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Theorem fourierdlem31 37941
Description: If  A is finite and for any element in  A there is a number  m such that a property holds for all numbers larger than  m, then there is a number  n such that the property holds for all numbers larger than  n and for all elements in  A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem31.i  |-  F/ i
ph
fourierdlem31.r  |-  F/ r
ph
fourierdlem31.iv  |-  F/_ i V
fourierdlem31.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fourierdlem31.exm  |-  ( ph  ->  A. i  e.  A  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch )
fourierdlem31.m  |-  M  =  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }
fourierdlem31.v  |-  V  =  ( i  e.  A  |-> inf ( M ,  RR ,  <  ) )
fourierdlem31.n  |-  N  =  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem31  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
Distinct variable groups:    A, i, m, r    A, n, i, r    n, N    ch, m    ch, n
Allowed substitution hints:    ph( i, m, n, r)    ch( i,
r)    M( i, m, n, r)    N( i, m, r)    V( i, m, n, r)

Proof of Theorem fourierdlem31
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 10628 . . . 4  |-  1  e.  NN
2 rzal 3901 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. i  e.  A  ch )
32ralrimivw 2837 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  A. r  e.  ( 1 (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
4 oveq1 6313 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  (
n (,) +oo )  =  ( 1 (,) +oo ) )
54raleqdv 3028 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( A. r  e.  (
n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch 
<-> 
A. r  e.  ( 1 (,) +oo ) A. i  e.  A  ch ) )
65rspcev 3182 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A. r  e.  ( 1 (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
71, 3, 6sylancr 667 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
87adantl 467 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
9 fourierdlem31.n . . . 4  |-  N  =  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )
10 fourierdlem31.i . . . . . . . 8  |-  F/ i
ph
11 fourierdlem31.m . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  M  =  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } )
1312infeq1d 8003 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  -> inf ( M ,  RR ,  <  )  = inf ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } ,  RR ,  <  ) )
14 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . 11  |-  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  C_  NN
15 nnuz 11202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1614, 15sseqtri 3496 . . . . . . . . . . . 12  |-  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
17 fourierdlem31.exm . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. i  e.  A  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch )
1817r19.21bi 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch )
19 rabn0 3782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch }  =/=  (/)  <->  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch )
2018, 19sylibr 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  =/=  (/) )
21 infssuzcl 11253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch }  =/=  (/) )  -> inf ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } ,  RR ,  <  )  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } )
2216, 20, 21sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  -> inf ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch } ,  RR ,  <  )  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } )
2314, 22sseldi 3462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  -> inf ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch } ,  RR ,  <  )  e.  NN )
2413, 23eqeltrd 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  -> inf ( M ,  RR ,  <  )  e.  NN )
2524ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( i  e.  A  -> inf ( M ,  RR ,  <  )  e.  NN ) )
2610, 25ralrimi 2822 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. i  e.  A inf ( M ,  RR ,  <  )  e.  NN )
27 fourierdlem31.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( i  e.  A  |-> inf ( M ,  RR ,  <  ) )
2827rnmptss 6068 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  A inf ( M ,  RR ,  <  )  e.  NN  ->  ran 
V  C_  NN )
2926, 28syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  NN )
3029adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ran  V 
C_  NN )
31 ltso 9722 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  <  Or  RR )
33 fourierdlem31.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
34 mptfi 7883 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
i  e.  A  |-> inf ( M ,  RR ,  <  ) )  e.  Fin )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( i  e.  A  |-> inf ( M ,  RR ,  <  ) )  e. 
Fin )
3627, 35syl5eqel 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  Fin )
37 rnfi 7867 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  ran  V  e.  Fin )
3836, 37syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  V  e.  Fin )
3938adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ran  V  e.  Fin )
40 neqne 37348 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  A  =/=  (/) )
41 n0 3771 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. i  i  e.  A )
4240, 41sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  E. i 
i  e.  A )
4342adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. i 
i  e.  A )
44 nfv 1755 . . . . . . . . 9  |-  F/ i  -.  A  =  (/)
4510, 44nfan 1988 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  -.  A  =  (/) )
46 fourierdlem31.iv . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i V
4746nfrn 5096 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i ran  V
48 nfcv 2580 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i (/)
4947, 48nfne 2752 . . . . . . . 8  |-  F/ i ran  V  =/=  (/)
50 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  i  e.  A )
5127elrnmpt1 5102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  A  /\ inf ( M ,  RR ,  <  )  e.  NN )  -> inf ( M ,  RR ,  <  )  e. 
