Theorem fourierdlem26 32157

Description: Periodic image of a point Y that's in the period that begins with the point X. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem26.1	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem26.2	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem26.3	|- ( ph -> A < B )
fourierdlem26.4	|- T = ( B - A )
fourierdlem26.5	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem26.6	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem26.7	|- ( ph -> ( E ` X ) = B )
fourierdlem26.8	|- ( ph -> Y e. ( X (,] ( X + T ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem26	|- ( ph -> ( E ` Y ) = ( A + ( Y - X ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, T   x, X   x, Y   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   E( x)

Proof of Theorem fourierdlem26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem26.5	. . . 4 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
3		simpr 459	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> x = Y )
4	3	oveq2d 6286	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( B - x ) = ( B - Y ) )
5	4	oveq1d 6285	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - Y ) / T ) )
6	5	fveq2d 5852	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) )
7	6	oveq1d 6285	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) )
8	3, 7	oveq12d 6288	. . 3 |- ( ( ph /\ x = Y ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) )
9		fourierdlem26.8	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( X (,] ( X + T ) ) )
10		fourierdlem26.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. RR )
11	10	rexrd 9632	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. RR* )
12		fourierdlem26.4	. . . . . . . 8 |- T = ( B - A )
13		fourierdlem26.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
14		fourierdlem26.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
15	13, 14	resubcld 9983	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
16	12, 15	syl5eqel 2546	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. RR )
17	10, 16	readdcld 9612	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X + T ) e. RR )
18		elioc2 11590	. . . . . 6 |- ( ( X e. RR* /\ ( X + T ) e. RR ) -> ( Y e. ( X (,] ( X + T ) ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( X + T ) ) ) )
19	11, 17, 18	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( Y e. ( X (,] ( X + T ) ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( X + T ) ) ) )
20	9, 19	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( X + T ) ) )
21	20	simp1d 1006	. . 3 |- ( ph -> Y e. RR )
22	13, 21	resubcld 9983	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - Y ) e. RR )
23		fourierdlem26.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A < B )
24	14, 13	posdifd 10135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
25	23, 24	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
26	25, 12	syl6breqr 4479	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < T )
27	26	gt0ne0d 10113	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T =/= 0 )
28	22, 16, 27	redivcld 10368	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B - Y ) / T ) e. RR )
29	28	flcld 11916	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) e. ZZ )
30	29	zred 10965	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) e. RR )
31	30, 16	remulcld 9613	. . . 4 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) e. RR )
32	21, 31	readdcld 9612	. . 3 |- ( ph -> ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
33	2, 8, 21, 32	fvmptd 5936	. 2 |- ( ph -> ( E ` Y ) = ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) )
34	10	recnd 9611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. CC )
35	21	recnd 9611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. CC )
36	34, 35	pncan3d 9925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X + ( Y - X ) ) = Y )
37	36	eqcomd 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y = ( X + ( Y - X ) ) )
38	37	oveq2d 6286	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - Y ) = ( B - ( X + ( Y - X ) ) ) )
39	13	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
40	35, 34	subcld 9922	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y - X ) e. CC )
41	39, 34, 40	subsub4d 9953	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B - X ) - ( Y - X ) ) = ( B - ( X + ( Y - X ) ) ) )
42	38, 41	eqtr4d 2498	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - Y ) = ( ( B - X ) - ( Y - X ) ) )
43	42	oveq1d 6285	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B - Y ) / T ) = ( ( ( B - X ) - ( Y - X ) ) / T ) )
44	13, 10	resubcld 9983	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - X ) e. RR )
45	44	recnd 9611	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - X ) e. CC )
46	16	recnd 9611	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. CC )
47	45, 40, 46, 27	divsubdird 10355	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) - ( Y - X ) ) / T ) = ( ( ( B - X ) / T ) - ( ( Y - X ) / T ) ) )
48	40, 46, 27	divnegd 10329	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( ( Y - X ) / T ) = ( -u ( Y - X ) / T ) )
49	35, 34	negsubdi2d 9938	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( Y - X ) = ( X - Y ) )
50	49	oveq1d 6285	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u ( Y - X ) / T ) = ( ( X - Y ) / T ) )
51	48, 50	eqtrd 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( ( Y - X ) / T ) = ( ( X - Y ) / T ) )
52	51	oveq2d 6286	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) + -u ( ( Y - X ) / T ) ) = ( ( ( B - X ) / T ) + ( ( X - Y ) / T ) ) )
53	44, 16, 27	redivcld 10368	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) e. RR )
54	53	recnd 9611	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) e. CC )
55	40, 46, 27	divcld 10316	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Y - X ) / T ) e. CC )
56	54, 55	negsubd 9928	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) + -u ( ( Y - X ) / T ) ) = ( ( ( B - X ) / T ) - ( ( Y - X ) / T ) ) )
57		1cnd 9601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
58	54, 57	npcand 9926	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + 1 ) = ( ( B - X ) / T ) )
59	58	eqcomd 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) = ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + 1 ) )
