Theorem fornex 6762

Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fornex	|- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Proof of Theorem fornex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5794	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> Fun F )
2		funrnex 6760	. . . 4 |- ( dom F e. C -> ( Fun F -> ran F e. _V ) )
3	1, 2	syl5com 31	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C -> ran F e. _V ) )
4		fof 5793	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
5		fdm 5733	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> dom F = A )
7	6	eleq1d 2513	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C <-> A e. C ) )
8		forn 5796	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
9	8	eleq1d 2513	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( ran F e. _V <-> B e. _V ) )
10	3, 7, 9	3imtr3d 271	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( A e. C -> B e. _V ) )
11	10	com12 32	1 |- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1444   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   dom cdm 4834   ran crn 4835   Fun wfun 5576   -->wf 5578   -onto->wfo 5580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590

This theorem is referenced by:  f1dmex  6763  f1ovv  6764  f1oeng  7588  fodomnum  8488  ttukeylem1  8939  fodomb  8954  cnexALT  11298  imasbas  15413  imasds  15414  imasbasOLD  15425  imasdsOLD  15426  elqtop  20712  qtoprest  20732  indishmph  20813  imasf1oxmet  21390  ghgrpOLD  26096  foresf1o  28139  noprc  30570  bj-finsumval0  31702  sge0f1o  38224  sge0fodjrnlem  38258