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Theorem fourierdlem21 31751
Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem21.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem21.c  |-  C  =  ( -u pi (,) pi )
fourierdlem21.fibl  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e.  L^1 )
fourierdlem21.b  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
fourierdlem21.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem21  |-  ( ph  ->  ( ( ( B `
 N )  e.  RR  /\  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )  /\  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    C, n, x    n, F, x    n, N, x    ph, n, x
Allowed substitution hints:    B( x, n)

Proof of Theorem fourierdlem21
Dummy variables  b 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ph )
2 nnnn0 10814 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
32adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
4 fourierdlem21.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
54adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  F : RR --> RR )
6 ioossre 11598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  RR
7 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  C )
8 fourierdlem21.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  ( -u pi (,) pi )
97, 8syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )
106, 9sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  RR )
1110adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  RR )
125, 11ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
1312adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
14 nn0re 10816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  n  e.  RR )
1610adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  RR )
1715, 16remulcld 9636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( n  x.  x
)  e.  RR )
1817resincld 13756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  x ) )  e.  RR )
1918adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
2013, 19remulcld 9636 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e.  RR )
21 ioombl 21843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi (,) pi )  e. 
dom  vol
228, 21eqeltri 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  C  e. 
dom  vol
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  C  e.  dom  vol )
24 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
25 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
2623, 19, 13, 24, 25offval2 6551 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( sin `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) ) ) )
27 ax-resscn 9561 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
2827, 19sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  CC )
2913recnd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
3028, 29mulcomd 9629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
3130mpteq2dva 4539 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( sin `  ( n  x.  x ) )  x.  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ) )
3226, 31eqtr2d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) ) )
33 sincn 22706 . . . . . . . . . . . 12  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  sin  e.  ( CC -cn-> CC ) )
358, 6eqsstri 3539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  C_  RR
3635, 27sstri 3518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  C_  CC
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  C  C_  CC )
3814recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
39 ssid 3528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  CC  C_  CC )
4137, 38, 40constcncfg 31532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  n )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4237, 40idcncfg 31533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  x )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4341, 42mulcncf 21727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  ( n  x.  x ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( n  x.  x ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4534, 44cncfmpt1f 21285 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
46 cnmbf 21934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  dom  vol  /\  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn )
4723, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e. MblFn
)
484feqmptd 5927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
4948reseq1d 5278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) )  |`  C ) )
50 resmpt 5329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
5135, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) )
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
53 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
5449, 52, 533eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) )  =  ( F  |`  C )
)
55 fourierdlem21.fibl . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e.  L^1 )
5654, 55eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
5756adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  e.  L^1 )
58 1re 9607 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
60 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
61 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
62 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  n  e.  NN0
63 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
y
64 nfmpt1 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )
6564nfdm 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )
6663, 65nfel 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )
6762, 66nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )
6818ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR ) )
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( x  e.  C  ->  ( sin `  ( n  x.  x
) )  e.  RR ) )
7067, 69ralrimi 2867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  C  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
71 dmmptg 5510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  C  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
7361, 72eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  C
)
74 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )
75 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
n  x.  x )  =  ( n  x.  y ) )
7675fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  =  ( sin `  (
n  x.  y ) ) )
7776adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  /\  x  =  y )  ->  ( sin `  ( n  x.  x
) )  =  ( sin `  ( n  x.  y ) ) )
78 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  C )
7914adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  n  e.  RR )
8035, 78sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  RR )
8179, 80remulcld 9636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( n  x.  y
)  e.  RR )
8281resincld 13756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  y ) )  e.  RR )
8374, 77, 78, 82fvmptd 5962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
)  =  ( sin `  ( n  x.  y
) ) )
8483fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  =  ( abs `  ( sin `  ( n  x.  y
) ) ) )
85 abssinbd 31390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  x.  y )  e.  RR  ->  ( abs `  ( sin `  (
n  x.  y ) ) )  <_  1
)
8681, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  ( sin `  ( n  x.  y ) ) )  <_  1 )
8784, 86eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
8860, 73, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
8988ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
90 breq2 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  1  ->  (
( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) `  y ) )  <_  1 ) )
9190ralbidv 2906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  1  ->  ( A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
) )
9291rspcev 3219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
9359, 89, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
9493adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
95 bddmulibl 22113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  C  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 
/\  E. b  e.  RR  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
9647, 57, 94, 95syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
9732, 96eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
9820, 97itgrecl 22072 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )
991, 3, 98syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )
100 pire 22718 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
101100a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
102 0re 9608 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
103 pipos 22720 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
104 ltne 9693 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  pi )  ->  pi  =/=  0 )
105102, 103, 104mp2an 672 . . . . . 6  |-  pi  =/=  0
106105a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  =/=  0 )
10799, 101, 106redivcld 10384 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi )  e.  RR )
108 fourierdlem21.b . . . 4  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
109107, 108fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  B : NN --> RR )
110 fourierdlem21.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
111109, 110ffvelrnd 6033 . 2  |-  ( ph  ->  ( B `  N
)  e.  RR )
112 id 22 . . 3  |-  ( ph  ->  ph )
113110nnnn0d 10864 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
114 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
115 id 22 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ph  /\  N  e.  NN0 )
)
116 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
n  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
117116anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  /\  n  e.  NN0 )  <->  ( ph  /\  N  e.  NN0 )
) )
118 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  n  =  N )
119118oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  ( n  x.  x
)  =  ( N  x.  x ) )
120119fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  x ) )  =  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )
121120oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )
122121mpteq2dva 4539 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  C  |->  ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) ) )
123122eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 ) )
124117, 123imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 ) ) )
125124, 97vtoclg 3176 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 ) )
126114, 115, 125sylc 60 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )
127112, 113, 126syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
128110ancli 551 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  N  e.  NN ) )
129 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  e.  NN  <->  N  e.  NN ) )
130129anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  /\  n  e.  NN )  <->  ( ph  /\  N  e.  NN ) ) )
131121itgeq2dv 22056 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  =  S. C ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )
132131eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR  <->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR ) )
133130, 132imbi12d 320 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  NN )  ->  S. C ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  e.  RR ) ) )
134133, 99vtoclg 3176 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ph  /\  N  e.  NN )  ->  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR ) )
135110, 128, 134sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR )
136111, 127, 135jca31 534 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( B `
 N )  e.  RR  /\  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )  /\  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    C_ wss 3481   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005    |` cres 5007   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641   -ucneg 9818    / cdiv 10218   NNcn 10548   NN0cn0 10807   (,)cioo 11541   abscabs 13047   sincsin 13678   picpi 13681   -cn->ccncf 21248   volcvol 21743  MblFncmbf 21891   L^1cibl 21894   S.citg 21895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-itg2 21898  df-ibl 21899  df-itg 21900  df-0p 21945  df-limc 22138  df-dv 22139
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