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Theorem fourierdlem10 38091
Description: Condition on the bounds of a non empty subinterval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem10.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem10.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem10.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem10.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
fourierdlem10.5  |-  ( ph  ->  C  <  D )
fourierdlem10.6  |-  ( ph  ->  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem10  |-  ( ph  ->  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )

Proof of Theorem fourierdlem10
StepHypRef Expression
1 fourierdlem10.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 fourierdlem10.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
3 fourierdlem10.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
43adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
52rexrd 9708 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
65adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  C  e.  RR* )
7 fourierdlem10.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
87rexrd 9708 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
98adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  D  e.  RR* )
102, 1readdcld 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  +  A
)  e.  RR )
1110rehalfcld 10882 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  A )  /  2
)  e.  RR )
122, 7readdcld 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  +  D
)  e.  RR )
1312rehalfcld 10882 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  D )  /  2
)  e.  RR )
1411, 13ifcld 3915 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  e.  RR )
1514adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  e.  RR )
16 simplr 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  A  <_  D )  ->  C  <  A )
172ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  A  <_  D )  ->  C  e.  RR )
181ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  A  <_  D )  ->  A  e.  RR )
19 avglt1 10873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( C  <  A  <->  C  <  ( ( C  +  A )  / 
2 ) ) )
2017, 18, 19syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  A  <_  D )  ->  ( C  <  A  <->  C  <  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ) )
2116, 20mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  A  <_  D )  ->  C  <  ( ( C  +  A )  /  2
) )
22 iftrue 3878 . . . . . . . . 9  |-  ( A  <_  D  ->  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  =  ( ( C  +  A )  / 
2 ) )
2322adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  =  ( ( C  +  A )  / 
2 ) )
2421, 23breqtrrd 4422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  A  <_  D )  ->  C  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) ) )
25 fourierdlem10.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  <  D )
2625adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  C  <  D )
272adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  C  e.  RR )
287adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  D  e.  RR )
29 avglt1 10873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( C  <  D  <->  C  <  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
3027, 28, 29syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  ( C  <  D  <->  C  <  ( ( C  +  D
)  /  2 ) ) )
3126, 30mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  C  <  ( ( C  +  D )  /  2
) )
32 iffalse 3881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  <_  D  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  =  ( ( C  +  D )  /  2 ) )
3332eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  <_  D  ->  ( ( C  +  D
)  /  2 )  =  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
3433adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  (
( C  +  D
)  /  2 )  =  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
3531, 34breqtrd 4420 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  C  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) ) )
3635adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  -.  A  <_  D )  ->  C  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
3724, 36pm2.61dan 808 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  C  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) ) )
3822adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  =  ( ( C  +  A )  /  2
) )
3910adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  ( C  +  A )  e.  RR )
4012adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  ( C  +  D )  e.  RR )
41 2rp 11330 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR+
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  2  e.  RR+ )
431adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  A  e.  RR )
447adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  D  e.  RR )
452adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  C  e.  RR )
46 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  A  <_  D )
4743, 44, 45, 46leadd2dd 10249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  ( C  +  A )  <_  ( C  +  D )
)
4839, 40, 42, 47lediv1dd 11419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  ( ( C  +  A )  /  2 )  <_ 
( ( C  +  D )  /  2
) )
4938, 48eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  <_ 
( ( C  +  D )  /  2
) )
5032adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  =  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )
5113leidd 10201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  D )  /  2
)  <_  ( ( C  +  D )  /  2 ) )
5251adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  (
( C  +  D
)  /  2 )  <_  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )
5350, 52eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <_  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )
5449, 53pm2.61dan 808 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  <_  (
( C  +  D
)  /  2 ) )
55 avglt2 10874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( C  <  D  <->  ( ( C  +  D
)  /  2 )  <  D ) )
562, 7, 55syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  <  D  <->  ( ( C  +  D
)  /  2 )  <  D ) )
5725, 56mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  D )  /  2
)  <  D )
5814, 13, 7, 54, 57lelttrd 9810 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  <  D
)
5958adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  < 
D )
606, 9, 15, 37, 59eliood 37691 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  e.  ( C (,) D
) )
611adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  A  e.  RR )
6211adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  ( ( C  +  A )  /  2 )  e.  RR )
6314adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  e.  RR )
