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Theorem fourierdlem19 31749
Description: If two elements of  D have the same periodic image in  ( A (,] B ) then they are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem19.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem19.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem19.altb  |-  ( ph  ->  A  <  B )
fourierdlem19.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem19.d  |-  D  =  { y  e.  ( ( A  +  X
) (,] ( B  +  X ) )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  C }
fourierdlem19.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem19.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
fourierdlem19.w  |-  ( ph  ->  W  e.  D )
fourierdlem19.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  D )
fourierdlem19.ezew  |-  ( ph  ->  ( E `  Z
)  =  ( E `
 W ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem19  |-  ( ph  ->  -.  W  <  Z
)
Distinct variable groups:    x, A    y, A    x, B    y, B    x, T    x, W    y, X    x, Z    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y, k)    A( k)    B( k)    C( x, y, k)    D( x, y, k)    T( y, k)    E( x, y, k)    W( y, k)    X( x, k)    Z( y, k)

Proof of Theorem fourierdlem19
StepHypRef Expression
1 fourierdlem19.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 fourierdlem19.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
31, 2readdcld 9635 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  e.  RR )
43rexrd 9655 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  e.  RR* )
5 fourierdlem19.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
65, 2readdcld 9635 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  e.  RR )
76rexrd 9655 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  e.  RR* )
8 fourierdlem19.d . . . . . 6  |-  D  =  { y  e.  ( ( A  +  X
) (,] ( B  +  X ) )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  C }
9 ssrab2 3590 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( ( A  +  X ) (,] ( B  +  X
) )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  C }  C_  ( ( A  +  X ) (,] ( B  +  X )
)
108, 9eqsstri 3539 . . . . 5  |-  D  C_  ( ( A  +  X ) (,] ( B  +  X )
)
11 fourierdlem19.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  D )
1210, 11sseldi 3507 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( ( A  +  X ) (,] ( B  +  X ) ) )
13 iocleub 31423 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  X
)  e.  RR*  /\  ( B  +  X )  e.  RR*  /\  Z  e.  ( ( A  +  X ) (,] ( B  +  X )
) )  ->  Z  <_  ( B  +  X
) )
144, 7, 12, 13syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  <_  ( B  +  X ) )
1514adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  Z  <_  ( B  +  X ) )
166adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( B  +  X )  e.  RR )
17 iocssre 11616 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +  X
)  e.  RR*  /\  ( B  +  X )  e.  RR )  ->  (
( A  +  X
) (,] ( B  +  X ) ) 
C_  RR )
184, 6, 17syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  X ) (,] ( B  +  X )
)  C_  RR )
19 fourierdlem19.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  D )
2010, 19sseldi 3507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  ( ( A  +  X ) (,] ( B  +  X ) ) )
2118, 20sseldd 3510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
22 fourierdlem19.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( B  -  A
)
235, 1resubcld 9999 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
2422, 23syl5eqel 2559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2521, 24readdcld 9635 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( W  +  T
)  e.  RR )
2625adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( W  +  T )  e.  RR )
2718, 12sseldd 3510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR )
2827adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  Z  e.  RR )
2922eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  -  A )  =  T
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  =  T )
31 ax-resscn 9561 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
3231, 5sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3331, 1sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3431, 24sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
3532, 33, 34subaddd 9960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  =  T  <-> 
( A  +  T
)  =  B ) )
3630, 35mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  +  T
)  =  B )
3736eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( A  +  T ) )
3837oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  =  ( ( A  +  T )  +  X ) )
3931, 2sseldi 3507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4033, 34, 39add32d 9814 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  T )  +  X
)  =  ( ( A  +  X )  +  T ) )
4138, 40eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  =  ( ( A  +  X )  +  T ) )
42 iocgtlb 31422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +  X
)  e.  RR*  /\  ( B  +  X )  e.  RR*  /\  W  e.  ( ( A  +  X ) (,] ( B  +  X )
) )  ->  ( A  +  X )  <  W )
434, 7, 20, 42syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  X
)  <  W )
443, 21, 24, 43ltadd1dd 10175 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  X )  +  T
)  <  ( W  +  T ) )
4541, 44eqbrtrd 4473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  +  X
)  <  ( W  +  T ) )
4645adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( B  +  X )  <  ( W  +  T )
)
4731a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
48 fourierdlem19.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) ) ) )
50 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  W  ->  x  =  W )
51 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  W  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  W ) )
