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Theorem fourierdlem11 32146
Description: If there is a partition, than the lower bound is strictly less than the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem11.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem11.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem11.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem11  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B ) )
Distinct variable groups:    A, m, p    B, m, p    i, M, m, p    Q, i, p    ph, i
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    A( i)    B( i)    P( i, m, p)    Q( m)

Proof of Theorem fourierdlem11
StepHypRef Expression
1 fourierdlem11.q . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
2 fourierdlem11.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 fourierdlem11.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
43fourierdlem2 32137 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
52, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <-> 
( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
61, 5mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
76simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 0 )  =  A  /\  ( Q `
 M )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
87simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q ` 
0 )  =  A  /\  ( Q `  M )  =  B ) )
98simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  A )
106simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
11 elmapi 7459 . . . . 5  |-  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
13 0red 9614 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
1413leidd 10140 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  0 )
152nnred 10571 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
162nngt0d 10600 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  M )
1713, 15, 16ltled 9750 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
18 0zd 10897 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
192nnzd 10989 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
20 elfz 11703 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
0  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  0  /\  0  <_  M ) ) )
2118, 18, 19, 20syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  ( 0 ... M )  <-> 
( 0  <_  0  /\  0  <_  M ) ) )
2214, 17, 21mpbir2and 922 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
2312, 22ffvelrnd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR )
249, 23eqeltrrd 2546 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
258simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  B )
2615leidd 10140 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
27 elfz 11703 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
2819, 18, 19, 27syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( 0 ... M )  <-> 
( 0  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
2917, 26, 28mpbir2and 922 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
3012, 29ffvelrnd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  e.  RR )
3125, 30eqeltrrd 2546 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
32 0le1 10097 . . . . . 6  |-  0  <_  1
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
342nnge1d 10599 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
35 1zzd 10916 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
36 elfz 11703 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
3735, 18, 19, 36syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ( 0 ... M )  <-> 
( 0  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
3833, 34, 37mpbir2and 922 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 0 ... M ) )
3912, 38ffvelrnd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  1
)  e.  RR )
40 elfzo 11828 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
0  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  0  /\  0  <  M ) ) )
4118, 18, 19, 40syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  0  /\  0  <  M ) ) )
4214, 16, 41mpbir2and 922 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ M ) )
43 0re 9613 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
44 eleq1 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  <->  0  e.  ( 0..^ M ) ) )
4544anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  <->  ( ph  /\  0  e.  ( 0..^ M ) ) ) )
46 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  0  ->  ( Q `  i )  =  ( Q ` 
0 ) )
47 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
4847fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  0  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( Q `  ( 0  +  1 ) ) )
4946, 48breq12d 4469 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  0  ->  (
( Q `  i
)  <  ( Q `  ( i  +  1 ) )  <->  ( Q `  0 )  < 
( Q `  (
0  +  1 ) ) ) )
5045, 49imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  -> 
( Q `  i
)  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  <->  ( ( ph  /\  0  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q ` 
0 )  <  ( Q `  ( 0  +  1 ) ) ) ) )
517simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
5251r19.21bi 2826 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
5350, 52vtoclg 3167 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
( ph  /\  0  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  0 )  < 
( Q `  (
0  +  1 ) ) ) )
5443, 53ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q ` 
0 )  <  ( Q `  ( 0  +  1 ) ) )
5542, 54mpdan 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  <  ( Q `  ( 0  +  1 ) ) )
56 0p1e1 10668 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
5756a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  +  1 )  =  1 )
5857fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  (
0  +  1 ) )  =  ( Q `
 1 ) )
5955, 9, 583brtr3d 4485 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  ( Q `
 1 ) )
60 nnuz 11141 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
612, 60syl6eleq 2555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6212adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
63 0red 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  0  e.  RR )
64 elfzelz 11713 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  e.  ZZ )
