J
) `  ( C [,) D ) )  =  ( C [,) D
) )
11034, 108, 109syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( int `  J
) `  ( C [,) D ) )  =  ( C [,) D
) )
11127, 110eleqtrrd 2552 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  C  e.  ( ( int `  J
) `  ( C [,) D ) ) )
112 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  A  ->  C  =  A )
113112eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( C  =  A  ->  A  =  C )
114113adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  A  =  C )
115 uncom 3569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A (,) B )  u.  { A }
)  =  ( { A }  u.  ( A (,) B ) )
11639rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
117 fourierdlem32.altb . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  B )
118 snunioo 11784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  < 
B )  ->  ( { A }  u.  ( A (,) B ) )  =  ( A [,) B ) )
119116, 56, 117, 118syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( { A }  u.  ( A (,) B
) )  =  ( A [,) B ) )
120115, 119syl5eq 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { A } )  =  ( A [,) B ) )
121120adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A } )  =  ( A [,) B ) )
122121oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ A } ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A [,) B
) ) )
123122, 28syl6eqr 2523 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ A } ) )  =  J )
124123fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A (,) B
)  u.  { A } ) ) )  =  ( int `  J
) )
125 uncom 3569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C (,) D )  u.  { A }
)  =  ( { A }  u.  ( C (,) D ) )
126 sneq 3969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  A  ->  { C }  =  { A } )
127126eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  A  ->  { A }  =  { C } )
128127uneq1d 3578 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  A  ->  ( { A }  u.  ( C (,) D ) )  =  ( { C }  u.  ( C (,) D ) ) )
129125, 128syl5eq 2517 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  A  ->  (
( C (,) D
)  u.  { A } )  =  ( { C }  u.  ( C (,) D ) ) )
13019rexrd 9708 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
131 snunioo 11784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  C  < 
D )  ->  ( { C }  u.  ( C (,) D ) )  =  ( C [,) D ) )
132130, 23, 21, 131syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( { C }  u.  ( C (,) D
) )  =  ( C [,) D ) )
133129, 132sylan9eqr 2527 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( C (,) D
)  u.  { A } )  =  ( C [,) D ) )
134124, 133fveq12d 5885 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ A } ) ) ) `  (
( C (,) D
)  u.  { A } ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( C [,) D ) ) )
135111, 114, 1343eltr4d 2564 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  A  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A (,) B )  u. 
{ A } ) ) ) `  (
( C (,) D
)  u.  { A } ) ) )
13612, 14, 16, 17, 18, 135limcres 22920 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  (
( F  |`  ( C (,) D ) ) lim
CC  A )  =  ( F lim CC  A
) )
1378, 136eqtr2d 2506 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  ( F lim CC  A )  =  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C ) )
1382, 6, 1373eltr3d 2563 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  =  A )  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C ) )
139 limcresi 22919 . . 3  |-  ( F lim
CC  C )  C_  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C )
140 iffalse 3881 . . . . . 6  |-  ( -.  C  =  A  ->  if ( C  =  A ,  R ,  ( F `  C ) )  =  ( F `
 C ) )
1413, 140syl5eq 2517 . . . . 5  |-  ( -.  C  =  A  ->  Y  =  ( F `  C ) )
142141adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  Y  =  ( F `  C ) )
143 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
145 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
146 unicntop 37433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
147146restid 15410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
14829, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
149148eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
15017, 145, 149cncfcn 22019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
15115, 144, 150sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
1529, 151eleqtrd 2551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
15317cnfldtopon 21881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
154 resttopon 20254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A (,) B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) ) )
155153, 15, 154mp2an 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) )
156 cncnp 20373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B ) )  /\  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )  -> 
( F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) ) ) )
157155, 153, 156mp2an 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) ) )
158152, 157sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  A. x  e.  ( A (,) B
) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) ) )
159158simprd 470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) )
160159adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A. x  e.  ( A (,) B
) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
) )
161116adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A  e.  RR* )
16256adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  B  e.  RR* )
16319adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  C  e.  RR )
16439adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A  e.  RR )
16552simpld 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
166165adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A  <_  C )
167112eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  C  ->  C  =  A )
168167necon3bi 2669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  C  =  A  ->  A  =/=  C )
169168adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A  =/=  C )
170169necomd 2698 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  C  =/=  A )
171164, 163, 166, 170leneltd 9806 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  A  <  C )
17219, 22, 50, 21, 53ltletrd 9812 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  <  B )
173172adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  C  <  B )
174161, 162, 163, 171, 173eliood 37691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  C  e.  ( A (,) B
) )
175 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) )
176175eleq2d 2534 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  C  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
)  <->  F  e.  (
( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) ) )
177176rspccva 3135 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  ( A (,) B ) F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  x
)  /\  C  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  C
) )
178160, 174, 177syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  C
) )
17917, 145cnplimc 22921 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  C  e.  ( A (,) B
) )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
)  <->  ( F :
( A (,) B
) --> CC  /\  ( F `  C )  e.  ( F lim CC  C
) ) ) )
18015, 174, 179sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
)  <->  ( F :
( A (,) B
) --> CC  /\  ( F `  C )  e.  ( F lim CC  C
) ) ) )
181178, 180mpbid 215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  ( F : ( A (,) B ) --> CC  /\  ( F `  C )  e.  ( F lim CC  C ) ) )
182181simprd 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  ( F `  C )  e.  ( F lim CC  C
) )
183142, 182eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  Y  e.  ( F lim CC  C
) )
184139, 183sseldi 3416 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  C  =  A )  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C ) )
185138, 184pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( C (,) D ) ) lim CC  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   intcnt 20109    Cn ccn 20317    CnP ccnp 20318   -cn->ccncf 21986   lim CC climc 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-ntr 20112  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-cncf 21988  df-limc 22900
This theorem is referenced by:  fourierdlem48  38130  fourierdlem76  38158  fourierdlem89  38171
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