Theorem foprcl 4092

Description: Closure law for an operation.

Hypothesis

Ref	Expression
foprcl.1	|- F:(R X. S)-->C

Assertion

Ref	Expression
foprcl	|- ((A e. R /\ B e. S) -> (AFB) e. C)

Proof of Theorem foprcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foprcl.1	. . 3 |- F:(R X. S)-->C
2		ffnoprval 4091	. . . 4 |- (F:(R X. S)-->C <-> (F Fn (R X. S) /\ A.x e. R A.y e. S (xFy) e. C))
3	2	pm3.27bi 324	. . 3 |- (F:(R X. S)-->C -> A.x e. R A.y e. S (xFy) e. C)
4	1, 3	ax-mp 7	. 2 |- A.x e. R A.y e. S (xFy) e. C
5		opreq1 4044	. . . 4 |- (x = A -> (xFy) = (AFy))
6	5	eleq1d 1577	. . 3 |- (x = A -> ((xFy) e. C <-> (AFy) e. C))
7		opreq2 4045	. . . 4 |- (y = B -> (AFy) = (AFB))
8	7	eleq1d 1577	. . 3 |- (y = B -> ((AFy) e. C <-> (AFB) e. C))
9	6, 8	rcla42v 1918	. 2 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (A.x e. R A.y e. S (xFy) e. C -> (AFB) e. C))
10	4, 9	mpi 44	1 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (AFB) e. C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 988   e. wcel 990  A.wral 1683   X. cxp 3223   Fn wfn 3232  -->wf 3233  (class class class)co 4039

This theorem is referenced by:  axaddcl 5360  axmulcl 5362  issubgi 8241  ablmul 8250  hvaddcl 9001  hvmulcl 9002  hicl 9067  iooirrsa 10628

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-ral 1687  df-rex 1688  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-uni 2552  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-xp 3239  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-fv 3253  df-opr 4041

Copyright terms: Public domain