Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem25 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fourierdlem25 38106
 Description: If is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem25.m
fourierdlem25.qf
fourierdlem25.cel
fourierdlem25.cnel
fourierdlem25.i ..^
Assertion
Ref Expression
fourierdlem25 ..^
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem fourierdlem25
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem25.i . . 3 ..^
2 ssrab2 3500 . . . 4 ..^ ..^
3 ltso 9732 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5
5 fzofi 12225 . . . . . . 7 ..^
6 ssfi 7810 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^ ..^
75, 2, 6mp2an 686 . . . . . 6 ..^
87a1i 11 . . . . 5 ..^
9 0zd 10973 . . . . . . . 8
10 fourierdlem25.m . . . . . . . . 9
1110nnzd 11062 . . . . . . . 8
1210nngt0d 10675 . . . . . . . 8
13 fzolb 11953 . . . . . . . 8 ..^
149, 11, 12, 13syl3anbrc 1214 . . . . . . 7 ..^
15 fourierdlem25.qf . . . . . . . . 9
16 elfzofz 11962 . . . . . . . . . 10 ..^
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9
1815, 17ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8
1910nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . 13
20 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . 13
2119, 20syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . 12
22 eluzfz2 11833 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11
2415, 23ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
2518, 24iccssred 37698 . . . . . . . . 9
26 fourierdlem25.cel . . . . . . . . 9
2725, 26sseldd 3419 . . . . . . . 8
2818rexrd 9708 . . . . . . . . 9
2924rexrd 9708 . . . . . . . . 9
30 iccgelb 11716 . . . . . . . . 9
3128, 29, 26, 30syl3anc 1292 . . . . . . . 8
32 fourierdlem25.cnel . . . . . . . . . 10
33 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
34 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . 14
3515, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
3635adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
3717adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
38 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . 12
3936, 37, 38syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
4033, 39eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10
4132, 40mtand 671 . . . . . . . . 9
4241neqned 2650 . . . . . . . 8
4318, 27, 31, 42leneltd 9806 . . . . . . 7
44 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
4544breq1d 4405 . . . . . . . 8
4645elrab 3184 . . . . . . 7 ..^ ..^
4714, 43, 46sylanbrc 677 . . . . . 6 ..^
48 ne0i 3728 . . . . . 6 ..^ ..^
4947, 48syl 17 . . . . 5 ..^
50 fzossfz 11965 . . . . . . . 8 ..^
51 fzssz 11827 . . . . . . . . 9
52 zssre 10968 . . . . . . . . 9
5351, 52sstri 3427 . . . . . . . 8
5450, 53sstri 3427 . . . . . . 7 ..^
552, 54sstri 3427 . . . . . 6 ..^
5655a1i 11 . . . . 5 ..^
57 fisupcl 8003 . . . . 5 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
584, 8, 49, 56, 57syl13anc 1294 . . . 4 ..^ ..^
592, 58sseldi 3416 . . 3 ..^ ..^
601, 59syl5eqel 2553 . 2 ..^
6150, 60sseldi 3416 . . . . 5
6215, 61ffvelrnd 6038 . . . 4
6362rexrd 9708 . . 3
64 fzofzp1 12037 . . . . . 6 ..^
6560, 64syl 17 . . . . 5
6615, 65ffvelrnd 6038 . . . 4
6766rexrd 9708 . . 3
681, 58syl5eqel 2553 . . . . 5 ..^
69 fveq2 5879 . . . . . . 7
7069breq1d 4405 . . . . . 6
7170elrab 3184 . . . . 5 ..^ ..^
7268, 71sylib 201 . . . 4 ..^
7372simprd 470 . . 3
7454, 60sseldi 3416 . . . . . . . . 9
75 ltp1 10465 . . . . . . . . . 10
76 id 22 . . . . . . . . . . 11
77 peano2re 9824 . . . . . . . . . . 11
7876, 77ltnled 9799 . . . . . . . . . 10
7975, 78mpbid 215 . . . . . . . . 9
8074, 79syl 17 . . . . . . . 8
8150, 51sstri 3427 . . . . . . . . . . . 12 ..^
822, 81sstri 3427 . . . . . . . . . . 11 ..^
8382a1i 11 . . . . . . . . . 10 ..^
84 elrabi 3181 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
85 elfzo0le 11987 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
8786adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
8887ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12 ..^
89 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . 14
9089ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
9190rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
9211, 88, 91syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 ..^
9392adantr 472 . . . . . . . . . 10 ..^
94 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . . . 14
9565, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
9711adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
9853, 65sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14
9998adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
10097zred 11063 . . . . . . . . . . . . 13
101 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . 15
10265, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
104 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10566adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10627adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107105, 106ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108104, 107mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15
109 iccleub 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11028, 29, 26, 109syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111110adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113112adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114111, 113breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15
116108, 115mtand 671 . . . . . . . . . . . . . 14
117116neqned 2650 . . . . . . . . . . . . 13
11899, 100, 103, 117leneltd 9806 . . . . . . . . . . . 12
119 elfzo2 11950 . . . . . . . . . . . 12 ..^
12096, 97, 118, 119syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . . 11 ..^
121 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
122121breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12
123122elrab 3184 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
124120, 104, 123sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10 ..^
125 suprzub 11278 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^ ..^ ..^
12683, 93, 124, 125syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 ..^
127126, 1syl6breqr 4436 . . . . . . . 8
12880, 127mtand 671 . . . . . . 7
129 eqcom 2478 . . . . . . . . . . 11
130129biimpi 199 . . . . . . . . . 10
131130adantl 473 . . . . . . . . 9
13235adantr 472 . . . . . . . . . 10
13365adantr 472 . . . . . . . . . 10
134 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . 10
135132, 133, 134syl2anc 673 . . . . . . . . 9
136131, 135eqeltrd 2549 . . . . . . . 8
13732, 136mtand 671 . . . . . . 7
138128, 137jca 541 . . . . . 6
139 pm4.56 503 . . . . . 6
140138, 139sylib 201 . . . . 5
14166, 27leloed 9795 . . . . 5
142140, 141mtbird 308 . . . 4
14327, 66ltnled 9799 . . . 4
144142, 143mpbird 240 . . 3
14563, 67, 27, 73, 144eliood 37691 . 2
146 fveq2 5879 . . . . 5
147 oveq1 6315 . . . . . 6
148147fveq2d 5883 . . . . 5
149146, 148oveq12d 6326 . . . 4
150149eleq2d 2534 . . 3
151150rspcev 3136 . 2 ..^ ..^
15260, 145, 151syl2anc 673 1 ..^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   wor 4759   crn 4840   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  csup 7972  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cioo 11660  cicc 11663  cfz 11810  ..^cfzo 11942 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943 This theorem is referenced by:  fourierdlem41  38123  fourierdlem48  38130  fourierdlem49  38131  fourierdlem70  38152  fourierdlem71  38153  fourierdlem103  38185  fourierdlem104  38186
 Copyright terms: Public domain W3C validator