Theorem fourierdlem114 38121

Description: Fourier series convergence for periodic, piecewise smooth functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem114.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem114.t	|- T = ( 2 x. pi )
fourierdlem114.per	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem114.g	|- G = ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) )
fourierdlem114.dmdv	|- ( ph -> ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) e. Fin )
fourierdlem114.gcn	|- ( ph -> G e. ( dom G -cn-> CC ) )
fourierdlem114.rlim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem114.llim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem114.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem114.l	|- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
fourierdlem114.r	|- ( ph -> R e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
fourierdlem114.a	|- A = ( n e. NN0 |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
fourierdlem114.b	|- B = ( n e. NN |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
fourierdlem114.s	|- S = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) )
fourierdlem114.p	|- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem114.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem114.h	|- H = ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) )
fourierdlem114.m	|- M = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem114.q	|- Q = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem114	|- ( ph -> ( seq 1 ( + , S ) ~~> ( ( ( L + R ) / 2 ) - ( ( A ` 0 ) / 2 ) ) /\ ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ n e. NN ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) ) = ( ( L + R ) / 2 ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n   x, E   i, F, n, x   i, G, x   g, H   i, L, n   g, M   i, M, n, p   x, M   Q, g   Q, i, n, p   x, Q   R, i, n   T, i, n, p   x, T   i, X, n, p   x, X   ph, g   ph, i, n, x

Allowed substitution hints:   ph( p)   A( x, g, i, p)   B( x, g, i, p)   P( x, g, i, n, p)   R( x, g, p)   S( x, g, i, n, p)   T( g)   E( g, i, n, p)   F( g, p)   G( g, n, p)   H( x, i, n, p)   L( x, g, p)   X( g)

Proof of Theorem fourierdlem114

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem114.f	. 2 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2		fourierdlem114.t	. 2 |- T = ( 2 x. pi )
3		fourierdlem114.per	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
4		fourierdlem114.x	. 2 |- ( ph -> X e. RR )
5		fourierdlem114.l	. 2 |- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
6		fourierdlem114.r	. 2 |- ( ph -> R e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
7		fourierdlem114.p	. 2 |- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
8		fourierdlem114.m	. . 3 |- M = ( ( # ` H ) - 1 )
9		2z 10997	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
11		fourierdlem114.h	. . . . . . . 8 |- H = ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) )
12		tpfi 7872	. . . . . . . . . 10 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. Fin
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. Fin )
14		pire 23461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR
15	14	renegcli 9960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u pi e. RR
16	15	rexri 9718	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. RR*
17	14	rexri 9718	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. RR*
18		negpilt0 37527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u pi < 0
19		pipos 23463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < pi
20		0re 9668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
21	15, 20, 14	lttri 9785	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi < 0 /\ 0 < pi ) -> -u pi < pi )
22	18, 19, 21	mp2an 683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u pi < pi
23	15, 14, 22	ltleii 9782	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi <_ pi
24		prunioo 11789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ -u pi <_ pi ) -> ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) = ( -u pi [,] pi ) )
25	16, 17, 23, 24	mp3an 1373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) = ( -u pi [,] pi )
26	25	difeq1i 3558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) \ dom G ) = ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G )
27		difundir 3707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) \ dom G ) = ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) )
28	26, 27	eqtr3i 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) = ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) )
29		fourierdlem114.dmdv	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) e. Fin )
30		prfi 7871	. . . . . . . . . . . 12 |- { -u pi , pi } e. Fin
31		diffi 7828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { -u pi , pi } e. Fin -> ( { -u pi , pi } \ dom G ) e. Fin )
32	30, 31	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( { -u pi , pi } \ dom G ) e. Fin )
33		unfi 7863	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) e. Fin /\ ( { -u pi , pi } \ dom G ) e. Fin ) -> ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) ) e. Fin )
34	29, 32, 33	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) ) e. Fin )
35	28, 34	syl5eqel 2543	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. Fin )
36		unfi 7863	. . . . . . . . 9 |- ( ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. Fin /\ ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. Fin ) -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) e. Fin )
37	13, 35, 36	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) e. Fin )
38	11, 37	syl5eqel 2543	. . . . . . 7 |- ( ph -> H e. Fin )
39		hashcl 12569	. . . . . . 7 |- ( H e. Fin -> ( # ` H ) e. NN0 )
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` H ) e. NN0 )
41	40	nn0zd 11066	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` H ) e. ZZ )
42	15, 22	ltneii 9772	. . . . . . 7 |- -u pi =/= pi
