Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem21 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem21 37873
Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem21.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem21.c  |-  C  =  ( -u pi (,) pi )
fourierdlem21.fibl  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e.  L^1 )
fourierdlem21.b  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
fourierdlem21.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem21  |-  ( ph  ->  ( ( ( B `
 N )  e.  RR  /\  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )  /\  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    C, n, x    n, F, x    n, N, x    ph, n, x
Allowed substitution hints:    B( x, n)

Proof of Theorem fourierdlem21
Dummy variables  b 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10827 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
2 fourierdlem21.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
32adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  F : RR --> RR )
4 ioossre 11647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  RR
5 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  C )
6 fourierdlem21.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  ( -u pi (,) pi )
75, 6syl6eleq 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )
84, 7sseldi 3405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  RR )
98adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  RR )
103, 9ffvelrnd 5982 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
1110adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
12 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
1312adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  n  e.  RR )
148adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  RR )
1513, 14remulcld 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( n  x.  x
)  e.  RR )
1615resincld 14140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  x ) )  e.  RR )
1716adantll 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
1811, 17remulcld 9622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e.  RR )
19 ioombl 22460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi (,) pi )  e. 
dom  vol
206, 19eqeltri 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  C  e. 
dom  vol
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  C  e.  dom  vol )
22 eqidd 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
23 eqidd 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
2421, 17, 11, 22, 23offval2 6506 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( sin `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) ) ) )
2517recnd 9620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  CC )
2611recnd 9620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
2725, 26mulcomd 9615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
2827mpteq2dva 4453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( sin `  ( n  x.  x ) )  x.  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ) )
2924, 28eqtr2d 2463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) ) )
30 sincn 23341 . . . . . . . . . . . 12  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  sin  e.  ( CC -cn-> CC ) )
326, 4eqsstri 3437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  C_  RR
33 ax-resscn 9547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  C_  CC
3432, 33sstri 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  C_  CC
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  C  C_  CC )
3612recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
37 ssid 3426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  CC  C_  CC )
3935, 36, 38constcncfg 37631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  n )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4035, 38idcncfg 37632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  x )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4139, 40mulcncf 22340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  ( n  x.  x ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4241adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( n  x.  x ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4331, 42cncfmpt1f 21887 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
44 cnmbf 22557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  dom  vol  /\  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn )
4520, 43, 44sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  e. MblFn
)
462feqmptd 5878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
4746reseq1d 5066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) )  |`  C ) )
48 resmpt 5116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
4932, 48mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
5047, 49eqtr2d 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) )  =  ( F  |`  C )
)
51 fourierdlem21.fibl . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e.  L^1 )
5250, 51eqeltrd 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
5352adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  e.  L^1 )
54 1re 9593 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
55 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )
56 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  n  e.  NN0
57 nfmpt1 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )
5857nfdm 5038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )
5958nfcri 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )
6056, 59nfan 1988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )
6116ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR ) )
6261adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( x  e.  C  ->  ( sin `  ( n  x.  x
) )  e.  RR ) )
6360, 62ralrimi 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  C  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
64 dmmptg 5294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  C  ( sin `  ( n  x.  x ) )  e.  RR  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
6655, 65eleqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  C
)
67 eqidd 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )
68 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
n  x.  x )  =  ( n  x.  y ) )
6968fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( sin `  ( n  x.  x ) )  =  ( sin `  (
n  x.  y ) ) )
7069adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  /\  x  =  y )  ->  ( sin `  ( n  x.  x
) )  =  ( sin `  ( n  x.  y ) ) )
71 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  C )