60	59	oveq1d 6285	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) + ( ( X - Y ) / T ) ) = ( ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + 1 ) + ( ( X - Y ) / T ) ) )
61	54, 57	subcld 9922	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) e. CC )
62	34, 35	subcld 9922	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X - Y ) e. CC )
63	62, 46, 27	divcld 10316	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X - Y ) / T ) e. CC )
64	61, 57, 63	addassd 9607	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + 1 ) + ( ( X - Y ) / T ) ) = ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) )
65	60, 64	eqtrd 2495	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) + ( ( X - Y ) / T ) ) = ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) )
66	52, 56, 65	3eqtr3d 2503	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) - ( ( Y - X ) / T ) ) = ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) )
67	43, 47, 66	3eqtrd 2499	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B - Y ) / T ) = ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) )
68	67	fveq2d 5852	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) ) )
69	10, 21	resubcld 9983	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X - Y ) e. RR )
70	16, 69	readdcld 9612	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T + ( X - Y ) ) e. RR )
71	16, 26	elrpd 11256	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. RR+ )
72	34, 46	addcomd 9771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X + T ) = ( T + X ) )
73	72	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X (,] ( X + T ) ) = ( X (,] ( T + X ) ) )
74	9, 73	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. ( X (,] ( T + X ) ) )
75	16, 10	readdcld 9612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T + X ) e. RR )
76		elioc2 11590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. RR* /\ ( T + X ) e. RR ) -> ( Y e. ( X (,] ( T + X ) ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( T + X ) ) ) )
77	11, 75, 76	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Y e. ( X (,] ( T + X ) ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( T + X ) ) ) )
78	74, 77	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y e. RR /\ X < Y /\ Y <_ ( T + X ) ) )
79	78	simp3d 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y <_ ( T + X ) )
80	21, 10, 16	lesubaddd 10145	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y - X ) <_ T <-> Y <_ ( T + X ) ) )
81	79, 80	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y - X ) <_ T )
82	21, 10	resubcld 9983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y - X ) e. RR )
83	16, 82	subge0d 10138	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 <_ ( T - ( Y - X ) ) <-> ( Y - X ) <_ T ) )
84	81, 83	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( T - ( Y - X ) ) )
85	46, 35, 34	subsub2d 9951	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T - ( Y - X ) ) = ( T + ( X - Y ) ) )
86	84, 85	breqtrd 4463	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( T + ( X - Y ) ) )
87	70, 71, 86	divge0d 11295	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( ( T + ( X - Y ) ) / T ) )
88	46, 62, 46, 27	divdird 10354	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T + ( X - Y ) ) / T ) = ( ( T / T ) + ( ( X - Y ) / T ) ) )
89	46, 27	dividd 10314	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T / T ) = 1 )
90	89	eqcomd 2462	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 = ( T / T ) )
91	90	oveq1d 6285	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) = ( ( T / T ) + ( ( X - Y ) / T ) ) )
92	88, 91	eqtr4d 2498	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T + ( X - Y ) ) / T ) = ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) )
93	87, 92	breqtrd 4463	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) )
94	20	simp2d 1007	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X < Y )
95	10, 21	sublt0d 31737	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X - Y ) < 0 <-> X < Y ) )
96	94, 95	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X - Y ) < 0 )
97	69, 71, 96	divlt0gt0d 31712	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X - Y ) / T ) < 0 )
98	69, 16, 27	redivcld 10368	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X - Y ) / T ) e. RR )
99		1red 9600	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
100		ltaddneg 31727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X - Y ) / T ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( X - Y ) / T ) < 0 <-> ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) < 1 ) )
101	98, 99, 100	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( X - Y ) / T ) < 0 <-> ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) < 1 ) )
102	97, 101	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) < 1 )
103	53	flcld 11916	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. ZZ )
104	103	zcnd 10966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. CC )
105	104, 46	mulcld 9605	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) e. CC )
106	34, 105	pncan2d 9924	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
107	106	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) = ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) )
108	107	oveq1d 6285	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) / T ) )
109	104, 46, 27	divcan4d 10322	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) )
110		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = X -> x = X )
111		oveq2 6278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = X -> ( B - x ) = ( B - X ) )
112	111	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = X -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - X ) / T ) )
113	112	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = X -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) )
114	113	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = X -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) )
115	110, 114	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = X -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
116	115	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x = X ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
