Theorem fourierdlem31 37941

Description: If A is finite and for any element in A there is a number m such that a property holds for all numbers larger than m, then there is a number n such that the property holds for all numbers larger than n and for all elements in A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem31.i	|- F/ i ph
fourierdlem31.r	|- F/ r ph
fourierdlem31.iv	|- F/_ i V
fourierdlem31.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fourierdlem31.exm	|- ( ph -> A. i e. A E. m e. NN A. r e. ( m (,) +oo ) ch )
fourierdlem31.m	|- M = { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch }
fourierdlem31.v	|- V = ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) )
fourierdlem31.n	|- N = sup ( ran V , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem31	|- ( ph -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )

Distinct variable groups:   A, i, m, r   A, n, i, r   n, N   ch, m   ch, n

Allowed substitution hints:   ph( i, m, n, r)   ch( i, r)   M( i, m, n, r)   N( i, m, r)   V( i, m, n, r)

Proof of Theorem fourierdlem31

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10628	. . . 4 |- 1 e. NN
2		rzal 3901	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. i e. A ch )
3	2	ralrimivw 2837	. . . 4 |- ( A = (/) -> A. r e. ( 1 (,) +oo ) A. i e. A ch )
4		oveq1 6313	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( n (,) +oo ) = ( 1 (,) +oo ) )
5	4	raleqdv 3028	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch <-> A. r e. ( 1 (,) +oo ) A. i e. A ch ) )
6	5	rspcev 3182	. . . 4 |- ( ( 1 e. NN /\ A. r e. ( 1 (,) +oo ) A. i e. A ch ) -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )
7	1, 3, 6	sylancr 667	. . 3 |- ( A = (/) -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )
8	7	adantl 467	. 2 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )
9		fourierdlem31.n	. . . 4 |- N = sup ( ran V , RR , < )
10		fourierdlem31.i	. . . . . . . 8 |- F/ i ph
11		fourierdlem31.m	. . . . . . . . . . . 12 |- M = { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch }
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> M = { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } )
13	12	infeq1d 8003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( M , RR , < ) = inf ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } , RR , < ) )
14		ssrab2 3546	. . . . . . . . . . 11 |- { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } C_ NN
15		nnuz 11202	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
16	14, 15	sseqtri 3496	. . . . . . . . . . . 12 |- { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } C_ ( ZZ>= ` 1 )
17		fourierdlem31.exm	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. i e. A E. m e. NN A. r e. ( m (,) +oo ) ch )
18	17	r19.21bi 2791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> E. m e. NN A. r e. ( m (,) +oo ) ch )
19		rabn0 3782	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } =/= (/) <-> E. m e. NN A. r e. ( m (,) +oo ) ch )
20	18, 19	sylibr 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } =/= (/) )
21		infssuzcl 11253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } =/= (/) ) -> inf ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } , RR , < ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } )
22	16, 20, 21	sylancr 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } , RR , < ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } )
23	14, 22	sseldi 3462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } , RR , < ) e. NN )
24	13, 23	eqeltrd 2507	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( M , RR , < ) e. NN )
25	24	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( i e. A -> inf ( M , RR , < ) e. NN ) )
26	10, 25	ralrimi 2822	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. i e. A inf ( M , RR , < ) e. NN )
27		fourierdlem31.v	. . . . . . . 8 |- V = ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) )
28	27	rnmptss 6068	. . . . . . 7 |- ( A. i e. A inf ( M , RR , < ) e. NN -> ran V C_ NN )
29	26, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran V C_ NN )
30	29	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ran V C_ NN )
31		ltso 9722	. . . . . . 7 |- < Or RR
32	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> < Or RR )
33		fourierdlem31.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. Fin )
34		mptfi 7883	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) ) e. Fin )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) ) e. Fin )
36	27, 35	syl5eqel 2511	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. Fin )
37		rnfi 7867	. . . . . . . 8 |- ( V e. Fin -> ran V e. Fin )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran V e. Fin )
39	38	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ran V e. Fin )
40		neqne 37348	. . . . . . . . 9 |- ( -. A = (/) -> A =/= (/) )
41		n0 3771	. . . . . . . . 9 |- ( A =/= (/) <-> E. i i e. A )
42	40, 41	sylib 199	. . . . . . . 8 |- ( -. A = (/) -> E. i i e. A )
43	42	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> E. i i e. A )
44		nfv 1755	. . . . . . . . 9 |- F/ i -. A = (/)
45	10, 44	nfan 1988	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ -. A = (/) )
46		fourierdlem31.iv	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i V
47	46	nfrn 5096	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ran V
48		nfcv 2580	. . . . . . . . 9 |- F/_ i (/)
49	47, 48	nfne 2752	. . . . . . . 8 |- F/ i ran V =/= (/)
50		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> i e. A )
51	27	elrnmpt1 5102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. A /\ inf ( M , RR , < ) e. NN ) -> inf ( M , RR , < ) e. ran V )
52	50, 24, 51	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( M , RR , < ) e. ran V )
53		ne0i 3767	. . . . . . . . . . 11 |- (inf ( M , RR , < ) e. ran V -> ran V =/= (/) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ran V =/= (/) )
55	54	ex 435	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( i e. A -> ran V =/= (/) ) )
