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Theorem fourierdlem100 38182
Description: A piecewise continuous function is integrable on any closed interval. This lemma uses local definitions, so that the proof is more readable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierlemiblglemlem.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem100.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem100.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem100.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem100.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
fourierdlem100.per  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
fourierdlem100.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem100.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
fourierdlem100.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem100.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem100.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C (,) +oo ) )
fourierdlem100.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem100.n  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
fourierdlem100.h  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
)
fourierdlem100.s  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
fourierdlem100.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
fourierdlem100.j  |-  J  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
fourierdlem100.i  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( J `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem100  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( C [,] D ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    A, f,
k, y    A, i, x, k, y    A, m, p, i    B, f, k, y    B, i, x    B, m, p    C, f, y    C, i, m, p    x, C    D, f, y    D, i, m, p    x, D    f, E, k, y    i, E, x    i, F, x, y    f, H, y   
x, H    f, I,
k, y    i, I, x    i, J, x, y   
x, L, y    i, M, m, p    x, M, y    f, N, k, y    i, N, x   
m, N, p    Q, f, k, y    Q, i, x    Q, p    x, R, y    S, f, k, y    S, i, x    S, p    T, f, k, y    T, i, x    ph, f, k, y    ph, i, x
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    C( k)    D( k)    P( x, y, f, i, k, m, p)    Q( m)    R( f, i, k, m, p)    S( m)    T( m, p)    E( m, p)    F( f, k, m, p)    H( i, k, m, p)    I( m, p)    J( f, k, m, p)    L( f,
i, k, m, p)    M( f, k)    O( x, y, f, i, k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem100
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem100.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
2 fourierdlem100.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
3 fourierdlem100.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C (,) +oo ) )
4 elioore 11691 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( C (,) +oo )  ->  D  e.  RR )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
62, 5iccssred 37698 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C [,] D
)  C_  RR )
71, 6feqresmpt 5933 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( C [,] D ) )  =  ( x  e.  ( C [,] D
)  |->  ( F `  x ) ) )
8 fourierdlem100.o . . . 4  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
9 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
p `  i )  =  ( p `  j ) )
10 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
i  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
1110fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
p `  ( i  +  1 ) )  =  ( p `  ( j  +  1 ) ) )
129, 11breq12d 4408 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( p `  i
)  <  ( p `  ( i  +  1 ) )  <->  ( p `  j )  <  (
p `  ( j  +  1 ) ) ) )
1312cbvralv 3005 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) )  <->  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `  j )  <  ( p `  ( j  +  1 ) ) )
1413anbi2i 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p ` 
0 )  =  C  /\  ( p `  m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `  i
)  <  ( p `  ( i  +  1 ) ) )  <->  ( (
( p `  0
)  =  C  /\  ( p `  m
)  =  D )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `  j
)  <  ( p `  ( j  +  1 ) ) ) )
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m
) )  ->  (
( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) )  <->  ( (
( p `  0
)  =  C  /\  ( p `  m
)  =  D )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `  j
)  <  ( p `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
1615rabbiia 3019 . . . . 5  |-  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  C  /\  (
p `  m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) }  =  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 j )  < 
( p `  (
j  +  1 ) ) ) }
1716mpteq2i 4479 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  C  /\  (
p `  m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  C  /\  (
p `  m )  =  D )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 j )  < 
( p `  (
j  +  1 ) ) ) } )
188, 17eqtri 2493 . . 3  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 j )  < 
( p `  (
j  +  1 ) ) ) } )
19 fourierdlem100.t . . . . . 6  |-  T  =  ( B  -  A
)
20 fourierlemiblglemlem.p . . . . . 6  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
21 fourierdlem100.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
22 fourierdlem100.q . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
23 elioo4g 11720 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( C (,) +oo )  <->  ( ( C  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* 
/\  D  e.  RR )  /\  ( C  < 
D  /\  D  < +oo ) ) )
243, 23sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  D  e.  RR )  /\  ( C  < 
D  /\  D  < +oo ) ) )
2524simprd 470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  <  D  /\  D  < +oo )
)
2625simpld 466 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  <  D )
27 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  y  =  x )
2819eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  -  A )  =  T
2928oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  x.  ( B  -  A ) )  =  ( k  x.  T
)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
k  x.  ( B  -  A ) )  =  ( k  x.  T ) )
3127, 30oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( x  +  ( k  x.  T
) ) )
3231eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q  <->  ( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
3332rexbidv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  (
x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
3433cbvrabv 3030 . . . . . . 7  |-  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }  =  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }
3534uneq2i 3576 . . . . . 6  |-  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } )  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
36 fourierdlem100.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
37 fourierdlem100.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
)
3829eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  x.  T )  =  ( k  x.  ( B  -  A )
)
3938oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  +  ( k  x.  T ) )  =  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )
4039eleq1i 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A
) ) )  e. 
