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Theorem fourierdlem100 38070
Description: A piecewise continuous function is integrable on any closed interval. This lemma uses local definitions, so that the proof is more readable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierlemiblglemlem.p  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem100.t  |-  T  =  ( B  -  A
)
fourierdlem100.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem100.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem100.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
fourierdlem100.per  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
fourierdlem100.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem100.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
fourierdlem100.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem100.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem100.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C (,) +oo ) )
fourierdlem100.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem100.n  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
fourierdlem100.h  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
)
fourierdlem100.s  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
fourierdlem100.e  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
fourierdlem100.j  |-  J  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
fourierdlem100.i  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( J `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem100  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( C [,] D ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    A, f,
k, y    A, i, x, k, y    A, m, p, i    B, f, k, y    B, i, x    B, m, p    C, f, y    C, i, m, p    x, C    D, f, y    D, i, m, p    x, D    f, E, k, y    i, E, x    i, F, x, y    f, H, y   
x, H    f, I,
k, y    i, I, x    i, J, x, y   
x, L, y    i, M, m, p    x, M, y    f, N, k, y    i, N, x   
m, N, p    Q, f, k, y    Q, i, x    Q, p    x, R, y    S, f, k, y    S, i, x    S, p    T, f, k, y    T, i, x    ph, f, k, y    ph, i, x
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    C( k)    D( k)    P( x, y, f, i, k, m, p)    Q( m)    R( f, i, k, m, p)    S( m)    T( m, p)    E( m, p)    F( f, k, m, p)    H( i, k, m, p)    I( m, p)    J( f, k, m, p)    L( f,
i, k, m, p)    M( f, k)    O( x, y, f, i, k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem100
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem100.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> CC )
2 fourierdlem100.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
3 fourierdlem100.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( C (,) +oo ) )
4 elioore 11666 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( C (,) +oo )  ->  D  e.  RR )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
62, 5iccssred 37602 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C [,] D
)  C_  RR )
71, 6feqresmpt 5919 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( C [,] D ) )  =  ( x  e.  ( C [,] D
)  |->  ( F `  x ) ) )
8 fourierdlem100.o . . . 4  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
9 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
p `  i )  =  ( p `  j ) )
10 oveq1 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
i  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
1110fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
p `  ( i  +  1 ) )  =  ( p `  ( j  +  1 ) ) )
129, 11breq12d 4415 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( p `  i
)  <  ( p `  ( i  +  1 ) )  <->  ( p `  j )  <  (
p `  ( j  +  1 ) ) ) )
1312cbvralv 3019 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) )  <->  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `  j )  <  ( p `  ( j  +  1 ) ) )
1413anbi2i 700 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p ` 
0 )  =  C  /\  ( p `  m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `  i
)  <  ( p `  ( i  +  1 ) ) )  <->  ( (
( p `  0
)  =  C  /\  ( p `  m
)  =  D )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `  j
)  <  ( p `  ( j  +  1 ) ) ) )
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m
) )  ->  (
( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) )  <->  ( (
( p `  0
)  =  C  /\  ( p `  m
)  =  D )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `  j
)  <  ( p `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
1615rabbiia 3033 . . . . 5  |-  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  C  /\  (
p `  m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) }  =  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 j )  < 
( p `  (
j  +  1 ) ) ) }
1716mpteq2i 4486 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  C  /\  (
p `  m )  =  D )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  (
0 ... m ) )  |  ( ( ( p `  0 )  =  C  /\  (
p `  m )  =  D )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 j )  < 
( p `  (
j  +  1 ) ) ) } )
188, 17eqtri 2473 . . 3  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  C  /\  ( p `
 m )  =  D )  /\  A. j  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 j )  < 
( p `  (
j  +  1 ) ) ) } )
19 fourierdlem100.t . . . . . 6  |-  T  =  ( B  -  A
)
20 fourierlemiblglemlem.p . . . . . 6  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  A  /\  ( p `
 m )  =  B )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
21 fourierdlem100.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
22 fourierdlem100.q . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( P `
 M ) )
23 elioo4g 11695 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( C (,) +oo )  <->  ( ( C  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* 
/\  D  e.  RR )  /\  ( C  < 
D  /\  D  < +oo ) ) )
243, 23sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  e. 
RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  D  e.  RR )  /\  ( C  < 
D  /\  D  < +oo ) ) )
2524simprd 465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  <  D  /\  D  < +oo )
)
2625simpld 461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  <  D )
27 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  y  =  x )
2819eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  -  A )  =  T
2928oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  x.  ( B  -  A ) )  =  ( k  x.  T
)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
k  x.  ( B  -  A ) )  =  ( k  x.  T ) )
3127, 30oveq12d 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( x  +  ( k  x.  T
) ) )
3231eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q  <->  ( x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
3332rexbidv 2901 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  (
x  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q ) )
3433cbvrabv 3044 . . . . . . 7  |-  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }  =  { x  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }
3534uneq2i 3585 . . . . . 6  |-  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } )  =  ( { C ,  D }  u.  { x  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( x  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )
36 fourierdlem100.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( ( # `  H
)  -  1 )
37 fourierdlem100.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }
)
3829eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  x.  T )  =  ( k  x.  ( B  -  A )
)
3938oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  +  ( k  x.  T ) )  =  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )
4039eleq1i 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A
) ) )  e. 
ran  Q )
4140rexbii 2889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q )
4241rgenw 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. y  e.  ( C [,] D
) ( E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q
)
43 rabbi 2969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( C [,] D ) ( E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q  <->  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q )  <->  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q }  =  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }
)
4442, 43mpbi 212 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  T ) )  e.  ran  Q }  =  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q }
4544uneq2i 3585 . . . . . . . . . 10  |-  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  T
) )  e.  ran  Q } )  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D
)  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } )
4637, 45eqtri 2473 . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  (
y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q }
)
4746fveq2i 5868 . . . . . . . 8  |-  ( # `  H )  =  (
# `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )
4847oveq1i 6300 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  H )  -  1 )  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
4936, 48eqtri 2473 . . . . . 6  |-  N  =  ( ( # `  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) )  - 
1 )
50 fourierdlem100.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H ) )
51 isoeq5 6214 . . . . . . . . 9  |-  ( H  =  ( { C ,  D }  u.  {
y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A ) ) )  e.  ran  Q } )  ->  (
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  H )  <-> 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) ) )
5246, 51ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  H )  <-> 
f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
5352iotabii 5568 . . . . . . 7  |-  ( iota f f  Isom  <  ,  <  ( ( 0 ... N ) ,  H ) )  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
5450, 53eqtri 2473 . . . . . 6  |-  S  =  ( iota f f 
Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) )
5519, 20, 21, 22, 2, 5, 26, 8, 35, 49, 54fourierdlem54 38024 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `  N
) )  /\  S  Isom  <  ,  <  (
( 0 ... N
) ,  ( { C ,  D }  u.  { y  e.  ( C [,] D )  |  E. k  e.  ZZ  ( y  +  ( k  x.  ( B  -  A )
) )  e.  ran  Q } ) ) ) )
5655simpld 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  S  e.  ( O `
 N ) ) )
5756simpld 461 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
5856simprd 465 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  ( O `
 N ) )
591, 6fssresd 5750 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( C [,] D ) ) : ( C [,] D ) --> CC )
60 ioossicc 11720 . . . . . 6  |-  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) )  C_  ( ( S `  j ) [,] ( S `  ( j  +  1 ) ) )
612adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  C  e.  RR )
6261rexrd 9690 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  C  e.  RR* )
633adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  D  e.  ( C (,) +oo )
)
6463, 4syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  D  e.  RR )
6564rexrd 9690 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  D  e.  RR* )
668, 57, 58fourierdlem15 37984 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
6766adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D
) )
68 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  j  e.  ( 0..^ N ) )
6962, 65, 67, 68fourierdlem8 37977 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( S `
 j ) [,] ( S `  (
j  +  1 ) ) )  C_  ( C [,] D ) )
7060, 69syl5ss 3443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( S `
 j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) )  C_  ( C [,] D ) )
7170resabs1d 5134 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( F  |`  ( C [,] D
) )  |`  (
( S `  j
) (,) ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
7221adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  M  e.  NN )
7322adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  Q  e.  ( P `  M ) )
741adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  F : RR --> CC )
75 fourierdlem100.per . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
