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Theorem fourierdlem107 38077
Description: The integral of a piecewise continuous periodic function  F is unchanged if the domain is shifted by any positive value  X. This lemma generalizes fourierdlem92 38062 where the integral was shifted by the exact period. This lemma uses local definitions, so that the proof is more readable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem107.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem107.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem107.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem107.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
fourierdlem107.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem107.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem107.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem107.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
fourierdlem107.fper  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
fourierdlem107.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem107.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
fourierdlem107.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem107.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( A  -  X
)  /\  ( p `  m )  =  A )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `  i
)  <  ( p `  ( i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem107.h  |-  H  =  ( { ( A  -  X ) ,  A }  u.  {
y  e.  ( ( A  -  X ) [,] A )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q } )
fourierdlem107.n  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
fourierdlem107.s  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
fourierdlem107.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
fourierdlem107.z  |-  Z  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
fourierdlem107.i  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( Z `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem107  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) ) ( F `
 x )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
Distinct variable groups:    A, f,
k, y    A, i, x, k, y    A, m, p, i    B, f, k, y    B, i, x    B, m, p    f, E, k, y    i, E, x    i, F, x, y    f, H, y   
x, H    f, I,
k, y    i, I, x    x, L, y    i, M, x, y    m, M, p    f, N, k, y    i, N, x   
m, N, p    Q, f, k, y    Q, i, x    Q, m, p    x, R, y    S, f, k, y    S, i, x    S, p    T, f, k, y    T, i, x    T, m, p    f, X, y   
i, X, m, p   
x, X    i, Z, x, y    ph, f, k, y    ph, i, x
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( x, y, f, i, k, m, p)    R( f, i, k, m, p)    S( m)    E( m, p)    F( f, k, m, p)    H( i, k, m, p)    I( m, p)    L( f,
i, k, m, p)    M( f, k)    O( x, y, f, i, k, m, p)    X( k)    Z( f, k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem107
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem107.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  =  ( B  -  A
)
21oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  -  X )  +  T )  =  ( ( A  -  X )  +  ( B  -  A ) )
3 fourierdlem107.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
43recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 fourierdlem107.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
65rpred 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
76recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
8 fourierdlem107.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
98recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
104, 7, 9, 4subadd4b 37492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  X )  +  ( B  -  A ) )  =  ( ( A  -  A )  +  ( B  -  X ) ) )
112, 10syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  X )  +  T
)  =  ( ( A  -  A )  +  ( B  -  X ) ) )
124subidd 9974 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  -  A
)  =  0 )
1312oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  A )  +  ( B  -  X ) )  =  ( 0  +  ( B  -  X ) ) )
148, 6resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  -  X
)  e.  RR )
1514recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  -  X
)  e.  CC )
1615addid2d 9834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( B  -  X ) )  =  ( B  -  X ) )
1711, 13, 163eqtrd 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  X )  +  T
)  =  ( B  -  X ) )
181oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  +  T )  =  ( A  +  ( B  -  A ) )
194, 9pncan3d 9989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
2018, 19syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  +  T
)  =  B )
2117, 20oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  X )  +  T ) [,] ( A  +  T )
)  =  ( ( B  -  X ) [,] B ) )
2221eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  X ) [,] B
)  =  ( ( ( A  -  X
)  +  T ) [,] ( A  +  T ) ) )
2322itgeq1d 37833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `
 x )  _d x  =  S. ( ( ( A  -  X )  +  T
) [,] ( A  +  T ) ) ( F `  x
)  _d x )
243, 6resubcld 10047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  -  X
)  e.  RR )
25 fourierdlem107.o . . . . . . . . . . . . 13  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( A  -  X
)  /\  ( p `  m )  =  A )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `  i
)  <  ( p `  ( i  +  1 ) ) ) } )
26 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  j  ->  (
p `  i )  =  ( p `  j ) )
27 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  j  ->  (
i  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
2827fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  j  ->  (
p `  ( i  +  1 ) )  =  ( p `  ( j  +  1 ) ) )
2926, 28breq12d 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  j  ->  (
( p `  i
)  <  ( p `  ( i  +  1 ) )  <->  ( p `  j )  <  (
p `  ( j  +  1 ) ) ) )
3029cbvralv 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) )  <->  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `  j )  <  ( p `  ( j  +  1 ) ) )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  ( A. i  e.  (
0..^ m ) ( p `  i )  <  ( p `  ( i  +  1 ) )  <->  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `  j
)  <  ( p `  ( j  +  1 ) ) ) )
3231anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( ( p `
 0 )  =  ( A  -  X
)  /\  ( p `  m )  =  A )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `  i
)  <  ( p `  ( i  +  1 ) ) )  <->  ( (
( p `  0
)  =  ( A  -  X )  /\  ( p `  m
)  =  A )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `  j
)  <  ( p `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
3332rabbidv 3036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  ( A  -  X )  /\  (
p `  m )  =  A )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) }  =  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( A  -  X
)  /\  ( p `  m )  =  A )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `  j
)  <  ( p `  ( j  +  1 ) ) ) } )