56	55	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ( i e. A -> ran V =/= (/) ) )
57	45, 49, 56	exlimd 1974	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ( E. i i e. A -> ran V =/= (/) ) )
58	43, 57	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ran V =/= (/) )
59		nnssre 10621	. . . . . . 7 |- NN C_ RR
60	30, 59	syl6ss 3476	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ran V C_ RR )
61		fisupcl 7995	. . . . . 6 |- ( ( < Or RR /\ ( ran V e. Fin /\ ran V =/= (/) /\ ran V C_ RR ) ) -> sup ( ran V , RR , < ) e. ran V )
62	32, 39, 58, 60, 61	syl13anc 1266	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> sup ( ran V , RR , < ) e. ran V )
63	30, 62	sseldd 3465	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> sup ( ran V , RR , < ) e. NN )
64	9, 63	syl5eqel 2511	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> N e. NN )
65		fourierdlem31.r	. . . . 5 |- F/ r ph
66		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i RR
67		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i <
68	47, 66, 67	nfsup 7975	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i sup ( ran V , RR , < )
69	9, 68	nfcxfr 2578	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i N
70		nfcv 2580	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i (,)
71		nfcv 2580	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i +oo
72	69, 70, 71	nfov 6332	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ( N (,) +oo )
73	72	nfcri 2573	. . . . . . . 8 |- F/ i r e. ( N (,) +oo )
74	10, 73	nfan 1988	. . . . . . 7 |- F/ i ( ph /\ r e. ( N (,) +oo ) )
75	27	fvmpt2 5974	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. A /\ inf ( M , RR , < ) e. NN ) -> ( V ` i ) = inf ( M , RR , < ) )
76	50, 24, 75	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) = inf ( M , RR , < ) )
77	24	nnxrd 37337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( M , RR , < ) e. RR* )
78	76, 77	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) e. RR* )
79	78	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ( V ` i ) e. RR* )
80		pnfxr 11420	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> +oo e. RR* )
82		elioore 11674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. ( N (,) +oo ) -> r e. RR )
83	82	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> r e. RR )
84	76, 24	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) e. NN )
85	84	nnred 10632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) e. RR )
86	85	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
87		ne0i 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. A -> A =/= (/) )
88	87	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> A =/= (/) )
89	88	neneqd 2621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> -. A = (/) )
90	89, 64	syldan 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> N e. NN )
91	90	nnred 10632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> N e. RR )
92	91	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> N e. RR )
93	89, 60	syldan 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ran V C_ RR )
94	29, 59	syl6ss 3476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ran V C_ RR )
95		fimaxre2 10560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ran V C_ RR /\ ran V e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. ran V y <_ x )
96	94, 38, 95	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. ran V y <_ x )
97	96	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> E. x e. RR A. y e. ran V y <_ x )
98	76, 52	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) e. ran V )
99		suprub 10578	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ran V C_ RR /\ ran V =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. ran V y <_ x ) /\ ( V ` i ) e. ran V ) -> ( V ` i ) <_ sup ( ran V , RR , < ) )
100	93, 54, 97, 98, 99	syl31anc 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) <_ sup ( ran V , RR , < ) )
101	100, 9	syl6breqr 4464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) <_ N )
102	101	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ( V ` i ) <_ N )
103	92	rexrd 9698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> N e. RR* )
104		simpr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> r e. ( N (,) +oo ) )
105		ioogtlb 37542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR* /\ +oo e. RR* /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> N < r )
106	103, 81, 104, 105	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> N < r )
107	86, 92, 83, 102, 106	lelttrd 9801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ( V ` i ) < r )
108	83	ltpnfd 11431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> r < +oo )
109	79, 81, 83, 107, 108	eliood 37545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) )
110	13, 22	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( M , RR , < ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } )
111	76, 110	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } )
112		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ m A
113		nfrab1 3006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ m { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch }
114	11, 113	nfcxfr 2578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m M
115		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m RR
116		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m <
117	114, 115, 116	nfinf 8008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ minf ( M , RR , < )
118	112, 117	nfmpt 4512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ m ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) )
119	27, 118	nfcxfr 2578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ m V
120		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ m i
121	119, 120	nffv 5889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ m ( V ` i )
122	121, 113	nfel 2593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch }
123	121	nfel1 2596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ m ( V ` i ) e. NN
