Theorem fourierdlem12 38093

Description: A point of a partition is not an element of any open interval determined by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem12.1	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem12.2	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem12.3	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem12.4	|- ( ph -> X e. ran Q )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem12	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -. X e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, p   B, m, p   i, M, m, p   Q, i, p   ph, i

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   A( i)   B( i)   P( i, m, p)   Q( m)   X( i, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem12

Dummy variables j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem12.4	. . . 4 |- ( ph -> X e. ran Q )
2		fourierdlem12.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
3		fourierdlem12.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN )
4		fourierdlem12.1	. . . . . . . . . 10 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
5	4	fourierdlem2 38083	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
6	3, 5	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
7	2, 6	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
8	7	simpld 466	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
9		elmapi 7511	. . . . . 6 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
10		ffn 5739	. . . . . 6 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> Q Fn ( 0 ... M ) )
11	8, 9, 10	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
12		fvelrnb 5926	. . . . 5 |- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( X e. ran Q <-> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = X ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( X e. ran Q <-> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = X ) )
14	1, 13	mpbid 215	. . 3 |- ( ph -> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = X )
15	14	adantr 472	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = X )
16	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
17	16	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
18		fzofzp1 12037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
19	18	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
20	17, 19	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
21	20	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ i < j ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
22	21	3ad2antl1 1192	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ i < j ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
23		frn 5747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> RR -> ran Q C_ RR )
24	16, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran Q C_ RR )
25	24, 1	sseldd 3419	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. RR )
26	25	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ i < j ) -> X e. RR )
27	26	3ad2antl1 1192	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ i < j ) -> X e. RR )
28	17	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` j ) e. RR )
29	28	3adant3 1050	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) -> ( Q ` j ) e. RR )
30	29	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ i < j ) -> ( Q ` j ) e. RR )
31		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) -> i < j )
32		elfzoelz 11947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ZZ )
33	32	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) -> i e. ZZ )
34		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
35	34	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) -> j e. ZZ )
36		zltp1le 11010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( i < j <-> ( i + 1 ) <_ j ) )
37	33, 35, 36	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i < j <-> ( i + 1 ) <_ j ) )
38	31, 37	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i + 1 ) <_ j )
39	33	peano2zd 11066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
40		eluz 11196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i + 1 ) e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( j e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) <-> ( i + 1 ) <_ j ) )
41	39, 35, 40	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( j e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) <-> ( i + 1 ) <_ j ) )
42	38, 41	mpbird 240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) -> j e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) )
43	42	adantlll 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) -> j e. ( ZZ>= ` ( i + 1 ) ) )
44	17	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
45		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> 0 e. RR )
46		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. ( ( i + 1 ) ... j ) -> w e. ZZ )
47	46	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( ( i + 1 ) ... j ) -> w e. RR )
48	47	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> w e. RR )
49	32	peano2zd 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ZZ )
50	49	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. RR )
51	50	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> ( i + 1 ) e. RR )
52	32	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. RR )
53	52	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> i e. RR )
54		elfzole1 11955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> 0 <_ i )
55	54	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> 0 <_ i )
56	53	ltp1d 10559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> i < ( i + 1 ) )
57	45, 53, 51, 55, 56	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> 0 < ( i + 1 ) )
58		elfzle1 11828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. ( ( i + 1 ) ... j ) -> ( i + 1 ) <_ w )
59	58	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> ( i + 1 ) <_ w )
60	45, 51, 48, 57, 59	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> 0 < w )
61	45, 48, 60	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> 0 <_ w )
62	61	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> 0 <_ w )
