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Theorem fourierdlem26 38107
Description: Periodic image of a point  Y that's in the period that begins with the point  X. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem26.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem26.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem26.3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem26.4  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem26.5  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
fourierdlem26.6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem26.7  |-  ( ph  ->  ( E `  X
)  =  B )
fourierdlem26.8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,] ( X  +  T ) ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem26  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  =  ( A  +  ( Y  -  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, T    x, X    x, Y    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    E( x)

Proof of Theorem fourierdlem26
StepHypRef Expression
1 fourierdlem26.5 . . . 4  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) ) )
3 simpr 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  x  =  Y )
43oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  Y ) )
54oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  Y )  /  T ) )
65fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) ) )
76oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T ) )
83, 7oveq12d 6326 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( Y  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
) ) )
9 fourierdlem26.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,] ( X  +  T ) ) )
10 fourierdlem26.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1110rexrd 9708 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
12 fourierdlem26.4 . . . . . . . 8  |-  T  =  ( B  -  A
)
13 fourierdlem26.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
14 fourierdlem26.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1513, 14resubcld 10068 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
1612, 15syl5eqel 2553 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1710, 16readdcld 9688 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  +  T
)  e.  RR )
18 elioc2 11722 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( X  +  T )  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( X (,] ( X  +  T
) )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  < 
Y  /\  Y  <_  ( X  +  T ) ) ) )
1911, 17, 18syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X (,] ( X  +  T ) )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  X  <  Y  /\  Y  <_  ( X  +  T ) ) ) )
209, 19mpbid 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y  /\  Y  <_  ( X  +  T ) ) )
2120simp1d 1042 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
2213, 21resubcld 10068 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  Y
)  e.  RR )
23 fourierdlem26.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2414, 13posdifd 10221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
2523, 24mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
2625, 12syl6breqr 4436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  T )
2726gt0ne0d 10199 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
2822, 16, 27redivcld 10457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  Y )  /  T
)  e.  RR )
2928flcld 12067 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  e.  ZZ )
3029zred 11063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  e.  RR )
3130, 16remulcld 9689 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
)  e.  RR )
3221, 31readdcld 9688 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
332, 8, 21, 32fvmptd 5969 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  =  ( Y  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  Y )  /  T ) )  x.  T ) ) )
3410recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
3521recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3634, 35pncan3d 10008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( Y  -  X ) )  =  Y )
3736eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  =  ( X  +  ( Y  -  X ) ) )
3837oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  Y
)  =  ( B  -  ( X  +  ( Y  -  X
) ) ) )
3913recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4035, 34subcld 10005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
4139, 34, 40subsub4d 10036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  X )  -  ( Y  -  X )
)  =  ( B  -  ( X  +  ( Y  -  X
) ) ) )
4238, 41eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  Y
)  =  ( ( B  -  X )  -  ( Y  -  X ) ) )
4342oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  Y )  /  T
)  =  ( ( ( B  -  X
)  -  ( Y  -  X ) )  /  T ) )
4413, 10resubcld 10068 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  X
)  e.  RR )
4544recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  X
)  e.  CC )
4616recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
4745, 40, 46, 27divsubdird 10444 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  -  ( Y  -  X
) )  /  T
)  =  ( ( ( B  -  X
)  /  T )  -  ( ( Y  -  X )  /  T ) ) )
4840, 46, 27divnegd 10418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Y  -  X )  /  T )  =  (
-u ( Y  -  X )  /  T
) )
4935, 34negsubdi2d 10021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( Y  -  X )  =  ( X  -  Y ) )
5049oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( Y  -  X )  /  T )  =  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )
5148, 50eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Y  -  X )  /  T )  =  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )
5251oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  +  -u ( ( Y  -  X )  /  T
) )  =  ( ( ( B  -  X )  /  T
)  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) )
5344, 16, 27redivcld 10457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  X )  /  T
)  e.  RR )
5453recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  X )  /  T
)  e.  CC )
5540, 46, 27divcld 10405 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  /  T
)  e.  CC )
5654, 55negsubd 10011 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  +  -u ( ( Y  -  X )  /  T
) )  =  ( ( ( B  -  X )  /  T
)  -  ( ( Y  -  X )  /  T ) ) )
57 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
5854, 57npcand 10009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( B  -  X )  /  T )  - 
1 )  +  1 )  =  ( ( B  -  X )  /  T ) )
5958eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  X )  /  T
)  =  ( ( ( ( B  -  X )  /  T
)  -  1 )  +  1 ) )
6059oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  =  ( ( ( ( ( B  -  X )  /  T )  -  1 )  +  1 )  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) )
6154, 57subcld 10005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  -  1 )  e.  CC )
6234, 35subcld 10005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  e.  CC )
6362, 46, 27divcld 10405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  Y )  /  T
