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Theorem fourierdlem31OLD 38113
Description: If  A is finite and for any element in  A there is a number  m such that a property holds for all numbers larger than  m, then there is a number  n such that the property holds for all numbers larger than  n and for all elements in  A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) Obsolete version of fourierdlem31 38112 as of 29-Sep-2020. ( (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem31OLD.i  |-  F/ i
ph
fourierdlem31OLD.r  |-  F/ r
ph
fourierdlem31OLD.iv  |-  F/_ i V
fourierdlem31OLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fourierdlem31OLD.exm  |-  ( ph  ->  A. i  e.  A  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch )
fourierdlem31OLD.m  |-  M  =  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }
fourierdlem31OLD.v  |-  V  =  ( i  e.  A  |->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )
fourierdlem31OLD.n  |-  N  =  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem31OLD  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
Distinct variable groups:    A, i, m, r    A, n, i, r    n, N    ch, m    ch, n
Allowed substitution hints:    ph( i, m, n, r)    ch( i,
r)    M( i, m, n, r)    N( i, m, r)    V( i, m, n, r)

Proof of Theorem fourierdlem31OLD
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 10642 . . . 4  |-  1  e.  NN
2 rzal 3862 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. i  e.  A  ch )
32ralrimivw 2810 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  A. r  e.  ( 1 (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
4 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  (
n (,) +oo )  =  ( 1 (,) +oo ) )
54raleqdv 2979 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( A. r  e.  (
n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch 
<-> 
A. r  e.  ( 1 (,) +oo ) A. i  e.  A  ch ) )
65rspcev 3136 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A. r  e.  ( 1 (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
71, 3, 6sylancr 676 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
87adantl 473 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
9 fourierdlem31OLD.n . . . 4  |-  N  =  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )
10 fourierdlem31OLD.i . . . . . . . 8  |-  F/ i
ph
11 fourierdlem31OLD.m . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  M  =  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } )
1312supeq1d 7978 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } ,  RR ,  `'  <  ) )
14 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  C_  NN
15 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1614, 15sseqtri 3450 . . . . . . . . . . . 12  |-  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
17 fourierdlem31OLD.exm . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. i  e.  A  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch )
1817r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch )
19 rabn0 3755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch }  =/=  (/)  <->  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch )
2018, 19sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  =/=  (/) )
21 infmssuzclOLD 11270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch }  =/=  (/) )  ->  sup ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } )
2216, 20, 21sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  sup ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch } )
2314, 22sseldi 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  sup ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
2413, 23eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
2524ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( i  e.  A  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN ) )
2610, 25ralrimi 2800 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. i  e.  A  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
27 fourierdlem31OLD.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( i  e.  A  |->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )
2827rnmptss 6068 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  A  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  ->  ran  V  C_  NN )
2926, 28syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  NN )
3029adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ran  V 
C_  NN )
31 ltso 9732 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  <  Or  RR )
33 fourierdlem31OLD.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
34 mptfi 7891 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
i  e.  A  |->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  Fin )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( i  e.  A  |->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  Fin )
3627, 35syl5eqel 2553 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  Fin )
37 rnfi 7875 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  ran  V  e.  Fin )
3836, 37syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  V  e.  Fin )
3938adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ran  V  e.  Fin )
40 neqne 2651 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  A  =/=  (/) )
41 n0 3732 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. i  i  e.  A )
4240, 41sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  E. i 
i  e.  A )
4342adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. i 
i  e.  A )
44 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ i  -.  A  =  (/)
4510, 44nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  -.  A  =  (/) )
46 fourierdlem31OLD.iv . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i V
4746nfrn 5083 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i ran  V
48 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i (/)
4947, 48nfne 2742 . . . . . . . 8  |-  F/ i ran  V  =/=  (/)
50 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  i  e.  A )
5127elrnmpt1 5089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  A  /\  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  V )
5250, 24, 51syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  V )
53 ne0i 3728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e. 
