MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  foima Structured version   Unicode version

Theorem foima 5785
Description: The image of the domain of an onto function. (Contributed by NM, 29-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
foima  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( F " A
)  =  B )

Proof of Theorem foima
StepHypRef Expression
1 imadmrn 5169 . 2  |-  ( F
" dom  F )  =  ran  F
2 fof 5780 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
3 fdm 5720 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  ->  dom  F  =  A )
54imaeq2d 5159 . 2  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( F " dom  F )  =  ( F
" A ) )
6 forn 5783 . 2  |-  ( F : A -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
71, 5, 63eqtr3a 2469 1  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( F " A
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407   dom cdm 4825   ran crn 4826   "cima 4828   -->wf 5567   -onto->wfo 5569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-br 4398  df-opab 4456  df-xp 4831  df-cnv 4833  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-fn 5574  df-f 5575  df-fo 5577
This theorem is referenced by:  foimacnv  5818  domunfican  7829  fiint  7833  fodomfi  7835  cantnflt2  8126  cantnfp1lem3  8133  cantnflt2OLD  8156  cantnfp1lem3OLD  8159  enfin1ai  8798  symgfixelsi  16786  dprdf1o  17401  lmimlbs  19165  cncmp  20187  cmpfi  20203  cnconn  20217  qtopval2  20491  elfm3  20745  rnelfm  20748  fmfnfmlem2  20750  fmfnfm  20753  eupath2  25409  pjordi  27518  qtophaus  28305  ovoliunnfl  31441  voliunnfl  31443  volsupnfl  31444  ismtybndlem  31597  kelac1  35384  gicabl  35424
  Copyright terms: Public domain W3C validator