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Theorem fourierdlem30 37999
Description: Sum of three small pieces is less than ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem30.ibl  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( F  x.  -u G
) )  e.  L^1 )
fourierlemreimleblemlte22.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  CC )
fourierdlem30.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G  e.  CC )
fourierdlem30.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
fourierdlem30.x  |-  X  =  ( abs `  A
)
fourierdlem30.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fourierdlem30.y  |-  Y  =  ( abs `  C
)
fourierdlem30.z  |-  Z  =  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )
fourierdlem30.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
fourierdlem30.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
fourierdlem30.ler  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  <_  R )
fourierdlem30.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
fourierdlem30.12  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  <_  1 )
fourierdlem30.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
fourierdlem30.14  |-  ( ph  ->  ( abs `  D
)  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem30  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x ) )  <  E )
Distinct variable groups:    x, I    x, R    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)    D( x)    E( x)    F( x)    G( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem fourierdlem30
StepHypRef Expression
1 fourierdlem30.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2 fourierdlem30.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
32recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
4 0red 9644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
5 1red 9658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
6 0lt1 10136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
8 fourierdlem30.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X  =  ( abs `  A
)
9 fourierdlem30.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
109abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
118, 10syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
12 fourierdlem30.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Y  =  ( abs `  C
)
13 fourierdlem30.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1413abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
1512, 14syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
1611, 15readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X  +  Y
)  e.  RR )
17 fourierdlem30.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Z  =  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )
18 fourierlemreimleblemlte22.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  CC )
19 fourierdlem30.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G  e.  CC )
2019negcld 9973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  -u G  e.  CC )
2118, 20mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F  x.  -u G )  e.  CC )
22 fourierdlem30.ibl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( F  x.  -u G
) )  e.  L^1 )
2321, 22itgcl 22741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  S. I ( F  x.  -u G )  _d x  e.  CC )
2423abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  e.  RR )
2517, 24syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
2616, 25readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  RR )
27 fourierdlem30.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
2827rpred 11341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
2927rpne0d 11346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
3026, 28, 29redivcld 10435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  e.  RR )
3130, 5readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  e.  RR )
329absge0d 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
3332, 8syl6breqr 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  X )
3413absge0d 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  C ) )
3534, 12syl6breqr 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  Y )
3611, 15, 33, 35addge0d 10189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  +  Y ) )
3723absge0d 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )
3837, 17syl6breqr 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  <_  Z )
3916, 25, 36, 38addge0d 10189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
4026, 27, 39divge0d 11378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E ) )
415, 30addge02d 10202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  <->  1  <_  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) ) )
4240, 41mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )
43 fourierdlem30.ler . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  <_  R )
445, 31, 2, 42, 43letrd 9792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  R )
454, 5, 2, 7, 44ltletrd 9795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  R )
4645gt0ne0d 10178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  =/=  0 )
471, 3, 46divnegd 10396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( B  /  R )  =  (
-u B  /  R
) )
4847oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  x.  -u ( B  /  R ) )  =  ( A  x.  ( -u B  /  R
) ) )
491negcld 9973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u B  e.  CC )
509, 49, 3, 46divassd 10418 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  -u B )  /  R
)  =  ( A  x.  ( -u B  /  R ) ) )
5148, 50eqtr4d 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  -u ( B  /  R ) )  =  ( ( A  x.  -u B )  /  R ) )
52 fourierdlem30.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
5352, 3, 46divnegd 10396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( D  /  R )  =  (
-u D  /  R
) )
5453oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  x.  -u ( D  /  R ) )  =  ( C  x.  ( -u D  /  R
) ) )
5552negcld 9973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u D  e.  CC )
5613, 55, 3, 46divassd 10418 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  -u D )  /  R
)  =  ( C  x.  ( -u D  /  R ) ) )
5754, 56eqtr4d 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  x.  -u ( D  /  R ) )  =  ( ( C  x.  -u D )  /  R ) )
5851, 57oveq12d 6308 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  =  ( ( ( A  x.  -u B
)  /  R )  -  ( ( C  x.  -u D )  /  R ) ) )
599, 49mulcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  -u B
)  e.  CC )
