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Theorem fourierdlem26 37995
Description: Periodic image of a point  Y that's in the period that begins with the point  X. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem26.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem26.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem26.3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem26.4  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem26.5  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
fourierdlem26.6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem26.7  |-  ( ph  ->  ( E `  X
)  =  B )
fourierdlem26.8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,] ( X  +  T ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem26  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  =  ( A  +  ( Y  -  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, T    x, X    x, Y    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    E( x)

Proof of Theorem fourierdlem26
StepHypRef Expression
1 fourierdlem26.5 . . . 4  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) ) )
3 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  x  =  Y )
43oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  Y ) )
54oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  Y )  /  T ) )
65fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) ) )
76oveq1d 6305 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T ) )
83, 7oveq12d 6308 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( Y  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
) ) )
9 fourierdlem26.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,] ( X  +  T ) ) )
10 fourierdlem26.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1110rexrd 9690 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
12 fourierdlem26.4 . . . . . . . 8  |-  T  =  ( B  -  A
)
13 fourierdlem26.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
14 fourierdlem26.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1513, 14resubcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
1612, 15syl5eqel 2533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1710, 16readdcld 9670 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  +  T
)  e.  RR )
18 elioc2 11697 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( X  +  T )  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( X (,] ( X  +  T
) )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  < 
Y  /\  Y  <_  ( X  +  T ) ) ) )
1911, 17, 18syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X (,] ( X  +  T ) )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  X  <  Y  /\  Y  <_  ( X  +  T ) ) ) )
209, 19mpbid 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y  /\  Y  <_  ( X  +  T ) ) )
2120simp1d 1020 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
2213, 21resubcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  Y
)  e.  RR )
23 fourierdlem26.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2414, 13posdifd 10200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
2523, 24mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
2625, 12syl6breqr 4443 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  T )
2726gt0ne0d 10178 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
2822, 16, 27redivcld 10435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  Y )  /  T
)  e.  RR )
2928flcld 12034 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  e.  ZZ )
3029zred 11040 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  e.  RR )
3130, 16remulcld 9671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
)  e.  RR )
3221, 31readdcld 9670 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
332, 8, 21, 32fvmptd 5954 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  =  ( Y  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T ) ) )
3410recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
3521recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3634, 35pncan3d 9989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( Y  -  X ) )  =  Y )
3736eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  =  ( X  +  ( Y  -  X ) ) )
3837oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  Y
)  =  ( B  -  ( X  +  ( Y  -  X
) ) ) )
3913recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4035, 34subcld 9986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
4139, 34, 40subsub4d 10017 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  X )  -  ( Y  -  X )
)  =  ( B  -  ( X  +  ( Y  -  X
) ) ) )
4238, 41eqtr4d 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  Y
)  =  ( ( B  -  X )  -  ( Y  -  X ) ) )
4342oveq1d 6305 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  Y )  /  T
)  =  ( ( ( B  -  X
)  -  ( Y  -  X ) )  /  T ) )
4413, 10resubcld 10047 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  X
)  e.  RR )
4544recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  X
)  e.  CC )
4616recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
4745, 40, 46, 27divsubdird 10422 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  -  ( Y  -  X
) )  /  T
)  =  ( ( ( B  -  X
)  /  T )  -  ( ( Y  -  X )  /  T ) ) )
4840, 46, 27divnegd 10396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Y  -  X )  /  T )  =  (
-u ( Y  -  X )  /  T
) )
4935, 34negsubdi2d 10002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  -  X )  =  ( X  -  Y ) )
5049oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( Y  -  X )  /  T )  =  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )
5148, 50eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Y  -  X )  /  T )  =  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )
5251oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  +  -u ( ( Y  -  X )  /  T
) )  =  ( ( ( B  -  X )  /  T
)  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) )
5344, 16, 27redivcld 10435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  X )  /  T
)  e.  RR )
5453recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  X )  /  T
)  e.  CC )
5540, 46, 27divcld 10383 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  /  T
)  e.  CC )
5654, 55negsubd 9992 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  +  -u ( ( Y  -  X )  /  T
) )  =  ( ( ( B  -  X )  /  T
)  -  ( ( Y  -  X )  /  T ) ) )
57 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
5854, 57npcand 9990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( B  -  X )  /  T )  - 
1 )  +  1 )  =  ( ( B  -  X )  /  T ) )
5958eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  X )  /  T
)  =  ( ( ( ( B  -  X )  /  T
)  -  1 )  +  1 ) )
6059oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  =  ( ( ( ( ( B  -  X )  /  T )  -  1 )  +  1 )  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) )
6154, 57subcld 9986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  -  1 )  e.  CC )
6234, 35subcld 9986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  e.  CC )
6362, 46, 27divcld 10383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  Y )  /  T
