Theorem fourierdlem25 37994

Description: If C is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem25.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem25.qf	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem25.cel	|- ( ph -> C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
fourierdlem25.cnel	|- ( ph -> -. C e. ran Q )
fourierdlem25.i	|- I = sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem25	|- ( ph -> E. j e. ( 0..^ M ) C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   C, k   C, j   j, I   k, I   k, M   j, M   Q, k   Q, j

Allowed substitution hints:   ph( j, k)

Proof of Theorem fourierdlem25

Dummy variables h m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem25.i	. . 3 |- I = sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < )
2		ssrab2 3514	. . . 4 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ( 0..^ M )
3		ltso 9714	. . . . . 6 |- < Or RR
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> < Or RR )
5		fzofi 12187	. . . . . . 7 |- ( 0..^ M ) e. Fin
6		ssfi 7792	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ( 0..^ M ) ) -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin )
7	5, 2, 6	mp2an 678	. . . . . 6 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin )
9		0zd 10949	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
10		fourierdlem25.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
11	10	nnzd 11039	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
12	10	nngt0d 10653	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < M )
13		fzolb 11926	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 0 < M ) )
14	9, 11, 12, 13	syl3anbrc 1192	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ M ) )
15		fourierdlem25.qf	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
16		elfzofz 11935	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ( 0..^ M ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
18	15, 17	ffvelrnd 6023	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
19	10	nnnn0d 10925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. NN0 )
20		nn0uz 11193	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
21	19, 20	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
22		eluzfz2 11807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
24	15, 23	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR )
25	18, 24	iccssred 37602	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) C_ RR )
26		fourierdlem25.cel	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) )
27	25, 26	sseldd 3433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
28	18	rexrd 9690	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR* )
29	24	rexrd 9690	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR* )
30		iccgelb 11691	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Q ` 0 ) e. RR* /\ ( Q ` M ) e. RR* /\ C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) ) -> ( Q ` 0 ) <_ C )
31	28, 29, 26, 30	syl3anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) <_ C )
32		fourierdlem25.cnel	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. C e. ran Q )
33		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> C = ( Q ` 0 ) )
34		ffn 5728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Q Fn ( 0 ... M ) )
35	15, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
36	35	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> Q Fn ( 0 ... M ) )
37	17	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
38		fnfvelrn 6019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` 0 ) e. ran Q )
39	36, 37, 38	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> ( Q ` 0 ) e. ran Q )
40	33, 39	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ C = ( Q ` 0 ) ) -> C e. ran Q )
41	32, 40	mtand 665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. C = ( Q ` 0 ) )
42	41	neqned 2631	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C =/= ( Q ` 0 ) )
43	18, 27, 31, 42	leneltd 9789	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) < C )
44		fveq2 5865	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( Q ` k ) = ( Q ` 0 ) )
45	44	breq1d 4412	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ( Q ` k ) < C <-> ( Q ` 0 ) < C ) )
46	45	elrab 3196	. . . . . . 7 |- ( 0 e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } <-> ( 0 e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` 0 ) < C ) )
47	14, 43, 46	sylanbrc 670	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
48		ne0i 3737	. . . . . 6 |- ( 0 e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } =/= (/) )
49	47, 48	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } =/= (/) )
50		fzossfz 11938	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
51		fzssz 11801	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... M ) C_ ZZ
52		zssre 10944	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ RR
53	51, 52	sstri 3441	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... M ) C_ RR
54	50, 53	sstri 3441	. . . . . . 7 |- ( 0..^ M ) C_ RR
55	2, 54	sstri 3441	. . . . . 6 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ RR
56	55	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ RR )
57		fisupcl 7985	. . . . 5 |- ( ( < Or RR /\ ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } e. Fin /\ { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } =/= (/) /\ { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ RR ) ) -> sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
58	4, 8, 49, 56, 57	syl13anc 1270	. . . 4 |- ( ph -> sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
59	2, 58	sseldi 3430	. . 3 |- ( ph -> sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) e. ( 0..^ M ) )
60	1, 59	syl5eqel 2533	. 2 |- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
61	50, 60	sseldi 3430	. . . . 5 |- ( ph -> I e. ( 0 ... M ) )
62	15, 61	ffvelrnd 6023	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR )
63	62	rexrd 9690	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR* )
64		fzofzp1 12008	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
65	60, 64	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
66	15, 65	ffvelrnd 6023	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
67	66	rexrd 9690	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
68	1, 58	syl5eqel 2533	. . . . 5 |- ( ph -> I e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
69		fveq2 5865	. . . . . . 7 |- ( k = I -> ( Q ` k ) = ( Q ` I ) )
70	69	breq1d 4412	. . . . . 6 |- ( k = I -> ( ( Q ` k ) < C <-> ( Q ` I ) < C ) )
71	70	elrab 3196	. . . . 5 |- ( I e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } <-> ( I e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` I ) < C ) )
72	68, 71	sylib 200	. . . 4 |- ( ph -> ( I e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` I ) < C ) )
73	72	simprd 465	. . 3 |- ( ph -> ( Q ` I ) < C )
74	54, 60	sseldi 3430	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. RR )
75		ltp1 10443	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. RR -> I < ( I + 1 ) )
76		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. RR -> I e. RR )
77		peano2re 9806	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. RR -> ( I + 1 ) e. RR )
78	76, 77	ltnled 9782	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. RR -> ( I < ( I + 1 ) <-> -. ( I + 1 ) <_ I ) )
79	75, 78	mpbid 214	. . . . . . . . 9 |- ( I e. RR -> -. ( I + 1 ) <_ I )
80	74, 79	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. ( I + 1 ) <_ I )
81	50, 51	sstri 3441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0..^ M ) C_ ZZ
82	2, 81	sstri 3441	. . . . . . . . . . 11 |- { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ZZ
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ZZ )
84		elrabi 3193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } -> h e. ( 0..^ M ) )
