Theorem fornex 6707

Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fornex	|- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Proof of Theorem fornex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5735	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> Fun F )
2		funrnex 6705	. . . 4 |- ( dom F e. C -> ( Fun F -> ran F e. _V ) )
3	1, 2	syl5com 28	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C -> ran F e. _V ) )
4		fof 5734	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
5		fdm 5674	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> dom F = A )
7	6	eleq1d 2471	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C <-> A e. C ) )
8		forn 5737	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
9	8	eleq1d 2471	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( ran F e. _V <-> B e. _V ) )
10	3, 7, 9	3imtr3d 267	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( A e. C -> B e. _V ) )
11	10	com12 29	1 |- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1405   e. wcel 1842   _Vcvv 3058   dom cdm 4942   ran crn 4943   Fun wfun 5519   -->wf 5521   -onto->wfo 5523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629  ax-un 6530

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533

This theorem is referenced by:  f1dmex  6708  f1ovv  6709  f1oeng  7492  fodomnum  8390  ttukeylem1  8841  fodomb  8856  cnexALT  11179  imasbas  15018  imasds  15019  elqtop  20382  qtoprest  20402  indishmph  20483  imasf1oxmet  21062  ghgrpOLD  25664  foresf1o  27698  noprc  30114  bj-finsumval0  31215