)  e.  CC )
6461, 57, 63addassd 9665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( B  -  X
)  /  T )  -  1 )  +  1 )  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  =  ( ( ( ( B  -  X )  /  T
)  -  1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T
) ) ) )
6560, 64eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  =  ( ( ( ( B  -  X )  /  T
)  -  1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T
) ) ) )
6652, 56, 653eqtr3d 2493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  -  (
( Y  -  X
)  /  T ) )  =  ( ( ( ( B  -  X )  /  T
)  -  1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T
) ) ) )
6743, 47, 663eqtrd 2489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  Y )  /  T
)  =  ( ( ( ( B  -  X )  /  T
)  -  1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T
) ) ) )
6867fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  =  ( |_
`  ( ( ( ( B  -  X
)  /  T )  -  1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) ) ) ) )
6910, 21resubcld 10047 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  e.  RR )
7016, 69readdcld 9670 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  +  ( X  -  Y ) )  e.  RR )
7116, 26elrpd 11338 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
7234, 46addcomd 9835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  +  T
)  =  ( T  +  X ) )
7372oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X (,] ( X  +  T )
)  =  ( X (,] ( T  +  X ) ) )
749, 73eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,] ( T  +  X ) ) )
7516, 10readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T  +  X
)  e.  RR )
76 elioc2 11697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( T  +  X )  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( X (,] ( T  +  X
) )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  < 
Y  /\  Y  <_  ( T  +  X ) ) ) )
7711, 75, 76syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X (,] ( T  +  X ) )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  X  <  Y  /\  Y  <_  ( T  +  X ) ) ) )
7874, 77mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y  /\  Y  <_  ( T  +  X ) ) )
7978simp3d 1022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( T  +  X ) )
8021, 10, 16lesubaddd 10210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  <_  T  <->  Y  <_  ( T  +  X ) ) )
8179, 80mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  <_  T )
8221, 10resubcld 10047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
8316, 82subge0d 10203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( T  -  ( Y  -  X ) )  <->  ( Y  -  X )  <_  T
) )
8481, 83mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( T  -  ( Y  -  X ) ) )
8546, 35, 34subsub2d 10015 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  -  ( Y  -  X )
)  =  ( T  +  ( X  -  Y ) ) )
8684, 85breqtrd 4427 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( T  +  ( X  -  Y ) ) )
8770, 71, 86divge0d 11378 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( T  +  ( X  -  Y ) )  /  T ) )
8846, 62, 46, 27divdird 10421 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  +  ( X  -  Y
) )  /  T
)  =  ( ( T  /  T )  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) )
8946, 27dividd 10381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  /  T
)  =  1 )
9089eqcomd 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  =  ( T  /  T ) )
9190oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  =  ( ( T  /  T )  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) )
9288, 91eqtr4d 2488 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  +  ( X  -  Y
) )  /  T
)  =  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) )
9387, 92breqtrd 4427 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) )
9420simp2d 1021 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <  Y )
9510, 21sublt0d 10238 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  Y )  <  0  <->  X  <  Y ) )
9694, 95mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  0 )
9769, 71, 96divlt0gt0d 37496 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  Y )  /  T
)  <  0 )
9869, 16, 27redivcld 10435 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  Y )  /  T
)  e.  RR )
99 1red 9658 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
100 ltaddneg 37508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  -  Y )  /  T
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( X  -  Y )  /  T )  <  0  <->  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) )  <  1 ) )
10198, 99, 100syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  Y )  /  T )  <  0  <->  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) )  <  1 ) )
10297, 101mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  <  1 )
10353flcld 12034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  e.  ZZ )
104103zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  e.  CC )
105104, 46mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
)  e.  CC )
10634, 105pncan2d 9988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) )  -  X
)  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )
107106eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
)  =  ( ( X  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )  -  X ) )
108107oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T )  /  T
)  =  ( ( ( X  +  ( ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  x.  T ) )  -  X )  /  T ) )
109104, 46, 27divcan4d 10389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T )  /  T
)  =  ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) ) )
110 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
111 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  X  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  X ) )
112111oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  X  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  X )  /  T ) )
113112fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  X  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) ) )
114113oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  X  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )
115110, 114oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( X  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) ) )
116115adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( X  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) ) )
117 reflcl 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  -  X
)  /  T )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  e.  RR )
11853, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  e.  RR )
119118, 16remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
)  e.  RR )
12010, 119readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
1212, 116, 10, 120fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E `  X
)  =  ( X  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) ) )
122121eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( E `
 X ) )
