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Theorem fourierdlem20 31750
 Description: Every interval in the partition is included in an interval of the partition . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem20.m
fourierdlem20.a
fourierdlem20.b
fourierdlem20.aleb
fourierdlem20.q
fourierdlem20.q0
fourierdlem20.qm
fourierdlem20.j ..^
fourierdlem20.t
fourierdlem20.s
fourierdlem20.i ..^
Assertion
Ref Expression
fourierdlem20 ..^
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem fourierdlem20
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem20.i . . 3 ..^
2 ssrab2 3590 . . . . 5 ..^ ..^
32a1i 11 . . . 4 ..^ ..^
4 fzossfz 11826 . . . . . . . 8 ..^
5 fzssz 31366 . . . . . . . 8
64, 5sstri 3518 . . . . . . 7 ..^
72, 6sstri 3518 . . . . . 6 ..^
87a1i 11 . . . . 5 ..^
9 0z 10887 . . . . . . . . . . 11
10 0le0 10637 . . . . . . . . . . 11
11 eluz2 11100 . . . . . . . . . . 11
129, 9, 10, 11mpbir3an 1178 . . . . . . . . . 10
1312a1i 11 . . . . . . . . 9
14 fourierdlem20.m . . . . . . . . . 10
15 nnz 10898 . . . . . . . . . 10
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9
1714nngt0d 10591 . . . . . . . . 9
18 elfzo2 11812 . . . . . . . . 9 ..^
1913, 16, 17, 18syl3anbrc 1180 . . . . . . . 8 ..^
20 fourierdlem20.q . . . . . . . . . 10
214, 19sseldi 3507 . . . . . . . . . 10
2220, 21ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9
23 fourierdlem20.a . . . . . . . . 9
24 fourierdlem20.t . . . . . . . . . . . 12
2523rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 fourierdlem20.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28 fourierdlem20.aleb . . . . . . . . . . . . . . . 16
29 lbicc2 11648 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3025, 27, 28, 29syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 ubicc2 11649 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3225, 27, 28, 31syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15
3330, 32jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14
34 prssg 4188 . . . . . . . . . . . . . . 15
3525, 27, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
3633, 35mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
37 inss2 3724 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 ioossicc 11622 . . . . . . . . . . . . . . 15
3937, 38sstri 3518 . . . . . . . . . . . . . 14
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
4136, 40unssd 3685 . . . . . . . . . . . 12
4224, 41syl5eqss 3553 . . . . . . . . . . 11
4323, 26iccssred 31426 . . . . . . . . . . 11
4442, 43sstrd 3519 . . . . . . . . . 10
45 id 22 . . . . . . . . . . 11
46 fourierdlem20.j . . . . . . . . . . . 12 ..^
47 elfzofz 11823 . . . . . . . . . . . 12 ..^
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . 11
49 fourierdlem20.s . . . . . . . . . . . . 13
50 isof1o 6220 . . . . . . . . . . . . 13
51 f1of 5822 . . . . . . . . . . . . 13
5249, 50, 513syl 20 . . . . . . . . . . . 12
5352ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11
5445, 48, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
5544, 54sseldd 3510 . . . . . . . . 9
56 fourierdlem20.q0 . . . . . . . . 9
5742, 54sseldd 3510 . . . . . . . . . 10
58 iccgelb 11593 . . . . . . . . . 10
5925, 27, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
6022, 23, 55, 56, 59letrd 9750 . . . . . . . 8
6119, 60jca 532 . . . . . . 7 ..^
62 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
6362breq1d 4463 . . . . . . . 8
6463elrab 3266 . . . . . . 7 ..^ ..^
6561, 64sylibr 212 . . . . . 6 ..^
66 ne0i 3796 . . . . . 6 ..^ ..^
6765, 66syl 16 . . . . 5 ..^
6814nnred 10563 . . . . . 6
692sseli 3505 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
706sseli 3505 . . . . . . . . . . 11 ..^
7170zred 10978 . . . . . . . . . 10 ..^
72 elfzoel2 11808 . . . . . . . . . . 11 ..^
7372zred 10978 . . . . . . . . . 10 ..^
74 elfzolt2 11817 . . . . . . . . . 10 ..^
7571, 73, 74ltled 9744 . . . . . . . . 9 ..^
7669, 75syl 16 . . . . . . . 8 ..^
7776adantl 466 . . . . . . 7 ..^
7877ralrimiva 2881 . . . . . 6 ..^
79 breq2 4457 . . . . . . . 8
8079ralbidv 2906 . . . . . . 7 ..^ ..^
8180rspcev 3219 . . . . . 6 ..^ ..^
8268, 78, 81syl2anc 661 . . . . 5 ..^
83 suprzcl 10952 . . . . 5 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
848, 67, 82, 83syl3anc 1228 . . . 4 ..^ ..^
853, 84sseldd 3510 . . 3 ..^ ..^
861, 85syl5eqel 2559 . 2 ..^
874, 86sseldi 3507 . . . . 5
8820ffvelrnda 6032 . . . . 5
8945, 87, 88syl2anc 661 . . . 4
9089rexrd 9655 . . 3
91 fzofzp1 11889 . . . . . 6 ..^
9286, 91syl 16 . . . . 5
9320, 92ffvelrnd 6033 . . . 4
9493rexrd 9655 . . 3
951a1i 11 . . . . . 6 ..^
9695, 84eqeltrd 2555 . . . . 5 ..^
97 nfrab1 3047 . . . . . . . 8 ..^
98 nfcv 2629 . . . . . . . 8
99 nfcv 2629 . . . . . . . 8
10097, 98, 99nfsup 7923 . . . . . . 7 ..^
1011, 100nfcxfr 2627 . . . . . 6
102 nfcv 2629 . . . . . 6 ..^
103 nfcv 2629 . . . . . . . 8
104103, 101nffv 5879 . . . . . . 7
105 nfcv 2629 . . . . . . 7
106 nfcv 2629 . . . . . . 7
107104, 105, 106nfbr 4497 . . . . . 6
108 fveq2 5872 . . . . . . 7
109108breq1d 4463 . . . . . 6
110101, 102, 107, 109elrabf 3264 . . . . 5 ..^ ..^
11196, 110sylib 196 . . . 4 ..^
112111simprd 463 . . 3
113 simpl 457 . . . . 5
114 simpr 461 . . . . . 6
115113, 94syl 16 . . . . . . 7
116 iccssxr 11619 . . . . . . . . . . 11
117116a1i 11 . . . . . . . . . 10
11842, 117sstrd 3519 . . . . . . . . 9
119 fzofzp1 11889 . . . . . . . . . . 11 ..^
12046, 119syl 16 . . . . . . . . . 10
12152ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10
12245, 120, 121syl2anc 661 . . . . . . . . 9
123118, 122sseldd 3510 . . . . . . . 8
124123adantr 465 . . . . . . 7
125 xrltnle 9665 . . . . . . 7
126115, 124, 125syl2anc 661 . . . . . 6
127114, 126mpbird 232 . . . . 5
128 fzssz 31366 . . . . . . 7
129128a1i 11 . . . . . 6
13049, 50syl 16 . . . . . . . . . 10
131 f1ofo 5829 . . . . . . . . . 10
132130, 131syl 16 . . . . . . . . 9
133132adantr 465 . . . . . . . 8
134 ffun 5739 . . . . . . . . . . . . . 14
