Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem107 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem107 31837
 Description: The integral of a piecewise continuous periodic function is unchanged if the domain is shifted by any positive value . This lemma generalizes fourierdlem92 31822 where the integral was shifted by the exact period. This lemma uses local definitions, so that the proof is more readable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem107.a
fourierdlem107.b
fourierdlem107.t
fourierdlem107.x
fourierdlem107.p ..^
fourierdlem107.m
fourierdlem107.q
fourierdlem107.f
fourierdlem107.fper
fourierdlem107.fcn ..^
fourierdlem107.r ..^ lim
fourierdlem107.l ..^ lim
fourierdlem107.o ..^
fourierdlem107.h
fourierdlem107.n
fourierdlem107.s
fourierdlem107.e
fourierdlem107.z
fourierdlem107.i ..^
Assertion
Ref Expression
fourierdlem107
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,,,,)   (,,,,)   ()   (,)   (,,,)   (,,,)   (,)   (,,,,)   (,)   (,,,,,,)   ()   (,,,)

Proof of Theorem fourierdlem107
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem107.a . . . . . . 7
2 fourierdlem107.x . . . . . . . 8
32rpred 11268 . . . . . . 7
41, 3resubcld 9999 . . . . . 6
54adantr 465 . . . . 5
6 fourierdlem107.b . . . . . . 7
76, 3resubcld 9999 . . . . . 6
87adantr 465 . . . . 5
91adantr 465 . . . . . . 7
101, 2ltsubrpd 11296 . . . . . . . . 9
114, 1, 10ltled 9744 . . . . . . . 8
1211adantr 465 . . . . . . 7
133adantr 465 . . . . . . . 8
146adantr 465 . . . . . . . 8
15 id 22 . . . . . . . . . 10
16 fourierdlem107.t . . . . . . . . . . 11
1716breq2i 4461 . . . . . . . . . 10
1815, 17sylib 196 . . . . . . . . 9
1918adantl 466 . . . . . . . 8
2013, 14, 9, 19lesubd 10168 . . . . . . 7
219, 12, 203jca 1176 . . . . . 6
22 elicc2 11601 . . . . . . 7
235, 8, 22syl2anc 661 . . . . . 6
2421, 23mpbird 232 . . . . 5
25 fourierdlem107.f . . . . . . . 8
2625adantr 465 . . . . . . 7
274adantr 465 . . . . . . . 8
287adantr 465 . . . . . . . 8
29 simpr 461 . . . . . . . 8
30 eliccre 31427 . . . . . . . 8
3127, 28, 29, 30syl3anc 1228 . . . . . . 7
3226, 31ffvelrnd 6033 . . . . . 6
3332adantlr 714 . . . . 5
34 fourierdlem107.p . . . . . . 7 ..^
35 fourierdlem107.m . . . . . . 7
36 fourierdlem107.q . . . . . . 7
37 fourierdlem107.fper . . . . . . 7
38 fourierdlem107.fcn . . . . . . 7 ..^
39 fourierdlem107.r . . . . . . 7 ..^ lim
40 fourierdlem107.l . . . . . . 7 ..^ lim
414rexrd 9655 . . . . . . . 8
42 pnfxr 11333 . . . . . . . . 9
4342a1i 11 . . . . . . . 8
44 ltpnf 11343 . . . . . . . . 9
451, 44syl 16 . . . . . . . 8
4641, 43, 1, 10, 45eliood 31418 . . . . . . 7
4734, 16, 35, 36, 25, 37, 38, 39, 40, 4, 46fourierdlem105 31835 . . . . . 6
4847adantr 465 . . . . 5
491leidd 10131 . . . . . . . 8
502rpge0d 11272 . . . . . . . . 9
516, 3subge02d 10156 . . . . . . . . 9
5250, 51mpbid 210 . . . . . . . 8
53 iccss 11604 . . . . . . . 8
541, 6, 49, 52, 53syl22anc 1229 . . . . . . 7
55 iccmbl 21844 . . . . . . . 8
561, 7, 55syl2anc 661 . . . . . . 7
5725adantr 465 . . . . . . . 8
581adantr 465 . . . . . . . . 9
596adantr 465 . . . . . . . . 9
60 simpr 461 . . . . . . . . 9
61 eliccre 31427 . . . . . . . . 9
6258, 59, 60, 61syl3anc 1228 . . . . . . . 8
6357, 62ffvelrnd 6033 . . . . . . 7
641, 6iccssred 31426 . . . . . . . . . 10
6525, 64feqresmpt 5928 . . . . . . . . 9
6665eqcomd 2475 . . . . . . . 8
6725, 64fssresd 5758 . . . . . . . . 9
68 ioossicc 11622 . . . . . . . . . . . . 13
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ..^
701rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . 14
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
726rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . . 14
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
7434, 35, 36fourierdlem15 31745 . . . . . . . . . . . . . 14
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
76 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
7771, 73, 75, 76fourierdlem8 31738 . . . . . . . . . . . 12 ..^
7869, 77sstrd 3519 . . . . . . . . . . 11 ..^
79 resabs1 5308 . . . . . . . . . . 11
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . 10 ..^
8180, 38eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9 ..^
8280eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11 ..^
8382oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10 ..^ lim lim
8439, 83eleqtrd 2557 . . . . . . . . 9 ..^ lim
8582oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10 ..^ lim lim
8640, 85eleqtrd 2557 . . . . . . . . 9 ..^ lim
8734, 35, 36, 67, 81, 84, 86fourierdlem69 31799 . . . . . . . 8
8866, 87eqeltrd 2555 . . . . . . 7
8954, 56, 63, 88iblss 22079 . . . . . 6
9089adantr 465 . . . . 5
915, 8, 24, 33, 48, 90itgspliticc 22111 . . . 4
9250adantr 465 . . . . . . . . . . 11
