Theorem fourierdlem16 32144

Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem16.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem16.c	|- C = ( -u pi (,) pi )
fourierdlem16.fibl	|- ( ph -> ( F |` C ) e. L^1 )
fourierdlem16.a	|- A = ( n e. NN0 |-> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
fourierdlem16.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem16	|- ( ph -> ( ( ( A ` N ) e. RR /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 ) /\ S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )

Distinct variable groups:   C, n, x   n, F, x   n, N, x   ph, n, x

Allowed substitution hints:   A( x, n)

Proof of Theorem fourierdlem16

Dummy variables b y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem16.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2	1	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> F : RR --> RR )
3		ioossre 11589	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi (,) pi ) C_ RR
4		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. C -> x e. C )
5		fourierdlem16.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( -u pi (,) pi )
6	4, 5	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. C -> x e. ( -u pi (,) pi ) )
7	3, 6	sseldi 3487	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. C -> x e. RR )
8	7	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. RR )
9	2, 8	ffvelrnd 6008	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. RR )
10	9	adantlr 712	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. RR )
11		nn0re 10800	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. RR )
12	11	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> n e. RR )
13	7	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> x e. RR )
14	12, 13	remulcld 9613	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> ( n x. x ) e. RR )
15	14	recoscld 13961	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR )
16	15	adantll 711	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR )
17	10, 16	remulcld 9613	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. RR )
18		ioombl 22141	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi (,) pi ) e. dom vol
19	5, 18	eqeltri 2538	. . . . . . . . . 10 |- C e. dom vol
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> C e. dom vol )
21		eqidd 2455	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
22		eqidd 2455	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
23	20, 16, 10, 21, 22	offval2 6529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) = ( x e. C |-> ( ( cos ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) ) )
24	16	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. CC )
25	10	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. CC )
26	24, 25	mulcomd 9606	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( ( cos ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) = ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
27	26	mpteq2dva 4525	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( cos ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) )
28	23, 27	eqtr2d 2496	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) = ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) )
29		coscn 23006	. . . . . . . . . . . 12 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
31	5, 3	eqsstri 3519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C C_ RR
32		ax-resscn 9538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR C_ CC
33	31, 32	sstri 3498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- C C_ CC
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> C C_ CC )
35	11	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> n e. CC )
36		ssid 3508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC C_ CC
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> CC C_ CC )
38	34, 35, 37	constcncfg 31912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> n ) e. ( C -cn-> CC ) )
39		cncfmptid 21582	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC ) )
40	33, 36, 39	mp2an 670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC ) )
42	38, 41	mulcncf 22025	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( n x. x ) ) e. ( C -cn-> CC ) )
43	30, 42	cncfmpt1f 21583	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. ( C -cn-> CC ) )
44		cnmbf 22232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. dom vol /\ ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. ( C -cn-> CC ) ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn )
45	19, 43, 44	sylancr 661	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn )
46	45	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn )
47	1	feqmptd 5901	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F = ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) )
48	47	reseq1d 5261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F |` C ) = ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) )
49		resmpt 5311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C C_ RR -> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
50	31, 49	mp1i 12	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
51	48, 50	eqtr2d 2496	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) = ( F |` C ) )
52		fourierdlem16.fibl	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F |` C ) e. L^1 )
53	51, 52	eqeltrd 2542	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )
54	53	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )
55		1re 9584	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
56		simpr 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
57		nfv 1712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x n e. NN0
58		nfmpt1 4528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) )
59	58	nfdm 5233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) )
60	59	nfcri 2609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) )
61	57, 60	nfan 1933	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
62	15	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR ) )