43		hashprg 12603	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( -u pi =/= pi <-> ( # ` { -u pi , pi } ) = 2 ) )
44	15, 14, 43	mp2an 683	. . . . . . 7 |- ( -u pi =/= pi <-> ( # ` { -u pi , pi } ) = 2 )
45	42, 44	mpbi 213	. . . . . 6 |- ( # ` { -u pi , pi } ) = 2
46	12	elexi 3066	. . . . . . . . . 10 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. _V
47		ovex 6342	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi [,] pi ) e. _V
48		difexg 4564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi [,] pi ) e. _V -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. _V )
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. _V
50	46, 49	unex 6615	. . . . . . . . 9 |- ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) e. _V
51	11, 50	eqeltri 2535	. . . . . . . 8 |- H e. _V
52		negex 9898	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. _V
53	52	tpid1 4097	. . . . . . . . . 10 |- -u pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) }
54	14	elexi 3066	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. _V
55	54	tpid2 4098	. . . . . . . . . 10 |- pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) }
56		prssi 4140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) } /\ pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) } ) -> { -u pi , pi } C_ { -u pi , pi , ( E ` X ) } )
57	53, 55, 56	mp2an 683	. . . . . . . . 9 |- { -u pi , pi } C_ { -u pi , pi , ( E ` X ) }
58		ssun1 3608	. . . . . . . . . 10 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) )
59	58, 11	sseqtr4i 3476	. . . . . . . . 9 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ H
60	57, 59	sstri 3452	. . . . . . . 8 |- { -u pi , pi } C_ H
61		hashss 12617	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. _V /\ { -u pi , pi } C_ H ) -> ( # ` { -u pi , pi } ) <_ ( # ` H ) )
62	51, 60, 61	mp2an 683	. . . . . . 7 |- ( # ` { -u pi , pi } ) <_ ( # ` H )
63	62	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` { -u pi , pi } ) <_ ( # ` H ) )
64	45, 63	syl5eqbrr 4450	. . . . 5 |- ( ph -> 2 <_ ( # ` H ) )
65		eluz2 11193	. . . . 5 |- ( ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ ( # ` H ) e. ZZ /\ 2 <_ ( # ` H ) ) )
66	10, 41, 64, 65	syl3anbrc 1198	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
67		uz2m1nn 11261	. . . 4 |- ( ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN )
68	66, 67	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN )
69	8, 68	syl5eqel 2543	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
70	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u pi e. RR )
71	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> pi e. RR )
72		negpitopissre 23537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u pi (,] pi ) C_ RR
73	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u pi < pi )
74		picn 23462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi e. CC
75	74	2timesi 10758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
76	74, 74	subnegi 9978	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi - -u pi ) = ( pi + pi )
77	75, 2, 76	3eqtr4i 2493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = ( pi - -u pi )
78		fourierdlem114.e	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) ) )
79	70, 71, 73, 77, 78	fourierdlem4 38010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E : RR --> ( -u pi (,] pi ) )
80	79, 4	ffvelrnd 6045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ( -u pi (,] pi ) )
81	72, 80	sseldi 3441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ` X ) e. RR )
82	70, 71, 81	3jca 1194	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ ( E ` X ) e. RR ) )
83		fvex 5897	. . . . . . . . . . 11 |- ( E ` X ) e. _V
84	52, 54, 83	tpss 4149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ ( E ` X ) e. RR ) <-> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ RR )
85	82, 84	sylib 201	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ RR )
86		iccssre 11744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
87	15, 14, 86	mp2an 683	. . . . . . . . . 10 |- ( -u pi [,] pi ) C_ RR
88		ssdifss 3575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi [,] pi ) C_ RR -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) C_ RR )
89	87, 88	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) C_ RR )
90	85, 89	unssd 3621	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) C_ RR )
91	11, 90	syl5eqss 3487	. . . . . . 7 |- ( ph -> H C_ RR )
92		fourierdlem114.q	. . . . . . 7 |- Q = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
93	38, 91, 92, 8	fourierdlem36 38043	. . . . . 6 |- ( ph -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
94		isof1o 6240	. . . . . 6 |- ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) -> Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H )
95		f1of 5836	. . . . . 6 |- ( Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
96	93, 94, 95	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
97	96, 91	fssd 5760	. . . 4 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
98		reex 9655	. . . . 5 |- RR e. _V
99		ovex 6342	. . . . 5 |- ( 0 ... M ) e. _V
100	98, 99	elmap 7525	. . . 4 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) <-> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
101	97, 100	sylibr 217	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
102		fveq2 5887	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 = i -> ( Q ` 0 ) = ( Q ` i ) )
103	102	adantl 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 = i ) -> ( Q ` 0 ) = ( Q ` i ) )
104	97	ffvelrnda 6044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
105	104	leidd 10207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` i ) )
106	105	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 = i ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` i ) )
107	103, 106	eqbrtrd 4436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 = i ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
108		elfzelz 11828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. ZZ )