)  e.  CC )
6461, 57, 63addassd 9683 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( B  -  X
)  /  T )  -  1 )  +  1 )  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  =  ( ( ( ( B  -  X )  /  T
)  -  1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T
) ) ) )
6560, 64eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  =  ( ( ( ( B  -  X )  /  T
)  -  1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T
) ) ) )
6652, 56, 653eqtr3d 2513 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  -  (
( Y  -  X
)  /  T ) )  =  ( ( ( ( B  -  X )  /  T
)  -  1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T
) ) ) )
6743, 47, 663eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  Y )  /  T
)  =  ( ( ( ( B  -  X )  /  T
)  -  1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T
) ) ) )
6867fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  =  ( |_
`  ( ( ( ( B  -  X
)  /  T )  -  1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) ) ) ) )
6910, 21resubcld 10068 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  e.  RR )
7016, 69readdcld 9688 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  +  ( X  -  Y ) )  e.  RR )
7116, 26elrpd 11361 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
7234, 46addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  +  T
)  =  ( T  +  X ) )
7372oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X (,] ( X  +  T )
)  =  ( X (,] ( T  +  X ) ) )
749, 73eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,] ( T  +  X ) ) )
7516, 10readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T  +  X
)  e.  RR )
76 elioc2 11722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  ( T  +  X )  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( X (,] ( T  +  X
) )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  < 
Y  /\  Y  <_  ( T  +  X ) ) ) )
7711, 75, 76syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X (,] ( T  +  X ) )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  X  <  Y  /\  Y  <_  ( T  +  X ) ) ) )
7874, 77mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y  /\  Y  <_  ( T  +  X ) ) )
7978simp3d 1044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( T  +  X ) )
8021, 10, 16lesubaddd 10231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  <_  T  <->  Y  <_  ( T  +  X ) ) )
8179, 80mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  <_  T )
8221, 10resubcld 10068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
8316, 82subge0d 10224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( T  -  ( Y  -  X ) )  <->  ( Y  -  X )  <_  T
) )
8481, 83mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( T  -  ( Y  -  X ) ) )
8546, 35, 34subsub2d 10034 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  -  ( Y  -  X )
)  =  ( T  +  ( X  -  Y ) ) )
8684, 85breqtrd 4420 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( T  +  ( X  -  Y ) ) )
8770, 71, 86divge0d 11401 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( T  +  ( X  -  Y ) )  /  T ) )
8846, 62, 46, 27divdird 10443 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  +  ( X  -  Y
) )  /  T
)  =  ( ( T  /  T )  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) )
8946, 27dividd 10403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T  /  T
)  =  1 )
9089eqcomd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  =  ( T  /  T ) )
9190oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  =  ( ( T  /  T )  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) )
9288, 91eqtr4d 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  +  ( X  -  Y
) )  /  T
)  =  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) )
9387, 92breqtrd 4420 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) )
9420simp2d 1043 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <  Y )
9510, 21sublt0d 10260 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  Y )  <  0  <->  X  <  Y ) )
9694, 95mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  -  Y
)  <  0 )
9769, 71, 96divlt0gt0d 37586 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  Y )  /  T
)  <  0 )
9869, 16, 27redivcld 10457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  Y )  /  T
)  e.  RR )
99 1red 9676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
100 ltaddneg 9865 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  -  Y )  /  T
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( X  -  Y )  /  T )  <  0  <->  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) )  <  1 ) )
10198, 99, 100syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  Y )  /  T )  <  0  <->  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) )  <  1 ) )
10297, 101mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  <  1 )
10353flcld 12067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  e.  ZZ )
104103zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  e.  CC )
105104, 46mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
)  e.  CC )
10634, 105pncan2d 10007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) )  -  X
)  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )
107106eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
)  =  ( ( X  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )  -  X ) )
108107oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T )  /  T
)  =  ( ( ( X  +  ( ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  x.  T ) )  -  X )  /  T ) )
109104, 46, 27divcan4d 10411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T )  /  T
)  =  ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) ) )
110 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
111 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  X  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  X ) )
112111oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  X  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  X )  /  T ) )
113112fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  X  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) ) )
114113oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  X  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )
115110, 114oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( X  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) ) )
116115adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( X  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) ) )
117 reflcl 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  -  X
)  /  T )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  e.  RR )
11853, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  e.  RR )
119118, 16remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
)  e.  RR )
12010, 119readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
1212, 116, 10, 120fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E `  X
)  =  ( X  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) ) )
122121eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( E `
 X ) )
