Theorem fourierdlem114 32164

Description: Fourier series convergence for periodic, piecewise smooth functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem114.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem114.t	|- T = ( 2 x. pi )
fourierdlem114.per	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem114.g	|- G = ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) )
fourierdlem114.dmdv	|- ( ph -> ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) e. Fin )
fourierdlem114.gcn	|- ( ph -> G e. ( dom G -cn-> CC ) )
fourierdlem114.rlim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem114.llim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem114.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem114.l	|- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
fourierdlem114.r	|- ( ph -> R e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
fourierdlem114.a	|- A = ( n e. NN0 |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
fourierdlem114.b	|- B = ( n e. NN |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
fourierdlem114.s	|- S = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) )
fourierdlem114.p	|- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem114.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem114.h	|- H = ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) )
fourierdlem114.m	|- M = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem114.q	|- Q = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem114	|- ( ph -> ( seq 1 ( + , S ) ~~> ( ( ( L + R ) / 2 ) - ( ( A ` 0 ) / 2 ) ) /\ ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ n e. NN ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) ) = ( ( L + R ) / 2 ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n   x, E   i, F, n, x   i, G, x   g, H   i, L, n   g, M   i, M, n, p   x, M   Q, g   Q, i, n, p   x, Q   R, i, n   T, i, n, p   x, T   i, X, n, p   x, X   ph, g   ph, i, n, x

Allowed substitution hints:   ph( p)   A( x, g, i, p)   B( x, g, i, p)   P( x, g, i, n, p)   R( x, g, p)   S( x, g, i, n, p)   T( g)   E( g, i, n, p)   F( g, p)   G( g, n, p)   H( x, i, n, p)   L( x, g, p)   X( g)

Proof of Theorem fourierdlem114

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem114.f	. 2 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2		fourierdlem114.t	. 2 |- T = ( 2 x. pi )
3		fourierdlem114.per	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
4		fourierdlem114.x	. 2 |- ( ph -> X e. RR )
5		fourierdlem114.l	. 2 |- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
6		fourierdlem114.r	. 2 |- ( ph -> R e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
7		fourierdlem114.p	. 2 |- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
8		fourierdlem114.m	. . 3 |- M = ( ( # ` H ) - 1 )
9		2z 10917	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
11		fourierdlem114.h	. . . . . . . 8 |- H = ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) )
12		tpfi 7814	. . . . . . . . . 10 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. Fin
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. Fin )
14		pire 22976	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR
15	14	renegcli 9899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u pi e. RR
16	15	rexri 9663	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. RR*
17	14	rexri 9663	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. RR*
18		negpilt0 31623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u pi < 0
19		pipos 22978	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < pi
20		0re 9613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
21	15, 20, 14	lttri 9727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi < 0 /\ 0 < pi ) -> -u pi < pi )
22	18, 19, 21	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u pi < pi
23	15, 14, 22	ltleii 9724	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi <_ pi
24		prunioo 11674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ -u pi <_ pi ) -> ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) = ( -u pi [,] pi ) )
25	16, 17, 23, 24	mp3an 1324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) = ( -u pi [,] pi )
26	25	difeq1i 3614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) \ dom G ) = ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G )
27		difundir 3758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) \ dom G ) = ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) )
28	26, 27	eqtr3i 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) = ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) )
29		fourierdlem114.dmdv	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) e. Fin )
30		prfi 7813	. . . . . . . . . . . 12 |- { -u pi , pi } e. Fin
31		diffi 7770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { -u pi , pi } e. Fin -> ( { -u pi , pi } \ dom G ) e. Fin )
32	30, 31	mp1i 12	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( { -u pi , pi } \ dom G ) e. Fin )
33		unfi 7805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) e. Fin /\ ( { -u pi , pi } \ dom G ) e. Fin ) -> ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) ) e. Fin )
34	29, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) ) e. Fin )
35	28, 34	syl5eqel 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. Fin )
36		unfi 7805	. . . . . . . . 9 |- ( ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. Fin /\ ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. Fin ) -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) e. Fin )
37	13, 35, 36	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) e. Fin )
38	11, 37	syl5eqel 2549	. . . . . . 7 |- ( ph -> H e. Fin )