ran  Q )
4140rexbii 2881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q )
4241rgenw 2768 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. y  e.  ( C [,] D
) ( E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q
)
43 rabbi 2955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( C [,] D ) ( E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q )  <->  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  =  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }
)
4442, 43mpbi 213 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }  =  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q }
4544uneq2i 3576 . . . . . . . . . 10  |-  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } )
4637, 45eqtri 2493 . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }
)
4746fveq2i 5882 . . . . . . . 8  |-  ( # `  H )  =  (
# `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )
4847oveq1i 6318 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  H )  -  1 )  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
4936, 48eqtri 2493 . . . . . 6  |-  N  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
50 fourierdlem100.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
51 isoeq5 6232 . . . . . . . . 9  |-  ( H  =  ( { C ,  D }  u.  {
y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q } )  ->  (
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  H )  <-> 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) ) )
5246, 51ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H )  <-> 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
5352iotabii 5575 . . . . . . 7  |-  ( iota f f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  H ) )  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
5450, 53eqtri 2493 . . . . . 6  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
5519, 20, 21, 22, 2, 5, 26, 8, 35, 49, 54fourierdlem54 38136 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `  N
) )  /\  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) ) )
5655simpld 466 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `
 N ) ) )
5756simpld 466 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
5856simprd 470 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  ( O `
 N ) )
591, 6fssresd 5762 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( C [,] D ) ) : ( C [,] D ) --> CC )
60 ioossicc 11745 . . . . . 6  |-  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) )  C_  ( ( S `  j ) [,] ( S `  ( j  +  1 ) ) )
612adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  C  e.  RR )
6261rexrd 9708 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  C  e.  RR* )
633adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  D  e.  ( C (,) +oo )
)
6463, 4syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  D  e.  RR )
6564rexrd 9708 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  D  e.  RR* )
668, 57, 58fourierdlem15 38096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
6766adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D
) )
68 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  j  e.  ( 0..^ N ) )
6962, 65, 67, 68fourierdlem8 38089 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( S `
 j ) [,] ( S `  (
j  +  1 ) ) )  C_  ( C [,] D ) )
7060, 69syl5ss 3429 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) )  C_  ( C [,] D ) )
7170resabs1d 5140 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( F  |`  ( C [,] D
) )  |`  (
( S `  j
) (,) ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
7221adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  M  e.  NN )
7322adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  Q  e.  ( P `  M ) )
741adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  F : RR --> CC )
75 fourierdlem100.per . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
7675adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
77 fourierdlem100.fcn . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
7877adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
79 fourierdlem100.e . . . . 5  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
80 fourierdlem100.j . . . . 5  |-  J  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
81 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )
82 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( F  |`  ( ( J `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( J `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
83 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ( ( J `  ( E `
 ( S `  j ) ) )  +  ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) ) ) (,) (
( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  +  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) 
|->  ( ( F  |`  ( ( J `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) `  ( y  -  ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( ( ( J `
 ( E `  ( S `  j ) ) )  +  ( ( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) (,) ( ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) )  +  ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) ) ) )  |->  ( ( F  |`  (
( J `  ( E `  ( S `  j ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) `  ( y  -  (
( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
84 fourierdlem100.i . . . . 5  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( J `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
8520, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 82, 83, 84fourierdlem90 38172 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( F  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
8671, 85eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( F  |`  ( C [,] D
) )  |`  (
( S `  j
) (,) ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `  j
) (,) ( S `
 ( j  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) )
87 fourierdlem100.r . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
8887adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
89 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  R )  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  R )
9020, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 88, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 84, 89fourierdlem89 38171 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  if ( ( J `  ( E `
 ( S `  j ) ) )  =  ( Q `  ( I `  ( S `  j )
) ) ,  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  R ) `  ( I `
 ( S `  j ) ) ) ,  ( F `  ( J `  ( E `
 ( S `  j ) ) ) ) )  e.  ( ( F  |`  (
( S `  j
) (,) ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `
 j ) ) )
9171eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( F  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( C [,] D ) )  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
9291oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
)  =  ( ( ( F  |`  ( C [,] D ) )  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )
9390, 92eleqtrd 2551 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  if ( ( J `  ( E `
 ( S `  j ) ) )  =  ( Q `  ( I `  ( S `  j )
) ) ,  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  R ) `  ( I `
 ( S `  j ) ) ) ,  ( F `  ( J `  ( E `
 ( S `  j ) ) ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  ( C [,] D ) )  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j ) ) )
94 fourierdlem100.l . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
9594adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
96 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  L )  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  L )
9720, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 95, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 84, 96fourierdlem91 38173 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  if ( ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( Q `  ( ( I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) ,  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  L ) `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) ,  ( F `  ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )
9891oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  ( C [,] D ) )  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )
9997, 98eleqtrd 2551 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  if ( ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( Q `  ( ( I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) ,  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  L ) `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) ,  ( F `  ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  ( C [,] D ) )  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )
10018, 57, 58, 59, 86, 93, 99fourierdlem69 38151 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( C [,] D ) )  e.  L^1 )
1017, 100eqeltrrd 2550 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( C [,] D ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    u. cun 3388   ifcif 3872   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    |` cres 4841   iotacio 5551   -->wf 5585   ` cfv 5589    Isom wiso 5590  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   ZZcz 10961   (,)cioo 11660   (,]cioc 11661   [,]cicc 11663   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   |_cfl 12059   #chash 12553   -cn->ccncf 21986   L^1cibl 22654   lim CC climc 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900
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