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Theorem fourierdlem31OLD 38113
 Description: If is finite and for any element in there is a number such that a property holds for all numbers larger than , then there is a number such that the property holds for all numbers larger than and for all elements in . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) Obsolete version of fourierdlem31 38112 as of 29-Sep-2020. ( (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem31OLD.i
fourierdlem31OLD.r
fourierdlem31OLD.iv
fourierdlem31OLD.a
fourierdlem31OLD.exm
fourierdlem31OLD.m
fourierdlem31OLD.v
fourierdlem31OLD.n
Assertion
Ref Expression
fourierdlem31OLD
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,)   (,,,)   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem fourierdlem31OLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 10642 . . . 4
2 rzal 3862 . . . . 5
32ralrimivw 2810 . . . 4
4 oveq1 6315 . . . . . 6
54raleqdv 2979 . . . . 5
65rspcev 3136 . . . 4
71, 3, 6sylancr 676 . . 3
9 fourierdlem31OLD.n . . . 4
10 fourierdlem31OLD.i . . . . . . . 8
11 fourierdlem31OLD.m . . . . . . . . . . . 12
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11
1312supeq1d 7978 . . . . . . . . . 10
14 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . 11
15 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . . 13
1614, 15sseqtri 3450 . . . . . . . . . . . 12
17 fourierdlem31OLD.exm . . . . . . . . . . . . . 14
1817r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . 13
19 rabn0 3755 . . . . . . . . . . . . 13
2018, 19sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12
21 infmssuzclOLD 11270 . . . . . . . . . . . 12
2216, 20, 21sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
2314, 22sseldi 3416 . . . . . . . . . 10
2413, 23eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9
2524ex 441 . . . . . . . 8
2610, 25ralrimi 2800 . . . . . . 7
27 fourierdlem31OLD.v . . . . . . . 8
2827rnmptss 6068 . . . . . . 7
2926, 28syl 17 . . . . . 6
3029adantr 472 . . . . 5
31 ltso 9732 . . . . . . 7
3231a1i 11 . . . . . 6
33 fourierdlem31OLD.a . . . . . . . . . 10
34 mptfi 7891 . . . . . . . . . 10
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9
3627, 35syl5eqel 2553 . . . . . . . 8
37 rnfi 7875 . . . . . . . 8
3836, 37syl 17 . . . . . . 7
3938adantr 472 . . . . . 6
40 neqne 2651 . . . . . . . . 9
41 n0 3732 . . . . . . . . 9
4240, 41sylib 201 . . . . . . . 8
4342adantl 473 . . . . . . 7
44 nfv 1769 . . . . . . . . 9
4510, 44nfan 2031 . . . . . . . 8
46 fourierdlem31OLD.iv . . . . . . . . . 10
4746nfrn 5083 . . . . . . . . 9
48 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
4947, 48nfne 2742 . . . . . . . 8
50 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
5127elrnmpt1 5089 . . . . . . . . . . . 12
5250, 24, 51syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
53 ne0i 3728 . . . . . . . . . . 11
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . 10
5554ex 441 . . . . . . . . 9
5655adantr 472 . . . . . . . 8
5745, 49, 56exlimd 2017 . . . . . . 7
5843, 57mpd 15 . . . . . 6
59 nnssre 10635 . . . . . . 7
6030, 59syl6ss 3430 . . . . . 6
61 fisupcl 8003 . . . . . 6
6232, 39, 58, 60, 61syl13anc 1294 . . . . 5
6330, 62sseldd 3419 . . . 4
649, 63syl5eqel 2553 . . 3
65 fourierdlem31OLD.r . . . . 5
66 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
67 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
6847, 66, 67nfsup 7983 . . . . . . . . . . 11
699, 68nfcxfr 2610 . . . . . . . . . 10
70 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10
71 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10
7269, 70, 71nfov 6334 . . . . . . . . 9
7372nfcri 2606 . . . . . . . 8
7410, 73nfan 2031 . . . . . . 7
7527fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . 14
7650, 24, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
7724nnxrd 37426 . . . . . . . . . . . . 13
7876, 77eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12
7978adantr 472 . . . . . . . . . . 11
80 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . 12
8180a1i 11 . . . . . . . . . . 11
82 elioore 11691 . . . . . . . . . . . 12
8382adantl 473 . . . . . . . . . . 11
8476, 24eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14
8584nnred 10646 . . . . . . . . . . . . 13
8685adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
87 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8887adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8988neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089, 64syldan 478 . . . . . . . . . . . . . 14
9190nnred 10646 . . . . . . . . . . . . 13
9291adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
9389, 60syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . 15
9429, 59syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
95 fimaxre2 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9694, 38, 95syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
9876, 52eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15
99 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . 15
10093, 54, 97, 98, 99syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . 14
101100, 9syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . 13
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
10392rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13
104 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
105 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . . . . 13
106103, 81, 104, 105syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
10786, 92, 83, 102, 106lelttrd 9810 . . . . . . . . . . 11
10883ltpnfd 11446 . . . . . . . . . . 11
10979, 81, 83, 107, 108eliood 37691 . . . . . . . . . 10
11013, 22eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14
11176, 110eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13
112 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113 nfrab1 2957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11411, 113nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117114, 115, 116nfsup 7983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118112, 117nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11927, 118nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121119, 120nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15
122121, 113nfel 2624 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123121nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
124 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
126121, 124, 125nfov 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
127 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128126, 127nfral 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129123, 128nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130122, 129nfbi 2037 . . . . . . . . . . . . . . 15
131 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
133 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
135 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
136 nfra1 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
137 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
138136, 137nfrab 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
13911, 138nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
140 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
141 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
142139, 140, 141nfsup 7983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
143135, 142nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14427, 143nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
145 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
146144, 145nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
148 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
149146, 147, 148nfov 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
150134, 149raleqf 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151133, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
152132, 151anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
153131, 152bibi12d 328 . . . . . . . . . . . . . . 15
154 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . . 15
155121, 130, 153, 154vtoclgf 3091 . . . . . . . . . . . . . 14
15684, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
157111, 156mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
158157simprd 470 . . . . . . . . . . 11
159158r19.21bi 2776 . . . . . . . . . 10
160109, 159syldan 478 . . . . . . . . 9
161160an32s 821 . . . . . . . 8
162161ex 441 . . . . . . 7
16374, 162ralrimi 2800 . . . . . 6
164163ex 441 . . . . 5
16565, 164ralrimi 2800 . . . 4
167 oveq1 6315 . . . . 5
168 nfcv 2612 . . . . . 6
169144nfrn 5083 . . . . . . . . 9
170 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
171169, 140, 170nfsup 7983 . . . . . . . 8
1729, 171nfcxfr 2610 . . . . . . 7
173172, 147, 148nfov 6334 . . . . . 6
174168, 173raleqf 2969 . . . . 5
175167, 174syl 17 . . . 4
176175rspcev 3136 . . 3
17764, 166, 176syl2anc 673 . 2
1788, 177pm2.61dan 808 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671  wnf 1675   wcel 1904  wnfc 2599   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   cmpt 4454   wor 4759  ccnv 4838   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  csup 7972  cr 9556  c1 9558   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cn 10631  cuz 11182  cioo 11660 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-ioo 11664 This theorem is referenced by: (None)
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