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Mathbox for Glauco Siliprandi |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > fourierdlem16 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
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fourierdlem16.f |
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fourierdlem16.c |
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fourierdlem16.fibl |
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fourierdlem16.a |
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fourierdlem16.n |
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Ref | Expression |
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fourierdlem16 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fourierdlem16.f |
. . . . . . . . . 10
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2 | 1 | adantr 467 |
. . . . . . . . 9
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3 | ioossre 11703 |
. . . . . . . . . . 11
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4 | id 22 |
. . . . . . . . . . . 12
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5 | fourierdlem16.c |
. . . . . . . . . . . 12
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6 | 4, 5 | syl6eleq 2541 |
. . . . . . . . . . 11
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7 | 3, 6 | sseldi 3432 |
. . . . . . . . . 10
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8 | 7 | adantl 468 |
. . . . . . . . 9
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9 | 2, 8 | ffvelrnd 6028 |
. . . . . . . 8
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10 | 9 | adantlr 722 |
. . . . . . 7
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11 | nn0re 10885 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | 11 | adantr 467 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 7 | adantl 468 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 12, 13 | remulcld 9676 |
. . . . . . . . 9
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15 | 14 | recoscld 14210 |
. . . . . . . 8
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16 | 15 | adantll 721 |
. . . . . . 7
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17 | 10, 16 | remulcld 9676 |
. . . . . 6
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18 | ioombl 22530 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 5, 18 | eqeltri 2527 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
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21 | eqidd 2454 |
. . . . . . . . 9
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22 | eqidd 2454 |
. . . . . . . . 9
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23 | 20, 16, 10, 21, 22 | offval2 6553 |
. . . . . . . 8
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24 | 16 | recnd 9674 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 10 | recnd 9674 |
. . . . . . . . . 10
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26 | 24, 25 | mulcomd 9669 |
. . . . . . . . 9
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27 | 26 | mpteq2dva 4492 |
. . . . . . . 8
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28 | 23, 27 | eqtr2d 2488 |
. . . . . . 7
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29 | coscn 23412 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 29 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 5, 3 | eqsstri 3464 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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32 | ax-resscn 9601 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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33 | 31, 32 | sstri 3443 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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34 | 33 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | 11 | recnd 9674 |
. . . . . . . . . . . . 13
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36 | ssid 3453 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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37 | 36 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
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38 | 34, 35, 37 | constcncfg 37758 |
. . . . . . . . . . . 12
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39 | cncfmptid 21956 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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40 | 33, 36, 39 | mp2an 679 |
. . . . . . . . . . . . 13
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41 | 40 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
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42 | 38, 41 | mulcncf 22410 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 30, 42 | cncfmpt1f 21957 |
. . . . . . . . . 10
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44 | cnmbf 22627 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 19, 43, 44 | sylancr 670 |
. . . . . . . . 9
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46 | 45 | adantl 468 |
. . . . . . . 8
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47 | 1 | feqmptd 5923 |
. . . . . . . . . . . 12
