Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem102 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem102 31832
Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem102.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem102.t  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
fourierdlem102.per  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
fourierdlem102.g  |-  G  =  ( ( RR  _D  F )  |`  ( -u pi (,) pi ) )
fourierdlem102.dmdv  |-  ( ph  ->  ( ( -u pi (,) pi )  \  dom  G )  e.  Fin )
fourierdlem102.gcn  |-  ( ph  ->  G  e.  ( dom 
G -cn-> CC ) )
fourierdlem102.rlim  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  G ) )  ->  (
( G  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =/=  (/) )
fourierdlem102.llim  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  G ) )  ->  (
( G  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =/=  (/) )
fourierdlem102.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem102.p  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... n ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  = 
-u pi  /\  (
p `  n )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ n ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem102.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( pi  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
fourierdlem102.h  |-  H  =  ( { -u pi ,  pi ,  ( E `
 X ) }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  G ) )
fourierdlem102.m  |-  M  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
fourierdlem102.q  |-  Q  =  ( iota g g 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... M
) ,  H ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem102  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) X
) ) lim CC  X
)  =/=  (/)  /\  (
( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim
CC  X )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, E    i, F, n, x    i, G, x    g, H    g, M    i, M, n, p   
x, M    Q, g    Q, i, n, p    x, Q    T, i, n, p   
x, T    i, X, n, p    x, X    ph, g    ph, i, n, x
Allowed substitution hints:    ph( p)    P( x, g, i, n, p)    T( g)    E( g, i, n, p)    F( g, p)    G( g, n, p)    H( x, i, n, p)    X( g)

Proof of Theorem fourierdlem102
StepHypRef Expression
1 fourierdlem102.f . 2  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
2 fourierdlem102.t . 2  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
3 fourierdlem102.per . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
4 fourierdlem102.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
5 fourierdlem102.p . 2  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... n ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  = 
-u pi  /\  (
p `  n )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ n ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
6 fourierdlem102.m . . 3  |-  M  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
7 2z 10908 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
9 fourierdlem102.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( { -u pi ,  pi ,  ( E `
 X ) }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  G ) )
10 tpfi 7808 . . . . . . . . . . 11  |-  { -u pi ,  pi , 
( E `  X
) }  e.  Fin
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { -u pi ,  pi ,  ( E `  X ) }  e.  Fin )
12 difundir 3756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -u pi (,) pi )  u.  { -u pi ,  pi }
)  \  dom  G )  =  ( ( (
-u pi (,) pi )  \  dom  G )  u.  ( { -u pi ,  pi }  \  dom  G ) )
1312eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -u pi (,) pi )  \  dom  G
)  u.  ( {
-u pi ,  pi }  \  dom  G ) )  =  ( ( ( -u pi (,) pi )  u.  { -u pi ,  pi }
)  \  dom  G )
14 pire 22718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR
1514renegcli 9892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  RR
1615rexri 9658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u pi  e.  RR*
1714rexri 9658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR*
18 negpilt0 31362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u pi  <  0