63	47	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> w e. RR )
64	34	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. RR )
65	64	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> j e. RR )
66		elfzel2 11824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> M e. ZZ )
67	66	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> M e. RR )
68	67	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> M e. RR )
69		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( ( i + 1 ) ... j ) -> w <_ j )
70	69	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> w <_ j )
71		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j <_ M )
72	71	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> j <_ M )
73	63, 65, 68, 70, 72	letrd 9809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> w <_ M )
74	73	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> w <_ M )
75	46	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> w e. ZZ )
76		0zd 10973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> 0 e. ZZ )
77	66	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> M e. ZZ )
78		elfz 11816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( w e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ w /\ w <_ M ) ) )
79	75, 76, 77, 78	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> ( w e. ( 0 ... M ) <-> ( 0 <_ w /\ w <_ M ) ) )
80	62, 74, 79	mpbir2and 936	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> w e. ( 0 ... M ) )
81	80	adantlll 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> w e. ( 0 ... M ) )
82	44, 81	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> ( Q ` w ) e. RR )
83	82	adantlr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... j ) ) -> ( Q ` w ) e. RR )
84		simp-4l 784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> ph )
85		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
86		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) -> w e. ZZ )
87	86	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) -> w e. RR )
88	87	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> w e. RR )
89		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
90	50	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) e. RR )
91	87	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> w e. RR )
92		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> 0 e. RR )
93	52	ltp1d 10559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i < ( i + 1 ) )
94	92, 52, 50, 54, 93	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> 0 < ( i + 1 ) )
95	94	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> 0 < ( i + 1 ) )
96		elfzle1 11828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) -> ( i + 1 ) <_ w )
97	96	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> ( i + 1 ) <_ w )
98	89, 90, 91, 95, 97	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> 0 < w )
99	98	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> 0 < w )
100	85, 88, 99	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> 0 <_ w )
101	100	adantlll 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> 0 <_ w )
102	101	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> 0 <_ w )
103	87	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> w e. RR )
104		peano2rem 9961	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. RR -> ( j - 1 ) e. RR )
105	64, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( j - 1 ) e. RR )
106	105	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> ( j - 1 ) e. RR )
107	67	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> M e. RR )
108		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) -> w <_ ( j - 1 ) )
109	108	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> w <_ ( j - 1 ) )
110		zlem1lt 11012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( j <_ M <-> ( j - 1 ) < M ) )
111	34, 66, 110	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( j <_ M <-> ( j - 1 ) < M ) )
112	71, 111	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( j - 1 ) < M )
113	112	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> ( j - 1 ) < M )
114	103, 106, 107, 109, 113	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> w < M )
115	114	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ i < j ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> w < M )
116	115	adantlll 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> w < M )
117	86	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> w e. ZZ )
118		0zd 10973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
119	66	ad3antlr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
120		elfzo 11949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( w e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ w /\ w < M ) ) )
121	117, 118, 119, 120	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> ( w e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ w /\ w < M ) ) )
122	102, 116, 121	mpbir2and 936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> w e. ( 0..^ M ) )
123	16	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
124		elfzofz 11962	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> w e. ( 0 ... M ) )
125	124	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. ( 0..^ M ) ) -> w e. ( 0 ... M ) )
126	123, 125	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` w ) e. RR )
127		fzofzp1 12037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( 0..^ M ) -> ( w + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
128	127	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. ( 0..^ M ) ) -> ( w + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
129	123, 128	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( w + 1 ) ) e. RR )
130		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = w -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> w e. ( 0..^ M ) ) )
131	130	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = w -> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ w e. ( 0..^ M ) ) ) )
132		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = w -> ( Q ` i ) = ( Q ` w ) )