109	108	zred 11068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. RR )
110	109	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> i e. RR )
111		elfzle1 11830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> 0 <_ i )
112	111	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> 0 <_ i )
113		neqne 2642	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. 0 = i -> 0 =/= i )
114	113	necomd 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. 0 = i -> i =/= 0 )
115	114	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> i =/= 0 )
116	110, 112, 115	ne0gt0d 9797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> 0 < i )
117		nnssnn0 10900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN C_ NN0
118		nn0uz 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
119	117, 118	sseqtri 3475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN C_ ( ZZ>= ` 0 )
120	119, 69	sseldi 3441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
121		eluzfz1 11834	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
123	96, 122	ffvelrnd 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. H )
124	91, 123	sseldd 3444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
125	124	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
126	104	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` i ) e. RR )
127		simpr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> 0 < i )
128	93	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
129	122	anim1i 576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) )
130	129	adantr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( 0 e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) )
131		isorel 6241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( 0 e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 < i <-> ( Q ` 0 ) < ( Q ` i ) ) )
132	128, 130, 131	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( 0 < i <-> ( Q ` 0 ) < ( Q ` i ) ) )
133	127, 132	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` 0 ) < ( Q ` i ) )
134	125, 126, 133	ltled 9808	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
135	116, 134	syldan 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
136	107, 135	pm2.61dan 805	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
137	136	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
138		simpr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` i ) = -u pi )
139	137, 138	breqtrd 4440	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) <_ -u pi )
140	70	rexrd 9715	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u pi e. RR* )
141	71	rexrd 9715	. . . . . . . 8 |- ( ph -> pi e. RR* )
142		lbicc2 11776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ -u pi <_ pi ) -> -u pi e. ( -u pi [,] pi ) )
143	16, 17, 23, 142	mp3an 1373	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. ( -u pi [,] pi )
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. ( -u pi [,] pi ) )
145		ubicc2 11777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ -u pi <_ pi ) -> pi e. ( -u pi [,] pi ) )
146	16, 17, 23, 145	mp3an 1373	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. ( -u pi [,] pi )
147	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. ( -u pi [,] pi ) )
148		iocssicc 11750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u pi (,] pi ) C_ ( -u pi [,] pi )
149	148, 80	sseldi 3441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ( -u pi [,] pi ) )
150		tpssi 4150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u pi e. ( -u pi [,] pi ) /\ pi e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( E ` X ) e. ( -u pi [,] pi ) ) -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ ( -u pi [,] pi ) )
151	144, 147, 149, 150	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ ( -u pi [,] pi ) )
152		difssd 3572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
153	151, 152	unssd 3621	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
154	11, 153	syl5eqss 3487	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H C_ ( -u pi [,] pi ) )
155	154, 123	sseldd 3444	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. ( -u pi [,] pi ) )
156		iccgelb 11719	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ ( Q ` 0 ) e. ( -u pi [,] pi ) ) -> -u pi <_ ( Q ` 0 ) )
157	140, 141, 155, 156	syl3anc 1276	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u pi <_ ( Q ` 0 ) )
158	157	ad2antrr 737	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> -u pi <_ ( Q ` 0 ) )
159	124	ad2antrr 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
160	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> -u pi e. RR )
161	159, 160	letri3d 9802	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( ( Q ` 0 ) = -u pi <-> ( ( Q ` 0 ) <_ -u pi /\ -u pi <_ ( Q ` 0 ) ) ) )
162	139, 158, 161	mpbir2and 938	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) = -u pi )
163	59, 53	sselii 3440	. . . . . . 7 |- -u pi e. H
164		f1ofo 5843	. . . . . . . . 9 |- ( Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H -> Q : ( 0 ... M ) -onto-> H )
165	94, 164	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) -> Q : ( 0 ... M ) -onto-> H )
166		forn 5818	. . . . . . . 8 |- ( Q : ( 0 ... M ) -onto-> H -> ran Q = H )
167	93, 165, 166	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran Q = H )
168	163, 167	syl5eleqr 2546	. . . . . 6 |- ( ph -> -u pi e. ran Q )
169		ffn 5750	. . . . . . 7 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> H -> Q Fn ( 0 ... M ) )
170		fvelrnb 5934	. . . . . . 7 |- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( -u pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = -u pi ) )
171	96, 169, 170	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = -u pi ) )
172	168, 171	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = -u pi )
173	162, 172	r19.29a 2943	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u pi )
174	59, 55	sselii 3440	. . . . . . 7 |- pi e. H