ran  V )
5250, 24, 51syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  -> inf ( M ,  RR ,  <  )  e.  ran  V )
53 ne0i 3767 . . . . . . . . . . 11  |-  (inf ( M ,  RR ,  <  )  e.  ran  V  ->  ran  V  =/=  (/) )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ran  V  =/=  (/) )
5554ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( i  e.  A  ->  ran  V  =/=  (/) ) )
5655adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  (
i  e.  A  ->  ran  V  =/=  (/) ) )
5745, 49, 56exlimd 1974 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ( E. i  i  e.  A  ->  ran  V  =/=  (/) ) )
5843, 57mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ran  V  =/=  (/) )
59 nnssre 10621 . . . . . . 7  |-  NN  C_  RR
6030, 59syl6ss 3476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ran  V 
C_  RR )
61 fisupcl 7995 . . . . . 6  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( ran  V  e.  Fin  /\ 
ran  V  =/=  (/)  /\  ran  V 
C_  RR ) )  ->  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )  e.  ran  V )
6232, 39, 58, 60, 61syl13anc 1266 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )  e.  ran  V )
6330, 62sseldd 3465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )  e.  NN )
649, 63syl5eqel 2511 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  N  e.  NN )
65 fourierdlem31.r . . . . 5  |-  F/ r
ph
66 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i RR
67 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i  <
6847, 66, 67nfsup 7975 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i sup ( ran  V ,  RR ,  <  )
699, 68nfcxfr 2578 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i N
70 nfcv 2580 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i (,)
71 nfcv 2580 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i +oo
7269, 70, 71nfov 6332 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( N (,) +oo )
7372nfcri 2573 . . . . . . . 8  |-  F/ i  r  e.  ( N (,) +oo )
7410, 73nfan 1988 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ph  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )
7527fvmpt2 5974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  A  /\ inf ( M ,  RR ,  <  )  e.  NN )  ->  ( V `  i )  = inf ( M ,  RR ,  <  ) )
7650, 24, 75syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  = inf ( M ,  RR ,  <  ) )
7724nnxrd 37337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  -> inf ( M ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
7876, 77eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  e.  RR* )
7978adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  ( V `  i )  e.  RR* )
80 pnfxr 11420 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
8180a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  -> +oo  e.  RR* )
82 elioore 11674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  ( N (,) +oo )  ->  r  e.  RR )
8382adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  r  e.  RR )
8476, 24eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  e.  NN )
8584nnred 10632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  e.  RR )
8685adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  ( V `  i )  e.  RR )
87 ne0i 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
8887adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  A  =/=  (/) )
8988neneqd 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  -.  A  =  (/) )
9089, 64syldan 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  N  e.  NN )
9190nnred 10632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  N  e.  RR )
9291adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  N  e.  RR )
9389, 60syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ran  V 
C_  RR )
9429, 59syl6ss 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  RR )
95 fimaxre2 10560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ran  V  C_  RR  /\ 
ran  V  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ran  V  y  <_  x )
9694, 38, 95syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ran  V  y  <_  x )
9796adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  V  y  <_  x )
9876, 52eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  e.  ran  V )
99 suprub 10578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ran  V  C_  RR  /\  ran  V  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  V  y  <_  x )  /\  ( V `
 i )  e. 
ran  V )  -> 
( V `  i
)  <_  sup ( ran  V ,  RR ,  <  ) )
10093, 54, 97, 98, 99syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  <_  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )
)
101100, 9syl6breqr 4464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  <_  N )
102101adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  ( V `  i )  <_  N )
10392rexrd 9698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  N  e.  RR* )
104 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  r  e.  ( N (,) +oo ) )
105 ioogtlb 37542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  N  <  r )
106103, 81, 104, 105syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  N  <  r )
10786, 92, 83, 102, 106lelttrd 9801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  ( V `  i )  <  r )
10883ltpnfd 11431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  r  < +oo )
10979, 81, 83, 107, 108eliood 37545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) )
11013, 22eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  -> inf ( M ,  RR ,  <  )  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } )
11176, 110eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } )
112 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m A
113 nfrab1 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ m { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }
11411, 113nfcxfr 2578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ m M
115 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ m RR
116 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ m  <
117114, 115, 116nfinf 8008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ minf ( M ,  RR ,  <  )
118112, 117nfmpt 4512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ m
( i  e.  A  |-> inf ( M ,  RR ,  <  ) )
11927, 118nfcxfr 2578 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ m V
120 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ m
i
121119, 120nffv 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ m
( V `  i
)
122121, 113nfel 2593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ m
( V `  i
)  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }
123121nfel1 2596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ m
( V `  i
)  e.  NN
124 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ m (,)
