Theorem fourierdlem25 32156

Description: If C is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem25.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem25.qf	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem25.cel	|- ( ph -> C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
fourierdlem25.cnel	|- ( ph -> -. C e. ran Q )
fourierdlem25.i	|- I = sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem25	|- ( ph -> E. j e. ( 0..^ M ) C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   C, k   C, j   j, I   k, I   k, M   j, M   Q, k   Q, j

Allowed substitution hints:   ph( j, k)

Proof of Theorem fourierdlem25

Dummy variables h m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem25.i	. . 3 |- I = sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < )
2		ssrab2 3571	. . . 4 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ( 0..^ M )
3		ltso 9654	. . . . . 6 |- < Or RR
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> < Or RR )
5		fzofi 12069	. . . . . . 7 |- ( 0..^ M ) e. Fin
6		ssfi 7733	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ( 0..^ M ) ) -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin )
7	5, 2, 6	mp2an 670	. . . . . 6 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin )
9		0zd 10872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
10		fourierdlem25.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
11	10	nnzd 10964	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
12	10	nngt0d 10575	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < M )
13		fzolb 11810	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 0 < M ) )
14	9, 11, 12, 13	syl3anbrc 1178	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ M ) )
15		fourierdlem25.qf	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
16		elfzofz 11819	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ( 0..^ M ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
17	14, 16	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
18	15, 17	ffvelrnd 6008	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
19	10	nnnn0d 10848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. NN0 )
20		nn0uz 11116	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
21	19, 20	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
22		eluzfz2 11697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
24	15, 23	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR )
25	18, 24	iccssred 31781	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) C_ RR )
26		fourierdlem25.cel	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
27	25, 26	sseldd 3490	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
28	18	rexrd 9632	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR* )
29	24	rexrd 9632	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR* )
30		iccgelb 11584	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q ` 0 ) e. RR* /\ ( Q ` M ) e. RR* /\ C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) ) -> ( Q ` 0 ) <_ C )
31	28, 29, 26, 30	syl3anc 1226	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) <_ C )
32		fourierdlem25.cnel	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. C e. ran Q )
33		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> C = ( Q ` 0 ) )
34		ffn 5713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Q Fn ( 0 ... M ) )
35	15, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
36	35	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> Q Fn ( 0 ... M ) )
37	17	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
38		fnfvelrn 6004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` 0 ) e. ran Q )
39	36, 37, 38	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> ( Q ` 0 ) e. ran Q )
40	33, 39	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> C e. ran Q )
41	32, 40	mtand 657	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. C = ( Q ` 0 ) )
42	41	neqned 2657	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C =/= ( Q ` 0 ) )
43	18, 27, 31, 42	leneltd 31736	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) < C )
44		fveq2 5848	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( Q ` k ) = ( Q ` 0 ) )
45	44	breq1d 4449	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ( Q ` k ) < C <-> ( Q ` 0 ) < C ) )
46	45	elrab 3254	. . . . . . 7 |- ( 0 e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } <-> ( 0 e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` 0 ) < C ) )
47	14, 43, 46	sylanbrc 662	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
48		ne0i 3789	. . . . . 6 |- ( 0 e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } =/= (/) )
49	47, 48	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } =/= (/) )
50		fzossfz 11822	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
51		fzssz 31709	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... M ) C_ ZZ
52		zssre 10867	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ RR
53	51, 52	sstri 3498	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... M ) C_ RR
54	50, 53	sstri 3498	. . . . . . 7 |- ( 0..^ M ) C_ RR
55	2, 54	sstri 3498	. . . . . 6 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ RR
56	55	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ RR )
57		fisupcl 7919	. . . . 5 |- ( ( < Or RR /\ ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin /\ { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } =/= (/) /\ { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ RR ) ) -> sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
58	4, 8, 49, 56, 57	syl13anc 1228	. . . 4 |- ( ph -> sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
59	2, 58	sseldi 3487	. . 3 |- ( ph -> sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) e. ( 0..^ M ) )
60	1, 59	syl5eqel 2546	. 2 |- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
61	50, 60	sseldi 3487	. . . . 5 |- ( ph -> I e. ( 0 ... M ) )
62	15, 61	ffvelrnd 6008	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR )
63	62	rexrd 9632	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR* )
64		fzofzp1 11890	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
65	60, 64	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
66	15, 65	ffvelrnd 6008	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
67	66	rexrd 9632	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
68	1, 58	syl5eqel 2546	. . . . 5 |- ( ph -> I e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
69		fveq2 5848	. . . . . . 7 |- ( k = I -> ( Q ` k ) = ( Q ` I ) )
70	69	breq1d 4449	. . . . . 6 |- ( k = I -> ( ( Q ` k ) < C <-> ( Q ` I ) < C ) )
71	70	elrab 3254	. . . . 5 |- ( I e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } <-> ( I e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` I ) < C ) )
72	68, 71	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( I e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` I ) < C ) )
73	72	simprd 461	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` I ) < C )
74	54, 60	sseldi 3487	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. RR )
75		ltp1 10376	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. RR -> I < ( I + 1 ) )
76		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. RR -> I e. RR )
77		peano2re 9742	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. RR -> ( I + 1 ) e. RR )
78	76, 77	ltnled 9721	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. RR -> ( I < ( I + 1 ) <-> -. ( I + 1 ) <_ I ) )
79	75, 78	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( I e. RR -> -. ( I + 1 ) <_ I )
80	74, 79	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. ( I + 1 ) <_ I )
81	50, 51	sstri 3498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0..^ M ) C_ ZZ
82	2, 81	sstri 3498	. . . . . . . . . . 11 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ZZ
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ZZ )
84		elrabi 3251	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } -> h e. ( 0..^ M ) )
85		elfzo0le 11843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h <_ M )