19 pipos 22720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  pi
20 0re 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
2115, 20, 14lttri 9722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u pi  <  0  /\  0  <  pi )  ->  -u pi  <  pi )
2218, 19, 21mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  <  pi
2315, 14, 22ltleii 9719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u pi  <_  pi
24 prunioo 11661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  -u pi  <_  pi )  ->  (
( -u pi (,) pi )  u.  { -u pi ,  pi } )  =  ( -u pi [,] pi ) )
2516, 17, 23, 24mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi (,) pi )  u.  { -u pi ,  pi } )  =  ( -u pi [,] pi )
2625difeq1i 3623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -u pi (,) pi )  u.  { -u pi ,  pi }
)  \  dom  G )  =  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  G )
2713, 26eqtr2i 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  dom  G )  =  ( ( (
-u pi (,) pi )  \  dom  G )  u.  ( { -u pi ,  pi }  \  dom  G ) )
28 fourierdlem102.dmdv . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( -u pi (,) pi )  \  dom  G )  e.  Fin )
29 prfi 7807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { -u pi ,  pi }  e.  Fin
30 diffi 7763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
-u pi ,  pi }  e.  Fin  ->  ( { -u pi ,  pi }  \  dom  G )  e.  Fin )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( {
-u pi ,  pi }  \  dom  G )  e.  Fin
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( { -u pi ,  pi }  \  dom  G )  e.  Fin )
3328, 32jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( -u pi (,) pi )  \  dom  G )  e.  Fin  /\  ( { -u pi ,  pi }  \  dom  G )  e.  Fin )
)
34 unfi 7799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( -u pi (,) pi )  \  dom  G )  e.  Fin  /\  ( { -u pi ,  pi }  \  dom  G
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( -u pi (,) pi )  \  dom  G )  u.  ( { -u pi ,  pi }  \  dom  G ) )  e.  Fin )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( -u pi (,) pi )  \  dom  G )  u.  ( { -u pi ,  pi }  \  dom  G ) )  e.  Fin )
3627, 35syl5eqel 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  G )  e.  Fin )
37 unfi 7799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { -u pi ,  pi ,  ( E `  X ) }  e.  Fin  /\  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  G )  e.  Fin )  ->  ( { -u pi ,  pi , 
( E `  X
) }  u.  (
( -u pi [,] pi )  \  dom  G ) )  e.  Fin )
3811, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { -u pi ,  pi ,  ( E `
 X ) }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  G ) )  e. 
Fin )
399, 38syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  Fin )
40 hashcl 12408 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  Fin  ->  ( # `
 H )  e. 
NN0 )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  e.  NN0 )
4241nn0zd 10976 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  e.  ZZ )
4315, 22ltneii 9709 . . . . . . . . . 10  |-  -u pi  =/=  pi
44 hashprg 12440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u pi  =/=  pi  <->  ( # `  { -u pi ,  pi }
)  =  2 ) )
4515, 14, 44mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u pi  =/=  pi  <->  ( # `  { -u pi ,  pi }
)  =  2 )
4643, 45mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  { -u pi ,  pi } )  =  2
4746eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( # `  { -u pi ,  pi }
)
4847a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  =  ( # `  { -u pi ,  pi } ) )
4910elexi 3128 . . . . . . . . . . 11  |-  { -u pi ,  pi , 
( E `  X
) }  e.  _V
50 ovex 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi [,] pi )  e. 
_V
51 difexg 4601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u pi [,] pi )  e.  _V  ->  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  G
)  e.  _V )
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  dom  G )  e.  _V
5349, 52unex 6593 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
-u pi ,  pi ,  ( E `  X ) }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  G ) )  e.  _V
549, 53eqeltri 2551 . . . . . . . . 9  |-  H  e. 
