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Theorem fourierdlem30 38111
Description: Sum of three small pieces is less than ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem30.ibl  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( F  x.  -u G
) )  e.  L^1 )
fourierlemreimleblemlte22.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  CC )
fourierdlem30.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G  e.  CC )
fourierdlem30.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
fourierdlem30.x  |-  X  =  ( abs `  A
)
fourierdlem30.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fourierdlem30.y  |-  Y  =  ( abs `  C
)
fourierdlem30.z  |-  Z  =  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )
fourierdlem30.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
fourierdlem30.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
fourierdlem30.ler  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  <_  R )
fourierdlem30.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
fourierdlem30.12  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  <_  1 )
fourierdlem30.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
fourierdlem30.14  |-  ( ph  ->  ( abs `  D
)  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem30  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x ) )  <  E )
Distinct variable groups:    x, I    x, R    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)    D( x)    E( x)    F( x)    G( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem fourierdlem30
StepHypRef Expression
1 fourierdlem30.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2 fourierdlem30.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
32recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
4 0red 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
5 1red 9676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
6 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
8 fourierdlem30.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X  =  ( abs `  A
)
9 fourierdlem30.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
109abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
118, 10syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
12 fourierdlem30.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Y  =  ( abs `  C
)
13 fourierdlem30.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1413abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
1512, 14syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
1611, 15readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X  +  Y
)  e.  RR )
17 fourierdlem30.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Z  =  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )
18 fourierlemreimleblemlte22.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  CC )
19 fourierdlem30.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G  e.  CC )
2019negcld 9992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  -u G  e.  CC )
2118, 20mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F  x.  -u G )  e.  CC )
22 fourierdlem30.ibl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( F  x.  -u G
) )  e.  L^1 )
2321, 22itgcl 22820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  S. I ( F  x.  -u G )  _d x  e.  CC )
2423abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  e.  RR )
2517, 24syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
2616, 25readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  RR )
27 fourierdlem30.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
2827rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
2927rpne0d 11369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
3026, 28, 29redivcld 10457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  e.  RR )
3130, 5readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  e.  RR )
329absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
3332, 8syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  X )
3413absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  C ) )
3534, 12syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  Y )
3611, 15, 33, 35addge0d 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  +  Y ) )
3723absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )
3837, 17syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  <_  Z )
3916, 25, 36, 38addge0d 10210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
4026, 27, 39divge0d 11401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E ) )
415, 30addge02d 10223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  <->  1  <_  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) ) )
4240, 41mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )
43 fourierdlem30.ler . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  <_  R )
445, 31, 2, 42, 43letrd 9809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  R )
454, 5, 2, 7, 44ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  R )
4645gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  =/=  0 )
471, 3, 46divnegd 10418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( B  /  R )  =  (
-u B  /  R
) )
4847oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  x.  -u ( B  /  R ) )  =  ( A  x.  ( -u B  /  R
) ) )
491negcld 9992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u B  e.  CC )
509, 49, 3, 46divassd 10440 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  -u B )  /  R
)  =  ( A  x.  ( -u B  /  R ) ) )
5148, 50eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  -u ( B  /  R ) )  =  ( ( A  x.  -u B )  /  R ) )
52 fourierdlem30.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
5352, 3, 46divnegd 10418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( D  /  R )  =  (
-u D  /  R
) )
5453oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  x.  -u ( D  /  R ) )  =  ( C  x.  ( -u D  /  R
) ) )
5552negcld 9992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u D  e.  CC )
5613, 55, 3, 46divassd 10440 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  -u D )  /  R
)  =  ( C  x.  ( -u D  /  R ) ) )
5754, 56eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  x.  -u ( D  /  R ) )  =  ( ( C  x.  -u D )  /  R ) )
5851, 57oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  =  ( ( ( A  x.  -u B
)  /  R )  -  ( ( C  x.  -u D )  /  R ) ) )
599, 49mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  -u B
)  e.  CC )
6013, 55mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  x.  -u D
)  e.  CC )