39		hashcl 12430	. . . . . . 7 |- ( H e. Fin -> ( # ` H ) e. NN0 )
40	38, 39	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` H ) e. NN0 )
41	40	nn0zd 10988	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` H ) e. ZZ )
42	15, 22	ltneii 9714	. . . . . . 7 |- -u pi =/= pi
43		hashprg 12463	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( -u pi =/= pi <-> ( # ` { -u pi , pi } ) = 2 ) )
44	15, 14, 43	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( -u pi =/= pi <-> ( # ` { -u pi , pi } ) = 2 )
45	42, 44	mpbi 208	. . . . . 6 |- ( # ` { -u pi , pi } ) = 2
46	12	elexi 3119	. . . . . . . . . 10 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. _V
47		ovex 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi [,] pi ) e. _V
48		difexg 4604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi [,] pi ) e. _V -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. _V )
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. _V
50	46, 49	unex 6597	. . . . . . . . 9 |- ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) e. _V
51	11, 50	eqeltri 2541	. . . . . . . 8 |- H e. _V
52		negex 9837	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. _V
53	52	tpid1 4145	. . . . . . . . . 10 |- -u pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) }
54	14	elexi 3119	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. _V
55	54	tpid2 4146	. . . . . . . . . 10 |- pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) }
56		prssi 4188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) } /\ pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) } ) -> { -u pi , pi } C_ { -u pi , pi , ( E ` X ) } )
57	53, 55, 56	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- { -u pi , pi } C_ { -u pi , pi , ( E ` X ) }
58		ssun1 3663	. . . . . . . . . 10 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) )
59	58, 11	sseqtr4i 3532	. . . . . . . . 9 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ H
60	57, 59	sstri 3508	. . . . . . . 8 |- { -u pi , pi } C_ H
61		hashss 12477	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. _V /\ { -u pi , pi } C_ H ) -> ( # ` { -u pi , pi } ) <_ ( # ` H ) )
62	51, 60, 61	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( # ` { -u pi , pi } ) <_ ( # ` H )
63	62	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` { -u pi , pi } ) <_ ( # ` H ) )
64	45, 63	syl5eqbrr 4490	. . . . 5 |- ( ph -> 2 <_ ( # ` H ) )
65		eluz2 11112	. . . . 5 |- ( ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ ( # ` H ) e. ZZ /\ 2 <_ ( # ` H ) ) )
66	10, 41, 64, 65	syl3anbrc 1180	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
67		uz2m1nn 11181	. . . 4 |- ( ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN )
68	66, 67	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN )
69	8, 68	syl5eqel 2549	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
70	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u pi e. RR )
71	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> pi e. RR )
72		negpitopissre 23052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u pi (,] pi ) C_ RR
73	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u pi < pi )
74		picn 22977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi e. CC
75	74	2timesi 10677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
76	74, 74	subnegi 9917	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi - -u pi ) = ( pi + pi )
77	75, 2, 76	3eqtr4i 2496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = ( pi - -u pi )
78		fourierdlem114.e	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) ) )
79	70, 71, 73, 77, 78	fourierdlem4 32054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E : RR --> ( -u pi (,] pi ) )
80	79, 4	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ( -u pi (,] pi ) )
81	72, 80	sseldi 3497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ` X ) e. RR )
82	70, 71, 81	3jca 1176	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ ( E ` X ) e. RR ) )
83		fvex 5882	. . . . . . . . . . 11 |- ( E ` X ) e. _V
84	52, 54, 83	tpss 4197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ ( E ` X ) e. RR ) <-> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ RR )
85	82, 84	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ RR )
86		iccssre 11631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
87	15, 14, 86	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( -u pi [,] pi ) C_ RR
88		ssdifss 3631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi [,] pi ) C_ RR -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) C_ RR )
89	87, 88	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) C_ RR )
90	85, 89	unssd 3676	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) C_ RR )
91	11, 90	syl5eqss 3543	. . . . . . 7 |- ( ph -> H C_ RR )
92		fourierdlem114.q	. . . . . . 7 |- Q = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
93	38, 91, 92, 8	fourierdlem36 32086	. . . . . 6 |- ( ph -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
94		isof1o 6222	. . . . . 6 |- ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) -> Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H )
95		f1of 5822	. . . . . 6 |- ( Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
96	93, 94, 95	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
97	96, 91	fssd 5746	. . . 4 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
98		reex 9600	. . . . 5 |- RR e. _V
99		ovex 6324	. . . . 5 |- ( 0 ... M ) e. _V
100	98, 99	elmap 7466	. . . 4 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) <-> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