_V
55 negex 9830 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  _V
5655tpid1 4146 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  e.  { -u pi ,  pi ,  ( E `  X ) }
5714elexi 3128 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  _V
5857tpid2 4147 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  {
-u pi ,  pi ,  ( E `  X ) }
59 prssi 4189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u pi  e.  { -u pi ,  pi , 
( E `  X
) }  /\  pi  e.  { -u pi ,  pi ,  ( E `  X ) } )  ->  { -u pi ,  pi }  C_  { -u pi ,  pi , 
( E `  X
) } )
6056, 58, 59mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  { -u pi ,  pi }  C_ 
{ -u pi ,  pi ,  ( E `  X ) }
61 ssun1 3672 . . . . . . . . . . 11  |-  { -u pi ,  pi , 
( E `  X
) }  C_  ( { -u pi ,  pi ,  ( E `  X ) }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  G ) )
6261, 9sseqtr4i 3542 . . . . . . . . . 10  |-  { -u pi ,  pi , 
( E `  X
) }  C_  H
6360, 62sstri 3518 . . . . . . . . 9  |-  { -u pi ,  pi }  C_  H
64 hashss 12454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  e.  _V  /\  {
-u pi ,  pi }  C_  H )  -> 
( # `  { -u pi ,  pi }
)  <_  ( # `  H
) )
6554, 63, 64mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { -u pi ,  pi } )  <_  ( # `
 H )
6665a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  { -u pi ,  pi }
)  <_  ( # `  H
) )
6748, 66eqbrtrd 4473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  <_  ( # `  H
) )
688, 42, 673jca 1176 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  H
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  H
) ) )
69 eluz2 11100 . . . . 5  |-  ( (
# `  H )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  H )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  H
) ) )
7068, 69sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
71 uz2m1nn 11168 . . . 4  |-  ( (
# `  H )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( # `  H
)  -  1 )  e.  NN )
7270, 71syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  H
)  -  1 )  e.  NN )
736, 72syl5eqel 2559 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
7415a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
7514a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
76 negpitopissre 22793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u pi (,] pi )  C_  RR
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( -u pi (,] pi )  C_  RR )
7822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
-u pi  <  pi )
79 ax-resscn 9561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  C_  CC
8079, 14sselii 3506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  pi  e.  CC
81 subneg 9880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  -> 
( pi  -  -u pi )  =  ( pi  +  pi ) )
8280, 80, 81mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
-  -u pi )  =  ( pi  +  pi )
83802timesi 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  +  pi )
8483eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  +  pi )  =  ( 2  x.  pi )
852eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  pi )  =  T
8682, 84, 853eqtrri 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  =  ( pi  -  -u pi )
87 fourierdlem102.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( pi  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
8874, 75, 78, 86, 87fourierdlem4 31734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E : RR --> ( -u pi (,] pi ) )
8988, 4ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E `  X
)  e.  ( -u pi (,] pi ) )
9077, 89sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E `  X
)  e.  RR )
9174, 75, 903jca 1176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( E `  X
)  e.  RR ) )
92 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E `
 X )  e. 
_V
9355, 57, 92tpss 4198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( E `  X )  e.  RR )  <->  { -u pi ,  pi ,  ( E `
 X ) } 
C_  RR )
9491, 93sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { -u pi ,  pi ,  ( E `  X ) }  C_  RR )
95 iccssre 11618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u pi [,] pi )  C_  RR )
9615, 14, 95mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u pi [,] pi )  C_  RR
97 ssdifss 3640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi [,] pi )  C_  RR  ->  (
( -u pi [,] pi )  \  dom  G ) 
C_  RR )
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u pi [,] pi )  \  dom  G ) 
C_  RR
9998a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  G )  C_  RR )
10094, 99unssd 3685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { -u pi ,  pi ,  ( E `
 X ) }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  G ) )  C_  RR )
1019, 100syl5eqss 3553 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  C_  RR )
102 fourierdlem102.q . . . . . . . . 9  |-  Q  =  ( iota g g 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... M
) ,  H ) )
10339, 101, 102, 6fourierdlem36 31766 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H ) )
104 isof1o 6220 . . . . . . . 8  |-  ( Q 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... M
) ,  H )  ->  Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H )
105103, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H )
106 f1of 5822 . . . . . . 7  |-  ( Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H  ->  Q :
( 0 ... M
) --> H )
107105, 106syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> H )
108107, 101fssd 5746 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> RR )
109 reex 9595 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
110 ovex 6320 . . . . . 6  |-  ( 0 ... M )  e. 
