Theorem fourierdlem114 37353

Description: Fourier series convergence for periodic, piecewise smooth functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem114.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem114.t	|- T = ( 2 x. pi )
fourierdlem114.per	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem114.g	|- G = ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) )
fourierdlem114.dmdv	|- ( ph -> ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) e. Fin )
fourierdlem114.gcn	|- ( ph -> G e. ( dom G -cn-> CC ) )
fourierdlem114.rlim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem114.llim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem114.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem114.l	|- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
fourierdlem114.r	|- ( ph -> R e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
fourierdlem114.a	|- A = ( n e. NN0 |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
fourierdlem114.b	|- B = ( n e. NN |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
fourierdlem114.s	|- S = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) )
fourierdlem114.p	|- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem114.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem114.h	|- H = ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) )
fourierdlem114.m	|- M = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem114.q	|- Q = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem114	|- ( ph -> ( seq 1 ( + , S ) ~~> ( ( ( L + R ) / 2 ) - ( ( A ` 0 ) / 2 ) ) /\ ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ n e. NN ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) ) = ( ( L + R ) / 2 ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n   x, E   i, F, n, x   i, G, x   g, H   i, L, n   g, M   i, M, n, p   x, M   Q, g   Q, i, n, p   x, Q   R, i, n   T, i, n, p   x, T   i, X, n, p   x, X   ph, g   ph, i, n, x

Allowed substitution hints:   ph( p)   A( x, g, i, p)   B( x, g, i, p)   P( x, g, i, n, p)   R( x, g, p)   S( x, g, i, n, p)   T( g)   E( g, i, n, p)   F( g, p)   G( g, n, p)   H( x, i, n, p)   L( x, g, p)   X( g)

Proof of Theorem fourierdlem114

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem114.f	. 2 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2		fourierdlem114.t	. 2 |- T = ( 2 x. pi )
3		fourierdlem114.per	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
4		fourierdlem114.x	. 2 |- ( ph -> X e. RR )
5		fourierdlem114.l	. 2 |- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
6		fourierdlem114.r	. 2 |- ( ph -> R e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
7		fourierdlem114.p	. 2 |- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
8		fourierdlem114.m	. . 3 |- M = ( ( # ` H ) - 1 )
9		2z 10857	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
11		fourierdlem114.h	. . . . . . . 8 |- H = ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) )
12		tpfi 7750	. . . . . . . . . 10 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. Fin
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. Fin )
14		pire 23035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR
15	14	renegcli 9836	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u pi e. RR
16	15	rexri 9596	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. RR*
17	14	rexri 9596	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. RR*
18		negpilt0 36817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u pi < 0
19		pipos 23037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < pi
20		0re 9546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
21	15, 20, 14	lttri 9662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi < 0 /\ 0 < pi ) -> -u pi < pi )
22	18, 19, 21	mp2an 670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u pi < pi
23	15, 14, 22	ltleii 9659	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi <_ pi
24		prunioo 11620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ -u pi <_ pi ) -> ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) = ( -u pi [,] pi ) )
25	16, 17, 23, 24	mp3an 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) = ( -u pi [,] pi )
26	25	difeq1i 3556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) \ dom G ) = ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G )
27		difundir 3702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u pi (,) pi ) u. { -u pi , pi } ) \ dom G ) = ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) )
28	26, 27	eqtr3i 2433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) = ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) )
29		fourierdlem114.dmdv	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) e. Fin )
30		prfi 7749	. . . . . . . . . . . 12 |- { -u pi , pi } e. Fin
31		diffi 7706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { -u pi , pi } e. Fin -> ( { -u pi , pi } \ dom G ) e. Fin )
32	30, 31	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( { -u pi , pi } \ dom G ) e. Fin )
33		unfi 7741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) e. Fin /\ ( { -u pi , pi } \ dom G ) e. Fin ) -> ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) ) e. Fin )
34	29, 32, 33	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( -u pi (,) pi ) \ dom G ) u. ( { -u pi , pi } \ dom G ) ) e. Fin )
35	28, 34	syl5eqel 2494	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. Fin )
36		unfi 7741	. . . . . . . . 9 |- ( ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. Fin /\ ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. Fin ) -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) e. Fin )
37	13, 35, 36	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) e. Fin )
38	11, 37	syl5eqel 2494	. . . . . . 7 |- ( ph -> H e. Fin )
39		hashcl 12382	. . . . . . 7 |- ( H e. Fin -> ( # ` H ) e. NN0 )
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` H ) e. NN0 )
41	40	nn0zd 10926	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` H ) e. ZZ )
42	15, 22	ltneii 9649	. . . . . . 7 |- -u pi =/= pi
