Proof of Theorem fourierdlem109
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fourierdlem109.a |
. . . 4
   |
2 | 1 | adantr 467 |
. . 3
 

  |
3 | | fourierdlem109.b |
. . . 4
   |
4 | 3 | adantr 467 |
. . 3
 

  |
5 | | fourierdlem109.t |
. . 3
   |
6 | | fourierdlem109.x |
. . . . 5
   |
7 | 6 | adantr 467 |
. . . 4
 

  |
8 | | simpr 463 |
. . . 4
 

  |
9 | 7, 8 | elrpd 11338 |
. . 3
 

  |
10 | | fourierdlem109.p |
. . 3
 
                 
 ..^                |
11 | | fourierdlem109.m |
. . . 4
   |
12 | 11 | adantr 467 |
. . 3
 

  |
13 | | fourierdlem109.q |
. . . 4
       |
14 | 13 | adantr 467 |
. . 3
 

      |
15 | | fourierdlem109.f |
. . . 4
       |
16 | 15 | adantr 467 |
. . 3
 

      |
17 | | fourierdlem109.fper |
. . . 4
 

            |
18 | 17 | adantlr 721 |
. . 3
                 |
19 | | fourierdlem109.fcn |
. . . 4
 
 ..^                                      |
20 | 19 | adantlr 721 |
. . 3
     ..^ 
                                    |
21 | | fourierdlem109.r |
. . . 4
 
 ..^                   lim        |
22 | 21 | adantlr 721 |
. . 3
     ..^ 
                 lim        |
23 | | fourierdlem109.l |
. . . 4
 
 ..^                   lim          |
24 | 23 | adantlr 721 |
. . 3
     ..^ 
                 lim          |
25 | 2, 4, 5, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 | fourierdlem108 38078 |
. 2
 

     ![[,] [,]](_icc.gif)             ![[,] [,]](_icc.gif)          |
26 | | oveq2 6298 |
. . . . . . 7
 
     |
27 | 1 | recnd 9669 |
. . . . . . . 8
   |
28 | 27 | subid1d 9975 |
. . . . . . 7
     |
29 | 26, 28 | sylan9eqr 2507 |
. . . . . 6
 
 
   |
30 | | oveq2 6298 |
. . . . . . 7
 
     |
31 | 3 | recnd 9669 |
. . . . . . . 8
   |
32 | 31 | subid1d 9975 |
. . . . . . 7
     |
33 | 30, 32 | sylan9eqr 2507 |
. . . . . 6
 
 
   |
34 | 29, 33 | oveq12d 6308 |
. . . . 5
 
     ![[,] [,]](_icc.gif)      ![[,] [,]](_icc.gif)    |
35 | 34 | itgeq1d 37833 |
. . . 4
 
      ![[,] [,]](_icc.gif) 
           ![[,] [,]](_icc.gif)          |
36 | 35 | adantlr 721 |
. . 3
   
      ![[,] [,]](_icc.gif)             ![[,] [,]](_icc.gif)          |
37 | | simpll 760 |
. . . 4
   

  |
38 | 37, 6 | syl 17 |
. . . . 5
   

  |
39 | | 0red 9644 |
. . . . 5
   

  |
40 | | simpr 463 |
. . . . . 6
   

  |
41 | 40 | neqned 2631 |
. . . . 5
   

  |
42 | | simplr 762 |
. . . . 5
   

  |
43 | 38, 39, 41, 42 | lttri5d 37517 |
. . . 4
   

  |
44 | 6 | recnd 9669 |
. . . . . . . . . . . 12
   |
45 | 27, 44 | subcld 9986 |
. . . . . . . . . . 11
     |
46 | 45, 44 | subnegd 9993 |
. . . . . . . . . 10
            |
47 | 27, 44 | npcand 9990 |
. . . . . . . . . 10
       |
48 | 46, 47 | eqtrd 2485 |
. . . . . . . . 9
        |
49 | 31, 44 | subcld 9986 |
. . . . . . . . . . 11
     |
50 | 49, 44 | subnegd 9993 |
. . . . . . . . . 10
            |
51 | 31, 44 | npcand 9990 |
. . . . . . . . . 10
       |
52 | 50, 51 | eqtrd 2485 |
. . . . . . . . 9
        |
53 | 48, 52 | oveq12d 6308 |
. . . . . . . 8
        ![[,] [,]](_icc.gif)         ![[,] [,]](_icc.gif)    |
54 | 53 | eqcomd 2457 |
. . . . . . 7
   ![[,] [,]](_icc.gif)         ![[,] [,]](_icc.gif)         |
55 | 54 | itgeq1d 37833 |
. . . . . 6
    ![[,] [,]](_icc.gif)                ![[,] [,]](_icc.gif)               |
56 | 55 | adantr 467 |
. . . . 5
 
