Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem102 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fourierdlem102 38184
 Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem102.f
fourierdlem102.t
fourierdlem102.per
fourierdlem102.g
fourierdlem102.dmdv
fourierdlem102.gcn
fourierdlem102.rlim lim
fourierdlem102.llim lim
fourierdlem102.x
fourierdlem102.p ..^
fourierdlem102.e
fourierdlem102.h
fourierdlem102.m
fourierdlem102.q
Assertion
Ref Expression
fourierdlem102 lim lim
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,   ,   ,   ,,,   ,   ,   ,,,   ,   ,,,   ,   ,,,   ,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,)   ()   (,,,)   (,)   (,,)   (,,,)   ()

Proof of Theorem fourierdlem102
StepHypRef Expression
1 fourierdlem102.f . 2
2 fourierdlem102.t . 2
3 fourierdlem102.per . 2
4 fourierdlem102.x . 2
5 fourierdlem102.p . 2 ..^
6 fourierdlem102.m . . 3
7 2z 10993 . . . . . 6
87a1i 11 . . . . 5
9 fourierdlem102.h . . . . . . . 8
10 tpfi 7865 . . . . . . . . . 10
1110a1i 11 . . . . . . . . 9
12 pire 23492 . . . . . . . . . . . . . . 15
1312renegcli 9955 . . . . . . . . . . . . . 14
1413rexri 9711 . . . . . . . . . . . . 13
1512rexri 9711 . . . . . . . . . . . . 13
16 negpilt0 37580 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 pipos 23494 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1913, 18, 12lttri 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15
2016, 17, 19mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . 14
2113, 12, 20ltleii 9775 . . . . . . . . . . . . 13
22 prunioo 11787 . . . . . . . . . . . . 13
2314, 15, 21, 22mp3an 1390 . . . . . . . . . . . 12
2423difeq1i 3536 . . . . . . . . . . 11
25 difundir 3687 . . . . . . . . . . 11
2624, 25eqtr3i 2495 . . . . . . . . . 10
27 fourierdlem102.dmdv . . . . . . . . . . 11
28 prfi 7864 . . . . . . . . . . . 12
29 diffi 7821 . . . . . . . . . . . 12
3028, 29mp1i 13 . . . . . . . . . . 11
31 unfi 7856 . . . . . . . . . . 11
3227, 30, 31syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
3326, 32syl5eqel 2553 . . . . . . . . 9
34 unfi 7856 . . . . . . . . 9
3511, 33, 34syl2anc 673 . . . . . . . 8
369, 35syl5eqel 2553 . . . . . . 7
37 hashcl 12576 . . . . . . 7
3836, 37syl 17 . . . . . 6
3938nn0zd 11061 . . . . 5
4013, 20ltneii 9765 . . . . . . 7
41 hashprg 12610 . . . . . . . 8
4213, 12, 41mp2an 686 . . . . . . 7
4340, 42mpbi 213 . . . . . 6
4410elexi 3041 . . . . . . . . . 10
45 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11
46 difexg 4545 . . . . . . . . . . 11
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
4844, 47unex 6608 . . . . . . . . 9
499, 48eqeltri 2545 . . . . . . . 8
50 negex 9893 . . . . . . . . . . 11
5150tpid1 4076 . . . . . . . . . 10
5212elexi 3041 . . . . . . . . . . 11
5352tpid2 4077 . . . . . . . . . 10
54 prssi 4119 . . . . . . . . . 10
5551, 53, 54mp2an 686 . . . . . . . . 9
56 ssun1 3588 . . . . . . . . . 10
5756, 9sseqtr4i 3451 . . . . . . . . 9
5855, 57sstri 3427 . . . . . . . 8
59 hashss 12624 . . . . . . . 8
6049, 58, 59mp2an 686 . . . . . . 7
6160a1i 11 . . . . . 6
6243, 61syl5eqbrr 4430 . . . . 5
63 eluz2 11188 . . . . 5
648, 39, 62, 63syl3anbrc 1214 . . . 4
65 uz2m1nn 11256 . . . 4
6664, 65syl 17 . . 3
676, 66syl5eqel 2553 . 2
6813a1i 11 . . . . . . . . . . 11
6912a1i 11 . . . . . . . . . . 11
70 negpitopissre 23568 . . . . . . . . . . . 12
7120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
72 picn 23493 . . . . . . . . . . . . . . . 16
73722timesi 10753 . . . . . . . . . . . . . . 15
7472, 72subnegi 9973 . . . . . . . . . . . . . . 15
7573, 2, 743eqtr4i 2503 . . . . . . . . . . . . . 14
76 fourierdlem102.e . . . . . . . . . . . . . 14
7768, 69, 71, 75, 76fourierdlem4 38085 . . . . . . . . . . . . 13
7877, 4ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12
7970, 78sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11
8068, 69, 793jca 1210 . . . . . . . . . 10
81 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11
8250, 52, 81tpss 4129 . . . . . . . . . 10
8380, 82sylib 201 . . . . . . . . 9
84 iccssre 11741 . . . . . . . . . . 11
8513, 12, 84mp2an 686 . . . . . . . . . 10
86 ssdifss 3553 . . . . . . . . . 10
8785, 86mp1i 13 . . . . . . . . 9
8883, 87unssd 3601 . . . . . . . 8