101	97, 100	sylibr 212	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
102		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 = i -> ( Q ` 0 ) = ( Q ` i ) )
103	102	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 = i ) -> ( Q ` 0 ) = ( Q ` i ) )
104	97	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
105	104	leidd 10140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` i ) )
106	105	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 = i ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` i ) )
107	103, 106	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 = i ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
108		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. ZZ )
109	108	zred 10990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. RR )
110	109	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> i e. RR )
111		elfzle1 11714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> 0 <_ i )
112	111	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> 0 <_ i )
113		neqne 31595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. 0 = i -> 0 =/= i )
114	113	necomd 2728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. 0 = i -> i =/= 0 )
115	114	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> i =/= 0 )
116	110, 112, 115	ne0gt0d 9739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> 0 < i )
117		nnssnn0 10819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN C_ NN0
118		nn0uz 11140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
119	117, 118	sseqtri 3531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN C_ ( ZZ>= ` 0 )
120	119, 69	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
121		eluzfz1 11718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
122	120, 121	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
123	96, 122	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. H )
124	91, 123	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
125	124	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
126	104	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` i ) e. RR )
127		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> 0 < i )
128	93	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
129	122	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) )
130	129	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( 0 e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) )
131		isorel 6223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( 0 e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 < i <-> ( Q ` 0 ) < ( Q ` i ) ) )
132	128, 130, 131	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( 0 < i <-> ( Q ` 0 ) < ( Q ` i ) ) )
133	127, 132	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` 0 ) < ( Q ` i ) )
134	125, 126, 133	ltled 9750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
135	116, 134	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
136	107, 135	pm2.61dan 791	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
137	136	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
138		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` i ) = -u pi )
139	137, 138	breqtrd 4480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) <_ -u pi )
140	70	rexrd 9660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u pi e. RR* )
141	71	rexrd 9660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> pi e. RR* )
142		lbicc2 11661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ -u pi <_ pi ) -> -u pi e. ( -u pi [,] pi ) )
143	16, 17, 23, 142	mp3an 1324	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. ( -u pi [,] pi )
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. ( -u pi [,] pi ) )
145		ubicc2 11662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ -u pi <_ pi ) -> pi e. ( -u pi [,] pi ) )
146	16, 17, 23, 145	mp3an 1324	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. ( -u pi [,] pi )
147	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. ( -u pi [,] pi ) )
148		iocssicc 11637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u pi (,] pi ) C_ ( -u pi [,] pi )
149	148, 80	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ( -u pi [,] pi ) )
150		tpssi 4198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u pi e. ( -u pi [,] pi ) /\ pi e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( E ` X ) e. ( -u pi [,] pi ) ) -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ ( -u pi [,] pi ) )
151	144, 147, 149, 150	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ ( -u pi [,] pi ) )
152		difssd 3628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
153	151, 152	unssd 3676	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
154	11, 153	syl5eqss 3543	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H C_ ( -u pi [,] pi ) )
155	154, 123	sseldd 3500	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. ( -u pi [,] pi ) )
156		iccgelb 11606	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ ( Q ` 0 ) e. ( -u pi [,] pi ) ) -> -u pi <_ ( Q ` 0 ) )
157	140, 141, 155, 156	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u pi <_ ( Q ` 0 ) )
158	157	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> -u pi <_ ( Q ` 0 ) )
159	124	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
160	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> -u pi e. RR )
161	159, 160	letri3d 9744	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( ( Q ` 0 ) = -u pi <-> ( ( Q ` 0 ) <_ -u pi /\ -u pi <_ ( Q ` 0 ) ) ) )
162	139, 158, 161	mpbir2and 922	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) = -u pi )
163	59, 53	sselii 3496	. . . . . . 7 |- -u pi e. H
