Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem107 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fourierdlem107 38189
 Description: The integral of a piecewise continuous periodic function is unchanged if the domain is shifted by any positive value . This lemma generalizes fourierdlem92 38174 where the integral was shifted by the exact period. This lemma uses local definitions, so that the proof is more readable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem107.a
fourierdlem107.b
fourierdlem107.t
fourierdlem107.x
fourierdlem107.p ..^
fourierdlem107.m
fourierdlem107.q
fourierdlem107.f
fourierdlem107.fper
fourierdlem107.fcn ..^
fourierdlem107.r ..^ lim
fourierdlem107.l ..^ lim
fourierdlem107.o ..^
fourierdlem107.h
fourierdlem107.n
fourierdlem107.s
fourierdlem107.e
fourierdlem107.z
fourierdlem107.i ..^
Assertion
Ref Expression
fourierdlem107
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,,,,)   (,,,,)   ()   (,)   (,,,)   (,,,)   (,)   (,,,,)   (,)   (,,,,,,)   ()   (,,,)

Proof of Theorem fourierdlem107
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem107.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17
21oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 fourierdlem107.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 fourierdlem107.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8 fourierdlem107.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
98recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
104, 7, 9, 4subadd4b 37582 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112, 10syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15
124subidd 9993 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1312oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15
148, 6resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1514recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1615addid2d 9852 . . . . . . . . . . . . . . 15
1711, 13, 163eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14
181oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . 15
194, 9pncan3d 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15
2018, 19syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . 14
2117, 20oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13
2221eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12
2322itgeq1d 37930 . . . . . . . . . . 11
243, 6resubcld 10068 . . . . . . . . . . . 12
25 fourierdlem107.o . . . . . . . . . . . . 13 ..^
26 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2827fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2926, 28breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3029cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
3231anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
3332rabbidv 3022 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
3433mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
3525, 34eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12 ..^
36 fourierdlem107.p . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
37 fourierdlem107.m . . . . . . . . . . . . . . 15
38 fourierdlem107.q . . . . . . . . . . . . . . 15
393, 5ltsubrpd 11393 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 fourierdlem107.h . . . . . . . . . . . . . . 15
41 fourierdlem107.n . . . . . . . . . . . . . . 15
42 fourierdlem107.s . . . . . . . . . . . . . . 15
431, 36, 37, 38, 24, 3, 39, 25, 40, 41, 42fourierdlem54 38136 . . . . . . . . . . . . . 14
4443simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13
4544simpld 466 . . . . . . . . . . . 12
468, 3resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . 13
471, 46syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . 12
4844simprd 470 . . . . . . . . . . . 12
4924adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
503adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
51 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
52 eliccre 37699 . . . . . . . . . . . . . 14
5349, 50, 51, 52syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
54 fourierdlem107.fper . . . . . . . . . . . . 13
5553, 54syldan 478 . . . . . . . . . . . 12
56 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
5756oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13
5857cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . 12
59 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
60 fourierdlem107.f . . . . . . . . . . . 12
6137adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
6238adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
6360adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
6454adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
65 fourierdlem107.fcn . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
6665adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
6724adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
6867rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
69 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
713adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
7239adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
733ltpnfd 11446 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
7568, 70, 71, 72, 74eliood 37691 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
76 fourierdlem107.e . . . . . . . . . . . . 13
77 fourierdlem107.z . . . . . . . . . . . . 13
78 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
79 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
80 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
81 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
82 fourierdlem107.i . . . . . . . . . . . . 13 ..^
8336, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82fourierdlem90 38172 . . . . . . . . . . . 12 ..^
84 fourierdlem107.r . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ lim
8584adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^ lim
86 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
8736, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 85, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 82, 86fourierdlem89 38171 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ lim
88 fourierdlem107.l . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ lim
8988adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^ lim
90 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
9136, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 89, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 82, 90fourierdlem91 38173 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ lim