    ![[,] [,]](_icc.gif)                ![[,] [,]](_icc.gif)               |
57 | 1, 6 | resubcld 10047 |
. . . . . . 7
     |
58 | 57 | adantr 467 |
. . . . . 6
 
 
   |
59 | 3, 6 | resubcld 10047 |
. . . . . . 7
     |
60 | 59 | adantr 467 |
. . . . . 6
 
 
   |
61 | | eqid 2451 |
. . . . . 6
         
   |
62 | 6 | renegcld 10046 |
. . . . . . . 8
    |
63 | 62 | adantr 467 |
. . . . . . 7
 
    |
64 | 6 | lt0neg1d 10183 |
. . . . . . . 8
      |
65 | 64 | biimpa 487 |
. . . . . . 7
 
    |
66 | 63, 65 | elrpd 11338 |
. . . . . 6
 
    |
67 | | fourierdlem109.o |
. . . . . . 7
 
             
         ..^     
          |
68 | | fveq2 5865 |
. . . . . . . . . . . . 13
           |
69 | | oveq1 6297 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
70 | 69 | fveq2d 5869 |
. . . . . . . . . . . . 13
               |
71 | 68, 70 | breq12d 4415 |
. . . . . . . . . . . 12
     
     
             |
72 | 71 | cbvralv 3019 |
. . . . . . . . . . 11
 
 ..^              ..^              |
73 | 72 | anbi2i 700 |
. . . . . . . . . 10
                  ..^     
      
                 ..^     
         |
74 | 73 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
               
         ..^     
      
                 ..^     
          |
75 | 74 | rabbiia 3033 |
. . . . . . . 8
                        ..^              
             
         ..^     
         |
76 | 75 | mpteq2i 4486 |
. . . . . . 7
                         ..^                                        ..^                |
77 | 67, 76 | eqtri 2473 |
. . . . . 6
 
             
         ..^     
          |
78 | 10, 11, 13 | fourierdlem11 37980 |
. . . . . . . . . . . 12
     |
79 | 78 | simp3d 1022 |
. . . . . . . . . . 11
   |
80 | 1, 3, 6, 79 | ltsub1dd 10225 |
. . . . . . . . . 10
  
    |
81 | | fourierdlem109.h |
. . . . . . . . . 10
             ![[,] [,]](_icc.gif)     
      |
82 | | fourierdlem109.n |
. . . . . . . . . 10
       |
83 | | fourierdlem109.16 |
. . . . . . . . . 10
            |
84 | 5, 10, 11, 13, 57, 59, 80, 67, 81, 82, 83 | fourierdlem54 38024 |
. . . . . . . . 9
                  |
85 | 84 | simpld 461 |
. . . . . . . 8
         |
86 | 85 | simpld 461 |
. . . . . . 7
   |
87 | 86 | adantr 467 |
. . . . . 6
 
   |
88 | 85 | simprd 465 |
. . . . . . 7
       |
89 | 88 | adantr 467 |
. . . . . 6
 
       |
90 | 15 | adantr 467 |
. . . . . 6
 
       |
91 | 31, 27, 44 | nnncan2d 10021 |
. . . . . . . . . . . 12
    
      |
92 | 91, 5 | syl6eqr 2503 |
. . . . . . . . . . 11
    
    |
93 | 92 | oveq2d 6306 |
. . . . . . . . . 10
             |
94 | 93 | adantr 467 |
. . . . . . . . 9
 

    
       |
95 | 94 | fveq2d 5869 |
. . . . . . . 8
 

       
            |
96 | 95, 17 | eqtrd 2485 |
. . . . . . 7
 

       
          |
97 | 96 | adantlr 721 |
. . . . . 6
            
          |
98 | 11 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
 
 ..^    |
99 | 13 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
 
 ..^        |
100 | 15 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
 
 ..^        |
101 | 17 | adantlr 721 |
. . . . . . . 8
    ..^               |
102 | 19 | adantlr 721 |
. . . . . . . 8
    ..^   ..^ 
                                    |
103 | 57 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
 
