Theorem foprrn 4965

Description: A operations's value belongs to its codomain.

Assertion

Ref	Expression
foprrn	|- ((F:(R X. S)-->C /\ A e. R /\ B e. S) -> (AFB) e. C)

Proof of Theorem foprrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 4787	. . . 4 |- ((F:(R X. S)-->C /\ <.A, B>. e. (R X. S)) -> (F` <.A, B>.) e. C)
2		df-opr 4886	. . . 4 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
3	1, 2	syl5eqel 1975	. . 3 |- ((F:(R X. S)-->C /\ <.A, B>. e. (R X. S)) -> (AFB) e. C)
4		opelxpi 4040	. . 3 |- ((A e. R /\ B e. S) -> <.A, B>. e. (R X. S))
5	3, 4	sylan2 500	. 2 |- ((F:(R X. S)-->C /\ (A e. R /\ B e. S)) -> (AFB) e. C)
6	5	3impb 1063	1 |- ((F:(R X. S)-->C /\ A e. R /\ B e. S) -> (AFB) e. C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300  <.cop 3046   X. cxp 3984  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884

This theorem is referenced by:  curry1f 5076  curry2f 5079  acdc2lem1 8757  acdc5lem1 8760  mscl 9082  metcl 9088  grpcl 9324  grpdivcl 9371  ssga 9455  gapm 9462  ringcl 9468  vccl 9501  nvmcl 9599  clmgm 10368  fseq1cl 13619  cljo 14534  clme 14535  expus 14726  curgrpact 14735  grpdivfo 14737  prodvs 14811  prvs 14821  eropreu 15733  eroprf 15735  pcohtpylem3 16082  isdivrng2 16111

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886

Copyright terms: Public domain