Theorem fopab 4800

Description: Functionality of an ordered-pair class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fopab2.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = C)}
fopab.2	|- (x e. A -> C e. B)

Assertion

Ref	Expression
fopab	|- F:A-->B

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   y,C

Proof of Theorem fopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fopab.2	. . 3 |- (x e. A -> C e. B)
2	1	rgen 2159	. 2 |- A.x e. A C e. B
3		fopab2.1	. . 3 |- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = C)}
4	3	fopab2 4796	. 2 |- (A.x e. A C e. B <-> F:A-->B)
5	2, 4	mpbi 206	1 |- F:A-->B

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {copab 3395  -->wf 3994

This theorem is referenced by:  pw2en 5505  icoshftf1oii 7578  absf 8158  geoseri 8496  geolimilem 8497  geolim1i 8500  cvgratlem3ALT 8511  cvgratlem3 8514  cjcncf 8540  efcltlem1 8566  dfef2i 8569  erelem1 8581  erelem2 8582  efcji 8598  eftlexiOLD 8639  eirrlem5 8655  efsepi 8661  effsumlei 8662  reeff1 8675  efm1limi 8676  xplm 9253  sqcn 9674  sm1cnilem 9686  sincolem 10014  efghgrpilem 10073  normf 10622  hosubcli 11332  cnlnadjlem6 11642  fnopabco 15711  fsumltisumi 15823  piececn 15894  reheibor 16025  phtpycolem4 16054  pcohtpylem3 16082  pcopt 16084  pcoass 16085

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain