Theorem fourierdlem15 38021

Description: The range of the partition is between its starting point and its ending point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem15.1	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem15.2	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem15.3	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem15	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )

Distinct variable groups:   A, i, m, p   B, i, m, p   i, M, m, p   Q, i, p   ph, i

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   P( i, m, p)   Q( m)

Proof of Theorem fourierdlem15

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem15.3	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
2		fourierdlem15.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
3		fourierdlem15.1	. . . . . . . 8 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
4	3	fourierdlem2 38008	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
6	1, 5	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
7	6	simpld 465	. . . 4 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
8		reex 9655	. . . . . 6 |- RR e. _V
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. _V )
10		ovex 6342	. . . . . 6 |- ( 0 ... M ) e. _V
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. _V )
12	9, 11	elmapd 7511	. . . 4 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) <-> Q : ( 0 ... M ) --> RR ) )
13	7, 12	mpbid 215	. . 3 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
14		ffn 5750	. . 3 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Q Fn ( 0 ... M ) )
15	13, 14	syl 17	. 2 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
16	6	simprd 469	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
17	16	simpld 465	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) )
18	17	simpld 465	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = A )
19		nnnn0 10904	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
20		nn0uz 11221	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
21	19, 20	syl6eleq 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
22	2, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
23		eluzfz1 11834	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
25	13, 24	ffvelrnd 6045	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
26	18, 25	eqeltrrd 2540	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
27	26	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> A e. RR )
28	17	simprd 469	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` M ) = B )
29		eluzfz2 11835	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
30	22, 29	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
31	13, 30	ffvelrnd 6045	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR )
32	28, 31	eqeltrrd 2540	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
33	32	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> B e. RR )
34	13	ffvelrnda 6044	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
35	18	eqcomd 2467	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = ( Q ` 0 ) )
36	35	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> A = ( Q ` 0 ) )
37		elfzuz 11824	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
38	37	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
39	13	ad2antrr 737	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
40		elfzle1 11830	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... i ) -> 0 <_ j )
41	40	adantl 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> 0 <_ j )
42		elfzelz 11828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... i ) -> j e. ZZ )
43	42	zred 11068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... i ) -> j e. RR )
44	43	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j e. RR )
45		elfzelz 11828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. ZZ )
46	45	zred 11068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. RR )
47	46	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> i e. RR )
48		elfzel2 11826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. ZZ )
49	48	zred 11068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. RR )
50	49	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> M e. RR )
51		elfzle2 11831	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... i ) -> j <_ i )
52	51	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j <_ i )
53		elfzle2 11831	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i <_ M )
54	53	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> i <_ M )
55	44, 47, 50, 52, 54	letrd 9817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j <_ M )
56	42	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j e. ZZ )
57		0zd 10977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> 0 e. ZZ )
58	48	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> M e. ZZ )
59		elfz 11818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( j e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ j /\ j <_ M ) ) )
60	56, 57, 58, 59	syl3anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> ( j e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ j /\ j <_ M ) ) )
61	41, 55, 60	mpbir2and 938	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
62	61	adantll 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
63	39, 62	ffvelrnd 6045	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... i ) ) -> ( Q ` j ) e. RR )
64		simpll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ph )
65		elfzle1 11830	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) -> 0 <_ j )
66	65	adantl 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> 0 <_ j )
67		elfzelz 11828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) -> j e. ZZ )
68	67	zred 11068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) -> j e. RR )
69	68	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j e. RR )
70	46	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> i e. RR )
71	49	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> M e. RR )
72		peano2rem 9966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. RR -> ( i - 1 ) e. RR )
73	70, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ( i - 1 ) e. RR )
74		elfzle2 11831	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) -> j <_ ( i - 1 ) )
75	74	adantl 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j <_ ( i - 1 ) )
76	70	ltm1d 10566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ( i - 1 ) < i )
77	69, 73, 70, 75, 76	lelttrd 9818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j < i )
78	53	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> i <_ M )
79	69, 70, 71, 77, 78	ltletrd 9820	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j < M )
80	67	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
81		0zd 10977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
82	48	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
83		elfzo 11952	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( j e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ j /\ j < M ) ) )
84	80, 81, 82, 83	syl3anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ( j e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ j /\ j < M ) ) )
85	66, 79, 84	mpbir2and 938	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j e. ( 0..^ M ) )
86	85	adantll 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> j e. ( 0..^ M ) )
87	13	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
88		elfzofz 11965	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j e. ( 0 ... M ) )
89	88	adantl 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
90	87, 89	ffvelrnd 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` j ) e. RR )
91		fzofzp1 12038	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
92	91	adantl 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
93	87, 92	ffvelrnd 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( j + 1 ) ) e. RR )
94		eleq1 2527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> j e. ( 0..^ M ) ) )
95	94	anbi2d 715	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) ) )
