Theorem fourierdlem30 32165

Description: Sum of three small pieces is less than ε (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem30.ibl	|- ( ph -> ( x e. I |-> ( F x. -u G ) ) e. L^1 )
fourierlemreimleblemlte22.f	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> F e. CC )
fourierdlem30.g	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> G e. CC )
fourierdlem30.a	|- ( ph -> A e. CC )
fourierdlem30.x	|- X = ( abs ` A )
fourierdlem30.c	|- ( ph -> C e. CC )
fourierdlem30.y	|- Y = ( abs ` C )
fourierdlem30.z	|- Z = ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x )
fourierdlem30.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
fourierdlem30.r	|- ( ph -> R e. RR )
fourierdlem30.ler	|- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) <_ R )
fourierdlem30.b	|- ( ph -> B e. CC )
fourierdlem30.12	|- ( ph -> ( abs ` B ) <_ 1 )
fourierdlem30.d	|- ( ph -> D e. CC )
fourierdlem30.14	|- ( ph -> ( abs ` D ) <_ 1 )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem30	|- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) ) < E )

Distinct variable groups:   x, I   x, R   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)   E( x)   F( x)   G( x)   X( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem fourierdlem30

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem30.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
2		fourierdlem30.r	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R e. RR )
3	2	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CC )
4		0red 9614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. RR )
5		1red 9628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. RR )
6		0lt1 10096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < 1 )
8		fourierdlem30.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X = ( abs ` A )
9		fourierdlem30.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A e. CC )
10	9	abscld 13370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
11	8, 10	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> X e. RR )
12		fourierdlem30.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Y = ( abs ` C )
13		fourierdlem30.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> C e. CC )
14	13	abscld 13370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
15	12, 14	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Y e. RR )
16	11, 15	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( X + Y ) e. RR )
17		fourierdlem30.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Z = ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x )
18		fourierlemreimleblemlte22.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> F e. CC )
19		fourierdlem30.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> G e. CC )
20	19	negcld 9937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> -u G e. CC )
21	18, 20	mulcld 9633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F x. -u G ) e. CC )
22		fourierdlem30.ibl	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( F x. -u G ) ) e. L^1 )
23	21, 22	itgcl 22407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> S. I ( F x. -u G ) _d x e. CC )
24	23	abscld 13370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) e. RR )
25	17, 24	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Z e. RR )
26	16, 25	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( X + Y ) + Z ) e. RR )
27		fourierdlem30.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> E e. RR+ )
28	27	rpred 11281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E e. RR )
29	27	rpne0d 11286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E =/= 0 )
30	26, 28, 29	redivcld 10393	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) e. RR )
31	30, 5	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. RR )
32	9	absge0d 13378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` A ) )
33	32, 8	syl6breqr 4496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 <_ X )
34	13	absge0d 13378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` C ) )
35	34, 12	syl6breqr 4496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 <_ Y )
36	11, 15, 33, 35	addge0d 10149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 0 <_ ( X + Y ) )
37	23	absge0d 13378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) )
38	37, 17	syl6breqr 4496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 0 <_ Z )
39	16, 25, 36, 38	addge0d 10149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ ( ( X + Y ) + Z ) )
40	26, 27, 39	divge0d 11317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) )
41	5, 30	addge02d 10162	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) <-> 1 <_ ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
42	40, 41	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) )
43		fourierdlem30.ler	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) <_ R )
44	5, 31, 2, 42, 43	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 <_ R )
45	4, 5, 2, 7, 44	ltletrd 9759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < R )
46	45	gt0ne0d 10138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R =/= 0 )
47	1, 3, 46	divnegd 10354	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( B / R ) = ( -u B / R ) )
48	47	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A x. -u ( B / R ) ) = ( A x. ( -u B / R ) ) )
49	1	negcld 9937	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u B e. CC )
50	9, 49, 3, 46	divassd 10376	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A x. -u B ) / R ) = ( A x. ( -u B / R ) ) )
51	48, 50	eqtr4d 2501	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. -u ( B / R ) ) = ( ( A x. -u B ) / R ) )
52		fourierdlem30.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. CC )
53	52, 3, 46	divnegd 10354	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( D / R ) = ( -u D / R ) )
54	53	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C x. -u ( D / R ) ) = ( C x. ( -u D / R ) ) )
55	52	negcld 9937	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u D e. CC )
56	13, 55, 3, 46	divassd 10376	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C x. -u D ) / R ) = ( C x. ( -u D / R ) ) )
57	54, 56	eqtr4d 2501	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C x. -u ( D / R ) ) = ( ( C x. -u D ) / R ) )
58	51, 57	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) = ( ( ( A x. -u B ) / R ) - ( ( C x. -u D ) / R ) ) )
59	9, 49	mulcld 9633	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. -u B ) e. CC )
60	13, 55	mulcld 9633	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C x. -u D ) e. CC )
61	59, 60, 3, 46	divsubdird 10380	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) / R ) = ( ( ( A x. -u B ) / R ) - ( ( C x. -u D ) / R ) ) )
