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Theorem fourierdlem22 32114
Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem22.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem22.c  |-  C  =  ( -u pi (,) pi )
fourierdlem22.fibl  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e.  L^1 )
fourierdlem22.a  |-  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
fourierdlem22.b  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem22  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  ->  ( A `  n )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  ->  ( B `  n )  e.  RR ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    x, F    x, n, ph
Allowed substitution hints:    A( x, n)    B( x, n)    C( n)    F( n)

Proof of Theorem fourierdlem22
Dummy variables  b 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem22.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
21adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  F : RR --> RR )
3 ioossre 11611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  RR
4 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  C )
5 fourierdlem22.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  ( -u pi (,) pi )
64, 5syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )
73, 6sseldi 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  RR )
87adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  RR )
92, 8ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
109adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
11 nn0re 10825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  n  e.  RR )
137adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  RR )
1412, 13remulcld 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( n  x.  x
)  e.  RR )
1514recoscld 13891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  (
n  x.  x ) )  e.  RR )
1615adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
1710, 16remulcld 9641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  e.  RR )
18 ioombl 22101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi (,) pi )  e. 
dom  vol
195, 18eqeltri 2541 . . . . . . . . . . 11  |-  C  e. 
dom  vol
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  C  e.  dom  vol )
21 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) )
22 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
2320, 16, 10, 21, 22offval2 6555 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( cos `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) ) ) )
2416recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( n  x.  x ) )  e.  CC )
2510recnd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
2624, 25mulcomd 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( cos `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) )
2726mpteq2dva 4543 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( cos `  ( n  x.  x ) )  x.  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ) )
2823, 27eqtr2d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) ) )
29 coscn 22966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  cos  e.  ( CC -cn-> CC ) )
315, 3eqsstri 3529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  C_  RR
32 ax-resscn 9566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  C_  CC
3331, 32sstri 3508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  C_  CC
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  C  C_  CC )
3511recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
36 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  CC  C_  CC )
3834, 35, 37constcncfg 31876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  n )  e.  ( C -cn-> CC ) )
39 cncfmptid 21542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
x  e.  C  |->  x )  e.  ( C
-cn-> CC ) )
4033, 36, 39mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  C  |->  x )  e.  ( C -cn-> CC )
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  x )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4238, 41mulcncf 21985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  ( n  x.  x ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4330, 42cncfmpt1f 21543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
44 cnmbf 22192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  dom  vol  /\  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn )
4519, 43, 44sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  e. MblFn
)
4645adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  e. MblFn
)
471feqmptd 5926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
4847reseq1d 5282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) )  |`  C ) )
49 resmpt 5333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
5031, 49mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
5148, 50eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) )  =  ( F  |`  C )
)
52 fourierdlem22.fibl . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e.  L^1 )
5351, 52eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
5453adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  e.  L^1 )
55 1re 9612 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) )
57 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  n  e.  NN0
58 nfmpt1 4546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )
5958nfdm 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )
6059nfcri 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )
6157, 60nfan 1929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) )
6215ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  ->  ( cos `  ( n  x.  x ) )  e.  RR ) )
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( x  e.  C  ->  ( cos `  ( n  x.  x
) )  e.  RR ) )
6461, 63ralrimi 2857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  C  ( cos `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
65 dmmptg 5510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  C  ( cos `  ( n  x.  x ) )  e.  RR  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
6756, 66eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  C
)
68 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) )
69 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
n  x.  x )  =  ( n  x.  y ) )
7069fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( cos `  ( n  x.  x ) )  =  ( cos `  (
n  x.  y ) ) )
7170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  /\  x  =  y )  ->  ( cos `  ( n  x.  x
) )  =  ( cos `  ( n  x.  y ) ) )
72 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  C )
7311adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  n  e.  RR )
7431, 72sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  RR )
7573, 74remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( n  x.  y
)  e.  RR )
7675recoscld 13891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( cos `  (
n  x.  y ) )  e.  RR )
7768, 71, 72, 76fvmptd 5961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
)  =  ( cos `  ( n  x.  y
) ) )
7877fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  =  ( abs `  ( cos `  ( n  x.  y
) ) ) )
79 abscosbd 31663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  x.  y )  e.  RR  ->  ( abs `  ( cos `  (
n  x.  y ) ) )  <_  1
)
8075, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  ( cos `  ( n  x.  y ) ) )  <_  1 )
8178, 80eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
