Theorem fornex 6651

Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fornex	|- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Proof of Theorem fornex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5724	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> Fun F )
2		funrnex 6649	. . . 4 |- ( dom F e. C -> ( Fun F -> ran F e. _V ) )
3	1, 2	syl5com 30	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C -> ran F e. _V ) )
4		fof 5723	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
5		fdm 5666	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
6	4, 5	syl 16	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> dom F = A )
7	6	eleq1d 2521	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C <-> A e. C ) )
8		forn 5726	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
9	8	eleq1d 2521	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( ran F e. _V <-> B e. _V ) )
10	3, 7, 9	3imtr3d 267	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( A e. C -> B e. _V ) )
11	10	com12 31	1 |- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3072   dom cdm 4943   ran crn 4944   Fun wfun 5515   -->wf 5517   -onto->wfo 5519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634  ax-un 6477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529

This theorem is referenced by:  f1dmex  6652  f1ovv  6653  f1oeng  7433  fodomnum  8333  ttukeylem1  8784  fodomb  8799  cnexALT  11093  imasbas  14564  imasds  14565  elqtop  19397  qtoprest  19417  indishmph  19498  imasf1oxmet  20077  ghgrp  24002  noprc  27961  bj-finsumval0  32902