9224, 3, 35, 45, 47, 48, 55, 58, 59, 60, 83, 87, 91fourierdlem92 38174 . . . . . . . . . . 11
9323, 92eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
9460adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
9514adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
968adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
97 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
98 eliccre 37699 . . . . . . . . . . . . 13
9995, 96, 97, 98syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
10094, 99ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11
10114rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13
10269a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
1038, 5ltsubrpd 11393 . . . . . . . . . . . . 13
1048ltpnfd 11446 . . . . . . . . . . . . 13
105101, 102, 8, 103, 104eliood 37691 . . . . . . . . . . . 12
10636, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 14, 105fourierdlem105 38187 . . . . . . . . . . 11
107100, 106itgcl 22820 . . . . . . . . . 10
10893, 107eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9
109108subidd 9993 . . . . . . . 8
110109eqcomd 2477 . . . . . . 7
111110adantr 472 . . . . . 6
11224adantr 472 . . . . . . . 8
1133adantr 472 . . . . . . . 8
11414adantr 472 . . . . . . . . 9
11536, 37, 38fourierdlem11 38092 . . . . . . . . . . . . 13
116115simp3d 1044 . . . . . . . . . . . 12
1173, 8, 116ltled 9800 . . . . . . . . . . 11
118117adantr 472 . . . . . . . . . 10
1193, 8, 6lesub1d 10241 . . . . . . . . . . 11
120119adantr 472 . . . . . . . . . 10
121118, 120mpbid 215 . . . . . . . . 9
1228adantr 472 . . . . . . . . . . 11
1236adantr 472 . . . . . . . . . . 11
124 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
1251, 124syl5eqbrr 4430 . . . . . . . . . . 11
126122, 113, 123, 125ltsub23d 10239 . . . . . . . . . 10
127114, 113, 126ltled 9800 . . . . . . . . 9
128112, 113, 114, 121, 127eliccd 37697 . . . . . . . 8
12960adantr 472 . . . . . . . . . 10
130129, 53ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
131130adantlr 729 . . . . . . . 8
13224rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11
1333, 8, 6, 116ltsub1dd 10246 . . . . . . . . . . 11
13414ltpnfd 11446 . . . . . . . . . . 11
135132, 102, 14, 133, 134eliood 37691 . . . . . . . . . 10
13636, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 24, 135fourierdlem105 38187 . . . . . . . . 9
137136adantr 472 . . . . . . . 8
13837adantr 472 . . . . . . . . 9
13938adantr 472 . . . . . . . . 9
14060adantr 472 . . . . . . . . 9
14154adantlr 729 . . . . . . . . 9
14265adantlr 729 . . . . . . . . 9 ..^
14384adantlr 729 . . . . . . . . 9 ..^ lim
14488adantlr 729 . . . . . . . . 9 ..^ lim
145101adantr 472 . . . . . . . . . 10
14669a1i 11 . . . . . . . . . 10
147113ltpnfd 11446 . . . . . . . . . 10
148145, 146, 113, 126, 147eliood 37691 . . . . . . . . 9
14936, 1, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 114, 148fourierdlem105 38187 . . . . . . . 8
150112, 113, 128, 131, 137, 149itgspliticc 22873 . . . . . . 7
151150oveq1d 6323 . . . . . 6
15260adantr 472 . . . . . . . . . 10
15324adantr 472 . . . . . . . . . . 11
15414adantr 472 . . . . . . . . . . 11
155 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
156 eliccre 37699 . . . . . . . . . . 11
157153, 154, 155, 156syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
158152, 157ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
159158, 136itgcl 22820 . . . . . . . 8
160159adantr 472 . . . . . . 7
16160adantr 472 . . . . . . . . . 10
16214adantr 472 . . . . . . . . . . 11
1633adantr 472 . . . . . . . . . . 11
164 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
165 eliccre 37699 . . . . . . . . . . 11
166162, 163, 164, 165syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
167161, 166ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
168167adantlr 729 . . . . . . . 8
169168, 149itgcl 22820 . . . . . . 7
170108adantr 472 . . . . . . 7
171160, 169, 170addsubassd 10025 . . . . . 6
172111, 151, 1713eqtrd 2509 . . . . 5
173172oveq2d 6324 . . . 4
174160subid1d 9994 . . . 4
175159subidd 9993 . . . . . . 7
176175oveq1d 6323 . . . . . 6
177176adantr 472 . . . . 5
178169, 170subcld 10005 . . . . . 6
179160, 160, 178subsub4d 10036 . . . . 5
180 df-neg 9883 . . . . . 6
181169, 170negsubdi2d 10021 . . . . . 6
182180, 181syl5eqr 2519 . . . . 5
183177, 179, 1823eqtr3d 2513 . . . 4
184173, 174, 1833eqtr3d 2513 . . 3
185107subidd 9993 . . . . . . . 8
186185eqcomd 2477 . . . . . . 7
187186oveq2d 6324 . . . . . 6
188187adantr 472 . . . . 5
189169addid1d 9851 . . . . 5
190114, 122, 113, 127, 118eliccd 37697 . . . . . . . . 9
191100adantlr 729 . . . . . . . . 9
1923, 8iccssred 37698 . . . . . . . . . . . 12
19360, 192feqresmpt 5933 . . . . . . . . . . 11
19460, 192fssresd 5762 . . . . . . . . . . . 12
195 ioossicc 11745 . . . . . . . . . . . . . . 15
1963rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
197196adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
1988rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
199198adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
20036, 37, 38fourierdlem15 38096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
201200adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
202 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
203197, 199, 201, 202fourierdlem8 38089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
204195, 203syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
205204resabs1d 5140 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
206205, 65eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12 ..^
207205eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
208207oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ lim lim
20984, 208eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12 ..^ lim
210207oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ lim lim
21188, 210eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12 ..^ lim
21236, 37, 38, 194, 206, 209, 211fourierdlem69 38151 . . . . . . . . . . 11
213193, 212eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . 10
214213adantr 472 . . . . . . . . 9
215114, 122, 190, 191, 149, 214itgspliticc 22873 . . . . . . . 8
216215oveq2d 6324 . . . . . . 7
217216oveq2d 6324 . . . . . 6
218107adantr 472 . . . . . . 7
219215, 218eqeltrrd 2550 . . . . . . 7
220169, 218, 219addsub12d 10028 . . . . . 6
22160adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
2223adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
2238adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
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