8267, 81syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
8382ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
84 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  1  ->  (
( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) `  y ) )  <_  1 ) )
8584ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  1  ->  ( A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
) )
8685rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
8755, 83, 86sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
8887adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
89 bddmulibl 22371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  C  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 
/\  E. b  e.  RR  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
9046, 54, 88, 89syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
9128, 90eqeltrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
9217, 91itgrecl 22330 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )
93 pire 22977 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
9493a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  pi  e.  RR )
95 0re 9613 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
96 pipos 22979 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
9795, 96gtneii 9713 . . . . . . 7  |-  pi  =/=  0
9897a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  pi  =/=  0 )
9992, 94, 98redivcld 10393 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S. C ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi )  e.  RR )
100 fourierdlem22.a . . . . 5  |-  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
10199, 100fmptd 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> RR )
102101ffvelrnda 6032 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  RR )
103102ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( A `  n
)  e.  RR ) )
104 nnnn0 10823 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
10514resincld 13890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  x ) )  e.  RR )
106105adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
10710, 106remulcld 9641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e.  RR )
108 eqidd 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
10920, 106, 10, 108, 22offval2 6555 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( sin `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) ) ) )
110106recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  CC )
111110, 25mulcomd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
112111mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( sin `  ( n  x.  x ) )  x.  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ) )
113109, 112eqtr2d 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) ) )
114 sincn 22965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  sin  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11642adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( n  x.  x ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
117115, 116cncfmpt1f 21543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
118 cnmbf 22192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  dom  vol  /\  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn )
11919, 117, 118sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e. MblFn
)
120 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
121 nfmpt1 4546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )
122121nfdm 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )
123122nfcri 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )
12457, 123nfan 1929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )
125105ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR ) )
126125adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( x  e.  C  ->  ( sin `  ( n  x.  x
) )  e.  RR ) )
127124, 126ralrimi 2857 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  C  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
128 dmmptg 5510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  C  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
130120, 129eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  C
)
131 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )
13269fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  =  ( sin `  (
n  x.  y ) ) )
133132adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  /\  x  =  y )  ->  ( sin `  ( n  x.  x
) )  =  ( sin `  ( n  x.  y ) ) )
13475resincld 13890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  y ) )  e.  RR )
135131, 133, 72, 134fvmptd 5961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
)  =  ( sin `  ( n  x.  y
) ) )
136135fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  =  ( abs `  ( sin `  ( n  x.  y
) ) ) )
137 abssinbd 31693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  x.  y )  e.  RR  ->  ( abs `  ( sin `  (
n  x.  y ) ) )  <_  1
)
13875, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  ( sin `  ( n  x.  y ) ) )  <_  1 )
139136, 138eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
140130, 139syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
141140ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
142 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  1  ->  (
( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) `  y ) )  <_  1 ) )
143142ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  1  ->  ( A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
) )
144143rspcev 3210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
14555, 141, 144sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
146145adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
147 bddmulibl 22371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  C  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 
/\  E. b  e.  RR  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
148119, 54, 146, 147syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
149113, 148eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
150107, 149itgrecl 22330 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )
151104, 150sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )
15293a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
15397a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  =/=  0 )
154151, 152, 153redivcld 10393 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi )  e.  RR )
155 fourierdlem22.b . . . . 5  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
156154, 155fmptd 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  B : NN --> RR )
157156ffvelrnda 6032 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B `
 n )  e.  RR )
158157ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  ->  ( B `  n
)  e.  RR ) )
159103, 158jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  ->  ( A `  n )  e.  RR )  /\  ( n  e.  NN  ->  ( B `  n )  e.  RR ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514    <_ cle 9646   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   NN0cn0 10816   (,)cioo 11554   abscabs 13079   sincsin 13811   cosccos 13812   picpi 13814   -cn->ccncf 21506   volcvol 22001  MblFncmbf 22149   L^1cibl 22152   S.citg 22153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-itg2 22156  df-ibl 22157  df-itg 22158  df-0p 22203  df-limc 22396  df-dv 22397
This theorem is referenced by:  fourierdlem83  32175
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