Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  foot Structured version   Unicode version

Theorem foot 24706
 Description: From a point outside of a line , there exists a unique point on such that is perpendicular to . That point is called the foot from on . Theorem 8.18 of [Schwabhauser] p. 60. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p
isperp.d
isperp.i Itv
isperp.l LineG
isperp.g TarskiG
isperp.a
foot.x
foot.y
Assertion
Ref Expression
foot ⟂G
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem foot
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . 3
2 isperp.d . . 3
3 isperp.i . . 3 Itv
4 isperp.l . . 3 LineG
5 isperp.g . . 3 TarskiG
6 isperp.a . . 3
7 foot.x . . 3
8 foot.y . . 3
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8footex 24705 . 2 ⟂G
10 eqid 2428 . . . . . 6 pInvG pInvG
115ad2antrr 730 . . . . . 6 ⟂G ⟂G TarskiG
127ad2antrr 730 . . . . . 6 ⟂G ⟂G
135adantr 466 . . . . . . . 8 TarskiG
146adantr 466 . . . . . . . 8
15 simprl 762 . . . . . . . 8
161, 4, 3, 13, 14, 15tglnpt 24536 . . . . . . 7
1716adantr 466 . . . . . 6 ⟂G ⟂G
18 simprr 764 . . . . . . . 8
191, 4, 3, 13, 14, 18tglnpt 24536 . . . . . . 7
2019adantr 466 . . . . . 6 ⟂G ⟂G
218adantr 466 . . . . . . . . . . 11
22 nelne2 2698 . . . . . . . . . . 11
2315, 21, 22syl2anc 665 . . . . . . . . . 10
2423necomd 2656 . . . . . . . . 9
2524adantr 466 . . . . . . . 8 ⟂G ⟂G
261, 3, 4, 11, 12, 17, 25tglinerflx1 24620 . . . . . . 7 ⟂G ⟂G
2718adantr 466 . . . . . . 7 ⟂G ⟂G
28 simprl 762 . . . . . . . 8 ⟂G ⟂G ⟂G
297adantr 466 . . . . . . . . . . 11
301, 3, 4, 13, 29, 16, 24tgelrnln 24617 . . . . . . . . . 10
311, 3, 4, 13, 29, 16, 24tglinerflx2 24621 . . . . . . . . . . 11
3231, 15elind 3593 . . . . . . . . . 10
331, 2, 3, 4, 13, 30, 14, 32isperp2 24702 . . . . . . . . 9 ⟂G ∟G
3433adantr 466 . . . . . . . 8 ⟂G ⟂G ⟂G ∟G
3528, 34mpbid 213 . . . . . . 7 ⟂G ⟂G ∟G
36 id 22 . . . . . . . . . 10
37 eqidd 2429 . . . . . . . . . 10
38 eqidd 2429 . . . . . . . . . 10
3936, 37, 38s3eqd 12905 . . . . . . . . 9
4039eleq1d 2490 . . . . . . . 8 ∟G ∟G
41 eqidd 2429 . . . . . . . . . 10
42 eqidd 2429 . . . . . . . . . 10
43 id 22 . . . . . . . . . 10
4441, 42, 43s3eqd 12905 . . . . . . . . 9
4544eleq1d 2490 . . . . . . . 8 ∟G ∟G
4640, 45rspc2va 3135 . . . . . . 7 ∟G ∟G
4726, 27, 35, 46syl21anc 1263 . . . . . 6 ⟂G ⟂G ∟G
48 nelne2 2698 . . . . . . . . . . 11
4918, 21, 48syl2anc 665 . . . . . . . . . 10
5049necomd 2656 . . . . . . . . 9
5150adantr 466 . . . . . . . 8 ⟂G ⟂G
521, 3, 4, 11, 12, 20, 51tglinerflx1 24620 . . . . . . 7 ⟂G ⟂G
5315adantr 466 . . . . . . 7 ⟂G ⟂G
54 simprr 764 . . . . . . . 8 ⟂G ⟂G ⟂G
551, 3, 4, 13, 29, 19, 50tgelrnln 24617 . . . . . . . . . 10
561, 3, 4, 13, 29, 19, 50tglinerflx2 24621 . . . . . . . . . . 11
5756, 18elind 3593 . . . . . . . . . 10
581, 2, 3, 4, 13, 55, 14, 57isperp2 24702 . . . . . . . . 9 ⟂G ∟G
5958adantr 466 . . . . . . . 8 ⟂G ⟂G ⟂G ∟G
6054, 59mpbid 213 . . . . . . 7 ⟂G ⟂G ∟G
61 eqidd 2429 . . . . . . . . . 10
6236, 61, 38s3eqd 12905 . . . . . . . . 9
6362eleq1d 2490 . . . . . . . 8 ∟G ∟G
64 eqidd 2429 . . . . . . . . . 10
65 eqidd 2429 . . . . . . . . . 10
66 id 22 . . . . . . . . . 10
6764, 65, 66s3eqd 12905 . . . . . . . . 9
6867eleq1d 2490 . . . . . . . 8 ∟G ∟G
6963, 68rspc2va 3135 . . . . . . 7 ∟G ∟G
7052, 53, 60, 69syl21anc 1263 . . . . . 6 ⟂G ⟂G ∟G
711, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 17, 20, 47, 70ragflat 24691 . . . . 5 ⟂G ⟂G
7271ex 435 . . . 4 ⟂G ⟂G
7372ralrimivva 2786 . . 3 ⟂G ⟂G
74 oveq2 6257 . . . . 5
7574breq1d 4376 . . . 4 ⟂G ⟂G
7675rmo4 3206 . . 3 ⟂G ⟂G ⟂G
7773, 76sylibr 215 . 2 ⟂G
78 reu5 2985 . 2 ⟂G ⟂G ⟂G
799, 77, 78sylanbrc 668 1 ⟂G
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wne 2599  wral 2714  wrex 2715  wreu 2716  wrmo 2717   class class class wbr 4366   crn 4797  cfv 5544  (class class class)co 6249  cs3 12884  cbs 15064  cds 15142  TarskiGcstrkg 24420  Itvcitv 24426  LineGclng 24427  pInvGcmir 24639  ∟Gcrag 24680  ⟂Gcperpg 24682 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-hash 12466  df-word 12612  df-concat 12614  df-s1 12615  df-s2 12890  df-s3 12891  df-trkgc 24438  df-trkgb 24439  df-trkgcb 24440  df-trkg 24443  df-cgrg 24498  df-leg 24570  df-mir 24640  df-rag 24681  df-perpg 24683 This theorem is referenced by:  footeq  24708  mideulem2  24718  lmieu  24768
 Copyright terms: Public domain W3C validator