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Theorem fourierdlem10 37919
Description: Condition on the bounds of a non empty subinterval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem10.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem10.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem10.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem10.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
fourierdlem10.5  |-  ( ph  ->  C  <  D )
fourierdlem10.6  |-  ( ph  ->  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem10  |-  ( ph  ->  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )

Proof of Theorem fourierdlem10
StepHypRef Expression
1 fourierdlem10.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 fourierdlem10.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
3 fourierdlem10.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
43adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
52rexrd 9697 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
65adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  C  e.  RR* )
7 fourierdlem10.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
87rexrd 9697 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
98adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  D  e.  RR* )
102, 1readdcld 9677 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  +  A
)  e.  RR )
1110rehalfcld 10866 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  A )  /  2
)  e.  RR )
122, 7readdcld 9677 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  +  D
)  e.  RR )
1312rehalfcld 10866 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  D )  /  2
)  e.  RR )
1411, 13ifcld 3954 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  e.  RR )
1514adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  e.  RR )
16 simplr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  A  <_  D )  ->  C  <  A )
172ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  A  <_  D )  ->  C  e.  RR )
181ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  A  <_  D )  ->  A  e.  RR )
19 avglt1 10857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( C  <  A  <->  C  <  ( ( C  +  A )  / 
2 ) ) )
2017, 18, 19syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  A  <_  D )  ->  ( C  <  A  <->  C  <  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ) )
2116, 20mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  A  <_  D )  ->  C  <  ( ( C  +  A )  /  2
) )
22 iftrue 3917 . . . . . . . . 9  |-  ( A  <_  D  ->  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  =  ( ( C  +  A )  / 
2 ) )
2322adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  =  ( ( C  +  A )  / 
2 ) )
2421, 23breqtrrd 4450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  A  <_  D )  ->  C  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) ) )
25 fourierdlem10.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  <  D )
2625adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  C  <  D )
272adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  C  e.  RR )
287adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  D  e.  RR )
29 avglt1 10857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( C  <  D  <->  C  <  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
3027, 28, 29syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  ( C  <  D  <->  C  <  ( ( C  +  D
)  /  2 ) ) )
3126, 30mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  C  <  ( ( C  +  D )  /  2
) )
32 iffalse 3920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  <_  D  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  =  ( ( C  +  D )  /  2 ) )
3332eqcomd 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  <_  D  ->  ( ( C  +  D
)  /  2 )  =  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
3433adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  (
( C  +  D
)  /  2 )  =  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
3531, 34breqtrd 4448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  C  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) ) )
3635adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  <  A )  /\  -.  A  <_  D )  ->  C  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
3724, 36pm2.61dan 798 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  C  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) ) )
3822adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  =  ( ( C  +  A )  /  2
) )
3910adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  ( C  +  A )  e.  RR )
4012adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  ( C  +  D )  e.  RR )
41 2rp 11314 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR+
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  2  e.  RR+ )
431adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  A  e.  RR )
447adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  D  e.  RR )
452adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  C  e.  RR )
46 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  A  <_  D )
4743, 44, 45, 46leadd2dd 10235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  ( C  +  A )  <_  ( C  +  D )
)
4839, 40, 42, 47lediv1dd 11403 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  ( ( C  +  A )  /  2 )  <_ 
( ( C  +  D )  /  2
) )
4938, 48eqbrtrd 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  <_ 
( ( C  +  D )  /  2
) )
5032adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  =  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )
5113leidd 10187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  D )  /  2
)  <_  ( ( C  +  D )  /  2 ) )
5251adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  (
( C  +  D
)  /  2 )  <_  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )
5350, 52eqbrtrd 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <_  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )
5449, 53pm2.61dan 798 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  <_  (
( C  +  D
)  /  2 ) )
55 avglt2 10858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( C  <  D  <->  ( ( C  +  D
)  /  2 )  <  D ) )
562, 7, 55syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  <  D  <->  ( ( C  +  D
)  /  2 )  <  D ) )
5725, 56mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  D )  /  2
)  <  D )
5814, 13, 7, 54, 57lelttrd 9800 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  <  D
)
5958adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  < 
D )
606, 9, 15, 37, 59eliood 37544 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  e.  ( C (,) D
) )
611adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  A  e.  RR )
6211adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  ( ( C  +  A )  /  2 )  e.  RR )
6314adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  e.  RR )
6463, 38eqled 9744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  <_ 
( ( C  +  A )  /  2
) )
6514adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  RR )
6611adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  (
