Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem100 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fourierdlem100 38182
 Description: A piecewise continuous function is integrable on any closed interval. This lemma uses local definitions, so that the proof is more readable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierlemiblglemlem.p ..^
fourierdlem100.t
fourierdlem100.m
fourierdlem100.q
fourierdlem100.f
fourierdlem100.per
fourierdlem100.fcn ..^
fourierdlem100.r ..^ lim
fourierdlem100.l ..^ lim
fourierdlem100.c
fourierdlem100.d
fourierdlem100.o ..^
fourierdlem100.n
fourierdlem100.h
fourierdlem100.s
fourierdlem100.e
fourierdlem100.j
fourierdlem100.i ..^
Assertion
Ref Expression
fourierdlem100
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,,   ,,,   ,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,   ,,   ,,,   ,,   ,   ,,,   ,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,,,,,,)   ()   (,,,,)   ()   (,)   (,)   (,,,)   (,,,)   (,)   (,,,)   (,,,,)   (,)   (,,,,,,)

Proof of Theorem fourierdlem100
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem100.f . . 3
2 fourierdlem100.c . . . 4
3 fourierdlem100.d . . . . 5
4 elioore 11691 . . . . 5
53, 4syl 17 . . . 4
62, 5iccssred 37698 . . 3
71, 6feqresmpt 5933 . 2
8 fourierdlem100.o . . . 4 ..^
9 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
10 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11
1110fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
129, 11breq12d 4408 . . . . . . . . 9
1312cbvralv 3005 . . . . . . . 8 ..^ ..^
1413anbi2i 708 . . . . . . 7 ..^ ..^
1514a1i 11 . . . . . 6 ..^ ..^
1615rabbiia 3019 . . . . 5 ..^ ..^
1716mpteq2i 4479 . . . 4 ..^ ..^
188, 17eqtri 2493 . . 3 ..^
19 fourierdlem100.t . . . . . 6
20 fourierlemiblglemlem.p . . . . . 6 ..^
21 fourierdlem100.m . . . . . 6
22 fourierdlem100.q . . . . . 6
23 elioo4g 11720 . . . . . . . . 9
243, 23sylib 201 . . . . . . . 8
2524simprd 470 . . . . . . 7
2625simpld 466 . . . . . 6
27 id 22 . . . . . . . . . . 11
2819eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13
2928oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . 12
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11
3127, 30oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
3231eleq1d 2533 . . . . . . . . 9
3332rexbidv 2892 . . . . . . . 8
3433cbvrabv 3030 . . . . . . 7
3534uneq2i 3576 . . . . . 6
36 fourierdlem100.n . . . . . . 7
37 fourierdlem100.h . . . . . . . . . 10
3829eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039eleq1i 2540 . . . . . . . . . . . . . 14
4140rexbii 2881 . . . . . . . . . . . . 13
4241rgenw 2768 . . . . . . . . . . . 12
43 rabbi 2955 . . . . . . . . . . . 12
4442, 43mpbi 213 . . . . . . . . . . 11
4544uneq2i 3576 . . . . . . . . . 10
4637, 45eqtri 2493 . . . . . . . . 9
4746fveq2i 5882 . . . . . . . 8
4847oveq1i 6318 . . . . . . 7
4936, 48eqtri 2493 . . . . . 6
50 fourierdlem100.s . . . . . . 7
51 isoeq5 6232 . . . . . . . . 9
5246, 51ax-mp 5 . . . . . . . 8
5352iotabii 5575 . . . . . . 7
5450, 53eqtri 2493 . . . . . 6
5519, 20, 21, 22, 2, 5, 26, 8, 35, 49, 54fourierdlem54 38136 . . . . 5
5655simpld 466 . . . 4
5756simpld 466 . . 3
5856simprd 470 . . 3
591, 6fssresd 5762 . . 3
60 ioossicc 11745 . . . . . 6
612adantr 472 . . . . . . . 8 ..^
6261rexrd 9708 . . . . . . 7 ..^
633adantr 472 . . . . . . . . 9 ..^
6463, 4syl 17 . . . . . . . 8 ..^
6564rexrd 9708 . . . . . . 7 ..^
668, 57, 58fourierdlem15 38096 . . . . . . . 8
6766adantr 472 . . . . . . 7 ..^
68 simpr 468 . . . . . . 7 ..^ ..^
6962, 65, 67, 68fourierdlem8 38089 . . . . . 6 ..^
7060, 69syl5ss 3429 . . . . 5 ..^
7170resabs1d 5140 . . . 4 ..^
7221adantr 472 . . . . 5 ..^
7322adantr 472 . . . . 5 ..^
741adantr 472 . . . . 5 ..^
75 fourierdlem100.per . . . . . 6
7675adantlr 729 . . . . 5 ..^
77 fourierdlem100.fcn . . . . . 6 ..^
7877adantlr 729 . . . . 5 ..^ ..^
79 fourierdlem100.e . . . . 5
80 fourierdlem100.j . . . . 5
81 eqid 2471 . . . . 5
82 eqid 2471 . . . . 5
83 eqid 2471 . . . . 5
84 fourierdlem100.i . . . . 5 ..^
8520, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 82, 83, 84fourierdlem90 38172 . . . 4 ..^
8671, 85eqeltrd 2549 . . 3 ..^
87 fourierdlem100.r . . . . . 6 ..^ lim
8887adantlr 729 . . . . 5 ..^ ..^ lim
89 eqid 2471 . . . . 5 ..^ ..^
9020, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 88, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 84, 89fourierdlem89 38171 . . . 4 ..^ ..^ lim
9171eqcomd 2477 . . . . 5 ..^
9291oveq1d 6323 . . . 4 ..^ lim lim
9390, 92eleqtrd 2551 . . 3 ..^ ..^ lim
94 fourierdlem100.l . . . . . 6 ..^ lim
9594adantlr 729 . . . . 5 ..^ ..^ lim
96 eqid 2471 . . . . 5 ..^ ..^
9720, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 95, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 84, 96fourierdlem91 38173 . . . 4 ..^ ..^ lim
9891oveq1d 6323 . . . 4 ..^ lim lim
9997, 98eleqtrd 2551 . . 3 ..^ ..^ lim
10018, 57, 58, 59, 86, 93, 99fourierdlem69 38151 . 2
1017, 100eqeltrrd 2550 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   cun 3388  cif 3872  cpr 3961   class class class wbr 4395   cmpt 4454   crn 4840   cres 4841  cio 5551  wf 5585  cfv 5589   wiso 5590  (class class class)co 6308   cmap 7490  csup 7972  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  cz 10961  cioo 11660  cioc 11661  cicc 11663  cfz 11810  ..^cfzo 11942  cfl 12059  chash 12553  ccncf 21986  cibl 22654   lim climc 22896 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900 This theorem is referenced by:  fourierdlem105  38187
 Copyright terms: Public domain W3C validator