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Theorem fourierdlem20 31750
Description: Every interval in the partition  S is included in an interval of the partition  Q. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem20.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem20.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem20.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem20.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
fourierdlem20.q  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem20.q0  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <_  A )
fourierdlem20.qm  |-  ( ph  ->  B  <_  ( Q `  M ) )
fourierdlem20.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
fourierdlem20.t  |-  T  =  ( { A ,  B }  u.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) ) )
fourierdlem20.s  |-  ( ph  ->  S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  T ) )
fourierdlem20.i  |-  I  =  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem20  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, I    i, J    k, J    i, M    k, M    Q, i    Q, k    S, i    S, k
Allowed substitution hints:    ph( i, k)    A( i, k)    B( i, k)    T( i, k)    I(
k)    N( i, k)

Proof of Theorem fourierdlem20
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem20.i . . 3  |-  I  =  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } ,  RR ,  <  )
2 ssrab2 3590 . . . . 5  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) }  C_  (
0..^ M )
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) }  C_  ( 0..^ M ) )
4 fzossfz 11826 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ M )  C_  (
0 ... M )
5 fzssz 31366 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... M )  C_  ZZ
64, 5sstri 3518 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ M )  C_  ZZ
72, 6sstri 3518 . . . . . 6  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) }  C_  ZZ
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) }  C_  ZZ )
9 0z 10887 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
10 0le0 10637 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
11 eluz2 11100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  0  <_ 
0 ) )
129, 9, 10, 11mpbir3an 1178 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
1312a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
14 fourierdlem20.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
15 nnz 10898 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1714nngt0d 10591 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  M )
18 elfzo2 11812 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  M  e.  ZZ  /\  0  <  M ) )
1913, 16, 17, 18syl3anbrc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ M ) )
20 fourierdlem20.q . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
214, 19sseldi 3507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
2220, 21ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR )
23 fourierdlem20.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
24 fourierdlem20.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( { A ,  B }  u.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) ) )
2523rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
26 fourierdlem20.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2726rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
28 fourierdlem20.aleb . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
29 lbicc2 11648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
3025, 27, 28, 29syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
31 ubicc2 11649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
3225, 27, 28, 31syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
3330, 32jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( A [,] B )  /\  B  e.  ( A [,] B ) ) )
34 prssg 4188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A  e.  ( A [,] B )  /\  B  e.  ( A [,] B ) )  <->  { A ,  B }  C_  ( A [,] B ) ) )
3525, 27, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  ( A [,] B
)  /\  B  e.  ( A [,] B ) )  <->  { A ,  B }  C_  ( A [,] B ) ) )
3633, 35mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  C_  ( A [,] B ) )
37 inss2 3724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran 
Q  i^i  ( A (,) B ) )  C_  ( A (,) B )
38 ioossicc 11622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3937, 38sstri 3518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran 
Q  i^i  ( A (,) B ) )  C_  ( A [,] B )
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) )  C_  ( A [,] B ) )
4136, 40unssd 3685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( { A ,  B }  u.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) ) )  C_  ( A [,] B ) )
4224, 41syl5eqss 3553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  C_  ( A [,] B ) )
4323, 26iccssred 31426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
4442, 43sstrd 3519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  C_  RR )
45 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ph )
46 fourierdlem20.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
47 elfzofz 11823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ( 0 ... N
) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... N ) )
49 fourierdlem20.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  T ) )
50 isof1o 6220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  T )  ->  S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T )
51 f1of 5822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T  ->  S :
( 0 ... N
) --> T )
5249, 50, 513syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> T )
5352ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( S `  J )  e.  T )
5445, 48, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  T )
5544, 54sseldd 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  RR )
56 fourierdlem20.q0 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <_  A )
5742, 54sseldd 3510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  ( A [,] B ) )
58 iccgelb 11593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( S `
 J )  e.  ( A [,] B
) )  ->  A  <_  ( S `  J
) )
5925, 27, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <_  ( S `  J ) )
6022, 23, 55, 56, 59letrd 9750 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <_  ( S `  J ) )
6119, 60jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  0 )  <_  ( S `  J ) ) )
62 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( Q `  k )  =  ( Q ` 
0 ) )
6362breq1d 4463 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( Q `  k
)  <_  ( S `  J )  <->  ( Q `  0 )  <_ 
( S `  J
) ) )
6463elrab 3266 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } 
<->  ( 0  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  0 )  <_  ( S `  J ) ) )
6561, 64sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } )
66 ne0i 3796 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  =/=  (/) )
6765, 66syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) }  =/=  (/) )
6814nnred 10563 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
692sseli 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  ->  j  e.  ( 0..^ M ) )
706sseli 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  ZZ )
7170zred 10978 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  RR )
72 elfzoel2 11808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  M  e.  ZZ )
7372zred 10978 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  M  e.  RR )
74 elfzolt2 11817 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  <  M )
7571, 73, 74ltled 9744 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  <_  M )
7669, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  ->  j  <_  M
)
7776adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } )  ->  j  <_  M
)
7877ralrimiva 2881 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. j  e.  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } j  <_  M )
79 breq2 4457 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
j  <_  x  <->  j  <_  M ) )
8079ralbidv 2906 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( A. j  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } j  <_  x 
<-> 
A. j  e.  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } j  <_  M ) )
8180rspcev 3219 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  A. j  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } j  <_  M )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) } j  <_  x )
8268, 78, 81syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } j  <_  x )
83 suprzcl 10952 . . . . 5  |-  ( ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) }  C_  ZZ  /\  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. j  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) } j  <_  x )  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } ,  RR ,  <  )  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } )
848, 67, 82, 83syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } ,  RR ,  <  )  e.  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } )
853, 84sseldd 3510 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } ,  RR ,  <  )  e.  ( 0..^ M ) )
861, 85syl5eqel 2559 . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ M ) )
874, 86sseldi 3507 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0 ... M ) )
8820ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  I )  e.  RR )
8945, 87, 88syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR )
9089rexrd 9655 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR* )
91 fzofzp1 11889 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
9286, 91syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
9320, 92ffvelrnd 6033 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
9493rexrd 9655 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
951a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  =  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) } ,  RR ,  <  ) )
9695, 84eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } )
97 nfrab1 3047 . . . . . . . 8  |-  F/_ k { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) }
98 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ k RR
99 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ k  <
10097, 98, 99nfsup 7923 . . . . . . 7  |-  F/_ k sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } ,  RR ,  <  )
1011, 100nfcxfr 2627 . . . . . 6  |-  F/_ k
I
102 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ k
( 0..^ M )
103 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ k Q
104103, 101nffv 5879 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( Q `  I
)
105 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ k  <_
106 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( S `  J
)
107104, 105, 106nfbr 4497 . . . . . 6  |-  F/ k ( Q `  I
)  <_  ( S `  J )
108 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( k  =  I  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  I ) )
109108breq1d 4463 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  (
( Q `  k
)  <_  ( S `  J )  <->  ( Q `  I )  <_  ( S `  J )
) )
110101, 102, 107, 109elrabf 3264 . . . . 5  |-  ( I  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } 
<->  ( I  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  I )  <_  ( S `  J ) ) )
11196, 110sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  I )  <_  ( S `  J ) ) )
112111simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <_  ( S `  J ) )
113 simpl 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  ->  ph )
114 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  ->  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
115113, 94syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
116 iccssxr 11619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A [,] B )  C_  RR*
117116a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR* )
11842, 117sstrd 3519 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  C_  RR* )
119 fzofzp1 11889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
12046, 119syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
12152ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  T )
12245, 120, 121syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  T )
123118, 122sseldd 3510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR* )
124123adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  -> 
( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR* )
125 xrltnle 9665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  (
( Q `  (
I  +  1 ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) )  <->  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
126115, 124, 125syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  -> 
( ( Q `  ( I  +  1
) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) )  <->  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
127114, 126mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )
128 fzssz 31366 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... N )  C_  ZZ
129128a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( 0 ... N )  C_  ZZ )
13049, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T )
131 f1ofo 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T  ->  S :
( 0 ... N
) -onto-> T )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) -onto-> T )
