Theorem fourierdlem26 38107

Description: Periodic image of a point Y that's in the period that begins with the point X. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem26.1	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem26.2	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem26.3	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem26.4	|- T = ( B - A )
fourierdlem26.5	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem26.6	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem26.7	|- ( ph -> ( E ` X ) = B )
fourierdlem26.8	|- ( ph -> Y e. ( X (,] ( X + T ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem26	|- ( ph -> ( E ` Y ) = ( A + ( Y - X ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, T   x, X   x, Y   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   E( x)

Proof of Theorem fourierdlem26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem26.5	. . . 4 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
3		simpr 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> x = Y )
4	3	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( B - x ) = ( B - Y ) )
5	4	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - Y ) / T ) )
6	5	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) )
7	6	oveq1d 6323	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) )
8	3, 7	oveq12d 6326	. . 3 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) )
9		fourierdlem26.8	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( X (,] ( X + T ) ) )
10		fourierdlem26.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. RR )
11	10	rexrd 9708	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. RR* )
12		fourierdlem26.4	. . . . . . . 8 |- T = ( B - A )
13		fourierdlem26.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
14		fourierdlem26.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
15	13, 14	resubcld 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
16	12, 15	syl5eqel 2553	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. RR )
17	10, 16	readdcld 9688	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X + T ) e. RR )
18		elioc2 11722	. . . . . 6 |- ( ( X e. RR* /\ ( X + T ) e. RR ) -> ( Y e. ( X (,] ( X + T ) ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( X + T ) ) ) )
19	11, 17, 18	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( Y e. ( X (,] ( X + T ) ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( X + T ) ) ) )
20	9, 19	mpbid 215	. . . 4 |- ( ph -> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( X + T ) ) )
21	20	simp1d 1042	. . 3 |- ( ph -> Y e. RR )
22	13, 21	resubcld 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - Y ) e. RR )
23		fourierdlem26.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A < B )
24	14, 13	posdifd 10221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
25	23, 24	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
26	25, 12	syl6breqr 4436	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < T )
27	26	gt0ne0d 10199	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T =/= 0 )
28	22, 16, 27	redivcld 10457	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B - Y ) / T ) e. RR )
29	28	flcld 12067	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) e. ZZ )
30	29	zred 11063	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) e. RR )
31	30, 16	remulcld 9689	. . . 4 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) e. RR )
32	21, 31	readdcld 9688	. . 3 |- ( ph -> ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
33	2, 8, 21, 32	fvmptd 5969	. 2 |- ( ph -> ( E ` Y ) = ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) )
34	10	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. CC )
35	21	recnd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. CC )
36	34, 35	pncan3d 10008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X + ( Y - X ) ) = Y )
37	36	eqcomd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y = ( X + ( Y - X ) ) )
38	37	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - Y ) = ( B - ( X + ( Y - X ) ) ) )
39	13	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
40	35, 34	subcld 10005	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y - X ) e. CC )
41	39, 34, 40	subsub4d 10036	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B - X ) - ( Y - X ) ) = ( B - ( X + ( Y - X ) ) ) )
42	38, 41	eqtr4d 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - Y ) = ( ( B - X ) - ( Y - X ) ) )
43	42	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B - Y ) / T ) = ( ( ( B - X ) - ( Y - X ) ) / T ) )
44	13, 10	resubcld 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - X ) e. RR )
45	44	recnd 9687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - X ) e. CC )
46	16	recnd 9687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. CC )
47	45, 40, 46, 27	divsubdird 10444	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) - ( Y - X ) ) / T ) = ( ( ( B - X ) / T ) - ( ( Y - X ) / T ) ) )
48	40, 46, 27	divnegd 10418	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( ( Y - X ) / T ) = ( -u ( Y - X ) / T ) )
49	35, 34	negsubdi2d 10021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( Y - X ) = ( X - Y ) )
50	49	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u ( Y - X ) / T ) = ( ( X - Y ) / T ) )
51	48, 50	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( ( Y - X ) / T ) = ( ( X - Y ) / T ) )
52	51	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) + -u ( ( Y - X ) / T ) ) = ( ( ( B - X ) / T ) + ( ( X - Y ) / T ) ) )
53	44, 16, 27	redivcld 10457	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) e. RR )
54	53	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) e. CC )
55	40, 46, 27	divcld 10405	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Y - X ) / T ) e. CC )
56	54, 55	negsubd 10011	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) + -u ( ( Y - X ) / T ) ) = ( ( ( B - X ) / T ) - ( ( Y - X ) / T ) ) )
57		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
58	54, 57	npcand 10009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + 1 ) = ( ( B - X ) / T ) )