ran  V  ->  ran  V  =/=  (/) )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ran  V  =/=  (/) )
5554ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( i  e.  A  ->  ran  V  =/=  (/) ) )
5655adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  (
i  e.  A  ->  ran  V  =/=  (/) ) )
5745, 49, 56exlimd 2017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ( E. i  i  e.  A  ->  ran  V  =/=  (/) ) )
5843, 57mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ran  V  =/=  (/) )
59 nnssre 10635 . . . . . . 7  |-  NN  C_  RR
6030, 59syl6ss 3430 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ran  V 
C_  RR )
61 fisupcl 8003 . . . . . 6  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( ran  V  e.  Fin  /\ 
ran  V  =/=  (/)  /\  ran  V 
C_  RR ) )  ->  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )  e.  ran  V )
6232, 39, 58, 60, 61syl13anc 1294 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )  e.  ran  V )
6330, 62sseldd 3419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )  e.  NN )
649, 63syl5eqel 2553 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  N  e.  NN )
65 fourierdlem31OLD.r . . . . 5  |-  F/ r
ph
66 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i RR
67 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i  <
6847, 66, 67nfsup 7983 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i sup ( ran  V ,  RR ,  <  )
699, 68nfcxfr 2610 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i N
70 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i (,)
71 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i +oo
7269, 70, 71nfov 6334 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( N (,) +oo )
7372nfcri 2606 . . . . . . . 8  |-  F/ i  r  e.  ( N (,) +oo )
7410, 73nfan 2031 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ph  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )
7527fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  A  /\  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )  ->  ( V `  i )  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )
7650, 24, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )
7724nnxrd 37426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR* )
7876, 77eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  e.  RR* )
7978adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  ( V `  i )  e.  RR* )
80 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
8180a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  -> +oo  e.  RR* )
82 elioore 11691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  ( N (,) +oo )  ->  r  e.  RR )
8382adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  r  e.  RR )
8476, 24eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  e.  NN )
8584nnred 10646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  e.  RR )
8685adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  ( V `  i )  e.  RR )
87 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
8887adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  A  =/=  (/) )
8988neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  -.  A  =  (/) )
9089, 64syldan 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  N  e.  NN )
9190nnred 10646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  N  e.  RR )
9291adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  N  e.  RR )
9389, 60syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ran  V 
C_  RR )
9429, 59syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  RR )
95 fimaxre2 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ran  V  C_  RR  /\ 
ran  V  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ran  V  y  <_  x )
9694, 38, 95syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ran  V  y  <_  x )
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  V  y  <_  x )
9876, 52eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  e.  ran  V )
99 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ran  V  C_  RR  /\  ran  V  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  V  y  <_  x )  /\  ( V `
 i )  e. 
ran  V )  -> 
( V `  i
)  <_  sup ( ran  V ,  RR ,  <  ) )
10093, 54, 97, 98, 99syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  <_  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )
)
101100, 9syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  <_  N )
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  ( V `  i )  <_  N )
10392rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  N  e.  RR* )
104 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  r  e.  ( N (,) +oo ) )
105 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  N  <  r )
106103, 81, 104, 105syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  N  <  r )
10786, 92, 83, 102, 106lelttrd 9810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  ( V `  i )  <  r )
10883ltpnfd 11446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  r  < +oo )
10979, 81, 83, 107, 108eliood 37691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) )
11013, 22eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch } )
11176, 110eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } )
112 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m A
113 nfrab1 2957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ m { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }
11411, 113nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ m M
115 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ m RR
116 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ m `'  <
117114, 115, 116nfsup 7983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
118112, 117nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ m
( i  e.  A  |->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )
11927, 118nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ m V
120 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ m
i
121119, 120nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ m
( V `  i
)
122121, 113nfel 2624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ m
( V `  i
)  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }
123121nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ m
( V `  i
)  e.  NN
124 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ m (,)
125 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ m +oo
126121, 124, 125nfov 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m
( ( V `  i ) (,) +oo )
127 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ m ch