123122oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) )  -  X
)  =  ( ( E `  X )  -  X ) )
124123oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )  -  X )  /  T
)  =  ( ( ( E `  X
)  -  X )  /  T ) )
125 fourierdlem26.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E `  X
)  =  B )
126125oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E `  X )  -  X
)  =  ( B  -  X ) )
127126oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 X )  -  X )  /  T
)  =  ( ( B  -  X )  /  T ) )
128124, 127eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )  -  X )  /  T
)  =  ( ( B  -  X )  /  T ) )
129108, 109, 1283eqtr3d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  =  ( ( B  -  X )  /  T ) )
130129, 103eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  X )  /  T
)  e.  ZZ )
131 1zzd 10992 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
132130, 131zsubcld 11068 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  -  1 )  e.  ZZ )
13399, 98readdcld 9688 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  e.  RR )
134 flbi2 12085 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( B  -  X )  /  T )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( 1  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( ( ( ( B  -  X
)  /  T )  -  1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) ) ) )  =  ( ( ( B  -  X )  /  T )  -  1 )  <->  ( 0  <_ 
( 1  +  ( ( X  -  Y
)  /  T ) )  /\  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) )  <  1 ) ) )
135132, 133, 134syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( ( ( B  -  X )  /  T )  - 
1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) ) )  =  ( ( ( B  -  X )  /  T
)  -  1 )  <-> 
( 0  <_  (
1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) )  /\  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T
) )  <  1
) ) )
13693, 102, 135mpbir2and 936 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( ( ( B  -  X )  /  T )  -  1 )  +  ( 1  +  ( ( X  -  Y )  /  T ) ) ) )  =  ( ( ( B  -  X
)  /  T )  -  1 ) )
137129eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  X )  /  T
)  =  ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) ) )
138137oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  -  X )  /  T )  -  1 )  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  -  1 ) )
13968, 136, 1383eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  -  1 ) )
140139oveq1d 6323 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Y )  /  T
) )  x.  T
)  =  ( ( ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  -  1 )  x.  T ) )
141140oveq2d 6324 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( ( |_ `  (
( B  -  Y
)  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( Y  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  -  1 )  x.  T ) ) )
14237oveq1d 6323 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  -  1 )  x.  T ) )  =  ( ( X  +  ( Y  -  X ) )  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  -  1 )  x.  T ) ) )
143104, 57, 46subdird 10096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  - 
1 )  x.  T
)  =  ( ( ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  x.  T )  -  ( 1  x.  T ) ) )
144143oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( Y  -  X
) )  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  -  1 )  x.  T ) )  =  ( ( X  +  ( Y  -  X ) )  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T )  -  ( 1  x.  T
) ) ) )
14534, 40addcld 9680 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( Y  -  X ) )  e.  CC )
14657, 46mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  T
)  e.  CC )
147145, 105, 146addsubassd 10025 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( Y  -  X ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) )  -  (
1  x.  T ) )  =  ( ( X  +  ( Y  -  X ) )  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T )  -  ( 1  x.  T
) ) ) )
148147eqcomd 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( Y  -  X
) )  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
)  -  ( 1  x.  T ) ) )  =  ( ( ( X  +  ( Y  -  X ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )  -  ( 1  x.  T ) ) )
14934, 40, 105add32d 9877 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( Y  -  X
) )  +  ( ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( ( X  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )  +  ( Y  -  X ) ) )
150149oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( Y  -  X ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) )  -  (
1  x.  T ) )  =  ( ( ( X  +  ( ( |_ `  (
( B  -  X
)  /  T ) )  x.  T ) )  +  ( Y  -  X ) )  -  ( 1  x.  T ) ) )
151122oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) )  +  ( Y  -  X ) )  =  ( ( E `  X )  +  ( Y  -  X ) ) )
15246mulid2d 9679 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  T
)  =  T )
153151, 152oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  X )  /  T ) )  x.  T ) )  +  ( Y  -  X
) )  -  (
1  x.  T ) )  =  ( ( ( E `  X
)  +  ( Y  -  X ) )  -  T ) )
154125, 13eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E `  X
)  e.  RR )
155154recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E `  X
)  e.  CC )
156155, 40, 46addsubd 10026 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 X )  +  ( Y  -  X
) )  -  T
)  =  ( ( ( E `  X
)  -  T )  +  ( Y  -  X ) ) )
157125oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E `  X )  -  T
)  =  ( B  -  T ) )
15812a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =  ( B  -  A ) )
159158oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  T
)  =  ( B  -  ( B  -  A ) ) )
16014recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
16139, 160nncand 10010 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  ( B  -  A )
)  =  A )
162157, 159, 1613eqtrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E `  X )  -  T
)  =  A )
163162oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 X )  -  T )  +  ( Y  -  X ) )  =  ( A  +  ( Y  -  X ) ) )
164156, 163eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 X )  +  ( Y  -  X
) )  -  T
)  =  ( A  +  ( Y  -  X ) ) )
165150, 153, 1643eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( Y  -  X ) )  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  x.  T
) )  -  (
1  x.  T ) )  =  ( A  +  ( Y  -  X ) ) )
166144, 148, 1653eqtrd 2509 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( Y  -  X
) )  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  -  1 )  x.  T ) )  =  ( A  +  ( Y  -  X ) ) )
167142, 166eqtrd 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  +  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  X )  /  T
) )  -  1 )  x.  T ) )  =  ( A  +  ( Y  -  X ) ) )
16833, 141, 1673eqtrd 2509 1  |-  ( ph  ->  ( E `  Y
)  =  ( A  +  ( Y  -  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   ZZcz 10961   (,]cioc 11661   |_cfl 12059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ioc 11665  df-fl 12061
This theorem is referenced by:  fourierdlem65  38147  fourierdlem79  38161
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