133132adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  S :
( 0 ... N
) -onto-> T )
134 ffun 5739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  Fun 
Q )
13520, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Fun  Q )
136 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  dom 
Q  =  ( 0 ... M ) )
13720, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  Q  =  ( 0 ... M ) )
138137eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  =  dom  Q
)
13992, 138eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  dom  Q
)
140 fvelrn 6025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  Q  /\  (
I  +  1 )  e.  dom  Q )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  ran  Q )
141135, 139, 140syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ran  Q
)
142141adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ran  Q )
14325adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  A  e.  RR* )
14427adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  B  e.  RR* )
145 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ph )
146145, 93syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
14743, 57sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  RR )
1485sseli 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  ( 0 ... M )  ->  I  e.  ZZ )
149 zre 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  RR )
15087, 148, 1493syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  I  e.  RR )
151150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  J )  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
152151ltp1d 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  J )  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
153152adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  /\  -.  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  I  <  ( I  + 
1 ) )
154 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  /\  -.  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR ) )
155154simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  /\  -.  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
156147adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  J )  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  ( S `  J )  e.  RR )
157156adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  /\  -.  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( S `  J
)  e.  RR )
158 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  /\  -.  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
159155, 157, 158nltled 31377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  /\  -.  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  ( S `  J ) )
16071ssriv 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0..^ M )  C_  RR
1612, 160sstri 3518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) }  C_  RR
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  C_  RR )
16367adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  =/=  (/) )
16482adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  E. x  e.  RR  A. j  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) } j  <_  x )
16593adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
166147adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( S `  J )  e.  RR )
16726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  B  e.  RR )
168 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)
16944, 122sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR )
170169adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR )
171 elfzoelz 11809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ZZ )
172 zre 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
17346, 171, 1723syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  J  e.  RR )
174173ltp1d 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  J  <  ( J  +  1 ) )
175 isorel 6221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  T )  /\  ( J  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( J  <  ( J  +  1 )  <-> 
( S `  J
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
17649, 48, 120, 175syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( J  <  ( J  +  1 )  <-> 
( S `  J
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
177174, 176mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
178177adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( S `  J )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
17942, 122sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  ( A [,] B ) )
180 iccleub 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( S `
 ( J  + 
1 ) )  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  B )
18125, 27, 179, 180syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  B )
182181adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  B
)
183166, 170, 167, 178, 182ltletrd 9753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( S `  J )  <  B
)
184165, 166, 167, 168, 183lelttrd 9751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  B
)
185184adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J ) )  /\  -.  ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  <  B )
186 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ph )
187 fourierdlem20.qm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  B  <_  ( Q `  M ) )
188186, 187syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  <_  ( Q `  M
) )
189186, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  e.  ZZ )
190186, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
191 fzval3 11865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0 ... M )  =  ( 0..^ ( M  +  1 ) ) )
19216, 191syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  =  ( 0..^ ( M  +  1 ) ) )
193192adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
0 ... M )  =  ( 0..^ ( M  +  1 ) ) )
194190, 193eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ ( M  +  1 ) ) )
195 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  ( I  +  1
)  e.  ( 0..^ M ) )
196194, 195jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
( I  +  1 )  e.  ( 0..^ ( M  +  1 ) )  /\  -.  ( I  +  1
)  e.  ( 0..^ M ) ) )
197 elfzonelfzo 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( I  + 
1 )  e.  ( 0..^ ( M  + 
1 ) )  /\  -.  ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( M..^ ( M  +  1 ) ) ) )
198189, 196, 197sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( M..^ ( M  +  1 ) ) )
199 fzval3 11865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  ( M..^ ( M  +  1 ) ) )
20016, 199syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( M ... M
)  =  ( M..^ ( M  +  1 ) ) )
