Theorem fourierdlem15 32065

Description: The range of the partition is between its starting point and its ending point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem15.1	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem15.2	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem15.3	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem15	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )

Distinct variable groups:   A, i, m, p   B, i, m, p   i, M, m, p   Q, i, p   ph, i

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   P( i, m, p)   Q( m)

Proof of Theorem fourierdlem15

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem15.3	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
2		fourierdlem15.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
3		fourierdlem15.1	. . . . . . . 8 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
4	3	fourierdlem2 32052	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
5	2, 4	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
6	1, 5	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
7	6	simpld 459	. . . 4 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
8		reex 9600	. . . . . 6 |- RR e. _V
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. _V )
10		ovex 6324	. . . . . 6 |- ( 0 ... M ) e. _V
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. _V )
12	9, 11	elmapd 7452	. . . 4 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) <-> Q : ( 0 ... M ) --> RR ) )
13	7, 12	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
14		ffn 5737	. . 3 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Q Fn ( 0 ... M ) )
15	13, 14	syl 16	. 2 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
16	6	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
17	16	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) )
18	17	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
19		nnnn0 10823	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
20		nn0uz 11140	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
21	19, 20	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
22	2, 21	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
23		eluzfz1 11718	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
25	13, 24	ffvelrnd 6033	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
26	18, 25	eqeltrrd 2546	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
27	26	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> A e. RR )
28	17	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
29		eluzfz2 11719	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
30	22, 29	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
31	13, 30	ffvelrnd 6033	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR )
32	28, 31	eqeltrrd 2546	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
33	32	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> B e. RR )
34	13	ffvelrnda 6032	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
35	18	eqcomd 2465	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = ( Q ` 0 ) )
36	35	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> A = ( Q ` 0 ) )
37		elfzuz 11709	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
38	37	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
39	13	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
40		elfzle1 11714	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... i ) -> 0 <_ j )
41	40	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> 0 <_ j )
42		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... i ) -> j e. ZZ )
43	42	zred 10990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... i ) -> j e. RR )
44	43	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j e. RR )
45		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. ZZ )
46	45	zred 10990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. RR )
47	46	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> i e. RR )
48		elfzel2 11711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. ZZ )
49	48	zred 10990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. RR )
50	49	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> M e. RR )
51		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... i ) -> j <_ i )
52	51	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j <_ i )
53		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i <_ M )
54	53	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> i <_ M )
55	44, 47, 50, 52, 54	letrd 9756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j <_ M )
56	42	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j e. ZZ )
57		0zd 10897	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> 0 e. ZZ )
58	48	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> M e. ZZ )
59		elfz 11703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( j e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ j /\ j <_ M ) ) )
60	56, 57, 58, 59	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> ( j e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ j /\ j <_ M ) ) )
61	41, 55, 60	mpbir2and 922	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
62	61	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
63	39, 62	ffvelrnd 6033	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> ( Q ` j ) e. RR )
64		simpll 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ph )
65		elfzle1 11714	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) -> 0 <_ j )
66	65	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> 0 <_ j )
67		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) -> j e. ZZ )
68	67	zred 10990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) -> j e. RR )
69	68	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j e. RR )
70	46	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> i e. RR )
71	49	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> M e. RR )
72		peano2rem 9905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. RR -> ( i - 1 ) e. RR )
73	70, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ( i - 1 ) e. RR )
74		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) -> j <_ ( i - 1 ) )
75	74	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j <_ ( i - 1 ) )
76	70	ltm1d 10498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ( i - 1 ) < i )
77	69, 73, 70, 75, 76	lelttrd 9757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j < i )
78	53	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> i <_ M )
79	69, 70, 71, 77, 78	ltletrd 9759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j < M )
80	67	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
81		0zd 10897	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
82	48	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
83		elfzo 11827	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( j e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ j /\ j < M ) ) )
84	80, 81, 82, 83	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ( j e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ j /\ j < M ) ) )
85	66, 79, 84	mpbir2and 922	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j e. ( 0..^ M ) )
86	85	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j e. ( 0..^ M ) )
87	13	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
88		elfzofz 11840	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j e. ( 0 ... M ) )
89	88	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
90	87, 89	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` j ) e. RR )
91		fzofzp1 11911	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
92	91	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
93	87, 92	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( j + 1 ) ) e. RR )
94		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> j e. ( 0..^ M ) ) )