( C  +  A
)  /  2 )  e.  RR )
67 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  -.  A  <_  D )
681adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  A  e.  RR )
6928, 68ltnled 9789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  ( D  <  A  <->  -.  A  <_  D ) )
7067, 69mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  D  <  A )
7112adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  ( C  +  D )  e.  RR )
7210adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  ( C  +  A )  e.  RR )
7341a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  2  e.  RR+ )
747adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  D  e.  RR )
751adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  A  e.  RR )
762adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  C  e.  RR )
77 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  D  <  A )
7874, 75, 76, 77ltadd2dd 9801 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  ( C  +  D )  <  ( C  +  A )
)
7971, 72, 73, 78ltdiv1dd 11402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  D  <  A )  ->  ( ( C  +  D )  /  2 )  < 
( ( C  +  A )  /  2
) )
8070, 79syldan 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  (
( C  +  D
)  /  2 )  <  ( ( C  +  A )  / 
2 ) )
8150, 80eqbrtrd 4444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  ( ( C  +  A )  / 
2 ) )
8265, 66, 81ltled 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  A  <_  D )  ->  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <_  ( ( C  +  A )  / 
2 ) )
8364, 82pm2.61dan 798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  <_  (
( C  +  A
)  /  2 ) )
8483adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  <_ 
( ( C  +  A )  /  2
) )
85 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  C  <  A )
862adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  C  e.  RR )
87 avglt2 10858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( C  <  A  <->  ( ( C  +  A
)  /  2 )  <  A ) )
8886, 61, 87syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  ( C  <  A  <->  ( ( C  +  A )  / 
2 )  <  A
) )
8985, 88mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  ( ( C  +  A )  /  2 )  < 
A )
9015, 62, 61, 84, 89lelttrd 9800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  < 
A )
9115, 61, 90ltnsymd 9791 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  -.  A  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) ) )
9291intn3an2d 1375 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  -.  ( if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  /\  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  <  B ) )
931rexrd 9697 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
9493adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  A  e.  RR* )
95 fourierdlem10.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
9695rexrd 9697 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9796adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  B  e.  RR* )
98 elioo2 11684 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  e.  ( A (,) B )  <->  ( if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  /\  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  B ) ) )
9994, 97, 98syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  ( if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  ( A (,) B )  <->  ( if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  <  if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  /\  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  B ) ) )
10092, 99mtbird 302 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  -.  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  ( A (,) B ) )
101 nelss 3523 . . . . 5  |-  ( ( if ( A  <_  D ,  ( ( C  +  A )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  e.  ( C (,) D )  /\  -.  if ( A  <_  D , 
( ( C  +  A )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
10260, 100, 101syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  <  A )  ->  -.  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
1034, 102pm2.65da 578 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  C  <  A
)
1041, 2, 103nltled 9792 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
1053adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
1065adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  C  e.  RR* )
1078adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  D  e.  RR* )
10895, 7readdcld 9677 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  D
)  e.  RR )
109108rehalfcld 10866 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  D )  /  2
)  e.  RR )
110109, 13ifcld 3954 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  e.  RR )
111110adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  e.  RR )
1122adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  C  e.  RR )
11313adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  ( ( C  +  D )  /  2 )  e.  RR )
114110adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  e.  RR )
1152, 7, 29syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  <  D  <->  C  <  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
11625, 115mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  <  ( ( C  +  D )  /  2 ) )
117116adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  C  <  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )
11812adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  ( C  +  D )  e.  RR )
119108adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  ( B  +  D )  e.  RR )
12041a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  2  e.  RR+ )
12195adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  B  e.  RR )
1227adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  D  e.  RR )
123 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  C  <_  B )
124112, 121, 122, 123leadd1dd 10234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  ( C  +  D )  <_  ( B  +  D )
)
125118, 119, 120, 124lediv1dd 11403 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  ( ( C  +  D )  /  2 )  <_ 
( ( B  +  D )  /  2
) )
126 iftrue 3917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  <_  B  ->  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  =  ( ( B  +  D )  / 
2 ) )
127126adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  =  ( ( B  +  D )  /  2
) )
128125, 127breqtrrd 4450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  ( ( C  +  D )  /  2 )  <_  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) ) )
129112, 113, 114, 117, 128ltletrd 9802 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  <_  B )  ->  C  <  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) ) )
130116adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  C  <  ( ( C  +  D )  /  2
) )
131 iffalse 3920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  C  <_  B  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  =  ( ( C  +  D )  /  2 ) )
132131eqcomd 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  C  <_  B  ->  ( ( C  +  D
