Theorem fourierdlem16 31746

Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem16.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem16.c	|- C = ( -u pi (,) pi )
fourierdlem16.fibl	|- ( ph -> ( F |` C ) e. L^1 )
fourierdlem16.a	|- A = ( n e. NN0 |-> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
fourierdlem16.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem16	|- ( ph -> ( ( ( A ` N ) e. RR /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 ) /\ S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )

Distinct variable groups:   C, n, x   n, F, x   n, N, x   ph, n, x

Allowed substitution hints:   A( x, n)

Proof of Theorem fourierdlem16

Dummy variables b y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 |- ( ph -> ph )
2		fourierdlem16.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		fourierdlem16.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : RR --> RR )
4	3	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> F : RR --> RR )
5		ioossre 11598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u pi (,) pi ) C_ RR
6		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. C -> x e. C )
7		fourierdlem16.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- C = ( -u pi (,) pi )
8	6, 7	syl6eleq 2565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. C -> x e. ( -u pi (,) pi ) )
9	5, 8	sseldi 3507	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. C -> x e. RR )
10	9	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. RR )
11	4, 10	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. RR )
12	11	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. RR )
13		nn0re 10816	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> n e. RR )
14	13	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> n e. RR )
15	9	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> x e. RR )
16	14, 15	remulcld 9636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> ( n x. x ) e. RR )
17	16	recoscld 13757	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR )
18	17	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR )
19	12, 18	remulcld 9636	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. RR )
20		ioombl 21843	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u pi (,) pi ) e. dom vol
21	7, 20	eqeltri 2551	. . . . . . . . . . 11 |- C e. dom vol
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> C e. dom vol )
23		eqidd 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
24		eqidd 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
25	22, 18, 12, 23, 24	offval2 6551	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) = ( x e. C |-> ( ( cos ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) ) )
26	18	recnd 9634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. CC )
27	12	recnd 9634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. CC )
28	26, 27	mulcomd 9629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( ( cos ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) = ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
29	28	mpteq2dva 4539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( cos ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) )
30	25, 29	eqtr2d 2509	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) = ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) )
31	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> C e. dom vol )
32		coscn 22707	. . . . . . . . . . . . 13 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
34	7, 5	eqsstri 3539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C C_ RR
35		ax-resscn 9561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- RR C_ CC
36	34, 35	sstri 3518	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C C_ CC
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> C C_ CC )
38	13	recnd 9634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> n e. CC )
39		ssid 3528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- CC C_ CC
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> CC C_ CC )
41	37, 38, 40	constcncfg 31532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> n ) e. ( C -cn-> CC ) )
42		cncfmptid 21284	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC ) )
43	36, 39, 42	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC )
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC ) )
45	41, 44	mulcncf 21727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( n x. x ) ) e. ( C -cn-> CC ) )
46	33, 45	cncfmpt1f 21285	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. ( C -cn-> CC ) )
47		cnmbf 21934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. dom vol /\ ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. ( C -cn-> CC ) ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn )
48	31, 46, 47	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn )
50	3	feqmptd 5927	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F = ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) )
51	50	reseq1d 5278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F |` C ) = ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) )
52		resmpt 5329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C C_ RR -> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
53	34, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
55		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
56	51, 54, 55	3eqtrrd 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) = ( F |` C ) )
57		fourierdlem16.fibl	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F |` C ) e. L^1 )
58	56, 57	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )
59	58	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )
60		1re 9607	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> 1 e. RR )
62		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> n e. NN0 )
63		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
64		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x n e. NN0
65		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x y
66		nfmpt1 4542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) )
67	66	nfdm 5250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) )
68	65, 67	nfel 2642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) )
