Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem26 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fourierdlem26 37995
 Description: Periodic image of a point that's in the period that begins with the point . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem26.1
fourierdlem26.2
fourierdlem26.3
fourierdlem26.4
fourierdlem26.5
fourierdlem26.6
fourierdlem26.7
fourierdlem26.8
Assertion
Ref Expression
fourierdlem26
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem fourierdlem26
StepHypRef Expression
1 fourierdlem26.5 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 simpr 463 . . . 4
43oveq2d 6306 . . . . . . 7
54oveq1d 6305 . . . . . 6
65fveq2d 5869 . . . . 5
76oveq1d 6305 . . . 4
83, 7oveq12d 6308 . . 3
9 fourierdlem26.8 . . . . 5
10 fourierdlem26.6 . . . . . . 7
1110rexrd 9690 . . . . . 6
12 fourierdlem26.4 . . . . . . . 8
13 fourierdlem26.2 . . . . . . . . 9
14 fourierdlem26.1 . . . . . . . . 9
1513, 14resubcld 10047 . . . . . . . 8
1612, 15syl5eqel 2533 . . . . . . 7
1710, 16readdcld 9670 . . . . . 6
18 elioc2 11697 . . . . . 6
1911, 17, 18syl2anc 667 . . . . 5
209, 19mpbid 214 . . . 4
2120simp1d 1020 . . 3
2213, 21resubcld 10047 . . . . . . . 8
23 fourierdlem26.3 . . . . . . . . . . 11
2414, 13posdifd 10200 . . . . . . . . . . 11
2523, 24mpbid 214 . . . . . . . . . 10
2625, 12syl6breqr 4443 . . . . . . . . 9
2726gt0ne0d 10178 . . . . . . . 8
2822, 16, 27redivcld 10435 . . . . . . 7
2928flcld 12034 . . . . . 6
3029zred 11040 . . . . 5
3130, 16remulcld 9671 . . . 4
3221, 31readdcld 9670 . . 3
332, 8, 21, 32fvmptd 5954 . 2
3410recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12
3521recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12
3634, 35pncan3d 9989 . . . . . . . . . . 11
3736eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10
3837oveq2d 6306 . . . . . . . . 9
3913recnd 9669 . . . . . . . . . 10
4035, 34subcld 9986 . . . . . . . . . 10
4139, 34, 40subsub4d 10017 . . . . . . . . 9
4238, 41eqtr4d 2488 . . . . . . . 8
4342oveq1d 6305 . . . . . . 7
4413, 10resubcld 10047 . . . . . . . . 9
4544recnd 9669 . . . . . . . 8
4616recnd 9669 . . . . . . . 8
4745, 40, 46, 27divsubdird 10422 . . . . . . 7
4840, 46, 27divnegd 10396 . . . . . . . . . 10
4935, 34negsubdi2d 10002 . . . . . . . . . . 11
5049oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10
5148, 50eqtrd 2485 . . . . . . . . 9
5251oveq2d 6306 . . . . . . . 8
5344, 16, 27redivcld 10435 . . . . . . . . . 10
5453recnd 9669 . . . . . . . . 9
5540, 46, 27divcld 10383 . . . . . . . . 9
5654, 55negsubd 9992 . . . . . . . 8
57 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . 12
5854, 57npcand 9990 . . . . . . . . . . 11
5958eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10
6059oveq1d 6305 . . . . . . . . 9
6154, 57subcld 9986 . . . . . . . . . 10
6234, 35subcld 9986 . . . . . . . . . . 11
6362, 46, 27divcld 10383 . . . . . . . . . 10
6461, 57, 63addassd 9665 . . . . . . . . 9
6560, 64eqtrd 2485 . . . . . . . 8
6652, 56, 653eqtr3d 2493 . . . . . . 7
6743, 47, 663eqtrd 2489 . . . . . 6
6867fveq2d 5869 . . . . 5
6910, 21resubcld 10047 . . . . . . . . 9
7016, 69readdcld 9670 . . . . . . . 8
7116, 26elrpd 11338 . . . . . . . 8
7234, 46addcomd 9835 . . . . . . . . . . . . . . 15
7372oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14
749, 73eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . 13
7516, 10readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14
76 elioc2 11697 . . . . . . . . . . . . . 14
7711, 75, 76syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13
7874, 77mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12
7978simp3d 1022 . . . . . . . . . . 11
8021, 10, 16lesubaddd 10210 . . . . . . . . . . 11
8179, 80mpbird 236 . . . . . . . . . 10
8221, 10resubcld 10047 . . . . . . . . . . 11
8316, 82subge0d 10203 . . . . . . . . . 10
8481, 83mpbird 236 . . . . . . . . 9
8546, 35, 34subsub2d 10015 . . . . . . . . 9
8684, 85breqtrd 4427 . . . . . . . 8