3433mpteq2ia 4485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  ( A  -  X )  /\  (
p `  m )  =  A )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  ( A  -  X )  /\  (
p `  m )  =  A )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 j )  < 
( p `  (
j  +  1 ) ) ) } )
3525, 34eqtri 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( A  -  X
)  /\  ( p `  m )  =  A )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `  j
)  <  ( p `  ( j  +  1 ) ) ) } )
36 fourierdlem107.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
37 fourierdlem107.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
38 fourierdlem107.q . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
393, 5ltsubrpd 11370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  -  X
)  <  A )
40 fourierdlem107.h . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  H  =  ( { ( A  -  X ) ,  A }  u.  {
y  e.  ( ( A  -  X ) [,] A )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q } )
41 fourierdlem107.n . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
42 fourierdlem107.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
431, 36, 37, 38, 24, 3, 39, 25, 40, 41, 42fourierdlem54 38024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `  N
) )  /\  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) ) )
4443simpld 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `
 N ) ) )
4544simpld 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
468, 3resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
471, 46syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
4844simprd 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  ( O `
 N ) )
4924adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] A
) )  ->  ( A  -  X )  e.  RR )
503adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] A
) )  ->  A  e.  RR )
51 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] A
) )  ->  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] A
) )
52 eliccre 37603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  -  X
)  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] A
) )  ->  x  e.  RR )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] A
) )  ->  x  e.  RR )
54 fourierdlem107.fper . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
5553, 54syldan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] A
) )  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
56 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  ( S `  i )  =  ( S `  j ) )
5756oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  j  ->  (
( S `  i
)  +  T )  =  ( ( S `
 j )  +  T ) )
5857cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0 ... N )  |->  ( ( S `  i )  +  T ) )  =  ( j  e.  ( 0 ... N
)  |->  ( ( S `
 j )  +  T ) )
59 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  ( ( A  -  X )  +  T )  /\  (
p `  m )  =  ( A  +  T ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 j )  < 
( p `  (
j  +  1 ) ) ) } )  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  ( ( A  -  X )  +  T )  /\  (
p `  m )  =  ( A  +  T ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 j )  < 
( p `  (
j  +  1 ) ) ) } )
60 fourierdlem107.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
6137adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  M  e.  NN )
6238adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  Q  e.  ( P `  M ) )
6360adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  F : RR --> CC )
6454adantlr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
65 fourierdlem107.fcn . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
6665adantlr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
6724adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( A  -  X )  e.  RR )
6867rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( A  -  X )  e.  RR* )
69 pnfxr 11412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- +oo  e.  RR*
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  -> +oo  e.  RR* )
713adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A  e.  RR )
7239adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( A  -  X )  <  A
)
733ltpnfd 11423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  < +oo )
7473adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A  < +oo )
7568, 70, 71, 72, 74eliood 37595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A  e.  ( ( A  -  X
) (,) +oo )
)
76 fourierdlem107.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
77 fourierdlem107.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
78 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  j  e.  ( 0..^ N ) )
79 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )
80 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  |`  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
81 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( ( Z `  ( E `
 ( S `  j ) ) )  +  ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) ) ) (,) (
( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  +  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) 
|->  ( ( F  |`  ( ( Z `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) `  ( y  -  ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( ( ( Z `
 ( E `  ( S `  j ) ) )  +  ( ( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) (,) ( ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) )  +  ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) ) ) )  |->  ( ( F  |`  (
( Z `  ( E `  ( S `  j ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) `  ( y  -  (
( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
82 fourierdlem107.i . . . . . . . . . . . . 13  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( Z `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
8336, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82fourierdlem90 38060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( F  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
84 fourierdlem107.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
8584adantlr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
86 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  R )  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  R )
8736, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 85, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 82, 86fourierdlem89 38059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  if ( ( Z `  ( E `
 ( S `  j ) ) )  =  ( Q `  ( I `  ( S `  j )
) ) ,  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  R ) `  ( I `
 ( S `  j ) ) ) ,  ( F `  ( Z `  ( E `
 ( S `  j ) ) ) ) )  e.  ( ( F  |`  (
( S `  j
) (,) ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `
 j ) ) )
88 fourierdlem107.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
8988adantlr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
90 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  L )  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  L )
9136, 1, 61, 62, 63, 64, 66, 89, 67, 75, 25, 40, 41, 42, 76, 77, 78, 79, 82, 90fourierdlem91 38061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  if ( ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( Q `  ( ( I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) ,  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  L ) `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) ,  ( F `  ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )
9224, 3, 35, 45, 47, 48, 55, 58, 59, 60, 83, 87, 91fourierdlem92 38062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( ( ( A  -  X )  +  T ) [,] ( A  +  T
) ) ( F `
 x )  _d x  =  S. ( ( A  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x )
9323, 92eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `
 x )  _d x  =  S. ( ( A  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x )
9460adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] B
) )  ->  F : RR --> CC )
9514adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] B
) )  ->  ( B  -  X )  e.  RR )
968adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] B
) )  ->  B  e.  RR )
97 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] B
) )  ->  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] B
) )
98 eliccre 37603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  -  X
)  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] B
) )  ->  x  e.  RR )
9995, 96, 97, 98syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] B
) )  ->  x  e.  RR )
10094, 99ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] B
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
10114rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  -  X
)  e.  RR* )
10269a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
1038, 5ltsubrpd 11370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  -  X
)  <  B )
1048ltpnfd 11423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  < +oo )
105101, 102, 8, 103, 104eliood 37595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( B  -  X ) (,) +oo ) )
10636, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 14, 105fourierdlem105 38075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( B  -  X
) [,] B ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
107100, 106itgcl 22741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `
 x )  _d x  e.  CC )
10893, 107eqeltrrd 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `
 x )  _d x  e.  CC )
109108subidd 9974 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x )  =  0 )
110109eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  =  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x ) )
111110adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  0  =  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x ) )
11224adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( A  -  X )  e.  RR )
1133adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  A  e.  RR )
11414adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( B  -  X )  e.  RR )
11536, 37, 38fourierdlem11 37980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B ) )
116115simp3d 1022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <  B )
1173, 8, 116ltled 9783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
118117adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  A  <_  B )
1193, 8, 6lesub1d 10220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  -  X )  <_  ( B  -  X ) ) )
120119adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  -  X )  <_  ( B  -  X )
) )
121118, 120mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( A  -  X )  <_  ( B  -  X )
)
1228adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  B  e.  RR )
1236adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  X  e.  RR )
124 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  T  <  X )
1251, 124syl5eqbrr 4437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( B  -  A )  <  X
)
126122, 113, 123, 125ltsub23d 10218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( B  -  X )  <  A
)
127114, 113, 126ltled 9783 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( B  -  X )  <_  A
)
128112, 113, 114, 121, 127eliccd 37601 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( B  -  X )  e.  ( ( A  -  X
) [,] A ) )
12960adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] A
) )  ->  F : RR --> CC )
130129, 53ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] A
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
131130adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  T  <  X )  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] A
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
13224rexrd 9690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  -  X
)  e.  RR* )
1333, 8, 6, 116ltsub1dd 10225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  -  X
)  <  ( B  -  X ) )
13414ltpnfd 11423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  -  X
)  < +oo )
135132, 102, 14, 133, 134eliood 37595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  X
)  e.  ( ( A  -  X ) (,) +oo ) )
13636, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 24, 135fourierdlem105 38075 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
137136adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( x  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
)  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 )
13837adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  M  e.  NN )
13938adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  Q  e.  ( P `  M ) )
14060adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  F : RR
--> CC )
14154adantlr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  T  <  X )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
14265adantlr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  T  <  X )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
14384adantlr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  T  <  X )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
14488adantlr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  T  <  X )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
145101adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( B  -  X )  e.  RR* )
14669a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  -> +oo  e.  RR* )
147113ltpnfd 11423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  A  < +oo )
148145, 146, 113, 126, 147eliood 37595 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  A  e.  ( ( B  -  X ) (,) +oo ) )
14936, 1, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 114, 148fourierdlem105 38075 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( x  e.  ( ( B  -  X ) [,] A
)  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 )