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48 | 47 | reseq1d 5107 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | resmpt 5157 |
. . . . . . . . . . . 12
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50 | 31, 49 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | 48, 50 | eqtr2d 2488 |
. . . . . . . . . 10
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52 | fourierdlem16.fibl |
. . . . . . . . . 10
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53 | 51, 52 | eqeltrd 2531 |
. . . . . . . . 9
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54 | 53 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
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55 | 1re 9647 |
. . . . . . . . . 10
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56 | simpr 463 |
. . . . . . . . . . . . 13
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57 | nfv 1763 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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58 | nfmpt1 4495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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59 | 58 | nfdm 5079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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60 | 59 | nfcri 2588 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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61 | 57, 60 | nfan 2013 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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62 | 15 | ex 436 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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63 | 62 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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64 | 61, 63 | ralrimi 2790 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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65 | dmmptg 5335 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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66 | 64, 65 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
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67 | 56, 66 | eleqtrd 2533 |
. . . . . . . . . . . 12
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68 | eqidd 2454 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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69 | oveq2 6303 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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70 | 69 | fveq2d 5874 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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71 | 70 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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72 | simpr 463 |
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73 | 11 | adantr 467 |
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74 | 31, 72 | sseldi 3432 |
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75 | 73, 74 | remulcld 9676 |
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76 | 75 | recoscld 14210 |
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77 | 68, 71, 72, 76 | fvmptd 5959 |
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78 | 77 | fveq2d 5874 |
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79 | abscosbd 37498 |
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80 | 75, 79 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
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81 | 78, 80 | eqbrtrd 4426 |
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82 | 67, 81 | syldan 473 |
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83 | 82 | ralrimiva 2804 |
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84 | breq2 4409 |
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85 | 84 | ralbidv 2829 |
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86 | 85 | rspcev 3152 |
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87 | 55, 83, 86 | sylancr 670 |
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88 | 87 | adantl 468 |
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89 | bddmulibl 22808 |
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90 | 46, 54, 88, 89 | syl3anc 1269 |
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91 | 28, 90 | eqeltrd 2531 |
. . . . . 6
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92 | 17, 91 | itgrecl 22767 |
. . . . 5
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93 | pire 23425 |
. . . . . 6
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94 | 93 | a1i 11 |
. . . . 5
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95 | 0re 9648 |
. . . . . . 7
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96 | pipos 23427 |
. . . . . . 7
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97 | 95, 96 | gtneii 9751 |
. . . . . 6
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98 | 97 | a1i 11 |
. . . . 5
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99 | 92, 94, 98 | redivcld 10442 |
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100 | fourierdlem16.a |
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101 | 99, 100 | fmptd 6051 |