133		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = w -> ( i + 1 ) = ( w + 1 ) )
134	133	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = w -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( w + 1 ) ) )
135	132, 134	breq12d 4408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = w -> ( ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) <-> ( Q ` w ) < ( Q ` ( w + 1 ) ) ) )
136	131, 135	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = w -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ph /\ w e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` w ) < ( Q ` ( w + 1 ) ) ) ) )
137	7	simprrd 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
138	137	r19.21bi 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
139	136, 138	chvarv 2120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` w ) < ( Q ` ( w + 1 ) ) )
140	126, 129, 139	ltled 9800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` w ) <_ ( Q ` ( w + 1 ) ) )
141	84, 122, 140	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) /\ w e. ( ( i + 1 ) ... ( j - 1 ) ) ) -> ( Q ` w ) <_ ( Q ` ( w + 1 ) ) )
142	43, 83, 141	monoord 12281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ i < j ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) <_ ( Q ` j ) )
143	142	3adantl3 1188	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ i < j ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) <_ ( Q ` j ) )
144	16	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` j ) e. RR )
145	144	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) -> ( Q ` j ) e. RR )
146		simp3 1032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) -> ( Q ` j ) = X )
147	145, 146	eqled 9755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) -> ( Q ` j ) <_ X )
148	147	3adant1r 1285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) -> ( Q ` j ) <_ X )
149	148	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ i < j ) -> ( Q ` j ) <_ X )
150	22, 30, 27, 143, 149	letrd 9809	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ i < j ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) <_ X )
151	22, 27, 150	lensymd 9803	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ i < j ) -> -. X < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
152	151	intnand 930	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ i < j ) -> -. ( ( Q ` i ) < X /\ X < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
153	64	ad2antlr 741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i < j ) -> j e. RR )
154	52	ad3antlr 745	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i < j ) -> i e. RR )
155		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i < j ) -> -. i < j )
156	153, 154, 155	nltled 9802	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i < j ) -> j <_ i )
157	156	3adantl3 1188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ -. i < j ) -> j <_ i )
158		eqcom 2478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q ` j ) = X <-> X = ( Q ` j ) )
159	158	biimpi 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q ` j ) = X -> X = ( Q ` j ) )
160	159	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Q ` j ) = X /\ j <_ i ) -> X = ( Q ` j ) )
161	160	3ad2antl3 1194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ j <_ i ) -> X = ( Q ` j ) )
162	34	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ j <_ i ) -> j e. ZZ )
163	32	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ j <_ i ) -> i e. ZZ )
164		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ j <_ i ) -> j <_ i )
165		eluz2 11188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( ZZ>= ` j ) <-> ( j e. ZZ /\ i e. ZZ /\ j <_ i ) )
166	162, 163, 164, 165	syl3anbrc 1214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ j <_ i ) -> i e. ( ZZ>= ` j ) )
167	166	adantlll 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ j <_ i ) -> i e. ( ZZ>= ` j ) )
168	17	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
169		0zd 10973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> 0 e. ZZ )
170	66	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> M e. ZZ )
171		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. ( j ... i ) -> w e. ZZ )
172	171	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> w e. ZZ )
173	169, 170, 172	3jca 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ w e. ZZ ) )
174		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> 0 e. RR )
175	64	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> j e. RR )
176	171	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. ( j ... i ) -> w e. RR )
177	176	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> w e. RR )
178		elfzle1 11828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> 0 <_ j )
179	178	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> 0 <_ j )
180		elfzle1 11828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. ( j ... i ) -> j <_ w )
181	180	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> j <_ w )
182	174, 175, 177, 179, 181	letrd 9809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> 0 <_ w )
183	182	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> 0 <_ w )
184	176	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> w e. RR )
185		elfzoel2 11946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> M e. ZZ )
186	185	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> M e. RR )
187	186	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> M e. RR )
188	52	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> i e. RR )
189		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w e. ( j ... i ) -> w <_ i )
190	189	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> w <_ i )
191		elfzolt2 11956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i < M )
192	191	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> i < M )
193	184, 188, 187, 190, 192	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> w < M )
194	184, 187, 193	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> w <_ M )
195	194	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> w <_ M )
