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Theorem fourierdlem19 31749
 Description: If two elements of have the same periodic image in then they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem19.a
fourierdlem19.b
fourierdlem19.altb
fourierdlem19.x
fourierdlem19.d
fourierdlem19.t
fourierdlem19.e
fourierdlem19.w
fourierdlem19.z
fourierdlem19.ezew
Assertion
Ref Expression
fourierdlem19
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,,)   (,,)   (,)   (,,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem fourierdlem19
StepHypRef Expression
1 fourierdlem19.a . . . . . 6
2 fourierdlem19.x . . . . . 6
31, 2readdcld 9635 . . . . 5
43rexrd 9655 . . . 4
5 fourierdlem19.b . . . . . 6
65, 2readdcld 9635 . . . . 5
76rexrd 9655 . . . 4
8 fourierdlem19.d . . . . . 6
9 ssrab2 3590 . . . . . 6
108, 9eqsstri 3539 . . . . 5
11 fourierdlem19.z . . . . 5
1210, 11sseldi 3507 . . . 4
13 iocleub 31423 . . . 4
144, 7, 12, 13syl3anc 1228 . . 3
166adantr 465 . . . 4
17 iocssre 11616 . . . . . . . 8
184, 6, 17syl2anc 661 . . . . . . 7
19 fourierdlem19.w . . . . . . . 8
2010, 19sseldi 3507 . . . . . . 7
2118, 20sseldd 3510 . . . . . 6
22 fourierdlem19.t . . . . . . 7
235, 1resubcld 9999 . . . . . . 7
2422, 23syl5eqel 2559 . . . . . 6
2521, 24readdcld 9635 . . . . 5
2625adantr 465 . . . 4
2718, 12sseldd 3510 . . . . 5
2827adantr 465 . . . 4
2922eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10
31 ax-resscn 9561 . . . . . . . . . . . 12
3231, 5sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11
3331, 1sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11
3431, 24sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11
3532, 33, 34subaddd 9960 . . . . . . . . . 10
3630, 35mpbid 210 . . . . . . . . 9
3736eqcomd 2475 . . . . . . . 8
3837oveq1d 6310 . . . . . . 7
3931, 2sseldi 3507 . . . . . . . 8
4033, 34, 39add32d 9814 . . . . . . 7
4138, 40eqtrd 2508 . . . . . 6
42 iocgtlb 31422 . . . . . . . 8
434, 7, 20, 42syl3anc 1228 . . . . . . 7
443, 21, 24, 43ltadd1dd 10175 . . . . . 6
4541, 44eqbrtrd 4473 . . . . 5
4645adantr 465 . . . 4
4731a1i 11 . . . . . . . . . 10
48 fourierdlem19.e . . . . . . . . . . . . 13
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
50 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14
51 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5251oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14
5550, 54oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . 13
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
575, 21resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58 0red 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59 fourierdlem19.altb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
601, 5posdifd 10151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6159, 60mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6261, 30breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6358, 62gtned 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6457, 24, 63redivcld 10384 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6564flcld 11915 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665zred 10978 . . . . . . . . . . . . . 14
6766, 24remulcld 9636 . . . . . . . . . . . . 13
6821, 67readdcld 9635 . . . . . . . . . . . 12
6949, 56, 21, 68fvmptd 5962 . . . . . . . . . . 11
7069, 68eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10
7147, 70sseldd 3510 . . . . . . . . 9
7271adantr 465 . . . . . . . 8
7331, 67sseldi 3507 . . . . . . . . 9
7473adantr 465 . . . . . . . 8
7534adantr 465 . . . . . . . 8
7672, 74, 75subsubd 9970 . . . . . . 7
7776eqcomd 2475 . . . . . 6
785, 27resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7978, 24, 63redivcld 10384 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079flcld 11915 . . . . . . . . . . . . . 14
8180zred 10978 . . . . . . . . . . . . 13
8281, 24remulcld 9636 . . . . . . . . . . . 12
8331, 82sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11
8483, 34pncand 9943 . . . . . . . . . 10
8584eqcomd 2475 . . . . . . . . 9
8685adantr 465 . . . . . . . 8
8781adantr 465 . . . . . . . . . . 11
8824adantr 465 . . . . . . . . . . 11
8987, 88remulcld 9636 . . . . . . . . . 10
9089, 88readdcld 9635 . . . . . . . . 9
9166adantr 465 . . . . . . . . . 10
9291, 88remulcld 9636 . . . . . . . . 9
9331, 81sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . 13
9493, 34adddirp1d 31386 . . . . . . . . . . . 12
9594eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11
9695adantr 465 . . . . . . . . . 10
97 1red 9623 . . . . . . . . . . . 12
9887, 97readdcld 9635 . . . . . . . . . . 11
9958, 24, 62ltled 9744 . . . . . . . . . . . 12
10099adantr 465 . . . . . . . . . . 11
10170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101, 28resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . 14