175	174, 167	syl5eleqr 2546	. . . . . 6 |- ( ph -> pi e. ran Q )
176		fvelrnb 5934	. . . . . . 7 |- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi ) )
177	96, 169, 176	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> ( pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi ) )
178	175, 177	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi )
179	96, 154	fssd 5760	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
180		eluzfz2 11835	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
181	120, 180	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
182	179, 181	ffvelrnd 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. ( -u pi [,] pi ) )
183		iccleub 11718	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ ( Q ` M ) e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( Q ` M ) <_ pi )
184	140, 141, 182, 183	syl3anc 1276	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` M ) <_ pi )
185	184	3ad2ant1 1035	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` M ) <_ pi )
186		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q ` i ) = pi -> ( Q ` i ) = pi )
187	186	eqcomd 2467	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` i ) = pi -> pi = ( Q ` i ) )
188	187	3ad2ant3 1037	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> pi = ( Q ` i ) )
189	105	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i = M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` i ) )
190		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = M -> ( Q ` i ) = ( Q ` M ) )
191	190	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i = M ) -> ( Q ` i ) = ( Q ` M ) )
192	189, 191	breqtrd 4440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i = M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
193	109	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> i e. RR )
194		elfzel2 11826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. ZZ )
195	194	zred 11068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. RR )
196	195	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> M e. RR )
197		elfzle2 11831	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i <_ M )
198	197	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> i <_ M )
199		neqne 2642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. i = M -> i =/= M )
200	199	necomd 2690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. i = M -> M =/= i )
201	200	adantl 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> M =/= i )
202	193, 196, 198, 201	leneltd 9814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> i < M )
203	104	adantr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` i ) e. RR )
204	87, 182	sseldi 3441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR )
205	204	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` M ) e. RR )
206		simpr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> i < M )
207	93	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
208		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
209	181	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> M e. ( 0 ... M ) )
210	208, 209	jca 539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( i e. ( 0 ... M ) /\ M e. ( 0 ... M ) ) )
211	210	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( i e. ( 0 ... M ) /\ M e. ( 0 ... M ) ) )
212		isorel 6241	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( i e. ( 0 ... M ) /\ M e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( i < M <-> ( Q ` i ) < ( Q ` M ) ) )
213	207, 211, 212	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( i < M <-> ( Q ` i ) < ( Q ` M ) ) )
214	206, 213	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` M ) )
215	203, 205, 214	ltled 9808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
216	202, 215	syldan 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
217	192, 216	pm2.61dan 805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
218	217	3adant3 1034	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
219	188, 218	eqbrtrd 4436	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> pi <_ ( Q ` M ) )
220	204	3ad2ant1 1035	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` M ) e. RR )
221	14	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> pi e. RR )
222	220, 221	letri3d 9802	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( ( Q ` M ) = pi <-> ( ( Q ` M ) <_ pi /\ pi <_ ( Q ` M ) ) ) )
223	185, 219, 222	mpbir2and 938	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` M ) = pi )
224	223	rexlimdv3a 2892	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi -> ( Q ` M ) = pi ) )
225	178, 224	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` M ) = pi )
226		elfzoelz 11950	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ZZ )
227	226	zred 11068	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. RR )
228	227	ltp1d 10564	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i < ( i + 1 ) )
229	228	adantl 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i < ( i + 1 ) )
230		elfzofz 11965	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
231		fzofzp1 12038	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
232	230, 231	jca 539	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
233		isorel 6241	. . . . . . 7 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
234	93, 232, 233	syl2an 484	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
235	229, 234	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
236	235	ralrimiva 2813	. . . 4 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
237	173, 225, 236	jca31 541	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
238	7	fourierdlem2 38008	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
239	69, 238	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
240	101, 237, 239	mpbir2and 938	. 2 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
241		fourierdlem114.g	. . . . 5 |- G = ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) )
242	241	reseq1i 5119	. . . 4 |- ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