5251oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  W  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  W )  /  T ) )
5352fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  W  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  W
)  /  T ) ) )
5453oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  W  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T ) )
5550, 54oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  W  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( W  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T
) )  x.  T
) ) )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  =  W )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( W  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T
) )  x.  T
) ) )
575, 21resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  -  W
)  e.  RR )
58 0red 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
59 fourierdlem19.altb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  <  B )
601, 5posdifd 10151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
6159, 60mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <  ( B  -  A ) )
6261, 30breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <  T )
6358, 62gtned 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
6457, 24, 63redivcld 10384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  W )  /  T
)  e.  RR )
6564flcld 11915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  W
)  /  T ) )  e.  ZZ )
6665zred 10978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  W
)  /  T ) )  e.  RR )
6766, 24remulcld 9636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T
) )  x.  T
)  e.  RR )
6821, 67readdcld 9635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( W  +  ( ( |_ `  (
( B  -  W
)  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
6949, 56, 21, 68fvmptd 5962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E `  W
)  =  ( W  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T ) ) )
7069, 68eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E `  W
)  e.  RR )
7147, 70sseldd 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E `  W
)  e.  CC )
7271adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( E `  W )  e.  CC )
7331, 67sseldi 3507 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T
) )  x.  T
)  e.  CC )
7473adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T )  e.  CC )
7534adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  T  e.  CC )
7672, 74, 75subsubd 9970 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( E `  W )  -  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T )  -  T ) )  =  ( ( ( E `
 W )  -  ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T
) )  x.  T
) )  +  T
) )
7776eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( (
( E `  W
)  -  ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T ) )  +  T )  =  ( ( E `  W )  -  (
( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T
) )  x.  T
)  -  T ) ) )
785, 27resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  -  Z
)  e.  RR )
7978, 24, 63redivcld 10384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  Z )  /  T
)  e.  RR )
8079flcld 11915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  e.  ZZ )
8180zred 10978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  e.  RR )
8281, 24remulcld 9636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T
) )  x.  T
)  e.  RR )
8331, 82sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T
) )  x.  T
)  e.  CC )
8483, 34pncand 9943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T )  +  T )  -  T
)  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T ) )
8584eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T
) )  x.  T
)  =  ( ( ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T
) )  x.  T
)  +  T )  -  T ) )
8685adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( ( ( |_
`  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T )  +  T
)  -  T ) )
8781adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T
) )  e.  RR )
8824adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  T  e.  RR )
8987, 88remulcld 9636 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T )  e.  RR )
9089, 88readdcld 9635 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( (
( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  x.  T )  +  T )  e.  RR )
9166adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T
) )  e.  RR )
9291, 88remulcld 9636 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T )  e.  RR )
9331, 81sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  e.  CC )
9493, 34adddirp1d 31386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  x.  T )  +  T ) )
9594eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T )  +  T
)  =  ( ( ( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  +  1 )  x.  T ) )
9695adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( (
( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  x.  T )  +  T )  =  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  +  1 )  x.  T
) )
97 1red 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  1  e.  RR )
9887, 97readdcld 9635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  +  1 )  e.  RR )
9958, 24, 62ltled 9744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  T )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  0  <_  T )
10170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( E `  W )  e.  RR )
102101, 28resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( E `  W )  -  Z )  e.  RR )
10321adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  W  e.  RR )
104101, 103resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( E `  W )  -  W )  e.  RR )
10524, 62elrpd 11266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
106105adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  T  e.  RR+ )