43		hashprg 12416	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( -u pi =/= pi <-> ( # ` { -u pi , pi } ) = 2 ) )
44	15, 14, 43	mp2an 670	. . . . . . 7 |- ( -u pi =/= pi <-> ( # ` { -u pi , pi } ) = 2 )
45	42, 44	mpbi 208	. . . . . 6 |- ( # ` { -u pi , pi } ) = 2
46	12	elexi 3068	. . . . . . . . . 10 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } e. _V
47		ovex 6262	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi [,] pi ) e. _V
48		difexg 4541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi [,] pi ) e. _V -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. _V )
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) e. _V
50	46, 49	unex 6536	. . . . . . . . 9 |- ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) e. _V
51	11, 50	eqeltri 2486	. . . . . . . 8 |- H e. _V
52		negex 9774	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. _V
53	52	tpid1 4084	. . . . . . . . . 10 |- -u pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) }
54	14	elexi 3068	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. _V
55	54	tpid2 4085	. . . . . . . . . 10 |- pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) }
56		prssi 4127	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) } /\ pi e. { -u pi , pi , ( E ` X ) } ) -> { -u pi , pi } C_ { -u pi , pi , ( E ` X ) } )
57	53, 55, 56	mp2an 670	. . . . . . . . 9 |- { -u pi , pi } C_ { -u pi , pi , ( E ` X ) }
58		ssun1 3605	. . . . . . . . . 10 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) )
59	58, 11	sseqtr4i 3474	. . . . . . . . 9 |- { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ H
60	57, 59	sstri 3450	. . . . . . . 8 |- { -u pi , pi } C_ H
61		hashss 12430	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. _V /\ { -u pi , pi } C_ H ) -> ( # ` { -u pi , pi } ) <_ ( # ` H ) )
62	51, 60, 61	mp2an 670	. . . . . . 7 |- ( # ` { -u pi , pi } ) <_ ( # ` H )
63	62	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` { -u pi , pi } ) <_ ( # ` H ) )
64	45, 63	syl5eqbrr 4428	. . . . 5 |- ( ph -> 2 <_ ( # ` H ) )
65		eluz2 11051	. . . . 5 |- ( ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ ( # ` H ) e. ZZ /\ 2 <_ ( # ` H ) ) )
66	10, 41, 64, 65	syl3anbrc 1181	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
67		uz2m1nn 11119	. . . 4 |- ( ( # ` H ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN )
68	66, 67	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` H ) - 1 ) e. NN )
69	8, 68	syl5eqel 2494	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
70	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u pi e. RR )
71	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> pi e. RR )
72		negpitopissre 23111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u pi (,] pi ) C_ RR
73	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u pi < pi )
74		picn 23036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi e. CC
75	74	2timesi 10617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
76	74, 74	subnegi 9854	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi - -u pi ) = ( pi + pi )
77	75, 2, 76	3eqtr4i 2441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = ( pi - -u pi )
78		fourierdlem114.e	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) ) )
79	70, 71, 73, 77, 78	fourierdlem4 37243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E : RR --> ( -u pi (,] pi ) )
80	79, 4	ffvelrnd 5966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ( -u pi (,] pi ) )
81	72, 80	sseldi 3439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ` X ) e. RR )
82	70, 71, 81	3jca 1177	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ ( E ` X ) e. RR ) )
83		fvex 5815	. . . . . . . . . . 11 |- ( E ` X ) e. _V
84	52, 54, 83	tpss 4136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ ( E ` X ) e. RR ) <-> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ RR )
85	82, 84	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ RR )
86		iccssre 11577	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
87	15, 14, 86	mp2an 670	. . . . . . . . . 10 |- ( -u pi [,] pi ) C_ RR
88		ssdifss 3573	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u pi [,] pi ) C_ RR -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) C_ RR )
89	87, 88	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) C_ RR )
90	85, 89	unssd 3618	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) C_ RR )
91	11, 90	syl5eqss 3485	. . . . . . 7 |- ( ph -> H C_ RR )
92		fourierdlem114.q	. . . . . . 7 |- Q = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
93	38, 91, 92, 8	fourierdlem36 37275	. . . . . 6 |- ( ph -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
94		isof1o 6160	. . . . . 6 |- ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) -> Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H )
95		f1of 5755	. . . . . 6 |- ( Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
96	93, 94, 95	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
97	96, 91	fssd 5679	. . . 4 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
98		reex 9533	. . . . 5 |- RR e. _V
99		ovex 6262	. . . . 5 |- ( 0 ... M ) e. _V
100	98, 99	elmap 7405	. . . 4 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) <-> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
101	97, 100	sylibr 212	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
102		fveq2 5805	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 = i -> ( Q ` 0 ) = ( Q ` i ) )
103	102	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 = i ) -> ( Q ` 0 ) = ( Q ` i ) )
104	97	ffvelrnda 5965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
105	104	leidd 10079	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` i ) )
106	105	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 = i ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` i ) )
107	103, 106	eqbrtrd 4414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 = i ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
108		elfzelz 11659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. ZZ )