95	94	anbi2d 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) ) )
96		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( Q ` i ) = ( Q ` j ) )
97		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( i + 1 ) = ( j + 1 ) )
98	97	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) )
99	96, 98	breq12d 4469	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) <-> ( Q ` j ) < ( Q ` ( j + 1 ) ) ) )
100	95, 99	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( j + 1 ) ) ) ) )
101	16	simprd 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
102	101	r19.21bi 2826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
103	100, 102	chvarv 2015	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( j + 1 ) ) )
104	90, 93, 103	ltled 9750	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` j ) <_ ( Q ` ( j + 1 ) ) )
105	64, 86, 104	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ( Q ` j ) <_ ( Q ` ( j + 1 ) ) )
106	38, 63, 105	monoord 12139	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
107	36, 106	eqbrtrd 4476	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> A <_ ( Q ` i ) )
108		elfzuz3 11710	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. ( ZZ>= ` i ) )
109	108	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> M e. ( ZZ>= ` i ) )
110	13	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
111		fz0fzelfz0 11805	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
112	111	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
113	110, 112	ffvelrnd 6033	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... M ) ) -> ( Q ` j ) e. RR )
114	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
115		0red 9614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
116	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> i e. RR )
117		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> j e. ZZ )
118	117	zred 10990	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> j e. RR )
119	118	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. RR )
120		elfzle1 11714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> 0 <_ i )
121	120	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ i )
122		elfzle1 11714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> i <_ j )
123	122	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> i <_ j )
124	115, 116, 119, 121, 123	letrd 9756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ j )
125	124	adantll 713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ j )
126	118	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. RR )
127	2	nnred 10571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. RR )
128	127	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> M e. RR )
129		1red 9628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
130	128, 129	resubcld 10008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( M - 1 ) e. RR )
131		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> j <_ ( M - 1 ) )
132	131	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j <_ ( M - 1 ) )
133	128	ltm1d 10498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( M - 1 ) < M )
134	126, 130, 128, 132, 133	lelttrd 9757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j < M )
135	126, 128, 134	ltled 9750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j <_ M )
136	135	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j <_ M )
137	117	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
138		0zd 10897	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
139	48	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
140	137, 138, 139, 59	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ j /\ j <_ M ) ) )
141	125, 136, 140	mpbir2and 922	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
142	114, 141	ffvelrnd 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` j ) e. RR )
143	118	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. RR )
144		1red 9628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
145		0le1 10097	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 1
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ 1 )
147	143, 144, 125, 146	addge0d 10149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( j + 1 ) )
148	126, 130, 129, 132	leadd1dd 10187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) <_ ( ( M - 1 ) + 1 ) )
149	2	nncnd 10572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. CC )
150	149	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> M e. CC )
151		1cnd 9629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
152	150, 151	npcand 9954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( ( M - 1 ) + 1 ) = M )
153	148, 152	breqtrd 4480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) <_ M )
154	153	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) <_ M )
155	137	peano2zd 10993	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
156		elfz 11703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j + 1 ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ ( j + 1 ) /\ ( j + 1 ) <_ M ) ) )
157	155, 138, 139, 156	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ ( j + 1 ) /\ ( j + 1 ) <_ M ) ) )
158	147, 154, 157	mpbir2and 922	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
159	114, 158	ffvelrnd 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` ( j + 1 ) ) e. RR )
160		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ph )
161	134	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j < M )
162	137, 138, 139, 83	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ j /\ j < M ) ) )
163	125, 161, 162	mpbir2and 922	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. ( 0..^ M ) )
164	160, 163, 103	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( j + 1 ) ) )
165	142, 159, 164	ltled 9750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` j ) <_ ( Q ` ( j + 1 ) ) )
166	109, 113, 165	monoord 12139	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
167	28	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` M ) = B )
168	166, 167	breqtrd 4480	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) <_ B )
169	27, 33, 34, 107, 168	eliccd 31699	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( A [,] B ) )
170	169	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( ph -> A. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) e. ( A [,] B ) )
171		fnfvrnss 6060	. . 3 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ A. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) e. ( A [,] B ) ) -> ran Q C_ ( A [,] B ) )
172	15, 170, 171	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ran Q C_ ( A [,] B ) )
173		df-f 5598	. 2 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) <-> ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ ran Q C_ ( A [,] B ) ) )
174	15, 172, 173	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   ran crn 5009   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ^m cmap 7438   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   [,]cicc 11557   ...cfz 11697  ..^cfzo 11820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821

This theorem is referenced by:  fourierdlem38  32088  fourierdlem50  32100  fourierdlem54  32104  fourierdlem63  32113  fourierdlem65  32115  fourierdlem69  32119  fourierdlem70  32120  fourierdlem74  32124  fourierdlem75  32125  fourierdlem76  32126  fourierdlem79  32129  fourierdlem81  32131  fourierdlem84  32134  fourierdlem85  32135  fourierdlem88  32138  fourierdlem89  32139  fourierdlem90  32140  fourierdlem91  32141  fourierdlem92  32142  fourierdlem93  32143  fourierdlem100  32150  fourierdlem101  32151  fourierdlem103  32153  fourierdlem104  32154  fourierdlem107  32157  fourierdlem111  32161  fourierdlem112  32162  fourierdlem113  32163