150112, 113, 128, 131, 137, 149itgspliticc 22794 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  S. (
( A  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  =  ( S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x )  _d x  +  S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x ) )
151150oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x )  =  ( ( S. ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x  +  S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x )  -  S. ( ( A  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x ) )
15260adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  F : RR --> CC )
15324adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( A  -  X )  e.  RR )
15414adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( B  -  X )  e.  RR )
155 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )
156 eliccre 37603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  X
)  e.  RR  /\  ( B  -  X
)  e.  RR  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) ) )  ->  x  e.  RR )
157153, 154, 155, 156syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  x  e.  RR )
158152, 157ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
159158, 136itgcl 22741 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) ) ( F `
 x )  _d x  e.  CC )
160159adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  S. (
( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x  e.  CC )
16160adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] A
) )  ->  F : RR --> CC )
16214adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] A
) )  ->  ( B  -  X )  e.  RR )
1633adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] A
) )  ->  A  e.  RR )
164 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] A
) )  ->  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] A
) )
165 eliccre 37603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  -  X
)  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] A
) )  ->  x  e.  RR )
166162, 163, 164, 165syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] A
) )  ->  x  e.  RR )
167161, 166ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] A
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
168167adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  T  <  X )  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] A
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
169168, 149itgcl 22741 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  S. (
( B  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  e.  CC )
170108adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  S. (
( A  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  e.  CC )
171160, 169, 170addsubassd 10006 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( ( S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) ( F `  x )  _d x  +  S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x )  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x )  =  ( S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x ) ) )
172111, 151, 1713eqtrd 2489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  0  =  ( S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) ) ( F `
 x )  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x ) ) )
173172oveq2d 6306 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) ( F `  x )  _d x  -  0 )  =  ( S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x )  _d x  -  ( S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x ) ) ) )
174160subid1d 9975 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) ( F `  x )  _d x  -  0 )  =  S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) ) ( F `
 x )  _d x )
175159subidd 9974 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) ( F `  x )  _d x )  =  0 )
176175oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S. ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) ( F `  x )  _d x )  -  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x ) )  =  ( 0  -  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x ) ) )
177176adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( ( S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x )  _d x )  -  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x ) )  =  ( 0  -  ( S. ( ( B  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x ) ) )
178169, 170subcld 9986 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x )  e.  CC )
179160, 160, 178subsub4d 10017 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( ( S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x )  _d x )  -  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x ) )  =  ( S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) ( F `  x )  _d x  -  ( S. ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x ) ) ) )
180 df-neg 9863 . . . . . 6  |-  -u ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x )  =  ( 0  -  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x ) )
181169, 170negsubdi2d 10002 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  -u ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x )  =  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x ) )
182180, 181syl5eqr 2499 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( 0  -  ( S. ( ( B  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x ) )  =  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x ) )
183177, 179, 1823eqtr3d 2493 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) ( F `  x )  _d x  -  ( S. ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x ) ) )  =  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x ) )
184173, 174, 1833eqtr3d 2493 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  S. (
( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x  =  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x ) )
185107subidd 9974 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x )  =  0 )
186185eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  =  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `  x )  _d x ) )
187186oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x  +  0 )  =  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x ) ) )
188187adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  +  0 )  =  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) ) )
189169addid1d 9833 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  +  0 )  =  S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `
 x )  _d x )
190114, 122, 113, 127, 118eliccd 37601 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  A  e.  ( ( B  -  X ) [,] B
) )
191100adantlr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  T  <  X )  /\  x  e.  ( ( B  -  X ) [,] B
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
1923, 8iccssred 37602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
19360, 192feqresmpt 5919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B
)  |->  ( F `  x ) ) )