899, 88syl5eqss 3462 . . . . . . 7
90 fourierdlem102.q . . . . . . 7
9136, 89, 90, 6fourierdlem36 38118 . . . . . 6
92 isof1o 6234 . . . . . 6
93 f1of 5828 . . . . . 6
9491, 92, 933syl 18 . . . . 5
9594, 89fssd 5750 . . . 4
96 reex 9648 . . . . 5
97 ovex 6336 . . . . 5
9896, 97elmap 7518 . . . 4
9995, 98sylibr 217 . . 3
100 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
101100adantl 473 . . . . . . . . . 10
10295ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . 12
103102leidd 10201 . . . . . . . . . . 11
104103adantr 472 . . . . . . . . . 10
105101, 104eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9
106 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . 13
107106zred 11063 . . . . . . . . . . . 12
108107ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11
109 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . 12
110109ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11
111 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . 13
112111necomd 2698 . . . . . . . . . . . 12
113112adantl 473 . . . . . . . . . . 11
114108, 110, 113ne0gt0d 9789 . . . . . . . . . 10
115 nnssnn0 10896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117115, 116sseqtri 3450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118117, 67sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15
119 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . . . . . 15
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
12194, 120ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13
12289, 121sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12
123122ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
124102adantr 472 . . . . . . . . . . 11
125 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
12691ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
127120anim1i 578 . . . . . . . . . . . . . 14
128127adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
129 isorel 6235 . . . . . . . . . . . . 13
130126, 128, 129syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
131125, 130mpbid 215 . . . . . . . . . . 11
132123, 124, 131ltled 9800 . . . . . . . . . 10
133114, 132syldan 478 . . . . . . . . 9
134105, 133pm2.61dan 808 . . . . . . . 8
135134adantr 472 . . . . . . 7
136 simpr 468 . . . . . . 7
137135, 136breqtrd 4420 . . . . . 6
13868rexrd 9708 . . . . . . . 8
13969rexrd 9708 . . . . . . . 8
140 lbicc2 11774 . . . . . . . . . . . . . 14
14114, 15, 21, 140mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . 13
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
143 ubicc2 11775 . . . . . . . . . . . . . 14
14414, 15, 21, 143mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . 13
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
146 iocssicc 11747 . . . . . . . . . . . . 13
147146, 78sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12
148 tpssi 4130 . . . . . . . . . . . 12
149142, 145, 147, 148syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
150 difssd 3550 . . . . . . . . . . 11
151149, 150unssd 3601 . . . . . . . . . 10
1529, 151syl5eqss 3462 . . . . . . . . 9
153152, 121sseldd 3419 . . . . . . . 8
154 iccgelb 11716 . . . . . . . 8
155138, 139, 153, 154syl3anc 1292 . . . . . . 7
156155ad2antrr 740 . . . . . 6
157122ad2antrr 740 . . . . . . 7
15813a1i 11 . . . . . . 7
159157, 158letri3d 9794 . . . . . 6
160137, 156, 159mpbir2and 936 . . . . 5
16157, 51sselii 3415 . . . . . . 7
162 f1ofo 5835 . . . . . . . . 9
16392, 162syl 17 . . . . . . . 8
164 forn 5809 . . . . . . . 8
16591, 163, 1643syl 18 . . . . . . 7
166161, 165syl5eleqr 2556 . . . . . 6
167 ffn 5739 . . . . . . 7
168 fvelrnb 5926 . . . . . . 7
16994, 167, 1683syl 18 . . . . . 6
170166, 169mpbid 215 . . . . 5
171160, 170r19.29a 2918 . . . 4
17257, 53sselii 3415 . . . . . . 7
173172, 165syl5eleqr 2556 . . . . . 6
174 fvelrnb 5926 . . . . . . 7
17594, 167, 1743syl 18 . . . . . 6
176173, 175mpbid 215 . . . . 5
17794, 152fssd 5750 . . . . . . . . . 10
178 eluzfz2 11833 . . . . . . . . . . 11
179118, 178syl 17 . . . . . . . . . 10
180177, 179ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
181 iccleub 11715 . . . . . . . . 9
182138, 139, 180, 181syl3anc 1292 . . . . . . . 8
1831823ad2ant1 1051 . . . . . . 7
184 id 22 . . . . . . . . . 10
185184eqcomd 2477 . . . . . . . . 9
