Theorem fourierdlem16 38097

Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem16.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem16.c	|- C = ( -u pi (,) pi )
fourierdlem16.fibl	|- ( ph -> ( F |` C ) e. L^1 )
fourierdlem16.a	|- A = ( n e. NN0 |-> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
fourierdlem16.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem16	|- ( ph -> ( ( ( A ` N ) e. RR /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 ) /\ S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )

Distinct variable groups:   C, n, x   n, F, x   n, N, x   ph, n, x

Allowed substitution hints:   A( x, n)

Proof of Theorem fourierdlem16

Dummy variables b y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem16.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2	1	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> F : RR --> RR )
3		ioossre 11721	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi (,) pi ) C_ RR
4		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. C -> x e. C )
5		fourierdlem16.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( -u pi (,) pi )
6	4, 5	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. C -> x e. ( -u pi (,) pi ) )
7	3, 6	sseldi 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. C -> x e. RR )
8	7	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. RR )
9	2, 8	ffvelrnd 6038	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. RR )
10	9	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. RR )
11		nn0re 10902	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. RR )
12	11	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> n e. RR )
13	7	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> x e. RR )
14	12, 13	remulcld 9689	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> ( n x. x ) e. RR )
15	14	recoscld 14275	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN0 /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR )
16	15	adantll 728	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR )
17	10, 16	remulcld 9689	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. RR )
18		ioombl 22597	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi (,) pi ) e. dom vol
19	5, 18	eqeltri 2545	. . . . . . . . . 10 |- C e. dom vol
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> C e. dom vol )
21		eqidd 2472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
22		eqidd 2472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
23	20, 16, 10, 21, 22	offval2 6567	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) = ( x e. C |-> ( ( cos ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) ) )
24	16	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. CC )
25	10	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( F ` x ) e. CC )
26	24, 25	mulcomd 9682	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ x e. C ) -> ( ( cos ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) = ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
27	26	mpteq2dva 4482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( cos ` ( n x. x ) ) x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) )
28	23, 27	eqtr2d 2506	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) = ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) )
29		coscn 23479	. . . . . . . . . . . 12 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
31	5, 3	eqsstri 3448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C C_ RR
32		ax-resscn 9614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR C_ CC
33	31, 32	sstri 3427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- C C_ CC
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> C C_ CC )
35	11	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> n e. CC )
36		ssid 3437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC C_ CC
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> CC C_ CC )
38	34, 35, 37	constcncfg 37845	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> n ) e. ( C -cn-> CC ) )
39		cncfmptid 22022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC ) )
40	33, 36, 39	mp2an 686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> x ) e. ( C -cn-> CC ) )
42	38, 41	mulcncf 22476	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( n x. x ) ) e. ( C -cn-> CC ) )
43	30, 42	cncfmpt1f 22023	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. ( C -cn-> CC ) )
44		cnmbf 22694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. dom vol /\ ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. ( C -cn-> CC ) ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn )
45	19, 43, 44	sylancr 676	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn )
46	45	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn )
47	1	feqmptd 5932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F = ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) )
48	47	reseq1d 5110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F |` C ) = ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) )
49		resmpt 5160	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C C_ RR -> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
50	31, 49	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) |` C ) = ( x e. C |-> ( F ` x ) ) )
51	48, 50	eqtr2d 2506	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) = ( F |` C ) )
52		fourierdlem16.fibl	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F |` C ) e. L^1 )
53	51, 52	eqeltrd 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )
54	53	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )
55		1re 9660	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
56		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
57		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x n e. NN0
58		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) )
59	58	nfdm 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) )
60	59	nfcri 2606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) )
61	57, 60	nfan 2031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
62	15	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( x e. C -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR ) )
