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Theorem fourierdlem22 37991
Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem22.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem22.c  |-  C  =  ( -u pi (,) pi )
fourierdlem22.fibl  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e.  L^1 )
fourierdlem22.a  |-  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
fourierdlem22.b  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem22  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  ->  ( A `  n )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  ->  ( B `  n )  e.  RR ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    x, F    x, n, ph
Allowed substitution hints:    A( x, n)    B( x, n)    C( n)    F( n)

Proof of Theorem fourierdlem22
Dummy variables  b 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem22.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
21adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  F : RR --> RR )
3 ioossre 11696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  RR
4 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  C )
5 fourierdlem22.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  ( -u pi (,) pi )
64, 5syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )
73, 6sseldi 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  RR )
87adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  RR )
92, 8ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
109adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
11 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
1211adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  n  e.  RR )
137adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  RR )
1412, 13remulcld 9671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( n  x.  x
)  e.  RR )
1514recoscld 14198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  (
n  x.  x ) )  e.  RR )
1615adantll 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
1710, 16remulcld 9671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  e.  RR )
18 ioombl 22518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi (,) pi )  e. 
dom  vol
195, 18eqeltri 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  C  e. 
dom  vol
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  C  e.  dom  vol )
21 eqidd 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) )
22 eqidd 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
2320, 16, 10, 21, 22offval2 6548 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( cos `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) ) ) )
2416recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( n  x.  x ) )  e.  CC )
2510recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
2624, 25mulcomd 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( cos `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) )
2726mpteq2dva 4489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( cos `  ( n  x.  x ) )  x.  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ) )
2823, 27eqtr2d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) ) )
29 coscn 23400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  cos  e.  ( CC -cn-> CC ) )
315, 3eqsstri 3462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  C_  RR
32 ax-resscn 9596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  C_  CC
3331, 32sstri 3441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  C_  CC
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  C  C_  CC )
3511recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
36 ssid 3451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  CC  C_  CC )
3834, 35, 37constcncfg 37748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  n )  e.  ( C -cn-> CC ) )
39 cncfmptid 21944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
x  e.  C  |->  x )  e.  ( C
-cn-> CC ) )
4033, 36, 39mp2an 678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  C  |->  x )  e.  ( C -cn-> CC )
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  x )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4238, 41mulcncf 22398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  ( n  x.  x ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4330, 42cncfmpt1f 21945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
44 cnmbf 22615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  dom  vol  /\  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn )
4519, 43, 44sylancr 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  e. MblFn
)
4645adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  e. MblFn
)
471feqmptd 5918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
4847reseq1d 5104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) )  |`  C ) )
49 resmpt 5154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
5031, 49mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
5148, 50eqtr2d 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) )  =  ( F  |`  C )
)
52 fourierdlem22.fibl . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e.  L^1 )
5351, 52eqeltrd 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
5453adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  e.  L^1 )
55 1re 9642 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
56 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) )
57 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  n  e.  NN0
58 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )
5958nfdm 5076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )
6059nfcri 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )
6157, 60nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) )
6215ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  ->  ( cos `  ( n  x.  x ) )  e.  RR ) )
6362adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( x  e.  C  ->  ( cos `  ( n  x.  x
) )  e.  RR ) )
6461, 63ralrimi 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  C  ( cos `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
65 dmmptg 5332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  C  ( cos `  ( n  x.  x ) )  e.  RR  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
6756, 66eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  C
)
68 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) )
69 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
n  x.  x )  =  ( n  x.  y ) )
7069fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( cos `  ( n  x.  x ) )  =  ( cos `  (
n  x.  y ) ) )
7170adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  /\  x  =  y )  ->  ( cos `  ( n  x.  x
) )  =  ( cos `  ( n  x.  y ) ) )
72 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  C )
7311adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  n  e.  RR )
7431, 72sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  RR )
7573, 74remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( n  x.  y
)  e.  RR )
7675recoscld 14198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( cos `  (
n  x.  y ) )  e.  RR )
7768, 71, 72, 76fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
)  =  ( cos `  ( n  x.  y
) ) )
7877fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  =  ( abs `  ( cos `  ( n  x.  y
) ) ) )
79 abscosbd 37488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  x.  y )  e.  RR  ->  ( abs `  ( cos `  (
n  x.  y ) ) )  <_  1
)
8075, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  ( cos `  ( n  x.  y ) ) )  <_  1 )
8178, 80eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