1861853ad2ant3 1053 . . . . . . . 8
187103adantr 472 . . . . . . . . . . 11
188 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
189188adantl 473 . . . . . . . . . . 11
190187, 189breqtrd 4420 . . . . . . . . . 10
191107ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12
192 elfzel2 11824 . . . . . . . . . . . . . 14
193192zred 11063 . . . . . . . . . . . . 13
194193ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12
195 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . 13
196195ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12
197 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . 14
198197necomd 2698 . . . . . . . . . . . . 13
199198adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
200191, 194, 196, 199leneltd 9806 . . . . . . . . . . 11
201102adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
20285, 180sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13
203202ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
204 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
20591ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
206 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
207179adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
208206, 207jca 541 . . . . . . . . . . . . . . 15
209208adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
210 isorel 6235 . . . . . . . . . . . . . 14
211205, 209, 210syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
212204, 211mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
213201, 203, 212ltled 9800 . . . . . . . . . . 11
214200, 213syldan 478 . . . . . . . . . 10
215190, 214pm2.61dan 808 . . . . . . . . 9
2162153adant3 1050 . . . . . . . 8
217186, 216eqbrtrd 4416 . . . . . . 7
2182023ad2ant1 1051 . . . . . . . 8
21912a1i 11 . . . . . . . 8
220218, 219letri3d 9794 . . . . . . 7
221183, 217, 220mpbir2and 936 . . . . . 6
222221rexlimdv3a 2873 . . . . 5
223176, 222mpd 15 . . . 4
224 elfzoelz 11947 . . . . . . . . 9 ..^
225224zred 11063 . . . . . . . 8 ..^
226225ltp1d 10559 . . . . . . 7 ..^
227226adantl 473 . . . . . 6 ..^
228 elfzofz 11962 . . . . . . . 8 ..^
229 fzofzp1 12037 . . . . . . . 8 ..^
230228, 229jca 541 . . . . . . 7 ..^
231 isorel 6235 . . . . . . 7
23291, 230, 231syl2an 485 . . . . . 6 ..^
233227, 232mpbid 215 . . . . 5 ..^
234233ralrimiva 2809 . . . 4 ..^
235171, 223, 234jca31 543 . . 3 ..^
2365fourierdlem2 38083 . . . 4 ..^
23767, 236syl 17 . . 3 ..^
23899, 235, 237mpbir2and 936 . 2
239 fourierdlem102.g . . . . 5
240239reseq1i 5107 . . . 4
24114a1i 11 . . . . . 6 ..^
24215a1i 11 . . . . . 6 ..^
243177adantr 472 . . . . . 6 ..^
244 simpr 468 . . . . . 6 ..^ ..^
245241, 242, 243, 244fourierdlem27 38108 . . . . 5 ..^
246245resabs1d 5140 . . . 4 ..^
247240, 246syl5req 2518 . . 3 ..^
248 fourierdlem102.gcn . . . 4
249248, 5, 67, 238, 9, 165fourierdlem38 38120 . . 3 ..^
250247, 249eqeltrd 2549 . 2 ..^
251247oveq1d 6323 . . 3 ..^ lim lim
252248adantr 472 . . . . 5 ..^
253 fourierdlem102.rlim . . . . . 6 lim
254253adantlr 729 . . . . 5 ..^ lim
255 fourierdlem102.llim . . . . . 6 lim
256255adantlr 729 . . . . 5 ..^ lim
25791adantr 472 . . . . 5 ..^
258257, 92, 933syl 18 . . . . 5 ..^
25979adantr 472 . . . . 5 ..^
260257, 163, 1643syl 18 . . . . 5 ..^
261252, 254, 256, 257, 258, 244, 233, 245, 259, 9, 260fourierdlem46 38128 . . . 4 ..^ lim lim
262261simpld 466 . . 3 ..^ lim
263251, 262eqnetrd 2710 . 2 ..^ lim
264247oveq1d 6323 . . 3 ..^ lim lim
265261simprd 470 . . 3 ..^ lim
266264, 265eqnetrd 2710 . 2 ..^ lim
2671, 2, 3, 4, 5, 67, 238, 250, 263, 266fourierdlem94 38176 1 lim lim
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   wss 3390  c0 3722  cpr 3961  ctp 3963   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cio 5551   wfn 5584  wf 5585  wfo 5587  wf1o 5588  cfv 5589   wiso 5590  (class class class)co 6308   cmap 7490  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cpnf 9690   cmnf 9691  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cioo 11660  cioc 11661  cico 11662  cicc 11663  cfz 11810  ..^cfzo 11942  cfl 12059  chash 12553  cpi 14196  ccncf 21986   lim climc 22896   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by:  fourierdlem106  38188
 Copyright terms: Public domain W3C validator