128126, 127nfral 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ m A. r  e.  (
( V `  i
) (,) +oo ) ch
129123, 128nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ m
( ( V `  i )  e.  NN  /\ 
A. r  e.  ( ( V `  i
) (,) +oo ) ch )
130122, 129nfbi 2037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ m
( ( V `  i )  e.  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch }  <->  ( ( V `
 i )  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) )
131 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  (
m  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  <->  ( V `  i )  e.  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch } ) )
132 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  (
m  e.  NN  <->  ( V `  i )  e.  NN ) )
133 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  (
m (,) +oo )  =  ( ( V `
 i ) (,) +oo ) )
134 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ r
( m (,) +oo )
135 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ r A
136 nfra1 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/ r A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch
137 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ r NN
138136, 137nfrab 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ r { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }
13911, 138nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ r M
140 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ r RR
141 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ r `'  <
142139, 140, 141nfsup 7983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ r sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
143135, 142nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ r
( i  e.  A  |->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )
14427, 143nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ r V
145 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ r
i
146144, 145nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ r
( V `  i
)
147 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ r (,)
148 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ r +oo
149146, 147, 148nfov 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ r
( ( V `  i ) (,) +oo )
150134, 149raleqf 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m (,) +oo )  =  ( ( V `
 i ) (,) +oo )  ->  ( A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch  <->  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) )
151133, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  ( A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch 
<-> 
A. r  e.  ( ( V `  i
) (,) +oo ) ch ) )
152132, 151anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  (
( m  e.  NN  /\ 
A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch )  <->  ( ( V `
 i )  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) ) )
153131, 152bibi12d 328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  (
( m  e.  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch }  <->  ( m  e.  NN  /\  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch ) )  <->  ( ( V `  i )  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  <->  ( ( V `
 i )  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) ) ) )
154 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  <->  ( m  e.  NN  /\  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch ) )
155121, 130, 153, 154vtoclgf 3091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V `  i )  e.  NN  ->  (
( V `  i
)  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  <->  ( ( V `  i )  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) ) )
15684, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  (
( V `  i
)  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  <->  ( ( V `  i )  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) ) )
157111, 156mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  (
( V `  i
)  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) )
158157simprd 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch )
159158r19.21bi 2776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) )  ->  ch )
160109, 159syldan 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  ch )
161160an32s 821 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  /\  i  e.  A )  ->  ch )
162161ex 441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( N (,) +oo )
)  ->  ( i  e.  A  ->  ch )
)
16374, 162ralrimi 2800 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( N (,) +oo )
)  ->  A. i  e.  A  ch )
164163ex 441 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( N (,) +oo )  ->  A. i  e.  A  ch ) )
16565, 164ralrimi 2800 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( N (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
166165adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  A. r  e.  ( N (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
167 oveq1 6315 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
n (,) +oo )  =  ( N (,) +oo ) )
168 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ r
( n (,) +oo )
169144nfrn 5083 . . . . . . . . 9  |-  F/_ r ran  V
170 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ r  <
171169, 140, 170nfsup 7983 . . . . . . . 8  |-  F/_ r sup ( ran  V ,  RR ,  <  )
1729, 171nfcxfr 2610 . . . . . . 7  |-  F/_ r N
173172, 147, 148nfov 6334 . . . . . 6  |-  F/_ r
( N (,) +oo )
174168, 173raleqf 2969 . . . . 5  |-  ( ( n (,) +oo )  =  ( N (,) +oo )  ->  ( A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch  <->  A. r  e.  ( N (,) +oo ) A. i  e.  A  ch ) )
175167, 174syl 17 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( A. r  e.  (
n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch 
<-> 
A. r  e.  ( N (,) +oo ) A. i  e.  A  ch ) )
176175rspcev 3136 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. r  e.  ( N (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
17764, 166, 176syl2anc 673 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
1788, 177pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671   F/wnf 1675    e. wcel 1904   F/_wnfc 2599    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    Or wor 4759   `'ccnv 4838   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   RRcr 9556   1c1 9558   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   ZZ>=cuz 11182   (,)cioo 11660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-ioo 11664
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