Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem25 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem25 32156
Description: If  C is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem25.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem25.qf  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem25.cel  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( Q `  0 ) [,] ( Q `  M ) ) )
fourierdlem25.cnel  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ran  Q )
fourierdlem25.i  |-  I  =  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem25  |-  ( ph  ->  E. j  e.  ( 0..^ M ) C  e.  ( ( Q `
 j ) (,) ( Q `  (
j  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, k    C, j    j, I    k, I    k, M    j, M    Q, k    Q, j
Allowed substitution hints:    ph( j, k)

Proof of Theorem fourierdlem25
Dummy variables  h  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem25.i . . 3  |-  I  =  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } ,  RR ,  <  )
2 ssrab2 3571 . . . 4  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C }  C_  (
0..^ M )
3 ltso 9654 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <  Or  RR )
5 fzofi 12069 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
6 ssfi 7733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  C_  ( 0..^ M ) )  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  e.  Fin )
75, 2, 6mp2an 670 . . . . . 6  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C }  e.  Fin
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }  e.  Fin )
9 0zd 10872 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
10 fourierdlem25.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1110nnzd 10964 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1210nngt0d 10575 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  M )
13 fzolb 11810 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  0  < 
M ) )
149, 11, 12, 13syl3anbrc 1178 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ M ) )
15 fourierdlem25.qf . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
16 elfzofz 11819 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ( 0..^ M )  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
1714, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
1815, 17ffvelrnd 6008 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR )
1910nnnn0d 10848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
20 nn0uz 11116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2119, 20syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
22 eluzfz2 11697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  M  e.  ( 0 ... M
) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
2415, 23ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  e.  RR )
2518, 24iccssred 31781 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
)  C_  RR )
26 fourierdlem25.cel . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( Q `  0 ) [,] ( Q `  M ) ) )
2725, 26sseldd 3490 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2818rexrd 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR* )
2924rexrd 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  e.  RR* )
30 iccgelb 11584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Q `  0
)  e.  RR*  /\  ( Q `  M )  e.  RR*  /\  C  e.  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
) )  ->  ( Q `  0 )  <_  C )
3128, 29, 26, 30syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <_  C )
32 fourierdlem25.cnel . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ran  Q )
33 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( Q `  0 ) )  ->  C  =  ( Q `  0 ) )
34 ffn 5713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
3515, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
3635adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( Q `  0 ) )  ->  Q  Fn  ( 0 ... M
) )
3717adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( Q `  0 ) )  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
38 fnfvelrn 6004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q  Fn  ( 0 ... M )  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( Q ` 
0 )  e.  ran  Q )
3936, 37, 38syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( Q `  0 ) )  ->  ( Q `  0 )  e. 
ran  Q )
4033, 39eqeltrd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( Q `  0 ) )  ->  C  e.  ran  Q )
4132, 40mtand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  C  =  ( Q `  0 ) )
4241neqned 2657 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  =/=  ( Q `
 0 ) )
4318, 27, 31, 42leneltd 31736 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <  C )
44 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( Q `  k )  =  ( Q ` 
0 ) )
4544breq1d 4449 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( Q `  k
)  <  C  <->  ( Q `  0 )  < 
C ) )
4645elrab 3254 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } 
<->  ( 0  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  0 )  <  C ) )
4714, 43, 46sylanbrc 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } )
48 ne0i 3789 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  =/=  (/) )
4947, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }  =/=  (/) )
50 fzossfz 11822 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ M )  C_  (
0 ... M )
51 fzssz 31709 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... M )  C_  ZZ
52 zssre 10867 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
5351, 52sstri 3498 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... M )  C_  RR
5450, 53sstri 3498 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ M )  C_  RR
552, 54sstri 3498 . . . . . 6  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C }  C_  RR
5655a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }  C_  RR )
57 fisupcl 7919 . . . . 5  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }  e.  Fin  /\  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C }  =/=  (/)  /\  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  C_  RR ) )  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C } ,  RR ,  <  )  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }
)
584, 8, 49, 56, 57syl13anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } ,  RR ,  <  )  e.  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } )
592, 58sseldi 3487 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } ,  RR ,  <  )  e.  ( 0..^ M ) )
601, 59syl5eqel 2546 . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ M ) )
6150, 60sseldi 3487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0 ... M ) )
6215, 61ffvelrnd 6008 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR )
6362rexrd 9632 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR* )
64 fzofzp1 11890 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
6560, 64syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
6615, 65ffvelrnd 6008 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
6766rexrd 9632 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
681, 58syl5eqel 2546 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } )
69 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( k  =  I  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  I ) )
7069breq1d 4449 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  (
( Q `  k
)  <  C  <->  ( Q `  I )  <  C
) )
7170elrab 3254 . . . . 5  |-  ( I  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } 
<->  ( I  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  I )  <  C ) )
7268, 71sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  I )  <  C ) )
7372simprd 461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  C )
7454, 60sseldi 3487 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  RR )
75 ltp1 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  RR  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
76 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  RR  ->  I  e.  RR )
77 peano2re 9742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  RR  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
7876, 77ltnled 9721 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  RR  ->  (
I  <  ( I  +  1 )  <->  -.  (
I  +  1 )  <_  I ) )
7975, 78mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  RR  ->  -.  ( I  +  1
)  <_  I )
8074, 79syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( I  + 
1 )  <_  I
)
8150, 51sstri 3498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0..^ M )  C_  ZZ
822, 81sstri 3498 . . . . . . . . . . 11  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C }  C_  ZZ
8382a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  C_  ZZ )
84 elrabi 3251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  ->  h  e.  ( 0..^ M ) )
85 elfzo0le 11843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  ( 0..^ M )  ->  h  <_  M )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  ->  h  <_  M
