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Theorem fourierdlem25 37994
Description: If  C is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem25.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem25.qf  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem25.cel  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( Q `  0 ) [,] ( Q `  M ) ) )
fourierdlem25.cnel  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ran  Q )
fourierdlem25.i  |-  I  =  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem25  |-  ( ph  ->  E. j  e.  ( 0..^ M ) C  e.  ( ( Q `
 j ) (,) ( Q `  (
j  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, k    C, j    j, I    k, I    k, M    j, M    Q, k    Q, j
Allowed substitution hints:    ph( j, k)

Proof of Theorem fourierdlem25
Dummy variables  h  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem25.i . . 3  |-  I  =  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } ,  RR ,  <  )
2 ssrab2 3514 . . . 4  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C }  C_  (
0..^ M )
3 ltso 9714 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <  Or  RR )
5 fzofi 12187 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
6 ssfi 7792 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  C_  ( 0..^ M ) )  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  e.  Fin )
75, 2, 6mp2an 678 . . . . . 6  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C }  e.  Fin
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }  e.  Fin )
9 0zd 10949 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
10 fourierdlem25.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1110nnzd 11039 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1210nngt0d 10653 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  M )
13 fzolb 11926 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  0  < 
M ) )
149, 11, 12, 13syl3anbrc 1192 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ M ) )
15 fourierdlem25.qf . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
16 elfzofz 11935 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ( 0..^ M )  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
1815, 17ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR )
1910nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
20 nn0uz 11193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2119, 20syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
22 eluzfz2 11807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  M  e.  ( 0 ... M
) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
2415, 23ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  e.  RR )
2518, 24iccssred 37602 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
)  C_  RR )
26 fourierdlem25.cel . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( Q `  0 ) [,] ( Q `  M ) ) )
2725, 26sseldd 3433 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2818rexrd 9690 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR* )
2924rexrd 9690 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  e.  RR* )
30 iccgelb 11691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Q `  0
)  e.  RR*  /\  ( Q `  M )  e.  RR*  /\  C  e.  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
) )  ->  ( Q `  0 )  <_  C )
3128, 29, 26, 30syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <_  C )
32 fourierdlem25.cnel . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ran  Q )
33 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( Q `  0 ) )  ->  C  =  ( Q `  0 ) )
34 ffn 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
3515, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
3635adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( Q `  0 ) )  ->  Q  Fn  ( 0 ... M
) )
3717adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( Q `  0 ) )  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
38 fnfvelrn 6019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q  Fn  ( 0 ... M )  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( Q ` 
0 )  e.  ran  Q )
3936, 37, 38syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( Q `  0 ) )  ->  ( Q `  0 )  e. 
ran  Q )
4033, 39eqeltrd 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( Q `  0 ) )  ->  C  e.  ran  Q )
4132, 40mtand 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  C  =  ( Q `  0 ) )
4241neqned 2631 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  =/=  ( Q `
 0 ) )
4318, 27, 31, 42leneltd 9789 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <  C )
44 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( Q `  k )  =  ( Q ` 
0 ) )
4544breq1d 4412 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( Q `  k
)  <  C  <->  ( Q `  0 )  < 
C ) )
4645elrab 3196 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } 
<->  ( 0  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  0 )  <  C ) )
4714, 43, 46sylanbrc 670 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } )
48 ne0i 3737 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  =/=  (/) )
4947, 48syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }  =/=  (/) )
50 fzossfz 11938 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ M )  C_  (
0 ... M )
51 fzssz 11801 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... M )  C_  ZZ
52 zssre 10944 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
5351, 52sstri 3441 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... M )  C_  RR
5450, 53sstri 3441 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ M )  C_  RR
552, 54sstri 3441 . . . . . 6  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C }  C_  RR
5655a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }  C_  RR )
57 fisupcl 7985 . . . . 5  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }  e.  Fin  /\  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C }  =/=  (/)  /\  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  C_  RR ) )  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C } ,  RR ,  <  )  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }
)
584, 8, 49, 56, 57syl13anc 1270 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } ,  RR ,  <  )  e.  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } )
592, 58sseldi 3430 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } ,  RR ,  <  )  e.  ( 0..^ M ) )
601, 59syl5eqel 2533 . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ M ) )
6150, 60sseldi 3430 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0 ... M ) )
6215, 61ffvelrnd 6023 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR )
6362rexrd 9690 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR* )
64 fzofzp1 12008 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
6560, 64syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
6615, 65ffvelrnd 6023 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
6766rexrd 9690 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
681, 58syl5eqel 2533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } )
69 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( k  =  I  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  I ) )
7069breq1d 4412 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  (
( Q `  k
)  <  C  <->  ( Q `  I )  <  C
) )
7170elrab 3196 . . . . 5  |-  ( I  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } 
<->  ( I  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  I )  <  C ) )
7268, 71sylib 200 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  I )  <  C ) )
7372simprd 465 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  C )
7454, 60sseldi 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  RR )
75 ltp1 10443 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  RR  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
76 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  RR  ->  I  e.  RR )
77 peano2re 9806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  RR  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
7876, 77ltnled 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  RR  ->  (
I  <  ( I  +  1 )  <->  -.  (
I  +  1 )  <_  I ) )
7975, 78mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  RR  ->  -.  ( I  +  1
)  <_  I )
8074, 79syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( I  + 
1 )  <_  I
)
8150, 51sstri 3441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0..^ M )  C_  ZZ
822, 81sstri 3441 . . . . . . . . . . 11  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C }  C_  ZZ
8382a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  C_  ZZ )
84 elrabi 3193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  ->  h  e.  ( 0..^ M ) )