)  /  2 )  =  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
133132adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  (
( C  +  D
)  /  2 )  =  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
134130, 133breqtrd 4448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  C  <  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) ) )
135129, 134pm2.61dan 798 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  <  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) ) )
136135adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  C  <  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) ) )
137126adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  D )  /\  C  <_  B )  ->  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  =  ( ( B  +  D )  / 
2 ) )
138 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  B  <  D )
13995adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  B  e.  RR )
1407adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  D  e.  RR )
141 avglt2 10858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( B  <  D  <->  ( ( B  +  D
)  /  2 )  <  D ) )
142139, 140, 141syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  ( B  <  D  <->  ( ( B  +  D )  / 
2 )  <  D
) )
143138, 142mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  ( ( B  +  D )  /  2 )  < 
D )
144143adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  D )  /\  C  <_  B )  ->  (
( B  +  D
)  /  2 )  <  D )
145137, 144eqbrtrd 4444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  D )  /\  C  <_  B )  ->  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  D )
146131adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  =  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )
14757adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  (
( C  +  D
)  /  2 )  <  D )
148146, 147eqbrtrd 4444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  D )
149148adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  D )  /\  -.  C  <_  B )  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  <  D )
150145, 149pm2.61dan 798 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  < 
D )
151106, 107, 111, 136, 150eliood 37544 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  e.  ( C (,) D
) )
152109adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  ( ( B  +  D )  /  2 )  e.  RR )
153 avglt1 10857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( B  <  D  <->  B  <  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ) )
154139, 140, 153syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  ( B  <  D  <->  B  <  ( ( B  +  D )  /  2 ) ) )
155138, 154mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  B  <  ( ( B  +  D
)  /  2 ) )
156139, 152, 155ltled 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  B  <_  ( ( B  +  D
)  /  2 ) )
157156adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  D )  /\  C  <_  B )  ->  B  <_  ( ( B  +  D )  /  2
) )
158157, 137breqtrrd 4450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  D )  /\  C  <_  B )  ->  B  <_  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) ) )
15995adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  B  e.  RR )
16013adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  (
( C  +  D
)  /  2 )  e.  RR )
1612adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  C  e.  RR )
162 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  -.  C  <_  B )
163159, 161ltnled 9789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  ( B  <  C  <->  -.  C  <_  B ) )
164162, 163mpbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  B  <  C )
165159, 161, 160, 164, 130lttrd 9803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  B  <  ( ( C  +  D )  /  2
) )
166159, 160, 165ltled 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  B  <_  ( ( C  +  D )  /  2
) )
167166, 133breqtrd 4448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  C  <_  B )  ->  B  <_  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) ) )
168167adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  D )  /\  -.  C  <_  B )  ->  B  <_  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) ) )
169158, 168pm2.61dan 798 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  B  <_  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) ) )
170139, 111, 169lensymd 9793 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  -.  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  B )
171170intn3an3d 1376 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  -.  ( if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  <  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D
)  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  / 
2 ) )  /\  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  <  B ) )
17293adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  A  e.  RR* )
17396adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  B  e.  RR* )
174 elioo2 11684 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  / 
2 ) ,  ( ( C  +  D
)  /  2 ) )  e.  ( A (,) B )  <->  ( if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  <  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  /\  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  B ) ) )
175172, 173, 174syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  ( if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  ( A (,) B )  <->  ( if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  <  if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  /\  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  <  B ) ) )
176171, 175mtbird 302 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  -.  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  ( A (,) B ) )
177 nelss 3523 . . . . 5  |-  ( ( if ( C  <_  B ,  ( ( B  +  D )  /  2 ) ,  ( ( C  +  D )  /  2
) )  e.  ( C (,) D )  /\  -.  if ( C  <_  B , 
( ( B  +  D )  /  2
) ,  ( ( C  +  D )  /  2 ) )  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
178151, 176, 177syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  D )  ->  -.  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
179105, 178pm2.65da 578 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  B  <  D
)
1807, 95, 179nltled 9792 . 2  |-  ( ph  ->  D  <_  B )
181104, 180jca 534 1  |-  ( ph  ->  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    C_ wss 3436   ifcif 3911   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   RRcr 9545    + caddc 9549   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683    / cdiv 10276   2c2 10666   RR+crp 11309   (,)cioo 11642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-2 10675  df-rp 11310  df-ioo 11646
This theorem is referenced by:  fourierdlem32  37942  fourierdlem33  37943  fourierdlem46  37956  fourierdlem50  37960  fourierdlem72  37982  fourierdlem76  37986  fourierdlem89  37999  fourierdlem91  38001  fourierdlem103  38013  fourierdlem104  38014
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