8267, 81syldan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
8382ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
84 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  1  ->  (
( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) `  y ) )  <_  1 ) )
8584ralbidv 2827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  1  ->  ( A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
) )
8685rspcev 3150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
8755, 83, 86sylancr 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
8887adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
89 bddmulibl 22796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  C  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 
/\  E. b  e.  RR  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
9046, 54, 88, 89syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
9128, 90eqeltrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
9217, 91itgrecl 22755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )
93 pire 23413 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
9493a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  pi  e.  RR )
95 0re 9643 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
96 pipos 23415 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
9795, 96gtneii 9746 . . . . . . 7  |-  pi  =/=  0
9897a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  pi  =/=  0 )
9992, 94, 98redivcld 10435 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S. C ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi )  e.  RR )
100 fourierdlem22.a . . . . 5  |-  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
10199, 100fmptd 6046 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> RR )
102101ffvelrnda 6022 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  RR )
103102ex 436 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( A `  n
)  e.  RR ) )
104 nnnn0 10876 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
10514resincld 14197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  x ) )  e.  RR )
106105adantll 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
10710, 106remulcld 9671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e.  RR )
108 eqidd 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
10920, 106, 10, 108, 22offval2 6548 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( sin `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) ) ) )
110106recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  CC )
111110, 25mulcomd 9664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
112111mpteq2dva 4489 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( sin `  ( n  x.  x ) )  x.  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ) )
113109, 112eqtr2d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) ) )
114 sincn 23399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  sin  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11642adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( n  x.  x ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
117115, 116cncfmpt1f 21945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
118 cnmbf 22615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  dom  vol  /\  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn )
11919, 117, 118sylancr 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e. MblFn
)
120 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
121 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )
122121nfdm 5076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )
123122nfcri 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )
12457, 123nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )
125105ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR ) )
126125adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( x  e.  C  ->  ( sin `  ( n  x.  x
) )  e.  RR ) )
127124, 126ralrimi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  C  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
128 dmmptg 5332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  C  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
130120, 129eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  C
)
131 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )
13269fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  =  ( sin `  (
n  x.  y ) ) )
133132adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  /\  x  =  y )  ->  ( sin `  ( n  x.  x
) )  =  ( sin `  ( n  x.  y ) ) )
13475resincld 14197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  y ) )  e.  RR )
135131, 133, 72, 134fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
)  =  ( sin `  ( n  x.  y
) ) )
136135fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  =  ( abs `  ( sin `  ( n  x.  y
) ) ) )
137 abssinbd 37512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  x.  y )  e.  RR  ->  ( abs `  ( sin `  (
n  x.  y ) ) )  <_  1
)
13875, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  ( sin `  ( n  x.  y ) ) )  <_  1 )
139136, 138eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
140130, 139syldan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
141140ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
142 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  1  ->  (
( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) `  y ) )  <_  1 ) )
143142ralbidv 2827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  1  ->  ( A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
) )
144143rspcev 3150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
14555, 141, 144sylancr 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
146145adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
147 bddmulibl 22796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  C  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 
/\  E. b  e.  RR  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
148119, 54, 146, 147syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
149113, 148eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
150107, 149itgrecl 22755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )
151104, 150sylan2 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )
15293a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
15397a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  =/=  0 )
154151, 152, 153redivcld 10435 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi )  e.  RR )
155 fourierdlem22.b . . . . 5  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
156154, 155fmptd 6046 . . . 4  |-  ( ph  ->  B : NN --> RR )
157156ffvelrnda 6022 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B `
 n )  e.  RR )
158157ex 436 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  ->  ( B `  n
)  e.  RR ) )
159103, 158jca 535 1  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  ->  ( A `  n )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  ->  ( B `  n )  e.  RR ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3404   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    oFcof 6529   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    x. cmul 9544    <_ cle 9676   -ucneg 9861    / cdiv 10269   NNcn 10609   NN0cn0 10869   (,)cioo 11635   abscabs 13297   sincsin 14116   cosccos 14117   picpi 14119   -cn->ccncf 21908   volcvol 22415  MblFncmbf 22572   L^1cibl 22575   S.citg 22576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-limc 22821  df-dv 22822
This theorem is referenced by:  fourierdlem83  38053
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