96		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( Q ` i ) = ( Q ` j ) )
97		oveq1 6321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( i + 1 ) = ( j + 1 ) )
98	97	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) )
99	96, 98	breq12d 4428	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) <-> ( Q ` j ) < ( Q ` ( j + 1 ) ) ) )
100	95, 99	imbi12d 326	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( j + 1 ) ) ) ) )
101	16	simprd 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
102	101	r19.21bi 2768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
103	100, 102	chvarv 2117	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( j + 1 ) ) )
104	90, 93, 103	ltled 9808	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` j ) <_ ( Q ` ( j + 1 ) ) )
105	64, 86, 104	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ( Q ` j ) <_ ( Q ` ( j + 1 ) ) )
106	38, 63, 105	monoord 12274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
107	36, 106	eqbrtrd 4436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> A <_ ( Q ` i ) )
108		elfzuz3 11825	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. ( ZZ>= ` i ) )
109	108	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> M e. ( ZZ>= ` i ) )
110	13	ad2antrr 737	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
111		fz0fzelfz0 11925	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
112	111	adantll 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
113	110, 112	ffvelrnd 6045	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... M ) ) -> ( Q ` j ) e. RR )
114	13	ad2antrr 737	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
115		0red 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
116	46	adantr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> i e. RR )
117		elfzelz 11828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> j e. ZZ )
118	117	zred 11068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> j e. RR )
119	118	adantl 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. RR )
120		elfzle1 11830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> 0 <_ i )
121	120	adantr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ i )
122		elfzle1 11830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> i <_ j )
123	122	adantl 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> i <_ j )
124	115, 116, 119, 121, 123	letrd 9817	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ j )
125	124	adantll 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ j )
126	118	adantl 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. RR )
127	2	nnred 10651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. RR )
128	127	adantr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> M e. RR )
129		1red 9683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
130	128, 129	resubcld 10074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( M - 1 ) e. RR )
131		elfzle2 11831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( i ... ( M - 1 ) ) -> j <_ ( M - 1 ) )
132	131	adantl 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j <_ ( M - 1 ) )
133	128	ltm1d 10566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( M - 1 ) < M )
134	126, 130, 128, 132, 133	lelttrd 9818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j < M )
135	126, 128, 134	ltled 9808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j <_ M )
136	135	adantlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j <_ M )
137	117	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
138		0zd 10977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
139	48	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
140	137, 138, 139, 59	syl3anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ j /\ j <_ M ) ) )
141	125, 136, 140	mpbir2and 938	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
142	114, 141	ffvelrnd 6045	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` j ) e. RR )
143	118	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. RR )
144		1red 9683	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
145		0le1 10164	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 1
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ 1 )
147	143, 144, 125, 146	addge0d 10216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( j + 1 ) )
148	126, 130, 129, 132	leadd1dd 10254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) <_ ( ( M - 1 ) + 1 ) )
149	2	nncnd 10652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. CC )
150	149	adantr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> M e. CC )
151		1cnd 9684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
152	150, 151	npcand 10015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( ( M - 1 ) + 1 ) = M )
153	148, 152	breqtrd 4440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) <_ M )
154	153	adantlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) <_ M )
155	137	peano2zd 11071	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
156		elfz 11818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j + 1 ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ ( j + 1 ) /\ ( j + 1 ) <_ M ) ) )
157	155, 138, 139, 156	syl3anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ ( j + 1 ) /\ ( j + 1 ) <_ M ) ) )
158	147, 154, 157	mpbir2and 938	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
159	114, 158	ffvelrnd 6045	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` ( j + 1 ) ) e. RR )
160		simpll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ph )
161	134	adantlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j < M )
162	137, 138, 139, 83	syl3anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( j e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ j /\ j < M ) ) )
163	125, 161, 162	mpbir2and 938	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> j e. ( 0..^ M ) )
164	160, 163, 103	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( j + 1 ) ) )
165	142, 159, 164	ltled 9808	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ j e. ( i ... ( M - 1 ) ) ) -> ( Q ` j ) <_ ( Q ` ( j + 1 ) ) )
166	109, 113, 165	monoord 12274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
167	28	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` M ) = B )
168	166, 167	breqtrd 4440	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) <_ B )
169	27, 33, 34, 107, 168	eliccd 37638	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( A [,] B ) )
170	169	ralrimiva 2813	. . 3 |- ( ph -> A. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) e. ( A [,] B ) )
171		fnfvrnss 6073	. . 3 |- ( ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ A. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) e. ( A [,] B ) ) -> ran Q C_ ( A [,] B ) )
172	15, 170, 171	syl2anc 671	. 2 |- ( ph -> ran Q C_ ( A [,] B ) )
173		df-f 5604	. 2 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) <-> ( Q Fn ( 0 ... M ) /\ ran Q C_ ( A [,] B ) ) )
174	15, 172, 173	sylanbrc 675	1 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   A.wral 2748   {crab 2752   _Vcvv 3056   C_ wss 3415   class class class wbr 4415   |-> cmpt 4474   ran crn 4853   Fn wfn 5595   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   ^m cmap 7497   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565   + caddc 9567   < clt 9700   <_ cle 9701   - cmin 9885   NNcn 10636   NN0cn0 10897   ZZcz 10965   ZZ>=cuz 11187   [,]cicc 11666   ...cfz 11812  ..^cfzo 11945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946

This theorem is referenced by:  fourierdlem38  38045  fourierdlem50  38057  fourierdlem54  38061  fourierdlem63  38070  fourierdlem65  38072  fourierdlem69  38076  fourierdlem70  38077  fourierdlem74  38081  fourierdlem75  38082  fourierdlem76  38083  fourierdlem79  38086  fourierdlem81  38088  fourierdlem84  38091  fourierdlem85  38092  fourierdlem88  38095  fourierdlem89  38096  fourierdlem90  38097  fourierdlem91  38098  fourierdlem92  38099  fourierdlem93  38100  fourierdlem100  38107  fourierdlem101  38108  fourierdlem103  38110  fourierdlem104  38111  fourierdlem107  38114  fourierdlem111  38118  fourierdlem112  38119  fourierdlem113  38120