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Theorem fourierdlem30 32165
Description: Sum of three small pieces is less than ε (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem30.ibl  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( F  x.  -u G
) )  e.  L^1 )
fourierlemreimleblemlte22.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  CC )
fourierdlem30.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G  e.  CC )
fourierdlem30.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
fourierdlem30.x  |-  X  =  ( abs `  A
)
fourierdlem30.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fourierdlem30.y  |-  Y  =  ( abs `  C
)
fourierdlem30.z  |-  Z  =  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )
fourierdlem30.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
fourierdlem30.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
fourierdlem30.ler  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  <_  R )
fourierdlem30.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
fourierdlem30.12  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  <_  1 )
fourierdlem30.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
fourierdlem30.14  |-  ( ph  ->  ( abs `  D
)  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem30  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x ) )  <  E )
Distinct variable groups:    x, I    x, R    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)    D( x)    E( x)    F( x)    G( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem fourierdlem30
StepHypRef Expression
1 fourierdlem30.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2 fourierdlem30.r . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
32recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
4 0red 9614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
5 1red 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
6 0lt1 10096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
8 fourierdlem30.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X  =  ( abs `  A
)
9 fourierdlem30.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
109abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
118, 10syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
12 fourierdlem30.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Y  =  ( abs `  C
)
13 fourierdlem30.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1413abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
1512, 14syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
1611, 15readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X  +  Y
)  e.  RR )
17 fourierdlem30.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Z  =  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )
18 fourierlemreimleblemlte22.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  CC )
19 fourierdlem30.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G  e.  CC )
2019negcld 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  -u G  e.  CC )
2118, 20mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F  x.  -u G )  e.  CC )
22 fourierdlem30.ibl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( F  x.  -u G
) )  e.  L^1 )
2321, 22itgcl 22407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  S. I ( F  x.  -u G )  _d x  e.  CC )
2423abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  e.  RR )
2517, 24syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
2616, 25readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  RR )
27 fourierdlem30.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
2827rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
2927rpne0d 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
3026, 28, 29redivcld 10393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  e.  RR )
3130, 5readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  e.  RR )
329absge0d 13378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
3332, 8syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  X )
3413absge0d 13378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  C ) )
3534, 12syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  Y )
3611, 15, 33, 35addge0d 10149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  +  Y ) )
3723absge0d 13378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )
3837, 17syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  <_  Z )
3916, 25, 36, 38addge0d 10149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
4026, 27, 39divge0d 11317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E ) )
415, 30addge02d 10162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  <->  1  <_  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) ) )
4240, 41mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )
43 fourierdlem30.ler . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  <_  R )
445, 31, 2, 42, 43letrd 9756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  R )
454, 5, 2, 7, 44ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  R )
4645gt0ne0d 10138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  =/=  0 )
471, 3, 46divnegd 10354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( B  /  R )  =  (
-u B  /  R
) )
4847oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  x.  -u ( B  /  R ) )  =  ( A  x.  ( -u B  /  R
) ) )
491negcld 9937 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u B  e.  CC )
509, 49, 3, 46divassd 10376 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  -u B )  /  R
)  =  ( A  x.  ( -u B  /  R ) ) )
5148, 50eqtr4d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  -u ( B  /  R ) )  =  ( ( A  x.  -u B )  /  R ) )
52 fourierdlem30.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
5352, 3, 46divnegd 10354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( D  /  R )  =  (
-u D  /  R
) )
5453oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  x.  -u ( D  /  R ) )  =  ( C  x.  ( -u D  /  R
) ) )
5552negcld 9937 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u D  e.  CC )
5613, 55, 3, 46divassd 10376 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  -u D )  /  R
)  =  ( C  x.  ( -u D  /  R ) ) )
5754, 56eqtr4d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  x.  -u ( D  /  R ) )  =  ( ( C  x.  -u D )  /  R ) )
5851, 57oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  =  ( ( ( A  x.  -u B
)  /  R )  -  ( ( C  x.  -u D )  /  R ) ) )
599, 49mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  -u B
)  e.  CC )
6013, 55mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  x.  -u D
)  e.  CC )
6159, 60, 3, 46divsubdird 10380 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) )  /  R
)  =  ( ( ( A  x.  -u B
)  /  R )  -  ( ( C  x.  -u D )  /  R ) ) )
6258, 61eqtr4d 2501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  =  ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  /  R ) )
633, 46reccld 10334 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  R
)  e.  CC )
6463, 21, 22itgmulc2 22457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  R )  x.  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  =  S. I
( ( 1  /  R )  x.  ( F  x.  -u G ) )  _d x )