164		f1ofo 5829	. . . . . . . . 9 |- ( Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H -> Q : ( 0 ... M ) -onto-> H )
165	94, 164	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) -> Q : ( 0 ... M ) -onto-> H )
166		forn 5804	. . . . . . . 8 |- ( Q : ( 0 ... M ) -onto-> H -> ran Q = H )
167	93, 165, 166	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran Q = H )
168	163, 167	syl5eleqr 2552	. . . . . 6 |- ( ph -> -u pi e. ran Q )
169		ffn 5737	. . . . . . 7 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> H -> Q Fn ( 0 ... M ) )
170		fvelrnb 5920	. . . . . . 7 |- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( -u pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = -u pi ) )
171	96, 169, 170	3syl 20	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = -u pi ) )
172	168, 171	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = -u pi )
173	162, 172	r19.29a 2999	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u pi )
174	59, 55	sselii 3496	. . . . . . 7 |- pi e. H
175	174, 167	syl5eleqr 2552	. . . . . 6 |- ( ph -> pi e. ran Q )
176		fvelrnb 5920	. . . . . . 7 |- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi ) )
177	96, 169, 176	3syl 20	. . . . . 6 |- ( ph -> ( pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi ) )
178	175, 177	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi )
179	96, 154	fssd 5746	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
180		eluzfz2 11719	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
181	120, 180	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
182	179, 181	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. ( -u pi [,] pi ) )
183		iccleub 11605	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ ( Q ` M ) e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( Q ` M ) <_ pi )
184	140, 141, 182, 183	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` M ) <_ pi )
185	184	3ad2ant1 1017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` M ) <_ pi )
186		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q ` i ) = pi -> ( Q ` i ) = pi )
187	186	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` i ) = pi -> pi = ( Q ` i ) )
188	187	3ad2ant3 1019	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> pi = ( Q ` i ) )
189	105	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i = M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` i ) )
190		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = M -> ( Q ` i ) = ( Q ` M ) )
191	190	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i = M ) -> ( Q ` i ) = ( Q ` M ) )
192	189, 191	breqtrd 4480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i = M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
193	109	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> i e. RR )
194		elfzel2 11711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. ZZ )
195	194	zred 10990	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. RR )
196	195	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> M e. RR )
197		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i <_ M )
198	197	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> i <_ M )
199		neqne 31595	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. i = M -> i =/= M )
200	199	necomd 2728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. i = M -> M =/= i )
201	200	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> M =/= i )
202	193, 196, 198, 201	leneltd 31655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> i < M )
203	104	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` i ) e. RR )
204	87, 182	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR )
205	204	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` M ) e. RR )
206		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> i < M )
207	93	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
208		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
209	181	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> M e. ( 0 ... M ) )
210	208, 209	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( i e. ( 0 ... M ) /\ M e. ( 0 ... M ) ) )
211	210	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( i e. ( 0 ... M ) /\ M e. ( 0 ... M ) ) )
212		isorel 6223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( i e. ( 0 ... M ) /\ M e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( i < M <-> ( Q ` i ) < ( Q ` M ) ) )
213	207, 211, 212	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( i < M <-> ( Q ` i ) < ( Q ` M ) ) )
214	206, 213	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` M ) )
215	203, 205, 214	ltled 9750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
216	202, 215	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
217	192, 216	pm2.61dan 791	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
218	217	3adant3 1016	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
219	188, 218	eqbrtrd 4476	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> pi <_ ( Q ` M ) )
220	204	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` M ) e. RR )
221	14	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> pi e. RR )
222	220, 221	letri3d 9744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( ( Q ` M ) = pi <-> ( ( Q ` M ) <_ pi /\ pi <_ ( Q ` M ) ) ) )
223	185, 219, 222	mpbir2and 922	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` M ) = pi )
224	223	rexlimdv3a 2951	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi -> ( Q ` M ) = pi ) )
225	178, 224	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` M ) = pi )
226		elfzoelz 11825	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ZZ )
227	226	zred 10990	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. RR )
