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Theorem fourierdlem15 38021
Description: The range of the partition is between its starting point and its ending point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem15.1  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem15.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem15.3  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem15  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
Distinct variable groups:    A, i, m, p    B, i, m, p    i, M, m, p    Q, i, p    ph, i
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( i, m, p)    Q( m)

Proof of Theorem fourierdlem15
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem15.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
2 fourierdlem15.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 fourierdlem15.1 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
43fourierdlem2 38008 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
52, 4syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <-> 
( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
61, 5mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
76simpld 465 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
8 reex 9655 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
10 ovex 6342 . . . . . 6  |-  ( 0 ... M )  e. 
_V
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  _V )
129, 11elmapd 7511 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  <-> 
Q : ( 0 ... M ) --> RR ) )
137, 12mpbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
14 ffn 5750 . . 3  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
1513, 14syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
166simprd 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 0 )  =  A  /\  ( Q `
 M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
1716simpld 465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B ) )
1817simpld 465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
19 nnnn0 10904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
20 nn0uz 11221 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2119, 20syl6eleq 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
222, 21syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
23 eluzfz1 11834 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
2513, 24ffvelrnd 6045 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR )
2618, 25eqeltrrd 2540 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2726adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A  e.  RR )
2817simprd 469 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
29 eluzfz2 11835 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  M  e.  ( 0 ... M
) )
3022, 29syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
3113, 30ffvelrnd 6045 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  e.  RR )
3228, 31eqeltrrd 2540 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3332adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  B  e.  RR )
3413ffvelrnda 6044 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
3518eqcomd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =  ( Q `
 0 ) )
3635adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A  =  ( Q ` 
0 ) )
37 elfzuz 11824 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
3837adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
3913ad2antrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... i
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
40 elfzle1 11830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... i )  ->  0  <_  j )
4140adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  0  <_  j
)
42 elfzelz 11828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... i )  ->  j  e.  ZZ )
4342zred 11068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... i )  ->  j  e.  RR )
4443adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  j  e.  RR )
45 elfzelz 11828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  i  e.  ZZ )
4645zred 11068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  i  e.  RR )
4746adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  i  e.  RR )
48 elfzel2 11826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  ZZ )
4948zred 11068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  RR )
5049adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  M  e.  RR )
51 elfzle2 11831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... i )  ->  j  <_  i )
5251adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  j  <_  i
)
53 elfzle2 11831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  i  <_  M )
5453adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  i  <_  M
)
5544, 47, 50, 52, 54letrd 9817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  j  <_  M
)
5642adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  j  e.  ZZ )
57 0zd 10977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  0  e.  ZZ )
5848adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  M  e.  ZZ )
59 elfz 11818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
j  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  j  /\  j  <_  M ) ) )
6056, 57, 58, 59syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  ( j  e.  ( 0 ... M
)  <->  ( 0  <_ 
j  /\  j  <_  M ) ) )
6141, 55, 60mpbir2and 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M ) )
6261adantll 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... i
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
6339, 62ffvelrnd 6045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... i
) )  ->  ( Q `  j )  e.  RR )
64 simpll 765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ph )
65 elfzle1 11830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) )  ->  0  <_  j )
6665adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  j
)
67 elfzelz 11828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
6867zred 11068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) )  ->  j  e.  RR )
6968adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  RR )
7046adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
7149adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
72 peano2rem 9966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  RR  ->  (
i  -  1 )  e.  RR )
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  ( i  - 
1 )  e.  RR )
74 elfzle2 11831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) )  ->  j  <_  ( i  -  1 ) )
7574adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  <_  (
i  -  1 ) )
7670ltm1d 10566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  ( i  - 
1 )  <  i
)
7769, 73, 70, 75, 76lelttrd 9818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  <  i
)
7853adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  i  <_  M
)
7969, 70, 71, 77, 78ltletrd 9820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  <  M
)
8067adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
81 0zd 10977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
8248adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
83 elfzo 11952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
j  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  j  /\  j  <  M ) ) )
8480, 81, 82, 83syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  ( j  e.  ( 0..^ M )  <-> 
( 0  <_  j  /\  j  <  M ) ) )
8566, 79, 84mpbir2and 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0..^ M ) )
8685adantll 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0..^ M ) )
8713adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
88 elfzofz 11965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
8988adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M ) )
9087, 89ffvelrnd 6045 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  j )  e.  RR )
91 fzofzp1 12038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
9291adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
9387, 92ffvelrnd 6045 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
94 eleq1 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  <->  j  e.  ( 0..^ M ) ) )
9594anbi2d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) ) )
96 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  ( Q `  i )  =  ( Q `  j ) )
