Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem25 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem25 31723
 Description: If is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem25.m
fourierdlem25.qf
fourierdlem25.cel
fourierdlem25.cnel
fourierdlem25.i ..^
Assertion
Ref Expression
fourierdlem25 ..^
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem fourierdlem25
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem25.i . . 3 ..^
2 ssrab2 3590 . . . . 5 ..^ ..^
32a1i 11 . . . 4 ..^ ..^
4 ltso 9675 . . . . . 6
54a1i 11 . . . . 5
6 fzofi 12062 . . . . . . 7 ..^
7 ssfi 7750 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^ ..^
86, 2, 7mp2an 672 . . . . . 6 ..^
98a1i 11 . . . . 5 ..^
10 0z 10885 . . . . . . . . . . 11
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10
12 fourierdlem25.m . . . . . . . . . . 11
1312nnzd 10975 . . . . . . . . . 10
1412nngt0d 10589 . . . . . . . . . 10
1511, 13, 143jca 1176 . . . . . . . . 9
16 fzolb 11812 . . . . . . . . 9 ..^
1715, 16sylibr 212 . . . . . . . 8 ..^
18 fourierdlem25.qf . . . . . . . . . 10
19 elfzofz 11821 . . . . . . . . . . 11 ..^
2017, 19syl 16 . . . . . . . . . 10
2118, 20ffvelrnd 6032 . . . . . . . . 9
2212nnnn0d 10862 . . . . . . . . . . . . . 14
23 nn0uz 11126 . . . . . . . . . . . . . 14
2422, 23syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . 13
25 eluzfz2 11704 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2718, 26ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . 11
2821, 27iccssred 31394 . . . . . . . . . 10
29 fourierdlem25.cel . . . . . . . . . 10
3028, 29sseldd 3510 . . . . . . . . 9
3121rexrd 9653 . . . . . . . . . 10
3227rexrd 9653 . . . . . . . . . 10
33 iccgelb 11591 . . . . . . . . . 10
3431, 32, 29, 33syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
35 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
36 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . . 15
3718, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
3920adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
40 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . . 13
4138, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
4235, 41eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . 11
43 fourierdlem25.cnel . . . . . . . . . . . 12
4443adantr 465 . . . . . . . . . . 11
4542, 44pm2.65da 576 . . . . . . . . . 10
4645neqned 2670 . . . . . . . . 9
4721, 30, 34, 46leneltd 31362 . . . . . . . 8
4817, 47jca 532 . . . . . . 7 ..^
49 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
5049breq1d 4462 . . . . . . . 8
5150elrab 3266 . . . . . . 7 ..^ ..^
5248, 51sylibr 212 . . . . . 6 ..^
53 ne0i 3796 . . . . . 6 ..^ ..^
5452, 53syl 16 . . . . 5 ..^
55 fzossfz 11824 . . . . . . . 8 ..^
56 fzssz 31334 . . . . . . . . 9
57 zssre 10881 . . . . . . . . 9
5856, 57sstri 3518 . . . . . . . 8
5955, 58sstri 3518 . . . . . . 7 ..^
602, 59sstri 3518 . . . . . 6 ..^
6160a1i 11 . . . . 5 ..^
62 fisupcl 7937 . . . . 5 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
635, 9, 54, 61, 62syl13anc 1230 . . . 4 ..^ ..^
643, 63sseldd 3510 . . 3 ..^ ..^
651, 64syl5eqel 2559 . 2 ..^
6655, 65sseldi 3507 . . . . 5
6718, 66ffvelrnd 6032 . . . 4
6867rexrd 9653 . . 3
69 fzofzp1 11887 . . . . . 6 ..^
7065, 69syl 16 . . . . 5
7118, 70ffvelrnd 6032 . . . 4
7271rexrd 9653 . . 3
731, 63syl5eqel 2559 . . . . 5 ..^
74 fveq2 5871 . . . . . . 7
7574breq1d 4462 . . . . . 6
7675elrab 3266 . . . . 5 ..^ ..^
7773, 76sylib 196 . . . 4 ..^
7877simprd 463 . . 3
7955, 56sstri 3518 . . . . . . . . . . . 12 ..^
802, 79sstri 3518 . . . . . . . . . . 11 ..^
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 ..^
822sseli 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
8359sseli 3505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
84 elfzoel2 11806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
8557sseli 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
87 elfzolt2 11815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
8883, 86, 87ltled 9742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
8982, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
9089adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
9190ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . . 12 ..^
92 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . 14
