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Theorem fourierdlem20 38101
Description: Every interval in the partition  S is included in an interval of the partition  Q. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem20.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem20.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem20.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem20.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
fourierdlem20.q  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
fourierdlem20.q0  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <_  A )
fourierdlem20.qm  |-  ( ph  ->  B  <_  ( Q `  M ) )
fourierdlem20.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
fourierdlem20.t  |-  T  =  ( { A ,  B }  u.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) ) )
fourierdlem20.s  |-  ( ph  ->  S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  T ) )
fourierdlem20.i  |-  I  =  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem20  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, I    i, J    k, J    i, M    k, M    Q, i    Q, k    S, i    S, k
Allowed substitution hints:    ph( i, k)    A( i, k)    B( i, k)    T( i, k)    I(
k)    N( i, k)

Proof of Theorem fourierdlem20
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem20.i . . 3  |-  I  =  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } ,  RR ,  <  )
2 ssrab2 3500 . . . 4  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) }  C_  (
0..^ M )
3 fzossfz 11965 . . . . . . . 8  |-  ( 0..^ M )  C_  (
0 ... M )
4 fzssz 11827 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... M )  C_  ZZ
53, 4sstri 3427 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ M )  C_  ZZ
62, 5sstri 3427 . . . . . 6  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) }  C_  ZZ
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) }  C_  ZZ )
8 0z 10972 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
9 0le0 10721 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
10 eluz2 11188 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  0  <_ 
0 ) )
118, 8, 9, 10mpbir3an 1212 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
13 fourierdlem20.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1413nnzd 11062 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1513nngt0d 10675 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  M )
16 elfzo2 11950 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  M  e.  ZZ  /\  0  <  M ) )
1712, 14, 15, 16syl3anbrc 1214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ M ) )
18 fourierdlem20.q . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
193, 17sseldi 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
2018, 19ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR )
21 fourierdlem20.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
22 fourierdlem20.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( { A ,  B }  u.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) ) )
2321rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
24 fourierdlem20.b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2524rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
26 fourierdlem20.aleb . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
27 lbicc2 11774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
2823, 25, 26, 27syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
29 ubicc2 11775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
3023, 25, 26, 29syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
3128, 30jca 541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( A [,] B )  /\  B  e.  ( A [,] B ) ) )
32 prssg 4118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A  e.  ( A [,] B )  /\  B  e.  ( A [,] B ) )  <->  { A ,  B }  C_  ( A [,] B ) ) )
3323, 25, 32syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  ( A [,] B
)  /\  B  e.  ( A [,] B ) )  <->  { A ,  B }  C_  ( A [,] B ) ) )
3431, 33mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  C_  ( A [,] B ) )
35 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran 
Q  i^i  ( A (,) B ) )  C_  ( A (,) B )
36 ioossicc 11745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3735, 36sstri 3427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran 
Q  i^i  ( A (,) B ) )  C_  ( A [,] B )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) )  C_  ( A [,] B ) )
3934, 38unssd 3601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( { A ,  B }  u.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) ) )  C_  ( A [,] B ) )
4022, 39syl5eqss 3462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  C_  ( A [,] B ) )
4121, 24iccssred 37698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
4240, 41sstrd 3428 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  C_  RR )
43 fourierdlem20.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  T ) )
44 isof1o 6234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  T )  ->  S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T )
45 f1of 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T  ->  S :
( 0 ... N
) --> T )
4643, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> T )
47 fourierdlem20.j . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0..^ N ) )
48 elfzofz 11962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ( 0 ... N
) )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 0 ... N ) )
5046, 49ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  T )
5142, 50sseldd 3419 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  RR )
52 fourierdlem20.q0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <_  A )
5340, 50sseldd 3419 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  ( A [,] B ) )
54 iccgelb 11716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( S `
 J )  e.  ( A [,] B
) )  ->  A  <_  ( S `  J
) )
5523, 25, 53, 54syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  ( S `  J ) )
5620, 21, 51, 52, 55letrd 9809 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <_  ( S `  J ) )
57 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( Q `  k )  =  ( Q ` 
0 ) )
5857breq1d 4405 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( Q `  k
)  <_  ( S `  J )  <->  ( Q `  0 )  <_ 
( S `  J
) ) )
5958elrab 3184 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } 
<->  ( 0  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  0 )  <_  ( S `  J ) ) )
6017, 56, 59sylanbrc 677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } )
61 ne0i 3728 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  =/=  (/) )
6260, 61syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) }  =/=  (/) )
6313nnred 10646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
642sseli 3414 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  ->  j  e.  ( 0..^ M ) )
65 elfzo0le 11987 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  <_  M )
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  ->  j  <_  M
