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Theorem fourierdlem25 31803
Description: If  C is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem25.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem25.qf  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem25.cel  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( Q `  0 ) [,] ( Q `  M ) ) )
fourierdlem25.cnel  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ran  Q )
fourierdlem25.i  |-  I  =  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem25  |-  ( ph  ->  E. j  e.  ( 0..^ M ) C  e.  ( ( Q `
 j ) (,) ( Q `  (
j  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, k    C, j    j, I    k, I    k, M    j, M    Q, k    Q, j
Allowed substitution hints:    ph( j, k)

Proof of Theorem fourierdlem25
Dummy variables  h  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem25.i . . 3  |-  I  =  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } ,  RR ,  <  )
2 ssrab2 3570 . . . 4  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C }  C_  (
0..^ M )
3 ltso 9668 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <  Or  RR )
5 fzofi 12065 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ M )  e.  Fin
6 ssfi 7742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0..^ M )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  C_  ( 0..^ M ) )  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  e.  Fin )
75, 2, 6mp2an 672 . . . . . 6  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C }  e.  Fin
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }  e.  Fin )
9 0zd 10883 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
10 fourierdlem25.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1110nnzd 10974 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1210nngt0d 10586 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  M )
13 fzolb 11815 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  0  < 
M ) )
149, 11, 12, 13syl3anbrc 1181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ M ) )
15 fourierdlem25.qf . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
16 elfzofz 11824 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ( 0..^ M )  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
1714, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
1815, 17ffvelrnd 6017 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR )
1910nnnn0d 10859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
20 nn0uz 11125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2119, 20syl6eleq 2541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
22 eluzfz2 11704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  M  e.  ( 0 ... M
) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
2415, 23ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  e.  RR )
2518, 24iccssred 31475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
)  C_  RR )
26 fourierdlem25.cel . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( Q `  0 ) [,] ( Q `  M ) ) )
2725, 26sseldd 3490 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2818rexrd 9646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR* )
2924rexrd 9646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  e.  RR* )
30 iccgelb 11591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Q `  0
)  e.  RR*  /\  ( Q `  M )  e.  RR*  /\  C  e.  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
) )  ->  ( Q `  0 )  <_  C )
3128, 29, 26, 30syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <_  C )
32 fourierdlem25.cnel . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ran  Q )
33 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( Q `  0 ) )  ->  C  =  ( Q `  0 ) )
34 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
3515, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( Q `  0 ) )  ->  Q  Fn  ( 0 ... M
) )
3717adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( Q `  0 ) )  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
38 fnfvelrn 6013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q  Fn  ( 0 ... M )  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( Q ` 
0 )  e.  ran  Q )
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( Q `  0 ) )  ->  ( Q `  0 )  e. 
ran  Q )
4033, 39eqeltrd 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  =  ( Q `  0 ) )  ->  C  e.  ran  Q )
4132, 40mtand 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  C  =  ( Q `  0 ) )
4241neqned 2646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  =/=  ( Q `
 0 ) )
4318, 27, 31, 42leneltd 31443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <  C )
44 fveq2 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( Q `  k )  =  ( Q ` 
0 ) )
4544breq1d 4447 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( Q `  k
)  <  C  <->  ( Q `  0 )  < 
C ) )
4645elrab 3243 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } 
<->  ( 0  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  0 )  <  C ) )
4714, 43, 46sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } )
48 ne0i 3776 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  =/=  (/) )
4947, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }  =/=  (/) )
50 fzossfz 11827 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ M )  C_  (
0 ... M )
51 fzssz 31415 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... M )  C_  ZZ
52 zssre 10878 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
5351, 52sstri 3498 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... M )  C_  RR
5450, 53sstri 3498 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ M )  C_  RR
552, 54sstri 3498 . . . . . 6  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C }  C_  RR
5655a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }  C_  RR )
57 fisupcl 7930 . . . . 5  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }  e.  Fin  /\  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C }  =/=  (/)  /\  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  C_  RR ) )  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C } ,  RR ,  <  )  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }
)
584, 8, 49, 56, 57syl13anc 1231 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } ,  RR ,  <  )  e.  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } )
592, 58sseldi 3487 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } ,  RR ,  <  )  e.  ( 0..^ M ) )
601, 59syl5eqel 2535 . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ M ) )
6150, 60sseldi 3487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0 ... M ) )
6215, 61ffvelrnd 6017 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR )
6362rexrd 9646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR* )
64 fzofzp1 11890 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
6560, 64syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
6615, 65ffvelrnd 6017 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
6766rexrd 9646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
681, 58syl5eqel 2535 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } )
69 fveq2 5856 . . . . . . 7  |-  ( k  =  I  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  I ) )
7069breq1d 4447 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  (
( Q `  k
)  <  C  <->  ( Q `  I )  <  C
) )
7170elrab 3243 . . . . 5  |-  ( I  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } 
<->  ( I  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  I )  <  C ) )
7268, 71sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  I )  <  C ) )
7372simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <  C )
7454, 60sseldi 3487 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  RR )
75 ltp1 10387 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  RR  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
76 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  RR  ->  I  e.  RR )
77 peano2re 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  RR  ->  (
I  +  1 )  e.  RR )
7876, 77ltnled 9735 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  RR  ->  (
I  <  ( I  +  1 )  <->  -.  (
I  +  1 )  <_  I ) )
7975, 78mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  RR  ->  -.  ( I  +  1
)  <_  I )
8074, 79syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( I  + 
1 )  <_  I
)
8150, 51sstri 3498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0..^ M )  C_  ZZ
822, 81sstri 3498 . . . . . . . . . . 11  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C }  C_  ZZ
8382a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  C_  ZZ )
84 elrabi 3240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  ->  h  e.  ( 0..^ M ) )
85 elfzo0le 11847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  ( 0..^ M )  ->  h  <_  M )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C }  ->  h  <_  M
)