6463, 38eqled 9755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  <_ 
( ( C  +  A )  /  2
) )
6514adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  RR )
6611adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  (
( C  +  A
)  /  2 )  e.  RR )
67 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  -.  A  <_  D )
681adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  A  e.  RR )
6928, 68ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  ( D  <  A  <->  -.  A  <_  D ) )
7067, 69mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  D  <  A )
7112adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  ( C  +  D )  e.  RR )
7210adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  ( C  +  A )  e.  RR )
7341a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  2  e.  RR+ )
747adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  D  e.  RR )
751adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  A  e.  RR )
762adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  C  e.  RR )
77 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  D  <  A )
7874, 75, 76, 77ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  ( C  +  D )  <  ( C  +  A )
)
7971, 72, 73, 78ltdiv1dd 11418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  ( ( C  +  D )  /  2 )  < 
( ( C  +  A )  /  2
) )
8070, 79syldan 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  (
( C  +  D
)  /  2 )  <  ( ( C  +  A )  / 
2 ) )
8150, 80eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  ( ( C  +  A )  / 
2 ) )
8265, 66, 81ltled 9800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <_  ( ( C  +  A )  / 
2 ) )
8364, 82pm2.61dan 808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  <_  (
( C  +  A
)  /  2 ) )
8483adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  <_ 
( ( C  +  A )  /  2
) )
85 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  C  <  A )
862adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  C  e.  RR )
87 avglt2 10874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( C  <  A  <->  ( ( C  +  A
)  /  2 )  <  A ) )
8886, 61, 87syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  ( C  <  A  <->  ( ( C  +  A )  / 
2 )  <  A
) )
8985, 88mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  ( ( C  +  A )  /  2 )  < 
A )
9015, 62, 61, 84, 89lelttrd 9810 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  < 
A )
9115, 61, 90ltnsymd 9801 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  -.  A  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) ) )
9291intn3an2d 1408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  -.  ( if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  /\  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  <  B ) )
931rexrd 9708 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
9493adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  A  e.  RR* )
95 fourierdlem10.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
9695rexrd 9708 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9796adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  B  e.  RR* )
98 elioo2 11702 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  e.  ( A (,) B )  <->  ( if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  /\  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  B ) ) )
9994, 97, 98syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  ( if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  ( A (,) B )  <->  ( if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  /\  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  B ) ) )
10092, 99mtbird 308 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  -.  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  ( A (,) B ) )
101 nelss 3477 . . . . 5  |-  ( ( if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  e.  ( C (,) D )  /\  -.  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
10260, 100, 101syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  -.  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
1034, 102pm2.65da 586 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  C  <  A
)
1041, 2, 103nltled 9802 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
1053adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
1065adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  C  e.  RR* )
1078adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  D  e.  RR* )
10895, 7readdcld 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  D
)  e.  RR )
109108rehalfcld 10882 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  D )  /  2
)  e.  RR )
110109, 13ifcld 3915 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  e.  RR )
111110adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  e.  RR )
1122adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  C  e.  RR )
11313adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  ( ( C  +  D )  /  2 )  e.  RR )
114110adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  e.  RR )
1152, 7, 29syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  <  D  <->  C  <  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
11625, 115mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  <  ( ( C  +  D )  /  2 ) )
117116adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  C  <  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )
11812adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  ( C  +  D )  e.  RR )
119108adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  ( B  +  D )  e.  RR )
12041a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  2  e.  RR+ )
12195adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  B  e.  RR )
1227adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  D  e.  RR )
123 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  C  <_  B )
124112, 121, 122, 123leadd1dd 10248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  ( C  +  D )  <_  ( B  +  D )
)
125118, 119, 120, 124lediv1dd 11419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  ( ( C  +  D )  /  2 )  <_ 
( ( B  +  D )  /  2
) )
126 iftrue 3878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  <_  B  ->  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  =  ( ( B  +  D )  / 
2 ) )
127126adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  =  ( ( B  +  D )  /  2
) )
128125, 127breqtrrd 4422 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  ( ( C  +  D )  /  2 )  <_  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) ) )
129112, 113, 114, 117, 128ltletrd 9812 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  C  <  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) ) )
130116adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  C  <  ( ( C  +  D )  /  2
) )
