Theorem fourierdlem25 31803

Description: If C is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem25.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem25.qf	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem25.cel	|- ( ph -> C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
fourierdlem25.cnel	|- ( ph -> -. C e. ran Q )
fourierdlem25.i	|- I = sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem25	|- ( ph -> E. j e. ( 0..^ M ) C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   C, k   C, j   j, I   k, I   k, M   j, M   Q, k   Q, j

Allowed substitution hints:   ph( j, k)

Proof of Theorem fourierdlem25

Dummy variables h m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem25.i	. . 3 |- I = sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < )
2		ssrab2 3570	. . . 4 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ( 0..^ M )
3		ltso 9668	. . . . . 6 |- < Or RR
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> < Or RR )
5		fzofi 12065	. . . . . . 7 |- ( 0..^ M ) e. Fin
6		ssfi 7742	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ( 0..^ M ) ) -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin )
7	5, 2, 6	mp2an 672	. . . . . 6 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin )
9		0zd 10883	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
10		fourierdlem25.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
11	10	nnzd 10974	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
12	10	nngt0d 10586	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < M )
13		fzolb 11815	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 0 < M ) )
14	9, 11, 12, 13	syl3anbrc 1181	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ M ) )
15		fourierdlem25.qf	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
16		elfzofz 11824	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ( 0..^ M ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
17	14, 16	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
18	15, 17	ffvelrnd 6017	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
19	10	nnnn0d 10859	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. NN0 )
20		nn0uz 11125	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
21	19, 20	syl6eleq 2541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
22		eluzfz2 11704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
24	15, 23	ffvelrnd 6017	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR )
25	18, 24	iccssred 31475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) C_ RR )
26		fourierdlem25.cel	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
27	25, 26	sseldd 3490	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
28	18	rexrd 9646	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR* )
29	24	rexrd 9646	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR* )
30		iccgelb 11591	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q ` 0 ) e. RR* /\ ( Q ` M ) e. RR* /\ C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) ) -> ( Q ` 0 ) <_ C )
31	28, 29, 26, 30	syl3anc 1229	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) <_ C )
32		fourierdlem25.cnel	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. C e. ran Q )
33		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> C = ( Q ` 0 ) )
34		ffn 5721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Q Fn ( 0 ... M ) )
35	15, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> Q Fn ( 0 ... M ) )
37	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
38		fnfvelrn 6013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` 0 ) e. ran Q )
39	36, 37, 38	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> ( Q ` 0 ) e. ran Q )
40	33, 39	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> C e. ran Q )
41	32, 40	mtand 659	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. C = ( Q ` 0 ) )
42	41	neqned 2646	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C =/= ( Q ` 0 ) )
43	18, 27, 31, 42	leneltd 31443	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) < C )
44		fveq2 5856	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( Q ` k ) = ( Q ` 0 ) )
45	44	breq1d 4447	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ( Q ` k ) < C <-> ( Q ` 0 ) < C ) )
46	45	elrab 3243	. . . . . . 7 |- ( 0 e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } <-> ( 0 e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` 0 ) < C ) )
47	14, 43, 46	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
48		ne0i 3776	. . . . . 6 |- ( 0 e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } =/= (/) )
49	47, 48	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } =/= (/) )
50		fzossfz 11827	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
51		fzssz 31415	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... M ) C_ ZZ
52		zssre 10878	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ RR
53	51, 52	sstri 3498	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... M ) C_ RR
54	50, 53	sstri 3498	. . . . . . 7 |- ( 0..^ M ) C_ RR
55	2, 54	sstri 3498	. . . . . 6 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ RR
56	55	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ RR )
57		fisupcl 7930	. . . . 5 |- ( ( < Or RR /\ ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin /\ { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } =/= (/) /\ { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ RR ) ) -> sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
58	4, 8, 49, 56, 57	syl13anc 1231	. . . 4 |- ( ph -> sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
59	2, 58	sseldi 3487	. . 3 |- ( ph -> sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) e. ( 0..^ M ) )
60	1, 59	syl5eqel 2535	. 2 |- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
61	50, 60	sseldi 3487	. . . . 5 |- ( ph -> I e. ( 0 ... M ) )
62	15, 61	ffvelrnd 6017	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR )
63	62	rexrd 9646	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR* )
64		fzofzp1 11890	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
65	60, 64	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
66	15, 65	ffvelrnd 6017	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
67	66	rexrd 9646	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
68	1, 58	syl5eqel 2535	. . . . 5 |- ( ph -> I e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
69		fveq2 5856	. . . . . . 7 |- ( k = I -> ( Q ` k ) = ( Q ` I ) )
70	69	breq1d 4447	. . . . . 6 |- ( k = I -> ( ( Q ` k ) < C <-> ( Q ` I ) < C ) )
71	70	elrab 3243	. . . . 5 |- ( I e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } <-> ( I e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` I ) < C ) )
72	68, 71	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( I e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` I ) < C ) )
73	72	simprd 463	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` I ) < C )
74	54, 60	sseldi 3487	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. RR )
75		ltp1 10387	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. RR -> I < ( I + 1 ) )
76		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. RR -> I e. RR )
77		peano2re 9756	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. RR -> ( I + 1 ) e. RR )
78	76, 77	ltnled 9735	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. RR -> ( I < ( I + 1 ) <-> -. ( I + 1 ) <_ I ) )
79	75, 78	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( I e. RR -> -. ( I + 1 ) <_ I )
80	74, 79	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. ( I + 1 ) <_ I )
81	50, 51	sstri 3498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0..^ M ) C_ ZZ
82	2, 81	sstri 3498	. . . . . . . . . . 11 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ZZ
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ZZ )
84		elrabi 3240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } -> h e. ( 0..^ M ) )
85		elfzo0le 11847	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h <_ M )
86	84, 85	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } -> h <_ M )
