Theorem fora2 10407

Description: In a unital ring the addition is an abelian group. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fora2	|- ((G e. A /\ <.G, H>. e. Ring) -> G e. Abel)

Proof of Theorem fora2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2299	. . 3 |- (G e. A -> G e. _V)
2		opeq1 3158	. . . . . 6 |- (G = if(G e. _V, G, {<.<.A, A>., A>.}) -> <.G, H>. = <.if(G e. _V, G, {<.<.A, A>., A>.}), H>.)
3	2	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (G = if(G e. _V, G, {<.<.A, A>., A>.}) -> (<.G, H>. e. Ring <-> <.if(G e. _V, G, {<.<.A, A>., A>.}), H>. e. Ring))
4		eleq1 1957	. . . . 5 |- (G = if(G e. _V, G, {<.<.A, A>., A>.}) -> (G e. Abel <-> if(G e. _V, G, {<.<.A, A>., A>.}) e. Abel))
5	3, 4	imbi12d 688	. . . 4 |- (G = if(G e. _V, G, {<.<.A, A>., A>.}) -> ((<.G, H>. e. Ring -> G e. Abel) <-> (<.if(G e. _V, G, {<.<.A, A>., A>.}), H>. e. Ring -> if(G e. _V, G, {<.<.A, A>., A>.}) e. Abel)))
6		snex 3492	. . . . . 6 |- {<.<.A, A>., A>.} e. _V
7	6	elimel 3025	. . . . 5 |- if(G e. _V, G, {<.<.A, A>., A>.}) e. _V
8	7	fora1 10406	. . . 4 |- (<.if(G e. _V, G, {<.<.A, A>., A>.}), H>. e. Ring -> if(G e. _V, G, {<.<.A, A>., A>.}) e. Abel)
9	5, 8	dedth 3011	. . 3 |- (G e. _V -> (<.G, H>. e. Ring -> G e. Abel))
10	1, 9	syl 12	. 2 |- (G e. A -> (<.G, H>. e. Ring -> G e. Abel))
11	10	imp 377	1 |- ((G e. A /\ <.G, H>. e. Ring) -> G e. Abel)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  ifcif 2982  {csn 3044  <.cop 3046  Abelcabl 9407  Ringcring 9463

This theorem is referenced by:  fora 10408

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-ring 9464

Copyright terms: Public domain