131 iffalse 3881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  C  <_  B  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  =  ( ( C  +  D )  /  2 ) )
132131eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  C  <_  B  ->  ( ( C  +  D
)  /  2 )  =  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
133132adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  (
( C  +  D
)  /  2 )  =  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
134130, 133breqtrd 4420 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  C  <  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) ) )
135129, 134pm2.61dan 808 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  <  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) ) )
136135adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  C  <  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) ) )
137126adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  D )  /\  C  <_  B )  ->  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  =  ( ( B  +  D )  / 
2 ) )
138 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  B  <  D )
13995adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  B  e.  RR )
1407adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  D  e.  RR )
141 avglt2 10874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( B  <  D  <->  ( ( B  +  D
)  /  2 )  <  D ) )
142139, 140, 141syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  ( B  <  D  <->  ( ( B  +  D )  / 
2 )  <  D
) )
143138, 142mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  ( ( B  +  D )  /  2 )  < 
D )
144143adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  D )  /\  C  <_  B )  ->  (
( B  +  D
)  /  2 )  <  D )
145137, 144eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  D )  /\  C  <_  B )  ->  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  D )
146131adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  =  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )
14757adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  (
( C  +  D
)  /  2 )  <  D )
148146, 147eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  D )
149148adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  D )  /\  -.  C  <_  B )  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  <  D )
150145, 149pm2.61dan 808 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  < 
D )
151106, 107, 111, 136, 150eliood 37691 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  e.  ( C (,) D
) )
152109adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  ( ( B  +  D )  /  2 )  e.  RR )
153 avglt1 10873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( B  <  D  <->  B  <  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ) )
154139, 140, 153syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  ( B  <  D  <->  B  <  ( ( B  +  D )  /  2 ) ) )
155138, 154mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  B  <  ( ( B  +  D
)  /  2 ) )
156139, 152, 155ltled 9800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  B  <_  ( ( B  +  D
)  /  2 ) )
157156adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  D )  /\  C  <_  B )  ->  B  <_  ( ( B  +  D )  /  2
) )
158157, 137breqtrrd 4422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  D )  /\  C  <_  B )  ->  B  <_  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) ) )
15995adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  B  e.  RR )
16013adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  (
( C  +  D
)  /  2 )  e.  RR )
1612adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  C  e.  RR )
162 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  -.  C  <_  B )
163159, 161ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  ( B  <  C  <->  -.  C  <_  B ) )
164162, 163mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  B  <  C )
165159, 161, 160, 164, 130lttrd 9813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  B  <  ( ( C  +  D )  /  2
) )
166159, 160, 165ltled 9800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  B  <_  ( ( C  +  D )  /  2
) )
167166, 133breqtrd 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  B  <_  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) ) )
168167adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  D )  /\  -.  C  <_  B )  ->  B  <_  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
169158, 168pm2.61dan 808 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  B  <_  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) ) )
170139, 111, 169lensymd 9803 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  -.  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  B )
171170intn3an3d 1409 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  -.  ( if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  <  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  /\  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  <  B ) )
17293adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  A  e.  RR* )
17396adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  B  e.  RR* )
174 elioo2 11702 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  e.  ( A (,) B )  <->  ( if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  <  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  /\  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  B ) ) )
175172, 173, 174syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  ( if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  ( A (,) B )  <->  ( if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  <  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  /\  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  B ) ) )
176171, 175mtbird 308 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  -.  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  ( A (,) B ) )
177 nelss 3477 . . . . 5  |-  ( ( if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  e.  ( C (,) D )  /\  -.  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
178151, 176, 177syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  -.  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
179105, 178pm2.65da 586 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  B  <  D
)
1807, 95, 179nltled 9802 . 2  |-  ( ph  ->  D  <_  B )
181104, 180jca 541 1  |-  ( ph  ->  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   RRcr 9556    + caddc 9560   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   (,)cioo 11660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-2 10690  df-rp 11326  df-ioo 11664
This theorem is referenced by:  fourierdlem32  38114  fourierdlem33  38115  fourierdlem46  38128  fourierdlem50  38132  fourierdlem72  38154  fourierdlem76  38158  fourierdlem89  38171  fourierdlem91  38173  fourierdlem103  38185  fourierdlem104  38186
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