201200eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( M..^ ( M  +  1 ) )  =  ( M ... M ) )
202201adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M..^ ( M  +  1 ) )  =  ( M ... M ) )
203198, 202eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( M ... M ) )
204 elfz1eq 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( M ... M )  ->  (
I  +  1 )  =  M )
205203, 204syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
I  +  1 )  =  M )
206 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( I  +  1 )  =  M  <->  M  =  ( I  +  1
) )
207206imbi2i 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  -.  ( I  +  1
)  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( I  +  1 )  =  M )  <-> 
( ( ph  /\  -.  ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  =  ( I  +  1 ) ) )
208205, 207mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  =  ( I  + 
1 ) )
209208fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  M )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
210188, 209breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
211186, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  e.  RR )
212186, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
213211, 212lenltd 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( B  <_  ( Q `  ( I  +  1
) )  <->  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  B ) )
214210, 213mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  B )
215214adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J ) )  /\  -.  ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <  B )
216185, 215condan 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )
217 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k  +
218 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k
1
219101, 217, 218nfov 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k
( I  +  1 )
220103, 219nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k
( Q `  (
I  +  1 ) )
221220, 105, 106nfbr 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
222 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
223222breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  k
)  <_  ( S `  J )  <->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
) )
224219, 102, 221, 223elrabf 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  +  1 )  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } 
<->  ( ( I  + 
1 )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J ) ) )
225216, 168, 224sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( I  +  1 )  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) } )
226 suprub 10516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  C_  RR  /\  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  =/=  (/) 
/\  E. x  e.  RR  A. j  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } j  <_  x )  /\  (
I  +  1 )  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } )  ->  (
I  +  1 )  <_  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } ,  RR ,  <  ) )
227162, 163, 164, 225, 226syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( I  +  1 )  <_  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } ,  RR ,  <  ) )
2281eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) } ,  RR ,  <  )  =  I
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) } ,  RR ,  <  )  =  I )
230227, 229breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( I  +  1 )  <_  I )
231150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  I  e.  RR )
232 1re 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR
233232a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  1  e.  RR )
234231, 233readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( I  +  1 )  e.  RR )
235234, 231lenltd 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( (
I  +  1 )  <_  I  <->  -.  I  <  ( I  +  1 ) ) )
236230, 235mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  -.  I  <  ( I  +  1 ) )
237236adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J ) )  ->  -.  I  <  ( I  +  1 ) )
238154, 159, 237syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  /\  -.  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  I  <  ( I  +  1 ) )
239153, 238condan 792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( S `  J )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
24045, 93, 239syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
24123, 147, 93, 59, 240lelttrd 9751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )
242241adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  A  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
243145, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR )
244145, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  B  e.  RR )
245 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
246145, 181syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  B
)
247146, 243, 244, 245, 246ltletrd 9753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  B
)
248143, 144, 146, 242, 247eliood 31418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( A (,) B ) )
249 elin 3692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B
) )  <->  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ran  Q  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( A (,) B ) ) )
250142, 248, 249sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) ) )
251 elun2 3677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B
) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( { A ,  B }  u.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) ) ) )
252250, 251syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( { A ,  B }  u.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) ) ) )
25324eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B }  u.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) ) )  =  T
254252, 253syl6eleq 2565 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  T
)
255 foelrn 6051 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : ( 0 ... N ) -onto-> T  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  T
)  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( Q `  ( I  +  1
) )  =  ( S `  j ) )
256133, 254, 255syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( Q `  ( I  +  1
) )  =  ( S `  j ) )
257240adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  ->  ( S `  J )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
258 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )
259257, 258breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  ->  ( S `  J )  <  ( S `  j )
)
260259adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  -> 
( S `  J
