Theorem fourierdlem16 37995

Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem16.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem16.c	|- C = ( -u pi (,) pi )
fourierdlem16.fibl	|- ( ph -> ( F |` C ) e. L^1 )
fourierdlem16.a	|- A = ( n e. NN0 |-> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
fourierdlem16.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem16	|- ( ph -> ( ( ( A ` N ) e. RR /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 ) /\ S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )

Distinct variable groups:   C, n, x   n, F, x   n, N, x   ph, n, x

Allowed substitution hints:   A( x, n)

Proof of Theorem fourierdlem16

Dummy variables b y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem16.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2	1	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> F : RR --> RR )
3		ioossre 11703	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi (,) pi ) C_ RR
4		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. C -> x e. C )
5		fourierdlem16.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( -u pi (,) pi )
6	4, 5	syl6eleq 2541	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. C -> x e. ( -u pi (,) pi ) )
7	3, 6	sseldi 3432	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. C -> x e. RR )
8	7	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. RR )
9	2, 8	ffvelrnd 6028	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. RR )
10	9	adantlr 722	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. RR )
11		nn0re 10885	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. RR )
12	11	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> n e. RR )
13	7	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> x e. RR )
14	12, 13	remulcld 9676	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> ( n x. x ) e. RR )
15	14	recoscld 14210	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR )
16	15	adantll 721	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR )
17	10, 16	remulcld 9676	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. RR )
18		ioombl 22530	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi (,) pi ) e. dom vol
19	5, 18	eqeltri 2527	. . . . . . . . . 10 |- C e. dom vol
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> C e. dom vol )
21		eqidd 2454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
22		eqidd 2454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
23	20, 16, 10, 21, 22	offval2 6553	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) = ( x e. C |-> ( ( cos ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) ) )
24	16	recnd 9674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. CC )
25	10	recnd 9674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. CC )
26	24, 25	mulcomd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( ( cos ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) = ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
27	26	mpteq2dva 4492	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( cos ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) )
28	23, 27	eqtr2d 2488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) = ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) )
29		coscn 23412	. . . . . . . . . . . 12 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
31	5, 3	eqsstri 3464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C C_ RR
32		ax-resscn 9601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR C_ CC
33	31, 32	sstri 3443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- C C_ CC
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> C C_ CC )
35	11	recnd 9674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> n e. CC )
36		ssid 3453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC C_ CC
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> CC C_ CC )
38	34, 35, 37	constcncfg 37758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> n ) e. ( C -cn-> CC ) )
39		cncfmptid 21956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC ) )
40	33, 36, 39	mp2an 679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC ) )
42	38, 41	mulcncf 22410	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( n x. x ) ) e. ( C -cn-> CC ) )
43	30, 42	cncfmpt1f 21957	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. ( C -cn-> CC ) )
44		cnmbf 22627	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. dom vol /\ ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. ( C -cn-> CC ) ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn )
45	19, 43, 44	sylancr 670	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn )
46	45	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn )
47	1	feqmptd 5923	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F = ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) )
48	47	reseq1d 5107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F |` C ) = ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) )
49		resmpt 5157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C C_ RR -> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
50	31, 49	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
51	48, 50	eqtr2d 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) = ( F |` C ) )
52		fourierdlem16.fibl	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F |` C ) e. L^1 )
53	51, 52	eqeltrd 2531	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )
54	53	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )
55		1re 9647	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
56		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
57		nfv 1763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x n e. NN0
58		nfmpt1 4495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) )
59	58	nfdm 5079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) )
60	59	nfcri 2588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) )
61	57, 60	nfan 2013	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
62	15	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR ) )
