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Theorem fourierdlem21 38102
Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem21.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem21.c  |-  C  =  ( -u pi (,) pi )
fourierdlem21.fibl  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e.  L^1 )
fourierdlem21.b  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
fourierdlem21.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem21  |-  ( ph  ->  ( ( ( B `
 N )  e.  RR  /\  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )  /\  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    C, n, x    n, F, x    n, N, x    ph, n, x
Allowed substitution hints:    B( x, n)

Proof of Theorem fourierdlem21
Dummy variables  b 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10900 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
2 fourierdlem21.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
32adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  F : RR --> RR )
4 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  RR
5 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  C )
6 fourierdlem21.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  ( -u pi (,) pi )
75, 6syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )
84, 7sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  RR )
98adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  RR )
103, 9ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
1110adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
12 nn0re 10902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
1312adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  n  e.  RR )
148adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  RR )
1513, 14remulcld 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( n  x.  x
)  e.  RR )
1615resincld 14274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  x ) )  e.  RR )
1716adantll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
1811, 17remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e.  RR )
19 ioombl 22597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi (,) pi )  e. 
dom  vol
206, 19eqeltri 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  C  e. 
dom  vol
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  C  e.  dom  vol )
22 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
23 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
2421, 17, 11, 22, 23offval2 6567 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( sin `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) ) ) )
2517recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  CC )
2611recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
2725, 26mulcomd 9682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
2827mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( sin `  ( n  x.  x ) )  x.  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ) )
2924, 28eqtr2d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) ) )
30 sincn 23478 . . . . . . . . . . . 12  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  sin  e.  ( CC -cn-> CC ) )
326, 4eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  C_  RR
33 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  C_  CC
3432, 33sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  C_  CC
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  C  C_  CC )
3612recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
37 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  CC  C_  CC )
3935, 36, 38constcncfg 37845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  n )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4035, 38idcncfg 37846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  x )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4139, 40mulcncf 22476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  ( n  x.  x ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4241adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( n  x.  x ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4331, 42cncfmpt1f 22023 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
44 cnmbf 22694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  dom  vol  /\  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn )
4520, 43, 44sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e. MblFn
)
462feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
4746reseq1d 5110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) )  |`  C ) )
48 resmpt 5160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
4932, 48mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
5047, 49eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) )  =  ( F  |`  C )
)
51 fourierdlem21.fibl . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e.  L^1 )
5250, 51eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
5352adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  e.  L^1 )
54 1re 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
55 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
56 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  n  e.  NN0
57 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )
5857nfdm 5082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )
5958nfcri 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )
6056, 59nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )
6116ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR ) )
6261adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( x  e.  C  ->  ( sin `  ( n  x.  x
) )  e.  RR ) )
6360, 62ralrimi 2800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  C  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
64 dmmptg 5339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  C  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
6655, 65eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  C
)
67 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )
68 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
n  x.  x )  =  ( n  x.  y ) )
6968fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  =  ( sin `  (
n  x.  y ) ) )
7069adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  /\  x  =  y )  ->  ( sin `  ( n  x.  x
) )  =  ( sin `  ( n  x.  y ) ) )
71 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  C )
7212adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  n  e.  RR )
7332, 71sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  RR )
7472, 73remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( n  x.  y
)  e.  RR )
7574resincld 14274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  y ) )  e.  RR )
7667, 70, 71, 75fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
)  =  ( sin `  ( n  x.  y
) ) )
7776fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  =  ( abs `  ( sin `  ( n  x.  y
) ) ) )
78 abssinbd 37600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  x.  y )  e.  RR  ->  ( abs `  ( sin `  (
n  x.  y ) ) )  <_  1
)
7974, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  ( sin `  ( n  x.  y ) ) )  <_  1 )
8077, 79eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
8166, 80syldan 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
8281ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
83 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  1  ->  (
( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) `  y ) )  <_  1 ) )
8483ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  1  ->  ( A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
) )
8584rspcev 3136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
8654, 82, 85sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
8786adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
88 bddmulibl 22875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  C  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 
/\  E. b  e.  RR  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
8945, 53, 87, 88syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
9029, 89eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
9118, 90itgrecl 22834 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )
921, 91sylan2 482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )
93 pire 23492 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
9493a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
95 0re 9661 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
96 pipos 23494 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
9795, 96gtneii 9764 . . . . . 6  |-  pi  =/=  0
9897a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  =/=  0 )
9992, 94, 98redivcld 10457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi )  e.  RR )
100 fourierdlem21.b . . . 4  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
10199, 100fmptd 6061 . . 3  |-  ( ph  ->  B : NN --> RR )
102 fourierdlem21.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
103101, 102ffvelrnd 6038 . 2  |-  ( ph  ->  ( B `  N
)  e.  RR )
104102nnnn0d 10949 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
105 eleq1 2537 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
n  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
106105anbi2d 718 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  /\  n  e.  NN0 )  <->  ( ph  /\  N  e.  NN0 )
) )
107 simpl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  n  =  N )
108107oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  ( n  x.  x
)  =  ( N  x.  x ) )
109108fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  x ) )  =  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )
110109oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )
111110mpteq2dva 4482 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  C  |->  ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) ) )
112111eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 ) )
113106, 112imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 ) ) )
114113, 90vtoclg 3093 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 ) )
115114anabsi7 835 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )
116104, 115mpdan 681 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
117102ancli 560 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  N  e.  NN ) )
118 eleq1 2537 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  e.  NN  <->  N  e.  NN ) )
119118anbi2d 718 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  /\  n  e.  NN )  <->  ( ph  /\  N  e.  NN ) ) )
120110itgeq2dv 22818 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  =  S. C ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )
121120eleq1d 2533 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR  <->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR ) )
122119, 121imbi12d 327 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  NN )  ->  S. C ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  e.  RR ) ) )
123122, 92vtoclg 3093 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ph  /\  N  e.  NN )  ->  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR ) )
124102, 117, 123sylc 61 . 2  |-  ( ph  ->  S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR )
125103, 116, 124jca31 543 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( B `
 N )  e.  RR  /\  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )  /\  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562    <_ cle 9694   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   (,)cioo 11660   abscabs 13374   sincsin 14193   picpi 14196   -cn->ccncf 21986   volcvol 22493  MblFncmbf 22651   L^1cibl 22654   S.citg 22655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  fourierdlem83  38165  fourierdlem112  38194
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