)
6766adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } )  ->  j  <_  M
)
6867ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. j  e.  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } j  <_  M )
69 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  (
j  <_  x  <->  j  <_  M ) )
7069ralbidv 2829 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( A. j  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } j  <_  x 
<-> 
A. j  e.  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } j  <_  M ) )
7170rspcev 3136 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  A. j  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } j  <_  M )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) } j  <_  x )
7263, 68, 71syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } j  <_  x )
73 suprzcl 11038 . . . . 5  |-  ( ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) }  C_  ZZ  /\  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. j  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) } j  <_  x )  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } ,  RR ,  <  )  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } )
747, 62, 72, 73syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } ,  RR ,  <  )  e.  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } )
752, 74sseldi 3416 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } ,  RR ,  <  )  e.  ( 0..^ M ) )
761, 75syl5eqel 2553 . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ M ) )
773, 76sseldi 3416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0 ... M ) )
7818, 77ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR )
7978rexrd 9708 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  e.  RR* )
80 fzofzp1 12037 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ M )  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
8176, 80syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
8218, 81ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
8382rexrd 9708 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
841, 74syl5eqel 2553 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } )
85 nfrab1 2957 . . . . . . . 8  |-  F/_ k { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) }
86 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ k RR
87 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ k  <
8885, 86, 87nfsup 7983 . . . . . . 7  |-  F/_ k sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } ,  RR ,  <  )
891, 88nfcxfr 2610 . . . . . 6  |-  F/_ k
I
90 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ k
( 0..^ M )
91 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ k Q
9291, 89nffv 5886 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( Q `  I
)
93 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ k  <_
94 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( S `  J
)
9592, 93, 94nfbr 4440 . . . . . 6  |-  F/ k ( Q `  I
)  <_  ( S `  J )
96 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( k  =  I  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  I ) )
9796breq1d 4405 . . . . . 6  |-  ( k  =  I  ->  (
( Q `  k
)  <_  ( S `  J )  <->  ( Q `  I )  <_  ( S `  J )
) )
9889, 90, 95, 97elrabf 3182 . . . . 5  |-  ( I  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } 
<->  ( I  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  I )  <_  ( S `  J ) ) )
9984, 98sylib 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  I )  <_  ( S `  J ) ) )
10099simprd 470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  I
)  <_  ( S `  J ) )
101 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  ->  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
10283adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )
103 iccssxr 11742 . . . . . . . . . 10  |-  ( A [,] B )  C_  RR*
10440, 103syl6ss 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  C_  RR* )
105 fzofzp1 12037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
10647, 105syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
10746, 106ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  T )
108104, 107sseldd 3419 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR* )
109108adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  -> 
( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR* )
110 xrltnle 9719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR*  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  (
( Q `  (
I  +  1 ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) )  <->  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) ) )
111102, 109, 110syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  -> 
( ( Q `  ( I  +  1
) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) )  <->  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )
112101, 111mpbird 240 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )
113 fzssz 11827 . . . . . 6  |-  ( 0 ... N )  C_  ZZ
114 f1ofo 5835 . . . . . . . . . 10  |-  ( S : ( 0 ... N ) -1-1-onto-> T  ->  S :
( 0 ... N
) -onto-> T )
11543, 44, 1143syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) -onto-> T )
116115adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  S :
( 0 ... N
) -onto-> T )
117 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  Fun 
Q )
11818, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Fun  Q )
119 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  dom 
Q  =  ( 0 ... M ) )
12018, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  Q  =  ( 0 ... M ) )
121120eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  =  dom  Q
)
12281, 121eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( I  +  1 )  e.  dom  Q
)
123 fvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  Q  /\  (
I  +  1 )  e.  dom  Q )  ->  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  ran  Q )
124118, 122, 123syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  ran  Q
)
125124adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ran  Q )
12623adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  A  e.  RR* )
12725adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  B  e.  RR* )
12882adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
12941, 53sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  e.  RR )
1304sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  ( 0 ... M )  ->  I  e.  ZZ )
131 zre 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  RR )
13277, 130, 1313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  I  e.  RR )
133132adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  J )  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
134133ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  J )  <  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )  ->  I  <  ( I  +  1 ) )
135134adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  /\  -.  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  I  <  ( I  + 
1 ) )