107 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  W  <  Z )
108103, 28, 101, 107ltsub2dd 10177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( E `  W )  -  Z )  <  (
( E `  W
)  -  W ) )
109102, 104, 106, 108ltdiv1dd 11321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( (
( E `  W
)  -  Z )  /  T )  < 
( ( ( E `
 W )  -  W )  /  T
) )
110 fourierdlem19.ezew . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( E `  Z
)  =  ( E `
 W ) )
111110eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( E `  W
)  =  ( E `
 Z ) )
112 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  Z  ->  x  =  Z )
113 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  Z  ->  ( B  -  x )  =  ( B  -  Z ) )
114113oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  Z  ->  (
( B  -  x
)  /  T )  =  ( ( B  -  Z )  /  T ) )
115114fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  Z  ->  ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  =  ( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) ) )
116115oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  Z  ->  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T )  =  ( ( |_
`  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T ) )
117112, 116oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  Z  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( Z  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T
) )  x.  T
) ) )
118117adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  =  Z )  ->  (
x  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  x )  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( Z  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T
) )  x.  T
) ) )
11927, 82readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Z  +  ( ( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  x.  T ) )  e.  RR )
12049, 118, 27, 119fvmptd 5962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( E `  Z
)  =  ( Z  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T ) ) )
121111, 120eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( E `  W
)  =  ( Z  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T ) ) )
122121oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( E `  W )  -  Z
)  =  ( ( Z  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T ) )  -  Z ) )
12347, 27sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
124123, 83pncan2d 9944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( Z  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T
) )  x.  T
) )  -  Z
)  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T ) )
125122, 124eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( E `  W )  -  Z
)  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T ) )
126125oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 W )  -  Z )  /  T
)  =  ( ( ( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  x.  T )  /  T ) )
12793, 34, 63divcan4d 10338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T )  /  T
)  =  ( |_
`  ( ( B  -  Z )  /  T ) ) )
128126, 127eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  =  ( ( ( E `  W
)  -  Z )  /  T ) )
129128adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T
) )  =  ( ( ( E `  W )  -  Z
)  /  T ) )
13069oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( E `  W )  -  W
)  =  ( ( W  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T ) )  -  W ) )
131130oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 W )  -  W )  /  T
)  =  ( ( ( W  +  ( ( |_ `  (
( B  -  W
)  /  T ) )  x.  T ) )  -  W )  /  T ) )
13231, 21sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  W  e.  CC )
133132, 73pncan2d 9944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( W  +  ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T
) )  x.  T
) )  -  W
)  =  ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T ) )
134133oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( W  +  ( ( |_
`  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T ) )  -  W )  /  T
)  =  ( ( ( |_ `  (
( B  -  W
)  /  T ) )  x.  T )  /  T ) )
13531, 66sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  W
)  /  T ) )  e.  CC )
136135, 34, 63divcan4d 10338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T )  /  T
)  =  ( |_
`  ( ( B  -  W )  /  T ) ) )
137131, 134, 1363eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( B  -  W
)  /  T ) )  =  ( ( ( E `  W
)  -  W )  /  T ) )
138137adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T
) )  =  ( ( ( E `  W )  -  W
)  /  T ) )
139129, 138breq12d 4466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  < 
( |_ `  (
( B  -  W
)  /  T ) )  <->  ( ( ( E `  W )  -  Z )  /  T )  <  (
( ( E `  W )  -  W
)  /  T ) ) )
140109, 139mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T
) )  <  ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) ) )
14180adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T
) )  e.  ZZ )
14265adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T
) )  e.  ZZ )
143 zltp1le 10924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T
) )  <  ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) )  <->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  +  1 )  <_  ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) ) ) )
144141, 142, 143syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  < 
( |_ `  (
( B  -  W
)  /  T ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  +  1 )  <_  ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) ) ) )
145140, 144mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  +  1 )  <_  ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) ) )
14698, 91, 88, 100, 145lemul1ad 10497 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( (
( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  +  1 )  x.  T )  <_ 
( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T
) )  x.  T
) )
14796, 146eqbrtrd 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( (
( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  x.  T )  +  T )  <_ 
( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T
) )  x.  T
) )
14890, 92, 88, 147lesub1dd 10180 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( (
( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T
) )  x.  T
)  +  T )  -  T )  <_ 
( ( ( |_
`  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T )  -  T
) )
14986, 148eqbrtrd 4473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T )  <_  (
( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T
) )  x.  T
)  -  T ) )
15082adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T )  e.  RR )
15192, 88resubcld 9999 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( (
( |_ `  (
( B  -  W
)  /  T ) )  x.  T )  -  T )  e.  RR )
152150, 151, 101lesub2d 10172 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( (
( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  x.  T )  <_  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T )  -  T )  <->  ( ( E `  W )  -  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T )  -  T ) )  <_ 
( ( E `  W )  -  (
( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  x.  T ) ) ) )
153149, 152mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( E `  W )  -  ( ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T )  -  T ) )  <_ 
( ( E `  W )  -  (
( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
15477, 153eqbrtrd 4473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( (
( E `  W
)  -  ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T ) )  +  T )  <_ 
( ( E `  W )  -  (
( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
15569eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( W  +  ( ( |_ `  (
( B  -  W
)  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( E `
 W ) )
15671, 73, 132subadd2d 9961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 W )  -  ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T
) )  x.  T
) )  =  W  <-> 
( W  +  ( ( |_ `  (
( B  -  W
)  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( E `
 W ) ) )
157155, 156mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E `  W )  -  (
( |_ `  (
( B  -  W
)  /  T ) )  x.  T ) )  =  W )
158157eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  =  ( ( E `  W )  -  ( ( |_
`  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T ) ) )
159158oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( W  +  T
)  =  ( ( ( E `  W
)  -  ( ( |_ `  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T ) )  +  T ) )
160159adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( W  +  T )  =  ( ( ( E `  W )  -  (
( |_ `  (
( B  -  W
)  /  T ) )  x.  T ) )  +  T ) )
161120eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Z  +  ( ( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( E `
 Z ) )
1621rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
163 iocssre 11616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A (,] B )  C_  RR )
164162, 5, 163syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,] B
)  C_  RR )
1651, 5, 59, 22, 48fourierdlem4 31734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E : RR --> ( A (,] B ) )
166165, 27ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E `  Z
)  e.  ( A (,] B ) )
167164, 166sseldd 3510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E `  Z
)  e.  RR )
16847, 167sseldd 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E `  Z
)  e.  CC )
169168, 83, 123subadd2d 9961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( E `
 Z )  -  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T
) )  x.  T
) )  =  Z  <-> 
( Z  +  ( ( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( E `
 Z ) ) )
170161, 169mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E `  Z )  -  (
( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  x.  T ) )  =  Z )
171170eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  =  ( ( E `  Z )  -  ( ( |_
`  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T ) ) )
172110oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E `  Z )  -  (
( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  x.  T ) )  =  ( ( E `  W )  -  ( ( |_
`  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T ) ) )
173171, 172eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  =  ( ( E `  W )  -  ( ( |_
`  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T ) ) )
174173adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  Z  =  ( ( E `  W )  -  (
( |_ `  (
( B  -  Z
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
175160, 174breq12d 4466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( W  +  T )  <_  Z  <->  ( ( ( E `  W )  -  ( ( |_
`  ( ( B  -  W )  /  T ) )  x.  T ) )  +  T )  <_  (
( E `  W
)  -  ( ( |_ `  ( ( B  -  Z )  /  T ) )  x.  T ) ) ) )
176154, 175mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( W  +  T )  <_  Z
)
17716, 26, 28, 46, 176ltletrd 9753 . . 3  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( B  +  X )  <  Z
)
17816, 28ltnled 9743 . . 3  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  ( ( B  +  X )  <  Z  <->  -.  Z  <_  ( B  +  X ) ) )
179177, 178mpbid 210 . 2  |-  ( (
ph  /\  W  <  Z )  ->  -.  Z  <_  ( B  +  X
) )
18015, 179pm2.65da 576 1  |-  ( ph  ->  -.  W  <  Z
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   {crab 2821    C_ wss 3481   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817    / cdiv 10218   ZZcz 10876   RR+crp 11232   (,]cioc 11542   |_cfl 11907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-ioc 11546  df-fl 11909
This theorem is referenced by:  fourierdlem51  31781
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