Theorem fourierdlem109 38079

Description: The integral of a piecewise continuous periodic function F is unchanged if the domain is shifted by any value X. This lemma generalizes fourierdlem92 38062 where the integral was shifted by the exact period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem109.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem109.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem109.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem109.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem109.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem109.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem109.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem109.f	|- ( ph -> F : RR --> CC )
fourierdlem109.fper	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem109.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem109.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
fourierdlem109.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem109.o	|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A - X ) /\ ( p ` m ) = ( B - X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem109.h	|- H = ( { ( A - X ) , ( B - X ) } u. { x e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
fourierdlem109.n	|- N = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem109.16	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
fourierdlem109.17	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem109.18	|- J = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
fourierdlem109.19	|- I = ( x e. RR |-> sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( Q ` j ) <_ ( J ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem109	|- ( ph -> S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )

Distinct variable groups:   A, f, j, k, y   A, i, x, j, k, y   A, m, p, i, j   B, f, j, k, y   B, i, x   B, m, p   f, E, j, k, y   i, E, x   i, F, j, x, y   f, H, y   x, H   f, I, k, y   i, I, x   i, J, j, x, y   x, L, y   i, M, x, y, j   m, M, p   f, N, j, k, y   i, N, x   m, N, p   Q, f, j, k, y   Q, i, x   Q, m, p   x, R, y   S, f, j, k, y   S, i, x   S, m, p   T, f, j, k, y   T, i, x   T, m, p   f, X, j, y   i, X, m, p   x, X   ph, f, j, k, y   ph, i, x

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   P( x, y, f, i, j, k, m, p)   R( f, i, j, k, m, p)   E( m, p)   F( f, k, m, p)   H( i, j, k, m, p)   I( j, m, p)   J( f, k, m, p)   L( f, i, j, k, m, p)   M( f, k)   O( x, y, f, i, j, k, m, p)   X( k)