19460, 192fssresd 5750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) ) : ( A [,] B ) --> CC )
195 ioossicc 11720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) [,] ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
1963rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
197196adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  A  e.  RR* )
1988rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
199198adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  e.  RR* )
20036, 37, 38fourierdlem15 37984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B ) )
201200adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( A [,] B
) )
202 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
203197, 199, 201, 202fourierdlem8 37977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) [,] ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  ( A [,] B ) )
204195, 203syl5ss 3443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  ( A [,] B ) )
205204resabs1d 5134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( F  |`  ( A [,] B
) )  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
206205, 65eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( F  |`  ( A [,] B
) )  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) )
207205eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( A [,] B ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
208207oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =  ( ( ( F  |`  ( A [,] B ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
20984, 208eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( ( F  |`  ( A [,] B ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
210207oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  ( A [,] B ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
21188, 210eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( ( F  |`  ( A [,] B ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
21236, 37, 38, 194, 206, 209, 211fourierdlem69 38039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A [,] B ) )  e.  L^1 )
213193, 212eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
214213adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( x  e.  ( A [,] B
)  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 )
215114, 122, 190, 191, 149, 214itgspliticc 22794 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  S. (
( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x  =  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x  +  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) )
216215oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `  x )  _d x )  =  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `  x )  _d x  -  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  +  S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x ) ) )
217216oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x ) )  =  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `
 x )  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x  -  ( S. ( ( B  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  +  S. ( A [,] B
) ( F `  x )  _d x ) ) ) )
218107adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  S. (
( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x  e.  CC )
219215, 218eqeltrrd 2530 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  +  S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x )  e.  CC )
220169, 218, 219addsub12d 10009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x  -  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `
 x )  _d x  +  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) ) )  =  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `
 x )  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  ( S. ( ( B  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  +  S. ( A [,] B
) ( F `  x )  _d x ) ) ) )
22160adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  F : RR
--> CC )
2223adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  e.  RR )
2238adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
224 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
225 eliccre 37603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  e.  RR )
226222, 223, 224, 225syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  RR )
227221, 226ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
228227, 213itgcl 22741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( F `
 x )  _d x  e.  CC )
229228adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x  e.  CC )
230169, 169, 229subsub4d 10017 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x )  -  S. ( A [,] B
) ( F `  x )  _d x )  =  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  ( S. ( ( B  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  +  S. ( A [,] B
) ( F `  x )  _d x ) ) )
231230eqcomd 2457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  ( S. ( ( B  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  +  S. ( A [,] B
) ( F `  x )  _d x ) )  =  ( ( S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x )  -  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) )
232231oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  -  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `
 x )  _d x  +  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) ) )  =  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `
 x )  _d x  +  ( ( S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x )  -  S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x ) ) )
233169subidd 9974 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x )  =  0 )
234233oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x )  -  S. ( A [,] B
) ( F `  x )  _d x )  =  ( 0  -  S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x ) )
235 df-neg 9863 . . . . . . . . 9  |-  -u S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x  =  ( 0  -  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
236234, 235syl6eqr 2503 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x )  -  S. ( A [,] B
) ( F `  x )  _d x )  =  -u S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
237236oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x  +  ( ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x )  -  S. ( A [,] B
) ( F `  x )  _d x ) )  =  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `
 x )  _d x  +  -u S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) )
238218, 229negsubd 9992 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x  +  -u S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x )  =  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `  x )  _d x  -  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) )
239232, 237, 2383eqtrd 2489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  -  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `
 x )  _d x  +  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) ) )  =  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) )
240217, 220, 2393eqtrd 2489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( B  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x ) )  =  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) )
241188, 189, 2403eqtr3d 2493 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  S. (
( B  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  =  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `  x )  _d x  -  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) )
242241oveq2d 6306 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x )  =  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x  -  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x ) ) )
243108, 107, 228subsubd 10014 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x  -  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x ) )  =  ( ( S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `  x )  _d x )  +  S. ( A [,] B ) ( F `
 x )  _d x ) )
24493oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x )  =  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x ) )
245244, 109eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x )  =  0 )
246245oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S. ( ( A  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x )  +  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )  =  ( 0  +  S. ( A [,] B ) ( F `
 x )  _d x ) )
247228addid2d 9834 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  +  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x )
248243, 246, 2473eqtrd 2489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x  -  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x ) )  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x )
249248adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  ( S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x  -  S. ( A [,] B
) ( F `  x )  _d x ) )  =  S. ( A [,] B
) ( F `  x )  _d x )
250184, 242, 2493eqtrd 2489 . 2  |-  ( (
ph  /\  T  <  X )  ->  S. (
( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( F `
 x )  _d x )
25124adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( A  -  X )  e.  RR )
25214adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( B  -  X )  e.  RR )
2533adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  A  e.  RR )
25424, 3, 39ltled 9783 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  -  X
)  <_  A )
255254adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( A  -  X )  <_  A
)
2566adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  X  e.  RR )
2578adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  B  e.  RR )
258 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( X  <_  T  ->  X  <_  T )
259258, 1syl6breq 4442 . . . . . . . 8  |-  ( X  <_  T  ->  X  <_  ( B  -  A
) )
260259adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  X  <_  ( B  -  A ) )
261256, 257, 253, 260lesubd 10217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  A  <_  ( B  -  X ) )
262251, 252, 253, 255, 261eliccd 37601 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  A  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )
263158adantlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  <_  T )  /\  x  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
264132, 102, 3, 39, 73eliood 37595 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( A  -  X ) (,) +oo ) )
26536, 1, 37, 38, 60, 54, 65, 84, 88, 24, 264fourierdlem105 38075 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( A  -  X
) [,] A ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
266265adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( x  e.  ( ( A  -  X ) [,] A
)  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 )
2673leidd 10180 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  A )
2685rpge0d 11345 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  X )
2698, 6subge02d 10205 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  X  <->  ( B  -  X )  <_  B ) )
270268, 269mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  X
)  <_  B )
271 iccss 11702 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  <_  A  /\  ( B  -  X )  <_  B
) )  ->  ( A [,] ( B  -  X ) )  C_  ( A [,] B ) )
2723, 8, 267, 270, 271syl22anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] ( B  -  X )
)  C_  ( A [,] B ) )
273 iccmbl 22519 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  -  X
)  e.  RR )  ->  ( A [,] ( B  -  X
) )  e.  dom  vol )
2743, 14, 273syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] ( B  -  X )
)  e.  dom  vol )
275272, 274, 227, 213iblss 22762 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] ( B  -  X ) ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
276275adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( x  e.  ( A [,] ( B  -  X )
)  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 )
277251, 252, 262, 263, 266, 276itgspliticc 22794 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  S. (
( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x  =  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x  +  S. ( A [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x ) )
278268adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  0  <_  X )
279269adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( 0  <_  X  <->  ( B  -  X )  <_  B
) )
280278, 279mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( B  -  X )  <_  B
)
281253, 257, 252, 261, 280eliccd 37601 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( B  -  X )  e.  ( A [,] B ) )
282227adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  X  <_  T )  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
2838leidd 10180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  <_  B )
284283adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  B  <_  B )
285 iccss 11702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( A  <_ 
( B  -  X
)  /\  B  <_  B ) )  ->  (
( B  -  X
) [,] B ) 
C_  ( A [,] B ) )
286253, 257, 261, 284, 285syl22anc 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( ( B  -  X ) [,] B )  C_  ( A [,] B ) )
287 iccmbl 22519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  -  X
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  -  X ) [,] B
)  e.  dom  vol )
28814, 8, 287syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  X ) [,] B
)  e.  dom  vol )
289288adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( ( B  -  X ) [,] B )  e.  dom  vol )
290213adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( x  e.  ( A [,] B
)  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 )
291286, 289, 282, 290iblss 22762 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( x  e.  ( ( B  -  X ) [,] B
)  |->  ( F `  x ) )  e.  L^1 )
292253, 257, 281, 282, 276, 291itgspliticc 22794 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x  =  ( S. ( A [,] ( B  -  X