6523, 3, 46divrec2d 10345 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S. I ( F  x.  -u G
)  _d x  /  R )  =  ( ( 1  /  R
)  x.  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )
663adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  CC )
6746adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  =/=  0 )
6819, 66, 67divnegd 10354 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  -u ( G  /  R )  =  ( -u G  /  R ) )
6968oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F  x.  -u ( G  /  R ) )  =  ( F  x.  ( -u G  /  R
) ) )
7018, 20, 66, 67divassd 10376 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F  x.  -u G
)  /  R )  =  ( F  x.  ( -u G  /  R
) ) )
7121, 66, 67divrec2d 10345 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F  x.  -u G
)  /  R )  =  ( ( 1  /  R )  x.  ( F  x.  -u G
) ) )
7269, 70, 713eqtr2d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F  x.  -u ( G  /  R ) )  =  ( ( 1  /  R )  x.  ( F  x.  -u G
) ) )
7372itgeq2dv 22405 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. I ( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x  =  S. I
( ( 1  /  R )  x.  ( F  x.  -u G ) )  _d x )
7464, 65, 733eqtr4rd 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. I ( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x  =  ( S. I ( F  x.  -u G )  _d x  /  R ) )
7562, 74oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  -u ( B  /  R ) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x )  =  ( ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  /  R )  -  ( S. I ( F  x.  -u G )  _d x  /  R ) ) )
7659, 60subcld 9950 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  e.  CC )
7776, 23, 3, 46divsubdird 10380 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I ( F  x.  -u G
)  _d x )  /  R )  =  ( ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  /  R )  -  ( S. I ( F  x.  -u G )  _d x  /  R ) ) )
7875, 77eqtr4d 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  -u ( B  /  R ) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x )  =  ( ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I ( F  x.  -u G
)  _d x )  /  R ) )
7978fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x ) )  =  ( abs `  (
( ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) )  -  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  /  R ) ) )
8076, 23subcld 9950 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) )  -  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  e.  CC )
8180, 3, 46absdivd 13389 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) )  -  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  /  R ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I ( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  ( abs `  R ) ) )
824, 2, 45ltled 9750 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
832, 82absidd 13357 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  R
)  =  R )
8483oveq2d 6312 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  ( abs `  R ) )  =  ( ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R ) )
8579, 81, 843eqtrd 2502 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) )  -  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  R
) )
8680abscld 13370 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  e.  RR )
8786, 2, 46redivcld 10393 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  e.  RR )
8810, 14readdcld 9640 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  e.  RR )
8988, 24readdcld 9640 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  e.  RR )
9089, 2, 46redivcld 10393 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  e.  RR )
912, 45elrpd 11279 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
9276abscld 13370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) ) )  e.  RR )
9392, 24readdcld 9640 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  e.  RR )
9476, 23abs2dif2d 13392 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D
) ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) ) )
9559abscld 13370 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  e.  RR )
9660abscld 13370 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  x.  -u D ) )  e.  RR )
9795, 96readdcld 9640 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  +  ( abs `  ( C  x.  -u D
) ) )  e.  RR )
9859, 60abs2dif2d 13392 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  +  ( abs `  ( C  x.  -u D ) ) ) )
999, 49absmuld 13388 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  -u B
) ) )
10049abscld 13370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u B
)  e.  RR )
1011absnegd 13383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u B
)  =  ( abs `  B ) )
102 fourierdlem30.12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  <_  1 )
103101, 102eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u B
)  <_  1 )
104100, 5, 10, 32, 103lemul2ad 10506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  -u B ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  1 ) )
10510recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
106105mulid1d 9630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  1 )  =  ( abs `  A
) )
107104, 106breqtrd 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  -u B ) )  <_  ( abs `  A
) )
10899, 107eqbrtrd 4476 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  <_  ( abs `  A ) )
10913, 55absmuld 13388 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  x.  -u D ) )  =  ( ( abs `  C )  x.  ( abs `  -u D
) ) )
11055abscld 13370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u D
)  e.  RR )
11152absnegd 13383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u D
)  =  ( abs `  D ) )
112 fourierdlem30.14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  D
)  <_  1 )
113111, 112eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u D
)  <_  1 )
114110, 5, 14, 34, 113lemul2ad 10506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  -u D ) )  <_  ( ( abs `  C )  x.  1 ) )
11514recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  CC )
116115mulid1d 9630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  1 )  =  ( abs `  C
) )
117114, 116breqtrd 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  -u D ) )  <_  ( abs `  C
) )
118109, 117eqbrtrd 4476 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  x.  -u D ) )  <_  ( abs `  C ) )
11995, 96, 10, 14, 108, 118le2addd 10191 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  x.  -u B ) )  +  ( abs `  ( C  x.  -u D
) ) )  <_ 
( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) ) )
12092, 97, 88, 98, 119letrd 9756 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) ) )  <_  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) ) )
12192, 88, 24, 120leadd1dd 10187 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  -u B
)  -  ( C  x.  -u D ) ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  <_ 
( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) ) )
12286, 93, 89, 94, 121letrd 9756 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  <_  ( (
( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) ) )
