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Theorem fourierdlem31 32081
Description: If  A is finite and for any element in  A there is a number  m such that a property holds for all numbers larger than  m, then there is a number  n such that the property holds for all numbers larger than  n and for all elements in  A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem31.i  |-  F/ i
ph
fourierdlem31.r  |-  F/ r
ph
fourierdlem31.iv  |-  F/_ i V
fourierdlem31.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fourierdlem31.exm  |-  ( ph  ->  A. i  e.  A  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch )
fourierdlem31.m  |-  M  =  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }
fourierdlem31.v  |-  V  =  ( i  e.  A  |->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )
fourierdlem31.n  |-  N  =  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem31  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
Distinct variable groups:    A, i, m, r    A, n, i, r    n, N    ch, m    ch, n
Allowed substitution hints:    ph( i, m, n, r)    ch( i,
r)    M( i, m, n, r)    N( i, m, r)    V( i, m, n, r)

Proof of Theorem fourierdlem31
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 10567 . . . 4  |-  1  e.  NN
2 rzal 3934 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. i  e.  A  ch )
32ralrimivw 2872 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  A. r  e.  ( 1 (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
4 oveq1 6303 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  (
n (,) +oo )  =  ( 1 (,) +oo ) )
54raleqdv 3060 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( A. r  e.  (
n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch 
<-> 
A. r  e.  ( 1 (,) +oo ) A. i  e.  A  ch ) )
65rspcev 3210 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A. r  e.  ( 1 (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
71, 3, 6sylancr 663 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
87adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =  (/) )  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
9 fourierdlem31.n . . . 4  |-  N  =  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )
10 fourierdlem31.i . . . . . . . 8  |-  F/ i
ph
11 fourierdlem31.m . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  M  =  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } )
1312supeq1d 7923 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } ,  RR ,  `'  <  ) )
14 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . 11  |-  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  C_  NN
15 nnuz 11141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1614, 15sseqtri 3531 . . . . . . . . . . . 12  |-  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
17 fourierdlem31.exm . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. i  e.  A  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch )
1817r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch )
19 rabn0 3814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch }  =/=  (/)  <->  E. m  e.  NN  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch )
2018, 19sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  =/=  (/) )
21 infmssuzcl 11190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch }  =/=  (/) )  ->  sup ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } )
2216, 20, 21sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  sup ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch } )
2314, 22sseldi 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  sup ( { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
2413, 23eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
2524ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( i  e.  A  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN ) )
2610, 25ralrimi 2857 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. i  e.  A  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
27 fourierdlem31.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( i  e.  A  |->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )
2827rnmptss 6061 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  A  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  ->  ran  V  C_  NN )
2926, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  NN )
3029adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ran  V 
C_  NN )
31 ltso 9682 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  <  Or  RR )
33 fourierdlem31.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
34 mptfi 7837 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
i  e.  A  |->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  Fin )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( i  e.  A  |->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  Fin )
3627, 35syl5eqel 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  Fin )
37 rnfi 7823 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  ran  V  e.  Fin )
3836, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  V  e.  Fin )
3938adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ran  V  e.  Fin )
40 neqne 31595 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  A  =/=  (/) )
41 n0 3803 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. i  i  e.  A )
4240, 41sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  E. i 
i  e.  A )
4342adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. i 
i  e.  A )
44 nfv 1708 . . . . . . . . 9  |-  F/ i  -.  A  =  (/)
4510, 44nfan 1929 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  -.  A  =  (/) )
46 fourierdlem31.iv . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i V
4746nfrn 5255 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i ran  V
48 nfcv 2619 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i (/)
4947, 48nfne 2788 . . . . . . . 8  |-  F/ i ran  V  =/=  (/)
50 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  i  e.  A )
5127elrnmpt1 5261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  A  /\  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  V )
5250, 24, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  V )
53 ne0i 3799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e. 