13520, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
136 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13720, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
138137eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14
13992, 138eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . 13
140 fvelrn 6025 . . . . . . . . . . . . 13
141135, 139, 140syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
142141adantr 465 . . . . . . . . . . 11
14325adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
14427adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
145 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13
146145, 93syl 16 . . . . . . . . . . . 12
14743, 57sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . 14
1485sseli 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
149 zre 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
15087, 148, 1493syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
151150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
152151ltp1d 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
153152adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16
154 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
155154simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
156147adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
157156adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
158 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
159155, 157, 158nltled 31377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16071ssriv 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
1612, 160sstri 3518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
16367adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
16482adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
16593adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
166147adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
16726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
168 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
16944, 122sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
170169adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
171 elfzoelz 11809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^
172 zre 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
17346, 171, 1723syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
174173ltp1d 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
175 isorel 6221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
17649, 48, 120, 175syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
177174, 176mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
178177adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
17942, 122sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
180 iccleub 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
18125, 27, 179, 180syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
182181adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
183166, 170, 167, 178, 182ltletrd 9753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
184165, 166, 167, 168, 183lelttrd 9751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
185184adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
186 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^
187 fourierdlem20.qm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
188186, 187syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^
189186, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^
190186, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^
191 fzval3 11865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ..^
19216, 191syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ..^
193192adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^ ..^
194190, 193eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ..^ ..^
195 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ..^ ..^
196194, 195jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^ ..^ ..^
197 elfzonelfzo 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^ ..^ ..^
198189, 196, 197sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^ ..^
199 fzval3 11865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^
20016, 199syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ..^
201200eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^
202201adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^ ..^
203198, 202eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
204 elfz1eq 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
205203, 204syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^
206 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
207206imbi2i 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^ ..^
208205, 207mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^
209208fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^
210188, 209breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^
211186, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^
212186, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^
213211, 212lenltd 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^
214210, 213mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^
215214adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
216185, 215condan 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
217 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
218 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
219101, 217, 218nfov 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
220103, 219nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
221220, 105, 106nfbr 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
222 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
223222breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
224219, 102, 221, 223elrabf 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
225216, 168, 224sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
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