Theorem fourierdlem30 37999

Description: Sum of three small pieces is less than ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem30.ibl	|- ( ph -> ( x e. I |-> ( F x. -u G ) ) e. L^1 )
fourierlemreimleblemlte22.f	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> F e. CC )
fourierdlem30.g	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> G e. CC )
fourierdlem30.a	|- ( ph -> A e. CC )
fourierdlem30.x	|- X = ( abs ` A )
fourierdlem30.c	|- ( ph -> C e. CC )
fourierdlem30.y	|- Y = ( abs ` C )
fourierdlem30.z	|- Z = ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x )
fourierdlem30.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
fourierdlem30.r	|- ( ph -> R e. RR )
fourierdlem30.ler	|- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) <_ R )
fourierdlem30.b	|- ( ph -> B e. CC )
fourierdlem30.12	|- ( ph -> ( abs ` B ) <_ 1 )
fourierdlem30.d	|- ( ph -> D e. CC )
fourierdlem30.14	|- ( ph -> ( abs ` D ) <_ 1 )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem30	|- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) ) < E )

Distinct variable groups:   x, I   x, R   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)   E( x)   F( x)   G( x)   X( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem fourierdlem30

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem30.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
2		fourierdlem30.r	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R e. RR )
3	2	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CC )
4		0red 9644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. RR )
5		1red 9658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. RR )
6		0lt1 10136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < 1 )
8		fourierdlem30.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X = ( abs ` A )
9		fourierdlem30.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. CC )
10	9	abscld 13498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
11	8, 10	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> X e. RR )
12		fourierdlem30.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Y = ( abs ` C )
13		fourierdlem30.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> C e. CC )
14	13	abscld 13498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
15	12, 14	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Y e. RR )
16	11, 15	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( X + Y ) e. RR )
17		fourierdlem30.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Z = ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x )
18		fourierlemreimleblemlte22.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> F e. CC )
19		fourierdlem30.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> G e. CC )
20	19	negcld 9973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> -u G e. CC )
21	18, 20	mulcld 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F x. -u G ) e. CC )
22		fourierdlem30.ibl	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( F x. -u G ) ) e. L^1 )
23	21, 22	itgcl 22741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> S. I ( F x. -u G ) _d x e. CC )
24	23	abscld 13498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) e. RR )
25	17, 24	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Z e. RR )
26	16, 25	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( X + Y ) + Z ) e. RR )
27		fourierdlem30.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> E e. RR+ )
28	27	rpred 11341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E e. RR )
29	27	rpne0d 11346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E =/= 0 )
30	26, 28, 29	redivcld 10435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) e. RR )
31	30, 5	readdcld 9670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. RR )
32	9	absge0d 13506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` A ) )
33	32, 8	syl6breqr 4443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 <_ X )
34	13	absge0d 13506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` C ) )
35	34, 12	syl6breqr 4443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 <_ Y )
36	11, 15, 33, 35	addge0d 10189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 0 <_ ( X + Y ) )
37	23	absge0d 13506	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) )
38	37, 17	syl6breqr 4443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 0 <_ Z )
39	16, 25, 36, 38	addge0d 10189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ ( ( X + Y ) + Z ) )
40	26, 27, 39	divge0d 11378	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) )
41	5, 30	addge02d 10202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) <-> 1 <_ ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
42	40, 41	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) )
43		fourierdlem30.ler	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) <_ R )
44	5, 31, 2, 42, 43	letrd 9792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 <_ R )
45	4, 5, 2, 7, 44	ltletrd 9795	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < R )
46	45	gt0ne0d 10178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R =/= 0 )
47	1, 3, 46	divnegd 10396	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( B / R ) = ( -u B / R ) )
48	47	oveq2d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A x. -u ( B / R ) ) = ( A x. ( -u B / R ) ) )
49	1	negcld 9973	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u B e. CC )
50	9, 49, 3, 46	divassd 10418	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A x. -u B ) / R ) = ( A x. ( -u B / R ) ) )
51	48, 50	eqtr4d 2488	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. -u ( B / R ) ) = ( ( A x. -u B ) / R ) )
52		fourierdlem30.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. CC )
53	52, 3, 46	divnegd 10396	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( D / R ) = ( -u D / R ) )
54	53	oveq2d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C x. -u ( D / R ) ) = ( C x. ( -u D / R ) ) )
55	52	negcld 9973	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u D e. CC )
56	13, 55, 3, 46	divassd 10418	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C x. -u D ) / R ) = ( C x. ( -u D / R ) ) )
57	54, 56	eqtr4d 2488	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C x. -u ( D / R ) ) = ( ( C x. -u D ) / R ) )