9351adantr 465 . . . . . . . . . . 11
9492, 93mpbid 210 . . . . . . . . . 10
958, 20, 943jca 1176 . . . . . . . . 9
96 elicc2 11601 . . . . . . . . . 10
979, 14, 96syl2anc 661 . . . . . . . . 9
9895, 97mpbird 232 . . . . . . . 8
9963adantlr 714 . . . . . . . 8
1006leidd 10131 . . . . . . . . . . 11
101100adantr 465 . . . . . . . . . 10
102 iccss 11604 . . . . . . . . . 10
1039, 14, 20, 101, 102syl22anc 1229 . . . . . . . . 9
104 iccmbl 21844 . . . . . . . . . . 11
1057, 6, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
106105adantr 465 . . . . . . . . 9
10788adantr 465 . . . . . . . . 9
108103, 106, 99, 107iblss 22079 . . . . . . . 8
1099, 14, 98, 99, 90, 108itgspliticc 22111 . . . . . . 7
110109oveq1d 6310 . . . . . 6
11125adantr 465 . . . . . . . . . 10
1121adantr 465 . . . . . . . . . . 11
1137adantr 465 . . . . . . . . . . 11
114 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
115 eliccre 31427 . . . . . . . . . . 11
116112, 113, 114, 115syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
117111, 116ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9
118117, 89itgcl 22058 . . . . . . . 8
11925adantr 465 . . . . . . . . . 10
1207adantr 465 . . . . . . . . . . 11
1216adantr 465 . . . . . . . . . . 11
122 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
123 eliccre 31427 . . . . . . . . . . 11
124120, 121, 122, 123syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
125119, 124ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9
1267rexrd 9655 . . . . . . . . . . 11
1276, 2ltsubrpd 11296 . . . . . . . . . . 11
128 ltpnf 11343 . . . . . . . . . . . 12
1296, 128syl 16 . . . . . . . . . . 11
130126, 43, 6, 127, 129eliood 31418 . . . . . . . . . 10
13134, 16, 35, 36, 25, 37, 38, 39, 40, 7, 130fourierdlem105 31835 . . . . . . . . 9
132125, 131itgcl 22058 . . . . . . . 8
133118, 132, 132addsubassd 9962 . . . . . . 7
134133adantr 465 . . . . . 6
135132subidd 9930 . . . . . . . . 9
136135oveq2d 6311 . . . . . . . 8
137118addid1d 9791 . . . . . . . 8
138136, 137eqtrd 2508 . . . . . . 7
139138adantr 465 . . . . . 6
140110, 134, 1393eqtrrd 2513 . . . . 5
141140oveq2d 6311 . . . 4
14216oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
1441recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . 15
1453recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . 15
1466recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . 15
147144, 145, 146, 144subadd4b 31364 . . . . . . . . . . . . . 14
148143, 147eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13
149144subidd 9930 . . . . . . . . . . . . . 14
150149oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13
1517recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . 14
152151addid2d 9792 . . . . . . . . . . . . 13
153148, 150, 1523eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12
15416oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . 14
155154a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
156144, 146pncan3d 9945 . . . . . . . . . . . . 13
157155, 156eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12
158153, 157oveq12d 6313 . . . . . . . . . . 11
159158eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10
160159itgeq1d 31597 . . . . . . . . 9
161 fourierdlem107.o . . . . . . . . . . 11 ..^
162 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
163 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
164163fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
165162, 164breq12d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
166165cbvralv 3093 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
167166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
168167anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
169168rabbidv 3110 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
170169mpteq2ia 4535 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
171161, 170eqtri 2496 . . . . . . . . . 10 ..^
172 fourierdlem107.h . . . . . . . . . . . . 13
173 fourierdlem107.n . . . . . . . . . . . . 13
174 fourierdlem107.s . . . . . . . . . . . . 13
17516, 34, 35, 36, 4, 1, 10, 161, 172, 173, 174fourierdlem54 31784 . . . . . . . . . . . 12
176175simpld 459 . . . . . . . . . . 11
177176simpld 459 . . . . . . . . . 10
1786, 1resubcld 9999 . . . . . . . . . . 11
17916, 178syl5eqel 2559 . . . . . . . . . 10
180176simprd 463 . . . . . . . . . 10
1814adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
1821adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
183 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
184 eliccre 31427 . . . . . . . . . . . 12
185181, 182, 183, 184syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
186185, 37syldan 470 . . . . . . . . . 10
187 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12