6159, 60, 3, 46divsubdird 10444 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) )  /  R
)  =  ( ( ( A  x.  -u B
)  /  R )  -  ( ( C  x.  -u D )  /  R ) ) )
6258, 61eqtr4d 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  =  ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  /  R ) )
633, 46reccld 10398 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  R
)  e.  CC )
6463, 21, 22itgmulc2 22870 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  R )  x.  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  =  S. I
( ( 1  /  R )  x.  ( F  x.  -u G ) )  _d x )
6523, 3, 46divrec2d 10409 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S. I ( F  x.  -u G
)  _d x  /  R )  =  ( ( 1  /  R
)  x.  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )
663adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  CC )
6746adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  =/=  0 )
6819, 66, 67divnegd 10418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  -u ( G  /  R )  =  ( -u G  /  R ) )
6968oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F  x.  -u ( G  /  R ) )  =  ( F  x.  ( -u G  /  R
) ) )
7018, 20, 66, 67divassd 10440 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F  x.  -u G
)  /  R )  =  ( F  x.  ( -u G  /  R
) ) )
7121, 66, 67divrec2d 10409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F  x.  -u G
)  /  R )  =  ( ( 1  /  R )  x.  ( F  x.  -u G
) ) )
7269, 70, 713eqtr2d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F  x.  -u ( G  /  R ) )  =  ( ( 1  /  R )  x.  ( F  x.  -u G
) ) )
7372itgeq2dv 22818 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. I ( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x  =  S. I
( ( 1  /  R )  x.  ( F  x.  -u G ) )  _d x )
7464, 65, 733eqtr4rd 2516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. I ( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x  =  ( S. I ( F  x.  -u G )  _d x  /  R ) )
7562, 74oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  -u ( B  /  R ) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x )  =  ( ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  /  R )  -  ( S. I ( F  x.  -u G )  _d x  /  R ) ) )
7659, 60subcld 10005 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  e.  CC )
7776, 23, 3, 46divsubdird 10444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I ( F  x.  -u G
)  _d x )  /  R )  =  ( ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  /  R )  -  ( S. I ( F  x.  -u G )  _d x  /  R ) ) )
7875, 77eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  -u ( B  /  R ) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x )  =  ( ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I ( F  x.  -u G
)  _d x )  /  R ) )
7978fveq2d 5883 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x ) )  =  ( abs `  (
( ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) )  -  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  /  R ) ) )
8076, 23subcld 10005 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) )  -  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  e.  CC )
8180, 3, 46absdivd 13594 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) )  -  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  /  R ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I ( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  ( abs `  R ) ) )
824, 2, 45ltled 9800 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
832, 82absidd 13561 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  R
)  =  R )
8483oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  ( abs `  R ) )  =  ( ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R ) )
8579, 81, 843eqtrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) )  -  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  R
) )
8680abscld 13575 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  e.  RR )
8786, 2, 46redivcld 10457 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  e.  RR )
8810, 14readdcld 9688 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  e.  RR )
8988, 24readdcld 9688 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  e.  RR )
9089, 2, 46redivcld 10457 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  e.  RR )
912, 45elrpd 11361 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
9276abscld 13575 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) ) )  e.  RR )
9392, 24readdcld 9688 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  e.  RR )
9476, 23abs2dif2d 13597 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) ) )
9559abscld 13575 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  e.  RR )
9660abscld 13575 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  x.  -u D ) )  e.  RR )
9795, 96readdcld 9688 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  +  ( abs `  ( C  x.  -u D
) ) )  e.  RR )
9859, 60abs2dif2d 13597 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  +  ( abs `  ( C  x.  -u D ) ) ) )
999, 49absmuld 13593 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  -u B
) ) )
10049abscld 13575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u B
)  e.  RR )
1011absnegd 13588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u B
)  =  ( abs `  B ) )
102 fourierdlem30.12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  <_  1 )
103101, 102eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u B
)  <_  1 )
104100, 5, 10, 32, 103lemul2ad 10569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  -u B ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  1 ) )
10510recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
106105mulid1d 9678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  1 )  =  ( abs `  A
) )
107104, 106breqtrd 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  -u B ) )  <_  ( abs `  A
) )
10899, 107eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  <_  ( abs `  A ) )
10913, 55absmuld 13593 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  x.  -u D ) )  =  ( ( abs `  C )  x.  ( abs `  -u D
) ) )
11055abscld 13575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u D
)  e.  RR )
11152absnegd 13588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u D
)  =  ( abs `  D ) )
112 fourierdlem30.14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  D
)  <_  1 )
113111, 112eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u D
)  <_  1 )
114110, 5, 14, 34, 113lemul2ad 10569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  -u D ) )  <_  ( ( abs `  C )  x.  1 ) )
