MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  footex Structured version   Unicode version

Theorem footex 24299
Description: Lemma for foot 24300: existence part. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
isperp.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
isperp.i  |-  I  =  (Itv `  G )
isperp.l  |-  L  =  (LineG `  G )
isperp.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
isperp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ran  L
)
foot.x  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
foot.y  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  A
)
Assertion
Ref Expression
footex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( C L x ) (⟂G `  G ) A )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    ph, x    x, C    x, I    x,  .-    x, L   
x, P

Proof of Theorem footex
Dummy variables  a 
b  d  p  q  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 isperp.d . . . . . . . . 9  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 isperp.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  (Itv `  G )
4 isperp.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  (LineG `  G )
5 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  (pInvG `  G )  =  (pInvG `  G )
6 isperp.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
76ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  ->  G  e. TarskiG )
87ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  ->  G  e. TarskiG )
98ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a  .-  y )  =  ( a  .-  C ) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  ( ( (pInvG `  G ) `  p
) `  y )
)  ->  G  e. TarskiG )
109ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
1110ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a  .-  y )  =  ( a  .-  C ) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  ( ( (pInvG `  G ) `  p
) `  y )
)  /\  z  e.  P )  /\  (
y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z
)  =  ( y 
.-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
1211ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  ->  G  e. TarskiG )
13 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( (pInvG `  G ) `  x
)  =  ( (pInvG `  G ) `  x
)
14 foot.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1514ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  ->  C  e.  P )
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  ->  C  e.  P )
1716ad6antr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a  .-  y )  =  ( a  .-  C ) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  ( ( (pInvG `  G ) `  p
) `  y )
)  /\  z  e.  P )  /\  (
y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z
)  =  ( y 
.-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  ->  C  e.  P )
1817ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  ->  C  e.  P )
19 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
d  e.  P )
20 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a  .-  y )  =  ( a  .-  C ) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  ( ( (pInvG `  G ) `  p
) `  y )
)  ->  y  e.  P )
2120ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  ->  y  e.  P )
2221ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a  .-  y )  =  ( a  .-  C ) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  ( ( (pInvG `  G ) `  p
) `  y )
)  /\  z  e.  P )  /\  (
y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z
)  =  ( y 
.-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  ->  y  e.  P )
2322ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
y  e.  P )
24 simprr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( y  .-  d
)  =  ( y 
.-  C ) )
2524eqcomd 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( y  .-  C
)  =  ( y 
.-  d ) )
261, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 18, 19, 23, 25midexlem 24273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  ->  E. x  e.  P  d  =  ( (
(pInvG `  G ) `  x ) `  C
) )
2712adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
2823adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  y  e.  P
)
29 simp-6r 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
z  e.  P )
3029adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  z  e.  P
)
31 simprl 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  x  e.  P
)
32 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  ->  p  e.  P )
3332ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  ->  p  e.  P )
3433adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  p  e.  P
)
35 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )
3635simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( y  .-  z
)  =  ( y 
.-  p ) )
3736eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( y  .-  p
)  =  ( y 
.-  z ) )
3837adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  ( y  .-  p )  =  ( y  .-  z ) )
39 simp-7r 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  ->  C  =  ( (
(pInvG `  G ) `  p ) `  y
) )
4039adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  C  =  ( ( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )
41 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  e.  P )
4241ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  -> 
a  e.  P )
4342ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a  .-  y )  =  ( a  .-  C ) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  ( ( (pInvG `  G ) `  p
) `  y )
)  ->  a  e.  P )
4443ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  ->  a  e.  P )
4544ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
a  e.  P )
46 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b  e.  P )
4746ad10antr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
b  e.  P )
48 simp-11r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b
) )
4948simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
a  =/=  b )
5049necomd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
b  =/=  a )
51 simp-9r 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( a  e.  ( b I y )  /\  ( a  .-  y )  =  ( a  .-  C ) ) )
5251simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
a  e.  ( b I y ) )
531, 3, 4, 12, 47, 45, 23, 50, 52btwnlng3 24205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
y  e.  ( b L a ) )
541, 3, 4, 12, 45, 47, 23, 49, 53lncom 24206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
y  e.  ( a L b ) )
5548simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  ->  A  =  ( a L b ) )
5654, 55eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
y  e.  A )
5756adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  y  e.  A
)
58 foot.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  A
