MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fornex Structured version   Unicode version

Theorem fornex 6750
Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
fornex  |-  ( A  e.  C  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)

Proof of Theorem fornex
StepHypRef Expression
1 fofun 5794 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  Fun  F )
2 funrnex 6748 . . . 4  |-  ( dom 
F  e.  C  -> 
( Fun  F  ->  ran 
F  e.  _V )
)
31, 2syl5com 30 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( dom  F  e.  C  ->  ran  F  e.  _V ) )
4 fof 5793 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
5 fdm 5733 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  dom  F  =  A )
76eleq1d 2536 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( dom  F  e.  C 
<->  A  e.  C ) )
8 forn 5796 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
98eleq1d 2536 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( ran  F  e.  _V 
<->  B  e.  _V )
)
103, 7, 93imtr3d 267 . 2  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A  e.  C  ->  B  e.  _V )
)
1110com12 31 1  |-  ( A  e.  C  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   dom cdm 4999   ran crn 5000   Fun wfun 5580   -->wf 5582   -onto->wfo 5584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594
This theorem is referenced by:  f1dmex  6751  f1ovv  6752  f1oeng  7531  fodomnum  8434  ttukeylem1  8885  fodomb  8900  cnexALT  11212  imasbas  14760  imasds  14761  elqtop  19930  qtoprest  19950  indishmph  20031  imasf1oxmet  20610  ghgrp  25043  noprc  29015  bj-finsumval0  33735
  Copyright terms: Public domain W3C validator