8786adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } )  ->  h  <_  M
)
8887ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. h  e.  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } h  <_  M )
89 breq2 4441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  M  ->  (
h  <_  m  <->  h  <_  M ) )
9089ralbidv 2882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  M  ->  ( A. h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } h  <_  m 
<-> 
A. h  e.  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } h  <_  M ) )
9190rspcev 3196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A. h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } h  <_  M )  ->  E. m  e.  ZZ  A. h  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }
h  <_  m )
9211, 88, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E. m  e.  ZZ  A. h  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } h  <_  m )
9392adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  E. m  e.  ZZ  A. h  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }
h  <_  m )
94 elfzuz 11694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
9565, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
9695adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
9711adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  M  e.  ZZ )
9853, 65sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  RR )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  e.  RR )
10097zred 10975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  M  e.  RR )
101 elfzle2 11700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  (
I  +  1 )  <_  M )
10265, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  <_  M )
103102adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  <_  M )
104 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)
10566adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
10627adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  C  e.  RR )
107105, 106ltnled 9735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C  <->  -.  C  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
108104, 107mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  -.  C  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
109 iccleub 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Q `  0
)  e.  RR*  /\  ( Q `  M )  e.  RR*  /\  C  e.  ( ( Q ` 
0 ) [,] ( Q `  M )
) )  ->  C  <_  ( Q `  M
) )
11028, 29, 26, 109syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  <_  ( Q `  M ) )
111110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  M  =  ( I  +  1
) )  ->  C  <_  ( Q `  M
) )
112 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  =  ( I  + 
1 )  ->  ( Q `  M )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
113112adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  M  =  ( I  +  1
) )  ->  ( Q `  M )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
114111, 113breqtrd 4461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  M  =  ( I  +  1
) )  ->  C  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
115114adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C )  /\  M  =  ( I  +  1 ) )  ->  C  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
116108, 115mtand 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  -.  M  =  ( I  + 
1 ) )
117116neqned 2646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  M  =/=  ( I  +  1
) )
11899, 100, 103, 117leneltd 31443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  < 
M )
119 elfzo2 11813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ M )  <->  ( ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  M  e.  ZZ  /\  ( I  +  1 )  <  M ) )
12096, 97, 118, 119syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )
121 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
122121breq1d 4447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  k
)  <  C  <->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
) )
123122elrab 3243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  +  1 )  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } 
<->  ( ( I  + 
1 )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C ) )
124120, 104, 123sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }
)
125 suprzub 11183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }  C_  ZZ  /\  E. m  e.  ZZ  A. h  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C }
h  <_  m  /\  ( I  +  1
)  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  < 
C } )  -> 
( I  +  1 )  <_  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <  C } ,  RR ,  <  )
)
12683, 93, 124, 125syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  <_  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <  C } ,  RR ,  <  ) )
127126, 1syl6breqr 4477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C
)  ->  ( I  +  1 )  <_  I )
12880, 127mtand 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1
) )  <  C
)
129 eqcom 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C  <->  C  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
130129biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C  ->  C  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
131130adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C )  ->  C  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
13235adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C )  ->  Q  Fn  ( 0 ... M
) )
13365adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
134 fnfvelrn 6013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  Fn  ( 0 ... M )  /\  ( I  +  1
)  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  ran  Q )
135132, 133, 134syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ran  Q )
136131, 135eqeltrd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C )  ->  C  e.  ran  Q )
13732, 136mtand 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  C )
138128, 137jca 532 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  < 
C  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C ) )
139 pm4.56 495 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( Q `  ( I  +  1
) )  <  C  /\  -.  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  C )  <->  -.  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  C  \/  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C ) )
140138, 139sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  < 
C  \/  ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  =  C ) )
14166, 27leloed 9731 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  C  <->  ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  <  C  \/  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  C ) ) )
142140, 141mtbird 301 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1
) )  <_  C
)
14327, 66ltnled 9735 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  <  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <->  -.  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  C )
)
144142, 143mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  C  <  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )
14563, 67, 27, 73, 144eliood 31467 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
146 fveq2 5856 . . . . 5  |-  ( j  =  I  ->  ( Q `  j )  =  ( Q `  I ) )
147 oveq1 6288 . . . . . 6  |-  ( j  =  I  ->  (
j  +  1 )  =  ( I  + 
1 ) )
148147fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( j  =  I  ->  ( Q `  ( j  +  1 ) )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
149146, 148oveq12d 6299 . . . 4  |-  ( j  =  I  ->  (
( Q `  j
) (,) ( Q `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
150149eleq2d 2513 . . 3  |-  ( j  =  I  ->  ( C  e.  ( ( Q `  j ) (,) ( Q `  (
j  +  1 ) ) )  <->  C  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) ) )
151150rspcev 3196 . 2  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ M )  /\  C  e.  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ M ) C  e.  ( ( Q `  j ) (,) ( Q `  ( j  +  1 ) ) ) )
15260, 145, 151syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. j  e.  ( 0..^ M ) C  e.  ( ( Q `
 j ) (,) ( Q `  (
j  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797    C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437    Or wor 4789   ran crn 4990    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   supcsup 7902   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632   NNcn 10543   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11091   (,)cioo 11539   [,]cicc 11542   ...cfz 11682  ..^cfzo 11805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-ioo 11543  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806
This theorem is referenced by:  fourierdlem41  31819  fourierdlem48  31826  fourierdlem49  31827  fourierdlem70  31848  fourierdlem71  31849  fourierdlem103  31881  fourierdlem104  31882
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