123122oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) )  -  X
)  =  ( ( E `  X )  -  X ) )
124123oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )  -  X )  /  T
)  =  ( ( ( E `  X
)  -  X )  /  T ) )
125 fourierdlem26.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E `  X
)  =  B )
126125oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E `  X )  -  X
)  =  ( B  -  X ) )
127126oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 X )  -  X )  /  T
)  =  ( ( B  -  X )  /  T ) )
128124, 127eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )  -  X )  /  T
)  =  ( ( B  -  X )  /  T ) )
129108, 109, 1283eqtr3d 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  =  ( ( B  -  X )  /  T ) )
130129, 103eqeltrrd 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  X )  /  T
)  e.  ZZ )
131 1zzd 10968 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
132130, 131zsubcld 11045 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  -  1 )  e.  ZZ )
13399, 98readdcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  e.  RR )
134 flbi2 12052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( B  -  X )  /  T )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( 1  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( ( ( B  -  X
)  /  T )  -  1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) ) ) )  =  ( ( ( B  -  X )  /  T )  -  1 )  <->  ( 0  <_ 
( 1  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  /\  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) )  <  1 ) ) )
135132, 133, 134syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( ( ( B  -  X )  /  T )  - 
1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) ) )  =  ( ( ( B  -  X )  /  T
)  -  1 )  <-> 
( 0  <_  (
1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) )  /\  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T
) )  <  1
) ) )
13693, 102, 135mpbir2and 933 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( ( B  -  X )  /  T )  -  1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) ) )  =  ( ( ( B  -  X
)  /  T )  -  1 ) )
137129eqcomd 2457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  X )  /  T
)  =  ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) ) )
138137oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  -  1 )  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  -  1 ) )
13968, 136, 1383eqtrd 2489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  -  1 ) )
140139oveq1d 6305 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
)  =  ( ( ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  -  1 )  x.  T ) )
141140oveq2d 6306 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( Y  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  -  1 )  x.  T ) ) )
14237oveq1d 6305 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  -  1 )  x.  T ) )  =  ( ( X  +  ( Y  -  X ) )  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  -  1 )  x.  T ) ) )
143104, 57, 46subdird 10075 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  - 
1 )  x.  T
)  =  ( ( ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  x.  T )  -  ( 1  x.  T ) ) )
144143oveq2d 6306 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( Y  -  X
) )  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  -  1 )  x.  T ) )  =  ( ( X  +  ( Y  -  X ) )  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T )  -  ( 1  x.  T
) ) ) )
14534, 40addcld 9662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( Y  -  X ) )  e.  CC )
14657, 46mulcld 9663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  T
)  e.  CC )
147145, 105, 146addsubassd 10006 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( Y  -  X ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) )  -  (
1  x.  T ) )  =  ( ( X  +  ( Y  -  X ) )  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T )  -  ( 1  x.  T
) ) ) )
148147eqcomd 2457 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( Y  -  X
) )  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
)  -  ( 1  x.  T ) ) )  =  ( ( ( X  +  ( Y  -  X ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )  -  ( 1  x.  T ) ) )
14934, 40, 105add32d 9857 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( Y  -  X
) )  +  ( ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( ( X  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )  +  ( Y  -  X ) ) )
150149oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( Y  -  X ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) )  -  (
1  x.  T ) )  =  ( ( ( X  +  ( ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  x.  T ) )  +  ( Y  -  X ) )  -  ( 1  x.  T ) ) )
151122oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) )  +  ( Y  -  X ) )  =  ( ( E `  X )  +  ( Y  -  X ) ) )
15246mulid2d 9661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  T
)  =  T )
153151, 152oveq12d 6308 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )  +  ( Y  -  X
) )  -  (
1  x.  T ) )  =  ( ( ( E `  X
)  +  ( Y  -  X ) )  -  T ) )
154125, 13eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E `  X
)  e.  RR )
155154recnd 9669 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E `  X
)  e.  CC )
156155, 40, 46addsubd 10007 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 X )  +  ( Y  -  X
) )  -  T
)  =  ( ( ( E `  X
)  -  T )  +  ( Y  -  X ) ) )
157125oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E `  X )  -  T
)  =  ( B  -  T ) )
15812a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =  ( B  -  A ) )
159158oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  T
)  =  ( B  -  ( B  -  A ) ) )
16014recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
16139, 160nncand 9991 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  ( B  -  A )
)  =  A )
162157, 159, 1613eqtrd 2489 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E `  X )  -  T
)  =  A )
163162oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 X )  -  T )  +  ( Y  -  X ) )  =  ( A  +  ( Y  -  X ) ) )
164156, 163eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 X )  +  ( Y  -  X
) )  -  T
)  =  ( A  +  ( Y  -  X ) ) )
165150, 153, 1643eqtrd 2489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( Y  -  X ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) )  -  (
1  x.  T ) )  =  ( A  +  ( Y  -  X ) ) )
166144, 148, 1653eqtrd 2489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( Y  -  X
) )  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  -  1 )  x.  T ) )  =  ( A  +  ( Y  -  X ) ) )
167142, 166eqtrd 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  -  1 )  x.  T ) )  =  ( A  +  ( Y  -  X ) ) )
16833, 141, 1673eqtrd 2489 1  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  =  ( A  +  ( Y  -  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   ZZcz 10937   (,]cioc 11636   |_cfl 12026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ioc 11640  df-fl 12028
This theorem is referenced by:  fourierdlem65  38035  fourierdlem79  38049
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