62	58, 61	eqtr4d 2501	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) = ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) / R ) )
63	3, 46	reccld 10334	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / R ) e. CC )
64	63, 21, 22	itgmulc2 22457	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / R ) x. S. I ( F x. -u G ) _d x ) = S. I ( ( 1 / R ) x. ( F x. -u G ) ) _d x )
65	23, 3, 46	divrec2d 10345	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S. I ( F x. -u G ) _d x / R ) = ( ( 1 / R ) x. S. I ( F x. -u G ) _d x ) )
66	3	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. CC )
67	46	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R =/= 0 )
68	19, 66, 67	divnegd 10354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> -u ( G / R ) = ( -u G / R ) )
69	68	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F x. -u ( G / R ) ) = ( F x. ( -u G / R ) ) )
70	18, 20, 66, 67	divassd 10376	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( F x. -u G ) / R ) = ( F x. ( -u G / R ) ) )
71	21, 66, 67	divrec2d 10345	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( F x. -u G ) / R ) = ( ( 1 / R ) x. ( F x. -u G ) ) )
72	69, 70, 71	3eqtr2d 2504	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F x. -u ( G / R ) ) = ( ( 1 / R ) x. ( F x. -u G ) ) )
73	72	itgeq2dv 22405	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x = S. I ( ( 1 / R ) x. ( F x. -u G ) ) _d x )
74	64, 65, 73	3eqtr4rd 2509	. . . . . 6 |- ( ph -> S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x = ( S. I ( F x. -u G ) _d x / R ) )
75	62, 74	oveq12d 6314	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) = ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) / R ) - ( S. I ( F x. -u G ) _d x / R ) ) )
76	59, 60	subcld 9950	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) e. CC )
77	76, 23, 3, 46	divsubdird 10380	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) / R ) = ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) / R ) - ( S. I ( F x. -u G ) _d x / R ) ) )
78	75, 77	eqtr4d 2501	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) = ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) / R ) )
79	78	fveq2d 5876	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) ) = ( abs ` ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) / R ) ) )
80	76, 23	subcld 9950	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) e. CC )
81	80, 3, 46	absdivd 13389	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) / R ) ) = ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( abs ` R ) ) )
82	4, 2, 45	ltled 9750	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ R )
83	2, 82	absidd 13357	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` R ) = R )
84	83	oveq2d 6312	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( abs ` R ) ) = ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) )
85	79, 81, 84	3eqtrd 2502	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) ) = ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) )
86	80	abscld 13370	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) e. RR )
87	86, 2, 46	redivcld 10393	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) e. RR )
88	10, 14	readdcld 9640	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) e. RR )
89	88, 24	readdcld 9640	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) e. RR )
90	89, 2, 46	redivcld 10393	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) e. RR )
91	2, 45	elrpd 11279	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR+ )
92	76	abscld 13370	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) e. RR )
93	92, 24	readdcld 9640	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) e. RR )
94	76, 23	abs2dif2d 13392	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) <_ ( ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) )
95	59	abscld 13370	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( A x. -u B ) ) e. RR )
96	60	abscld 13370	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( C x. -u D ) ) e. RR )
97	95, 96	readdcld 9640	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( A x. -u B ) ) + ( abs ` ( C x. -u D ) ) ) e. RR )
98	59, 60	abs2dif2d 13392	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) <_ ( ( abs ` ( A x. -u B ) ) + ( abs ` ( C x. -u D ) ) ) )
99	9, 49	absmuld 13388	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( A x. -u B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` -u B ) ) )
100	49	abscld 13370	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u B ) e. RR )
101	1	absnegd 13383	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` -u B ) = ( abs ` B ) )
102		fourierdlem30.12	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` B ) <_ 1 )
103	101, 102	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u B ) <_ 1 )
104	100, 5, 10, 32, 103	lemul2ad 10506	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` -u B ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. 1 ) )
105	10	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
106	105	mulid1d 9630	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) x. 1 ) = ( abs ` A ) )
107	104, 106	breqtrd 4480	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` -u B ) ) <_ ( abs ` A ) )
108	99, 107	eqbrtrd 4476	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( A x. -u B ) ) <_ ( abs ` A ) )
109	13, 55	absmuld 13388	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( C x. -u D ) ) = ( ( abs ` C ) x. ( abs ` -u D ) ) )
110	55	abscld 13370	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u D ) e. RR )
111	52	absnegd 13383	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` -u D ) = ( abs ` D ) )
112		fourierdlem30.14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` D ) <_ 1 )
113	111, 112	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` -u D ) <_ 1 )
114	110, 5, 14, 34, 113	lemul2ad 10506	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) x. ( abs ` -u D ) ) <_ ( ( abs ` C ) x. 1 ) )
115	14	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. CC )
116	115	mulid1d 9630	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) x. 1 ) = ( abs ` C ) )
117	114, 116	breqtrd 4480	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) x. ( abs ` -u D ) ) <_ ( abs ` C ) )
118	109, 117	eqbrtrd 4476	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( C x. -u D ) ) <_ ( abs ` C ) )
119	95, 96, 10, 14, 108, 118	le2addd 10191	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( A x. -u B ) ) + ( abs ` ( C x. -u D ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) )
120	92, 97, 88, 98, 119	letrd 9756	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) )