109	108	zred 10928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i e. RR )
110	109	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> i e. RR )
111		elfzle1 11660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> 0 <_ i )
112	111	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> 0 <_ i )
113		neqne 36791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. 0 = i -> 0 =/= i )
114	113	necomd 2674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. 0 = i -> i =/= 0 )
115	114	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> i =/= 0 )
116	110, 112, 115	ne0gt0d 9674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> 0 < i )
117		nnssnn0 10759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN C_ NN0
118		nn0uz 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
119	117, 118	sseqtri 3473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN C_ ( ZZ>= ` 0 )
120	119, 69	sseldi 3439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
121		eluzfz1 11664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
123	96, 122	ffvelrnd 5966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. H )
124	91, 123	sseldd 3442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. RR )
125	124	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
126	104	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` i ) e. RR )
127		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> 0 < i )
128	93	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
129	122	anim1i 566	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) )
130	129	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( 0 e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) )
131		isorel 6161	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( 0 e. ( 0 ... M ) /\ i e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 < i <-> ( Q ` 0 ) < ( Q ` i ) ) )
132	128, 130, 131	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( 0 < i <-> ( Q ` 0 ) < ( Q ` i ) ) )
133	127, 132	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` 0 ) < ( Q ` i ) )
134	125, 126, 133	ltled 9685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ 0 < i ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
135	116, 134	syldan 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. 0 = i ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
136	107, 135	pm2.61dan 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
137	136	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) <_ ( Q ` i ) )
138		simpr 459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` i ) = -u pi )
139	137, 138	breqtrd 4418	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) <_ -u pi )
140	70	rexrd 9593	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u pi e. RR* )
141	71	rexrd 9593	. . . . . . . 8 |- ( ph -> pi e. RR* )
142		lbicc2 11607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ -u pi <_ pi ) -> -u pi e. ( -u pi [,] pi ) )
143	16, 17, 23, 142	mp3an 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. ( -u pi [,] pi )
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. ( -u pi [,] pi ) )
145		ubicc2 11608	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ -u pi <_ pi ) -> pi e. ( -u pi [,] pi ) )
146	16, 17, 23, 145	mp3an 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. ( -u pi [,] pi )
147	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. ( -u pi [,] pi ) )
148		iocssicc 11583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u pi (,] pi ) C_ ( -u pi [,] pi )
149	148, 80	sseldi 3439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ( -u pi [,] pi ) )
150		tpssi 4137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u pi e. ( -u pi [,] pi ) /\ pi e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( E ` X ) e. ( -u pi [,] pi ) ) -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ ( -u pi [,] pi ) )
151	144, 147, 149, 150	syl3anc 1230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { -u pi , pi , ( E ` X ) } C_ ( -u pi [,] pi ) )
152		difssd 3570	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
153	151, 152	unssd 3618	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
154	11, 153	syl5eqss 3485	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H C_ ( -u pi [,] pi ) )
155	154, 123	sseldd 3442	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) e. ( -u pi [,] pi ) )
156		iccgelb 11552	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ ( Q ` 0 ) e. ( -u pi [,] pi ) ) -> -u pi <_ ( Q ` 0 ) )
157	140, 141, 155, 156	syl3anc 1230	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u pi <_ ( Q ` 0 ) )
158	157	ad2antrr 724	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> -u pi <_ ( Q ` 0 ) )
159	124	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) e. RR )
160	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> -u pi e. RR )
161	159, 160	letri3d 9679	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( ( Q ` 0 ) = -u pi <-> ( ( Q ` 0 ) <_ -u pi /\ -u pi <_ ( Q ` 0 ) ) ) )
162	139, 158, 161	mpbir2and 923	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` i ) = -u pi ) -> ( Q ` 0 ) = -u pi )
163	59, 53	sselii 3438	. . . . . . 7 |- -u pi e. H
164		f1ofo 5762	. . . . . . . . 9 |- ( Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H -> Q : ( 0 ... M ) -onto-> H )
165	94, 164	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) -> Q : ( 0 ... M ) -onto-> H )
166		forn 5737	. . . . . . . 8 |- ( Q : ( 0 ... M ) -onto-> H -> ran Q = H )
167	93, 165, 166	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran Q = H )
168	163, 167	syl5eleqr 2497	. . . . . 6 |- ( ph -> -u pi e. ran Q )
169		ffn 5670	. . . . . . 7 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> H -> Q Fn ( 0 ... M ) )
170		fvelrnb 5852	. . . . . . 7 |- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( -u pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = -u pi ) )
171	96, 169, 170	3syl 20	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = -u pi ) )
172	168, 171	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = -u pi )
