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Theorem fourierdlem15 32065
Description: The range of the partition is between its starting point and its ending point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem15.1  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem15.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem15.3  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem15  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
Distinct variable groups:    A, i, m, p    B, i, m, p    i, M, m, p    Q, i, p    ph, i
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( i, m, p)    Q( m)

Proof of Theorem fourierdlem15
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem15.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
2 fourierdlem15.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 fourierdlem15.1 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
43fourierdlem2 32052 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
52, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <-> 
( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
61, 5mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
76simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
8 reex 9600 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
10 ovex 6324 . . . . . 6  |-  ( 0 ... M )  e. 
_V
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  _V )
129, 11elmapd 7452 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  <-> 
Q : ( 0 ... M ) --> RR ) )
137, 12mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
14 ffn 5737 . . 3  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> RR  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
166simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 0 )  =  A  /\  ( Q `
 M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
1716simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B ) )
1817simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
19 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
20 nn0uz 11140 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2119, 20syl6eleq 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
222, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
23 eluzfz1 11718 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
2513, 24ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR )
2618, 25eqeltrrd 2546 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2726adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A  e.  RR )
2817simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
29 eluzfz2 11719 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  M  e.  ( 0 ... M
) )
3022, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
3113, 30ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  e.  RR )
3228, 31eqeltrrd 2546 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3332adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  B  e.  RR )
3413ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
3518eqcomd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =  ( Q `
 0 ) )
3635adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A  =  ( Q ` 
0 ) )
37 elfzuz 11709 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
3837adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
3913ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... i
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
40 elfzle1 11714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... i )  ->  0  <_  j )
4140adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  0  <_  j
)
42 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... i )  ->  j  e.  ZZ )
4342zred 10990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... i )  ->  j  e.  RR )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  j  e.  RR )
45 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  i  e.  ZZ )
4645zred 10990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  i  e.  RR )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  i  e.  RR )
48 elfzel2 11711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  ZZ )
4948zred 10990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  RR )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  M  e.  RR )
51 elfzle2 11715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... i )  ->  j  <_  i )
5251adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  j  <_  i
)
53 elfzle2 11715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  i  <_  M )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  i  <_  M
)
5544, 47, 50, 52, 54letrd 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  j  <_  M
)
5642adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  j  e.  ZZ )
57 0zd 10897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  0  e.  ZZ )
5848adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  M  e.  ZZ )
59 elfz 11703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
j  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  j  /\  j  <_  M ) ) )
6056, 57, 58, 59syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  ( j  e.  ( 0 ... M
)  <->  ( 0  <_ 
j  /\  j  <_  M ) ) )
6141, 55, 60mpbir2and 922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... i ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M ) )
6261adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... i
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
6339, 62ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... i
) )  ->  ( Q `  j )  e.  RR )
64 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ph )
65 elfzle1 11714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) )  ->  0  <_  j )
6665adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  j
)
67 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
6867zred 10990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) )  ->  j  e.  RR )
6968adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  RR )
7046adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
7149adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
72 peano2rem 9905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  RR  ->  (
i  -  1 )  e.  RR )
7370, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  ( i  - 
1 )  e.  RR )
74 elfzle2 11715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( i  -  1 ) )  ->  j  <_  ( i  -  1 ) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  <_  (
i  -  1 ) )
7670ltm1d 10498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  ( i  - 
1 )  <  i
)
7769, 73, 70, 75, 76lelttrd 9757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  <  i
)
7853adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  i  <_  M
)
7969, 70, 71, 77, 78ltletrd 9759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  <  M
)
8067adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
81 0zd 10897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
8248adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
83 elfzo 11827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
j  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  j  /\  j  <  M ) ) )
8480, 81, 82, 83syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  ( j  e.  ( 0..^ M )  <-> 
( 0  <_  j  /\  j  <  M ) ) )
8566, 79, 84mpbir2and 922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( 0 ... ( i  - 
1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0..^ M ) )
8685adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0..^ M ) )
8713adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
88 elfzofz 11840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
8988adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M ) )
9087, 89ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  j )  e.  RR )
91 fzofzp1 11911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
9291adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
9387, 92ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
94 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  <->  j  e.  ( 0..^ M ) ) )
9594anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) ) ) )
