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Theorem fourierdlem16 37995
Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem16.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem16.c  |-  C  =  ( -u pi (,) pi )
fourierdlem16.fibl  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e.  L^1 )
fourierdlem16.a  |-  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
fourierdlem16.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem16  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 N )  e.  RR  /\  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  e.  L^1 )  /\  S. C ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    C, n, x    n, F, x    n, N, x    ph, n, x
Allowed substitution hints:    A( x, n)

Proof of Theorem fourierdlem16
Dummy variables  b 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem16.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
21adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  F : RR --> RR )
3 ioossre 11703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u pi (,) pi )  C_  RR
4 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  C )
5 fourierdlem16.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( -u pi (,) pi )
64, 5syl6eleq 2541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )
73, 6sseldi 3432 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  C  ->  x  e.  RR )
87adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  RR )
92, 8ffvelrnd 6028 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
109adantlr 722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
11 nn0re 10885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
1211adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  n  e.  RR )
137adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  RR )
1412, 13remulcld 9676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( n  x.  x
)  e.  RR )
1514recoscld 14210 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  (
n  x.  x ) )  e.  RR )
1615adantll 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
1710, 16remulcld 9676 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  e.  RR )
18 ioombl 22530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u pi (,) pi )  e. 
dom  vol
195, 18eqeltri 2527 . . . . . . . . . 10  |-  C  e. 
dom  vol
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  C  e.  dom  vol )
21 eqidd 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) )
22 eqidd 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
2320, 16, 10, 21, 22offval2 6553 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( cos `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) ) ) )
2416recnd 9674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( n  x.  x ) )  e.  CC )
2510recnd 9674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
2624, 25mulcomd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  /\  x  e.  C )  ->  (
( cos `  (
n  x.  x ) )  x.  ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) )
2726mpteq2dva 4492 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( cos `  ( n  x.  x ) )  x.  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ) )
2823, 27eqtr2d 2488 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) ) )
29 coscn 23412 . . . . . . . . . . . 12  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  cos  e.  ( CC -cn-> CC ) )
315, 3eqsstri 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  C_  RR
32 ax-resscn 9601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
3331, 32sstri 3443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  C_  CC
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  C  C_  CC )
3511recnd 9674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  CC )
36 ssid 3453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  C_  CC
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  CC  C_  CC )
3834, 35, 37constcncfg 37758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  n )  e.  ( C -cn-> CC ) )
39 cncfmptid 21956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
x  e.  C  |->  x )  e.  ( C
-cn-> CC ) )
4033, 36, 39mp2an 679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  C  |->  x )  e.  ( C -cn-> CC )
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  x )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4238, 41mulcncf 22410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  ( n  x.  x ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
4330, 42cncfmpt1f 21957 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )
44 cnmbf 22627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  dom  vol  /\  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  e.  ( C -cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn )
4519, 43, 44sylancr 670 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  e. MblFn
)
4645adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  e. MblFn
)
471feqmptd 5923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
4847reseq1d 5107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) )  |`  C ) )
49 resmpt 5157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
5031, 49mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  |`  C )  =  ( x  e.  C  |->  ( F `  x ) ) )
5148, 50eqtr2d 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) )  =  ( F  |`  C )
)
52 fourierdlem16.fibl . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  e.  L^1 )
5351, 52eqeltrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
5453adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  e.  L^1 )
55 1re 9647 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
56 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) )
57 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  n  e.  NN0
58 nfmpt1 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )
5958nfdm 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )
6059nfcri 2588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )
6157, 60nfan 2013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) )
6215ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( x  e.  C  ->  ( cos `  ( n  x.  x ) )  e.  RR ) )
6362adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( x  e.  C  ->  ( cos `  ( n  x.  x
) )  e.  RR ) )
6461, 63ralrimi 2790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  C  ( cos `  ( n  x.  x ) )  e.  RR )
65 dmmptg 5335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  C  ( cos `  ( n  x.  x ) )  e.  RR  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) )  =  C )
6756, 66eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  y  e.  C
)
68 eqidd 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  =  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) )
69 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
n  x.  x )  =  ( n  x.  y ) )