85 elfzo0le 11959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  ( 0..^ M )  ->  h  <_  M )
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  ->  h  <_  M
)
8786adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } )  ->  h  <_  M
)
8887ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. h  e.  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } h  <_  M )
89 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  M  ->  (
h  <_  m  <->  h  <_  M ) )
9089ralbidv 2827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  M  ->  ( A. h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } h  <_  m 
<-> 
A. h  e.  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } h  <_  M ) )
9190rspcev 3150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A. h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } h  <_  M )  ->  E. m  e.  ZZ  A. h  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }
h  <_  m )
9211, 88, 91syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E. m  e.  ZZ  A. h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } h  <_  m )
9392adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  E. m  e.  ZZ  A. h  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }
h  <_  m )
94 elfzuz 11796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
9565, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
9695adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
9711adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  M  e.  ZZ )
9853, 65sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  RR )
9998adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  e.  RR )
10097zred 11040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  M  e.  RR )
101 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  (
I  +  1 )  <_  M )
10265, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  <_  M )
103102adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  <_  M )
104 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)
10566adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
10627adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  C  e.  RR )
107105, 106ltnled 9782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C  <->  -.  C  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
108104, 107mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  -.  C  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
109 iccleub 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Q `  0
)  e.  RR*  /\  ( Q `  M )  e.  RR*  /\  C  e.  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
) )  ->  C  <_  ( Q `  M
) )
11028, 29, 26, 109syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  <_  ( Q `  M ) )
111110adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  M  =  ( I  +  1
) )  ->  C  <_  ( Q `  M
) )
112 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  =  ( I  + 
1 )  ->  ( Q `  M )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
113112adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  M  =  ( I  +  1
) )  ->  ( Q `  M )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
114111, 113breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  M  =  ( I  +  1
) )  ->  C  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
115114adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C )  /\  M  =  ( I  +  1 ) )  ->  C  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
116108, 115mtand 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  -.  M  =  ( I  + 
1 ) )
117116neqned 2631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  M  =/=  ( I  +  1
) )
11899, 100, 103, 117leneltd 9789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  < 
M )
119 elfzo2 11923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ M )  <->  ( ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  M  e.  ZZ  /\  ( I  +  1 )  <  M ) )
12096, 97, 118, 119syl3anbrc 1192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )
121 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
122121breq1d 4412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  k
)  <  C  <->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
) )
123122elrab 3196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  +  1 )  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } 
<->  ( ( I  + 
1 )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C ) )
124120, 104, 123sylanbrc 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }
)
125 suprzub 11255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }  C_  ZZ  /\  E. m  e.  ZZ  A. h  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }
h  <_  m  /\  ( I  +  1
)  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } )  -> 
( I  +  1 )  <_  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C } ,  RR ,  <  )
)
12683, 93, 124, 125syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  <_  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } ,  RR ,  <  ) )
127126, 1syl6breqr 4443 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  <_  I )
12880, 127mtand 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1
) )  <  C
)
129 eqcom 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C  <->  C  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
130129biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C  ->  C  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
131130adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C )  ->  C  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
13235adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C )  ->  Q  Fn  ( 0 ... M
) )
13365adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
134 fnfvelrn 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  Fn  ( 0 ... M )  /\  ( I  +  1
)  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  ran  Q )
135132, 133, 134syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ran  Q )
136131, 135eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C )  ->  C  e.  ran  Q )
13732, 136mtand 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  C )
138128, 137jca 535 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  < 
C  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C ) )
139 pm4.56 498 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( Q `  ( I  +  1
) )  <  C  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  C )  <->  -.  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C  \/  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C ) )
140138, 139sylib 200 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  < 
C  \/  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  =  C ) )
14166, 27leloed 9778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  C  <->  ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  <  C  \/  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C ) ) )
142140, 141mtbird 303 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  C
)
14327, 66ltnled 9782 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  <  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <->  -.  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  C )
)
144142, 143mpbird 236 . . 3  |-  ( ph  ->  C  <  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )
14563, 67, 27, 73, 144eliood 37595 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
146 fveq2 5865 . . . . 5  |-  ( j  =  I  ->  ( Q `  j )  =  ( Q `  I ) )
147 oveq1 6297 . . . . . 6  |-  ( j  =  I  ->  (
j  +  1 )  =  ( I  + 
1 ) )
148147fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( j  =  I  ->  ( Q `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
149146, 148oveq12d 6308 . . . 4  |-  ( j  =  I  ->  (
( Q `  j
) (,) ( Q `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
150149eleq2d 2514 . . 3  |-  ( j  =  I  ->  ( C  e.  ( ( Q `  j ) (,) ( Q `  (
j  +  1 ) ) )  <->  C  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
151150rspcev 3150 . 2  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ M )  /\  C  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ M ) C  e.  ( ( Q `  j ) (,) ( Q `  ( j  +  1 ) ) ) )
15260, 145, 151syl2anc 667 1  |-  ( ph  ->  E. j  e.  ( 0..^ M ) C  e.  ( ( Q `
 j ) (,) ( Q `  (
j  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    C_ wss 3404   (/)c0 3731   class class class wbr 4402    Or wor 4754   ran crn 4835    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   supcsup 7954   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916
This theorem is referenced by:  fourierdlem41  38011  fourierdlem48  38018  fourierdlem49  38019  fourierdlem70  38040  fourierdlem71  38041  fourierdlem103  38073  fourierdlem104  38074
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