136 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  /\  -.  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR )
137129ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  /\  -.  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( S `  J
)  e.  RR )
138 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  /\  -.  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
139136, 137, 138nltled 9802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  /\  -.  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  ( S `  J ) )
140132adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  I  e.  RR )
141 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  1  e.  RR )
142140, 141readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( I  +  1 )  e.  RR )
143 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  ZZ )
144143zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  RR )
145144ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0..^ M )  C_  RR
1462, 145sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) }  C_  RR
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  C_  RR )
14862adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  =/=  (/) )
14972adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  E. x  e.  RR  A. j  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) } j  <_  x )
15082adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
151129adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( S `  J )  e.  RR )
15224adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  B  e.  RR )
153 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)
15442, 107sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR )
155154adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR )
156 elfzoelz 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ZZ )
157 zre 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
15847, 156, 1573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  J  e.  RR )
159158ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  J  <  ( J  +  1 ) )
160 isorel 6235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  T )  /\  ( J  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( J  <  ( J  +  1 )  <-> 
( S `  J
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
16143, 49, 106, 160syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( J  <  ( J  +  1 )  <-> 
( S `  J
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
162159, 161mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
163162adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( S `  J )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
16440, 107sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  ( A [,] B ) )
165 iccleub 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( S `
 ( J  + 
1 ) )  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  B )
16623, 25, 164, 165syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  B )
167166adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  B
)
168151, 155, 152, 163, 167ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( S `  J )  <  B
)
169150, 151, 152, 153, 168lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  B
)
170169adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J ) )  /\  -.  ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  <  B )
17124adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  e.  RR )
17282adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )
173 fourierdlem20.qm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  B  <_  ( Q `  M ) )
174173adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  <_  ( Q `  M
) )
17514adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  e.  ZZ )
17681adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
177 fzval3 12012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0 ... M )  =  ( 0..^ ( M  +  1 ) ) )
17814, 177syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  =  ( 0..^ ( M  +  1 ) ) )
179178adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
0 ... M )  =  ( 0..^ ( M  +  1 ) ) )
180176, 179eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ ( M  +  1 ) ) )
181 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  ( I  +  1
)  e.  ( 0..^ M ) )
182180, 181jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
( I  +  1 )  e.  ( 0..^ ( M  +  1 ) )  /\  -.  ( I  +  1
)  e.  ( 0..^ M ) ) )
183 elfzonelfzo 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( I  + 
1 )  e.  ( 0..^ ( M  + 
1 ) )  /\  -.  ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( M..^ ( M  +  1 ) ) ) )
184175, 182, 183sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( M..^ ( M  +  1 ) ) )
185 fzval3 12012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... M )  =  ( M..^ ( M  +  1 ) ) )
18614, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( M ... M
)  =  ( M..^ ( M  +  1 ) ) )
187186eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( M..^ ( M  +  1 ) )  =  ( M ... M ) )
188187adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M..^ ( M  +  1 ) )  =  ( M ... M ) )
189184, 188eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
I  +  1 )  e.  ( M ... M ) )
190 elfz1eq 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( I  +  1 )  e.  ( M ... M )  ->  (
I  +  1 )  =  M )
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  (
I  +  1 )  =  M )
192191eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  =  ( I  + 
1 ) )
193192fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  M )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
194174, 193breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  <_  ( Q `  (
I  +  1 ) ) )
195171, 172, 194lensymd 9803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  B )
196195adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J ) )  /\  -.  ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  ( Q `  (
I  +  1 ) )  <  B )
197170, 196condan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0..^ M ) )
198 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k  +
199 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k
1
20089, 198, 199nfov 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k
( I  +  1 )
20191, 200nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k
( Q `  (
I  +  1 ) )
202201, 93, 94nfbr 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k ( Q `  (
I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
203 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
204203breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  ( I  + 
1 )  ->  (
( Q `  k
)  <_  ( S `  J )  <->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
) )
205200, 90, 202, 204elrabf 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  +  1 )  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } 
<->  ( ( I  + 
1 )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J ) ) )
206197, 153, 205sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( I  +  1 )  e. 
