Theorem fourierdlem31 38112

Description: If A is finite and for any element in A there is a number m such that a property holds for all numbers larger than m, then there is a number n such that the property holds for all numbers larger than n and for all elements in A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem31.i	|- F/ i ph
fourierdlem31.r	|- F/ r ph
fourierdlem31.iv	|- F/_ i V
fourierdlem31.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fourierdlem31.exm	|- ( ph -> A. i e. A E. m e. NN A. r e. ( m (,) +oo ) ch )
fourierdlem31.m	|- M = { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch }
fourierdlem31.v	|- V = ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) )
fourierdlem31.n	|- N = sup ( ran V , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem31	|- ( ph -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )

Distinct variable groups:   A, i, m, r   A, n, i, r   n, N   ch, m   ch, n

Allowed substitution hints:   ph( i, m, n, r)   ch( i, r)   M( i, m, n, r)   N( i, m, r)   V( i, m, n, r)

Proof of Theorem fourierdlem31

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10642	. . . 4 |- 1 e. NN
2		rzal 3862	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. i e. A ch )
3	2	ralrimivw 2810	. . . 4 |- ( A = (/) -> A. r e. ( 1 (,) +oo ) A. i e. A ch )
4		oveq1 6315	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( n (,) +oo ) = ( 1 (,) +oo ) )
5	4	raleqdv 2979	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch <-> A. r e. ( 1 (,) +oo ) A. i e. A ch ) )
6	5	rspcev 3136	. . . 4 |- ( ( 1 e. NN /\ A. r e. ( 1 (,) +oo ) A. i e. A ch ) -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )
7	1, 3, 6	sylancr 676	. . 3 |- ( A = (/) -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )
8	7	adantl 473	. 2 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )
9		fourierdlem31.n	. . . 4 |- N = sup ( ran V , RR , < )
10		fourierdlem31.i	. . . . . . . 8 |- F/ i ph
11		fourierdlem31.m	. . . . . . . . . . . 12 |- M = { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch }
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> M = { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } )
13	12	infeq1d 8011	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( M , RR , < ) = inf ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } , RR , < ) )
14		ssrab2 3500	. . . . . . . . . . 11 |- { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } C_ NN
15		nnuz 11218	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
16	14, 15	sseqtri 3450	. . . . . . . . . . . 12 |- { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } C_ ( ZZ>= ` 1 )
17		fourierdlem31.exm	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. i e. A E. m e. NN A. r e. ( m (,) +oo ) ch )
18	17	r19.21bi 2776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> E. m e. NN A. r e. ( m (,) +oo ) ch )
19		rabn0 3755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } =/= (/) <-> E. m e. NN A. r e. ( m (,) +oo ) ch )
20	18, 19	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } =/= (/) )
21		infssuzcl 11268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } =/= (/) ) -> inf ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } , RR , < ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } )
22	16, 20, 21	sylancr 676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } , RR , < ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } )
23	14, 22	sseldi 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } , RR , < ) e. NN )
24	13, 23	eqeltrd 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( M , RR , < ) e. NN )
25	24	ex 441	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( i e. A -> inf ( M , RR , < ) e. NN ) )
26	10, 25	ralrimi 2800	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. i e. A inf ( M , RR , < ) e. NN )
27		fourierdlem31.v	. . . . . . . 8 |- V = ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) )
28	27	rnmptss 6068	. . . . . . 7 |- ( A. i e. A inf ( M , RR , < ) e. NN -> ran V C_ NN )
29	26, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran V C_ NN )
30	29	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ran V C_ NN )
31		ltso 9732	. . . . . . 7 |- < Or RR
32	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> < Or RR )
33		fourierdlem31.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. Fin )
34		mptfi 7891	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) ) e. Fin )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) ) e. Fin )
36	27, 35	syl5eqel 2553	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. Fin )
37		rnfi 7875	. . . . . . . 8 |- ( V e. Fin -> ran V e. Fin )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran V e. Fin )
39	38	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ran V e. Fin )
40		neqne 2651	. . . . . . . . 9 |- ( -. A = (/) -> A =/= (/) )
41		n0 3732	. . . . . . . . 9 |- ( A =/= (/) <-> E. i i e. A )
42	40, 41	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( -. A = (/) -> E. i i e. A )
43	42	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> E. i i e. A )
44		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ i -. A = (/)
45	10, 44	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ -. A = (/) )
46		fourierdlem31.iv	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i V
47	46	nfrn 5083	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ran V
48		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ i (/)
49	47, 48	nfne 2742	. . . . . . . 8 |- F/ i ran V =/= (/)
50		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> i e. A )
51	27	elrnmpt1 5089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. A /\ inf ( M , RR , < ) e. NN ) -> inf ( M , RR , < ) e. ran V )
52	50, 24, 51	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( M , RR , < ) e. ran V )
53		ne0i 3728	. . . . . . . . . . 11 |- (inf ( M , RR , < ) e. ran V -> ran V =/= (/) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ran V =/= (/) )