9392ralbidv 2906 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
9493rspcev 3219 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
9513, 91, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 ..^
9695adantr 465 . . . . . . . . . 10 ..^
97 elfzuz 11694 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9870, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
10013adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
10158, 70sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
103100, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
104 elfzle2 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10570, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106105adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
107 iccleub 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10831, 32, 29, 107syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
111110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112109, 111breqtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113112adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11571adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11630adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117115, 116ltnled 9741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118114, 117mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119118adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120113, 119pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121120neqned 2670 . . . . . . . . . . . . . . 15
122102, 103, 106, 121leneltd 31362 . . . . . . . . . . . . . 14
12399, 100, 1223jca 1176 . . . . . . . . . . . . 13
124 elfzo2 11810 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
125123, 124sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12 ..^
126125, 114jca 532 . . . . . . . . . . 11 ..^
127 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
128127breq1d 4462 . . . . . . . . . . . 12
129128elrab 3266 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
130126, 129sylibr 212 . . . . . . . . . 10 ..^
131 suprzub 11183 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^ ..^ ..^
13281, 96, 130, 131syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 ..^
1331eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10 ..^
134133a1i 11 . . . . . . . . 9 ..^
135132, 134breqtrd 4476 . . . . . . . 8
13659, 65sseldi 3507 . . . . . . . . . 10
137 ltp1 10390 . . . . . . . . . . 11
138 id 22 . . . . . . . . . . . 12
139 peano2re 9762 . . . . . . . . . . . 12
140138, 139ltnled 9741 . . . . . . . . . . 11
141137, 140mpbid 210 . . . . . . . . . 10
142136, 141syl 16 . . . . . . . . 9
143142adantr 465 . . . . . . . 8
144135, 143pm2.65da 576 . . . . . . 7
145 eqcom 2476 . . . . . . . . . . 11
146145biimpi 194 . . . . . . . . . 10
147146adantl 466 . . . . . . . . 9
14837adantr 465 . . . . . . . . . 10
14970adantr 465 . . . . . . . . . 10
150 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . 10
151148, 149, 150syl2anc 661 . . . . . . . . 9
152147, 151eqeltrd 2555 . . . . . . . 8
15343adantr 465 . . . . . . . 8
154152, 153pm2.65da 576 . . . . . . 7
155144, 154jca 532 . . . . . 6
156 pm4.56 495 . . . . . 6
157155, 156sylib 196 . . . . 5
158 leloe 9681 . . . . . 6
15971, 30, 158syl2anc 661 . . . . 5
160157, 159mtbird 301 . . . 4
16130, 71ltnled 9741 . . . 4
162160, 161mpbird 232 . . 3
16368, 72, 30, 78, 162eliood 31386 . 2
164 fveq2 5871 . . . . 5
165 oveq1 6301 . . . . . 6
166165fveq2d 5875 . . . . 5
167164, 166oveq12d 6312 . . . 4
168167eleq2d 2537 . . 3
169168rspcev 3219 . 2 ..^ ..^
17065, 163, 169syl2anc 661 1 ..^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2817  wrex 2818  crab 2821   wss 3481  c0 3790   class class class wbr 4452   wor 4804   crn 5005   wfn 5588  wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6294  cfn 7526  csup 7910  cr 9501  cc0 9502  c1 9503   caddc 9505  cxr 9637   clt 9638   cle 9639  cn 10546  cn0 10805  cz 10874  cuz 11092  cioo 11539  cicc 11542  cfz 11682  ..^cfzo 11802 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-ioo 11543  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803 This theorem is referenced by:  fourierdlem41  31739  fourierdlem48  31746  fourierdlem49  31747  fourierdlem70  31768  fourierdlem71  31769  fourierdlem103  31801  fourierdlem104  31802
 Copyright terms: Public domain W3C validator