10321adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
104101, 103resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . 14
10524, 62elrpd 11266 . . . . . . . . . . . . . . 15
106105adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
107 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
108103, 28, 101, 107ltsub2dd 10177 . . . . . . . . . . . . . 14
109102, 104, 106, 108ltdiv1dd 11321 . . . . . . . . . . . . 13
110 fourierdlem19.ezew . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
111110eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
113 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
114113oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
115114fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
116115oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
117112, 116oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
118117adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11927, 82readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
12049, 118, 27, 119fvmptd 5962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
121111, 120eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
122121oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12347, 27sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124123, 83pncan2d 9944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125122, 124eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126125oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12793, 34, 63divcan4d 10338 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128126, 127eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15
129128adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
13069oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131130oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13231, 21sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
133132, 73pncan2d 9944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
134133oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13531, 66sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
136135, 34, 63divcan4d 10338 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137131, 134, 1363eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15
138137adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
139129, 138breq12d 4466 . . . . . . . . . . . . 13
140109, 139mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12
14180adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
14265adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
143 zltp1le 10924 . . . . . . . . . . . . 13
144141, 142, 143syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
145140, 144mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
14698, 91, 88, 100, 145lemul1ad 10497 . . . . . . . . . 10
14796, 146eqbrtrd 4473 . . . . . . . . 9
14890, 92, 88, 147lesub1dd 10180 . . . . . . . 8
14986, 148eqbrtrd 4473 . . . . . . 7
15082adantr 465 . . . . . . . 8
15192, 88resubcld 9999 . . . . . . . 8
152150, 151, 101lesub2d 10172 . . . . . . 7
153149, 152mpbid 210 . . . . . 6
15477, 153eqbrtrd 4473 . . . . 5
15569eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10
15671, 73, 132subadd2d 9961 . . . . . . . . . 10
157155, 156mpbird 232 . . . . . . . . 9
158157eqcomd 2475 . . . . . . . 8
159158oveq1d 6310 . . . . . . 7
160159adantr 465 . . . . . 6
161120eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10
1621rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . 14
163 iocssre 11616 . . . . . . . . . . . . . 14
164162, 5, 163syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
1651, 5, 59, 22, 48fourierdlem4 31734 . . . . . . . . . . . . . 14
166165, 27ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . 13
167164, 166sseldd 3510 . . . . . . . . . . . 12
16847, 167sseldd 3510 . . . . . . . . . . 11
169168, 83, 123subadd2d 9961 . . . . . . . . . 10
170161, 169mpbird 232 . . . . . . . . 9
171170eqcomd 2475 . . . . . . . 8
172110oveq1d 6310 . . . . . . . 8
173171, 172eqtrd 2508 . . . . . . 7
174173adantr 465 . . . . . 6
175160, 174breq12d 4466 . . . . 5
176154, 175mpbird 232 . . . 4
17716, 26, 28, 46, 176ltletrd 9753 . . 3
17816, 28ltnled 9743 . . 3
179177, 178mpbid 210 . 2
18015, 179pm2.65da 576 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wrex 2818  crab 2821   wss 3481   class class class wbr 4453   cmpt 4511  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cr 9503  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509  cxr 9639   clt 9640   cle 9641   cmin 9817   cdiv 10218  cz 10876  crp 11232  cioc 11542  cfl 11907 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-ioc 11546  df-fl 11909 This theorem is referenced by:  fourierdlem51  31781
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