7675adantlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
77 fourierdlem100.fcn . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
7877adantlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
79 fourierdlem100.e . . . . 5  |-  E  =  ( x  e.  RR  |->  ( x  +  (
( |_ `  (
( B  -  x
)  /  T ) )  x.  T ) ) )
80 fourierdlem100.j . . . . 5  |-  J  =  ( y  e.  ( A (,] B ) 
|->  if ( y  =  B ,  A , 
y ) )
81 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )
82 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( F  |`  ( ( J `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( F  |`  ( ( J `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
83 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ( ( J `  ( E `
 ( S `  j ) ) )  +  ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) ) ) (,) (
( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  +  ( ( S `  ( j  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) 
|->  ( ( F  |`  ( ( J `  ( E `  ( S `
 j ) ) ) (,) ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) `  ( y  -  ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( ( ( J `
 ( E `  ( S `  j ) ) )  +  ( ( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) (,) ( ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) )  +  ( ( S `
 ( j  +  1 ) )  -  ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) ) ) )  |->  ( ( F  |`  (
( J `  ( E `  ( S `  j ) ) ) (,) ( E `  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) `  ( y  -  (
( S `  (
j  +  1 ) )  -  ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
84 fourierdlem100.i . . . . 5  |-  I  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( { i  e.  ( 0..^ M )  |  ( Q `  i )  <_  ( J `  ( E `  x ) ) } ,  RR ,  <  ) )
8520, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 82, 83, 84fourierdlem90 38060 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( F  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
8671, 85eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( F  |`  ( C [,] D
) )  |`  (
( S `  j
) (,) ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( S `  j
) (,) ( S `
 ( j  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) )
87 fourierdlem100.r . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
8887adantlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
89 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  R )  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  R )
9020, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 88, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 84, 89fourierdlem89 38059 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  if ( ( J `  ( E `
 ( S `  j ) ) )  =  ( Q `  ( I `  ( S `  j )
) ) ,  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  R ) `  ( I `
 ( S `  j ) ) ) ,  ( F `  ( J `  ( E `
 ( S `  j ) ) ) ) )  e.  ( ( F  |`  (
( S `  j
) (,) ( S `
 ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `
 j ) ) )
9171eqcomd 2457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( F  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( C [,] D ) )  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
9291oveq1d 6305 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
)  =  ( ( ( F  |`  ( C [,] D ) )  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j )
) )
9390, 92eleqtrd 2531 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  if ( ( J `  ( E `
 ( S `  j ) ) )  =  ( Q `  ( I `  ( S `  j )
) ) ,  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  R ) `  ( I `
 ( S `  j ) ) ) ,  ( F `  ( J `  ( E `
 ( S `  j ) ) ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  ( C [,] D ) )  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  j ) ) )
94 fourierdlem100.l . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
9594adantlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
96 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  L )  =  ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  L )
9720, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 95, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 84, 96fourierdlem91 38061 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  if ( ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( Q `  ( ( I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) ,  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  L ) `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) ,  ( F `  ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  e.  ( ( F  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  (
j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )
9891oveq1d 6305 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( F  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( F  |`  ( C [,] D ) )  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )
9997, 98eleqtrd 2531 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ N ) )  ->  if ( ( E `  ( S `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( Q `  ( ( I `  ( S `  j ) )  +  1 ) ) ,  ( ( i  e.  ( 0..^ M )  |->  L ) `
 ( I `  ( S `  j ) ) ) ,  ( F `  ( E `
 ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) )  e.  ( ( ( F  |`  ( C [,] D ) )  |`  ( ( S `  j ) (,) ( S `  ( j  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( S `  ( j  +  1 ) ) ) )
10018, 57, 58, 59, 86, 93, 99fourierdlem69 38039 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( C [,] D ) )  e.  L^1 )
1017, 100eqeltrrd 2530 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( C [,] D ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    u. cun 3402   ifcif 3881   {cpr 3970   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ran crn 4835    |` cres 4836   iotacio 5544   -->wf 5578   ` cfv 5582    Isom wiso 5583  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   supcsup 7954   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   ZZcz 10937   (,)cioo 11635   (,]cioc 11636   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   |_cfl 12026   #chash 12515   -cn->ccncf 21908   L^1cibl 22575   lim CC climc 22817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-limc 22821
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