7212adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  n  e.  RR )
7332, 71sseldi 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  RR )
7472, 73remulcld 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( n  x.  y
)  e.  RR )
7574resincld 14140 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  y ) )  e.  RR )
7667, 70, 71, 75fvmptd 5914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
)  =  ( sin `  ( n  x.  y
) ) )
7776fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  =  ( abs `  ( sin `  ( n  x.  y
) ) ) )
78 abssinbd 37409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  x.  y )  e.  RR  ->  ( abs `  ( sin `  (
n  x.  y ) ) )  <_  1
)
7974, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  ( sin `  ( n  x.  y ) ) )  <_  1 )
8077, 79eqbrtrd 4387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
8166, 80syldan 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
8281ralrimiva 2779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
83 breq2 4370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  1  ->  (
( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) `  y ) )  <_  1 ) )
8483ralbidv 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  1  ->  ( A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
) )
8584rspcev 3125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
8654, 82, 85sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
8786adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
88 bddmulibl 22738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  C  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 
/\  E. b  e.  RR  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
8945, 53, 87, 88syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
9029, 89eqeltrd 2506 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
9118, 90itgrecl 22697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )
921, 91sylan2 476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )
93 pire 23355 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
9493a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
95 0re 9594 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
96 pipos 23357 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
9795, 96gtneii 9697 . . . . . 6  |-  pi  =/=  0
9897a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  =/=  0 )
9992, 94, 98redivcld 10386 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi )  e.  RR )
100 fourierdlem21.b . . . 4  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
10199, 100fmptd 6005 . . 3  |-  ( ph  ->  B : NN --> RR )
102 fourierdlem21.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
103101, 102ffvelrnd 5982 . 2  |-  ( ph  ->  ( B `  N
)  e.  RR )
104102nnnn0d 10876 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
105 eleq1 2494 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
n  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
106105anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  /\  n  e.  NN0 )  <->  ( ph  /\  N  e.  NN0 )
) )
107 simpl 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  n  =  N )
108107oveq1d 6264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  ( n  x.  x
)  =  ( N  x.  x ) )
109108fveq2d 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  (
n  x.  x ) )  =  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )
110109oveq2d 6265 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )
111110mpteq2dva 4453 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  C  |->  ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( n  x.  x
) ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) ) )
112111eleq1d 2490 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1  <-> 
( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 ) )
113106, 112imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 ) ) )
114113, 90vtoclg 3082 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 ) )
115114anabsi7 826 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )
116104, 115mpdan 672 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
117102ancli 553 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  N  e.  NN ) )
118 eleq1 2494 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  e.  NN  <->  N  e.  NN ) )
119118anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  /\  n  e.  NN )  <->  ( ph  /\  N  e.  NN ) ) )
120110itgeq2dv 22681 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  =  S. C ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )
121120eleq1d 2490 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR  <->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR ) )
122119, 121imbi12d 321 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  NN )  ->  S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  NN )  ->  S. C ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  e.  RR ) ) )
123122, 92vtoclg 3082 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ph  /\  N  e.  NN )  ->  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR ) )
124102, 117, 123sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  S. C ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR )
125103, 116, 124jca31 536 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( B `
 N )  e.  RR  /\  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )  /\  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715    C_ wss 3379   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   dom cdm 4796    |` cres 4798   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    oFcof 6487   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    x. cmul 9495    <_ cle 9627   -ucneg 9812    / cdiv 10220   NNcn 10560   NN0cn0 10820   (,)cioo 11586   abscabs 13241   sincsin 14059   picpi 14062   -cn->ccncf 21850   volcvol 22357  MblFncmbf 22514   L^1cibl 22517   S.citg 22518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cc 8816  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-ofr 6490  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-acn 8328  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-ef 14064  df-sin 14066  df-cos 14067  df-pi 14069  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-lp 20094  df-perf 20095  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-haus 20273  df-cmp 20344  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-ovol 22358  df-vol 22360  df-mbf 22519  df-itg1 22520  df-itg2 22521  df-ibl 22522  df-itg 22523  df-0p 22570  df-limc 22763  df-dv 22764
This theorem is referenced by:  fourierdlem83  37936  fourierdlem112  37965
  Copyright terms: Public domain W3C validator