{ k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k
)  <_  ( S `  J ) } )
207 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  C_  RR  /\  {
k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) }  =/=  (/) 
/\  E. x  e.  RR  A. j  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } j  <_  x )  /\  (
I  +  1 )  e.  { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } )  ->  (
I  +  1 )  <_  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `
 k )  <_ 
( S `  J
) } ,  RR ,  <  ) )
208147, 148, 149, 206, 207syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( I  +  1 )  <_  sup ( { k  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  k )  <_  ( S `  J ) } ,  RR ,  <  ) )
209208, 1syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  ( I  +  1 )  <_  I )
210142, 140, 209lensymd 9803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J )
)  ->  -.  I  <  ( I  +  1 ) )
211210adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <_  ( S `  J ) )  ->  -.  I  <  ( I  +  1 ) )
212139, 211syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  /\  -.  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )  ->  -.  I  <  ( I  +  1 ) )
213135, 212condan 811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( S `  J )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
21482, 213mpdan 681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S `  J
)  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
21521, 129, 82, 55, 214lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )
216215adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  A  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
217154adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  e.  RR )
21824adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  B  e.  RR )
219 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
220166adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  B
)
221128, 217, 218, 219, 220ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  B
)
222126, 127, 128, 216, 221eliood 37691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( A (,) B ) )
223125, 222elind 3609 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) ) )
224 elun2 3593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B
) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( { A ,  B }  u.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) ) ) )
225223, 224syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  ( { A ,  B }  u.  ( ran  Q  i^i  ( A (,) B ) ) ) )
226225, 22syl6eleqr 2560 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  e.  T
)
227 foelrn 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( S : ( 0 ... N ) -onto-> T  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  e.  T
)  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( Q `  ( I  +  1
) )  =  ( S `  j ) )
228116, 226, 227syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( Q `  ( I  +  1
) )  =  ( S `  j ) )
229214adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  ->  ( S `  J )  <  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
230 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  ->  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )
231229, 230breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  ->  ( S `  J )  <  ( S `  j )
)
232231adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  -> 
( S `  J
)  <  ( S `  j ) )
23343ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  ->  S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  T ) )
23449anim1i 578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( J  e.  ( 0 ... N )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) ) )
235234adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  -> 
( J  e.  ( 0 ... N )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) ) )
236 isorel 6235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  T )  /\  ( J  e.  ( 0 ... N
)  /\  j  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( J  <  j  <->  ( S `  J )  <  ( S `  j ) ) )
237233, 235, 236syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  -> 
( J  <  j  <->  ( S `  J )  <  ( S `  j ) ) )
238232, 237mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  ->  J  <  j )
239238adantllr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  ( S `  j ) )  ->  J  <  j )
240 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j )  <->  ( S `  j )  =  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
241240biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j )  ->  ( S `  j )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
242241adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  -> 
( S `  j
)  =  ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) )
243 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  -> 
( Q `  (
I  +  1 ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) ) )
244242, 243eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  (
I  +  1 ) )  <  ( S `
 ( J  + 
1 ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  -> 
( S `  j
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
245244adantll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j ) )  -> 
( S `  j
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