8770, 71, 86divge0d 11378 . . . . . . 7
8846, 62, 46, 27divdird 10421 . . . . . . . 8
8946, 27dividd 10381 . . . . . . . . . 10
9089eqcomd 2457 . . . . . . . . 9
9190oveq1d 6305 . . . . . . . 8
9288, 91eqtr4d 2488 . . . . . . 7
9387, 92breqtrd 4427 . . . . . 6
9420simp2d 1021 . . . . . . . . 9
9510, 21sublt0d 10238 . . . . . . . . 9
9694, 95mpbird 236 . . . . . . . 8
9769, 71, 96divlt0gt0d 37496 . . . . . . 7
9869, 16, 27redivcld 10435 . . . . . . . 8
99 1red 9658 . . . . . . . 8
100 ltaddneg 37508 . . . . . . . 8
10198, 99, 100syl2anc 667 . . . . . . 7
10297, 101mpbid 214 . . . . . 6
10353flcld 12034 . . . . . . . . . . . . . . 15
104103zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . 14
105104, 46mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . 13
10634, 105pncan2d 9988 . . . . . . . . . . . 12
107106eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11
108107oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10
109104, 46, 27divcan4d 10389 . . . . . . . . . 10
110 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112111oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113112fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114113oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115110, 114oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116115adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
117 reflcl 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11853, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119118, 16remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12010, 119readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15
1212, 116, 10, 120fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . . . 14
122121eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . 13
123122oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12
124123oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11
125 fourierdlem26.7 . . . . . . . . . . . . 13
126125oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12
127126oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11
128124, 127eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10
129108, 109, 1283eqtr3d 2493 . . . . . . . . 9
130129, 103eqeltrrd 2530 . . . . . . . 8
131 1zzd 10968 . . . . . . . 8
132130, 131zsubcld 11045 . . . . . . 7
13399, 98readdcld 9670 . . . . . . 7
134 flbi2 12052 . . . . . . 7
135132, 133, 134syl2anc 667 . . . . . 6
13693, 102, 135mpbir2and 933 . . . . 5
137129eqcomd 2457 . . . . . 6
138137oveq1d 6305 . . . . 5
13968, 136, 1383eqtrd 2489 . . . 4
140139oveq1d 6305 . . 3
141140oveq2d 6306 . 2
14237oveq1d 6305 . . 3
143104, 57, 46subdird 10075 . . . . 5
144143oveq2d 6306 . . . 4
14534, 40addcld 9662 . . . . . 6
14657, 46mulcld 9663 . . . . . 6
147145, 105, 146addsubassd 10006 . . . . 5
148147eqcomd 2457 . . . 4
14934, 40, 105add32d 9857 . . . . . 6
150149oveq1d 6305 . . . . 5
151122oveq1d 6305 . . . . . 6
15246mulid2d 9661 . . . . . 6
153151, 152oveq12d 6308 . . . . 5
154125, 13eqeltrd 2529 . . . . . . . 8
155154recnd 9669 . . . . . . 7
156155, 40, 46addsubd 10007 . . . . . 6
157125oveq1d 6305 . . . . . . . 8
15812a1i 11 . . . . . . . . 9
159158oveq2d 6306 . . . . . . . 8
16014recnd 9669 . . . . . . . . 9
16139, 160nncand 9991 . . . . . . . 8
162157, 159, 1613eqtrd 2489 . . . . . . 7
163162oveq1d 6305 . . . . . 6
164156, 163eqtrd 2485 . . . . 5
165150, 153, 1643eqtrd 2489 . . . 4
166144, 148, 1653eqtrd 2489 . . 3
167142, 166eqtrd 2485 . 2
16833, 141, 1673eqtrd 2489 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   class class class wbr 4402   cmpt 4461  cfv 5582  (class class class)co 6290  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544  cxr 9674   clt 9675   cle 9676   cmin 9860  cneg 9861   cdiv 10269  cz 10937  cioc 11636  cfl 12026 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ioc 11640  df-fl 12028 This theorem is referenced by:  fourierdlem65  38035  fourierdlem79  38049
 Copyright terms: Public domain W3C validator