63	62	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> ( x e. C -> ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR ) )
64	61, 63	ralrimi 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> A. x e. C ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR )
65		dmmptg 5339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. C ( cos ` ( n x. x ) ) e. RR -> dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = C )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = C )
67	56, 66	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> y e. C )
68		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) = ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) )
69		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( n x. x ) = ( n x. y ) )
70	69	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( cos ` ( n x. x ) ) = ( cos ` ( n x. y ) ) )
71	70	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) /\ x = y ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) = ( cos ` ( n x. y ) ) )
72		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> y e. C )
73	11	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> n e. RR )
74	31, 72	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> y e. RR )
75	73, 74	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( n x. y ) e. RR )
76	75	recoscld 14275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( cos ` ( n x. y ) ) e. RR )
77	68, 71, 72, 76	fvmptd 5969	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) = ( cos ` ( n x. y ) ) )
78	77	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) = ( abs ` ( cos ` ( n x. y ) ) ) )
79		abscosbd 37578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n x. y ) e. RR -> ( abs ` ( cos ` ( n x. y ) ) ) <_ 1 )
80	75, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( cos ` ( n x. y ) ) ) <_ 1 )
81	78, 80	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. C ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
82	67, 81	syldan 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN0 /\ y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
83	82	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
84		breq2 4399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = 1 -> ( ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) )
85	84	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = 1 -> ( A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b <-> A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) )
86	85	rspcev 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ 1 ) -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b )
87	55, 83, 86	sylancr 676	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b )
88	87	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b )
89		bddmulibl 22875	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) e. MblFn /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 /\ E. b e. RR A. y e. dom ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ( abs ` ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) ` y ) ) <_ b ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) e. L^1 )
90	46, 54, 88, 89	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( x e. C |-> ( cos ` ( n x. x ) ) ) oF x. ( x e. C |-> ( F ` x ) ) ) e. L^1 )
91	28, 90	eqeltrd 2549	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( x e. C |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) ) e. L^1 )
92	17, 91	itgrecl 22834	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR )
93		pire 23492	. . . . . 6 |- pi e. RR
94	93	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> pi e. RR )
95		0re 9661	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
96		pipos 23494	. . . . . . 7 |- 0 < pi
97	95, 96	gtneii 9764	. . . . . 6 |- pi =/= 0
98	97	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> pi =/= 0 )
99	92, 94, 98	redivcld 10457	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) e. RR )
100		fourierdlem16.a	. . . 4 |- A = ( n e. NN0 |-> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
101	99, 100	fmptd 6061	. . 3 |- ( ph -> A : NN0 --> RR )
102		fourierdlem16.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
103	101, 102	ffvelrnd 6038	. 2 |- ( ph -> ( A ` N ) e. RR )
104	102	ancli 560	. . 3 |- ( ph -> ( ph /\ N e. NN0 ) )
105		eleq1 2537	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( n e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
106	105	anbi2d 718	. . . . 5 |- ( n = N -> ( ( ph /\ n e. NN0 ) <-> ( ph /\ N e. NN0 ) ) )
107		simpl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> n = N )
108	107	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( n x. x ) = ( N x. x ) )
109	108	fveq2d 5883	. . . . . . . 8 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( cos ` ( n x. x ) ) = ( cos ` ( N x. x ) ) )
110	109	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( ( n = N /\ x e. C ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) = ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
111	110	itgeq2dv 22818	. . . . . 6 |- ( n = N -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x = S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
112	111	eleq1d 2533	. . . . 5 |- ( n = N -> ( S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR <-> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )
113	106, 112	imbi12d 327	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x e. RR ) <-> ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) ) )
114	113, 92	vtoclg 3093	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )
115	102, 104, 114	sylc 61	. 2 |- ( ph -> S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR )
116	103, 53, 115	jca31 543	1 |- ( ph -> ( ( ( A ` N ) e. RR /\ ( x e. C |-> ( F ` x ) ) e. L^1 ) /\ S. C ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x e. RR ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   oFcof 6548   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   x. cmul 9562   <_ cle 9694   -ucneg 9881   / cdiv 10291   NN0cn0 10893   (,)cioo 11660   abscabs 13374   cosccos 14194   picpi 14196   -cn->ccncf 21986   volcvol 22493  MblFncmbf 22651   L^1cibl 22654   S.citg 22655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901

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