58	51, 57	oveq12d 6308	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) = ( ( ( A x. -u B ) / R ) - ( ( C x. -u D ) / R ) ) )
59	9, 49	mulcld 9663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. -u B ) e. CC )
60	13, 55	mulcld 9663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C x. -u D ) e. CC )
61	59, 60, 3, 46	divsubdird 10422	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) / R ) = ( ( ( A x. -u B ) / R ) - ( ( C x. -u D ) / R ) ) )
62	58, 61	eqtr4d 2488	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) = ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) / R ) )
63	3, 46	reccld 10376	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / R ) e. CC )
64	63, 21, 22	itgmulc2 22791	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / R ) x. S. I ( F x. -u G ) _d x ) = S. I ( ( 1 / R ) x. ( F x. -u G ) ) _d x )
65	23, 3, 46	divrec2d 10387	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S. I ( F x. -u G ) _d x / R ) = ( ( 1 / R ) x. S. I ( F x. -u G ) _d x ) )
66	3	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. CC )
67	46	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R =/= 0 )
68	19, 66, 67	divnegd 10396	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> -u ( G / R ) = ( -u G / R ) )
69	68	oveq2d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F x. -u ( G / R ) ) = ( F x. ( -u G / R ) ) )
70	18, 20, 66, 67	divassd 10418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( F x. -u G ) / R ) = ( F x. ( -u G / R ) ) )
71	21, 66, 67	divrec2d 10387	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( F x. -u G ) / R ) = ( ( 1 / R ) x. ( F x. -u G ) ) )
72	69, 70, 71	3eqtr2d 2491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F x. -u ( G / R ) ) = ( ( 1 / R ) x. ( F x. -u G ) ) )
73	72	itgeq2dv 22739	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x = S. I ( ( 1 / R ) x. ( F x. -u G ) ) _d x )
74	64, 65, 73	3eqtr4rd 2496	. . . . . 6 |- ( ph -> S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x = ( S. I ( F x. -u G ) _d x / R ) )
75	62, 74	oveq12d 6308	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) = ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) / R ) - ( S. I ( F x. -u G ) _d x / R ) ) )
76	59, 60	subcld 9986	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) e. CC )
77	76, 23, 3, 46	divsubdird 10422	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) / R ) = ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) / R ) - ( S. I ( F x. -u G ) _d x / R ) ) )
78	75, 77	eqtr4d 2488	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) = ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) / R ) )
79	78	fveq2d 5869	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) ) = ( abs ` ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) / R ) ) )
80	76, 23	subcld 9986	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) e. CC )
81	80, 3, 46	absdivd 13517	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) / R ) ) = ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( abs ` R ) ) )
82	4, 2, 45	ltled 9783	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ R )
83	2, 82	absidd 13484	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` R ) = R )
84	83	oveq2d 6306	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( abs ` R ) ) = ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) )
85	79, 81, 84	3eqtrd 2489	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) ) = ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) )
86	80	abscld 13498	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) e. RR )
87	86, 2, 46	redivcld 10435	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) e. RR )
88	10, 14	readdcld 9670	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) e. RR )
89	88, 24	readdcld 9670	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) e. RR )
90	89, 2, 46	redivcld 10435	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) e. RR )
91	2, 45	elrpd 11338	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR+ )
92	76	abscld 13498	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) e. RR )
93	92, 24	readdcld 9670	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) e. RR )
94	76, 23	abs2dif2d 13520	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) <_ ( ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) )
95	59	abscld 13498	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( A x. -u B ) ) e. RR )
96	60	abscld 13498	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( C x. -u D ) ) e. RR )
97	95, 96	readdcld 9670	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( A x. -u B ) ) + ( abs ` ( C x. -u D ) ) ) e. RR )
98	59, 60	abs2dif2d 13520	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A x. -u B ) ) + ( abs ` ( C x. -u D ) ) ) )
99	9, 49	absmuld 13516	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( A x. -u B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` -u B ) ) )
100	49	abscld 13498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u B ) e. RR )
101	1	absnegd 13511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` -u B ) = ( abs ` B ) )
102		fourierdlem30.12	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` B ) <_ 1 )
103	101, 102	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u B ) <_ 1 )
104	100, 5, 10, 32, 103	lemul2ad 10547	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` -u B ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. 1 ) )
105	10	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
106	105	mulid1d 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) x. 1 ) = ( abs ` A ) )
107	104, 106	breqtrd 4427	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` -u B ) ) <_ ( abs ` A ) )
108	99, 107	eqbrtrd 4423	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( A x. -u B ) ) <_ ( abs ` A ) )
109	13, 55	absmuld 13516	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( C x. -u D ) ) = ( ( abs ` C ) x. ( abs ` -u D ) ) )
110	55	abscld 13498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u D ) e. RR )
111	52	absnegd 13511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` -u D ) = ( abs ` D ) )
112		fourierdlem30.14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` D ) <_ 1 )
113	111, 112	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u D ) <_ 1 )