6013, 55mulcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  x.  -u D
)  e.  CC )
6159, 60, 3, 46divsubdird 10422 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) )  /  R
)  =  ( ( ( A  x.  -u B
)  /  R )  -  ( ( C  x.  -u D )  /  R ) ) )
6258, 61eqtr4d 2488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  =  ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  /  R ) )
633, 46reccld 10376 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  R
)  e.  CC )
6463, 21, 22itgmulc2 22791 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  R )  x.  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  =  S. I
( ( 1  /  R )  x.  ( F  x.  -u G ) )  _d x )
6523, 3, 46divrec2d 10387 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S. I ( F  x.  -u G
)  _d x  /  R )  =  ( ( 1  /  R
)  x.  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )
663adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  CC )
6746adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  =/=  0 )
6819, 66, 67divnegd 10396 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  -u ( G  /  R )  =  ( -u G  /  R ) )
6968oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F  x.  -u ( G  /  R ) )  =  ( F  x.  ( -u G  /  R
) ) )
7018, 20, 66, 67divassd 10418 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F  x.  -u G
)  /  R )  =  ( F  x.  ( -u G  /  R
) ) )
7121, 66, 67divrec2d 10387 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F  x.  -u G
)  /  R )  =  ( ( 1  /  R )  x.  ( F  x.  -u G
) ) )
7269, 70, 713eqtr2d 2491 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F  x.  -u ( G  /  R ) )  =  ( ( 1  /  R )  x.  ( F  x.  -u G
) ) )
7372itgeq2dv 22739 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. I ( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x  =  S. I
( ( 1  /  R )  x.  ( F  x.  -u G ) )  _d x )
7464, 65, 733eqtr4rd 2496 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. I ( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x  =  ( S. I ( F  x.  -u G )  _d x  /  R ) )
7562, 74oveq12d 6308 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  -u ( B  /  R ) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x )  =  ( ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  /  R )  -  ( S. I ( F  x.  -u G )  _d x  /  R ) ) )
7659, 60subcld 9986 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  e.  CC )
7776, 23, 3, 46divsubdird 10422 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I ( F  x.  -u G
)  _d x )  /  R )  =  ( ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  /  R )  -  ( S. I ( F  x.  -u G )  _d x  /  R ) ) )
7875, 77eqtr4d 2488 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  -u ( B  /  R ) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x )  =  ( ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I ( F  x.  -u G
)  _d x )  /  R ) )
7978fveq2d 5869 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x ) )  =  ( abs `  (
( ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) )  -  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  /  R ) ) )
8076, 23subcld 9986 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) )  -  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  e.  CC )
8180, 3, 46absdivd 13517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) )  -  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  /  R ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I ( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  ( abs `  R ) ) )
824, 2, 45ltled 9783 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
832, 82absidd 13484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  R
)  =  R )
8483oveq2d 6306 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  ( abs `  R ) )  =  ( ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R ) )
8579, 81, 843eqtrd 2489 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) )  -  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  R
) )
8680abscld 13498 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  e.  RR )
8786, 2, 46redivcld 10435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  e.  RR )
8810, 14readdcld 9670 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  e.  RR )
8988, 24readdcld 9670 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  e.  RR )
9089, 2, 46redivcld 10435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  e.  RR )
912, 45elrpd 11338 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
9276abscld 13498 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) ) )  e.  RR )
9392, 24readdcld 9670 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  e.  RR )
9476, 23abs2dif2d 13520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) ) )
9559abscld 13498 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  e.  RR )
9660abscld 13498 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  x.  -u D ) )  e.  RR )
9795, 96readdcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  +  ( abs `  ( C  x.  -u D
) ) )  e.  RR )
9859, 60abs2dif2d 13520 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  +  ( abs `  ( C  x.  -u D ) ) ) )
999, 49absmuld 13516 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  -u B
) ) )
10049abscld 13498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u B
)  e.  RR )
1011absnegd 13511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u B
)  =  ( abs `  B ) )
102 fourierdlem30.12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  <_  1 )
103101, 102eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u B
)  <_  1 )
104100, 5, 10, 32, 103lemul2ad 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  -u B ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  1 ) )
10510recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
106105mulid1d 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  1 )  =  ( abs `  A
) )
107104, 106breqtrd 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  -u B ) )  <_  ( abs `  A
) )
10899, 107eqbrtrd 4423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  <_  ( abs `  A ) )
10913, 55absmuld 13516 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  x.  -u D ) )  =  ( ( abs `  C )  x.  ( abs `  -u D
) ) )
11055abscld 13498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u D
)  e.  RR )
11152absnegd 13511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u D
)  =  ( abs `  D ) )
112 fourierdlem30.14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  D
)  <_  1 )
113111, 112eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u D
)  <_  1 )
114110, 5, 14, 34, 113lemul2ad 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  -u D ) )  <_  ( ( abs `  C )  x.  1 ) )