)
8786adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } )  ->  h  <_  M
)
8887ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. h  e.  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } h  <_  M )
89 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  M  ->  (
h  <_  m  <->  h  <_  M ) )
9089ralbidv 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  M  ->  ( A. h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } h  <_  m 
<-> 
A. h  e.  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } h  <_  M ) )
9190rspcev 3207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A. h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } h  <_  M )  ->  E. m  e.  ZZ  A. h  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }
h  <_  m )
9211, 88, 91syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E. m  e.  ZZ  A. h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } h  <_  m )
9392adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  E. m  e.  ZZ  A. h  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }
h  <_  m )
94 elfzuz 11687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
9565, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
9695adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
9711adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  M  e.  ZZ )
9853, 65sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  RR )
9998adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  e.  RR )
10097zred 10965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  M  e.  RR )
101 elfzle2 11693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  (
I  +  1 )  <_  M )
10265, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  <_  M )
103102adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  <_  M )
104 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)
10566adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
10627adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  C  e.  RR )
107105, 106ltnled 9721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C  <->  -.  C  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
108104, 107mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  -.  C  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
109 iccleub 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Q `  0
)  e.  RR*  /\  ( Q `  M )  e.  RR*  /\  C  e.  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
) )  ->  C  <_  ( Q `  M
) )
11028, 29, 26, 109syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  <_  ( Q `  M ) )
111110adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  M  =  ( I  +  1
) )  ->  C  <_  ( Q `  M
) )
112 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  =  ( I  + 
1 )  ->  ( Q `  M )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
113112adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  M  =  ( I  +  1
) )  ->  ( Q `  M )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
114111, 113breqtrd 4463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  M  =  ( I  +  1
) )  ->  C  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
115114adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C )  /\  M  =  ( I  +  1 ) )  ->  C  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
116108, 115mtand 657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  -.  M  =  ( I  + 
1 ) )
117116neqned 2657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  M  =/=  ( I  +  1
) )
11899, 100, 103, 117leneltd 31736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  < 
M )
119 elfzo2 11807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ M )  <->  ( ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  M  e.  ZZ  /\  ( I  +  1 )  <  M ) )
12096, 97, 118, 119syl3anbrc 1178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )
121 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
122121breq1d 4449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  k
)  <  C  <->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
) )
123122elrab 3254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  +  1 )  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } 
<->  ( ( I  + 
1 )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C ) )
124120, 104, 123sylanbrc 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }
)
125 suprzub 11174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }  C_  ZZ  /\  E. m  e.  ZZ  A. h  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }
h  <_  m  /\  ( I  +  1
)  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } )  -> 
( I  +  1 )  <_  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C } ,  RR ,  <  )
)
12683, 93, 124, 125syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  <_  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } ,  RR ,  <  ) )
127126, 1syl6breqr 4479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  <_  I )
12880, 127mtand 657 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1
) )  <  C
)
129 eqcom 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C  <->  C  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
130129biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C  ->  C  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
131130adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C )  ->  C  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
13235adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C )  ->  Q  Fn  ( 0 ... M
) )
13365adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
134 fnfvelrn 6004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  Fn  ( 0 ... M )  /\  ( I  +  1
)  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  ran  Q )
135132, 133, 134syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ran  Q )
136131, 135eqeltrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C )  ->  C  e.  ran  Q )
13732, 136mtand 657 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  C )
138128, 137jca 530 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  < 
C  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C ) )
139 pm4.56 493 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( Q `  ( I  +  1
) )  <  C  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  C )  <->  -.  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C  \/  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C ) )
140138, 139sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  < 
C  \/  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  =  C ) )
14166, 27leloed 9717 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  C  <->  ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  <  C  \/  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C ) ) )
142140, 141mtbird 299 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  C
)
14327, 66ltnled 9721 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  <  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <->  -.  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  C )
)
144142, 143mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  C  <  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )
14563, 67, 27, 73, 144eliood 31773 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
146 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( j  =  I  ->  ( Q `  j )  =  ( Q `  I ) )
147 oveq1 6277 . . . . . 6  |-  ( j  =  I  ->  (
j  +  1 )  =  ( I  + 
1 ) )
148147fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( j  =  I  ->  ( Q `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
149146, 148oveq12d 6288 . . . 4  |-  ( j  =  I  ->  (
( Q `  j
) (,) ( Q `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
150149eleq2d 2524 . . 3  |-  ( j  =  I  ->  ( C  e.  ( ( Q `  j ) (,) ( Q `  (
j  +  1 ) ) )  <->  C  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
151150rspcev 3207 . 2  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ M )  /\  C  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ M ) C  e.  ( ( Q `  j ) (,) ( Q `  ( j  +  1 ) ) ) )
15260, 145, 151syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  E. j  e.  ( 0..^ M ) C  e.  ( ( Q `
 j ) (,) ( Q `  (
j  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808    C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439    Or wor 4788   ran crn 4989    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   supcsup 7892   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   (,)cioo 11532   [,]cicc 11535   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-ioo 11536  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800
This theorem is referenced by:  fourierdlem41  32172  fourierdlem48  32179  fourierdlem49  32180  fourierdlem70  32201  fourierdlem71  32202  fourierdlem103  32234  fourierdlem104  32235
  Copyright terms: Public domain W3C validator