_V
111 elmapg 7445 . . . . . 6  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  ( 0 ... M
)  e.  _V )  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  <-> 
Q : ( 0 ... M ) --> RR ) )
112109, 110, 111mp2an 672 . . . . 5  |-  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  <->  Q :
( 0 ... M
) --> RR )
113108, 112sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
11462, 56sselii 3506 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  H
115114a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  H
)
116 f1ofo 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q : ( 0 ... M ) -1-1-onto-> H  ->  Q :
( 0 ... M
) -onto-> H )
117104, 116syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... M
) ,  H )  ->  Q : ( 0 ... M )
-onto-> H )
118 forn 5804 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q : ( 0 ... M ) -onto-> H  ->  ran  Q  =  H )
119103, 117, 1183syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  Q  =  H )
120119eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  =  ran  Q
)
121115, 120eleqtrd 2557 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  ran  Q )
122 ffn 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( Q : ( 0 ... M ) --> H  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
123107, 122syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  Fn  ( 0 ... M ) )
124 fvelrnb 5921 . . . . . . . 8  |-  ( Q  Fn  ( 0 ... M )  ->  ( -u pi  e.  ran  Q  <->  E. i  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  i )  =  -u pi ) )
125123, 124syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u pi  e.  ran  Q  <->  E. i  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  i
)  =  -u pi ) )
126121, 125mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  i
)  =  -u pi )
127 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  =  i  ->  ( Q `  0 )  =  ( Q `  i ) )
128127adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  0  =  i )  -> 
( Q `  0
)  =  ( Q `
 i ) )
129108ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
130129leidd 10131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  <_  ( Q `  i
) )
131130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  0  =  i )  -> 
( Q `  i
)  <_  ( Q `  i ) )
132128, 131eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  0  =  i )  -> 
( Q `  0
)  <_  ( Q `  i ) )
133 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  -.  0  =  i )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) ) )
13420a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  -.  0  =  i )  ->  0  e.  RR )
135 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  i  e.  ZZ )
136135zred 10978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  i  e.  RR )
137136ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  -.  0  =  i )  ->  i  e.  RR )
138 elfzle1 11701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  0  <_  i )
139138ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  -.  0  =  i )  ->  0  <_  i )
140 neqne 31339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  0  =  i  -> 
0  =/=  i )
141140necomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  0  =  i  -> 
i  =/=  0 )
142141adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  -.  0  =  i )  ->  i  =/=  0 )
143134, 137, 139, 142leneltd 31394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  -.  0  =  i )  ->  0  <  i )
144 lbicc2 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  -u pi  <_  pi )  ->  -u pi  e.  ( -u pi [,] pi ) )
14516, 17, 23, 144mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  -u pi  e.  ( -u pi [,] pi )
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  (
-u pi [,] pi ) )
147 ubicc2 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  -u pi  <_  pi )  ->  pi  e.  ( -u pi [,] pi ) )
14816, 17, 23, 147mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  pi  e.  ( -u pi [,] pi )
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  pi  e.  ( -u pi [,] pi ) )
150 iocssicc 11624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -u pi (,] pi )  C_  ( -u pi [,] pi )
151150, 89sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( E `  X
)  e.  ( -u pi [,] pi ) )
152 tpssi 4199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u pi  e.  (
-u pi [,] pi )  /\  pi  e.  (
-u pi [,] pi )  /\  ( E `  X )  e.  (
-u pi [,] pi ) )  ->  { -u pi ,  pi , 
( E `  X
) }  C_  ( -u pi [,] pi ) )
153146, 149, 151, 152syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  { -u pi ,  pi ,  ( E `  X ) }  C_  ( -u pi [,] pi ) )
154 difssd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  G )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
155153, 154unssd 3685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( { -u pi ,  pi ,  ( E `
 X ) }  u.  ( ( -u pi [,] pi )  \  dom  G ) )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
1569, 155syl5eqss 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  C_  ( -u pi [,] pi ) )
157 nnssnn0 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN  C_  NN0
158 nn0uz 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
159157, 158sseqtri 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  NN  C_  ( ZZ>= `  0 )
160159, 73sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
161 eluzfz1 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
162160, 161syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