63	62	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> ( x e. C -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR ) )
64	61, 63	ralrimi 2854	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> A. x e. C ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR )
65		dmmptg 5487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. C ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR -> dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = C )
66	64, 65	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = C )
67	56, 66	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> y e. C )
68		eqidd 2455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
69		oveq2 6278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( n x. x ) = ( n x. y ) )
70	69	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( cos ` ( n x. x ) ) = ( cos ` ( n x. y ) ) )
71	70	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) /\ x = y ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) = ( cos ` ( n x. y ) ) )
72		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> y e. C )
73	11	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> n e. RR )
74	31, 72	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> y e. RR )
75	73, 74	remulcld 9613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( n x. y ) e. RR )
76	75	recoscld 13961	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( cos ` ( n x. y ) ) e. RR )
77	68, 71, 72, 76	fvmptd 5936	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) = ( cos ` ( n x. y ) ) )
78	77	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) = ( abs ` ( cos ` ( n x. y ) ) ) )
79		abscosbd 31700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n x. y ) e. RR -> ( abs ` ( cos ` ( n x. y ) ) ) <_ 1 )
80	75, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( cos ` ( n x. y ) ) ) <_ 1 )
81	78, 80	eqbrtrd 4459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
82	67, 81	syldan 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
83	82	ralrimiva 2868	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
84		breq2 4443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = 1 -> ( ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) )
85	84	ralbidv 2893	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = 1 -> ( A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b <-> A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) )
86	85	rspcev 3207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b )
87	55, 83, 86	sylancr 661	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b )
88	87	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b )
89		bddmulibl 22411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 /\ E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) e. L^1 )
90	46, 54, 88, 89	syl3anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) e. L^1 )
91	28, 90	eqeltrd 2542	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) e. L^1 )
92	17, 91	itgrecl 22370	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR )
93		pire 23017	. . . . . 6 |- pi e. RR
94	93	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> pi e. RR )
95		0re 9585	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
96		pipos 23019	. . . . . . 7 |- 0 < pi
97	95, 96	gtneii 9685	. . . . . 6 |- pi =/= 0
98	97	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> pi =/= 0 )
99	92, 94, 98	redivcld 10368	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) e. RR )
100		fourierdlem16.a	. . . 4 |- A = ( n e. NN0 |-> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
101	99, 100	fmptd 6031	. . 3 |- ( ph -> A : NN0 --> RR )
102		fourierdlem16.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
103	101, 102	ffvelrnd 6008	. 2 |- ( ph -> ( A ` N ) e. RR )
104	102	ancli 549	. . 3 |- ( ph -> ( ph /\ N e. NN0 ) )
105		eleq1 2526	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( n e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
106	105	anbi2d 701	. . . . 5 |- ( n = N -> ( ( ph /\ n e. NN0 ) <-> ( ph /\ N e. NN0 ) ) )
107		simpl 455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> n = N )
108	107	oveq1d 6285	. . . . . . . . 9 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( n x. x ) = ( N x. x ) )
109	108	fveq2d 5852	. . . . . . . 8 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) = ( cos ` ( N x. x ) ) )
110	109	oveq2d 6286	. . . . . . 7 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) = ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
111	110	itgeq2dv 22354	. . . . . 6 |- ( n = N -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x = S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
112	111	eleq1d 2523	. . . . 5 |- ( n = N -> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR <-> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )
113	106, 112	imbi12d 318	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR ) <-> ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) ) )
114	113, 92	vtoclg 3164	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )
115	102, 104, 114	sylc 60	. 2 |- ( ph -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR )
116	103, 53, 115	jca31 532	1 |- ( ph -> ( ( ( A ` N ) e. RR /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 ) /\ S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   C_ wss 3461   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   |` cres 4990   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   oFcof 6511   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   x. cmul 9486   <_ cle 9618   -ucneg 9797   / cdiv 10202   NN0cn0 10791   (,)cioo 11532   abscabs 13149   cosccos 13882   picpi 13884   -cn->ccncf 21546   volcvol 22041  MblFncmbf 22189   L^1cibl 22192   S.citg 22193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-ovol 22042  df-vol 22043  df-mbf 22194  df-itg1 22195  df-itg2 22196  df-ibl 22197  df-itg 22198  df-0p 22243  df-limc 22436  df-dv 22437

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