59	58	eqcomd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) = ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + 1 ) )
60	59	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) + ( ( X - Y ) / T ) ) = ( ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + 1 ) + ( ( X - Y ) / T ) ) )
61	54, 57	subcld 10005	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) e. CC )
62	34, 35	subcld 10005	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X - Y ) e. CC )
63	62, 46, 27	divcld 10405	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X - Y ) / T ) e. CC )
64	61, 57, 63	addassd 9683	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + 1 ) + ( ( X - Y ) / T ) ) = ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) )
65	60, 64	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) + ( ( X - Y ) / T ) ) = ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) )
66	52, 56, 65	3eqtr3d 2513	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) - ( ( Y - X ) / T ) ) = ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) )
67	43, 47, 66	3eqtrd 2509	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B - Y ) / T ) = ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) )
68	67	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) ) )
69	10, 21	resubcld 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X - Y ) e. RR )
70	16, 69	readdcld 9688	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T + ( X - Y ) ) e. RR )
71	16, 26	elrpd 11361	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. RR+ )
72	34, 46	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X + T ) = ( T + X ) )
73	72	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X (,] ( X + T ) ) = ( X (,] ( T + X ) ) )
74	9, 73	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. ( X (,] ( T + X ) ) )
75	16, 10	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T + X ) e. RR )
76		elioc2 11722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. RR* /\ ( T + X ) e. RR ) -> ( Y e. ( X (,] ( T + X ) ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( T + X ) ) ) )
77	11, 75, 76	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Y e. ( X (,] ( T + X ) ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( T + X ) ) ) )
78	74, 77	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( T + X ) ) )
79	78	simp3d 1044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y <_ ( T + X ) )
80	21, 10, 16	lesubaddd 10231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y - X ) <_ T <-> Y <_ ( T + X ) ) )
81	79, 80	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y - X ) <_ T )
82	21, 10	resubcld 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y - X ) e. RR )
83	16, 82	subge0d 10224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 <_ ( T - ( Y - X ) ) <-> ( Y - X ) <_ T ) )
84	81, 83	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( T - ( Y - X ) ) )
85	46, 35, 34	subsub2d 10034	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T - ( Y - X ) ) = ( T + ( X - Y ) ) )
86	84, 85	breqtrd 4420	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( T + ( X - Y ) ) )
87	70, 71, 86	divge0d 11401	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( ( T + ( X - Y ) ) / T ) )
88	46, 62, 46, 27	divdird 10443	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T + ( X - Y ) ) / T ) = ( ( T / T ) + ( ( X - Y ) / T ) ) )
89	46, 27	dividd 10403	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T / T ) = 1 )
90	89	eqcomd 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 = ( T / T ) )
91	90	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) = ( ( T / T ) + ( ( X - Y ) / T ) ) )
92	88, 91	eqtr4d 2508	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T + ( X - Y ) ) / T ) = ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) )
93	87, 92	breqtrd 4420	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) )
94	20	simp2d 1043	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X < Y )
95	10, 21	sublt0d 10260	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X - Y ) < 0 <-> X < Y ) )
96	94, 95	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X - Y ) < 0 )
97	69, 71, 96	divlt0gt0d 37586	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X - Y ) / T ) < 0 )
98	69, 16, 27	redivcld 10457	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X - Y ) / T ) e. RR )
99		1red 9676	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
100		ltaddneg 9865	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X - Y ) / T ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( X - Y ) / T ) < 0 <-> ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) < 1 ) )
101	98, 99, 100	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( X - Y ) / T ) < 0 <-> ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) < 1 ) )
102	97, 101	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) < 1 )
103	53	flcld 12067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ )
104	103	zcnd 11064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. CC )
105	104, 46	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) e. CC )
106	34, 105	pncan2d 10007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
107	106	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) = ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) )
108	107	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) / T ) )
109	104, 46, 27	divcan4d 10411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) )
110		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = X -> x = X )
111		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = X -> ( B - x ) = ( B - X ) )
112	111	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = X -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - X ) / T ) )
113	112	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = X -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) )
114	113	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = X -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
115	110, 114	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = X -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
