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Theorem fourierdlem21 32149
Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem21.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem21.c  |-  C  =  ( -u pi (,) pi )
fourierdlem21.fibl  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e.  L^1 )
fourierdlem21.b  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
fourierdlem21.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem21  |-  ( ph  ->  ( ( ( B `
 N )  e.  RR  /\  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )  /\  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    C, n, x    n, F, x    n, N, x    ph, n, x
Allowed substitution hints:    B( x, n)

Proof of Theorem fourierdlem21
Dummy variables  b 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10798 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
2 fourierdlem21.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
32adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  F : RR --> RR )
4 ioossre 11589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  RR
5 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  C )
6 fourierdlem21.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  ( -u pi (,) pi )
75, 6syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )
84, 7sseldi 3487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  RR )
98adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  RR )
103, 9ffvelrnd 6008 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
1110adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
12 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
1312adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  n  e.  RR )
148adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  RR )
1513, 14remulcld 9613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( n  x.  x
)  e.  RR )
1615resincld 13960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  x ) )  e.  RR )
1716adantll 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
1811, 17remulcld 9613 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e.  RR )
19 ioombl 22141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi (,) pi )  e. 
dom  vol
206, 19eqeltri 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  C  e. 
dom  vol
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  C  e.  dom  vol )
22 eqidd 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
23 eqidd 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
2421, 17, 11, 22, 23offval2 6529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( sin `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) ) ) )
2517recnd 9611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  CC )
2611recnd 9611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
2725, 26mulcomd 9606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
2827mpteq2dva 4525 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( sin `  ( n  x.  x ) )  x.  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ) )
2924, 28eqtr2d 2496 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) ) )
30 sincn 23005 . . . . . . . . . . . 12  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  sin  e.  ( CC -cn-> CC ) )
326, 4eqsstri 3519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  C_  RR
33 ax-resscn 9538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  C_  CC
3432, 33sstri 3498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  C_  CC
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  C  C_  CC )
3612recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
37 ssid 3508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  CC  C_  CC )
3935, 36, 38constcncfg 31912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  n )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4035, 38idcncfg 31913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  x )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4139, 40mulcncf 22025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  ( n  x.  x ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4241adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( n  x.  x ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4331, 42cncfmpt1f 21583 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
44 cnmbf 22232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  dom  vol  /\  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn )
4520, 43, 44sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e. MblFn
)
462feqmptd 5901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
4746reseq1d 5261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) )  |`  C ) )
48 resmpt 5311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
4932, 48mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
5047, 49eqtr2d 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) )  =  ( F  |`  C )
)
51 fourierdlem21.fibl . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e.  L^1 )
5250, 51eqeltrd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
5352adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  e.  L^1 )
54 1re 9584 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
55 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
56 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  n  e.  NN0
57 nfmpt1 4528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )
5857nfdm 5233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )
5958nfcri 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )
6056, 59nfan 1933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )
6116ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR ) )
6261adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( x  e.  C  ->  ( sin `  ( n  x.  x
) )  e.  RR ) )
6360, 62ralrimi 2854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  C  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
64 dmmptg 5487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  C  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
6655, 65eleqtrd 2544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  C
)
67 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )
68 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
n  x.  x )  =  ( n  x.  y ) )
6968fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  =  ( sin `  (
n  x.  y ) ) )
7069adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  /\  x  =  y )  ->  ( sin `  ( n  x.  x
) )  =  ( sin `  ( n  x.  y ) ) )
71 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  C )
7212adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  n  e.  RR )
7332, 71sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  RR )
7472, 73remulcld 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( n  x.  y
)  e.  RR )
7574resincld 13960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  y ) )  e.  RR )
7667, 70, 71, 75fvmptd 5936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
)  =  ( sin `  ( n  x.  y
) ) )
7776fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  =  ( abs `  ( sin `  ( n  x.  y
) ) ) )
78 abssinbd 31729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  x.  y )  e.  RR  ->  ( abs `  ( sin `  (
n  x.  y ) ) )  <_  1
)
7974, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  ( sin `  ( n  x.  y ) ) )  <_  1 )
8077, 79eqbrtrd 4459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
8166, 80syldan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
8281ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
83 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  1  ->  (
( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) `  y ) )  <_  1 ) )
8483ralbidv 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  1  ->  ( A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
) )
8584rspcev 3207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
8654, 82, 85sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
8786adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
88 bddmulibl 22411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  C  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 
/\  E. b  e.  RR  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
8945, 53, 87, 88syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
9029, 89eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
9118, 90itgrecl 22370 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )
921, 91sylan2 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )
93 pire 23017 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
9493a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
95 0re 9585 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
96 pipos 23019 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
9795, 96gtneii 9685 . . . . . 6  |-  pi  =/=  0
9897a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  =/=  0 )
9992, 94, 98redivcld 10368 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi )  e.  RR )
100 fourierdlem21.b . . . 4  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
10199, 100fmptd 6031 . . 3  |-  ( ph  ->  B : NN --> RR )
102 fourierdlem21.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
103101, 102ffvelrnd 6008 . 2  |-  ( ph  ->  ( B `  N
)  e.  RR )
104102nnnn0d 10848 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
105 eleq1 2526 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
n  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
106105anbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  /\  n  e.  NN0 )  <->  ( ph  /\  N  e.  NN0 )
) )
107 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  n  =  N )
108107oveq1d 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  ( n  x.  x
)  =  ( N  x.  x ) )
109108fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  x ) )  =  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )
110109oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )
111110mpteq2dva 4525 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  C  |->  ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) ) )
112111eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 ) )
113106, 112imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 ) ) )
114113, 90vtoclg 3164 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 ) )
115114anabsi7 817 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )
116104, 115mpdan 666 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
117102ancli 549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  N  e.  NN ) )
118 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  e.  NN  <->  N  e.  NN ) )
119118anbi2d 701 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  /\  n  e.  NN )  <->  ( ph  /\  N  e.  NN ) ) )
120110itgeq2dv 22354 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  =  S. C ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )
121120eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR  <->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR ) )
122119, 121imbi12d 318 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  NN )  ->  S. C ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  e.  RR ) ) )
123122, 92vtoclg 3164 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ph  /\  N  e.  NN )  ->  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR ) )
124102, 117, 123sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR )
125103, 116, 124jca31 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( B `
 N )  e.  RR  /\  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )  /\  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988    |` cres 4990   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    <_ cle 9618   -ucneg 9797    / cdiv 10202   NNcn 10531   NN0cn0 10791   (,)cioo 11532   abscabs 13149   sincsin 13881   picpi 13884   -cn->ccncf 21546   volcvol 22041  MblFncmbf 22189   L^1cibl 22192   S.citg 22193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-ovol 22042  df-vol 22043  df-mbf 22194  df-itg1 22195  df-itg2 22196  df-ibl 22197  df-itg 22198  df-0p 22243  df-limc 22436  df-dv 22437
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