114	110, 5, 14, 34, 113	lemul2ad 10547	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) x. ( abs ` -u D ) ) <_ ( ( abs ` C ) x. 1 ) )
115	14	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. CC )
116	115	mulid1d 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) x. 1 ) = ( abs ` C ) )
117	114, 116	breqtrd 4427	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) x. ( abs ` -u D ) ) <_ ( abs ` C ) )
118	109, 117	eqbrtrd 4423	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( C x. -u D ) ) <_ ( abs ` C ) )
119	95, 96, 10, 14, 108, 118	le2addd 10232	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( A x. -u B ) ) + ( abs ` ( C x. -u D ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) )
120	92, 97, 88, 98, 119	letrd 9792	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) )
121	92, 88, 24, 120	leadd1dd 10227	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) )
122	86, 93, 89, 94, 121	letrd 9792	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) )
123	86, 89, 91, 122	lediv1dd 11396	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) )
124	30	ltp1d 10537	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) < ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) )
125	4, 30, 31, 40, 124	lelttrd 9793	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) )
126	125	gt0ne0d 10178	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) =/= 0 )
127	89, 31, 126	redivcld 10435	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) e. RR )
128	30, 40	ge0p1rpd 11368	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. RR+ )
129	8	eqcomi 2460	. . . . . . . 8 |- ( abs ` A ) = X
130	12	eqcomi 2460	. . . . . . . 8 |- ( abs ` C ) = Y
131	129, 130	oveq12i 6302	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) = ( X + Y )
132	17	eqcomi 2460	. . . . . . 7 |- ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) = Z
133	131, 132	oveq12i 6302	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) = ( ( X + Y ) + Z )
134	39, 133	syl6breqr 4443	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) )
135	128, 91, 89, 134, 43	lediv2ad 11363	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
136	133	oveq1i 6300	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) )
137		oveq1 6297	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X + Y ) + Z ) = 0 -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = ( 0 / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
138	137	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = ( 0 / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
139	30	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) e. CC )
140	5	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
141	139, 140	addcld 9662	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. CC )
142	141	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. CC )
143		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X + Y ) + Z ) = 0 -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) = ( 0 / E ) )
144	143	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) = ( 0 / E ) )
145	27	rpcnd 11343	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E e. CC )
146	145	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> E e. CC )
147	29	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> E =/= 0 )
148	146, 147	div0d 10382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( 0 / E ) = 0 )
149	144, 148	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) = 0 )
150	149	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
151		0p1e1 10721	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
152	150, 151	syl6eq 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) = 1 )
153		ax-1ne0 9608	. . . . . . . . . . 11 |- 1 =/= 0
154	153	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> 1 =/= 0 )
155	152, 154	eqnetrd 2691	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) =/= 0 )
156	142, 155	div0d 10382	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( 0 / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = 0 )
157	138, 156	eqtrd 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = 0 )
158	27	rpgt0d 11344	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < E )
159	158	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> 0 < E )
160	157, 159	eqbrtrd 4423	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) < E )
161	26	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( X + Y ) + Z ) e. RR )
162	27	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> E e. RR+ )
163	39	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> 0 <_ ( ( X + Y ) + Z ) )
164		neqne 37374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 -> ( ( X + Y ) + Z ) =/= 0 )
165	164	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( X + Y ) + Z ) =/= 0 )
166	161, 163, 165	ne0gt0d 9772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> 0 < ( ( X + Y ) + Z ) )
167	161, 166	elrpd 11338	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( X + Y ) + Z ) e. RR+ )
168	167, 162	rpdivcld 11358	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) e. RR+ )
169		1rp 11306	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
170	169	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> 1 e. RR+ )
171	168, 170	rpaddcld 11356	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. RR+ )
172	124	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) < ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) )
173	161, 162, 171, 172	ltdiv23d 11403	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) < E )
174	160, 173	pm2.61dan 800	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) < E )
175	136, 174	syl5eqbr 4436	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) < E )
176	90, 127, 28, 135, 175	lelttrd 9793	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) < E )
177	87, 90, 28, 123, 176	lelttrd 9793	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) < E )
178	85, 177	eqbrtrd 4423	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) ) < E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   -ucneg 9861   / cdiv 10269   RR+crp 11302   abscabs 13297   L^1cibl 22575   S.citg 22576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628

This theorem is referenced by:  fourierdlem47  38017