 ..^      |
104 | 57 | rexrd 9690 |
. . . . . . . . . 10
     |
105 | | pnfxr 11412 |
. . . . . . . . . . 11
 |
106 | 105 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
   |
107 | 59 | ltpnfd 11423 |
. . . . . . . . . 10
  
  |
108 | 104, 106,
59, 80, 107 | eliood 37595 |
. . . . . . . . 9
          |
109 | 108 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
 
 ..^       
   |
110 | | oveq1 6297 |
. . . . . . . . . . . . 13
           |
111 | 110 | eleq1d 2513 |
. . . . . . . . . . . 12
             |
112 | 111 | rexbidv 2901 |
. . . . . . . . . . 11
  

           |
113 | 112 | cbvrabv 3044 |
. . . . . . . . . 10
     ![[,] [,]](_icc.gif) 
             ![[,] [,]](_icc.gif)    
      |
114 | 113 | uneq2i 3585 |
. . . . . . . . 9
             ![[,] [,]](_icc.gif) 
                      ![[,] [,]](_icc.gif)    
       |
115 | 81, 114 | eqtri 2473 |
. . . . . . . 8
             ![[,] [,]](_icc.gif)            |
116 | | fourierdlem109.17 |
. . . . . . . 8
 
             |
117 | | fourierdlem109.18 |
. . . . . . . 8
   ![(,] (,]](_ioc.gif)         |
118 | | simpr 463 |
. . . . . . . 8
 
 ..^   ..^   |
119 | | eqid 2451 |
. . . . . . . 8
                                     |
120 | | eqid 2451 |
. . . . . . . 8
                                                         |
121 | | eqid 2451 |
. . . . . . . 8
                                                                                                                                                                                                                                                 |
122 | | fourierdlem109.19 |
. . . . . . . . 9
     ..^                  |
123 | | fveq2 5865 |
. . . . . . . . . . . . 13
           |
124 | 123 | breq1d 4412 |
. . . . . . . . . . . 12
     
       
               |
125 | 124 | cbvrabv 3044 |
. . . . . . . . . . 11
  ..^                ..^               |
126 | 125 | supeq1i 7961 |
. . . . . . . . . 10
    ..^    
          
    ..^                 |
127 | 126 | mpteq2i 4486 |
. . . . . . . . 9
     ..^    
          
      ..^                  |
128 | 122, 127 | eqtri 2473 |
. . . . . . . 8
     ..^                  |
129 | 10, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 128 | fourierdlem90 38060 |
. . . . . . 7
 
 ..^                                      |
130 | 129 | adantlr 721 |
. . . . . 6
     ..^ 
                                    |
131 | 21 | adantlr 721 |
. . . . . . . 8
    ..^   ..^ 
                 lim        |
132 | | eqid 2451 |
. . . . . . . 8
  ..^    ..^   |
133 | 10, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 131, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 128, 132 | fourierdlem89 38059 |
. . . . . . 7
 
 ..^                                ..^                                                lim        |
134 | 133 | adantlr 721 |
. . . . . 6
     ..^ 
                              ..^                                                lim        |
135 | 23 | adantlr 721 |
. . . . . . . 8
    ..^   ..^ 
                 lim          |
136 | | eqid 2451 |
. . . . . . . 8
  ..^    ..^   |
137 | 10, 5, 98, 99, 100, 101, 102, 135, 103, 109, 67, 115, 82, 83, 116, 117, 118, 119, 128, 136 | fourierdlem91 38061 |
. . . . . . 7
 
 ..^                                ..^                              
               lim          |
138 | 137 | adantlr 721 |
. . . . . 6
     ..^ 
                              ..^                                              lim          |
139 | 58, 60, 61, 66, 77, 87, 89, 90, 97, 130, 134, 138 | fourierdlem108 38078 |
. . . . 5
 
         ![[,] [,]](_icc.gif)                  ![[,] [,]](_icc.gif)            |
140 | 56, 139 | eqtr2d 2486 |
. . . 4
 
      ![[,] [,]](_icc.gif) 
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141 | 37, 43, 140 | syl2anc 667 |
. . 3
   

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142 | 36, 141 | pm2.61dan 800 |
. 2
 
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143 | 25, 142 | pm2.61dan 800 |
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