55	54	ex 441	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( i e. A -> ran V =/= (/) ) )
56	55	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ( i e. A -> ran V =/= (/) ) )
57	45, 49, 56	exlimd 2017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ( E. i i e. A -> ran V =/= (/) ) )
58	43, 57	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ran V =/= (/) )
59		nnssre 10635	. . . . . . 7 |- NN C_ RR
60	30, 59	syl6ss 3430	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ran V C_ RR )
61		fisupcl 8003	. . . . . 6 |- ( ( < Or RR /\ ( ran V e. Fin /\ ran V =/= (/) /\ ran V C_ RR ) ) -> sup ( ran V , RR , < ) e. ran V )
62	32, 39, 58, 60, 61	syl13anc 1294	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> sup ( ran V , RR , < ) e. ran V )
63	30, 62	sseldd 3419	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> sup ( ran V , RR , < ) e. NN )
64	9, 63	syl5eqel 2553	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> N e. NN )
65		fourierdlem31.r	. . . . 5 |- F/ r ph
66		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i RR
67		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i <
68	47, 66, 67	nfsup 7983	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i sup ( ran V , RR , < )
69	9, 68	nfcxfr 2610	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i N
70		nfcv 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i (,)
71		nfcv 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i +oo
72	69, 70, 71	nfov 6334	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ( N (,) +oo )
73	72	nfcri 2606	. . . . . . . 8 |- F/ i r e. ( N (,) +oo )
74	10, 73	nfan 2031	. . . . . . 7 |- F/ i ( ph /\ r e. ( N (,) +oo ) )
75	27	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. A /\ inf ( M , RR , < ) e. NN ) -> ( V ` i ) = inf ( M , RR , < ) )
76	50, 24, 75	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) = inf ( M , RR , < ) )
77	24	nnxrd 37426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( M , RR , < ) e. RR* )
78	76, 77	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) e. RR* )
79	78	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ( V ` i ) e. RR* )
80		pnfxr 11435	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> +oo e. RR* )
82		elioore 11691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. ( N (,) +oo ) -> r e. RR )
83	82	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> r e. RR )
84	76, 24	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) e. NN )
85	84	nnred 10646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) e. RR )
86	85	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
87		ne0i 3728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. A -> A =/= (/) )
88	87	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> A =/= (/) )
89	88	neneqd 2648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> -. A = (/) )
90	89, 64	syldan 478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> N e. NN )
91	90	nnred 10646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> N e. RR )
92	91	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> N e. RR )
93	89, 60	syldan 478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ran V C_ RR )
94	29, 59	syl6ss 3430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ran V C_ RR )
95		fimaxre2 10574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ran V C_ RR /\ ran V e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. ran V y <_ x )
96	94, 38, 95	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. ran V y <_ x )
97	96	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> E. x e. RR A. y e. ran V y <_ x )
98	76, 52	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) e. ran V )
99		suprub 10592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ran V C_ RR /\ ran V =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. ran V y <_ x ) /\ ( V ` i ) e. ran V ) -> ( V ` i ) <_ sup ( ran V , RR , < ) )
100	93, 54, 97, 98, 99	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) <_ sup ( ran V , RR , < ) )
101	100, 9	syl6breqr 4436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) <_ N )
102	101	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ( V ` i ) <_ N )
103	92	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> N e. RR* )
104		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> r e. ( N (,) +oo ) )
105		ioogtlb 37688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR* /\ +oo e. RR* /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> N < r )
106	103, 81, 104, 105	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> N < r )
107	86, 92, 83, 102, 106	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ( V ` i ) < r )
108	83	ltpnfd 11446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> r < +oo )
109	79, 81, 83, 107, 108	eliood 37691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) )
110	13, 22	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( M , RR , < ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } )
111	76, 110	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } )
112		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ m A
113		nfrab1 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ m { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch }
114	11, 113	nfcxfr 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m M
115		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m RR
116		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m <
117	114, 115, 116	nfinf 8016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ minf ( M , RR , < )
118	112, 117	nfmpt 4484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ m ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) )
119	27, 118	nfcxfr 2610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ m V
120		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ m i
121	119, 120	nffv 5886	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ m ( V ` i )
122	121, 113	nfel 2624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch }
123	121	nfel1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ m ( V ` i ) e. NN
124		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m (,)
125		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m +oo
126	121, 124, 125	nfov 6334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ m ( ( V ` i ) (,) +oo )
127		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ m ch
128	126, 127	nfral 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ m A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch
129	123, 128	nfan 2031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch )
130	122, 129	nfbi 2037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ m ( ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) )
131		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = ( V ` i ) -> ( m e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } ) )
132		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = ( V ` i ) -> ( m e. NN <-> ( V ` i ) e. NN ) )
133		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = ( V ` i ) -> ( m (,) +oo ) = ( ( V ` i ) (,) +oo ) )
134		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ r ( m (,) +oo )
135		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ r A
136		nfra1 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/ r A. r e. ( m (,) +oo ) ch
137		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/_ r NN
138	136, 137	nfrab 2958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ r { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch }
139	11, 138	nfcxfr 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ r M
140		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ r RR
141		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ r <
142	139, 140, 141	nfinf 8016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ rinf ( M , RR , < )
143	135, 142	nfmpt 4484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ r ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) )
144	27, 143	nfcxfr 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ r V
145		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ r i
146	144, 145	nffv 5886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ r ( V ` i )
147		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ r (,)
148		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ r +oo
149	146, 147, 148	nfov 6334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ r ( ( V ` i ) (,) +oo )
150	134, 149	raleqf 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m (,) +oo ) = ( ( V ` i ) (,) +oo ) -> ( A. r e. ( m (,) +oo ) ch <-> A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) )
151	133, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = ( V ` i ) -> ( A. r e. ( m (,) +oo ) ch <-> A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) )
152	132, 151	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = ( V ` i ) -> ( ( m e. NN /\ A. r e. ( m (,) +oo ) ch ) <-> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) ) )
153	131, 152	bibi12d 328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( V ` i ) -> ( ( m e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( m e. NN /\ A. r e. ( m (,) +oo ) ch ) ) <-> ( ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) ) ) )
154		rabid 2953	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( m e. NN /\ A. r e. ( m (,) +oo ) ch ) )
155	121, 130, 153, 154	vtoclgf 3091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( V ` i ) e. NN -> ( ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) ) )
156	84, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) ) )
157	111, 156	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) )
158	157	simprd 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch )
159	158	r19.21bi 2776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ) -> ch )
160	109, 159	syldan 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ch )
161	160	an32s 821	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. ( N (,) +oo ) ) /\ i e. A ) -> ch )
162	161	ex 441	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ( i e. A -> ch ) )
163	74, 162	ralrimi 2800	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> A. i e. A ch )
164	163	ex 441	. . . . 5 |- ( ph -> ( r e. ( N (,) +oo ) -> A. i e. A ch ) )
165	65, 164	ralrimi 2800	. . . 4 |- ( ph -> A. r e. ( N (,) +oo ) A. i e. A ch )
166	165	adantr 472	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> A. r e. ( N (,) +oo ) A. i e. A ch )
167		oveq1 6315	. . . . 5 |- ( n = N -> ( n (,) +oo ) = ( N (,) +oo ) )
168		nfcv 2612	. . . . . 6 |- F/_ r ( n (,) +oo )
169	144	nfrn 5083	. . . . . . . . 9 |- F/_ r ran V
170	169, 140, 141	nfsup 7983	. . . . . . . 8 |- F/_ r sup ( ran V , RR , < )
171	9, 170	nfcxfr 2610	. . . . . . 7 |- F/_ r N
172	171, 147, 148	nfov 6334	. . . . . 6 |- F/_ r ( N (,) +oo )
173	168, 172	raleqf 2969	. . . . 5 |- ( ( n (,) +oo ) = ( N (,) +oo ) -> ( A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch <-> A. r e. ( N (,) +oo ) A. i e. A ch ) )
174	167, 173	syl 17	. . . 4 |- ( n = N -> ( A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch <-> A. r e. ( N (,) +oo ) A. i e. A ch ) )
175	174	rspcev 3136	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A. r e. ( N (,) +oo ) A. i e. A ch ) -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )
176	64, 166, 175	syl2anc 673	. 2 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )
177	8, 176	pm2.61dan 808	1 |- ( ph -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   E.wex 1671   F/wnf 1675   e. wcel 1904   F/_wnfc 2599   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   Or wor 4759   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972  infcinf 7973   RRcr 9556   1c1 9558   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   NNcn 10631   ZZ>=cuz 11182   (,)cioo 11660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-ioo 11664

This theorem is referenced by:  fourierdlem73  38155