173	162, 172	r19.29a 2948	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u pi )
174	59, 55	sselii 3438	. . . . . . 7 |- pi e. H
175	174, 167	syl5eleqr 2497	. . . . . 6 |- ( ph -> pi e. ran Q )
176		fvelrnb 5852	. . . . . . 7 |- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi ) )
177	96, 169, 176	3syl 20	. . . . . 6 |- ( ph -> ( pi e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi ) )
178	175, 177	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi )
179	96, 154	fssd 5679	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
180		eluzfz2 11665	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
181	120, 180	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
182	179, 181	ffvelrnd 5966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. ( -u pi [,] pi ) )
183		iccleub 11551	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* /\ ( Q ` M ) e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( Q ` M ) <_ pi )
184	140, 141, 182, 183	syl3anc 1230	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` M ) <_ pi )
185	184	3ad2ant1 1018	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` M ) <_ pi )
186		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q ` i ) = pi -> ( Q ` i ) = pi )
187	186	eqcomd 2410	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` i ) = pi -> pi = ( Q ` i ) )
188	187	3ad2ant3 1020	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> pi = ( Q ` i ) )
189	105	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i = M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` i ) )
190		fveq2 5805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = M -> ( Q ` i ) = ( Q ` M ) )
191	190	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i = M ) -> ( Q ` i ) = ( Q ` M ) )
192	189, 191	breqtrd 4418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i = M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
193	109	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> i e. RR )
194		elfzel2 11657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. ZZ )
195	194	zred 10928	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> M e. RR )
196	195	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> M e. RR )
197		elfzle2 11661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> i <_ M )
198	197	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> i <_ M )
199		neqne 36791	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. i = M -> i =/= M )
200	199	necomd 2674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. i = M -> M =/= i )
201	200	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> M =/= i )
202	193, 196, 198, 201	leneltd 36845	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> i < M )
203	104	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` i ) e. RR )
204	87, 182	sseldi 3439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. RR )
205	204	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` M ) e. RR )
206		simpr 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> i < M )
207	93	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
208		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
209	181	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> M e. ( 0 ... M ) )
210	208, 209	jca 530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( i e. ( 0 ... M ) /\ M e. ( 0 ... M ) ) )
211	210	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( i e. ( 0 ... M ) /\ M e. ( 0 ... M ) ) )
212		isorel 6161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( i e. ( 0 ... M ) /\ M e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( i < M <-> ( Q ` i ) < ( Q ` M ) ) )
213	207, 211, 212	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( i < M <-> ( Q ` i ) < ( Q ` M ) ) )
214	206, 213	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` M ) )
215	203, 205, 214	ltled 9685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ i < M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
216	202, 215	syldan 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ -. i = M ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
217	192, 216	pm2.61dan 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
218	217	3adant3 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` i ) <_ ( Q ` M ) )
219	188, 218	eqbrtrd 4414	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> pi <_ ( Q ` M ) )
220	204	3ad2ant1 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` M ) e. RR )
221	14	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> pi e. RR )
222	220, 221	letri3d 9679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( ( Q ` M ) = pi <-> ( ( Q ` M ) <_ pi /\ pi <_ ( Q ` M ) ) ) )
223	185, 219, 222	mpbir2and 923	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) /\ ( Q ` i ) = pi ) -> ( Q ` M ) = pi )
224	223	rexlimdv3a 2897	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. i e. ( 0 ... M ) ( Q ` i ) = pi -> ( Q ` M ) = pi ) )
225	178, 224	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` M ) = pi )
226		elfzoelz 11772	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ZZ )
227	226	zred 10928	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. RR )
228	227	ltp1d 10436	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i < ( i + 1 ) )
229	228	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i < ( i + 1 ) )
230		elfzofz 11787	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
231		fzofzp1 11859	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
232	230, 231	jca 530	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
233		isorel 6161	. . . . . . 7 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
234	93, 232, 233	syl2an 475	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i < ( i + 1 ) <-> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
235	229, 234	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
236	235	ralrimiva 2817	. . . 4 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
237	173, 225, 236	jca31 532	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