)  <  ( S `  j ) )
26149ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  ->  S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  T ) )
26248anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( J  e.  ( 0 ... N )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) ) )
263262adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  -> 
( J  e.  ( 0 ... N )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) ) )
264 isorel 6221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  T )  /\  ( J  e.  ( 0 ... N
)  /\  j  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( J  <  j  <->  ( S `  J )  <  ( S `  j ) ) )
265261, 263, 264syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  -> 
( J  <  j  <->  ( S `  J )  <  ( S `  j ) ) )
266260, 265mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  ->  J  <  j )
267266adantllr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  ( S `  j ) )  ->  J  <  j )
268 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j )  <->  ( S `  j )  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
269268biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j )  ->  ( S `  j )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
270269adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  -> 
( S `  j
)  =  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )
271 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )
272270, 271eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  -> 
( S `  j
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
273272adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  -> 
( S `  j
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
274273adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  ( S `  j ) )  ->  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
27549ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  ->  S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  T ) )
276 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  ->  j  e.  ( 0 ... N ) )
277120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( J  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )
278 isorel 6221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  T )  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( j  <  ( J  +  1 )  <-> 
( S `  j
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
279275, 276, 277, 278syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( j  < 
( J  +  1 )  <->  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
280279adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  ( S `  j ) )  ->  ( j  <  ( J  +  1 )  <->  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
281274, 280mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  ( S `  j ) )  ->  j  <  ( J  +  1 ) )
282267, 281jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  ( S `  j ) )  ->  ( J  <  j  /\  j  < 
( J  +  1 ) ) )
283282ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  =  ( S `  j
)  ->  ( J  <  j  /\  j  < 
( J  +  1 ) ) ) )
284283reximdva 2942 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( E. j  e.  ( 0 ... N ) ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j )  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( J  < 
j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) ) )
285256, 284mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( J  < 
j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )
286 ssrexv 3570 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... N ) 
C_  ZZ  ->  ( E. j  e.  ( 0 ... N ) ( J  <  j  /\  j  <  ( J  + 
1 ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  + 
1 ) ) ) )
287129, 285, 286sylc 60 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( J  < 
j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )
288113, 127, 287syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  + 
1 ) ) )
289 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )  -> 
j  e.  ZZ )
29046, 171syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
291290ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
292 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )  ->  J  <  j )
293 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )  -> 
j  <  ( J  +  1 ) )
294 btwnnz 10949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
295291, 292, 293, 294syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
296289, 295pm2.65da 576 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )
297296ralrimiva 2881 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ZZ  -.  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )
298 ralnex 2913 . . . . . 6  |-  ( A. j  e.  ZZ  -.  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  + 
1 ) )  <->  -.  E. j  e.  ZZ  ( J  < 
j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )
299297, 298sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  E. j  e.  ZZ  ( J  < 
j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )
300299adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  ->  -.  E. j  e.  ZZ  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  + 
1 ) ) )
301288, 300condan 792 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
302 ioossioo 11628 . . 3  |-  ( ( ( ( Q `  I )  e.  RR*  /\  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  ( ( Q `  I )  <_  ( S `  J )  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( S `
 J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
30390, 94, 112, 301, 302syl22anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
304 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( Q `  i )  =  ( Q `  I ) )
305 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
i  +  1 )  =  ( I  + 
1 ) )
306305fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
307304, 306oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
308307sseq2d 3537 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  (
( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  <->  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
309308rspcev 3219 . 2  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  ->  E. i  e.  (
0..^ M ) ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
31086, 303, 309syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {cpr 4035   class class class wbr 4453   dom cdm 5005   ran crn 5006   Fun wfun 5588   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594    Isom wiso 5595  (class class class)co 6295   supcsup 7912   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   NNcn 10548   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-ioo 11545  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805
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