ran  V  ->  ran  V  =/=  (/) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ran  V  =/=  (/) )
5554ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( i  e.  A  ->  ran  V  =/=  (/) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  (
i  e.  A  ->  ran  V  =/=  (/) ) )
5745, 49, 56exlimd 1915 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ( E. i  i  e.  A  ->  ran  V  =/=  (/) ) )
5843, 57mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ran  V  =/=  (/) )
59 nnssre 10560 . . . . . . 7  |-  NN  C_  RR
6030, 59syl6ss 3511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  ran  V 
C_  RR )
61 fisupcl 7945 . . . . . 6  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( ran  V  e.  Fin  /\ 
ran  V  =/=  (/)  /\  ran  V 
C_  RR ) )  ->  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )  e.  ran  V )
6232, 39, 58, 60, 61syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )  e.  ran  V )
6330, 62sseldd 3500 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )  e.  NN )
649, 63syl5eqel 2549 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  N  e.  NN )
65 fourierdlem31.r . . . . 5  |-  F/ r
ph
66 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i RR
67 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i  <
6847, 66, 67nfsup 7928 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i sup ( ran  V ,  RR ,  <  )
699, 68nfcxfr 2617 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i N
70 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i (,)
71 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i +oo
7269, 70, 71nfov 6322 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
( N (,) +oo )
7372nfcri 2612 . . . . . . . 8  |-  F/ i  r  e.  ( N (,) +oo )
7410, 73nfan 1929 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ph  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )
7527fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  A  /\  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )  ->  ( V `  i )  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )
7650, 24, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )
7724nnxrd 31580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR* )
7876, 77eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  e.  RR* )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  ( V `  i )  e.  RR* )
80 pnfxr 11346 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
8180a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  -> +oo  e.  RR* )
82 elioore 11584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  ( N (,) +oo )  ->  r  e.  RR )
8382adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  r  e.  RR )
8476, 24eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  e.  NN )
8584nnred 10571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  e.  RR )
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  ( V `  i )  e.  RR )
87 ne0i 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
8887adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  A  =/=  (/) )
8988neneqd 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  -.  A  =  (/) )
9089, 64syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  N  e.  NN )
9190nnred 10571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  N  e.  RR )
9291adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  N  e.  RR )
9389, 60syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ran  V 
C_  RR )
9429, 59syl6ss 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  RR )
95 fimaxre2 10511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ran  V  C_  RR  /\ 
ran  V  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ran  V  y  <_  x )
9694, 38, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ran  V  y  <_  x )
9796adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  V  y  <_  x )
9876, 52eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  e.  ran  V )
99 suprub 10524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ran  V  C_  RR  /\  ran  V  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e. 
ran  V  y  <_  x )  /\  ( V `
 i )  e. 
ran  V )  -> 
( V `  i
)  <_  sup ( ran  V ,  RR ,  <  ) )
10093, 54, 97, 98, 99syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  <_  sup ( ran  V ,  RR ,  <  )
)
101100, 9syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  <_  N )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  ( V `  i )  <_  N )
10392rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  N  e.  RR* )
104 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  r  e.  ( N (,) +oo ) )
105 ioogtlb 31689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  N  <  r )
106103, 81, 104, 105syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  N  <  r )
10786, 92, 83, 102, 106lelttrd 9757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  ( V `  i )  <  r )
10883ltpnfd 31641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  r  < +oo )
10979, 81, 83, 107, 108eliood 31692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) )
11013, 22eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch } )
11176, 110eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  ( V `  i )  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch } )
112 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m A
113 nfrab1 3038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ m { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }
11411, 113nfcxfr 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ m M
115 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ m RR
116 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ m `'  <
117114, 115, 116nfsup 7928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
118112, 117nfmpt 4545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ m
( i  e.  A  |->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )
11927, 118nfcxfr 2617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ m V
120 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ m
i
121119, 120nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ m
( V `  i
)
122121, 113nfel 2632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ m
( V `  i
)  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }
123121nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ m
( V `  i
)  e.  NN
124 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ m (,)
125 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ m +oo
126121, 124, 125nfov 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m
( ( V `  i ) (,) +oo )
127 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ m ch
128126, 127nfral 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ m A. r  e.  (
( V `  i
