Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem11 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fourierdlem11 38092
 Description: If there is a partition, than the lower bound is strictly less than the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem11.p ..^
fourierdlem11.m
fourierdlem11.q
Assertion
Ref Expression
fourierdlem11
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem fourierdlem11
StepHypRef Expression
1 fourierdlem11.q . . . . . . 7
2 fourierdlem11.m . . . . . . . 8
3 fourierdlem11.p . . . . . . . . 9 ..^
43fourierdlem2 38083 . . . . . . . 8 ..^
52, 4syl 17 . . . . . . 7 ..^
61, 5mpbid 215 . . . . . 6 ..^
76simprd 470 . . . . 5 ..^
87simpld 466 . . . 4
98simpld 466 . . 3
106simpld 466 . . . . 5
11 elmapi 7511 . . . . 5
1210, 11syl 17 . . . 4
13 0red 9662 . . . . . 6
1413leidd 10201 . . . . 5
152nnred 10646 . . . . . 6
162nngt0d 10675 . . . . . 6
1713, 15, 16ltled 9800 . . . . 5
18 0zd 10973 . . . . . 6
192nnzd 11062 . . . . . 6
20 elfz 11816 . . . . . 6
2118, 18, 19, 20syl3anc 1292 . . . . 5
2214, 17, 21mpbir2and 936 . . . 4
2312, 22ffvelrnd 6038 . . 3
249, 23eqeltrrd 2550 . 2
258simprd 470 . . 3
2615leidd 10201 . . . . 5
27 elfz 11816 . . . . . 6
2819, 18, 19, 27syl3anc 1292 . . . . 5
2917, 26, 28mpbir2and 936 . . . 4
3012, 29ffvelrnd 6038 . . 3
3125, 30eqeltrrd 2550 . 2
32 0le1 10158 . . . . . 6
3332a1i 11 . . . . 5
342nnge1d 10674 . . . . 5
35 1zzd 10992 . . . . . 6
36 elfz 11816 . . . . . 6
3735, 18, 19, 36syl3anc 1292 . . . . 5
3833, 34, 37mpbir2and 936 . . . 4
3912, 38ffvelrnd 6038 . . 3
40 elfzo 11949 . . . . . . 7 ..^
4118, 18, 19, 40syl3anc 1292 . . . . . 6 ..^
4214, 16, 41mpbir2and 936 . . . . 5 ..^
43 0re 9661 . . . . . 6
44 eleq1 2537 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
4544anbi2d 718 . . . . . . . 8 ..^ ..^
46 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
47 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
4847fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
4946, 48breq12d 4408 . . . . . . . 8
5045, 49imbi12d 327 . . . . . . 7 ..^ ..^
517simprd 470 . . . . . . . 8 ..^
5251r19.21bi 2776 . . . . . . 7 ..^
5350, 52vtoclg 3093 . . . . . 6 ..^
5443, 53ax-mp 5 . . . . 5 ..^
5542, 54mpdan 681 . . . 4
56 0p1e1 10743 . . . . . 6
5756a1i 11 . . . . 5
5857fveq2d 5883 . . . 4
5955, 9, 583brtr3d 4425 . . 3
60 nnuz 11218 . . . . . 6
612, 60syl6eleq 2559 . . . . 5
6212adantr 472 . . . . . 6
63 0red 9662 . . . . . . . . 9
64 elfzelz 11826 . . . . . . . . . 10
6564zred 11063 . . . . . . . . 9
66 1red 9676 . . . . . . . . . 10
67 0lt1 10157 . . . . . . . . . . 11
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10
69 elfzle1 11828 . . . . . . . . . 10
7063, 66, 65, 68, 69ltletrd 9812 . . . . . . . . 9
7163, 65, 70ltled 9800 . . . . . . . 8
72 elfzle2 11829 . . . . . . . 8
73 0zd 10973 . . . . . . . . 9
74 elfzel2 11824 . . . . . . . . 9
75 elfz 11816 . . . . . . . . 9
7664, 73, 74, 75syl3anc 1292 . . . . . . . 8
7771, 72, 76mpbir2and 936 . . . . . . 7
7877adantl 473 . . . . . 6
7962, 78ffvelrnd 6038 . . . . 5
8012adantr 472 . . . . . . 7
81 0red 9662 . . . . . . . . . 10
82 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . 11
8382zred 11063 . . . . . . . . . 10
84 1red 9676 . . . . . . . . . . 11
8567a1i 11 . . . . . . . . . . 11
86 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . 11
8781, 84, 83, 85, 86ltletrd 9812 . . . . . . . . . 10
8881, 83, 87ltled 9800 . . . . . . . . 9
8988adantl 473 . . . . . . . 8
9083adantl 473 . . . . . . . . 9
9115adantr 472 . . . . . . . . 9
92 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . 11
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . 10
94 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . 11
9594adantl 473 . . . . . . . . . 10
9691ltm1d 10561 . . . . . . . . . 10
9790, 93, 91, 95, 96lelttrd 9810 . . . . . . . . 9
9890, 91, 97ltled 9800 . . . . . . . 8
9982adantl 473 . . . . . . . . 9
100 0zd 10973 . . . . . . . . 9
10119adantr 472 . . . . . . . . 9
10299, 100, 101, 75syl3anc 1292 . . . . . . . 8
10389, 98, 102mpbir2and 936 . . . . . . 7
10480, 103ffvelrnd 6038 . . . . . 6
105 0red 9662 . . . . . . . . 9
106 peano2re 9824 . . . . . . . . . 10
10790, 106syl 17 . . . . . . . . 9
108 1red 9676 . . . . . . . . . 10
10967a1i 11 . . . . . . . . . 10
11083, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12
11183ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . 12
11284, 83, 110, 86, 111lelttrd 9810 . . . . . . . . . . 11
113112adantl 473 . . . . . . . . . 10
114105, 108, 107, 109, 113lttrd 9813 . . . . . . . . 9
115105, 107, 114ltled 9800 . . . . . . . 8
11690, 93, 108, 95leadd1dd 10248 . . . . . . . . 9
1172nncnd 10647 . . . . . . . . . . 11
118 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11
119117, 118npcand 10009 . . . . . . . . . 10
120119adantr 472 . . . . . . . . 9
121116, 120breqtrd 4420 . . . . . . . 8
12299peano2zd 11066 . . . . . . . . 9
123 elfz 11816 . . . . . . . . 9
124122, 100, 101, 123syl3anc 1292 . . . . . . . 8
125115, 121, 124mpbir2and 936 . . . . . . 7
12680, 125ffvelrnd 6038 . . . . . 6
127 elfzo 11949 . . . . . . . . 9 ..^
12899, 100, 101, 127syl3anc 1292 . . . . . . . 8 ..^
12989, 97, 128mpbir2and 936 . . . . . . 7 ..^
130129, 52syldan 478 . . . . . 6
131104, 126, 130ltled 9800 . . . . 5
13261, 79, 131monoord 12281 . . . 4
133132, 25breqtrd 4420 . . 3
13424, 39, 31, 59, 133ltletrd 9812 . 2
13524, 31, 1343jca 1210 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  crab 2760   class class class wbr 4395   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cn 10631  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  ..^cfzo 11942 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943 This theorem is referenced by:  fourierdlem37  38119  fourierdlem54  38136  fourierdlem63  38145  fourierdlem64  38146  fourierdlem65  38147  fourierdlem69  38151  fourierdlem79  38161  fourierdlem89  38171  fourierdlem90  38172  fourierdlem91  38173  fourierdlem107  38189  fourierdlem109  38191
 Copyright terms: Public domain W3C validator