243	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -u pi e. RR* )
244	17	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> pi e. RR* )
245	179	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
246		simpr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
247	243, 244, 245, 246	fourierdlem27 38033	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi (,) pi ) )
248	247	resabs1d 5152	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
249	242, 248	syl5req 2508	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
250		fourierdlem114.gcn	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( dom G -cn-> CC ) )
251	250, 7, 69, 240, 11, 167	fourierdlem38 38045	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
252	249, 251	eqeltrd 2539	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
253	249	oveq1d 6329	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
254	250	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> G e. ( dom G -cn-> CC ) )
255		fourierdlem114.rlim	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
256	255	adantlr 726	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
257		fourierdlem114.llim	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
258	257	adantlr 726	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
259	93	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
260	259, 94, 95	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
261	81	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( E ` X ) e. RR )
262	259, 165, 166	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ran Q = H )
263	254, 256, 258, 259, 260, 246, 235, 247, 261, 11, 262	fourierdlem46 38053	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) /\ ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) ) )
264	263	simpld 465	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
265	253, 264	eqnetrd 2702	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
266	249	oveq1d 6329	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
267	263	simprd 469	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )
268	266, 267	eqnetrd 2702	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )
269		fourierdlem114.a	. 2 |- A = ( n e. NN0 |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
270		fourierdlem114.b	. 2 |- B = ( n e. NN |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
271		fourierdlem114.s	. 2 |- S = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) )
272	83	tpid3 4100	. . . . 5 |- ( E ` X ) e. { -u pi , pi , ( E ` X ) }
273		elun1 3612	. . . . 5 |- ( ( E ` X ) e. { -u pi , pi , ( E ` X ) } -> ( E ` X ) e. ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) )
274	272, 273	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) )
275	274, 11	syl6eleqr 2550	. . 3 |- ( ph -> ( E ` X ) e. H )
276	275, 167	eleqtrrd 2542	. 2 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ran Q )
277	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 69, 240, 252, 265, 268, 269, 270, 271, 78, 276	fourierdlem113 38120	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , S ) ~~> ( ( ( L + R ) / 2 ) - ( ( A ` 0 ) / 2 ) ) /\ ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ n e. NN ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) ) = ( ( L + R ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1454   e. wcel 1897   =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   {crab 2752   _Vcvv 3056   \ cdif 3412   u. cun 3413   C_ wss 3415   (/)c0 3742   {cpr 3981   {ctp 3983   class class class wbr 4415   |-> cmpt 4474   dom cdm 4852   ran crn 4853   |` cres 4854   iotacio 5562   Fn wfn 5595   -->wf 5596   -onto->wfo 5598   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600   Isom wiso 5601  (class class class)co 6314   ^m cmap 7497   Fincfn 7594   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565   + caddc 9567   x. cmul 9569   +oocpnf 9697   -oocmnf 9698   RR*cxr 9699   < clt 9700   <_ cle 9701   - cmin 9885   -ucneg 9886   / cdiv 10296   NNcn 10636   2c2 10686   NN0cn0 10897   ZZcz 10965   ZZ>=cuz 11187   (,)cioo 11663   (,]cioc 11664   [,)cico 11665   [,]cicc 11666   ...cfz 11812  ..^cfzo 11945   |_cfl 12057   seqcseq 12244   #chash 12546   ~~> cli 13596   sum_csu 13800   sincsin 14164   cosccos 14165   picpi 14167   -cn->ccncf 21956   S.citg 22624   lim CC climc 22865   _D cdv 22866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cc 8890  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-disj 4387  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-ofr 6558  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-omul 7212  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-acn 8401  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ioc 11668  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-mod 12128  df-seq 12245  df-exp 12304  df-fac 12491  df-bc 12519  df-hash 12547  df-shft 13178  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-limsup 13574  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-ef 14169  df-sin 14171  df-cos 14172  df-pi 14174  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-rest 15369  df-topn 15370  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-prds 15394  df-xrs 15448  df-qtop 15454  df-imas 15455  df-xps 15458  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-submnd 16631  df-mulg 16724  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-cnfld 19019  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-cld 20082  df-ntr 20083  df-cls 20084  df-nei 20162  df-lp 20200  df-perf 20201  df-cn 20291  df-cnp 20292  df-t1 20378  df-haus 20379  df-cmp 20450  df-tx 20625  df-hmeo 20818  df-fil 20909  df-fm 21001  df-flim 21002  df-flf 21003  df-xms 21383  df-ms 21384  df-tms 21385  df-cncf 21958  df-ovol 22464  df-vol 22466  df-mbf 22625  df-itg1 22626  df-itg2 22627  df-ibl 22628  df-itg 22629  df-0p 22676  df-ditg 22850  df-limc 22869  df-dv 22870

This theorem is referenced by:  fourierdlem115  38122