11514recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  CC )
116115mulid1d 9678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  1 )  =  ( abs `  C
) )
117114, 116breqtrd 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  -u D ) )  <_  ( abs `  C
) )
118109, 117eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  x.  -u D ) )  <_  ( abs `  C ) )
11995, 96, 10, 14, 108, 118le2addd 10253 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  +  ( abs `  ( C  x.  -u D
) ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) ) )
12092, 97, 88, 98, 119letrd 9809 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) ) )
12192, 88, 24, 120leadd1dd 10248 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  <_ 
( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) ) )
12286, 93, 89, 94, 121letrd 9809 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  <_  ( (
( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) ) )
12386, 89, 91, 122lediv1dd 11419 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  <_  ( ( ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  R
) )
12430ltp1d 10559 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  <  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )
1254, 30, 31, 40, 124lelttrd 9810 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )
126125gt0ne0d 10199 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  =/=  0 )
12789, 31, 126redivcld 10457 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )  e.  RR )
12830, 40ge0p1rpd 11391 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  e.  RR+ )
1298eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  A )  =  X
13012eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  C )  =  Y
131129, 130oveq12i 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  =  ( X  +  Y )
13217eqcomi 2480 . . . . . . 7  |-  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  =  Z
133131, 132oveq12i 6320 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  =  ( ( X  +  Y
)  +  Z )
13439, 133syl6breqr 4436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) ) )
135128, 91, 89, 134, 43lediv2ad 11386 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  <_  ( ( ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) ) )
136133oveq1i 6318 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  =  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )
137 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  =  0  ->  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )  =  ( 0  / 
( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) ) )
138137adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  =  ( 0  /  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) ) )
13930recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  e.  CC )
1405recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
141139, 140addcld 9680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  e.  CC )
142141adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 )  e.  CC )
143 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  =  0  ->  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  =  ( 0  /  E ) )
144143adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  =  ( 0  /  E
) )
14527rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
146145adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  E  e.  CC )
14729adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  E  =/=  0 )
148146, 147div0d 10404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( 0  /  E )  =  0 )
149144, 148eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  =  0 )
150149oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
151 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
152150, 151syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 )  =  1 )
153 ax-1ne0 9626 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  0
154153a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  1  =/=  0 )
155152, 154eqnetrd 2710 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 )  =/=  0 )
156142, 155div0d 10404 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( 0  /  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  =  0 )
157138, 156eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  =  0 )
15827rpgt0d 11367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  E )
159158adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  0  <  E )
160157, 159eqbrtrd 4416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  < 
E )
16126adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  RR )
16227adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  ->  E  e.  RR+ )
16339adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
0  <_  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
164 neqne 2651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  =  0  -> 
( ( X  +  Y )  +  Z
)  =/=  0 )
165164adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( X  +  Y )  +  Z
)  =/=  0 )
166161, 163, 165ne0gt0d 9789 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
0  <  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
167161, 166elrpd 11361 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  RR+ )
168167, 162rpdivcld 11381 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  e.  RR+ )
169 1rp 11329 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
170169a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
1  e.  RR+ )
171168, 170rpaddcld 11379 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  e.  RR+ )
172124adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  <  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )
173161, 162, 171, 172ltdiv23d 11426 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  <  E )
174160, 173pm2.61dan 808 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  <  E )
175136, 174syl5eqbr 4429 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )  <  E )
17690, 127, 28, 135, 175lelttrd 9810 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  <  E )
17787, 90, 28, 123, 176lelttrd 9810 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  <  E )
17885, 177eqbrtrd 4416 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x ) )  <  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   RR+crp 11325   abscabs 13374   L^1cibl 22654   S.citg 22655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707
This theorem is referenced by:  fourierdlem47  38129
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