228	227	ltp1d 10496	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i < ( i + 1 ) )
229	228	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i < ( i + 1 ) )
230		elfzofz 11840	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
231		fzofzp1 11911	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
232	230, 231	jca 532	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
233		isorel 6223	. . . . . . 7 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
234	93, 232, 233	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
235	229, 234	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
236	235	ralrimiva 2871	. . . 4 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
237	173, 225, 236	jca31 534	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
238	7	fourierdlem2 32052	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
239	69, 238	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
240	101, 237, 239	mpbir2and 922	. 2 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
241		fourierdlem114.g	. . . . 5 |- G = ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) )
242	241	reseq1i 5279	. . . 4 |- ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
243	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -u pi e. RR* )
244	17	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> pi e. RR* )
245	179	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
246		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
247	243, 244, 245, 246	fourierdlem27 32077	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi (,) pi ) )
248	247	resabs1d 5313	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
249	242, 248	syl5req 2511	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
250		fourierdlem114.gcn	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( dom G -cn-> CC ) )
251	250, 7, 69, 240, 11, 167	fourierdlem38 32088	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
252	249, 251	eqeltrd 2545	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
253	249	oveq1d 6311	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
254	250	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> G e. ( dom G -cn-> CC ) )
255		fourierdlem114.rlim	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
256	255	adantlr 714	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
257		fourierdlem114.llim	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
258	257	adantlr 714	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
259	93	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
260	259, 94, 95	3syl 20	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
261	81	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( E ` X ) e. RR )
262	259, 165, 166	3syl 20	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ran Q = H )
263	254, 256, 258, 259, 260, 246, 235, 247, 261, 11, 262	fourierdlem46 32096	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) /\ ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) ) )
264	263	simpld 459	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
265	253, 264	eqnetrd 2750	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
266	249	oveq1d 6311	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
267	263	simprd 463	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )
268	266, 267	eqnetrd 2750	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )
269		fourierdlem114.a	. 2 |- A = ( n e. NN0 |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
270		fourierdlem114.b	. 2 |- B = ( n e. NN |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
271		fourierdlem114.s	. 2 |- S = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) )
272	83	tpid3 4148	. . . . 5 |- ( E ` X ) e. { -u pi , pi , ( E ` X ) }
273		elun1 3667	. . . . 5 |- ( ( E ` X ) e. { -u pi , pi , ( E ` X ) } -> ( E ` X ) e. ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) )
274	272, 273	mp1i 12	. . . 4 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) )
275	274, 11	syl6eleqr 2556	. . 3 |- ( ph -> ( E ` X ) e. H )
276	275, 167	eleqtrrd 2548	. 2 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ran Q )
277	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 69, 240, 252, 265, 268, 269, 270, 271, 78, 276	fourierdlem113 32163	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , S ) ~~> ( ( ( L + R ) / 2 ) - ( ( A ` 0 ) / 2 ) ) /\ ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ n e. NN ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) ) = ( ( L + R ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   u. cun 3469   C_ wss 3471   (/)c0 3793   {cpr 4034   {ctp 4036   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   |` cres 5010   iotacio 5555   Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594   Isom wiso 5595  (class class class)co 6296   ^m cmap 7438   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   -ucneg 9825   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   (,)cioo 11554   (,]cioc 11555   [,)cico 11556   [,]cicc 11557   ...cfz 11697  ..^cfzo 11820   |_cfl 11929   seqcseq 12109   #chash 12407   ~~> cli 13318   sum_csu 13519   sincsin 13810   cosccos 13811   picpi 13813   -cn->ccncf 21505   S.citg 22152   lim CC climc 22391   _D cdv 22392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-pi 13819  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-t1 19941  df-haus 19942  df-cmp 20013  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-ovol 22001  df-vol 22002  df-mbf 22153  df-itg1 22154  df-itg2 22155  df-ibl 22156  df-itg 22157  df-0p 22202  df-ditg 22376  df-limc 22395  df-dv 22396

This theorem is referenced by:  fourierdlem115  32165