85		elfzo0le 11959	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. ( 0..^ M ) -> h <_ M )
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } -> h <_ M )
87	86	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } ) -> h <_ M )
88	87	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ M )
89		breq2 4406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = M -> ( h <_ m <-> h <_ M ) )
90	89	ralbidv 2827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = M -> ( A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m <-> A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ M ) )
91	90	rspcev 3150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ M ) -> E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m )
92	11, 88, 91	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m )
93	92	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m )
94		elfzuz 11796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
95	65, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
96	95	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
97	11	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> M e. ZZ )
98	53, 65	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. RR )
99	98	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. RR )
100	97	zred 11040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> M e. RR )
101		elfzle2 11803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( I + 1 ) <_ M )
102	65, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( I + 1 ) <_ M )
103	102	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) <_ M )
104		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) < C )
105	66	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
106	27	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> C e. RR )
107	105, 106	ltnled 9782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C <-> -. C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
108	104, 107	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> -. C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
109		iccleub 11690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( Q ` 0 ) e. RR* /\ ( Q ` M ) e. RR* /\ C e. ( ( Q ` 0 ) [,] ( Q ` M ) ) ) -> C <_ ( Q ` M ) )
110	28, 29, 26, 109	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C <_ ( Q ` M ) )
111	110	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ M = ( I + 1 ) ) -> C <_ ( Q ` M ) )
112		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M = ( I + 1 ) -> ( Q ` M ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
113	112	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ M = ( I + 1 ) ) -> ( Q ` M ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
114	111, 113	breqtrd 4427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ M = ( I + 1 ) ) -> C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
115	114	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) /\ M = ( I + 1 ) ) -> C <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
116	108, 115	mtand 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> -. M = ( I + 1 ) )
117	116	neqned 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> M =/= ( I + 1 ) )
118	99, 100, 103, 117	leneltd 9789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) < M )
119		elfzo2 11923	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) <-> ( ( I + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ /\ ( I + 1 ) < M ) )
120	96, 97, 118, 119	syl3anbrc 1192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) )
121		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( I + 1 ) -> ( Q ` k ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
122	121	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( I + 1 ) -> ( ( Q ` k ) < C <-> ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) )
123	122	elrab 3196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I + 1 ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } <-> ( ( I + 1 ) e. ( 0..^ M ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) )
124	120, 104, 123	sylanbrc 670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } )
125		suprzub 11255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } C_ ZZ /\ E. m e. ZZ A. h e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } h <_ m /\ ( I + 1 ) e. { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } ) -> ( I + 1 ) <_ sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) )
126	83, 93, 124, 125	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) <_ sup ( { k e. ( 0..^ M ) | ( Q ` k ) < C } , RR , < ) )
127	126, 1	syl6breqr 4443	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) < C ) -> ( I + 1 ) <_ I )
128	80, 127	mtand 665	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) < C )
129		eqcom 2458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) = C <-> C = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
130	129	biimpi 198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) = C -> C = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
131	130	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> C = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
132	35	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> Q Fn ( 0 ... M ) )
133	65	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
134		fnfvelrn 6019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ran Q )
135	132, 133, 134	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ran Q )
136	131, 135	eqeltrd 2529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) -> C e. ran Q )
137	32, 136	mtand 665	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) = C )
138	128, 137	jca 535	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. ( Q ` ( I + 1 ) ) < C /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) )
139		pm4.56 498	. . . . . 6 |- ( ( -. ( Q ` ( I + 1 ) ) < C /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) <-> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C \/ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) )
140	138, 139	sylib 200	. . . . 5 |- ( ph -> -. ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C \/ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) )
141	66, 27	leloed 9778	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ C <-> ( ( Q ` ( I + 1 ) ) < C \/ ( Q ` ( I + 1 ) ) = C ) ) )
142	140, 141	mtbird 303	. . . 4 |- ( ph -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ C )
143	27, 66	ltnled 9782	. . . 4 |- ( ph -> ( C < ( Q ` ( I + 1 ) ) <-> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ C ) )
144	142, 143	mpbird 236	. . 3 |- ( ph -> C < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
145	63, 67, 27, 73, 144	eliood 37595	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
146		fveq2 5865	. . . . 5 |- ( j = I -> ( Q ` j ) = ( Q ` I ) )
147		oveq1 6297	. . . . . 6 |- ( j = I -> ( j + 1 ) = ( I + 1 ) )
148	147	fveq2d 5869	. . . . 5 |- ( j = I -> ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
149	146, 148	oveq12d 6308	. . . 4 |- ( j = I -> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
150	149	eleq2d 2514	. . 3 |- ( j = I -> ( C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) <-> C e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
151	150	rspcev 3150	. 2 |- ( ( I e. ( 0..^ M ) /\ C e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> E. j e. ( 0..^ M ) C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) )
152	60, 145, 151	syl2anc 667	1 |- ( ph -> E. j e. ( 0..^ M ) C e. ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   C_ wss 3404   (/)c0 3731   class class class wbr 4402   Or wor 4754   ran crn 4835   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   supcsup 7954   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916

This theorem is referenced by:  fourierdlem41  38011  fourierdlem48  38018  fourierdlem49  38019  fourierdlem70  38040  fourierdlem71  38041  fourierdlem103  38073  fourierdlem104  38074