121	92, 88, 24, 120	leadd1dd 10187	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) )
122	86, 93, 89, 94, 121	letrd 9756	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) )
123	86, 89, 91, 122	lediv1dd 11335	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) )
124	30	ltp1d 10496	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) < ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) )
125	4, 30, 31, 40, 124	lelttrd 9757	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) )
126	125	gt0ne0d 10138	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) =/= 0 )
127	89, 31, 126	redivcld 10393	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) e. RR )
128	30, 40	ge0p1rpd 11307	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. RR+ )
129	8	eqcomi 2470	. . . . . . . 8 |- ( abs ` A ) = X
130	12	eqcomi 2470	. . . . . . . 8 |- ( abs ` C ) = Y
131	129, 130	oveq12i 6308	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) = ( X + Y )
132	17	eqcomi 2470	. . . . . . 7 |- ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) = Z
133	131, 132	oveq12i 6308	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) = ( ( X + Y ) + Z )
134	39, 133	syl6breqr 4496	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) )
135	128, 91, 89, 134, 43	lediv2ad 11303	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
136	133	oveq1i 6306	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) )
137		oveq1 6303	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X + Y ) + Z ) = 0 -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = ( 0 / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
138	137	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = ( 0 / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) )
139	30	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) e. CC )
140	5	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
141	139, 140	addcld 9632	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. CC )
142	141	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. CC )
143		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X + Y ) + Z ) = 0 -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) = ( 0 / E ) )
144	143	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) = ( 0 / E ) )
145	27	rpcnd 11283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E e. CC )
146	145	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> E e. CC )
147	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> E =/= 0 )
148	146, 147	div0d 10340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( 0 / E ) = 0 )
149	144, 148	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) = 0 )
150	149	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
151		0p1e1 10668	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
152	150, 151	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) = 1 )
153		ax-1ne0 9578	. . . . . . . . . . 11 |- 1 =/= 0
154	153	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> 1 =/= 0 )
155	152, 154	eqnetrd 2750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) =/= 0 )
156	142, 155	div0d 10340	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( 0 / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = 0 )
157	138, 156	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) = 0 )
158	27	rpgt0d 11284	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < E )
159	158	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> 0 < E )
160	157, 159	eqbrtrd 4476	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) < E )
161	26	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( X + Y ) + Z ) e. RR )
162	27	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> E e. RR+ )
163	39	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> 0 <_ ( ( X + Y ) + Z ) )
164		neqne 31680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 -> ( ( X + Y ) + Z ) =/= 0 )
165	164	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( X + Y ) + Z ) =/= 0 )
166	161, 163, 165	ne0gt0d 9739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> 0 < ( ( X + Y ) + Z ) )
167	161, 166	elrpd 11279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( X + Y ) + Z ) e. RR+ )
168	167, 162	rpdivcld 11298	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) e. RR+ )
169		1rp 11249	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
170	169	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> 1 e. RR+ )
171	168, 170	rpaddcld 11296	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) e. RR+ )
172	124	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) < ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) )
173	161, 162, 171, 172	ltdiv23d 11337	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( ( X + Y ) + Z ) = 0 ) -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) < E )
174	160, 173	pm2.61dan 791	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X + Y ) + Z ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) < E )
175	136, 174	syl5eqbr 4489	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / ( ( ( ( X + Y ) + Z ) / E ) + 1 ) ) < E )
176	90, 127, 28, 135, 175	lelttrd 9757	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` C ) ) + ( abs ` S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) < E )
177	87, 90, 28, 123, 176	lelttrd 9757	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( A x. -u B ) - ( C x. -u D ) ) - S. I ( F x. -u G ) _d x ) ) / R ) < E )
178	85, 177	eqbrtrd 4476	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( A x. -u ( B / R ) ) - ( C x. -u ( D / R ) ) ) - S. I ( F x. -u ( G / R ) ) _d x ) ) < E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   -ucneg 9825   / cdiv 10227   RR+crp 11245   abscabs 13170   L^1cibl 22243   S.citg 22244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-clim 13414  df-rlim 13415  df-sum 13612  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-sca 14819  df-vsca 14820  df-ip 14821  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-hom 14827  df-cco 14828  df-rest 14931  df-topn 14932  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-topgen 14952  df-pt 14953  df-prds 14956  df-xrs 15010  df-qtop 15015  df-imas 15016  df-xps 15018  df-mre 15094  df-mrc 15095  df-acs 15097  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-submnd 16185  df-mulg 16278  df-cntz 16573  df-cmn 17018  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-cnfld 18639  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-cn 19946  df-cnp 19947  df-cmp 20105  df-tx 20280  df-hmeo 20473  df-xms 21040  df-ms 21041  df-tms 21042  df-cncf 21599  df-ovol 22093  df-vol 22094  df-mbf 22245  df-itg1 22246  df-itg2 22247  df-ibl 22248  df-itg 22249  df-0p 22294

This theorem is referenced by:  fourierdlem47  32182