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Theorem fourierdlem11 38092
Description: If there is a partition, than the lower bound is strictly less than the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem11.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem11.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem11.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem11  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B ) )
Distinct variable groups:    A, m, p    B, m, p    i, M, m, p    Q, i, p    ph, i
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    A( i)    B( i)    P( i, m, p)    Q( m)

Proof of Theorem fourierdlem11
StepHypRef Expression
1 fourierdlem11.q . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
2 fourierdlem11.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 fourierdlem11.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
43fourierdlem2 38083 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
52, 4syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <-> 
( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
61, 5mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
76simprd 470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 0 )  =  A  /\  ( Q `
 M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
87simpld 466 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B ) )
98simpld 466 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
106simpld 466 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
11 elmapi 7511 . . . . 5  |-  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
1210, 11syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
13 0red 9662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
1413leidd 10201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  0 )
152nnred 10646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
162nngt0d 10675 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  M )
1713, 15, 16ltled 9800 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
18 0zd 10973 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
192nnzd 11062 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
20 elfz 11816 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
0  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  0  /\  0  <_  M ) ) )
2118, 18, 19, 20syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  ( 0 ... M )  <-> 
( 0  <_  0  /\  0  <_  M ) ) )
2214, 17, 21mpbir2and 936 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
2312, 22ffvelrnd 6038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR )
249, 23eqeltrrd 2550 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
258simprd 470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
2615leidd 10201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
27 elfz 11816 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
2819, 18, 19, 27syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( 0 ... M )  <-> 
( 0  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
2917, 26, 28mpbir2and 936 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
3012, 29ffvelrnd 6038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  e.  RR )
3125, 30eqeltrrd 2550 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
32 0le1 10158 . . . . . 6  |-  0  <_  1
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
342nnge1d 10674 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
35 1zzd 10992 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
36 elfz 11816 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
3735, 18, 19, 36syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ( 0 ... M )  <-> 
( 0  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
3833, 34, 37mpbir2and 936 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 0 ... M ) )
3912, 38ffvelrnd 6038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  1
)  e.  RR )
40 elfzo 11949 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
0  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  0  /\  0  <  M ) ) )
4118, 18, 19, 40syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  0  /\  0  <  M ) ) )
4214, 16, 41mpbir2and 936 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ M ) )
43 0re 9661 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
44 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  <->  0  e.  ( 0..^ M ) ) )
4544anbi2d 718 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  <->  ( ph  /\  0  e.  ( 0..^ M ) ) ) )
46 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  0  ->  ( Q `  i )  =  ( Q ` 
0 ) )
47 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
4847fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  0  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( Q `  ( 0  +  1 ) ) )
4946, 48breq12d 4408 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  (
( Q `  i
)  <  ( Q `  ( i  +  1 ) )  <->  ( Q `  0 )  < 
( Q `  (
0  +  1 ) ) ) )
5045, 49imbi12d 327 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( Q `  i
)  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  <->  ( ( ph  /\  0  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q ` 
0 )  <  ( Q `  ( 0  +  1 ) ) ) ) )
517simprd 470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
5251r19.21bi 2776 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
5350, 52vtoclg 3093 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
( ph  /\  0  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  0 )  < 
( Q `  (
0  +  1 ) ) ) )
5443, 53ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q ` 
0 )  <  ( Q `  ( 0  +  1 ) ) )
5542, 54mpdan 681 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <  ( Q `  ( 0  +  1 ) ) )
56 0p1e1 10743 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5756a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  +  1 )  =  1 )
5857fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
0  +  1 ) )  =  ( Q `
 1 ) )
5955, 9, 583brtr3d 4425 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  ( Q `
 1 ) )
60 nnuz 11218 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
612, 60syl6eleq 2559 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6212adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
63 0red 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  0  e.  RR )
64 elfzelz 11826 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  e.  ZZ )
6564zred 11063 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  e.  RR )
66 1red 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  1  e.  RR )
67 0lt1 10157 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <  1 )
69 elfzle1 11828 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  1  <_  i )
7063, 66, 65, 68, 69ltletrd 9812 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <  i )
7163, 65, 70ltled 9800 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <_  i )
72 elfzle2 11829 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  <_  M )
73 0zd 10973 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  0  e.  ZZ )
74 elfzel2 11824 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  M  e.  ZZ )
75 elfz 11816 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
7664, 73, 74, 75syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
i  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
7771, 72, 76mpbir2and 936 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
7877adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
7962, 78ffvelrnd 6038 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
8012adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
81 0red 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  0  e.  RR )
82 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  i  e.  ZZ )
8382zred 11063 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  i  e.  RR )
84 1red 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  1  e.  RR )
8567a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  0  <  1 )
86 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  1  <_  i )
8781, 84, 83, 85, 86ltletrd 9812 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  0  <  i )
8881, 83, 87ltled 9800 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  0  <_  i )
8988adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <_  i )
9083adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
9115adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
92 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
94 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  i  <_  ( M  -  1 ) )
9594adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  i  <_  ( M  -  1 ) )
9691ltm1d 10561 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( M  -  1 )  <  M )
9790, 93, 91, 95, 96lelttrd 9810 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  i  <  M )
9890, 91, 97ltled 9800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  i  <_  M )
9982adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
100 0zd 10973 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
10119adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
10299, 100, 101, 75syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
i  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
10389, 98, 102mpbir2and 936 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
10480, 103ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
105 0red 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  e.  RR )
106 peano2re 9824 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  RR  ->  (
i  +  1 )  e.  RR )
10790, 106syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  RR )
108 1red 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
10967a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <  1 )
11083, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  RR )
11183ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  i  <  ( i  +  1 ) )
11284, 83, 110, 86, 111lelttrd 9810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  1  <  ( i  +  1 ) )
113112adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  1  <  ( i  +  1 ) )
114105, 108, 107, 109, 113lttrd 9813 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <  ( i  +  1 ) )
115105, 107, 114ltled 9800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( i  +  1 ) )
11690, 93, 108, 95leadd1dd 10248 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  <_  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
1172nncnd 10647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
118 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
119117, 118npcand 10009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
120119adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
( M  -  1 )  +  1 )  =  M )
121116, 120breqtrd 4420 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  <_  M )
12299peano2zd 11066 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ZZ )
123 elfz 11816 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  ( i  +  1 )  /\  (
i  +  1 )  <_  M ) ) )
124122, 100, 101, 123syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  ( i  +  1 )  /\  (
i  +  1 )  <_  M ) ) )
125115, 121, 124mpbir2and 936 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
12680, 125ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
127 elfzo 11949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  i  /\  i  <  M ) ) )
12899, 100, 101, 127syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  i  /\  i  <  M ) ) )
12989, 97, 128mpbir2and 936 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
130129, 52syldan 478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  (
i  +  1 ) ) )
131104, 126, 130ltled 9800 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  i )  <_  ( Q `  (
i  +  1 ) ) )
13261, 79, 131monoord 12281 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  1
)  <_  ( Q `  M ) )
133132, 25breqtrd 4420 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  1
)  <_  B )
13424, 39, 31, 59, 133ltletrd 9812 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
13524, 31, 1343jca 1210 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943
This theorem is referenced by:  fourierdlem37  38119  fourierdlem54  38136  fourierdlem63  38145  fourierdlem64  38146  fourierdlem65  38147  fourierdlem69  38151  fourierdlem79  38161  fourierdlem89  38171  fourierdlem90  38172  fourierdlem91  38173  fourierdlem107  38189  fourierdlem109  38191
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