11514recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  CC )
116115mulid1d 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  1 )  =  ( abs `  C
) )
117114, 116breqtrd 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  -u D ) )  <_  ( abs `  C
) )
118109, 117eqbrtrd 4423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  x.  -u D ) )  <_  ( abs `  C ) )
11995, 96, 10, 14, 108, 118le2addd 10232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  +  ( abs `  ( C  x.  -u D
) ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) ) )
12092, 97, 88, 98, 119letrd 9792 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) ) )
12192, 88, 24, 120leadd1dd 10227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  <_ 
( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) ) )
12286, 93, 89, 94, 121letrd 9792 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  <_  ( (
( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) ) )
12386, 89, 91, 122lediv1dd 11396 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  <_  ( ( ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  R
) )
12430ltp1d 10537 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  <  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )
1254, 30, 31, 40, 124lelttrd 9793 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )
126125gt0ne0d 10178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  =/=  0 )
12789, 31, 126redivcld 10435 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )  e.  RR )
12830, 40ge0p1rpd 11368 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  e.  RR+ )
1298eqcomi 2460 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  A )  =  X
13012eqcomi 2460 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  C )  =  Y
131129, 130oveq12i 6302 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  =  ( X  +  Y )
13217eqcomi 2460 . . . . . . 7  |-  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  =  Z
133131, 132oveq12i 6302 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  =  ( ( X  +  Y
)  +  Z )
13439, 133syl6breqr 4443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) ) )
135128, 91, 89, 134, 43lediv2ad 11363 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  <_  ( ( ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) ) )
136133oveq1i 6300 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  =  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )
137 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  =  0  ->  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )  =  ( 0  / 
( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) ) )
138137adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  =  ( 0  /  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) ) )
13930recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  e.  CC )
1405recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
141139, 140addcld 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  e.  CC )
142141adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 )  e.  CC )
143 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  =  0  ->  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  =  ( 0  /  E ) )
144143adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  =  ( 0  /  E
) )
14527rpcnd 11343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
146145adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  E  e.  CC )
14729adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  E  =/=  0 )
148146, 147div0d 10382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( 0  /  E )  =  0 )
149144, 148eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  =  0 )
150149oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
151 0p1e1 10721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
152150, 151syl6eq 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 )  =  1 )
153 ax-1ne0 9608 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  0
154153a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  1  =/=  0 )
155152, 154eqnetrd 2691 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 )  =/=  0 )
156142, 155div0d 10382 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( 0  /  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  =  0 )
157138, 156eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  =  0 )
15827rpgt0d 11344 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  E )
159158adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  0  <  E )
160157, 159eqbrtrd 4423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  < 
E )
16126adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  RR )
16227adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  ->  E  e.  RR+ )
16339adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
0  <_  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
164 neqne 37374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  =  0  -> 
( ( X  +  Y )  +  Z
)  =/=  0 )
165164adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( X  +  Y )  +  Z
)  =/=  0 )
166161, 163, 165ne0gt0d 9772 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
0  <  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
167161, 166elrpd 11338 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  RR+ )
168167, 162rpdivcld 11358 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  e.  RR+ )
169 1rp 11306 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
170169a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
1  e.  RR+ )
171168, 170rpaddcld 11356 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  e.  RR+ )
172124adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  <  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )
173161, 162, 171, 172ltdiv23d 11403 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  <  E )
174160, 173pm2.61dan 800 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  <  E )
175136, 174syl5eqbr 4436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )  <  E )
17690, 127, 28, 135, 175lelttrd 9793 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  <  E )
17787, 90, 28, 123, 176lelttrd 9793 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  <  E )
17885, 177eqbrtrd 4423 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x ) )  <  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   RR+crp 11302   abscabs 13297   L^1cibl 22575   S.citg 22576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628
This theorem is referenced by:  fourierdlem47  38017
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