69	64, 68	nfan 1875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
70	17	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR ) )
71	70	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> ( x e. C -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR ) )
72	69, 71	ralrimi 2867	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> A. x e. C ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR )
73		dmmptg 5510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. C ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR -> dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = C )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = C )
75	63, 74	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> y e. C )
76		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
77		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( n x. x ) = ( n x. y ) )
78	77	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( cos ` ( n x. x ) ) = ( cos ` ( n x. y ) ) )
79	78	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) /\ x = y ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) = ( cos ` ( n x. y ) ) )
80		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> y e. C )
81	13	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> n e. RR )
82	34, 80	sseldi 3507	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> y e. RR )
83	81, 82	remulcld 9636	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( n x. y ) e. RR )
84	83	recoscld 13757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( cos ` ( n x. y ) ) e. RR )
85	76, 79, 80, 84	fvmptd 5962	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) = ( cos ` ( n x. y ) ) )
86	85	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) = ( abs ` ( cos ` ( n x. y ) ) ) )
87		abscosbd 31360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n x. y ) e. RR -> ( abs ` ( cos ` ( n x. y ) ) ) <_ 1 )
88	83, 87	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( cos ` ( n x. y ) ) ) <_ 1 )
89	86, 88	eqbrtrd 4473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
90	62, 75, 89	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
91	90	ralrimiva 2881	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
92		breq2 4457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = 1 -> ( ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) )
93	92	ralbidv 2906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = 1 -> ( A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b <-> A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) )
94	93	rspcev 3219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b )
95	61, 91, 94	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b )
96	95	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b )
97		bddmulibl 22113	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 /\ E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) e. L^1 )
98	49, 59, 96, 97	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) e. L^1 )
99	30, 98	eqeltrd 2555	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) e. L^1 )
100	19, 99	itgrecl 22072	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR )
101		pire 22718	. . . . . . 7 |- pi e. RR
102	101	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> pi e. RR )
103		0re 9608	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
104		pipos 22720	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
105		ltne 9693	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < pi ) -> pi =/= 0 )
106	103, 104, 105	mp2an 672	. . . . . . 7 |- pi =/= 0
107	106	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> pi =/= 0 )
108	100, 102, 107	redivcld 10384	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) e. RR )
109		fourierdlem16.a	. . . . 5 |- A = ( n e. NN0 |-> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
110	108, 109	fmptd 6056	. . . 4 |- ( ph -> A : NN0 --> RR )
111	110	ffvelrnda 6032	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> ( A ` N ) e. RR )
112	1, 2, 111	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( A ` N ) e. RR )
113	1, 2	jca 532	. . 3 |- ( ph -> ( ph /\ N e. NN0 ) )
114		eleq1 2539	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( n e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
115	114	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( n = N -> ( ( ph /\ n e. NN0 ) <-> ( ph /\ N e. NN0 ) ) )
116		simpl 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> n = N )
117	116	oveq1d 6310	. . . . . . . . 9 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( n x. x ) = ( N x. x ) )
118	117	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) = ( cos ` ( N x. x ) ) )
119	118	oveq2d 6311	. . . . . . 7 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) = ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
120	119	itgeq2dv 22056	. . . . . 6 |- ( n = N -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x = S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
121	120	eleq1d 2536	. . . . 5 |- ( n = N -> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR <-> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )
122	115, 121	imbi12d 320	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR ) <-> ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) ) )
123	122, 100	vtoclg 3176	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )
124	2, 113, 123	sylc 60	. 2 |- ( ph -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR )
125	112, 58, 124	jca31 534	1 |- ( ph -> ( ( ( A ` N ) e. RR /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 ) /\ S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   C_ wss 3481   class class class wbr 4453   |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   |` cres 5007   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   oFcof 6533   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   x. cmul 9509   < clt 9640   <_ cle 9641   -ucneg 9818   / cdiv 10218   NN0cn0 10807   (,)cioo 11541   abscabs 13047   cosccos 13679   picpi 13681   -cn->ccncf 21248   volcvol 21743  MblFncmbf 21891   L^1cibl 21894   S.citg 21895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-itg2 21898  df-ibl 21899  df-itg 21900  df-0p 21945  df-limc 22138  df-dv 22139

This theorem is referenced by:  fourierdlem83  31813  fourierdlem112  31842