Proof of Theorem fourierdlem109

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem109.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
2	1	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < X ) -> A e. RR )
3		fourierdlem109.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
4	3	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < X ) -> B e. RR )
5		fourierdlem109.t	. . 3 |- T = ( B - A )
6		fourierdlem109.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. RR )
7	6	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < X ) -> X e. RR )
8		simpr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ 0 < X ) -> 0 < X )
9	7, 8	elrpd 11338	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < X ) -> X e. RR+ )
10		fourierdlem109.p	. . 3 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
11		fourierdlem109.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
12	11	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < X ) -> M e. NN )
13		fourierdlem109.q	. . . 4 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
14	13	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < X ) -> Q e. ( P ` M ) )
15		fourierdlem109.f	. . . 4 |- ( ph -> F : RR --> CC )
16	15	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < X ) -> F : RR --> CC )
17		fourierdlem109.fper	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
18	17	adantlr 721	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 0 < X ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
19		fourierdlem109.fcn	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
20	19	adantlr 721	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 0 < X ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
21		fourierdlem109.r	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
22	21	adantlr 721	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 0 < X ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
23		fourierdlem109.l	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
24	23	adantlr 721	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 0 < X ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
25	2, 4, 5, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24	fourierdlem108 38078	. 2 |- ( ( ph /\ 0 < X ) -> S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
26		oveq2 6298	. . . . . . 7 |- ( X = 0 -> ( A - X ) = ( A - 0 ) )
27	1	recnd 9669	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
28	27	subid1d 9975	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A - 0 ) = A )
29	26, 28	sylan9eqr 2507	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = 0 ) -> ( A - X ) = A )
30		oveq2 6298	. . . . . . 7 |- ( X = 0 -> ( B - X ) = ( B - 0 ) )
31	3	recnd 9669	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. CC )
32	31	subid1d 9975	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B - 0 ) = B )
33	30, 32	sylan9eqr 2507	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = 0 ) -> ( B - X ) = B )
34	29, 33	oveq12d 6308	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = 0 ) -> ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) = ( A [,] B ) )
35	34	itgeq1d 37833	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = 0 ) -> S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
36	35	adantlr 721	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < X ) /\ X = 0 ) -> S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
37		simpll 760	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < X ) /\ -. X = 0 ) -> ph )
38	37, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < X ) /\ -. X = 0 ) -> X e. RR )
39		0red 9644	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < X ) /\ -. X = 0 ) -> 0 e. RR )
40		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < X ) /\ -. X = 0 ) -> -. X = 0 )
41	40	neqned 2631	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < X ) /\ -. X = 0 ) -> X =/= 0 )
42		simplr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < X ) /\ -. X = 0 ) -> -. 0 < X )
43	38, 39, 41, 42	lttri5d 37517	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < X ) /\ -. X = 0 ) -> X < 0 )
44	6	recnd 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. CC )
45	27, 44	subcld 9986	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A - X ) e. CC )
46	45, 44	subnegd 9993	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A - X ) - -u X ) = ( ( A - X ) + X ) )
47	27, 44	npcand 9990	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A - X ) + X ) = A )
48	46, 47	eqtrd 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A - X ) - -u X ) = A )
49	31, 44	subcld 9986	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B - X ) e. CC )
50	49, 44	subnegd 9993	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B - X ) - -u X ) = ( ( B - X ) + X ) )
51	31, 44	npcand 9990	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B - X ) + X ) = B )
52	50, 51	eqtrd 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B - X ) - -u X ) = B )
53	48, 52	oveq12d 6308	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A - X ) - -u X ) [,] ( ( B - X ) - -u X ) ) = ( A [,] B ) )
54	53	eqcomd 2457	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) = ( ( ( A - X ) - -u X ) [,] ( ( B - X ) - -u X ) ) )
55	54	itgeq1d 37833	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x = S. ( ( ( A - X ) - -u X ) [,] ( ( B - X ) - -u X ) ) ( F ` x ) _d x )
56	55	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X < 0 ) -> S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x = S. ( ( ( A - X ) - -u X ) [,] ( ( B - X ) - -u X ) ) ( F ` x ) _d x )
57	1, 6	resubcld 10047	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A - X ) e. RR )
58	57	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < 0 ) -> ( A - X ) e. RR )
59	3, 6	resubcld 10047	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B - X ) e. RR )
60	59	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < 0 ) -> ( B - X ) e. RR )
61		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( ( B - X ) - ( A - X ) ) = ( ( B - X ) - ( A - X ) )
62	6	renegcld 10046	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u X e. RR )
63	62	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < 0 ) -> -u X e. RR )
64	6	lt0neg1d 10183	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X < 0 <-> 0 < -u X ) )
65	64	biimpa 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X < 0 ) -> 0 < -u X )
66	63, 65	elrpd 11338	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < 0 ) -> -u X e. RR+ )
67		fourierdlem109.o	. . . . . . 7 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A - X ) /\ ( p ` m ) = ( B - X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
68		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( p ` i ) = ( p ` j ) )
69		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = j -> ( i + 1 ) = ( j + 1 ) )
70	69	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( p ` ( i + 1 ) ) = ( p ` ( j + 1 ) ) )
71	68, 70	breq12d 4415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) <-> ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) )
72	71	cbvralv 3019	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) <-> A. j e. ( 0..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) )
73	72	anbi2i 700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( p ` 0 ) = ( A - X ) /\ ( p ` m ) = ( B - X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ( p ` 0 ) = ( A - X ) /\ ( p ` m ) = ( B - X ) ) /\ A. j e. ( 0..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) )
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) -> ( ( ( ( p ` 0 ) = ( A - X ) /\ ( p ` m ) = ( B - X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ( p ` 0 ) = ( A - X ) /\ ( p ` m ) = ( B - X ) ) /\ A. j e. ( 0..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) ) )
75	74	rabbiia 3033	. . . . . . . 8 |- { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A - X ) /\ ( p ` m ) = ( B - X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } = { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A - X ) /\ ( p ` m ) = ( B - X ) ) /\ A. j e. ( 0..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) }
76	75	mpteq2i 4486	. . . . . . 7 |- ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A - X ) /\ ( p ` m ) = ( B - X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A - X ) /\ ( p ` m ) = ( B - X ) ) /\ A. j e. ( 0..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) } )
77	67, 76	eqtri 2473	. . . . . 6 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( A - X ) /\ ( p ` m ) = ( B - X ) ) /\ A. j e. ( 0..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) } )
78	10, 11, 13	fourierdlem11 37980	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
79	78	simp3d 1022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A < B )
80	1, 3, 6, 79	ltsub1dd 10225	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A - X ) < ( B - X ) )
81		fourierdlem109.h	. . . . . . . . . 10 |- H = ( { ( A - X ) , ( B - X ) } u. { x e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
82		fourierdlem109.n	. . . . . . . . . 10 |- N = ( ( # ` H ) - 1 )