163107, 162ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  H )
164156, 163sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  ( -u pi [,] pi ) )
16596, 164sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  e.  RR )
166165ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  0  <  i )  ->  ( Q `  0 )  e.  RR )
167129adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  0  <  i )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
168 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  0  <  i )  ->  0  <  i )
169103ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  0  <  i )  ->  Q  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... M
) ,  H ) )
170162anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
0  e.  ( 0 ... M )  /\  i  e.  ( 0 ... M ) ) )
171170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  0  <  i )  ->  (
0  e.  ( 0 ... M )  /\  i  e.  ( 0 ... M ) ) )
172 isorel 6221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H )  /\  ( 0  e.  ( 0 ... M
)  /\  i  e.  ( 0 ... M
) ) )  -> 
( 0  <  i  <->  ( Q `  0 )  <  ( Q `  i ) ) )
173169, 171, 172syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  0  <  i )  ->  (
0  <  i  <->  ( Q `  0 )  < 
( Q `  i
) ) )
174168, 173mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  0  <  i )  ->  ( Q `  0 )  <  ( Q `  i
) )
175166, 167, 174ltled 9744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  0  <  i )  ->  ( Q `  0 )  <_  ( Q `  i
) )
176133, 143, 175syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  -.  0  =  i )  ->  ( Q `  0
)  <_  ( Q `  i ) )
177132, 176pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  0 )  <_  ( Q `  i
) )
178177adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  i )  =  -u pi )  -> 
( Q `  0
)  <_  ( Q `  i ) )
179 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  i )  =  -u pi )  -> 
( Q `  i
)  =  -u pi )
180178, 179breqtrd 4477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  i )  =  -u pi )  -> 
( Q `  0
)  <_  -u pi )
18174rexrd 9655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR* )
18275rexrd 9655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR* )
183 iccgelb 11593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( Q `  0 )  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  -u pi  <_  ( Q `  0
) )
184181, 182, 164, 183syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u pi  <_  ( Q `  0 )
)
185184ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  i )  =  -u pi )  ->  -u pi  <_  ( Q `  0 ) )
186180, 185jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  i )  =  -u pi )  -> 
( ( Q ` 
0 )  <_  -u pi  /\  -u pi  <_  ( Q `
 0 ) ) )
187165ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  i )  =  -u pi )  -> 
( Q `  0
)  e.  RR )
18815a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  i )  =  -u pi )  ->  -u pi  e.  RR )
189187, 188letri3d 9738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  i )  =  -u pi )  -> 
( ( Q ` 
0 )  =  -u pi 
<->  ( ( Q ` 
0 )  <_  -u pi  /\  -u pi  <_  ( Q `
 0 ) ) ) )
190186, 189mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  ( Q `  i )  =  -u pi )  -> 
( Q `  0
)  =  -u pi )
191190ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( Q `  i
)  =  -u pi  ->  ( Q `  0
)  =  -u pi ) )
192191rexlimdva 2959 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. i  e.  ( 0 ... M
) ( Q `  i )  =  -u pi  ->  ( Q ` 
0 )  =  -u pi ) )
193126, 192mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  -u pi )
19462, 58sselii 3506 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  H
195194a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  pi  e.  H )
196195, 120eleqtrd 2557 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  pi  e.  ran  Q
)
197 fvelrnb 5921 . . . . . . . 8  |-  ( Q  Fn  ( 0 ... M )  ->  (
pi  e.  ran  Q  <->  E. i  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  i )  =  pi ) )
198123, 197syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( pi  e.  ran  Q  <->  E. i  e.  (
0 ... M ) ( Q `  i )  =  pi ) )
199196, 198mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 0 ... M ) ( Q `  i
)  =  pi )
200107, 156fssd 5746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> (
-u pi [,] pi ) )
201 eluzfz2 11706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  M  e.  ( 0 ... M
) )
202160, 201syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
203200, 202ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  e.  ( -u pi [,] pi ) )
204 iccleub 11592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  ( Q `  M )  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( Q `  M )  <_  pi )
205181, 182, 203, 204syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  <_  pi )
2062053ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( Q `  i )  =  pi )  ->  ( Q `  M )  <_  pi )
207 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  i )  =  pi  ->  ( Q `  i )  =  pi )
208207eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q `  i )  =  pi  ->  pi  =  ( Q `  i ) )
2092083ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( Q `  i )  =  pi )  ->  pi  =  ( Q `  i ) )
210130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  i  =  M )  ->  ( Q `  i )  <_  ( Q `  i
) )
211 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  M  ->  ( Q `  i )  =  ( Q `  M ) )