96 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  ( Q `  i )  =  ( Q `  j ) )
97 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
i  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
9897fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  j  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( Q `  ( j  +  1 ) ) )
9996, 98breq12d 4469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
( Q `  i
)  <  ( Q `  ( i  +  1 ) )  <->  ( Q `  j )  <  ( Q `  ( j  +  1 ) ) ) )
10095, 99imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( Q `  i
)  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  <->  ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
10116simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
102101r19.21bi 2826 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
103100, 102chvarv 2015 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  ( j  +  1 ) ) )
10490, 93, 103ltled 9750 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  j )  <_  ( Q `  ( j  +  1 ) ) )
10564, 86, 104syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( 0 ... (
i  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  j )  <_  ( Q `  (
j  +  1 ) ) )
10638, 63, 105monoord 12139 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  0 )  <_  ( Q `  i
) )
10736, 106eqbrtrd 4476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A  <_  ( Q `  i
) )
108 elfzuz3 11710 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  i )
)
109108adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  i )
)
11013ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... M
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
111 fz0fzelfz0 11805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... M ) )  -> 
j  e.  ( 0 ... M ) )
112111adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
113110, 112ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... M
) )  ->  ( Q `  j )  e.  RR )
11413ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
115 0red 9614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
0  e.  RR )
11646adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
i  e.  RR )
117 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) )  ->  j  e.  ZZ )
118117zred 10990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) )  ->  j  e.  RR )
119118adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
j  e.  RR )
120 elfzle1 11714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  0  <_  i )
121120adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
0  <_  i )
122 elfzle1 11714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) )  ->  i  <_  j )
123122adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
i  <_  j )
124115, 116, 119, 121, 123letrd 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  -> 
0  <_  j )
125124adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <_  j )
126118adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  e.  RR )
1272nnred 10571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
128127adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
129 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
130128, 129resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
131 elfzle2 11715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) )  ->  j  <_  ( M  -  1 ) )
132131adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  <_  ( M  -  1 ) )
133128ltm1d 10498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( M  -  1 )  <  M )
134126, 130, 128, 132, 133lelttrd 9757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  <  M )
135126, 128, 134ltled 9750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  <_  M )
136135adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  <_  M )
137117adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
138 0zd 10897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
13948ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
140137, 138, 139, 59syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  j  /\  j  <_  M ) ) )
141125, 136, 140mpbir2and 922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
142114, 141ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  j )  e.  RR )
143118adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  e.  RR )
144 1red 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
145 0le1 10097 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
146145a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <_  1 )
147143, 144, 125, 146addge0d 10149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( j  +  1 ) )
148126, 130, 129, 132leadd1dd 10187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  <_  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
1492nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
150149adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  CC )
151 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
152150, 151npcand 9954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
( M  -  1 )  +  1 )  =  M )
153148, 152breqtrd 4480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  <_  M )
154153adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  <_  M )
155137peano2zd 10993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ZZ )
156 elfz 11703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  +  1 )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  ( j  +  1 )  /\  (
j  +  1 )  <_  M ) ) )
157155, 138, 139, 156syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  ( j  +  1 )  /\  (
j  +  1 )  <_  M ) ) )
158147, 154, 157mpbir2and 922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
159114, 158ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
160 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ph )
161134adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  <  M )
162137, 138, 139, 83syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
j  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  j  /\  j  <  M ) ) )
163125, 161, 162mpbir2and 922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0..^ M ) )
164160, 163, 103syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  j )  <  ( Q `  (
j  +  1 ) ) )
165142, 159, 164ltled 9750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  j  e.  ( i ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  j )  <_  ( Q `  (
j  +  1 ) ) )
166109, 113, 165monoord 12139 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  <_  ( Q `  M
) )
16728adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  M )  =  B )
168166, 167breqtrd 4480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  <_  B )
16927, 33, 34, 107, 168eliccd 31699 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  e.  ( A [,] B
) )
170169ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  i
)  e.  ( A [,] B ) )
171 fnfvrnss 6060 . . 3  |-  ( ( Q  Fn  ( 0 ... M )  /\  A. i  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  i )  e.  ( A [,] B ) )  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
17215, 170, 171syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ran  Q  C_  ( A [,] B ) )
173 df-f 5598 . 2  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B )  <->  ( Q  Fn  ( 0 ... M
)  /\  ran  Q  C_  ( A [,] B ) ) )
17415, 172, 173sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   [,]cicc 11557   ...cfz 11697  ..^cfzo 11820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821
This theorem is referenced by:  fourierdlem38  32088  fourierdlem50  32100  fourierdlem54  32104  fourierdlem63  32113  fourierdlem65  32115  fourierdlem69  32119  fourierdlem70  32120  fourierdlem74  32124  fourierdlem75  32125  fourierdlem76  32126  fourierdlem79  32129  fourierdlem81  32131  fourierdlem84  32134  fourierdlem85  32135  fourierdlem88  32138  fourierdlem89  32139  fourierdlem90  32140  fourierdlem91  32141  fourierdlem92  32142  fourierdlem93  32143  fourierdlem100  32150  fourierdlem101  32151  fourierdlem103  32153  fourierdlem104  32154  fourierdlem107  32157  fourierdlem111  32161  fourierdlem112  32162  fourierdlem113  32163
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