83		fourierdlem109.16	. . . . . . . . . 10 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
84	5, 10, 11, 13, 57, 59, 80, 67, 81, 82, 83	fourierdlem54 38024	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) )
85	84	simpld 461	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) )
86	85	simpld 461	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN )
87	86	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < 0 ) -> N e. NN )
88	85	simprd 465	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. ( O ` N ) )
89	88	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < 0 ) -> S e. ( O ` N ) )
90	15	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X < 0 ) -> F : RR --> CC )
91	31, 27, 44	nnncan2d 10021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( B - X ) - ( A - X ) ) = ( B - A ) )
92	91, 5	syl6eqr 2503	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( B - X ) - ( A - X ) ) = T )
93	92	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x + ( ( B - X ) - ( A - X ) ) ) = ( x + T ) )
94	93	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x + ( ( B - X ) - ( A - X ) ) ) = ( x + T ) )
95	94	fveq2d 5869	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + ( ( B - X ) - ( A - X ) ) ) ) = ( F ` ( x + T ) ) )
96	95, 17	eqtrd 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + ( ( B - X ) - ( A - X ) ) ) ) = ( F ` x ) )
97	96	adantlr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X < 0 ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + ( ( B - X ) - ( A - X ) ) ) ) = ( F ` x ) )
98	11	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> M e. NN )
99	13	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> Q e. ( P ` M ) )
100	15	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> F : RR --> CC )
101	17	adantlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
102	19	adantlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
103	57	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( A - X ) e. RR )
104	57	rexrd 9690	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A - X ) e. RR* )
105		pnfxr 11412	. . . . . . . . . . 11 |- +oo e. RR*
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> +oo e. RR* )
107	59	ltpnfd 11423	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - X ) < +oo )
108	104, 106, 59, 80, 107	eliood 37595	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - X ) e. ( ( A - X ) (,) +oo ) )
109	108	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( B - X ) e. ( ( A - X ) (,) +oo ) )
110		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x + ( k x. T ) ) = ( y + ( k x. T ) ) )
111	110	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
112	111	rexbidv 2901	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
113	112	cbvrabv 3044	. . . . . . . . . 10 |- { x e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q }
114	113	uneq2i 3585	. . . . . . . . 9 |- ( { ( A - X ) , ( B - X ) } u. { x e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { ( A - X ) , ( B - X ) } u. { y e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
115	81, 114	eqtri 2473	. . . . . . . 8 |- H = ( { ( A - X ) , ( B - X ) } u. { y e. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
116		fourierdlem109.17	. . . . . . . 8 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
117		fourierdlem109.18	. . . . . . . 8 |- J = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
118		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. ( 0..^ N ) )
119		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
120		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( F |` ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) = ( F |` ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) )
121		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) + ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) (,) ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) + ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ` ( y - ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) ) = ( y e. ( ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) + ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) (,) ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) + ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ` ( y - ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) )
122		fourierdlem109.19	. . . . . . . . 9 |- I = ( x e. RR |-> sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( Q ` j ) <_ ( J ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
123		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = i -> ( Q ` j ) = ( Q ` i ) )
124	123	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = i -> ( ( Q ` j ) <_ ( J ` ( E ` x ) ) <-> ( Q ` i ) <_ ( J ` ( E ` x ) ) ) )
125	124	cbvrabv 3044	. . . . . . . . . . 11 |- { j e. ( 0..^ M ) | ( Q ` j ) <_ ( J ` ( E ` x ) ) } = { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( J ` ( E ` x ) ) }
126	125	supeq1i 7961	. . . . . . . . . 10 |- sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( Q ` j ) <_ ( J ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) = sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( J ` ( E ` x ) ) } , RR , < )
127	126	mpteq2i 4486	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR |-> sup ( { j e. ( 0..^ M ) | ( Q ` j ) <_ ( J ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) ) = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( J ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
128	122, 127	eqtri 2473	. . . . . . . 8 |- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( J ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
129	10, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 128	fourierdlem90 38060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
130	129	adantlr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X < 0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
131	21	adantlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
132		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) |-> R ) = ( i e. ( 0..^ M ) |-> R )
133	10, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 131, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 128, 132	fourierdlem89 38059	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> if ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( ( i e. ( 0..^ M ) |-> R ) ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( F ` ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
134	133	adantlr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X < 0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> if ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( ( i e. ( 0..^ M ) |-> R ) ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( F ` ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
135	23	adantlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
136		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ M ) |-> L ) = ( i e. ( 0..^ M ) |-> L )
137	10, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 135, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 128, 136	fourierdlem91 38061	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> if ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) , ( ( i e. ( 0..^ M ) |-> L ) ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( F ` ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
138	137	adantlr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X < 0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> if ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) , ( ( i e. ( 0..^ M ) |-> L ) ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( F ` ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
139	58, 60, 61, 66, 77, 87, 89, 90, 97, 130, 134, 138	fourierdlem108 38078	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X < 0 ) -> S. ( ( ( A - X ) - -u X ) [,] ( ( B - X ) - -u X ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` x ) _d x )
140	56, 139	eqtr2d 2486	. . . 4 |- ( ( ph /\ X < 0 ) -> S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
141	37, 43, 140	syl2anc 667	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < X ) /\ -. X = 0 ) -> S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
142	36, 141	pm2.61dan 800	. 2 |- ( ( ph /\ -. 0 < X ) -> S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
143	25, 142	pm2.61dan 800	1 |- ( ph -> S. ( ( A - X ) [,] ( B - X ) ) ( F ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   u. cun 3402   ifcif 3881   {cpr 3970   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   ran crn 4835   |` cres 4836   iotacio 5544   -->wf 5578   ` cfv 5582   Isom wiso 5583  (class class class)co 6290   ^m cmap 7472   supcsup 7954   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   -ucneg 9861   / cdiv 10269   NNcn 10609   ZZcz 10937   (,)cioo 11635   (,]cioc 11636   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   |_cfl 12026   #chash 12515   -cn->ccncf 21908   S.citg 22576   lim CC climc 22817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-ditg 22802  df-limc 22821  df-dv 22822

This theorem is referenced by:  fourierdlem110  38080