) ) ( F `
 x )  _d x  +  S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) )
293292oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x )  =  ( ( S. ( A [,] ( B  -  X
) ) ( F `
 x )  _d x  +  S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x )  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `  x )  _d x ) )
29460adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] ( B  -  X ) ) )  ->  F : RR
--> CC )
2953adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] ( B  -  X ) ) )  ->  A  e.  RR )
29614adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] ( B  -  X ) ) )  ->  ( B  -  X )  e.  RR )
297 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] ( B  -  X ) ) )  ->  x  e.  ( A [,] ( B  -  X ) ) )
298 eliccre 37603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  -  X
)  e.  RR  /\  x  e.  ( A [,] ( B  -  X
) ) )  ->  x  e.  RR )
299295, 296, 297, 298syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] ( B  -  X ) ) )  ->  x  e.  RR )
300294, 299ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] ( B  -  X ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
301300, 275itgcl 22741 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] ( B  -  X
) ) ( F `
 x )  _d x  e.  CC )
302301, 107, 107addsubassd 10006 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S. ( A [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x  +  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x )  -  S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x )  =  ( S. ( A [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) ) )
303302adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( ( S. ( A [,] ( B  -  X )
) ( F `  x )  _d x  +  S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `  x )  _d x )  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x )  =  ( S. ( A [,] ( B  -  X )
) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x ) ) )
304185oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S. ( A [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) )  =  ( S. ( A [,] ( B  -  X )
) ( F `  x )  _d x  +  0 ) )
305301addid1d 9833 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S. ( A [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x )  _d x  +  0 )  =  S. ( A [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x )
306304, 305eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S. ( A [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) )  =  S. ( A [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x )
307306adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( S. ( A [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x  +  ( S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) )  =  S. ( A [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x )
308293, 303, 3073eqtrrd 2490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  S. ( A [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x )  _d x  =  ( S. ( A [,] B ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) )
309308oveq2d 6306 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  +  S. ( A [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x )  _d x )  =  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( A [,] B ) ( F `
 x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) ) )
31093adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  S. (
( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x  =  S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `
 x )  _d x )
311107adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  S. (
( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x  e.  CC )
312310, 311eqeltrrd 2530 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  S. (
( A  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  e.  CC )
313282, 290itgcl 22741 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x  e.  CC )
314312, 313, 311addsub12d 10009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x ) )  =  ( S. ( A [,] B ) ( F `
 x )  _d x  +  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B ) ( F `  x )  _d x ) ) )
315313, 312, 311addsubassd 10006 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( ( S. ( A [,] B
) ( F `  x )  _d x  +  S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x )  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x )  =  ( S. ( A [,] B
) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( ( A  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x ) ) )
316314, 315eqtr4d 2488 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x  +  ( S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x ) )  =  ( ( S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x  +  S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x )  -  S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) )
317277, 309, 3163eqtrd 2489 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  S. (
( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x  =  ( ( S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x  +  S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x )  -  S. ( ( B  -  X
) [,] B ) ( F `  x
)  _d x ) )
318310oveq2d 6306 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( ( S. ( A [,] B
) ( F `  x )  _d x  +  S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x )  -  S. ( ( B  -  X ) [,] B
) ( F `  x )  _d x )  =  ( ( S. ( A [,] B ) ( F `
 x )  _d x  +  S. ( ( A  -  X
) [,] A ) ( F `  x
)  _d x )  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x ) )
319313, 312pncand 9987 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  ( ( S. ( A [,] B
) ( F `  x )  _d x  +  S. ( ( A  -  X ) [,] A ) ( F `  x )  _d x )  -  S. ( ( A  -  X ) [,] A
) ( F `  x )  _d x )  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
320317, 318, 3193eqtrd 2489 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <_  T )  ->  S. (
( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) ( F `  x
)  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( F `
 x )  _d x )
321250, 320, 47, 6ltlecasei 9742 1  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) ) ( F `
 x )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    u. cun 3402    C_ wss 3404   ifcif 3881   {cpr 3970   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   iotacio 5544   -->wf 5578   ` cfv 5582    Isom wiso 5583  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   supcsup 7954   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   NNcn 10609   ZZcz 10937   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   (,]cioc 11636   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   |_cfl 12026   #chash 12515   -cn->ccncf 21908   volcvol 22415   L^1cibl 22575   S.citg 22576   lim CC climc 22817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-ditg 22802  df-limc 22821  df-dv 22822
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