Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  foot Structured version   Unicode version

Theorem foot 23901
 Description: From a point outside of a line , there exists a unique point on such that is perpendicular to . That point is called the foot from on . Theorem 8.18 of [Schwabhauser] p. 60. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p
isperp.d
isperp.i Itv
isperp.l LineG
isperp.g TarskiG
isperp.a
foot.x
foot.y
Assertion
Ref Expression
foot ⟂G
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem foot
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . 3
2 isperp.d . . 3
3 isperp.i . . 3 Itv
4 isperp.l . . 3 LineG
5 isperp.g . . 3 TarskiG
6 isperp.a . . 3
7 foot.x . . 3
8 foot.y . . 3
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8footex 23900 . 2 ⟂G
10 eqid 2467 . . . . . 6 pInvG pInvG
115ad2antrr 725 . . . . . 6 ⟂G ⟂G TarskiG
127ad2antrr 725 . . . . . 6 ⟂G ⟂G
135adantr 465 . . . . . . . 8 TarskiG
146adantr 465 . . . . . . . 8
15 simprl 755 . . . . . . . 8
161, 4, 3, 13, 14, 15tglnpt 23761 . . . . . . 7
1716adantr 465 . . . . . 6 ⟂G ⟂G
18 simprr 756 . . . . . . . 8
191, 4, 3, 13, 14, 18tglnpt 23761 . . . . . . 7
2019adantr 465 . . . . . 6 ⟂G ⟂G
218adantr 465 . . . . . . . . . . 11
22 nelne2 2797 . . . . . . . . . . 11
2315, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
2423necomd 2738 . . . . . . . . 9
2524adantr 465 . . . . . . . 8 ⟂G ⟂G
261, 3, 4, 11, 12, 17, 25tglinerflx1 23824 . . . . . . 7 ⟂G ⟂G
2718adantr 465 . . . . . . 7 ⟂G ⟂G
28 simprl 755 . . . . . . . 8 ⟂G ⟂G ⟂G
297adantr 465 . . . . . . . . . . 11
301, 3, 4, 13, 29, 16, 24tgelrnln 23821 . . . . . . . . . 10
311, 3, 4, 13, 29, 16, 24tglinerflx2 23825 . . . . . . . . . . 11
3231, 15elind 3688 . . . . . . . . . 10
331, 2, 3, 4, 13, 30, 14, 32isperp2 23897 . . . . . . . . 9 ⟂G ∟G
3433adantr 465 . . . . . . . 8 ⟂G ⟂G ⟂G ∟G
3528, 34mpbid 210 . . . . . . 7 ⟂G ⟂G ∟G
36 id 22 . . . . . . . . . . 11
37 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11
38 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11
3936, 37, 38s3eqd 12794 . . . . . . . . . 10
4039eleq1d 2536 . . . . . . . . 9 ∟G ∟G
41 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11
42 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11
43 id 22 . . . . . . . . . . 11
4441, 42, 43s3eqd 12794 . . . . . . . . . 10
4544eleq1d 2536 . . . . . . . . 9 ∟G ∟G
4640, 45rspc2v 3223 . . . . . . . 8 ∟G ∟G
4746imp 429 . . . . . . 7 ∟G ∟G
4826, 27, 35, 47syl21anc 1227 . . . . . 6 ⟂G ⟂G ∟G
49 nelne2 2797 . . . . . . . . . . 11
5018, 21, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
5150necomd 2738 . . . . . . . . 9
5251adantr 465 . . . . . . . 8 ⟂G ⟂G
531, 3, 4, 11, 12, 20, 52tglinerflx1 23824 . . . . . . 7 ⟂G ⟂G
5415adantr 465 . . . . . . 7 ⟂G ⟂G
55 simprr 756 . . . . . . . 8 ⟂G ⟂G ⟂G
561, 3, 4, 13, 29, 19, 51tgelrnln 23821 . . . . . . . . . 10
571, 3, 4, 13, 29, 19, 51tglinerflx2 23825 . . . . . . . . . . 11
5857, 18elind 3688 . . . . . . . . . 10
591, 2, 3, 4, 13, 56, 14, 58isperp2 23897 . . . . . . . . 9 ⟂G ∟G
6059adantr 465 . . . . . . . 8 ⟂G ⟂G ⟂G ∟G
6155, 60mpbid 210 . . . . . . 7 ⟂G ⟂G ∟G
62 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11
6336, 62, 38s3eqd 12794 . . . . . . . . . 10
6463eleq1d 2536 . . . . . . . . 9 ∟G ∟G
65 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11
66 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11
67 id 22 . . . . . . . . . . 11
6865, 66, 67s3eqd 12794 . . . . . . . . . 10
6968eleq1d 2536 . . . . . . . . 9 ∟G ∟G
7064, 69rspc2v 3223 . . . . . . . 8 ∟G ∟G
7170imp 429 . . . . . . 7 ∟G ∟G
7253, 54, 61, 71syl21anc 1227 . . . . . 6 ⟂G ⟂G ∟G
731, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 17, 20, 48, 72ragflat 23886 . . . . 5 ⟂G ⟂G
7473ex 434 . . . 4 ⟂G ⟂G
7574ralrimivva 2885 . . 3 ⟂G ⟂G
76 oveq2 6293 . . . . 5
7776breq1d 4457 . . . 4 ⟂G ⟂G
7877rmo4 3296 . . 3 ⟂G ⟂G ⟂G
7975, 78sylibr 212 . 2 ⟂G
80 reu5 3077 . 2 ⟂G ⟂G ⟂G
819, 79, 80sylanbrc 664 1 ⟂G
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815  wreu 2816  wrmo 2817   class class class wbr 4447   crn 5000  cfv 5588  (class class class)co 6285  cs3 12773  cbs 14493  cds 14567  TarskiGcstrkg 23650  Itvcitv 23657  LineGclng 23658  pInvGcmir 23843  ∟Gcrag 23875  ⟂Gcperpg 23877 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-hash 12375  df-word 12509  df-concat 12511  df-s1 12512  df-s2 12779  df-s3 12780  df-trkgc 23669  df-trkgb 23670  df-trkgcb 23671  df-trkg 23675  df-cgrg 23728  df-leg 23794  df-mir 23844  df-rag 23876  df-perpg 23878 This theorem is referenced by:  mideulem  23910  lmieu  23924
 Copyright terms: Public domain W3C validator