212211adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  i  =  M )  ->  ( Q `  i )  =  ( Q `  M ) )
213210, 212breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  i  =  M )  ->  ( Q `  i )  <_  ( Q `  M
) )
214 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  -.  i  =  M )  ->  ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) ) )
215136ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  -.  i  =  M )  ->  i  e.  RR )
216 elfzel2 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  ZZ )
217216zred 10978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  M  e.  RR )
218217ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  -.  i  =  M )  ->  M  e.  RR )
219 elfzle2 11702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  i  <_  M )
220219ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  -.  i  =  M )  ->  i  <_  M )
221 neqne 31339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  i  =  M  -> 
i  =/=  M )
222221necomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  i  =  M  ->  M  =/=  i )
223222adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  -.  i  =  M )  ->  M  =/=  i )
224215, 218, 220, 223leneltd 31394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  -.  i  =  M )  ->  i  <  M )
225129adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  i  <  M )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
22696, 203sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  e.  RR )
227226adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  <  M )  ->  ( Q `  M )  e.  RR )
228227adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  i  <  M )  ->  ( Q `  M )  e.  RR )
229 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  i  <  M )  ->  i  <  M )
230103ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  i  <  M )  ->  Q  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... M
) ,  H ) )
231 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
232202adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  M  e.  ( 0 ... M
) )
233231, 232jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
i  e.  ( 0 ... M )  /\  M  e.  ( 0 ... M ) ) )
234233adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  i  <  M )  ->  (
i  e.  ( 0 ... M )  /\  M  e.  ( 0 ... M ) ) )
235 isorel 6221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H )  /\  ( i  e.  ( 0 ... M
)  /\  M  e.  ( 0 ... M
) ) )  -> 
( i  <  M  <->  ( Q `  i )  <  ( Q `  M ) ) )
236230, 234, 235syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  i  <  M )  ->  (
i  <  M  <->  ( Q `  i )  <  ( Q `  M )
) )
237229, 236mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  i  <  M )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  M
) )
238225, 228, 237ltled 9744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  i  <  M )  ->  ( Q `  i )  <_  ( Q `  M
) )
239214, 224, 238syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  /\  -.  i  =  M )  ->  ( Q `  i
)  <_  ( Q `  M ) )
240213, 239pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( Q `  i )  <_  ( Q `  M
) )
2412403adant3 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( Q `  i )  =  pi )  ->  ( Q `  i )  <_  ( Q `  M )
)
242209, 241eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( Q `  i )  =  pi )  ->  pi  <_  ( Q `  M ) )
243206, 242jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( Q `  i )  =  pi )  ->  ( ( Q `  M )  <_  pi  /\  pi  <_  ( Q `  M ) ) )
2442263ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( Q `  i )  =  pi )  ->  ( Q `  M )  e.  RR )
24514a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( Q `  i )  =  pi )  ->  pi  e.  RR )
246244, 245letri3d 9738 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( Q `  i )  =  pi )  ->  ( ( Q `  M )  =  pi  <->  ( ( Q `
 M )  <_  pi  /\  pi  <_  ( Q `  M )
) ) )
247243, 246mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( Q `  i )  =  pi )  ->  ( Q `  M )  =  pi )
2482473exp 1195 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( i  e.  ( 0 ... M )  ->  ( ( Q `
 i )  =  pi  ->  ( Q `  M )  =  pi ) ) )
249248rexlimdv 2957 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. i  e.  ( 0 ... M
) ( Q `  i )  =  pi 
->  ( Q `  M
)  =  pi ) )
250199, 249mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  M
)  =  pi )
251 elfzoelz 11809 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ZZ )
252251zred 10978 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  RR )
253 ltp1 10392 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  RR  ->  i  <  ( i  +  1 ) )
254252, 253syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  <  ( i  +  1 ) )
255254adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  <  (
i  +  1 ) )
256103adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M ) ,  H ) )
257 elfzofz 11823 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
258 fzofzp1 11889 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
259257, 258jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) ) )
260259adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( i  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) ) )
261 isorel 6221 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... M
) ,  H )  /\  ( i  e.  ( 0 ... M
)  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) ) )  -> 
( i  <  (
i  +  1 )  <-> 
( Q `  i
)  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
