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Theorem footex 24842
Description: Lemma for foot 24843: existence part. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p |- P = ( Base ` G )
isperp.d |- .- = ( dist ` G )
isperp.i |- I = (Itv ` G )
isperp.l |- L = (LineG ` G )
isperp.g |- ( ph -> G e. TarskiG )
isperp.a |- ( ph -> A e. ran L )
foot.x |- ( ph -> C e. P )
foot.y |- ( ph -> -. C e. A )
Assertion
Ref Expression
footex |- ( ph -> E. x e. A ( C L x ) (⟂G ` G ) A )
Distinct variable groups:   x, A   x, G   ph, x   x, C   x, I   x, .-   x, L   x, P
Proof of Theorem footex
Dummy variables a b d p q y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . . . . . . 9 |- P = ( Base ` G )
2 isperp.d . . . . . . . . 9 |- .- = ( dist ` G )
3 isperp.i . . . . . . . . 9 |- I = (Itv ` G )
4 isperp.l . . . . . . . . 9 |- L = (LineG ` G )
5 eqid 2471 . . . . . . . . 9 |- (pInvG ` G ) = (pInvG ` G )
6 isperp.g . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G e. TarskiG )
76ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) -> G e. TarskiG )
87ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) -> G e. TarskiG )
98ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) -> G e. TarskiG )
109ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) -> G e. TarskiG )
1110ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) -> G e. TarskiG )
1211ad2antrr 740 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> G e. TarskiG )
13 eqid 2471 . . . . . . . . 9 |- ( (pInvG ` G ) ` x ) = ( (pInvG ` G ) ` x )
14 foot.x . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. P )
1514ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) -> C e. P )
1615ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) -> C e. P )
1716ad6antr 750 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) -> C e. P )
1817ad2antrr 740 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> C e. P )
19 simplr 770 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> d e. P )
20 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) -> y e. P )
2120ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) -> y e. P )
2221ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) -> y e. P )
2322ad2antrr 740 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> y e. P )
24 simprr 774 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( y .- d ) = ( y .- C ) )
2524eqcomd 2477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( y .- C ) = ( y .- d ) )
261, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 18, 19, 23, 25midexlem 24816 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> E. x e. P d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) )
2712adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> G e. TarskiG )
2823adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> y e. P )
29 simp-6r 789 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> z e. P )
3029adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> z e. P )
31 simprl 772 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> x e. P )
32 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) -> p e. P )
3332ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> p e. P )
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> p e. P )
35 simp-5r 787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) )
3635simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( y .- z ) = ( y .- p ) )
3736eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( y .- p ) = ( y .- z ) )
3837adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> ( y .- p ) = ( y .- z ) )
39 simp-7r 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) )
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) )
41 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) -> a e. P )
4241ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) -> a e. P )
4342ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) -> a e. P )
4443ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) -> a e. P )
4544ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> a e. P )
46 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) -> b e. P )
4746ad10antr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> b e. P )
48 simp-11r 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) )
4948simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> a =/= b )
5049necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> b =/= a )
51 simp-9r 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) )
5251simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> a e. ( b I y ) )
531, 3, 4, 12, 47, 45, 23, 50, 52btwnlng3 24745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> y e. ( b L a ) )
541, 3, 4, 12, 45, 47, 23, 49, 53lncom 24746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> y e. ( a L b ) )
5548simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> A = ( a L b ) )
5654, 55eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> y e. A )
5756adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> y e. A )
58 foot.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> -. C e. A )
5958ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) -> -. C e. A )
6059ad10antr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> -. C e. A )
6160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> -. C e. A )
62 nelne2 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. A /\ -. C e. A ) -> y =/= C )
6357, 61, 62syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> y =/= C )
6463necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> C =/= y )
6540, 64eqnetrrd 2711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) =/= y )
66 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (pInvG ` G ) ` p ) = ( (pInvG ` G ) ` p )
671, 2, 3, 4, 5, 27, 34, 66, 28mirinv 24790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> ( ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) = y <-> p = y ) )
6867necon3bid 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> ( ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) =/= y <-> p =/= y ) )
6965, 68mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> p =/= y )
7069necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> y =/= p )
711, 2, 3, 27, 28, 34, 28, 30, 38, 70tgcgrneq 24606 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> y =/= z )
7271necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> z =/= y )
73 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (pInvG ` G ) ` z ) = ( (pInvG ` G ) ` z )
74 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> q e. P )
7574adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> q e. P )
76 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) -> z e. P )
77 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) -> q e. P )
781, 2, 3, 4, 5, 11, 76, 73, 77mircl 24785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) e. P )
7978ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) e. P )
8018adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> C e. P )
81 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> d e. P )
821, 2, 3, 4, 5, 27, 34, 66, 28mirbtwn 24782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> p e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) I y ) )
8340oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> ( C I y ) = ( ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) I y ) )
8482, 83eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> p e. ( C I y ) )
85 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) )
8685simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> y e. ( p I q ) )
8786adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> y e. ( p I q ) )
881, 2, 3, 27, 80, 34, 28, 75, 69, 84, 87tgbtwnouttr2 24618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> y e. ( C I q ) )
891, 2, 3, 27, 80, 28, 75, 88tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> y e. ( q I C ) )
90 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) /\ ( x e. P /\ d = ( ( (pInvG ` G ) ` x ) ` C ) ) ) -> y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) )
91 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (cgrG ` G ) = (cgrG ` G )
9251simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( a .- y ) = ( a .- C ) )
9339oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( a .- C ) = ( a .- ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) )
9492, 93eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( a .- y ) = ( a .- ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) )
951, 2, 3, 4, 5, 12, 45, 33, 23israg 24821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( <" a p y "> e. (∟G ` G ) <-> ( a .- y ) = ( a .- ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) ) )
9694, 95mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> <" a p y "> e. (∟G ` G ) )
9785simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( y .- q ) = ( y .- a ) )
981, 2, 3, 12, 45, 23, 45, 18, 92tgcgrcomlr 24603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( y .- a ) = ( C .- a ) )
9997, 98eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( C .- a ) = ( y .- q ) )
1001, 3, 4, 12, 45, 47, 49tglinerflx1 24757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> a e. ( a L b ) )
101100, 55eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> a e. A )
102 nelne2 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( a e. A /\ -. C e. A ) -> a =/= C )
103101, 60, 102syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> a =/= C )
104103necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> C =/= a )
1051, 2, 3, 12, 18, 45, 23, 74, 99, 104tgcgrneq 24606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> y =/= q )
106105necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> q =/= y )
1071, 2, 3, 12, 33, 23, 74, 86tgbtwncom 24611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> y e. ( q I p ) )
10835simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> y e. ( a I z ) )
1091, 2, 3, 12, 23, 74, 23, 45, 97tgcgrcomlr 24603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q ) /\ ( y .- q ) = ( y .- a ) ) ) /\ d e. P ) /\ ( y e. ( ( ( (pInvG ` G ) ` z ) ` q ) I d ) /\ ( y .- d ) = ( y .- C ) ) ) -> ( q .- y ) = ( a .- y ) )
1101, 2, 3, 12, 74, 45axtgcgrrflx 24589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. P ) /\ b e. P ) /\ ( A = ( a L b ) /\ a =/= b ) ) /\ y e. P ) /\ ( a e. ( b I y ) /\ ( a .- y ) = ( a .- C ) ) ) /\ p e. P ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` p ) ` y ) ) /\ z e. P ) /\ ( y e. ( a I z ) /\ ( y .- z ) = ( y .- p ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( y e. ( p I q