12386, 89, 91, 122lediv1dd 11335 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  <_  ( ( ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  R
) )
12430ltp1d 10496 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  <  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )
1254, 30, 31, 40, 124lelttrd 9757 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )
126125gt0ne0d 10138 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  =/=  0 )
12789, 31, 126redivcld 10393 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )  e.  RR )
12830, 40ge0p1rpd 11307 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  e.  RR+ )
1298eqcomi 2470 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  A )  =  X
13012eqcomi 2470 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  C )  =  Y
131129, 130oveq12i 6308 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  =  ( X  +  Y )
13217eqcomi 2470 . . . . . . 7  |-  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x )  =  Z
133131, 132oveq12i 6308 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  =  ( ( X  +  Y
)  +  Z )
13439, 133syl6breqr 4496 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) ) )
135128, 91, 89, 134, 43lediv2ad 11303 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  <_  ( ( ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) ) )
136133oveq1i 6306 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  +  ( abs `  C ) )  +  ( abs `  S. I ( F  x.  -u G )  _d x ) )  /  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  =  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )
137 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  =  0  ->  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )  =  ( 0  / 
( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 ) ) )
138137adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  =  ( 0  /  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) ) )
13930recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  e.  CC )
1405recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
141139, 140addcld 9632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  e.  CC )
142141adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 )  e.  CC )
143 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  =  0  ->  (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  =  ( 0  /  E ) )
144143adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  =  ( 0  /  E
) )
14527rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
146145adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  E  e.  CC )
14729adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  E  =/=  0 )
148146, 147div0d 10340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( 0  /  E )  =  0 )
149144, 148eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  =  0 )
150149oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
151 0p1e1 10668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
152150, 151syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 )  =  1 )
153 ax-1ne0 9578 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  0
154153a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  1  =/=  0 )
155152, 154eqnetrd 2750 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 )  =/=  0 )
156142, 155div0d 10340 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( 0  /  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  =  0 )
157138, 156eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  =  0 )
15827rpgt0d 11284 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  E )
159158adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  0  <  E )
160157, 159eqbrtrd 4476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( X  +  Y )  +  Z )  =  0 )  ->  ( (
( X  +  Y
)  +  Z )  /  ( ( ( ( X  +  Y
)  +  Z )  /  E )  +  1 ) )  < 
E )
16126adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  RR )
16227adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  ->  E  e.  RR+ )
16339adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
0  <_  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
164 neqne 31680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( X  +  Y )  +  Z
)  =  0  -> 
( ( X  +  Y )  +  Z
)  =/=  0 )
165164adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( X  +  Y )  +  Z
)  =/=  0 )
166161, 163, 165ne0gt0d 9739 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
0  <  ( ( X  +  Y )  +  Z ) )
167161, 166elrpd 11279 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( X  +  Y )  +  Z
)  e.  RR+ )
168167, 162rpdivcld 11298 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  e.  RR+ )
169 1rp 11249 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
170169a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
1  e.  RR+ )
171168, 170rpaddcld 11296 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E )  +  1 )  e.  RR+ )
172124adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  <  ( (
( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )
173161, 162, 171, 172ltdiv23d 11337 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (
( X  +  Y
)  +  Z )  =  0 )  -> 
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  <  E )
174160, 173pm2.61dan 791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  (
( ( ( X  +  Y )  +  Z )  /  E
)  +  1 ) )  <  E )
175136, 174syl5eqbr 4489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  ( ( ( ( X  +  Y )  +  Z
)  /  E )  +  1 ) )  <  E )
17690, 127, 28, 135, 175lelttrd 9757 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A )  +  ( abs `  C
) )  +  ( abs `  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  <  E )
17787, 90, 28, 123, 176lelttrd 9757 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  -u B )  -  ( C  x.  -u D ) )  -  S. I
( F  x.  -u G
)  _d x ) )  /  R )  <  E )
17885, 177eqbrtrd 4476 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  -u ( B  /  R
) )  -  ( C  x.  -u ( D  /  R ) ) )  -  S. I
( F  x.  -u ( G  /  R ) )  _d x ) )  <  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   RR+crp 11245   abscabs 13170   L^1cibl 22243   S.citg 22244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-clim 13414  df-rlim 13415  df-sum 13612  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-sca 14819  df-vsca 14820  df-ip 14821  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-hom 14827  df-cco 14828  df-rest 14931  df-topn 14932  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-topgen 14952  df-pt 14953  df-prds 14956  df-xrs 15010  df-qtop 15015  df-imas 15016  df-xps 15018  df-mre 15094  df-mrc 15095  df-acs 15097  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-submnd 16185  df-mulg 16278  df-cntz 16573  df-cmn 17018  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-cnfld 18639  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-cn 19946  df-cnp 19947  df-cmp 20105  df-tx 20280  df-hmeo 20473  df-xms 21040  df-ms 21041  df-tms 21042  df-cncf 21599  df-ovol 22093  df-vol 22094  df-mbf 22245  df-itg1 22246  df-itg2 22247  df-ibl 22248  df-itg 22249  df-0p 22294
This theorem is referenced by:  fourierdlem47  32182
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