97 oveq1 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
i  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
9897fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( Q `  ( j  +  1 ) ) )
9996, 98breq12d 4428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
( Q `  i
)  <  ( Q `  ( i  +  1 ) )  <->  ( Q `  j )  <  ( Q `  ( j  +  1 ) ) ) )
10095, 99imbi12d 326 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( Q `  i
)  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  <->  ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
10116simprd 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
102101r19.21bi 2768 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
103100, 102chvarv 2117 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  ( j  +  1 ) ) )
10490, 93, 103ltled 9808 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  j )  <_  ( Q `  ( j  +  1 ) ) )
10564, 86, 104syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  j )  <_  ( Q `  (
j  +  1 ) ) )
10638, 63, 105monoord 12274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  0 )  <_  ( Q `  i
) )
10736, 106eqbrtrd 4436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A  <_  ( Q `  i
) )
108 elfzuz3 11825 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  i )
)
109108adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  i )
)
11013ad2antrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... M
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
111 fz0fzelfz0 11925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... M ) )  -> 
j  e.  ( 0 ... M ) )
112111adantll 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
113110, 112ffvelrnd 6045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... M
) )  ->  ( Q `  j )  e.  RR )
11413ad2antrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
115 0red 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
0  e.  RR )
11646adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
i  e.  RR )
117 elfzelz 11828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
118117zred 11068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) )  ->  j  e.  RR )
119118adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
j  e.  RR )
120 elfzle1 11830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  0  <_  i )
121120adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
0  <_  i )
122 elfzle1 11830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) )  ->  i  <_  j )
123122adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
i  <_  j )
124115, 116, 119, 121, 123letrd 9817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
0  <_  j )
125124adantll 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <_  j )
126118adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  e.  RR )
1272nnred 10651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
128127adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
129 1red 9683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
130128, 129resubcld 10074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
131 elfzle2 11831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) )  ->  j  <_  ( M  -  1 ) )
132131adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  <_  ( M  -  1 ) )
133128ltm1d 10566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( M  -  1 )  <  M )
134126, 130, 128, 132, 133lelttrd 9818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  <  M )
135126, 128, 134ltled 9808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  <_  M )
136135adantlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  <_  M )
137117adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
138 0zd 10977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
13948ad2antlr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
140137, 138, 139, 59syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  j  /\  j  <_  M ) ) )
141125, 136, 140mpbir2and 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
142114, 141ffvelrnd 6045 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  j )  e.  RR )
143118adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  e.  RR )
144 1red 9683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
145 0le1 10164 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
146145a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <_  1 )
147143, 144, 125, 146addge0d 10216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( j  +  1 ) )
148126, 130, 129, 132leadd1dd 10254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  <_  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
1492nncnd 10652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
150149adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  CC )
151 1cnd 9684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
152150, 151npcand 10015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
( M  -  1 )  +  1 )  =  M )
153148, 152breqtrd 4440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  <_  M )
154153adantlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  <_  M )
155137peano2zd 11071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ZZ )
156 elfz 11818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  ( j  +  1 )  /\  (
j  +  1 )  <_  M ) ) )
157155, 138, 139, 156syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  ( j  +  1 )  /\  (
j  +  1 )  <_  M ) ) )
158147, 154, 157mpbir2and 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
159114, 158ffvelrnd 6045 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
160 simpll 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ph )
161134adantlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  <  M )
162137, 138, 139, 83syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  j  /\  j  <  M ) ) )
163125, 161, 162mpbir2and 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0..^ M ) )
164160, 163, 103syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  (
j  +  1 ) ) )
165142, 159, 164ltled 9808 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  j )  <_  ( Q `  (
j  +  1 ) ) )
166109, 113, 165monoord 12274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  <_  ( Q `  M
) )
16728adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  M )  =  B )
168166, 167breqtrd 4440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  <_  B )
16927, 33, 34, 107, 168eliccd 37638 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  e.  ( A [,] B
) )
170169ralrimiva 2813 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  i
)  e.  ( A [,] B ) )
171 fnfvrnss 6073 . . 3  |-  ( ( Q  Fn  ( 0 ... M )  /\  A. i  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  i )  e.  ( A [,] B ) )  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
17215, 170, 171syl2anc 671 . 2  |-  ( ph  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
173 df-f 5604 . 2  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B )  <->  ( Q  Fn  ( 0 ... M
)  /\  ran  Q  C_  ( A [,] B ) ) )
17415, 172, 173sylanbrc 675 1  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   {crab 2752   _Vcvv 3056    C_ wss 3415   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474   ran crn 4853    Fn wfn 5595   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    ^m cmap 7497   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565    + caddc 9567    < clt 9700    <_ cle 9701    - cmin 9885   NNcn 10636   NN0cn0 10897   ZZcz 10965   ZZ>=cuz 11187   [,]cicc 11666   ...cfz 11812  ..^cfzo 11945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946
This theorem is referenced by:  fourierdlem38  38045  fourierdlem50  38057  fourierdlem54  38061  fourierdlem63  38070  fourierdlem65  38072  fourierdlem69  38076  fourierdlem70  38077  fourierdlem74  38081  fourierdlem75  38082  fourierdlem76  38083  fourierdlem79  38086  fourierdlem81  38088  fourierdlem84  38091  fourierdlem85  38092  fourierdlem88  38095  fourierdlem89  38096  fourierdlem90  38097  fourierdlem91  38098  fourierdlem92  38099  fourierdlem93  38100  fourierdlem100  38107  fourierdlem101  38108  fourierdlem103  38110  fourierdlem104  38111  fourierdlem107  38114  fourierdlem111  38118  fourierdlem112  38119  fourierdlem113  38120
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