Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem102 Structured version   Unicode version

Theorem fourierdlem102 31832
 Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem102.f
fourierdlem102.t
fourierdlem102.per
fourierdlem102.g
fourierdlem102.dmdv
fourierdlem102.gcn
fourierdlem102.rlim lim
fourierdlem102.llim lim
fourierdlem102.x
fourierdlem102.p ..^
fourierdlem102.e
fourierdlem102.h
fourierdlem102.m
fourierdlem102.q
Assertion
Ref Expression
fourierdlem102 lim lim
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,   ,   ,   ,,,   ,   ,   ,,,   ,   ,,,   ,   ,,,   ,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,)   ()   (,,,)   (,)   (,,)   (,,,)   ()

Proof of Theorem fourierdlem102
StepHypRef Expression
1 fourierdlem102.f . 2
2 fourierdlem102.t . 2
3 fourierdlem102.per . 2
4 fourierdlem102.x . 2
5 fourierdlem102.p . 2 ..^
6 fourierdlem102.m . . 3
7 2z 10908 . . . . . . 7
87a1i 11 . . . . . 6
9 fourierdlem102.h . . . . . . . . 9
10 tpfi 7808 . . . . . . . . . . 11
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10
12 difundir 3756 . . . . . . . . . . . . 13
1312eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12
14 pire 22718 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514renegcli 9892 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615rexri 9658 . . . . . . . . . . . . . 14
1714rexri 9658 . . . . . . . . . . . . . 14
18 negpilt0 31362 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19 pipos 22720 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20 0re 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2115, 20, 14lttri 9722 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2218, 19, 21mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15
2315, 14, 22ltleii 9719 . . . . . . . . . . . . . 14
24 prunioo 11661 . . . . . . . . . . . . . 14
2516, 17, 23, 24mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13
2625difeq1i 3623 . . . . . . . . . . . 12
2713, 26eqtr2i 2497 . . . . . . . . . . 11
28 fourierdlem102.dmdv . . . . . . . . . . . . 13
29 prfi 7807 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 diffi 7763 . . . . . . . . . . . . . . 15
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
3328, 32jca 532 . . . . . . . . . . . 12
34 unfi 7799 . . . . . . . . . . . 12
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11
3627, 35syl5eqel 2559 . . . . . . . . . 10
37 unfi 7799 . . . . . . . . . 10
3811, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . 9
399, 38syl5eqel 2559 . . . . . . . 8
40 hashcl 12408 . . . . . . . 8
4139, 40syl 16 . . . . . . 7
4241nn0zd 10976 . . . . . 6
4315, 22ltneii 9709 . . . . . . . . . 10
44 hashprg 12440 . . . . . . . . . . 11
4515, 14, 44mp2an 672 . . . . . . . . . 10
4643, 45mpbi 208 . . . . . . . . 9
4746eqcomi 2480 . . . . . . . 8
4847a1i 11 . . . . . . 7
4910elexi 3128 . . . . . . . . . . 11
50 ovex 6320 . . . . . . . . . . . 12
51 difexg 4601 . . . . . . . . . . . 12
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
5349, 52unex 6593 . . . . . . . . . 10
549, 53eqeltri 2551 . . . . . . . . 9
55 negex 9830 . . . . . . . . . . . 12
5655tpid1 4146 . . . . . . . . . . 11
5714elexi 3128 . . . . . . . . . . . 12
5857tpid2 4147 . . . . . . . . . . 11
59 prssi 4189 . . . . . . . . . . 11
6056, 58, 59mp2an 672 . . . . . . . . . 10
61 ssun1 3672 . . . . . . . . . . 11
6261, 9sseqtr4i 3542 . . . . . . . . . 10
6360, 62sstri 3518 . . . . . . . . 9
64 hashss 12454 . . . . . . . . 9
6554, 63, 64mp2an 672 . . . . . . . 8
6665a1i 11 . . . . . . 7
6748, 66eqbrtrd 4473 . . . . . 6
688, 42, 673jca 1176 . . . . 5
69 eluz2 11100 . . . . 5
7068, 69sylibr 212 . . . 4
71 uz2m1nn 11168 . . . 4
7270, 71syl 16 . . 3
736, 72syl5eqel 2559 . 2
7415a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
7514a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
76 negpitopissre 22793 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
7822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
79 ax-resscn 9561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8079, 14sselii 3506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81 subneg 9880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8280, 80, 81mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83802timesi 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8483eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
852eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8682, 84, 853eqtrri 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16
87 fourierdlem102.e . . . . . . . . . . . . . . . 16
8874, 75, 78, 86, 87fourierdlem4 31734 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988, 4ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14
9077, 89sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . 13
9174, 75, 903jca 1176 . . . . . . . . . . . 12
92 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13
9355, 57, 92tpss 4198 . . . . . . . . . . . 12
9491, 93sylib 196 . . . . . . . . . . 11
95 iccssre 11618 . . . . . . . . . . . . . 14
9615, 14, 95mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13
97 ssdifss 3640 . . . . . . . . . . . . 13
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
9998a1i 11 . . . . . . . . . . 11
10094, 99unssd 3685 . . . . . . . . . 10
1019, 100syl5eqss 3553 . . . . . . . . 9
102 fourierdlem102.q . . . . . . . . 9
10339, 101, 102, 6fourierdlem36 31766 . . . . . . . 8
104 isof1o 6220 . . . . . . . 8
105103, 104syl 16 . . . . . . 7
106 f1of 5822 . . . . . . 7
107105, 106syl 16 . . . . . 6
108107, 101fssd 5746 . . . . 5
109 reex 9595 . . . . . 6
110 ovex 6320 . . . . . 6
111 elmapg 7445 . . . . . 6
112109, 110, 111mp2an 672 . . . . 5
113108, 112sylibr 212 . . . 4
11462, 56sselii 3506 . . . . . . . . 9
115114a1i 11 . . . . . . . 8
116 f1ofo 5829 . . . . . . . . . . 11
117104, 116syl 16 . . . . . . . . . 10
118 forn 5804 . . . . . . . . . 10
119103, 117, 1183syl 20 . . . . . . . . 9
120119eqcomd 2475 . . . . . . . 8
121115, 120eleqtrd 2557 . . . . . . 7
122 ffn 5737 . . . . . . . . 9
123107, 122syl 16 . . . . . . . 8
124 fvelrnb 5921 . . . . . . . 8
125123, 124syl 16 . . . . . . 7
126121, 125mpbid 210 . . . . . 6
127 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15
128127adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
129108ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130129leidd 10131 . . . . . . . . . . . . . . 15
131130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
132128, 131eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . . 13
133 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14