188187oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11
189188cbvmptv 4544 . . . . . . . . . 10
190 eqid 2467 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
19135adantr 465 . . . . . . . . . . 11 ..^
19236adantr 465 . . . . . . . . . . 11 ..^
19325adantr 465 . . . . . . . . . . 11 ..^
19437adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ..^
19538adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
1964adantr 465 . . . . . . . . . . 11 ..^
197196rexrd 9655 . . . . . . . . . . . 12 ..^
19842a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ..^
1991adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 ..^
20010adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 ..^
20145adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 ..^
202197, 198, 199, 200, 201eliood 31418 . . . . . . . . . . 11 ..^
203 fourierdlem107.e . . . . . . . . . . 11
204 fourierdlem107.z . . . . . . . . . . 11
205 simpr 461 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
206 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
207 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
208 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
209 fourierdlem107.i . . . . . . . . . . 11 ..^
21034, 16, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 202, 161, 172, 173, 174, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209fourierdlem90 31820 . . . . . . . . . 10 ..^
21139adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ lim
212 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
21334, 16, 191, 192, 193, 194, 195, 211, 196, 202, 161, 172, 173, 174, 203, 204, 205, 206, 209, 212fourierdlem89 31819 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^ lim
21440adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ lim
215 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
21634, 16, 191, 192, 193, 194, 195, 214, 196, 202, 161, 172, 173, 174, 203, 204, 205, 206, 209, 215fourierdlem91 31821 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^ lim
2174, 1, 171, 177, 179, 180, 186, 189, 190, 25, 210, 213, 216fourierdlem92 31822 . . . . . . . . 9
218160, 217eqtrd 2508 . . . . . . . 8
219218adantr 465 . . . . . . 7
220132adantr 465 . . . . . . 7
221219, 220eqeltrrd 2556 . . . . . 6
22299, 107itgcl 22058 . . . . . 6
223219, 221eqeltrd 2555 . . . . . 6
224221, 222, 223addsub12d 9965 . . . . 5
225222, 221, 223addsubassd 9962 . . . . . 6
226225eqcomd 2475 . . . . 5
227224, 226eqtrd 2508 . . . 4
22891, 141, 2273eqtrd 2512 . . 3
229219oveq2d 6311 . . 3
230222, 221pncand 9943 . . 3
231228, 229, 2303eqtrd 2512 . 2
232 simpl 457 . . 3
233 simpr 461 . . . 4
234232, 179syl 16 . . . . 5
235232, 3syl 16 . . . . 5
236234, 235ltnled 9743 . . . 4
237233, 236mpbird 232 . . 3
23834, 35, 36fourierdlem11 31741 . . . . . . . . . . . . 13
239238simp3d 1010 . . . . . . . . . . . 12
2401, 6, 3, 239ltsub1dd 10176 . . . . . . . . . . 11
241 ltpnf 11343 . . . . . . . . . . . 12
2427, 241syl 16 . . . . . . . . . . 11
24341, 43, 7, 240, 242eliood 31418 . . . . . . . . . 10
24434, 16, 35, 36, 25, 37, 38, 39, 40, 4, 243fourierdlem105 31835 . . . . . . . . 9
24532, 244itgcl 22058 . . . . . . . 8
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2557adantr 465 . . . . . . . . . . 11
2561, 6, 239ltled 9744 . . . . . . . . . . . . 13
257256adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
2581, 6, 3lesub1d 10171 . . . . . . . . . . . . 13
259258adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
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28039adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ..^ lim
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28634, 16, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 255, 285fourierdlem105 31835 . . . . . . . . 9
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316315eqcomd 2475 . . . . . 6
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349249, 132, 332subsubd 9970 . . . . . 6
350218oveq2d 6311 . . . . . . . 8
351350, 250eqtrd 2508 . . . . . . 7
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357232, 237, 356syl2anc 661 . 2
358231, 357pm2.61dan 789 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  wrex 2818  crab 2821   cun 3479   wss 3481  cif 3945  cpr 4035   class class class wbr 4453   cmpt 4511   cdm 5005   crn 5006   cres 5007  cio 5555  wf 5590  cfv 5594   wiso 5595  (class class class)co 6295   cmap 7432  csup 7912  cc 9502  cr 9503  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509   cpnf 9637  cxr 9639   clt 9640   cle 9641   cmin 9817  cneg 9818   cdiv 10218  cn 10548  cz 10876  crp 11232  cioo 11541  cioc 11542  cicc 11544  cfz 11684  ..^cfzo 11804  cfl 11907  chash 12385  ccncf 21248  cvol 21743  cibl 21894  citg 21895   lim climc 22134 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-