)
5958ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  ->  -.  C  e.  A
)
6059ad10antr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  ->  -.  C  e.  A
)
6160adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  -.  C  e.  A )
62 nelne2 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  A  /\  -.  C  e.  A
)  ->  y  =/=  C )
6357, 61, 62syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  y  =/=  C
)
6463necomd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  C  =/=  y
)
6540, 64eqnetrrd 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  ( ( (pInvG `  G ) `  p
) `  y )  =/=  y )
66 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (pInvG `  G ) `  p
)  =  ( (pInvG `  G ) `  p
)
671, 2, 3, 4, 5, 27, 34, 66, 28mirinv 24251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  ( ( ( (pInvG `  G ) `  p ) `  y
)  =  y  <->  p  =  y ) )
6867necon3bid 2712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  ( ( ( (pInvG `  G ) `  p ) `  y
)  =/=  y  <->  p  =/=  y ) )
6965, 68mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  p  =/=  y
)
7069necomd 2725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  y  =/=  p
)
711, 2, 3, 27, 28, 34, 28, 30, 38, 70tgcgrneq 24078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  y  =/=  z
)
7271necomd 2725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  z  =/=  y
)
73 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (pInvG `  G ) `  z
)  =  ( (pInvG `  G ) `  z
)
74 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
q  e.  P )
7574adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  q  e.  P
)
76 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a  .-  y )  =  ( a  .-  C ) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  ( ( (pInvG `  G ) `  p
) `  y )
)  /\  z  e.  P )  /\  (
y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z
)  =  ( y 
.-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  ->  z  e.  P )
77 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a  .-  y )  =  ( a  .-  C ) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  ( ( (pInvG `  G ) `  p
) `  y )
)  /\  z  e.  P )  /\  (
y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z
)  =  ( y 
.-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  ->  q  e.  P )
781, 2, 3, 4, 5, 11, 76, 73, 77mircl 24246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P
)  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a  .-  y )  =  ( a  .-  C ) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  ( ( (pInvG `  G ) `  p
) `  y )
)  /\  z  e.  P )  /\  (
y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z
)  =  ( y 
.-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  ->  ( (
(pInvG `  G ) `  z ) `  q
)  e.  P )
7978ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  ( ( (pInvG `  G ) `  z
) `  q )  e.  P )
8018adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  C  e.  P
)
81 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  d  e.  P
)
821, 2, 3, 4, 5, 27, 34, 66, 28mirbtwn 24243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  p  e.  ( ( ( (pInvG `  G ) `  p
) `  y )
I y ) )
8340oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  ( C I y )  =  ( ( ( (pInvG `  G ) `  p
) `  y )
I y ) )
8482, 83eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  p  e.  ( C I y ) )
85 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q )  =  ( y  .-  a ) ) )
8685simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
y  e.  ( p I q ) )
8786adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  y  e.  ( p I q ) )
881, 2, 3, 27, 80, 34, 28, 75, 69, 84, 87tgbtwnouttr2 24090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  y  e.  ( C I q ) )
891, 2, 3, 27, 80, 28, 75, 88tgbtwncom 24083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  y  e.  ( q I C ) )
90 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  /\  ( x  e.  P  /\  d  =  (
( (pInvG `  G
) `  x ) `  C ) ) )  ->  y  e.  ( ( ( (pInvG `  G ) `  z
) `  q )
I d ) )
91 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
9251simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( a  .-  y
)  =  ( a 
.-  C ) )
9339oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( a  .-  C
)  =  ( a 
.-  ( ( (pInvG `  G ) `  p
) `  y )
) )
9492, 93eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( a  .-  y
)  =  ( a 
.-  ( ( (pInvG `  G ) `  p
) `  y )
) )
951, 2, 3, 4, 5, 12, 45, 33, 23israg 24278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( <" a p y ">  e.  (∟G `  G )  <->  ( a  .-  y )  =  ( a  .-  ( ( (pInvG `  G ) `  p ) `  y
) ) ) )
9694, 95mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  ->  <" a p y ">  e.  (∟G `  G ) )
9785simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) )
981, 2, 3, 12, 45, 23, 45, 18, 92tgcgrcomlr 24075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( y  .-  a
)  =  ( C 
.-  a ) )
9997, 98eqtr2d 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( C  .-  a
)  =  ( y 
.-  q ) )
1001, 3, 4, 12, 45, 47, 49tglinerflx1 24217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
a  e.  ( a L b ) )
101100, 55eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
a  e.  A )
102 nelne2 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  e.  A  /\  -.  C  e.  A
)  ->  a  =/=  C )
103101, 60, 102syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
a  =/=  C )
104103necomd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  ->  C  =/=  a )
1051, 2, 3, 12, 18, 45, 23, 74, 99, 104tgcgrneq 24078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
y  =/=  q )
106105necomd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
q  =/=  y )
1071, 2, 3, 12, 33, 23, 74, 86tgbtwncom 24083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
y  e.  ( q I p ) )
10835simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
y  e.  ( a I z ) )
1091, 2, 3, 12, 23, 74, 23, 45, 97tgcgrcomlr 24075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\  ( y  .-  q
)  =  ( y 
.-  a ) ) )  /\  d  e.  P )  /\  (
y  e.  ( ( ( (pInvG `  G
) `  z ) `  q ) I d )  /\  ( y 
.-  d )  =  ( y  .-  C
) ) )  -> 
( q  .-  y
)  =  ( a 
.-  y ) )
1101, 2, 3, 12, 74, 45axtgcgrrflx 24060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  a  e.  P )  /\  b  e.  P )  /\  ( A  =  ( a L b )  /\  a  =/=  b ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( a  e.  ( b I y )  /\  ( a 
.-  y )  =  ( a  .-  C
) ) )  /\  p  e.  P )  /\  C  =  (
( (pInvG `  G
) `  p ) `  y ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( y  e.  ( a I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( y  .-  p ) ) )  /\  q  e.  P )  /\  (
y  e.  ( p I q )  /\