238	7	fourierdlem2 37241	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
239	69, 238	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
240	101, 237, 239	mpbir2and 923	. 2 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
241		fourierdlem114.g	. . . . 5 |- G = ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) )
242	241	reseq1i 5211	. . . 4 |- ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
243	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -u pi e. RR* )
244	17	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> pi e. RR* )
245	179	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
246		simpr 459	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
247	243, 244, 245, 246	fourierdlem27 37266	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi (,) pi ) )
248	247	resabs1d 5244	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( -u pi (,) pi ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
249	242, 248	syl5req 2456	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
250		fourierdlem114.gcn	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( dom G -cn-> CC ) )
251	250, 7, 69, 240, 11, 167	fourierdlem38 37277	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
252	249, 251	eqeltrd 2490	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
253	249	oveq1d 6249	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
254	250	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> G e. ( dom G -cn-> CC ) )
255		fourierdlem114.rlim	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
256	255	adantlr 713	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
257		fourierdlem114.llim	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
258	257	adantlr 713	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom G ) ) -> ( ( G |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
259	93	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
260	259, 94, 95	3syl 20	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
261	81	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( E ` X ) e. RR )
262	259, 165, 166	3syl 20	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ran Q = H )
263	254, 256, 258, 259, 260, 246, 235, 247, 261, 11, 262	fourierdlem46 37285	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) /\ ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) ) )
264	263	simpld 457	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
265	253, 264	eqnetrd 2696	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
266	249	oveq1d 6249	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
267	263	simprd 461	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )
268	266, 267	eqnetrd 2696	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )
269		fourierdlem114.a	. 2 |- A = ( n e. NN0 |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
270		fourierdlem114.b	. 2 |- B = ( n e. NN |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
271		fourierdlem114.s	. 2 |- S = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) )
272	83	tpid3 4087	. . . . 5 |- ( E ` X ) e. { -u pi , pi , ( E ` X ) }
273		elun1 3609	. . . . 5 |- ( ( E ` X ) e. { -u pi , pi , ( E ` X ) } -> ( E ` X ) e. ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) )
274	272, 273	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ( { -u pi , pi , ( E ` X ) } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom G ) ) )
275	274, 11	syl6eleqr 2501	. . 3 |- ( ph -> ( E ` X ) e. H )
276	275, 167	eleqtrrd 2493	. 2 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ran Q )
277	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 69, 240, 252, 265, 268, 269, 270, 271, 78, 276	fourierdlem113 37352	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , S ) ~~> ( ( ( L + R ) / 2 ) - ( ( A ` 0 ) / 2 ) ) /\ ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ n e. NN ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) ) = ( ( L + R ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   {crab 2757   _Vcvv 3058   \ cdif 3410   u. cun 3411   C_ wss 3413   (/)c0 3737   {cpr 3973   {ctp 3975   class class class wbr 4394   |-> cmpt 4452   dom cdm 4942   ran crn 4943   |` cres 4944   iotacio 5487   Fn wfn 5520   -->wf 5521   -onto->wfo 5523   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525   Isom wiso 5526  (class class class)co 6234   ^m cmap 7377   Fincfn 7474   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443   + caddc 9445   x. cmul 9447   +oocpnf 9575   -oocmnf 9576   RR*cxr 9577   < clt 9578   <_ cle 9579   - cmin 9761   -ucneg 9762   / cdiv 10167   NNcn 10496   2c2 10546   NN0cn0 10756   ZZcz 10825   ZZ>=cuz 11045   (,)cioo 11500   (,]cioc 11501   [,)cico 11502   [,]cicc 11503   ...cfz 11643  ..^cfzo 11767   |_cfl 11877   seqcseq 12061   #chash 12359   ~~> cli 13363   sum_csu 13564   sincsin 13900   cosccos 13901   picpi 13903   -cn->ccncf 21564   S.citg 22211   lim CC climc 22450   _D cdv 22451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cc 8767  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-ofr 6478  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-omul 7092  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-acn 8275  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ioc 11505  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-mod 11948  df-seq 12062  df-exp 12121  df-fac 12308  df-bc 12335  df-hash 12360  df-shft 12956  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-limsup 13350  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-ef 13904  df-sin 13906  df-cos 13907  df-pi 13909  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-lp 19822  df-perf 19823  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-t1 20000  df-haus 20001  df-cmp 20072  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cncf 21566  df-ovol 22060  df-vol 22061  df-mbf 22212  df-itg1 22213  df-itg2 22214  df-ibl 22215  df-itg 22216  df-0p 22261  df-ditg 22435  df-limc 22454  df-dv 22455

This theorem is referenced by:  fourierdlem115  37354