6564zred 10990 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  e.  RR )
66 1red 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  1  e.  RR )
67 0lt1 10096 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <  1 )
69 elfzle1 11714 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  1  <_  i )
7063, 66, 65, 68, 69ltletrd 9759 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <  i )
7163, 65, 70ltled 9750 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  0  <_  i )
72 elfzle2 11715 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  <_  M )
73 0zd 10897 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  0  e.  ZZ )
74 elfzel2 11711 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  M  e.  ZZ )
75 elfz 11703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
7664, 73, 74, 75syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  (
i  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
7771, 72, 76mpbir2and 922 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
7877adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
7962, 78ffvelrnd 6033 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
8012adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
81 0red 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  0  e.  RR )
82 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  i  e.  ZZ )
8382zred 10990 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  i  e.  RR )
84 1red 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  1  e.  RR )
8567a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  0  <  1 )
86 elfzle1 11714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  1  <_  i )
8781, 84, 83, 85, 86ltletrd 9759 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  0  <  i )
8881, 83, 87ltled 9750 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  0  <_  i )
8988adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <_  i )
9083adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
9115adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
92 peano2rem 9905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
94 elfzle2 11715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  i  <_  ( M  -  1 ) )
9594adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  i  <_  ( M  -  1 ) )
9691ltm1d 10498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( M  -  1 )  <  M )
9790, 93, 91, 95, 96lelttrd 9757 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  i  <  M )
9890, 91, 97ltled 9750 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  i  <_  M )
9982adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
100 0zd 10897 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
10119adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
10299, 100, 101, 75syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
i  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
10389, 98, 102mpbir2and 922 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
10480, 103ffvelrnd 6033 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
105 0red 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  e.  RR )
106 peano2re 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  RR  ->  (
i  +  1 )  e.  RR )
10790, 106syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  RR )
108 1red 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
10967a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <  1 )
11083, 106syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  RR )
11183ltp1d 10496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  i  <  ( i  +  1 ) )
11284, 83, 110, 86, 111lelttrd 9757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) )  ->  1  <  ( i  +  1 ) )
113112adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  1  <  ( i  +  1 ) )
114105, 108, 107, 109, 113lttrd 9760 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <  ( i  +  1 ) )
115105, 107, 114ltled 9750 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( i  +  1 ) )
11690, 93, 108, 95leadd1dd 10187 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  <_  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
1172nncnd 10572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
118 1cnd 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
119117, 118npcand 9954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
120119adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
( M  -  1 )  +  1 )  =  M )
121116, 120breqtrd 4480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  <_  M )
12299peano2zd 10993 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ZZ )
123 elfz 11703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  ( i  +  1 )  /\  (
i  +  1 )  <_  M ) ) )
124122, 100, 101, 123syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  <->  ( 0  <_  ( i  +  1 )  /\  (
i  +  1 )  <_  M ) ) )
125115, 121, 124mpbir2and 922 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
12680, 125ffvelrnd 6033 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
127 elfzo 11828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  i  /\  i  <  M ) ) )
12899, 100, 101, 127syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  (
i  e.  ( 0..^ M )  <->  ( 0  <_  i  /\  i  <  M ) ) )
12989, 97, 128mpbir2and 922 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
130129, 52syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  (
i  +  1 ) ) )
131104, 126, 130ltled 9750 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  ->  ( Q `  i )  <_  ( Q `  (
i  +  1 ) ) )
13261, 79, 131monoord 12140 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q `  1
)  <_  ( Q `  M ) )
133132, 25breqtrd 4480 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q `  1
)  <_  B )
13424, 39, 31, 59, 133ltletrd 9759 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
13524, 31, 1343jca 1176 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822
This theorem is referenced by:  fourierdlem37  32172  fourierdlem54  32189  fourierdlem63  32198  fourierdlem64  32199  fourierdlem65  32200  fourierdlem69  32204  fourierdlem79  32214  fourierdlem89  32224  fourierdlem90  32225  fourierdlem91  32226  fourierdlem107  32242  fourierdlem109  32244
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