196	173, 183, 195	jca32 544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( 0 <_ w /\ w <_ M ) ) )
197	196	adantlll 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( 0 <_ w /\ w <_ M ) ) )
198		elfz2 11817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( 0 ... M ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( 0 <_ w /\ w <_ M ) ) )
199	197, 198	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> w e. ( 0 ... M ) )
200	168, 199	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> ( Q ` w ) e. RR )
201	200	adantlr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ j <_ i ) /\ w e. ( j ... i ) ) -> ( Q ` w ) e. RR )
202		simplll 776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> ph )
203		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
204	64	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> j e. RR )
205		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. ( j ... ( i - 1 ) ) -> w e. ZZ )
206	205	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( j ... ( i - 1 ) ) -> w e. RR )
207	206	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> w e. RR )
208	178	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> 0 <_ j )
209		elfzle1 11828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( j ... ( i - 1 ) ) -> j <_ w )
210	209	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> j <_ w )
211	203, 204, 207, 208, 210	letrd 9809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> 0 <_ w )
212	206	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> w e. RR )
213	52	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> i e. RR )
214	186	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> M e. RR )
215		peano2rem 9961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. RR -> ( i - 1 ) e. RR )
216	213, 215	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> ( i - 1 ) e. RR )
217		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. ( j ... ( i - 1 ) ) -> w <_ ( i - 1 ) )
218	217	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> w <_ ( i - 1 ) )
219	213	ltm1d 10561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> ( i - 1 ) < i )
220	212, 216, 213, 218, 219	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> w < i )
221	191	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> i < M )
222	212, 213, 214, 220, 221	lttrd 9813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> w < M )
223	222	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> w < M )
224	205	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> w e. ZZ )
225		0zd 10973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
226	185	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
227	224, 225, 226, 120	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> ( w e. ( 0..^ M ) <-> ( 0 <_ w /\ w < M ) ) )
228	211, 223, 227	mpbir2and 936	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> w e. ( 0..^ M ) )
229	228	adantlll 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> w e. ( 0..^ M ) )
230	202, 229, 140	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> ( Q ` w ) <_ ( Q ` ( w + 1 ) ) )
231	230	adantlr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ j <_ i ) /\ w e. ( j ... ( i - 1 ) ) ) -> ( Q ` w ) <_ ( Q ` ( w + 1 ) ) )
232	167, 201, 231	monoord 12281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ j <_ i ) -> ( Q ` j ) <_ ( Q ` i ) )
233	232	3adantl3 1188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ j <_ i ) -> ( Q ` j ) <_ ( Q ` i ) )
234	161, 233	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ j <_ i ) -> X <_ ( Q ` i ) )
235	25	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> X e. RR )
236		elfzofz 11962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
237	236	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
238	17, 237	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
239	235, 238	lenltd 9798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( X <_ ( Q ` i ) <-> -. ( Q ` i ) < X ) )
240	239	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j <_ i ) -> ( X <_ ( Q ` i ) <-> -. ( Q ` i ) < X ) )
241	240	3ad2antl1 1192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ j <_ i ) -> ( X <_ ( Q ` i ) <-> -. ( Q ` i ) < X ) )
242	234, 241	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ j <_ i ) -> -. ( Q ` i ) < X )
243	157, 242	syldan 478	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ -. i < j ) -> -. ( Q ` i ) < X )
244	243	intnanrd 931	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) /\ -. i < j ) -> -. ( ( Q ` i ) < X /\ X < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
245	152, 244	pm2.61dan 808	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) -> -. ( ( Q ` i ) < X /\ X < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
246	245	intnand 930	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) -> -. ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ X e. RR* ) /\ ( ( Q ` i ) < X /\ X < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
247		elioo3g 11690	. . . 4 |- ( X e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ( Q ` i ) e. RR* /\ ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* /\ X e. RR* ) /\ ( ( Q ` i ) < X /\ X < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
248	246, 247	sylnibr 312	. . 3 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` j ) = X ) -> -. X e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
249	248	rexlimdv3a 2873	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = X -> -. X e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
250	15, 249	mpd 15	1 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -. X e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ran crn 4840   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   NNcn 10631   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   (,)cioo 11660   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-ioo 11664  df-fz 11811  df-fzo 11943

This theorem is referenced by:  fourierdlem38  38120  fourierdlem74  38156  fourierdlem75  38157  fourierdlem88  38170  fourierdlem103  38185  fourierdlem104  38186