63	62	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> ( x e. C -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR ) )
64	61, 63	ralrimi 2790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> A. x e. C ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR )
65		dmmptg 5335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. C ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR -> dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = C )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = C )
67	56, 66	eleqtrd 2533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> y e. C )
68		eqidd 2454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
69		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( n x. x ) = ( n x. y ) )
70	69	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( cos ` ( n x. x ) ) = ( cos ` ( n x. y ) ) )
71	70	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) /\ x = y ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) = ( cos ` ( n x. y ) ) )
72		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> y e. C )
73	11	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> n e. RR )
74	31, 72	sseldi 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> y e. RR )
75	73, 74	remulcld 9676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( n x. y ) e. RR )
76	75	recoscld 14210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( cos ` ( n x. y ) ) e. RR )
77	68, 71, 72, 76	fvmptd 5959	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) = ( cos ` ( n x. y ) ) )
78	77	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) = ( abs ` ( cos ` ( n x. y ) ) ) )
79		abscosbd 37498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n x. y ) e. RR -> ( abs ` ( cos ` ( n x. y ) ) ) <_ 1 )
80	75, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( cos ` ( n x. y ) ) ) <_ 1 )
81	78, 80	eqbrtrd 4426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
82	67, 81	syldan 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
83	82	ralrimiva 2804	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
84		breq2 4409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = 1 -> ( ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) )
85	84	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = 1 -> ( A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b <-> A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) )
86	85	rspcev 3152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b )
87	55, 83, 86	sylancr 670	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b )
88	87	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b )
89		bddmulibl 22808	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 /\ E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) e. L^1 )
90	46, 54, 88, 89	syl3anc 1269	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) e. L^1 )
91	28, 90	eqeltrd 2531	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) e. L^1 )
92	17, 91	itgrecl 22767	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR )
93		pire 23425	. . . . . 6 |- pi e. RR
94	93	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> pi e. RR )
95		0re 9648	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
96		pipos 23427	. . . . . . 7 |- 0 < pi
97	95, 96	gtneii 9751	. . . . . 6 |- pi =/= 0
98	97	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> pi =/= 0 )
99	92, 94, 98	redivcld 10442	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) e. RR )
100		fourierdlem16.a	. . . 4 |- A = ( n e. NN0 |-> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
101	99, 100	fmptd 6051	. . 3 |- ( ph -> A : NN0 --> RR )
102		fourierdlem16.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
103	101, 102	ffvelrnd 6028	. 2 |- ( ph -> ( A ` N ) e. RR )
104	102	ancli 554	. . 3 |- ( ph -> ( ph /\ N e. NN0 ) )
105		eleq1 2519	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( n e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
106	105	anbi2d 711	. . . . 5 |- ( n = N -> ( ( ph /\ n e. NN0 ) <-> ( ph /\ N e. NN0 ) ) )
107		simpl 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> n = N )
108	107	oveq1d 6310	. . . . . . . . 9 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( n x. x ) = ( N x. x ) )
109	108	fveq2d 5874	. . . . . . . 8 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) = ( cos ` ( N x. x ) ) )
110	109	oveq2d 6311	. . . . . . 7 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) = ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
111	110	itgeq2dv 22751	. . . . . 6 |- ( n = N -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x = S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
112	111	eleq1d 2515	. . . . 5 |- ( n = N -> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR <-> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )
113	106, 112	imbi12d 322	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR ) <-> ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) ) )
114	113, 92	vtoclg 3109	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )
115	102, 104, 114	sylc 62	. 2 |- ( ph -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR )
116	103, 53, 115	jca31 537	1 |- ( ph -> ( ( ( A ` N ) e. RR /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 ) /\ S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   C_ wss 3406   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   dom cdm 4837   |` cres 4839   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   oFcof 6534   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   x. cmul 9549   <_ cle 9681   -ucneg 9866   / cdiv 10276   NN0cn0 10876   (,)cioo 11642   abscabs 13309   cosccos 14129   picpi 14131   -cn->ccncf 21920   volcvol 22427  MblFncmbf 22584   L^1cibl 22587   S.citg 22588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cc 8870  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-disj 4377  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-acn 8381  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-mbf 22589  df-itg1 22590  df-itg2 22591  df-ibl 22592  df-itg 22593  df-0p 22640  df-limc 22833  df-dv 22834

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