. . 3
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102 | fourierdlem16.n |
. . 3
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103 | 101, 102 | ffvelrnd 6028 |
. 2
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104 | 102 | ancli 554 |
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105 | eleq1 2519 |
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106 | 105 | anbi2d 711 |
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107 | simpl 459 |
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108 | 107 | oveq1d 6310 |
. . . . . . . . 9
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109 | 108 | fveq2d 5874 |
. . . . . . . 8
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110 | 109 | oveq2d 6311 |
. . . . . . 7
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111 | 110 | itgeq2dv 22751 |
. . . . . 6
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112 | 111 | eleq1d 2515 |
. . . . 5
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113 | 106, 112 | imbi12d 322 |
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114 | 113, 92 | vtoclg 3109 |
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115 | 102, 104, 114 | sylc 62 |
. 2
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116 | 103, 53, 115 | jca31 537 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1671 ax-4 1684 ax-5 1760 ax-6 1807 ax-7 1853 ax-8 1891 ax-9 1898 ax-10 1917 ax-11 1922 ax-12 1935 ax-13 2093 ax-ext 2433 ax-rep 4518 ax-sep 4528 ax-nul 4537 ax-pow 4584 ax-pr 4642 ax-un 6588 ax-inf2 8151 ax-cc 8870 ax-cnex 9600 ax-resscn 9601 ax-1cn 9602 ax-icn 9603 ax-addcl 9604 ax-addrcl 9605 ax-mulcl 9606 ax-mulrcl 9607 ax-mulcom 9608 ax-addass 9609 ax-mulass 9610 ax-distr 9611 ax-i2m1 9612 ax-1ne0 9613 ax-1rid 9614 ax-rnegex 9615 ax-rrecex 9616 ax-cnre 9617 ax-pre-lttri 9618 ax-pre-lttrn 9619 ax-pre-ltadd 9620 ax-pre-mulgt0 9621 ax-pre-sup 9622 ax-addf 9623 ax-mulf 9624 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 987 df-3an 988 df-tru 1449 df-fal 1452 df-ex 1666 df-nf 1670 df-sb 1800 df-eu 2305 df-mo 2306 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2583 df-ne 2626 df-nel 2627 df-ral 2744 df-rex 2745 df-reu 2746 df-rmo 2747 df-rab 2748 df-v 3049 df-sbc 3270 df-csb 3366 df-dif 3409 df-un 3411 df-in 3413 df-ss 3420 df-pss 3422 df-nul 3734 df-if 3884 df-pw 3955 df-sn 3971 df-pr 3973 df-tp 3975 df-op 3977 df-uni 4202 df-int 4238 df-iun 4283 df-iin 4284 df-disj 4377 df-br 4406 df-opab 4465 df-mpt 4466 df-tr 4501 df-eprel 4748 df-id 4752 df-po 4758 df-so 4759 df-fr 4796 df-se 4797 df-we 4798 df-xp 4843 df-rel 4844 df-cnv 4845 df-co 4846 df-dm 4847 df-rn 4848 df-res 4849 df-ima 4850 df-pred 5383 df-ord 5429 df-on 5430 df-lim 5431 df-suc 5432 df-iota 5549 df-fun 5587 df-fn 5588 df-f 5589 df-f1 5590 df-fo 5591 df-f1o 5592 df-fv 5593 df-isom 5594 df-riota 6257 df-ov 6298 df-oprab 6299 df-mpt2 6300 df-of 6536 df-ofr 6537 df-om 6698 df-1st 6798 df-2nd 6799 df-supp 6920 df-wrecs 7033 df-recs 7095 df-rdg 7133 df-1o 7187 df-2o 7188 df-oadd 7191 df-omul 7192 df-er 7368 df-map 7479 df-pm 7480 df-ixp 7528 df-en 7575 df-dom 7576 df-sdom 7577 df-fin 7578 df-fsupp 7889 df-fi 7930 df-sup 7961 df-inf 7962 df-oi 8030 df-card 8378 df-acn 8381 df-cda 8603 df-pnf 9682 df-mnf 9683 df-xr 9684 df-ltxr 9685 df-le 9686 df-sub 9867 df-neg 9868 df-div 10277 df-nn 10617 df-2 10675 df-3 10676 df-4 10677 df-5 10678 df-6 10679 df-7 10680 df-8 10681 df-9 10682 df-10 10683 df-n0 10877 df-z 10945 df-dec 11059 df-uz 11167 df-q 11272 df-rp 11310 df-xneg 11416 df-xadd 11417 df-xmul 11418 df-ioo 11646 df-ioc 11647 df-ico 11648 df-icc 11649 df-fz 11792 df-fzo 11923 df-fl 12035 df-mod 12104 df-seq 12221 df-exp 12280 df-fac 12467 df-bc 12495 df-hash 12523 df-shft 13142 df-cj 13174 df-re 13175 df-im 13176 df-sqrt 13310 df-abs 13311 df-limsup 13538 df-clim 13564 df-rlim 13565 df-sum 13765 df-ef 14133 df-sin 14135 df-cos 14136 df-pi 14138 df-struct 15135 df-ndx 15136 df-slot 15137 df-base 15138 df-sets 15139 df-ress 15140 df-plusg 15215 df-mulr 15216 df-starv 15217 df-sca 15218 df-vsca 15219 df-ip 15220 df-tset 15221 df-ple 15222 df-ds 15224 df-unif 15225 df-hom 15226 df-cco 15227 df-rest 15333 df-topn 15334 df-0g 15352 df-gsum 15353 df-topgen 15354 df-pt 15355 df-prds 15358 df-xrs 15412 df-qtop 15418 df-imas 15419 df-xps 15422 df-mre 15504 df-mrc 15505 df-acs 15507 df-mgm 16500 df-sgrp 16539 df-mnd 16549 df-submnd 16595 df-mulg 16688 df-cntz 16983 df-cmn 17444 df-psmet 18974 df-xmet 18975 df-met 18976 df-bl 18977 df-mopn 18978 df-fbas 18979 df-fg 18980 df-cnfld 18983 df-top 19933 df-bases 19934 df-topon 19935 df-topsp 19936 df-cld 20046 df-ntr 20047 df-cls 20048 df-nei 20126 df-lp 20164 df-perf 20165 df-cn 20255 df-cnp 20256 df-haus 20343 df-cmp 20414 df-tx 20589 df-hmeo 20782 df-fil 20873 df-fm 20965 df-flim 20966 df-flf 20967 df-xms 21347 df-ms 21348 df-tms 21349 df-cncf 21922 df-ovol 22428 df-vol 22430 df-mbf 22589 df-itg1 22590 df-itg2 22591 df-ibl 22592 df-itg 22593 df-0p 22640 df-limc 22833 df-dv 22834 |
This theorem is referenced by: fourierdlem83 38063 fourierdlem112 38092 |
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