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Theorem fourierdlem15 37254
Description: The range of the partition is between its starting point and its ending point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem15.1  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem15.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem15.3  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem15  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
Distinct variable groups:    A, i, m, p    B, i, m, p    i, M, m, p    Q, i, p    ph, i
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( i, m, p)    Q( m)

Proof of Theorem fourierdlem15
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem15.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
2 fourierdlem15.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 fourierdlem15.1 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
43fourierdlem2 37241 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
52, 4syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <-> 
( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
61, 5mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
76simpld 457 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
8 reex 9533 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
10 ovex 6262 . . . . . 6  |-  ( 0 ... M )  e. 
_V
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  _V )
129, 11elmapd 7391 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  <-> 
Q : ( 0 ... M ) --> RR ) )
137, 12mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
14 ffn 5670 . . 3  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
1513, 14syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
166simprd 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 0 )  =  A  /\  ( Q `
 M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
1716simpld 457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B ) )
1817simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
19 nnnn0 10763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
20 nn0uz 11079 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2119, 20syl6eleq 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
222, 21syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
23 eluzfz1 11664 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
2513, 24ffvelrnd 5966 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR )
2618, 25eqeltrrd 2491 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2726adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A  e.  RR )
2817simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
29 eluzfz2 11665 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  M  e.  ( 0 ... M
) )
3022, 29syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
3113, 30ffvelrnd 5966 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  e.  RR )
3228, 31eqeltrrd 2491 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3332adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  B  e.  RR )
3413ffvelrnda 5965 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
3518eqcomd 2410 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =  ( Q `
 0 ) )
3635adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A  =  ( Q ` 
0 ) )
37 elfzuz 11655 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
3837adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
3913ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... i
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
40 elfzle1 11660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... i )  ->  0  <_  j )
4140adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  0  <_  j
)
42 elfzelz 11659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... i )  ->  j  e.  ZZ )
4342zred 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... i )  ->  j  e.  RR )
4443adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  j  e.  RR )
45 elfzelz 11659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  i  e.  ZZ )
4645zred 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  i  e.  RR )
4746adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  i  e.  RR )
48 elfzel2 11657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  ZZ )
4948zred 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  RR )
5049adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  M  e.  RR )
51 elfzle2 11661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... i )  ->  j  <_  i )
5251adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  j  <_  i
)
53 elfzle2 11661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  i  <_  M )
5453adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  i  <_  M
)
5544, 47, 50, 52, 54letrd 9693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  j  <_  M
)
5642adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  j  e.  ZZ )
57 0zd 10837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  0  e.  ZZ )
5848adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  M  e.  ZZ )
59 elfz 11649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
j  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  j  /\  j  <_  M ) ) )
6056, 57, 58, 59syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  ( j  e.  ( 0 ... M
)  <->  ( 0  <_ 
j  /\  j  <_  M ) ) )
6141, 55, 60mpbir2and 923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M ) )
6261adantll 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... i
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
6339, 62ffvelrnd 5966 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... i
) )  ->  ( Q `  j )  e.  RR )
64 simpll 752 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ph )
65 elfzle1 11660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) )  ->  0  <_  j )
6665adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  j
)
67 elfzelz 11659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
6867zred 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) )  ->  j  e.  RR )
6968adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  RR )
7046adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
7149adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
72 peano2rem 9842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  RR  ->  (
i  -  1 )  e.  RR )
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  ( i  - 
1 )  e.  RR )
74 elfzle2 11661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) )  ->  j  <_  ( i  -  1 ) )
7574adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  <_  (
i  -  1 ) )
7670ltm1d 10438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  ( i  - 
1 )  <  i
)
7769, 73, 70, 75, 76lelttrd 9694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  <  i
)
7853adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  i  <_  M
)
7969, 70, 71, 77, 78ltletrd 9696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  <  M
)
8067adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
81 0zd 10837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
8248adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
83 elfzo 11774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
j  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  j  /\  j  <  M ) ) )
8480, 81, 82, 83syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  ( j  e.  ( 0..^ M )  <-> 
( 0  <_  j  /\  j  <  M ) ) )
8566, 79, 84mpbir2and 923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0..^ M ) )
8685adantll 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0..^ M ) )
8713adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
88 elfzofz 11787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
8988adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M ) )
9087, 89ffvelrnd 5966 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  j )  e.  RR )
91 fzofzp1 11859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
9291adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
9387, 92ffvelrnd 5966 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
94 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  <->  j  e.  ( 0..^ M ) ) )
9594anbi2d 702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) ) )
96 fveq2 5805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  ( Q `  i )  =  ( Q `  j ) )