262256, 260, 261syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( i  < 
( i  +  1 )  <->  ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
263255, 262mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
264263ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `  i )  <  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
265193, 250, 264jca31 534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q `
 0 )  = 
-u pi  /\  ( Q `  M )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
266113, 265jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  -u pi  /\  ( Q `  M )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
2675fourierdlem2 31732 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <->  ( Q  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  -u pi  /\  ( Q `  M )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
26873, 267syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( P `  M )  <-> 
( Q  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( Q `  0 )  =  -u pi  /\  ( Q `  M )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( Q `
 i )  < 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
269266, 268mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
270 fourierdlem102.g . . . . . 6  |-  G  =  ( ( RR  _D  F )  |`  ( -u pi (,) pi ) )
271270reseq1i 5275 . . . . 5  |-  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( RR  _D  F )  |`  ( -u pi (,) pi ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )
272271a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( RR  _D  F )  |`  ( -u pi (,) pi ) )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
27316a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -u pi  e.  RR* )
27417a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  pi  e.  RR* )
275200adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
276 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
277273, 274, 275, 276fourierdlem27 31757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi (,) pi ) )
278277resabs1d 5309 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F )  |`  ( -u pi (,) pi ) )  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
279272, 278eqtr2d 2509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
280 fourierdlem102.gcn . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( dom 
G -cn-> CC ) )
281280, 5, 73, 269, 9, 119fourierdlem38 31768 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
282279, 281eqeltrd 2555 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( RR 
_D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
283279oveq1d 6310 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
284280adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  G  e.  ( dom  G -cn-> CC ) )
285 fourierdlem102.rlim . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  G ) )  ->  (
( G  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =/=  (/) )
286285adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  ( ( -u pi [,) pi )  \  dom  G ) )  ->  (
( G  |`  (
x (,) +oo )
) lim CC  x )  =/=  (/) )
287 fourierdlem102.llim . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  G ) )  ->  (
( G  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =/=  (/) )
288287adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  ( ( -u pi (,] pi )  \  dom  G ) )  ->  (
( G  |`  ( -oo (,) x ) ) lim
CC  x )  =/=  (/) )
289256, 104, 1063syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> H )
29090adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( E `  X )  e.  RR )
291256, 117, 1183syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ran  Q  =  H )
292284, 286, 288, 256, 289, 276, 263, 277, 290, 9, 291fourierdlem46 31776 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) )  =/=  (/)  /\  (
( G  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )  =/=  (/) ) )
293292simpld 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =/=  (/) )
294283, 293eqnetrd 2760 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =/=  (/) )
295279oveq1d 6310 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
296292simprd 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
297295, 296eqnetrd 2760 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( RR  _D  F )  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
2981, 2, 3, 4, 5, 73, 269, 282, 294, 297fourierdlem94 31824 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) X
) ) lim CC  X
)  =/=  (/)  /\  (
( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim
CC  X )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    u. cun 3479    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {cpr 4035   {ctp 4037   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ran crn 5006    |` cres 5007   iotacio 5555    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594    Isom wiso 5595  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509   +oocpnf 9637   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   -ucneg 9818    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   (,)cioo 11541   (,]cioc 11542   [,)cico 11543   [,]cicc 11544   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804   |_cfl 11907   #chash 12385   picpi 13681   -cn->ccncf 21248   lim CC climc 22134    _D cdv 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139
This theorem is referenced by:  fourierdlem106  31836
  Copyright terms: Public domain W3C validator