) (,) +oo ) ch
129123, 128nfan 1929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ m
( ( V `  i )  e.  NN  /\ 
A. r  e.  ( ( V `  i
) (,) +oo ) ch )
130122, 129nfbi 1935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ m
( ( V `  i )  e.  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch }  <->  ( ( V `
 i )  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) )
131 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  (
m  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  <->  ( V `  i )  e.  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch } ) )
132 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  (
m  e.  NN  <->  ( V `  i )  e.  NN ) )
133 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  (
m (,) +oo )  =  ( ( V `
 i ) (,) +oo ) )
134 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ r
( m (,) +oo )
135 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ r A
136 nfra1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/ r A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch
137 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ r NN
138136, 137nfrab 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ r { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }
13911, 138nfcxfr 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ r M
140 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ r RR
141 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ r `'  <
142139, 140, 141nfsup 7928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ r sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
143135, 142nfmpt 4545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ r
( i  e.  A  |->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  ) )
14427, 143nfcxfr 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ r V
145 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ r
i
146144, 145nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ r
( V `  i
)
147 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ r (,)
148 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ r +oo
149146, 147, 148nfov 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ r
( ( V `  i ) (,) +oo )
150134, 149raleqf 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m (,) +oo )  =  ( ( V `
 i ) (,) +oo )  ->  ( A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch  <->  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) )
151133, 150syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  ( A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch 
<-> 
A. r  e.  ( ( V `  i
) (,) +oo ) ch ) )
152132, 151anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  (
( m  e.  NN  /\ 
A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch )  <->  ( ( V `
 i )  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) ) )
153131, 152bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( V `  i )  ->  (
( m  e.  {
m  e.  NN  |  A. r  e.  (
m (,) +oo ) ch }  <->  ( m  e.  NN  /\  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch ) )  <->  ( ( V `  i )  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  <->  ( ( V `
 i )  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) ) ) )
154 rabid 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  <->  ( m  e.  NN  /\  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch ) )
155121, 130, 153, 154vtoclgf 3165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V `  i )  e.  NN  ->  (
( V `  i
)  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  <->  ( ( V `  i )  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) ) )
15684, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  (
( V `  i
)  e.  { m  e.  NN  |  A. r  e.  ( m (,) +oo ) ch }  <->  ( ( V `  i )  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) ) )
157111, 156mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  (
( V `  i
)  e.  NN  /\  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch ) )
158157simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  A )  ->  A. r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) ch )
159158r19.21bi 2826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( ( V `  i ) (,) +oo ) )  ->  ch )
160109, 159syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  A )  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  ->  ch )
161160an32s 804 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( N (,) +oo ) )  /\  i  e.  A )  ->  ch )
162161ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( N (,) +oo )
)  ->  ( i  e.  A  ->  ch )
)
16374, 162ralrimi 2857 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( N (,) +oo )
)  ->  A. i  e.  A  ch )
164163ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( N (,) +oo )  ->  A. i  e.  A  ch ) )
16565, 164ralrimi 2857 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( N (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
166165adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  A. r  e.  ( N (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
167 oveq1 6303 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
n (,) +oo )  =  ( N (,) +oo ) )
168 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ r
( n (,) +oo )
169144nfrn 5255 . . . . . . . . 9  |-  F/_ r ran  V
170 nfcv 2619 . . . . . . . . 9  |-  F/_ r  <
171169, 140, 170nfsup 7928 . . . . . . . 8  |-  F/_ r sup ( ran  V ,  RR ,  <  )
1729, 171nfcxfr 2617 . . . . . . 7  |-  F/_ r N
173172, 147, 148nfov 6322 . . . . . 6  |-  F/_ r
( N (,) +oo )
174168, 173raleqf 3050 . . . . 5  |-  ( ( n (,) +oo )  =  ( N (,) +oo )  ->  ( A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch  <->  A. r  e.  ( N (,) +oo ) A. i  e.  A  ch ) )
175167, 174syl 16 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( A. r  e.  (
n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch 
<-> 
A. r  e.  ( N (,) +oo ) A. i  e.  A  ch ) )
176175rspcev 3210 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. r  e.  ( N (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
17764, 166, 176syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
1788, 177pm2.61dan 791 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. r  e.  ( n (,) +oo ) A. i  e.  A  ch )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613   F/wnf 1617    e. wcel 1819   F/_wnfc 2605    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    Or wor 4808   `'ccnv 5007   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   supcsup 7918   RRcr 9508   1c1 9510   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   ZZ>=cuz 11106   (,)cioo 11554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-ioo 11558
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