116	115	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x = X ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
117		reflcl 12065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B - X ) / T ) e. RR -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. RR )
118	53, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. RR )
119	118, 16	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) e. RR )
120	10, 119	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
121	2, 116, 10, 120	fvmptd 5969	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E ` X ) = ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
122	121	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) = ( E ` X ) )
123	122	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) = ( ( E ` X ) - X ) )
124	123	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) / T ) = ( ( ( E ` X ) - X ) / T ) )
125		fourierdlem26.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E ` X ) = B )
126	125	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` X ) - X ) = ( B - X ) )
127	126	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ` X ) - X ) / T ) = ( ( B - X ) / T ) )
128	124, 127	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) / T ) = ( ( B - X ) / T ) )
129	108, 109, 128	3eqtr3d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) = ( ( B - X ) / T ) )
130	129, 103	eqeltrrd 2550	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) e. ZZ )
131		1zzd 10992	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
132	130, 131	zsubcld 11068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) e. ZZ )
133	99, 98	readdcld 9688	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) e. RR )
134		flbi2 12085	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) e. ZZ /\ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) ) = ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) <-> ( 0 <_ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) /\ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) < 1 ) ) )
135	132, 133, 134	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) ) = ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) <-> ( 0 <_ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) /\ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) < 1 ) ) )
136	93, 102, 135	mpbir2and 936	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) ) = ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) )
137	129	eqcomd 2477	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) )
138	137	oveq1d 6323	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) )
139	68, 136, 138	3eqtrd 2509	. . . 4 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) )
140	139	oveq1d 6323	. . 3 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) )
141	140	oveq2d 6324	. 2 |- ( ph -> ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) = ( Y + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) )
142	37	oveq1d 6323	. . 3 |- ( ph -> ( Y + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) = ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) )
143	104, 57, 46	subdird 10096	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) )
144	143	oveq2d 6324	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) = ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) ) )
145	34, 40	addcld 9680	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X + ( Y - X ) ) e. CC )
146	57, 46	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 x. T ) e. CC )
147	145, 105, 146	addsubassd 10025	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - ( 1 x. T ) ) = ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) ) )
148	147	eqcomd 2477	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) ) = ( ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - ( 1 x. T ) ) )
149	34, 40, 105	add32d 9877	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) + ( Y - X ) ) )
150	149	oveq1d 6323	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - ( 1 x. T ) ) = ( ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) + ( Y - X ) ) - ( 1 x. T ) ) )
151	122	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) + ( Y - X ) ) = ( ( E ` X ) + ( Y - X ) ) )
152	46	mulid2d 9679	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 x. T ) = T )
153	151, 152	oveq12d 6326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) + ( Y - X ) ) - ( 1 x. T ) ) = ( ( ( E ` X ) + ( Y - X ) ) - T ) )
154	125, 13	eqeltrd 2549	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ` X ) e. RR )
155	154	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E ` X ) e. CC )
156	155, 40, 46	addsubd 10026	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ` X ) + ( Y - X ) ) - T ) = ( ( ( E ` X ) - T ) + ( Y - X ) ) )
157	125	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ` X ) - T ) = ( B - T ) )
158	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T = ( B - A ) )
159	158	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - T ) = ( B - ( B - A ) ) )
160	14	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
161	39, 160	nncand 10010	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - ( B - A ) ) = A )
162	157, 159, 161	3eqtrd 2509	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E ` X ) - T ) = A )
163	162	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ` X ) - T ) + ( Y - X ) ) = ( A + ( Y - X ) ) )
164	156, 163	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E ` X ) + ( Y - X ) ) - T ) = ( A + ( Y - X ) ) )
165	150, 153, 164	3eqtrd 2509	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - ( 1 x. T ) ) = ( A + ( Y - X ) ) )
166	144, 148, 165	3eqtrd 2509	. . 3 |- ( ph -> ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) = ( A + ( Y - X ) ) )
167	142, 166	eqtrd 2505	. 2 |- ( ph -> ( Y + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) = ( A + ( Y - X ) ) )
168	33, 141, 167	3eqtrd 2509	1 |- ( ph -> ( E ` Y ) = ( A + ( Y - X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   -ucneg 9881   / cdiv 10291   ZZcz 10961   (,]cioc 11661   |_cfl 12059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ioc 11665  df-fl 12061

This theorem is referenced by:  fourierdlem65  38147  fourierdlem79  38161