7069fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( cos `  ( n  x.  x ) )  =  ( cos `  (
n  x.  y ) ) )
7170adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  /\  x  =  y )  ->  ( cos `  ( n  x.  x
) )  =  ( cos `  ( n  x.  y ) ) )
72 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  C )
7311adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  n  e.  RR )
7431, 72sseldi 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  y  e.  RR )
7573, 74remulcld 9676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( n  x.  y
)  e.  RR )
7675recoscld 14210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( cos `  (
n  x.  y ) )  e.  RR )
7768, 71, 72, 76fvmptd 5959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
)  =  ( cos `  ( n  x.  y
) ) )
7877fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  =  ( abs `  ( cos `  ( n  x.  y
) ) ) )
79 abscosbd 37498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  x.  y )  e.  RR  ->  ( abs `  ( cos `  (
n  x.  y ) ) )  <_  1
)
8075, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  ( cos `  ( n  x.  y ) ) )  <_  1 )
8178, 80eqbrtrd 4426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  C )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
8267, 81syldan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x
) ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
8382ralrimiva 2804 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)
84 breq2 4409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  1  ->  (
( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) `  y ) )  <_  1 ) )
8584ralbidv 2829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  1  ->  ( A. y  e.  dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b  <->  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
) )
8685rspcev 3152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  1
)  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
8755, 83, 86sylancr 670 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
8887adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  E. b  e.  RR  A. y  e. 
dom  ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) ( abs `  ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)
89 bddmulibl 22808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  C  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 
/\  E. b  e.  RR  A. y  e.  dom  (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) ) ( abs `  (
( x  e.  C  |->  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) `  y
) )  <_  b
)  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
9046, 54, 88, 89syl3anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
x  e.  C  |->  ( cos `  ( n  x.  x ) ) )  oF  x.  ( x  e.  C  |->  ( F `  x
) ) )  e.  L^1 )
9128, 90eqeltrd 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  C  |->  ( ( F `  x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
9217, 91itgrecl 22767 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )
93 pire 23425 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
9493a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  pi  e.  RR )
95 0re 9648 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
96 pipos 23427 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
9795, 96gtneii 9751 . . . . . 6  |-  pi  =/=  0
9897a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  pi  =/=  0 )
9992, 94, 98redivcld 10442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S. C ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi )  e.  RR )
100 fourierdlem16.a . . . 4  |-  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( S. C ( ( F `  x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  /  pi ) )
10199, 100fmptd 6051 . . 3  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> RR )
102 fourierdlem16.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
103101, 102ffvelrnd 6028 . 2  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  e.  RR )
104102ancli 554 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  N  e.  NN0 ) )
105 eleq1 2519 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
106105anbi2d 711 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ph  /\  n  e.  NN0 )  <->  ( ph  /\  N  e.  NN0 )
) )
107 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  n  =  N )
108107oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  ( n  x.  x
)  =  ( N  x.  x ) )
109108fveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  (
n  x.  x ) )  =  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )
110109oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  C )  ->  ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( n  x.  x ) ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) ) )
111110itgeq2dv 22751 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  =  S. C ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )
112111eleq1d 2515 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( S. C ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR  <->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR ) )
113106, 112imbi12d 322 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  S. C ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  (
n  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  S. C ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  e.  RR ) ) )
114113, 92vtoclg 3109 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  S. C
( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) )  _d x  e.  RR ) )
115102, 104, 114sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  S. C ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  e.  RR )
116103, 53, 115jca31 537 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 N )  e.  RR  /\  ( x  e.  C  |->  ( F `
 x ) )  e.  L^1 )  /\  S. C ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740    C_ wss 3406   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   dom cdm 4837    |` cres 4839   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    oFcof 6534   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    x. cmul 9549    <_ cle 9681   -ucneg 9866    / cdiv 10276   NN0cn0 10876   (,)cioo 11642   abscabs 13309   cosccos 14129   picpi 14131   -cn->ccncf 21920   volcvol 22427  MblFncmbf 22584   L^1cibl 22587   S.citg 22588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cc 8870  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-disj 4377  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-acn 8381  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-mbf 22589  df-itg1 22590  df-itg2 22591  df-ibl 22592  df-itg 22593  df-0p 22640  df-limc 22833  df-dv 22834
This theorem is referenced by:  fourierdlem83  38063  fourierdlem112  38092
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