97 oveq1 6241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
i  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
9897fveq2d 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( Q `  ( j  +  1 ) ) )
9996, 98breq12d 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
( Q `  i
)  <  ( Q `  ( i  +  1 ) )  <->  ( Q `  j )  <  ( Q `  ( j  +  1 ) ) ) )
10095, 99imbi12d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( Q `  i
)  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  <->  ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
10116simprd 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
102101r19.21bi 2772 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
103100, 102chvarv 2041 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  ( j  +  1 ) ) )
10490, 93, 103ltled 9685 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  j )  <_  ( Q `  ( j  +  1 ) ) )
10564, 86, 104syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  j )  <_  ( Q `  (
j  +  1 ) ) )
10638, 63, 105monoord 12091 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  0 )  <_  ( Q `  i
) )
10736, 106eqbrtrd 4414 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A  <_  ( Q `  i
) )
108 elfzuz3 11656 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  i )
)
109108adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  i )
)
11013ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... M
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
111 fz0fzelfz0 11752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... M ) )  -> 
j  e.  ( 0 ... M ) )
112111adantll 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
113110, 112ffvelrnd 5966 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... M
) )  ->  ( Q `  j )  e.  RR )
11413ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
115 0red 9547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
0  e.  RR )
11646adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
i  e.  RR )
117 elfzelz 11659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
118117zred 10928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) )  ->  j  e.  RR )
119118adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
j  e.  RR )
120 elfzle1 11660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  0  <_  i )
121120adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
0  <_  i )
122 elfzle1 11660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) )  ->  i  <_  j )
123122adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
i  <_  j )
124115, 116, 119, 121, 123letrd 9693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
0  <_  j )
125124adantll 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <_  j )
126118adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  e.  RR )
1272nnred 10511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
128127adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
129 1red 9561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
130128, 129resubcld 9948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
131 elfzle2 11661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) )  ->  j  <_  ( M  -  1 ) )
132131adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  <_  ( M  -  1 ) )
133128ltm1d 10438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( M  -  1 )  <  M )
134126, 130, 128, 132, 133lelttrd 9694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  <  M )
135126, 128, 134ltled 9685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  <_  M )
136135adantlr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  <_  M )
137117adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
138 0zd 10837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
13948ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
140137, 138, 139, 59syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  j  /\  j  <_  M ) ) )
141125, 136, 140mpbir2and 923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
142114, 141ffvelrnd 5966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  j )  e.  RR )
143118adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  e.  RR )
144 1red 9561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
145 0le1 10036 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
146145a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <_  1 )
147143, 144, 125, 146addge0d 10088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( j  +  1 ) )
148126, 130, 129, 132leadd1dd 10126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  <_  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
1492nncnd 10512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
150149adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  CC )
151 1cnd 9562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
152150, 151npcand 9891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
( M  -  1 )  +  1 )  =  M )
153148, 152breqtrd 4418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  <_  M )
154153adantlr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  <_  M )
155137peano2zd 10931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ZZ )
156 elfz 11649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  ( j  +  1 )  /\  (
j  +  1 )  <_  M ) ) )
157155, 138, 139, 156syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  ( j  +  1 )  /\  (
j  +  1 )  <_  M ) ) )
158147, 154, 157mpbir2and 923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
159114, 158ffvelrnd 5966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
160 simpll 752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ph )
161134adantlr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  <  M )
162137, 138, 139, 83syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  j  /\  j  <  M ) ) )
163125, 161, 162mpbir2and 923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0..^ M ) )
164160, 163, 103syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  (
j  +  1 ) ) )
165142, 159, 164ltled 9685 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  j )  <_  ( Q `  (
j  +  1 ) ) )
166109, 113, 165monoord 12091 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  <_  ( Q `  M
) )
16728adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  M )  =  B )
168166, 167breqtrd 4418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  <_  B )
16927, 33, 34, 107, 168eliccd 36888 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  e.  ( A [,] B
) )
170169ralrimiva 2817 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  i
)  e.  ( A [,] B ) )
171 fnfvrnss 5994 . . 3  |-  ( ( Q  Fn  ( 0 ... M )  /\  A. i  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  i )  e.  ( A [,] B ) )  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
17215, 170, 171syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
173 df-f 5529 . 2  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B )  <->  ( Q  Fn  ( 0 ... M
)  /\  ran  Q  C_  ( A [,] B ) ) )
17415, 172, 173sylanbrc 662 1  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   {crab 2757   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   ran crn 4943    Fn wfn 5520   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234    ^m cmap 7377   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443    + caddc 9445    < clt 9578    <_ cle 9579    - cmin 9761   NNcn 10496   NN0cn0 10756   ZZcz 10825   ZZ>=cuz 11045   [,]cicc 11503   ...cfz 11643  ..^cfzo 11767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768
This theorem is referenced by:  fourierdlem38  37277  fourierdlem50  37289  fourierdlem54  37293  fourierdlem63  37302  fourierdlem65  37304  fourierdlem69  37308  fourierdlem70  37309  fourierdlem74  37313  fourierdlem75  37314  fourierdlem76  37315  fourierdlem79  37318  fourierdlem81  37320  fourierdlem84  37323  fourierdlem85  37324  fourierdlem88  37327  fourierdlem89  37328  fourierdlem90  37329  fourierdlem91  37330  fourierdlem92  37331  fourierdlem93  37332  fourierdlem100  37339  fourierdlem101  37340  fourierdlem103  37342  fourierdlem104  37343  fourierdlem107  37346  fourierdlem111  37350  fourierdlem112  37351  fourierdlem113  37352
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