86	84, 85	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } -> h <_ M )
87	86	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } ) -> h <_ M )
88	87	ralrimiva 2868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ M )
89		breq2 4443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = M -> ( h <_ m <-> h <_ M ) )
90	89	ralbidv 2893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = M -> ( A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m <-> A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ M ) )
91	90	rspcev 3207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ M ) -> E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m )
92	11, 88, 91	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m )
93	92	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m )
94		elfzuz 11687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
95	65, 94	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
96	95	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
97	11	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> M e. ZZ )
98	53, 65	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. RR )
99	98	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. RR )
100	97	zred 10965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> M e. RR )
101		elfzle2 11693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( I + 1 ) <_ M )
102	65, 101	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( I + 1 ) <_ M )
103	102	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) <_ M )
104		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) < C )
105	66	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
106	27	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> C e. RR )
107	105, 106	ltnled 9721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C <-> -. C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
108	104, 107	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> -. C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
109		iccleub 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( Q ` 0 ) e. RR* /\ ( Q ` M ) e. RR* /\ C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) ) -> C <_ ( Q ` M ) )
110	28, 29, 26, 109	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C <_ ( Q ` M ) )
111	110	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ M = ( I + 1 ) ) -> C <_ ( Q ` M ) )
112		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M = ( I + 1 ) -> ( Q ` M ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
113	112	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ M = ( I + 1 ) ) -> ( Q ` M ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
114	111, 113	breqtrd 4463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ M = ( I + 1 ) ) -> C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
115	114	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) /\ M = ( I + 1 ) ) -> C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
116	108, 115	mtand 657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> -. M = ( I + 1 ) )
117	116	neqned 2657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> M =/= ( I + 1 ) )
118	99, 100, 103, 117	leneltd 31736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) < M )
119		elfzo2 11807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) <-> ( ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ /\ ( I + 1 ) < M ) )
120	96, 97, 118, 119	syl3anbrc 1178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) )
121		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( I + 1 ) -> ( Q ` k ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
122	121	breq1d 4449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( I + 1 ) -> ( ( Q ` k ) < C <-> ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) )
123	122	elrab 3254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I + 1 ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } <-> ( ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) )
124	120, 104, 123	sylanbrc 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
125		suprzub 11174	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ZZ /\ E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m /\ ( I + 1 ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } ) -> ( I + 1 ) <_ sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) )
126	83, 93, 124, 125	syl3anc 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) <_ sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) )
127	126, 1	syl6breqr 4479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) <_ I )
128	80, 127	mtand 657	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) < C )
129		eqcom 2463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) = C <-> C = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
130	129	biimpi 194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) = C -> C = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
131	130	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> C = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
132	35	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> Q Fn ( 0 ... M ) )
133	65	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
134		fnfvelrn 6004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ran Q )
135	132, 133, 134	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ran Q )
136	131, 135	eqeltrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> C e. ran Q )
137	32, 136	mtand 657	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) = C )
138	128, 137	jca 530	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. ( Q ` ( I + 1 ) ) < C /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) )
139		pm4.56 493	. . . . . 6 |- ( ( -. ( Q ` ( I + 1 ) ) < C /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) <-> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C \/ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) )
140	138, 139	sylib 196	. . . . 5 |- ( ph -> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C \/ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) )
141	66, 27	leloed 9717	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ C <-> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C \/ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) ) )
142	140, 141	mtbird 299	. . . 4 |- ( ph -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ C )
143	27, 66	ltnled 9721	. . . 4 |- ( ph -> ( C < ( Q ` ( I + 1 ) ) <-> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ C ) )
144	142, 143	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> C < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
145	63, 67, 27, 73, 144	eliood 31773	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
146		fveq2 5848	. . . . 5 |- ( j = I -> ( Q ` j ) = ( Q ` I ) )
147		oveq1 6277	. . . . . 6 |- ( j = I -> ( j + 1 ) = ( I + 1 ) )
148	147	fveq2d 5852	. . . . 5 |- ( j = I -> ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
149	146, 148	oveq12d 6288	. . . 4 |- ( j = I -> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
150	149	eleq2d 2524	. . 3 |- ( j = I -> ( C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) <-> C e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
151	150	rspcev 3207	. 2 |- ( ( I e. ( 0..^ M ) /\ C e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ( 0..^ M ) C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) )
152	60, 145, 151	syl2anc 659	1 |- ( ph -> E. j e. ( 0..^ M ) C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439   Or wor 4788   ran crn 4989   Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   supcsup 7892   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   (,)cioo 11532   [,]cicc 11535   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-ioo 11536  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800

This theorem is referenced by:  fourierdlem41  32172  fourierdlem48  32179  fourierdlem49  32180  fourierdlem70  32201  fourierdlem71  32202  fourierdlem103  32234  fourierdlem104  32235