125 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ m +oo
126121, 124, 125nfov 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m
( ( V `  i ) (,) +oo )
127 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ m ch
128126, 127nfral 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ m A. r  e.  (
( V `  i
) (,) +oo ) ch
129123, 128nfan 1988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ m
( ( V `  i )  e.  NN  /\ 
A. r  e.  ( ( V `  i
) (,) +oo ) ch )
130122, 129nfbi 1994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ m
( ( V `  i )  e.  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch }  <->  ( ( V `
 i )  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) )
131 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  (
m  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  <->  ( V `  i )  e.  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch } ) )
132 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  (
m  e.  NN  <->  ( V `  i )  e.  NN ) )
133 oveq1 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  (
m (,) +oo )  =  ( ( V `
 i ) (,) +oo ) )
134 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ r
( m (,) +oo )
135 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ r A
136 nfra1 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/ r A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch
137 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ r NN
138136, 137nfrab 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ r { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }
13911, 138nfcxfr 2578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ r M
140 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ r RR
141 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ r  <
142139, 140, 141nfinf 8008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ rinf ( M ,  RR ,  <  )
143135, 142nfmpt 4512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ r
( i  e.  A  |-> inf ( M ,  RR ,  <  ) )
14427, 143nfcxfr 2578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ r V
145 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ r
i
146144, 145nffv 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ r
( V `  i
)
147 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ r (,)
148 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ r +oo
149146, 147, 148nfov 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ r
( ( V `  i ) (,) +oo )
150134, 149raleqf 3018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m (,) +oo )  =  ( ( V `
 i ) (,) +oo )  ->  ( A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch  <->  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) )
151133, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  ( A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch 
<-> 
A. r  e.  ( ( V `  i
) (,) +oo ) ch ) )
152132, 151anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  (
( m  e.  NN  /\ 
A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch )  <->  ( ( V `
 i )  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) ) )
153131, 152bibi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  (
( m  e.  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch }  <->  ( m  e.  NN  /\  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch ) )  <->  ( ( V `  i )  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  <->  ( ( V `
 i )  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) ) ) )
154 rabid 3002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  <->  ( m  e.  NN  /\  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch ) )
155121, 130, 153, 154vtoclgf 3137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V `  i )  e.  NN  ->  (
( V `  i
)  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  <->  ( ( V `  i )  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) ) )
15684, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  (
( V `  i
)  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  <->  ( ( V `  i )  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) ) )
157111, 156mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  (
( V `  i
)  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) )
158157simprd 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch )
159158r19.21bi 2791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) )  ->  ch )
160109, 159syldan 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  ch )
161160an32s 811 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  /\  i  e.  A )  ->  ch )
162161ex 435 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( N (,) +oo )
)  ->  ( i  e.  A  ->  ch )
)
16374, 162ralrimi 2822 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( N (,) +oo )
)  ->  A. i  e.  A  ch )
164163ex 435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( N (,) +oo )  ->  A. i  e.  A  ch ) )
16565, 164ralrimi 2822 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( N (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
166165adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  A. r  e.  ( N (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
167 oveq1 6313 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
n (,) +oo )  =  ( N (,) +oo ) )
168 nfcv 2580 . . . . . 6  |-  F/_ r
( n (,) +oo )
169144nfrn 5096 . . . . . . . . 9  |-  F/_ r ran  V
170169, 140, 141nfsup 7975 . . . . . . . 8  |-  F/_ r sup ( ran  V ,  RR ,  <  )
1719, 170nfcxfr 2578 . . . . . . 7  |-  F/_ r N
172171, 147, 148nfov 6332 . . . . . 6  |-  F/_ r
( N (,) +oo )
173168, 172raleqf 3018 . . . . 5  |-  ( ( n (,) +oo )  =  ( N (,) +oo )  ->  ( A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch  <->  A. r  e.  ( N (,) +oo ) A. i  e.  A  ch ) )
174167, 173syl 17 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( A. r  e.  (
n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch 
<-> 
A. r  e.  ( N (,) +oo ) A. i  e.  A  ch ) )
175174rspcev 3182 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. r  e.  ( N (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
17664, 166, 175syl2anc 665 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
1778, 176pm2.61dan 798 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657   F/wnf 1661    e. wcel 1872   F/_wnfc 2566    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    Or wor 4773   ran crn 4854   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   Fincfn 7581   supcsup 7964  infcinf 7965   RRcr 9546   1c1 9548   +oocpnf 9680   RR*cxr 9682    < clt 9683    <_ cle 9684   NNcn 10617   ZZ>=cuz 11167   (,)cioo 11643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-sup 7966  df-inf 7967  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-ioo 11647
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