124		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m (,)
125		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m +oo
126	121, 124, 125	nfov 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ m ( ( V ` i ) (,) +oo )
127		nfv 1755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ m ch
128	126, 127	nfral 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ m A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch
129	123, 128	nfan 1988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch )
130	122, 129	nfbi 1994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ m ( ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) )
131		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = ( V ` i ) -> ( m e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } ) )
132		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = ( V ` i ) -> ( m e. NN <-> ( V ` i ) e. NN ) )
133		oveq1 6313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = ( V ` i ) -> ( m (,) +oo ) = ( ( V ` i ) (,) +oo ) )
134		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ r ( m (,) +oo )
135		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ r A
136		nfra1 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/ r A. r e. ( m (,) +oo ) ch
137		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/_ r NN
138	136, 137	nfrab 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ r { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch }
139	11, 138	nfcxfr 2578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ r M
140		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ r RR
141		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ r <
142	139, 140, 141	nfinf 8008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ rinf ( M , RR , < )
143	135, 142	nfmpt 4512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ r ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) )
144	27, 143	nfcxfr 2578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ r V
145		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ r i
146	144, 145	nffv 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ r ( V ` i )
147		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ r (,)
148		nfcv 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ r +oo
149	146, 147, 148	nfov 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ r ( ( V ` i ) (,) +oo )
150	134, 149	raleqf 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m (,) +oo ) = ( ( V ` i ) (,) +oo ) -> ( A. r e. ( m (,) +oo ) ch <-> A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) )
151	133, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = ( V ` i ) -> ( A. r e. ( m (,) +oo ) ch <-> A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) )
152	132, 151	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = ( V ` i ) -> ( ( m e. NN /\ A. r e. ( m (,) +oo ) ch ) <-> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) ) )
153	131, 152	bibi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( V ` i ) -> ( ( m e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( m e. NN /\ A. r e. ( m (,) +oo ) ch ) ) <-> ( ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) ) ) )
154		rabid 3002	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( m e. NN /\ A. r e. ( m (,) +oo ) ch ) )
155	121, 130, 153, 154	vtoclgf 3137	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( V ` i ) e. NN -> ( ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) ) )
156	84, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) ) )
157	111, 156	mpbid 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) )
158	157	simprd 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch )
159	158	r19.21bi 2791	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ) -> ch )
160	109, 159	syldan 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ch )
161	160	an32s 811	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. ( N (,) +oo ) ) /\ i e. A ) -> ch )
162	161	ex 435	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ( i e. A -> ch ) )
163	74, 162	ralrimi 2822	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> A. i e. A ch )
164	163	ex 435	. . . . 5 |- ( ph -> ( r e. ( N (,) +oo ) -> A. i e. A ch ) )
165	65, 164	ralrimi 2822	. . . 4 |- ( ph -> A. r e. ( N (,) +oo ) A. i e. A ch )
166	165	adantr 466	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> A. r e. ( N (,) +oo ) A. i e. A ch )
167		oveq1 6313	. . . . 5 |- ( n = N -> ( n (,) +oo ) = ( N (,) +oo ) )
168		nfcv 2580	. . . . . 6 |- F/_ r ( n (,) +oo )
169	144	nfrn 5096	. . . . . . . . 9 |- F/_ r ran V
170	169, 140, 141	nfsup 7975	. . . . . . . 8 |- F/_ r sup ( ran V , RR , < )
171	9, 170	nfcxfr 2578	. . . . . . 7 |- F/_ r N
172	171, 147, 148	nfov 6332	. . . . . 6 |- F/_ r ( N (,) +oo )
173	168, 172	raleqf 3018	. . . . 5 |- ( ( n (,) +oo ) = ( N (,) +oo ) -> ( A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch <-> A. r e. ( N (,) +oo ) A. i e. A ch ) )
174	167, 173	syl 17	. . . 4 |- ( n = N -> ( A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch <-> A. r e. ( N (,) +oo ) A. i e. A ch ) )
175	174	rspcev 3182	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A. r e. ( N (,) +oo ) A. i e. A ch ) -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )
176	64, 166, 175	syl2anc 665	. 2 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )
177	8, 176	pm2.61dan 798	1 |- ( ph -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   E.wex 1657   F/wnf 1661   e. wcel 1872   F/_wnfc 2566   =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423   |-> cmpt 4482   Or wor 4773   ran crn 4854   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   Fincfn 7581   supcsup 7964  infcinf 7965   RRcr 9546   1c1 9548   +oocpnf 9680   RR*cxr 9682   < clt 9683   <_ cle 9684   NNcn 10617   ZZ>=cuz 11167   (,)cioo 11643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-sup 7966  df-inf 7967  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-ioo 11647

This theorem is referenced by:  fourierdlem73  37984