246245adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  ( S `  j ) )  ->  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )
24743ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  ->  S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  T ) )
248 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  ->  j  e.  ( 0 ... N ) )
249106ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( J  + 
1 )  e.  ( 0 ... N ) )
250 isorel 6235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  T )  /\  ( j  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( J  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) ) )  -> 
( j  <  ( J  +  1 )  <-> 
( S `  j
)  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
251247, 248, 249, 250syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( j  < 
( J  +  1 )  <->  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
252251adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  ( S `  j ) )  ->  ( j  <  ( J  +  1 )  <->  ( S `  j )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) ) )
253246, 252mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  ( S `  j ) )  ->  j  <  ( J  +  1 ) )
254239, 253jca 541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( Q `  ( I  +  1
) )  =  ( S `  j ) )  ->  ( J  <  j  /\  j  < 
( J  +  1 ) ) )
255254ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1
) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( Q `
 ( I  + 
1 ) )  =  ( S `  j
)  ->  ( J  <  j  /\  j  < 
( J  +  1 ) ) ) )
256255reximdva 2858 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  ( E. j  e.  ( 0 ... N ) ( Q `  ( I  +  1 ) )  =  ( S `  j )  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( J  < 
j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) ) )
257228, 256mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  E. j  e.  ( 0 ... N
) ( J  < 
j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )
258 ssrexv 3480 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ... N ) 
C_  ZZ  ->  ( E. j  e.  ( 0 ... N ) ( J  <  j  /\  j  <  ( J  + 
1 ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  + 
1 ) ) ) )
259113, 257, 258mpsyl 64 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( Q `  ( I  +  1 ) )  <  ( S `  ( J  +  1 ) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( J  < 
j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )
260112, 259syldan 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  ->  E. j  e.  ZZ  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  + 
1 ) ) )
261 simplr 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )  -> 
j  e.  ZZ )
26247, 156syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
263262ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
264 simprl 772 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )  ->  J  <  j )
265 simprr 774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )  -> 
j  <  ( J  +  1 ) )
266 btwnnz 11035 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
267263, 264, 265, 266syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )  ->  -.  j  e.  ZZ )
268261, 267pm2.65da 586 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )
269268nrexdv 2842 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  E. j  e.  ZZ  ( J  < 
j  /\  j  <  ( J  +  1 ) ) )
270269adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1
) ) )  ->  -.  E. j  e.  ZZ  ( J  <  j  /\  j  <  ( J  + 
1 ) ) )
271260, 270condan 811 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) )
272 ioossioo 11751 . . 3  |-  ( ( ( ( Q `  I )  e.  RR*  /\  ( Q `  (
I  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  ( ( Q `  I )  <_  ( S `  J )  /\  ( S `  ( J  +  1 ) )  <_  ( Q `  ( I  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( S `
 J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) )
27379, 83, 100, 271, 272syl22anc 1293 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
274 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( Q `  i )  =  ( Q `  I ) )
275 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
i  +  1 )  =  ( I  + 
1 ) )
276275fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( Q `  ( I  +  1
) ) )
277274, 276oveq12d 6326 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )
278277sseq2d 3446 . . 3  |-  ( i  =  I  ->  (
( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  <->  ( ( S `  J ) (,) ( S `  ( J  +  1 ) ) )  C_  (
( Q `  I
) (,) ( Q `
 ( I  + 
1 ) ) ) ) )
279278rspcev 3136 . 2  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ M )  /\  (
( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 I ) (,) ( Q `  (
I  +  1 ) ) ) )  ->  E. i  e.  (
0..^ M ) ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
28076, 273, 279syl2anc 673 1  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 0..^ M ) ( ( S `  J
) (,) ( S `
 ( J  + 
1 ) ) ) 
C_  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {cpr 3961   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ran crn 4840   Fun wfun 5583   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589    Isom wiso 5590  (class class class)co 6308   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  38132
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