13420a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
135 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
136135zred 10978 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137136ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15
138 elfzle1 11701 . . . . . . . . . . . . . . . 16
139138ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15
140 neqne 31339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
141140necomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142141adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
143134, 137, 139, 142leneltd 31394 . . . . . . . . . . . . . 14
144 lbicc2 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
14516, 17, 23, 144mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
147 ubicc2 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
14816, 17, 23, 147mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
150 iocssicc 11624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
151150, 89sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
152 tpssi 4199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
153146, 149, 151, 152syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
154 difssd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
155153, 154unssd 3685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1569, 155syl5eqss 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
157 nnssnn0 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
158 nn0uz 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
159157, 158sseqtri 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
160159, 73sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
161 eluzfz1 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
162160, 161syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
163107, 162ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
164156, 163sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16596, 164sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . 16
166165ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
167129adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
168 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
169103ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
170162anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
171170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
172 isorel 6221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
173169, 171, 172syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
174168, 173mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15
175166, 167, 174ltled 9744 . . . . . . . . . . . . . 14
176133, 143, 175syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
177132, 176pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . 12
178177adantr 465 . . . . . . . . . . 11
179 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
180178, 179breqtrd 4477 . . . . . . . . . 10
18174rexrd 9655 . . . . . . . . . . . 12
18275rexrd 9655 . . . . . . . . . . . 12
183 iccgelb 11593 . . . . . . . . . . . 12
184181, 182, 164, 183syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
185184ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
186180, 185jca 532 . . . . . . . . 9
187165ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
18815a1i 11 . . . . . . . . . 10
189187, 188letri3d 9738 . . . . . . . . 9
190186, 189mpbird 232 . . . . . . . 8
191190ex 434 . . . . . . 7
192191rexlimdva 2959 . . . . . 6
193126, 192mpd 15 . . . . 5
19462, 58sselii 3506 . . . . . . . . 9
195194a1i 11 . . . . . . . 8
196195, 120eleqtrd 2557 . . . . . . 7
197 fvelrnb 5921 . . . . . . . 8
198123, 197syl 16 . . . . . . 7
199196, 198mpbid 210 . . . . . 6
200107, 156fssd 5746 . . . . . . . . . . . . 13
201 eluzfz2 11706 . . . . . . . . . . . . . 14
202160, 201syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
203200, 202ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . 12
204 iccleub 11592 . . . . . . . . . . . 12
205181, 182, 203, 204syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
2062053ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
207 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
208207eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12
2092083ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . 11
210130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
211 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15
212211adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
213210, 212breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . 13
214 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14
215136ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15
216 elfzel2 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
217216zred 10978 . . . . . . . . . . . . . . . 16
218217ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15
219 elfzle2 11702 . . . . . . . . . . . . . . . 16
220219ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15
221 neqne 31339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
222221necomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16
223222adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
224215, 218, 220, 223leneltd 31394 . . . . . . . . . . . . . 14
225129adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
22696, 203sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
227226adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
228227adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
229 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
230103ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
231 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
232202adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
233231, 232jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
234233adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
235 isorel 6221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
236230, 234, 235syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
237229, 236mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15
238225, 228, 237ltled 9744 . . . . . . . . . . . . . 14
239214, 224, 238syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
240213, 239pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . 12
2412403adant3 1016 . . . . . . . . . . 11
242209, 241eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . 10
243206, 242jca 532 . . . . . . . . 9
2442263ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
24514a1i 11 . . . . . . . . . 10
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