87	86	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } ) -> h <_ M )
88	87	ralrimiva 2857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ M )
89		breq2 4441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = M -> ( h <_ m <-> h <_ M ) )
90	89	ralbidv 2882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = M -> ( A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m <-> A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ M ) )
91	90	rspcev 3196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ M ) -> E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m )
92	11, 88, 91	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m )
93	92	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m )
94		elfzuz 11694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
95	65, 94	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
96	95	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
97	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> M e. ZZ )
98	53, 65	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. RR )
99	98	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. RR )
100	97	zred 10975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> M e. RR )
101		elfzle2 11700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( I + 1 ) <_ M )
102	65, 101	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( I + 1 ) <_ M )
103	102	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) <_ M )
104		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) < C )
105	66	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
106	27	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> C e. RR )
107	105, 106	ltnled 9735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C <-> -. C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
108	104, 107	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> -. C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
109		iccleub 11590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( Q ` 0 ) e. RR* /\ ( Q ` M ) e. RR* /\ C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) ) -> C <_ ( Q ` M ) )
110	28, 29, 26, 109	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C <_ ( Q ` M ) )
111	110	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ M = ( I + 1 ) ) -> C <_ ( Q ` M ) )
112		fveq2 5856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M = ( I + 1 ) -> ( Q ` M ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
113	112	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ M = ( I + 1 ) ) -> ( Q ` M ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
114	111, 113	breqtrd 4461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ M = ( I + 1 ) ) -> C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
115	114	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) /\ M = ( I + 1 ) ) -> C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
116	108, 115	mtand 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> -. M = ( I + 1 ) )
117	116	neqned 2646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> M =/= ( I + 1 ) )
118	99, 100, 103, 117	leneltd 31443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) < M )
119		elfzo2 11813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) <-> ( ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ /\ ( I + 1 ) < M ) )
120	96, 97, 118, 119	syl3anbrc 1181	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) )
121		fveq2 5856	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( I + 1 ) -> ( Q ` k ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
122	121	breq1d 4447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( I + 1 ) -> ( ( Q ` k ) < C <-> ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) )
123	122	elrab 3243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I + 1 ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } <-> ( ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) )
124	120, 104, 123	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
125		suprzub 11183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ZZ /\ E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m /\ ( I + 1 ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } ) -> ( I + 1 ) <_ sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) )
126	83, 93, 124, 125	syl3anc 1229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) <_ sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) )
127	126, 1	syl6breqr 4477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) <_ I )
128	80, 127	mtand 659	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) < C )
129		eqcom 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) = C <-> C = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
130	129	biimpi 194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) = C -> C = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
131	130	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> C = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
132	35	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> Q Fn ( 0 ... M ) )
133	65	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
134		fnfvelrn 6013	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ran Q )
135	132, 133, 134	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ran Q )
136	131, 135	eqeltrd 2531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> C e. ran Q )
137	32, 136	mtand 659	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) = C )
138	128, 137	jca 532	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. ( Q ` ( I + 1 ) ) < C /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) )
139		pm4.56 495	. . . . . 6 |- ( ( -. ( Q ` ( I + 1 ) ) < C /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) <-> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C \/ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) )
140	138, 139	sylib 196	. . . . 5 |- ( ph -> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C \/ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) )
141	66, 27	leloed 9731	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ C <-> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C \/ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) ) )
142	140, 141	mtbird 301	. . . 4 |- ( ph -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ C )
143	27, 66	ltnled 9735	. . . 4 |- ( ph -> ( C < ( Q ` ( I + 1 ) ) <-> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ C ) )
144	142, 143	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> C < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
145	63, 67, 27, 73, 144	eliood 31467	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
146		fveq2 5856	. . . . 5 |- ( j = I -> ( Q ` j ) = ( Q ` I ) )
147		oveq1 6288	. . . . . 6 |- ( j = I -> ( j + 1 ) = ( I + 1 ) )
148	147	fveq2d 5860	. . . . 5 |- ( j = I -> ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
149	146, 148	oveq12d 6299	. . . 4 |- ( j = I -> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
150	149	eleq2d 2513	. . 3 |- ( j = I -> ( C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) <-> C e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
151	150	rspcev 3196	. 2 |- ( ( I e. ( 0..^ M ) /\ C e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ( 0..^ M ) C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) )
152	60, 145, 151	syl2anc 661	1 |- ( ph -> E. j e. ( 0..^ M ) C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   Or wor 4789   ran crn 4990   Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   supcsup 7902   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   + caddc 9498   RR*cxr 9630   < clt 9631   <_ cle 9632   NNcn 10543   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11091   (,)cioo 11539   [,]cicc 11542   ...cfz 11682  ..^cfzo 11805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-ioo 11543  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806

This theorem is referenced by:  fourierdlem41  31819  fourierdlem48  31826  fourierdlem49  31827  fourierdlem70  31848  fourierdlem71  31849  fourierdlem103  31881  fourierdlem104  31882