117		reflcl 11914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B - X ) / T ) e. RR -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. RR )
118	53, 117	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) e. RR )
119	118, 16	remulcld 9613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) e. RR )
120	10, 119	readdcld 9612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
121	2, 116, 10, 120	fvmptd 5936	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E ` X ) = ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) )
122	121	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) = ( E ` X ) )
123	122	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) = ( ( E ` X ) - X ) )
124	123	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) / T ) = ( ( ( E ` X ) - X ) / T ) )
125		fourierdlem26.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E ` X ) = B )
126	125	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` X ) - X ) = ( B - X ) )
127	126	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ` X ) - X ) / T ) = ( ( B - X ) / T ) )
128	124, 127	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - X ) / T ) = ( ( B - X ) / T ) )
129	108, 109, 128	3eqtr3d 2503	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) = ( ( B - X ) / T ) )
130	129, 103	eqeltrrd 2543	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) e. ZZ )
131		1zzd 10891	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
132	130, 131	zsubcld 10970	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) e. ZZ )
133	99, 98	readdcld 9612	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) e. RR )
134		flbi2 11934	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) e. ZZ /\ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) ) = ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) <-> ( 0 <_ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) /\ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) < 1 ) ) )
135	132, 133, 134	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) ) = ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) <-> ( 0 <_ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) /\ ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) < 1 ) ) )
136	93, 102, 135	mpbir2and 920	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) + ( 1 + ( ( X - Y ) / T ) ) ) ) = ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) )
137	129	eqcomd 2462	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B - X ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) )
138	137	oveq1d 6285	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( B - X ) / T ) - 1 ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) )
139	68, 136, 138	3eqtrd 2499	. . . 4 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) )
140	139	oveq1d 6285	. . 3 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) )
141	140	oveq2d 6286	. 2 |- ( ph -> ( Y + ( ( |_ ` ( ( B - Y ) / T ) ) x. T ) ) = ( Y + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) )
142	37	oveq1d 6285	. . 3 |- ( ph -> ( Y + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) = ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) )
143	104, 57, 46	subdird 10009	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) )
144	143	oveq2d 6286	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) = ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) ) )
145	34, 40	addcld 9604	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X + ( Y - X ) ) e. CC )
146	57, 46	mulcld 9605	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 x. T ) e. CC )
147	145, 105, 146	addsubassd 9942	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - ( 1 x. T ) ) = ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) ) )
148	147	eqcomd 2462	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) ) = ( ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - ( 1 x. T ) ) )
149	34, 40, 105	add32d 9793	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) + ( Y - X ) ) )
150	149	oveq1d 6285	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - ( 1 x. T ) ) = ( ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) + ( Y - X ) ) - ( 1 x. T ) ) )
151	122	oveq1d 6285	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) + ( Y - X ) ) = ( ( E ` X ) + ( Y - X ) ) )
152	46	mulid2d 9603	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 x. T ) = T )
153	151, 152	oveq12d 6288	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) + ( Y - X ) ) - ( 1 x. T ) ) = ( ( ( E ` X ) + ( Y - X ) ) - T ) )
154	125, 13	eqeltrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ` X ) e. RR )
155	154	recnd 9611	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E ` X ) e. CC )
156	155, 40, 46	addsubd 9943	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ` X ) + ( Y - X ) ) - T ) = ( ( ( E ` X ) - T ) + ( Y - X ) ) )
157	125	oveq1d 6285	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ` X ) - T ) = ( B - T ) )
158	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T = ( B - A ) )
159	158	oveq2d 6286	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - T ) = ( B - ( B - A ) ) )
160	14	recnd 9611	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
161	39, 160	nncand 9927	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - ( B - A ) ) = A )
162	157, 159, 161	3eqtrd 2499	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E ` X ) - T ) = A )
163	162	oveq1d 6285	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ` X ) - T ) + ( Y - X ) ) = ( A + ( Y - X ) ) )
164	156, 163	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E ` X ) + ( Y - X ) ) - T ) = ( A + ( Y - X ) ) )
165	150, 153, 164	3eqtrd 2499	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) x. T ) ) - ( 1 x. T ) ) = ( A + ( Y - X ) ) )
166	144, 148, 165	3eqtrd 2499	. . 3 |- ( ph -> ( ( X + ( Y - X ) ) + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) = ( A + ( Y - X ) ) )
167	142, 166	eqtrd 2495	. 2 |- ( ph -> ( Y + ( ( ( |_ ` ( ( B - X ) / T ) ) - 1 ) x. T ) ) = ( A + ( Y - X ) ) )
168	33, 141, 167	3eqtrd 2499	1 |- ( ph -> ( E ` Y ) = ( A + ( Y - X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   -ucneg 9797   / cdiv 10202   ZZcz 10860   (,]cioc 11533   |_cfl 11908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ioc 11537  df-fl 11910

This theorem is referenced by:  fourierdlem65  32196  fourierdlem79  32210